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DISEÑO DE UN ELEMENTO DE TRANSICIÓN QUE SIMULE UNA CORRECTA INTERACCIÓN ESTÁTICA SUELO-ESTRUCTURA Autores: Ing. Camilo A. Ramirez Salazar – Dr. Ricardo Salazar Ferro La interacción suelo-estructura es un campo nuevo en la ingeniería civil y se propone como conector entre la geotecnia y el diseño de estructuras civiles. La necesidad de unificar estas dos ramas de la Ingeniería, parte del hecho que no se puede desligar el diseño estructural y la respuesta del suelo de soporte. La metodología del análisis matricial, es una de las más utilizadas para el diseño de estructuras. Esta metodología está fundamentada en la idea de asignar a una estructura de barras, un objeto matemático, llamado matriz de rigidez. Esta matriz relaciona los desplazamientos de una serie de puntos, con las fuerzas que son necesarias para obtener diferentes desplazamientos, logrando, entre otras funciones, conocer fuerzas y momentos necesarios para el cálculo o diseño de elementos estructurales. La simulación del comportamiento del suelo con las cargas resultantes del diseño matricial se realiza con diferentes métodos sin que alguno de ellos, aún, sea el más apropiado o definitivo. Existen modelos simplificados que basan su funcionamiento en ecuaciones diferenciales que relacionan las deflexiones y momentos generados en la estructura con parámetros que caracterizan el suelo, basándose en las hipótesis planteadas por:

• • •

Winkler Vlasov-Pasternak Kerr

Existen dos corrientes marcadas para el cálculo de las deformaciones del suelo causadas por una carga estática, las cuales se basan en el modelo de Winkler y en la teoría de la elasticidad. En el campo técnico se exponen las metodologías que el autor considera más destacadas en cada una de estas corrientes. Modelo de Winkler Uno de los primeros intentos de resolver la problemática relacional suelo estructura- lo plantea Winkler en 1867, donde propuso una metodología que parte de la hipótesis en la cual, el asentamiento producido en un punto es proporcional a la presión a la que está sometido, asumiendo al suelo como un material elástico, lineal, isótropo, homogéneo y con módulo elástico linealmente variable con la profundidad. Este método modela los cimientos a modo de una viga flexible. El suelo se representa mediante un conjunto de resortes infinito que se sitúa por debajo una viga deformable. En la Figura 1, se considera una viga apoyada sobre el suelo semi-infinito y continúo cargado uniformemente. Si el valor de la rigidez de la viga es bajo entonces la viga presentará mayor deflexión en el centro y menor en los extremos.


Ks: Módulo de reacción del suelo. POSICIÓN INICIAL DEL CIMIENTO

x P Carga

POSICIÓN FINAL DEL CIMIENTO

y

Asentamiento

Figura 1, Método propuesto por Winkler

Este procedimiento fue creado con el fin de analizar las traviesas en ferrocarriles, donde la capa de balasto se extiende para sujetar y asentar las traviesas. La aplicación de este método se emplea en cualquier campo donde sea adaptable y ha ganado aceptación debido a que asimila la interacción del suelo con la estructura empleando los cálculos matriciales. La ecuación que se plantea como básica para este método donde se muestra la relación entre la carga y asentamientos es: ∆=

p

Q = q * Área Cargada

Δ=

Es evidente que el suelo en esta metodología se asume con una única componente elástica desestimando la estratificación y condiciones mecánicas de cada una de las capas presentes en un suelo. Por esta razón es un modelo del comportamiento del suelo poco precisa.

Donde,

Modelo de Zeevaert

p: Carga. ∆: Asentamiento. Ks: Módulo de reacción del suelo.

Zeevaert en 1980 propone para hacer el análisis de la interacción sueloestructura, apoyarse en las leyes físicas buscando una simulación del suelo y el procedimiento del cálculo estructural para establecer las deformaciones y fuerzas de acuerdo con las propiedades de los materiales que las componen. Este método trata a la masa de suelo como un medio continuo en el cual la acción en un

Se encuentra que es necesario representar la constante o módulo de reacción del suelo con una constante equivalente para el resorte: ´ =

K´s: Constante de resorte equivalente.

´


punto interviene comportamiento de otro.

en

el

Este modelo supone que bajo la fundación se encuentran varios estratos de propiedades uniformes apoyados en una base casi incompresible. Para el cálculo se plantea dividir el suelo en una serie de bandas de igual ancho que la fundación y de longitud constante, produciendo, al aplicar una carga que la banda se deforme y las adyacentes también lo hagan en diferente magnitud. j

1

δ

Carga

1

d2

2

di

i

Los asentamientos resultantes de la imposición de la carga sobre una banda se agrupan en el vector llamado vector unitario de asentamientos del terreno. 1

j

1

δ00

δ01

δ1

δ2

δ3

δ4

δ5

Q

Q

Q

Q

Q

1

d e

Base firme casi incompresible

δ01

Después de todo el desarrollo matemático, el modelo asemeja el comportamiento del suelo a una serie de resortes con diferente rigidez.

E s t r a t o s

s u N e l o

dN

δ0j

Este es el vector de asentamientos para una carga unitaria dado por la metodología de Zeevaert.

j

1

d1

j

=

δ0j

k1

k2

k4

k5

=

;

k3

=

;

!.

Este método permite encontrar resultados con una aproximación mayor a la del modelo de Winkler y el método de Boussinesq. Aunque este modelo genera resultados más aproximados al comportamiento real del suelo, se insiste en validar el comportamiento del terreno con diferentes resortes, cada uno con una rigidez específica diferente ocasionando que se suponga al suelo con una


estratificación única y vertical, desechando la posibilidad de diferentes capas horizontales con características mecánicas disímiles.

El resultado de este análisis muestra desplazamientos acertados y semejantes a la realidad, pero es el producto de iteraciones excesivas las cuales no son prácticas en el desarrollo profesional.

Modelo de Iteración Su funcionamiento se basa en el cálculo iterativo, buscando encontrar movimientos similares entre la estructura y el suelo en la zona de interface, realizando por separado los análisis de cada componente del conjunto.

Calculo Matricial de Estructuras

Obtención de giros en la fundación

Reproducción de giros en el suelo

Calculo Elementos Finitos Suelo

Es evidente que se realiza el análisis de forma independiente por métodos diferentes, tomando los resultados obtenidos en un método e introduciéndolos en el otro hasta alcanzar que los desplazamientos sean concordantes.

Expuestas algunas de las metodologías que a juicio del autor se consideraron como las más utilizadas en el cálculo de asentamientos de una estructura, se tiene que aun ninguna de estas logra reproducir las deformaciones reales del suelo producidas por una carga estática invirtiendo un esfuerzo razonable por parte del calculista. Por esta razón la metodología de mayor aproximación a la realidad se basa en modelo de elementos finitos que también presenta diversos inconvenientes representados en los tiempos extensos de modelación y análisis. La investigación realizada pretendía acoplar el cálculo matricial de estructuras con modelos de elementos finitos, minimizando el tiempo de modelación y cálculo, logrando resultados aceptables en tiempos más cortos. ¿QUE PRETENDE INVESTIGACIÓN?

LA

La mejor aproximación con la que se cuenta en la predicción de asentamientos del suelo debidos a una carga estática, son los modelos de elementos finitos, aunque estos no sean usados comúnmente en el análisis de la interacción sueloestructura por el arduo trabajo que exige el modelamiento y el tiempo que tarda el procesamiento de la información en el software para obtener resultados.


Como consecuencia de esto, nace el interés de acoplar dos metodologías de análisis con el apoyo de un elemento de interface que permitiera la generación de una única matriz de rigidez del conjunto suelo-estructura, obteniendo la matriz de rigidez de la estructura por el método matricial de la rigidez y la matriz de rigidez del suelo por medio de los elementos finitos. DISEÑO DEL TRANSICIÓN

ELEMENTO

DE

Inicialmente se pensó en un elemento cuadrangular que contara con dos nodos superiores a los cuales se trasmitieran las fuerzas o desplazamientos resultado del cálculo matricial de estructuras. No se logra el objetivo trazado con este elemento debido a que el acople entre fuerzas y nodos no era adecuado, lo cual resultó en la migración de este elemento a uno de geometría triangular la cual permite en el nodo superior compartir información de la barra que simula una columna de la estructura.

por 49 elementos originando una matriz de 7x7. La conformación de esta matriz se genera por la necesidad de soporte de las cargas provenientes de las metodologías que se pretenden articular. El nodo superior trasmitirá las fuerzas resultantes en el cálculo matricial de estructuras siendo estas fuerzas en dirección x, en dirección y y momento en el plano xy. Los nodos inferiores estarán en contacto con el suelo modelado en elementos finitos ocasionando que solo tengan que trasferir fuerzas en dirección de los ejes principales (x, y). )* , , - )*. , ,. N4

N1

N2

)*, , -

Barra Y

2 X

Y

Elemento

)u2,v2,θ2-

v1

u2 v2

u3

v3

u4

v4

v3

N3

)*/ , ,/ -

)* , , , θ -

)* , , -

u1 u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4

u1

v1

θ1

u2

v2

u3

u1

v1

θ1

u2

v2

θ2

u1 v1 θ1 u2 v2 u3 v3

)*/ , ,/ -

u1 v1 1 θ1 u2 )u1,v1,θ1-v2 θ2

Y X

X

Es indiscutible que la matriz de rigidez del elemento que se pretendía diseñar tendría que estar conformada

La formulación de este elemento se inició con la búsqueda de compatibilidad entre matrices de rigidez, dado que un elemento finito consta de una matriz de 8x8 la cual


se compone de energías que relacionan los desplazamientos con las fuerzas necesarias para producirlos. Aquí nace el primer obstáculo ya que el elemento que se quiere diseñar debe soportar tanto fuerzas que se deriven en desplazamientos como momentos que produzcan giros; esto se presenta debido a los resultados que se obtienen del cálculo matricial de estructuras. Para iniciar el análisis del elemento de transición partimos de un elemento finito con una formulación tradicional, siendo este un elemento cuadrangular, del cual resulta una matriz de 8x8 que se denota como matriz M. Como ya se mostró, el elemento de interface planteado es triangular con dos nodos que se incluyen en la malla de elementos finitos y uno que se ubica entre el cálculo matricial y el modelo de elementos finitos creando una matriz de 7x7 que llamaremos N.

Relación Desplazamientos, Fuerzas Y Matriz De Rigidez Del Elemento Interface

La solución matemática de estos productos dará como resultado dos vectores, cuya comparación ayuda a descartar componentes invariantes de la matriz de rigidez del elemento finito y la matriz de rigidez del elemento de interface. Invariantes De Las Matrices De Rigidez, Realizada Las Operaciones Matriciales

Partiendo de la ecuación que relaciona los vectores de desplazamiento y fuerzas con la matriz de rigidez del elemento tenemos: Relación Desplazamientos, Fuerzas y Matriz De Rigidez E.F

0123453

6786493

:0

;<5<=6> :0 ?6 @A3>3B<698C

:

Identificados los términos que se comportan de forma equivalente solo resta relacionar los términos no constantes de los vectores resultantes para generar la matriz de rigidez del elemento de interface.


Los términos que no se mantienen constantes en las matriz N y M corresponden a los elementos donde se incluye el giro o momento (θ) del nodo del elemento de transición, por consiguiente las energías correspondientes a los desplazamientos del nodo 2 de la matriz M son absorbidas por la energía que genera el giro, observando que este nodo desaparece del elemento finito migrando hacia el elemento de interface e integrándose al nodo 1 en la matriz N. El resultado obtenido es:

Lograda la fundamentación teórica del elemento de interface y la construcción de la matriz de rigidez para este elemento se continúa con la verificación del funcionamiento del elemento. RESULTADOS REALIZADO

DEL

DISEÑO

La matriz de rigidez del conjunto suelo-estructura se construye con el aporte que realizan todos los elementos a partir de las contribuciones individuales que realiza cada uno de ellos. Esta

operación se conoce como ensamblaje y se justifica por la propiedad de linealidad de la integral (integral sobre toda el área=suma de las integrales sobre las subáreas).

ENSAMBLAJE

K Elemento 1 =

K Elemento 2 = E N S A M B L AJ E

ENSAMBLAJE

K Elemento n =

Para el cálculo de los desplazamientos será necesario resolver el sistema de ecuaciones matricial en el cual se integra la matriz de rigidez global del conjunto (suelo-estructura) y el vector de cargas externas,

0

F 2C9 D98C )EFG- :

=

0123453

6786493

:

?6 @A3>3B<698C

Planteada la solución de esta ecuación tenemos los desplazamientos tanto verticales como horizontales de cada nodo del modelo de análisis. En esta comprobación se grafica la deformación del suelo vs la distancia del modelo, obteniendo la gráfica que se muestra a continuación utilizando la siguiente geometría:


8.00

2.00

∆y (m)

0.10

E (t/m2)

1.00

µ

261.1 0.25

Zapata hZ (m) ∆h (m)

LZ (m) 0.40

0.10

µ

E (t/m2)

0.05

3´000.000 0.15

Columnas y Viga No Barra

E (tn/m2) 1

A (m2)

I (m4)

6

0.040

0.00013

1.00

6

0.040

0.00013

0.90

3 x 10

2

3 x 10

L (m)

Carga puntual de 20 T, en el centro de la barra No 2.

Suelo LY (m) ∆x (m)

LX (m)

3 3 x 106 0.040 0.00013 1.00 Tabla 1, Geometría validación Elemento de Interface

Se grafica el resultado de los desplazamientos de la primera fila de nodos del suelo obteniendo la siguiente grafica:

modelación por elementos finitos del suelo y el método matricial de estructuras (estructura), con el propósito de establecer la conexión de estas metodologías. CÁLCULO Y GEOMETRÍA DE LA ESTRUCTURA POR EL MÉTODO MATRICIAL Según las ecuaciones y metodología teórica del cálculo matricial de estructuras, se plantea una estructura aporticada de tres (3) barras, con dos apoyos tipo empotramiento con las siguientes dimensiones:

Longitud Suelo Vs. Desplazamiento (Asentamiento) 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Desplazamiento vertical (m)

0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05 -0.06 -0.07

Longitud horizontal del modelo Lx (m)

Ya establecido el cálculo de los desplazamientos utilizando el elemento diseñado, se debía comparar el resultado proveniente del modelo de interacción estática sueloestructura calculado en elementos finitos para verificar que estos fueran semejantes y que se logro el objetivo plantado en el inicio del proyecto. Para validar el modelo presentado, se propuso realizar el cálculo de un pórtico compuesto de tres elementos, soportado en un suelo homogéneo y elástico, a partir del análisis de la

Las condiciones para cada barra se describen en la siguiente tabla, No Barras 1 2 3

2

2

4

E (tn/m ) A (m ) I (m ) L (m) 3000000 0.040 0.00013 1.00 3000000 0.040 0.00013 0.90 3000000 0.040 0.00013 1.00

Tabla 2, Características de barras pórtico

Donde, 2

E: Módulo de elasticidad de la barra (T/m ). 2 A: Área de la sección transversal de la barra (m ). 4 I: Momento de inercia de la barra (m ). L: Longitud de la barra (m).

Se impone una carga puntual externa de 20 toneladas justo en el centro de la barra numero dos (2), con estas condiciones se calcula la matriz de rigidez de la estructura, los


desplazamientos y fuerzas resultantes en los diferentes nodos.

la matriz de rigidez, solamente del suelo.

La matriz de rigidez en coordenadas globales de la estructura está compuesta por 144 elementos resultado de 12 filas por 12 columnas.

Para las dimensiones de la prueba No. 1 resulta una matriz de 526 x 526, para un total de 276676 elementos.

Cálculo Y Geometría de Solo El Suelo En Ef

El pórtico se estudia por el método matricial de estructuras extrayendo la matriz de rigidez en coordenadas globales, teniendo una matriz de 12 x 12 con 144 elementos.

Se procede a realizar el cálculo de la matriz de rigidez en EF de solo del suelo sin tener en cuenta cargas externas o diferentes a las proporcionadas por el mismo suelo. Suelo E 2 µ (t/m ) 1.00 261.1 0.25

LX (m) LY (m) ∆x (m) ∆ y (m) 8.00

2.00

0.10

Tabla 3, Geometría Suelo en MEF

Se obtiene la matriz de rigidez de del suelo sin ningún tipo de carga externa utilizando metodología elemental de elementos finitos. Con la matriz de rigidez del suelo y la de la estructura obtenida por el método matricial de estructuras, se realiza el acople de las metodologías utilizando elemento diseñado o de interface. ACOPLAMIENTO DE MATRICES DE RIGIDEZ POR EL ELEMENTO DISEÑADO Al conocer las matrices de cada una de las metodologías se plantea su conexión mediante el uso de la matriz del elemento de interface. Se realiza la corrida del modelo del suelo en elementos finitos obteniendo

Ahora se construye la matriz única integrando los resultados de cada análisis y adicionando los elementos que componen la matriz de rigidez del elemento de transición. Queda pendiente y se hace necesario fabricar el vector de fuerzas externas para obtener desplazamientos. Este vector está compuesto por las fuerzas resultantes calculadas por el método matricial de estructuras; en los campos que no existen fuerzas se ubican ceros. Las deformaciones de la primera fila de nodos del suelo se grafica generando:


Desplazamiento vertical (m)

Longitud Suelo Vs. Desplazamiento (Asentamiento) 0.00 0.02

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0.00 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08

Longitud horizontal del modelo Lx (m)

Expuestos las deformaciones del suelo en cada uno de los modelos se procede a realizar la comparación entre los dos, verificando la homogeneidad de las deformaciones de cada uno de los modelos. Comparación de Deformaciones entre Modelos

Desplazamiento vertical (m)

0.00 0.01

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

0.00 -0.01 -0.02

Matricial_E.F

-0.03 -0.04

E.F

-0.05 -0.06 -0.07

Longitud horizontal del modelo Lx (m)

Como es evidente, en la grafica anterior se tiene una correspondencia casi exacta entre el desplazamiento producido modelando el conjunto en elementos finitos y el resultante del acople de las metodologías descritas. Comparando los desplazamientos producidos por modelos de interacción estática suelo-estructura en elementos finitos y la propuesta realizada en este proyecto, es innegable que el acople de las metodologías empleadas y ensambladas en esta investigación originan un pequeño avance en la solución de este problema, logrando minimizar tiempos de cálculo y requerimientos en hardware.

En la práctica no es el común utilizar elementos finitos para realizar diseños estructurales, teniendo que emplear metodologías más simples que han mostrado buenos resultados hasta el momento. Estos métodos de rigidez han tenido gran difusión entre los calculistas logrando un pleno y total conocimiento de la aplicación de estas metodologías. Por el contrario el MEF no es usado comúnmente en el análisis de la interacción sueloestructura debido al arduo trabajo que exige el modelamiento y el tiempo que tarda el procesamiento de la información en el software para obtener resultados. Por otra parte, es significativo tener conocimiento sobre elementos finitos, disposición del programa especializado, manipulación de gran cantidad de datos y amplia experiencia para interpretar e identificar errores en los resultados. Por esto se considero de gran utilidad continuar con los métodos tradicionales que presentan un funcionamiento adecuado para el cálculo de estructuras e incluir a los MEF en el modelamiento del suelo concibiendo una mayor aproximación al comportamiento real. La conexión generada en esta investigación entre las metodologías expuestas, logra dar continuidad al método matricial de estructuras para el cálculo de pórticos y aproximarnos al comportamiento del suelo debajo de una edificación con el apoyo de los elementos finitos.


RECOMENDACIONES TRABAJOS FUTUROS

PARA

Antes de realizar cualquier tipo de modificación al elemento propuesto el autor recomienda que se realice un análisis de sensibilidad del elemento diseñado variando la geometría del suelo y de la estructura, en búsqueda de conocer si el desplazamiento del suelo se ajusta al modelo de conjunto en elementos finitos. En el caso del presente proyecto se utiliza un elemento de tres nodos y

bidimensional como punto de partida. Con la base que sustenta este proyecto, se pueden generar elementos más sofisticados en el futuro con más nodos y tal vez tridimensionales, resultando en modelos tridimensionales del suelo y la estructura. Este proyecto deberá alentar y ser base de líneas de investigación futuras intentando acoplar modelos de cálculo matricial y de elementos finitos para la interacción dinámica del conjunto suelo-estructura.


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Trabajos citados

Amelot, M. (2010). VBA Excel 2010. ENI. Argüelles Álvarez, R. (2006). Cálculo matricial de estructuras en primer y segun orden. Madrid: Bellisco. Bowles, J. E. (1982). Foundation Analysis and Design. McGraw Hill International Book Company. Bowles, J. (1997). Foundation analysis and design . New York: McGraw-Hill. Braja, M. D. (1999). Fundamentals of Geotechnical Engineering. Sacramento: Brooks Cole. Freire Tellado, M. J. (2000). Iinteracción del Suelo, Cimiento y Eestructura. Coruña: Opto . de Tecnologia de la Construcción. Univ . de A. Coruña. GEO-SLOPE International Ltd. (s.f.). Geotechnical Engineering Recuperado el 19 de Octubre de 2011, de http://www.geo-slope.com

Software.

González de Vallejo, L., Ferrer, M., Ortuño, L., & Oteo, C. (2004). Ingeniería Geológica. Madrid: Pearson S.A. Zeevaert, L. (1980). Interacción Suelo – Estructura de Cimentación. Limusa. Zienkiewicz, O. C. (1980). El metodo de los elementos finitos. Barcelona: Reverte.

09 elemento de transición interacción suelo estructura ricardo salazar