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NÚMEROS
REALES
7.
Si a :;: O,entonces al > O.
8.
Si O < a < b y O < c < d, entonces a. c < b. d.
Demostración Conforme a la propiedad 4, se tiene que a. c < b .c, y también que b .c < b .d. Así, entonces,por la propiedad transitiva del orden en los números reales, se tiene la propiedad enunciada. 9. l/a (a #' O)tiene el mismo signo que a (es decir, ambos positivos o ambos negativos). lO. Si a < b y, además, tienen el mismo signo, entonces l/a>
l/h.
Demostración Por la propiedad 1, setiene que b -a > O; por otro lado, al ser a y b del mismo signo, slj producto a .b es positivo (¿por qué?).Así, de acuerdo con la propiedad 04 y las propiedades 4 y 9, se tiene que
b-a = l/a -l/b
~ tt.
> O
Sean a > O y b > O. Entonces, al < bl si, y sólo si, a < b.
Demostración Supóngaseprimero que al < bl, entoncestenemosque ver que a < b. Por la propiedad 1, se sabe que bl -al > O o, lo que es igual, (b -a)(b + a) > O;entonces,por la propiedad 05, (b -a) tiene que serpositivo, de donde a < b. De manera recíproca, si a < b, queremosver que al < bl, entonces, por la propiedad 1, se tiene que b -a > O; y como b + a es positivo, al multiplicarlo por b -a resulta que bl -al > O,de lo cual se siguela propiedad. En ocasionesse usa la notación x ~ y, para indicar que x es menor o igual que y, pero no debe pensarseque ambas posibilidades pueden darse en forma simultánea, sino que, a lo sumo, x podrá valer y. EJEMPLO 1 2 ~ 7. Esto es cierto dado que 2 < 7. EJEMPLO 2 2 ~ 2. Esto es cierto dado que 2 = 2. A los símbolos < y > se les denomina signos de desigualdad estricta, y a ~ y ~, signos de desigualdad no estricta o suave.
INTERVALOS Si a < b,entoncesel conjunto de los números comprendidos entre a y b recibe el nombre de intervalo abierto. (Obsérveseque en la colección no aparecena ni b.) Por (a, b) se denota al intervalo abierto. Es decir, (a, b) = {x I a < x < b}*
[Fig. 1.13(a)]
* Recuérdeseque {x I a < x < b} selee: conjunto de x tales que x es mayor que a y menor que b.