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ECUACIONES DIFERENCIALES I

Prof. Alejandro Cervantes Alvarez http://clubdematematicasyciencias.jimdo.com/


1. Conceptos bรกsicos


Ecuaciรณn Diferencial โ€ข Se dice que una ecuaciรณn que contiene las derivadas de una o mรกs variables dependientes, con respecto a una o mรกs variables independientes, es una ecuaciรณn diferencial.


Clasificación de las ecuaciones diferenciales • Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función de: – TIPO. – ORDEN. – LINEALIDAD.


Clasificaciรณn por tipo โ€ข Si una ecuaciรณn diferencial contiene sรณlo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuaciรณn diferencial ordinaria.


Clasificación por tipo… • Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias: –

dy  2y  ex dx

d 2 y dy   3y  0 2 dx dx

dx dy   2x  y dt dt


Clasificación por tipo… • Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.


Clasificación por tipo… • Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales: –

 2u  2u  2 0 2 x y

 2u  2u u  2  2 x t t

u v  x y


Clasificación según el orden • El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.


Clasificación según el orden… • La ecuación: 3

d y  dy  x  2  2 y  e   dx 2  dx  2

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.


Clasificación según el orden… • Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden se puede expresar mediante la forma general: F(x, y, y´, y´´, . . ., y(n))=0 Donde F es una función de valores reales de n+2 variables x, y, y´, y´´, ..., y(n).


Clasificación según el orden… • Es posible despejar de una ecuación diferencial ordinaria en forma única la derivada superior y(n) en términos de las n+1 variables restantes. La ecuación diferencial: n d y ( n 1)  f ( x , y , y ´, y ´´, . . ., y ) n dx

Donde f es una función continua de valores reales, se denomina forma normal.


Clasificación según la linealidad • Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y´, y´´, . . ., y(n) • Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando dny d n1 y d2y dy an ( x) n  an1 ( x) n1  ...  a2 ( x) 2  a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x) dx dx dx dx


Clasificación según la linealidad… • En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2): dy a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x) dx

y

d2y dy a 2 ( x ) 2  a1 ( x )  a0 ( x) y  g ( x ) dx dx

se puede observar las características de una ecuación diferencial lineal: – La variable dependiente y y todas sus derivadas y´, y´´, . . ., y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y es 1. – Los coeficientes a0, a1, …, an de y´, y´´, . . ., y(n) dependen sólo de la variable independiente x.


Clasificación según la linealidad… • Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es aquella que NO es lineal.


Clasificación según la linealidad… • Las siguientes ecuaciones diferenciales son no lineales: (1  y ) y´2 y  e x

El coeficiente de y´ depende de y

d2y  ln y  0 2 dx

Función no lineal de y

d5y 3  3 y  2x 5 dx

Potencia de y diferente de 1


Solución de una ecuación diferencial • Cualquier función f, definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo.


Ejemplo 

x 2

• Verifica si la función y  e es una solución de la ecuación diferencial 2 y' y  0 Solución 

x 2

x

1 2 Si y  e entonces y '   e 2 Ahora se sustituyeen la ED para verificar que la solución propuesta satisface la igualdad 2 y ' y  0  1  2x    2x  ? 2  e    e   0  2    e

x 2

x ? 2

 e 0 00


Soluciones explícitas e implícitas • Se dice que una solución en la que la variable dependiente se expresa solamente en términos de la variable independiente y constantes es una solución explícita. • Una relación G(x,y)=0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo I, siempre que existe al menos una función f que satisface tanto la relación como la ecuación diferencial en I.


Familias de soluciones • Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c)=0 de soluciones al que se le da el nombre de familia uniparamétrica de soluciones. • Cuando se resuelve una ecuación diferencial de nésimo orden F(x, y, y´, y´´, . . ., y(n))=0, se busca una familia no paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2, …, cn)=0. Esto significa que una ecuación diferencial puede poseer un número infinito de soluciones que corresponden al número ilimitado de elecciones de los parámetros.


Solución particular • Una solución de una ecuación diferencial que está libre de parámetros arbitrarios se le llama solución particular.


Problema de valores iniciales • El problema que consiste en resolver: dny n 1   f ( x , y , y , ..., y ) n dx Sujeta a : y( x0 )  y 0 ,

y ( x0 )  y1 , ...,

y ( n 1) ( x0 )  y n 1

donde y0, y1, …, yn-1 son constantes reales especificadas de manera arbitraria, se denomina problema de valores iniciales. Los valores de y(x) y sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0; y(xo)=yo, y´(xo)=y1, ..., y(n-1)(xo)=yn-1 se llaman condiciones iniciales.


Ejemplo La función y  c1 cos x  c2 sin x representa una familia de soluciones de la ED y'' y  0   Determine los valores para las constantes de tal forma que y   2 4   y además y '    2 2 4 Solución Aplicaremos la primera condición a la solución propuesta       y   c1 cos   c2 sin   4 4 4     c1 cos   c2 sin    2 por lo tanto tenemos 4 4  2  2     2 .........(1) c1   c2    2   2 


Para aplicar la segunda condición necesitamo s obtener la primera derivada si y  c1 cos x  c2 sin x entonces y '  c1 sin x  c2 cos x, aplicando la condición dada       y '    c1 sin    c2 cos  4 4 4      c1 sin    c2 cos   2 2 por lo tanto tenemos 4 4  2  2   c2    2 2 .........(2)  c1   2   2  Finalmente resolvermos el sistema de ecuaciones dado por (1) y (2) c2  3 y c1  1 Por lo tanto la solución buscada es y   cos x  3 sin x


Existencia de una solución única • Sea R una región rectangular en el plano xy definida para a<X<b, c<Y<d que contiene el punto (x0,y0) en su interior. Si f(x,y) y f y son continuas en R, entonces existe un intervalo I0: x0-h<x<x0+h h>0, contenido en a<X<b y una función única y(x), definida en I0, que es una solución del problema de valores iniciales.


2. Ecuaciones diferenciales de primer orden


Ecuación diferencial lineal (Definición) • Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x)..........(1) dx

es una ecuación lineal en la variable dependiente y


Ecuaci贸n diferencial de primer orden de variables separables - Se dice que una ecuaci贸n diferencial de primer orden de la forma

es separable o que tiene variables separables


Ejemplo dy Resuelva la ED dada por la expresión e  e  y  e 2 x  y dx Solución dy Escribamos la ED de variables separables en la forma  g  x h y  dx x dy e  e  y  e 2 x y dx dy e  y  e  2 x  y  dx ex dy 1  e  2 x   y  e  x dx  e  x

 

Nota 1  e 2 x g ( x)  ex

& h(y)  e  y


Ahora para resolver la ED procedamos de la siguiente forma

 

dy 1  e  2 x   y  e  x dx  e 

dy 1  e  2 x   dx  y x e  e  e y dy  e  x  e 3 x dx

Integrando en ambos lados

y x 3 x e dy  e  e dx  

Así, la solución de la ED en forma implicita buscada es 1 3 x e  e  e  c 3 y

x


Ecuaciones diferenciales lineales • Cuando g ( x)  0 se dice que la ecuación lineal dy a1 ( x)  a0 ( x) y  g ( x)..........(1) dx

es homogénea; en caso contrario es no homogénea • Forma estándar de la ecuación diferencial lineal

dy  P( x) y  f ( x).........(2) dx


Solución de la ecuación lineal • La solución de la ecuación diferencial en forma estándar es la suma de dos soluciones

y  yc  y p donde yc es la solución de la ecuación homogénea asociada y y p es una solución particular de la ecuación no homogénea


Método de variación de parámetros (para una ecuación lineal) • Encontremos una solución particular de la ecuación no homogénea y p  u( x) y1 ( x)

donde

 yc  cy1 ( x)  ce

 P ( x ) dx


Ejemplo dy Resuelva la ED lineal dada por la expresión x  xy  1 dx Solución dy Escribamos la ED en su forma estandar  P( x) y  f ( x) dx dy 1 1  y 2 dx x x De la expresión anterior podemos concluir que 2

1 1 P( x)  & f ( x)  2 x x Ahora obtengamos el factor integrante e

P(x)dx

e

1 dx x

 e ln x  x


Para hayar la solución buscada recordemos P(x)dx d   P(x)dx   e y  e f x   dx   sustituyendo en la expresión anterior tenemos

d  1  x  y   x  2  dx x  separando e integrando en ambos lados de la igualdad tenemos 1 d  x  y     dx x 1  d x  y    x dx x  y  ln x  c Por lo tanto la solución buscada esta dada por ln x c y  x x


Ecuaciones diferenciales exactas


Teorema


Soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial exacta


Ejemplo Resuelva la ED dada por la expresión x 2  y 2 dx  2 y  x 2 dy  0 Solución Verificamo s en primer lugar si la ED es exacta   M ( x, y )  x 2  xy 2   2 xy y y    N ( x, y )  2 y  x 2 y   2 xy x x Puesto que ambas parciales coinciden entonces la ED es exacta y procedemos de la siguiente forma


Por ser la ED exacta existe una función f ( x, y ) de tal forma que  f ( x, y )  M ( x, y ) x Sustituyendo M(x,y) en la expresión anterior

f ( x, y )  x 2  y 2 x Integrando ambos lados

2 2  f ( x , y )  x  y x  g y   

1 3 f ( x, y )  x  xy 2  g y  3 Nota : g y  es la constante de integració n resultado de la integral parcial respecto a x


Derivando parcialmen te a f ( x, y ) respecto de y   1 3  2   f ( x, y )  x  xy  g y  2 xy  g ' y    y y  3  Pero por la definición de diferencia l de F(x,y) sabemos que  f ( x, y )  N ( x, y ) y  Igualando la expresión N ( x, y ) dada en la ED y la f ( x, y ) y obtenida arriba tenemos  2 xy  g ' y   2 y  x 2

Reescribie ndo e integrando la expresión anterior obtenemos g y  d g y   2 y  x 2  2 xy dy dg ( y )  (2 y  x 2  2 xy )dy


Integrando 2 dg ( y )  ( 2 y  x  2 xy )dy  

g ( y )  y 2  x 2 y  xy 2 Al conocer g ( y ) sustituimos y simplifica mos f ( x, y ) 1 3 1 x  xy 2  y 2  x 2 y  xy 2  x 3  y 2  x 2 y 3 3 Finalmente la solución buscada esta dada por la igualdad f ( x, y ) 

1 3 x  y2  x2 y  c 3 Nota. Si desea comprobar el resultado debera determinar la diferencia l de la expresión anterior, esta diferencia l le permite regresar a la ED dada


ED por sustituci贸n (homog茅neas y de Bernoulli)


Solución de una ED homogénea por reducción • Una ecuación diferencial homogénea de primer orden se puede reducir a una ecuacion diferencial de variables separables si se realiza cualquiera de los siguientes cambios de variable y  ux o x  vy Al sustituir obtenemos una ED de variables separables de la forma

M (1, u)dx  N (1, u)udx  xdu   0


Ejemplo

Resuelva la ED homogénea y 2  xy dx  x 2 dy  0 Solución El cambio de variable propuestoes y  ux, por lo tanto dy  udx  xdu Sustituyendo en la ecuación diferencia l tenemos

ux   xux dx  x udx  xdu   0 2

2

asociando términos y factorizando términos semejates

  x u  u dx  udx  xdu   0 u  u dx  udx  xdu   0

x 2 u 2  u dx  x 2 udx  xdu   0 2

2

2

u 2 dx  xdu  0


la ecuación obtenida ya es una ED de variables separables u 2 dx  xdu  0 u 2 dx  xdu dx du  2 x u integrando en ambos lados dx du  x   u2 1 ln x    c u Recordemos que hicimos un cambio de variable y  ux, por lo tanto la solución buscada esta dada por la expresión x ln x    c y


Ecuaci贸n de Bernoulli


Ejemplos


Soluci贸n de una ED de Bernoulli


Trayectorias ortogonales


驴c贸mo obtener la familia de sus trayectorias ortogonales?


Ejercicio


Ley de enfriamiento de Newton


Ejemplo


Ejercicios 1. Agua a temperatura de 100º C se enfría en 10 minutos a 80º C, en un cuarto cuya temperatura es de 25º C. Encuentre la temperatura del agua después de 20 minutos. ¿Cuándo la temperatura será de 40º C y 26º C? 2. Agua a una temperatura de 10º C demora cinco minutos en calentarse a 20º C en un cuarto cuya temperatura es de 40º C. a) Encuentre la temperatura después de 20 minutos y después de 30 min b) ¿Cuándo la temperatura será de 25º C?


Circuitos en serie


Circuito RC en serie


Ejemplo


Ecuaciones diferenciales  

LIBRO BASICO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

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