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CAPITULO 3

Porcentajes

3.1 Razones 3.2 Proporciones 3.3 Aplicaciones

3.1 Razones Una Razón es la comparación de dos cantidades.

Razón Aritmética: Cuando ésta se establece por resta o diferencia. Por ejemplo: Supongamos que queremos comparar el dinero que posee Paty y Laura, al establecer una comparación, podemos partir del dinero que posee Paty $ 200.00, o bien, a partir del que posee Laura que son $50.00. 1ª. Comparación: ¿Cuál es la razón aritmética del dinero que tiene Paty al dinero que posee Laura?: Paty tiene: $200.00 - $50.00 = $150.00 Más que Laura 2ª. Comparación: ¿Cuál es la razón aritmética del dinero que tiene Laura al dinero que posee Paty? Laura tiene: $50.00 - $200.00 = - $150.00 Menos que Paty

Razón Geométrica: Si establecemos la comparación por cociente. Las razones se pueden clasificar como: a) Razones internas: que son las que resultan de comparar dos cantidades de la misma especie (los ejemplos anteriores). Utilizando el mismo ejemplo tendríamos: 1ª. Comparación: Paty tiene

$200.00 =4 $50.00

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veces lo que tiene Laura.

| 3.1 Razones

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Mientrras que: 2ª. Co omparación:: Laura tiene

$50.00 1 = $20 00.00 4

una cuarta parte de lo que tiene Paty P

zones exte ernas. Son las que com mparan canttidades de diferente esp pecie. b) Raz Ejemp plo: En un n internad do hay 60 00 alumnos s, y cuentta con 12 salones. ¿Cuál es el promedio de alu umnos porr salón?

600 allumnos 50 0 alumnos = 12 sa alones salón

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| 3.1 Razones

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3.2 Proporciones Lo anterior es un ejemplo de razón geométrica, ahora si nosotros igualamos dos razones estaremos buscando una proporción. Pensemos en lo siguiente: Con dos carretillas de grava triturada y un bulto de cemento, se logra una mezcla de preconcreto bien proporcionada. La cantidad de sal, debe de ser proporcional a la cantidad de comida. Para que exista una proporción es necesario que haya correspondencia entre los elementos que intervienen.

Proporción directa Las proporciones directas se caracterizan porque al aumentar una variable, la otra también aumenta. Por ejemplo: Mientras más pan compro, más dinero pago por él. Mientras menos estudio, menos aprendo. Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo: a c

= b d ad = bc proporción directa

Las proporciones expresan igualdades. Ejemplo :

2 6 = 5 15 2 • 15 = 6 • 5 30 = 30

Ejemplo:

2Ahora, 8 se multiplica cruzado. = x 16

2 • 16 = 8 • x

Se resuelve la ecuación:

32 = 8 x 32 8 x = 84 = x8 4=x

El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir:

2 8 = 4 16

Aplicación: Dos albañiles construyen 24 m2 de muro al día. Cuatro albañiles construyen 48 m2 de muro al día. Esto se puede escribir de varias maneras: 1. Como tabla No. de albañiles 2 4 Construcción en m2 24 48

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| 3.2 Proporciones

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2. Con dos puntos 24m2 : 2 albañiles 48m2 : 4 albañiles (Lo anterior se lee: “24 es a 2 como 48 es a 4”) 3. Con numerador y denominador o división indicada

24 48 = 2 4 Si continuamos anotando en la tabla una mayor cantidad de albañiles y la cantidad de muro que construyen, podemos observar que las razones van creciendo proporcionalmente. No. de albañiles 2 4 6 8 Construcción en m2 24 48 72 120 Podemos ver en la tabla anterior que existe una relación proporcional directa: 2 albañiles construyen 24 m2, 6 albañiles construyen 72 m2. Al haber más albañiles, se construyen más metros cuadrados. Proporciones utilizando por ciento % = porción de un número respecto a 100 ¿Cuál es el 12% de 658?

12 x = 100 658 12 ⋅ 658 = 100 x 7896 = 100 x 7896 x= = 78.96 100 ¿Cual es el 30% de 84?

x 30 = 100 84 30 ⋅ 84 = 100 x 2520 = 100 x 2520 x= = 25.20 100

Estamos buscando una porción de 658. En esta proporción, hay que ver que 12/100 está dado por 12%. Al otro lado de la proporción, va la proporción y porción/total. No sabemos la porción, así que la x va arriba. Abajo va el total, que es 658.

Sabemos que el 30% se expresa 30/100. Como estamos buscando la porción de 84, la x va arriba como numerador; y el total, que es 84, va abajo como denominador.

Proporción Inversa Las proporciones inversas se caracterizan porque al disminuir una variable, la otra aumenta. Por ejemplo: Mientras más rápido viajo, menos tiempo me demoro. Mientras menos contamino el aire, más limpio estará.

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| 3.2 Proporciones

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plo: Ejemp Un pintor puede resanar y pintar 240 m2 en 6 días. Dos pintores p harán el mism mo trabajo en 3 días. mpo tardan en hacer es ste trabajo. Mientrras más pintores haya, menos tiem s puede esc cribir de varrias manera as Esto se mo tabla 1. Com Número de pintorres Tiemp po necesario o en días

1

2

6

3

n dos puntos 2. Con 1:6 : 2:3 (Lo ante erior se lee “uno es a seis s como do os es a tres””) mo fraccione es o división n señalada. 1 3. Com

6

=

2 3

plo: Ejemp Si cua atro person nas tardan ocho días en aplanar un terreno o, ¿cuántas s personas se necesitan para ha acerlo en do os días? s escribe as sí: Esto se

a c = b d abb = cd proporción inverrsa

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4 x = 8 2 4 • 8 = 2x 32 2 x = 2 2 16 = x

| 3.2 Prop porciones

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APLICACIONES 1. Un curso se comprometió a plantar árboles. La secretaria del curso presenta un cuadro resumen de la cantidad de niños comprometidos para ésta actividad. Árboles Ciruelos Eucaliptus Palmeras

Niñas 4 4 8

Niños 6 8 10

De acuerdo a los datos, escribe la razón entre: a) El número de niños que plantarán ciruelos y el total de niños del curso. b) El número de alumnos que plantarán ciruelos y el total de alumnos del curso. c) El número de niñas que plantarán ciruelos y el total de niñas del curso. d) El número de niñas que plantarán palmeras y el total de niñas del curso. e) El número de niños que plantarán palmeras y el total de niños del curso. f) ¿Qué parte del total de alumnos del curso se dedicará a plantar ciruelos? 2. A través de la simplificación obtiene otras razones equivalentes con: 1.) 12 : 20 =

2.) 16 : 30 =

15 = 18 0 .8 7.) = 1 .2

15 = 70 3 .6 8.) = 7 .2

4.)

5.)

3.) 2.4 : 4=

42 = 60 22 9.) = 80

6.)

3. La relación entre la población y la superficie recibe el nombre de densidad poblacional y se expresa con la razón:

Densidad = población = Superficie

nº de habitantes nº de kms2

Determina la densidad en cada caso: REGIÓN V VII

POBLACIÓN 1.384.336 hab. 836.141 hab.

SUPERFICIE 16.396 kms2 30.302 kms2

4. Indica si cada par de razones forma o no una proporción.

3 2 y 4 3 0 ,1 0 ,4 d.) y 0 ,2 0 ,8 a.)

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5 1 y 9 2 5 1 4 1 e.) : y : 6 3 5 3 b.)

1 20 y 2 40 4 3 4 3 f.) : : y 5 5 2 4 c.)

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5. Calcular el valor desconocido en las siguientes proporciones.

12 9 15 c.) 10 a.)

= =

8 x x 4

e.) x : 2.7 = 0 : 9

4 10 = x 30 3 12 d.) = x 8 7 .4 3 .7 f.) = x 0 .5 b.)

Problemas propuestos A continuación aparecen varias relaciones entre magnitudes. Piensa cuáles son directas y cuáles no: 1. El peso de un saco de patatas y su precio. 2. El número de páginas de un libro y su precio. 3. El número de páginas de un libro y el tiempo que se tarda en leerlo. 4. El volumen del agua y su peso. 5. La longitud de la circunferencia y su radio. 6. El perímetro de un cuadrado y la longitud de su lado. 7. El área de un cuadrado y la longitud de su lado. 8. El peso de un bebé y su edad 9. Cantidad de manzanas y su peso 10. Número de bebidas y sus consumidores 11. Número de personas trabajando y tiempo empleado en terminar el trabajo 12. Cantidad de litros de bencina y el precio respectivo 13. Número de baldosas para cubrir una determinada superficie y su tamaño 14. Número de horas trabajadas y el sueldo ganado 15. Número de ejercicios de matemáticas y el tiempo empleado en solucionarlos 16. Cantidad de forraje (alimento) y número de animales a alimentar 17. Peso de las remolachas y peso del azúcar elaborada con ellas 18. Días que alcanzan las provisiones y número de personas a alimentar Resuelve los siguientes problemas: 1. La suma de dos números es 91 y están en la razón 4.3. Calcula el valor de cada número. 2. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kilos y están en la razón 7:4. calcula el peso de cada vehículo. 3. Las edades de Ana y Julia están en la razón 3:2. ¿Qué edad tiene cada una, si la suma de sus edades es 80 años? 4. El perímetro de un rectángulo es 128 cm. y la razón entre la medida de sus lados es 5:3. Calcula su área. 5. Dos amigos deben repartirse $27.000 en la razón 5:4. ¿Cuánto dinero recibe cada uno? 6. Si a + b = 54 y a : 4 = b : 5, calcula los valores de a y b. 7. Si x – y = 21 y x : y = 7 : 4, calcula x e y. 8. Calcula a y b, si 7/5 = a/b y a – b = 30. 9. Si a + b = 18 y a : 5 = b : 4, calcula a y b. 10. El dinero de dos personas están en la razón 12 : 7 y una de ellas tiene $ 850 más que la otra. ¿Cuánto dinero tiene cada una? 11. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 4:9:2. ¿Cuál es la medida de cada uno.

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12. Se desea repartir $56.000 entre cuatro personas en la razón 1:2:3:4. ¿Cuánto recibe cada una? 13. La suma de tres números es 36 y están en la razón 2:3:4. Calcula los números. 14. Hallar x, y, z, si x+ y + z = 50 y x:y:z = 3:5:2. 15. Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género? 16. Seis obreros cavan en tres horas una zanja de 20 m. de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en el mismo tiempo, 42 obreros trabajando en las mismas condiciones? 17. Si una persona de 1,75 m. de altura proyecta una sombra de 1,25 m. de longitud, calcula la altura de un árbol que, en el mismo instante, proyecta una sombra de 12 m. 18. Con mi dinero puedo comprar 20 dulces a $20 cada uno. Si suben a $ 25, cuántos podré comprar? 19. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas demorar 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela? 20. La rapidez de un automóvil es de 70 Km/hr y demora 5 horas en recorrer cierta distancia. ¿Cuántas horas demorará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez de 80 Km/hr? 21. ¿Qué longitud tiene en un mapa una distancia de 400 kilómetros si el mapa señala: escala 1:19,500,000? 22. La estatura de mi hija cabe 2 veces en la mía, sobrando cierta cantidad de centímetros que está en razón 2 a 3 con la estatura de mi hija: 23. ¿En qué razón está la estatura de mi hija en relación con la mía? 24. Si mi estatura fuera de 160 metros con las condiciones del problema. ¿Cuál sería la de mi hija? 25. La pregunta (b) si mi estatura es de 1.72 metros. 26. Las velocidades máximas de una mariposa y un avestruz están en razón . Si la mariposa, que es la que alcanza menor velocidad puede recorrer 48 kilómetros en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el avestruz en el mismo tiempo? 27. Se estima que uno de cada 25 bebés hijos de madres que contrajeron rubéola durante el cuarto mes de embarazo sufre alguna anomalía congénita. ¿Qué número de bebés afectados habrá en 25,575 niños, hijos de madres que contrajeron la enfermedad? 28. En 1974 la razón entre las especies de insectos descritos hasta entonces y el total de ellos

19 era 60 . Si entonces se tenía la descripción de 950,000 especies. ¿Cuál era el total de especies de insectos? 29. Al aplicar la vacuna contra la tosferina, la posibilidad de que los niños tengan fiebre como reacción está en razón 1 a 100,000. Si se detectaron 26 niños con fiebre. ¿Cuántos fueron vacunados? 30. Si media docena de una mercancía cuestan $14.50, ¿cuánto constarán 5 docenas de la misma? ($145) 31. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros. ¿Cuál será la capacidad de 3/8 del mismo estanque? (468 ¾ l) 32. Los 3/7 de la capacidad de un estanque son 8136 litros. Hallar la capacidad del estanque. (18984 l) 33. Dos individuos arriendan una finca. El primero ocupa los 5/11 de la finca y para $6000 de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo? ($7200) 34. Una casa es de dos hermanos. La parte del primero, que es los 5/13 de la casa, está valuada en 15300 bolívares. Hallar el valor de la parte del otro hermano. ($24480) 35. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Si hubieran trabajado una hora menos al día, ¿en cuántos días habrían terminado la obra? (16 días) 36. 9 hombres pueden hacer una obra en 5 días. ¿Cuántos hombres más harían falta para hacer la obra en un día? ¿Cuántos hombres menos para hacerla en 15 días? (36 h más, 6 h menos) Alarcón, C. 2009

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37. A la velocidad de 30 km/h un automóvil emplea 8 ¼ horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido triple? (5 ½ h menos) 38. Una pieza de tela tiene 32.32 m de largo y 75 cm de ancho. ¿Cuál será la longitud de otra pieza, de la misma superficie, cuyo ancho es de 80 cm? (30.30 m) 39. Una mesa tiene 6 m de largo y 1.50 m de ancho. ¿Cuánto se debe disminuir la longitud, para que sin variar la superficie, el ancho sea de 2 m? (1.50 m) 40. Una fuente da 120 dal de agua en 10 minutos. ¿Cuántos litros más dará en 12 1/12 minutos? (250 l más) 41. Un hombre al morir dispone que de su fortuna, que asciende a $2,000,000, se entregue el 35% a su hermano mayor, el 40% del resto a su hermano menor y lo restante a un asilo. ¿Qué cantidad corresponde al asilo? 42. En una incubadora se pusieron 500 huevos y salieron 480 pollitos. ¿Qué porcentaje de huevos se perdió? 43. Una persona colocó una cierta cantidad de dinero en un negocio. Ganó $7,500 y dijo que había ganado el 15% de lo invertido. ¿Cuánto invirtió? 44. Una persona obtuvo una ganancia líquida del 120% en un negocio de exportación. Si el capital invertido era de $850,000, cuánto dinero ganó? 45. Por vender un automóvil se pagan $1,800 por concepto de comisión. Si el porcentaje de comisión es un 2.5% de la venta. ¿en cuánto se vendió el auto? 46. La diferencia entre el 60% y el 45% de un número es 126. Hallar el número. 47. Si el 45% de un número es 540. ¿Cuál es el 60% del mismo número? 48. Si un número lo aumentamos en un 6% da como resultado 265. ¿Cuál es el número? 49. Una mercancía se recargó en un 5% y el nuevo precio es $1,302. ¿Cuál es el precio sin recargo? 50. Una persona aumentó su peso en un 15%. Si ahora pesa 69 Kg. ¿Cuánto pesaba antes? 51. En un colegio la matrícula total aumentó en un 20% respecto del año anterior. Si este año se matricularon 432 alumnos, ¿cuál fue la matrícula total de año pasado? 52. La línea de crédito de una tarjeta se amplió en un 12%, quedando en $50,400. ¿Cuál era la línea de crédito anterior? 53. Pagué por un producto $168. Si ese producto no hubiese estado rebajado en un 4% ¿cuánto debería haber pagado? 54. El peso de una persona disminuyó en un 15%. Si ahora pesa 59.5 Kg. ¿Cuánto pesaba antes de la disminución? 55. El número de alumnos de un curso bajó en un 10% de marzo a diciembre y quedaron 36 alumnos. ¿Cuántos alumnos tenía el curso en marzo? 56. ¿Qué número disminuido en 35% equivale a 6,227? 57. Un corredor de propiedades vendió 2 casas en $420,000 cada una. Si en una perdió el 10% y en la otra ganó un 10%. ¿Ganó o perdió en total? ¿Cuánto?. 58. Una persona pesaba 60 Kg y tres meses más tarde pesa 66 Kg. ¿Cuál es el porcentaje de variación? 59. Las ventas del mes pasado alcanzaron $216,300. Sin embargo las de este mes fueron sólo de $190,344. ¿Cuál fue el porcentaje de disminución? 60. ¿En qué porcentaje aumentó el precio de un automóvil si en marzo costaba $250,000 y el abril $265,000?

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Ecuaciones  

Aprende a resolver ecuaciones algebraicas

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