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Estudo Dirigido - Elipse 1. Definição

P

Dados dois pontos distintos F1 e F2, pertences a um plano . Elipse é o lugar geométrico de um ponto P, pertencente ao mesmo plano, que se move de maneira que a soma das distâncias do ponto P aos pontos F1 e F2 é sempre igual a uma constante (Figura 1).

F1

α

F2

Figura 1

d(P, F1) + d(P, F2) = k i

2. Elementos da Elipse Com base na Figura 2, tem-se:

Figura 2

Focos: são os pontos F1 e F2. Distância focal: é o segmento . Centro: é o ponto médio C do segmento . Eixo maior: é o segmento , este segmento contém os focos. Eixo menor: é o segmento , e perpendicular ao eixo maior no ponto C. Vértices: são os pontos A1, A2, B1, B2, de intersecção da elipse com os eixos. Do triângulo B2CF2, temos uma relação notável:

Medida da distância focal, d(F1, F2) = 2c Medida do eixo menor, d(B1, B2) = 2b Medida do eixo menor, d(A1, A2) = ? (usaremos a definição da elipse para deduzi-la)

André, Claudia e Edivan

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Se o ponto P coincide com o vertice B2 (Figura 2), então d(P, F2) = a, pela definição temos: d(P, F1) + d(P, F2) = 2a i E se o ponto coincide com o vértice A1, d(A1, F1) + d(A1, F2) = 2a, e sejam d(A1, F1) = x

e

d(A1, F2) = x + 2c

Então, x + (x + 2c) = 2a

2x + 2c = 2a

2(x + c) = 2a (x + c) = a

Desta maneira, deduzimos que a Medida do eixo menor, d(A1, A2) = 2a Uma importante característica da elipse é sua excentricidade, que é definida pela relação e usualmente é representada pela letra e. Logo, temos:

A 1ª lei do astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) é expressa por: “qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos”. A maioria dos planetas tem órbitas aproximadamente circulares, o que significa dizer que suas excentricidades estão perto de zero. Por exemplo, a órbita da Terra tem excentricidade 0,02, a de Jupiter 0,05, a de Marte 0,09, para citar apenas algumas. Mercúrio e Plutão, cujas órbitas elípticas têm excentricidades bem maiores, 0,21 e 0,25, respectivamente, constituem uma exceção à maioria dos planetas. O “campeão” de excentricidade no sistema solar parece ser o Cometa Halley com excentricidade 0,967 (quase 1) e leva aproximadamente 76 anos para dar uma volta em torno do Sol. A Figura 3 dá uma ideia das trajetórias de Júpiter e de Halley com o Sol em um dos focos. Cometa Halley

Júpiter

Sol

Figura 3

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3. Equações Reduzidas Com a finalidade de obtermos uma equação da elipse, teremos que referi-la ao sistema de eixos cartesianos. Iniciemos pelos casos mais simples. Seja a elipse de centro C

. Consideramos dois casos:

1º) O eixo maior está sobre Ox y

Seja P um ponto qualquer da elipse de focos F1 e F2 (Figura 4).

P(x, y)

Pela definição, tem-se x F1(-c, 0)

F2(c, 0)

ou

Figura 4

ou, em coordenadas

Como pela relação notável, tem-se

, resulta

Dividindo ambos os termos da equação por

, vem

que é a equação reduzida da elipse para este caso. André, Claudia e Edivan

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y

2º) O eixo maior está sobre Oy Observando a Figura 5, com procedimento análogo ao 1º caso, obteremos a equação

(0, c) F2 P(x, y)

que é a equação reduzida da elipse para este caso.

x

A demonstração deste caso da equação da elipse fica como exercício

F1 (0, -c)

Figura 5

Observação Como em toda elipse tem-se (ou ), para saber se a elipse tem o seu eixo maior sobre ou sobre , basta observar onde está o maior denominador na sua equação reduzida. Se esse for denominador de , o eixo maior está sobre . Caso contrário, estará sobre . y

Por exemplo, na equação reduzida 3

o maior denominador é 9. Como ele é denominador de , o eixo maior da elipse está sobre (Figura 6). No caso temos -2

2

e, portanto, as intersecções com os eixos são os quatro pontos e . -3

Observemos, por outro lado, que se na equação anterior fizermos , vem e para , vem que confirma as intersecções com os eixos em .

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,o e

Figura 6

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x


Exemplos Nos problemas de 1 a 3, para cada uma das elipses, determinar a) a medida dos eixos; b) os focos; c) um esboço do gráfico; d) a excentricidade. 1) a) Para expressar a equação na forma reduzida, dividimos ambos os membros da equação por 144:

Maior denominador: 16. Logo, Então,

e ao eixo maior da elipse está sobre o eixo

e e y

b) 3

Logo, os focos são F1 c) Gráfico: Figura 7

e F2 4

-4 F1(-√7, 0)

F2(√7, 0)

d) -3

Figura 7

2) a) Conduzindo a equação para a forma reduzida, vem

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x


b)

y

c) Gráfico: Figura 8 x

d)

Figura 8

3) a) A forma reduzida desta equação é

b)

y

x

c) Gráfico: Figura 9

d) Figura 9

A circunferência pode ser considera uma elipse de excentricidade nula.

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4) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3, 0) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua equação. Como o foco é ponto do eixo

, a equação é da forma

Como o eixo maior mede 8, isto é, e Tendo em vista que o centro da elipse é

e um dos focos é

, conclui-se que

Mas

Logo, a equação procurada é

5) Uma elipse de centro na origem tem a medida do eixo menor igual a 6, focos no eixo passando pelo ponto . Determinar sua equação.

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e

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4. Outras Formas da Equação da Elipse Seja uma elipse de centro . Consideraremos somente os casos de os eixos da elipse serem paralelos aos eixos coordenados. y

1º) O eixo maior é paralelo a Ox

y’

Utilizando uma conveniente translação de eixos, obtemos um novo sistema (Figura 10) em relação ao qual a elipse tem centro na origem e eixo maior sobre o eixo . Logo, sua equação reduzida é

P y’ A1 y

A2 O’ = C

F1

x’

k

Para expressá-la em relação ao sistema , utilizamos as fórmulas de

O

x’

F2

x h

translação de eixos

x

Figura 10

e que substituídas na equação anterior, resulta

que é a forma padrão para este caso.

2º) O eixo maior é paralelo a Oy De modo análogo ao 1º caso, temos

(

Assim por exemplo, uma elipse que tem centro no ponto , e eixo menor medindo 8 ( , apresenta a equação: se

A1A2 //

se

A1A2 //

, eixo maior medindo 10

ou

Uma outra forma da equação da elipse será apresentada no próximo exemplo.

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Exemplos 1) Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo , tem centro C e eixo menor de medida 6. Obter uma equação desta elipse. Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo

com

, excentricidade

, sua equação é da forma

e

Precisamos determinar

Sendo

, vem

De

, resulta

e . Mas

ou

Donde

. Logo a equação da elipse é

Se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os quadrados e ordenarmos os termos, obteremos outra forma da equação da elipse:

ou ou

que é uma equação geral desta elipse. Assim, qualquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá a forma

com e de mesmo sinal. Em particular, quando circunferência.

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esta equação poderá representar uma

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2) Dada a elipse de equação

, determinar:

a) sua equação na forma padrão b) o centro c) a medida dos eixos

d) os focos e) um esboço do gráfico f) a excentricidade

Solução a) Iniciemos reescrevendo a equação agrupando os termos de mesma variável e evidenciamos os fatores em comum para facilitar na construção dos trinômios quadrados

b) Como

e

são coordenadas do centro, da equação obtida, vem imediatamente:

c) Como sabemos o valor de

e

, da equação obtida acima, temos:

d) Para determinar os precisamos do valor de . De

focos

y

x

e) Gráfico: Figura 11

Figura 11

f)

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5. Equações Paramétricas Consideremos a elipse de equação

y

A

Tracemos a circunferência de centro O e raio igual ao semi-eixo maior da elipse (Figura 12).

b P θ

Seja P um ponto qualquer desta elipse. A reta que passa por P e é paralela ao eixo , intercepta a circunferência em A e o eixo em A’, e o raio AO determina com o eixo um ângulo .

O

A’

a

x

Figura 12

Do triângulo

vem

ou

Como é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada substituindo o valor de na equação da elipse:

do mesmo ponto é calculada

e

Observamos que para cada valor de corresponde um e um só ponto P da elipse, e quando varia de a , o ponto P parte de e “descreve” a elipse na sentido antihorário. Então, é o parâmetro e o sistema

constitui as equações paramétricas dessa elipse.

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No caso da elipse ser

com eixo maior sobre

, suas equações paramétricas são

Quando o centro da elipse for C

, pela translação de eixos obtemos

ou

eixo maior paralelo a

ou

eixo maior paralelo a

e

Exemplos Obter as equações paramétricas da elipse de equação: 1) 2) Solução 1) A forma reduzida da equação

e, portanto

e

2) Iniciaremos escrevendo

André, Claudia e Edivan

é

. Logo,

na sua forma padrão

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6. Exercícios Propostos 1) Demonstrar a equação reduzida da elipse no caso em que o eixo maior está sobre o eixo

.

2) Determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas: a) Vértices A b) Vértices A

e excentricidade e passando por P

3) Obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas: a) Focos F1 b) Centro C

e F2 , e excentricidade , um foco F e tangente ao eixo

4) Obter as equações paramétricas da elipse de equação 5) Obter uma equação geral da elipse dada por equações paramétricas 6) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade viaja ao redor de um planeta situado em um dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 , calcular a maior distância.

Respostas 1) 2) a) b) 3) a) b)

ou ou

4) 5) 6) 600

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Estudo Dirigido  

Estudo dirigido para apresentação

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