CIL MANUAL MATE 5

1

CIL, Colegio Internacional de Líderes ® División de Apoyo Académico Manual Geometría Analítica

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Índice de Contenido 1.

SISTEMA DE COORDENADAS Y ALGUNOS CONCEPTOS _____________________ 3

2.

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO ________________________________________ 6

3.

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ______________________________________ 9

4.

RELACIONES Y FUNCIONES __________________________________________ 17

5.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS _____________________________________ 22

6.

FUNCIONES LOGARITMICAS _________________________________________ 30

7.

DISCUSION DE ECUACIONES ALGEBRAICAS _____________________________ 35

8.

EVALUACIONES ___________________________________________________ 36

9.

RESPUESTAS DE EVALUACIONES _____________________________________ 47

3

1. SISTEMA DE COORDENADAS Y ALGUNOS CONCEPTOS Distancia entre 2 puntos

Divisiรณn de un segmento en una razรณn dada

4

Coordenadas polares y cartesianas

5

6

2. ECUACIร N DE PRIMER GRADO Ecuaciรณn general de la recta.

Condiciรณn de paralelismo y perpendicularidad.

7

Diversas formas de escribir la ecuaciรณn de una recta

8 Angulo entre rectas

Distancia de un punto a una recta

Rectas y puntos notables

9

3. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Circunferencia

10

11 Parรกbola

12

13 Elipse

14 HipĂŠrbola

15

16 Identificaciรณn de cรณnicas

17

4. RELACIONES Y FUNCIONES Relaciones

18 Funciones

19

20

Funciรณn inversa

21

22

5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Ángulos y sus medidas

23 Razones trigonomĂŠtricas

24 Ă ngulos notables

25

Soluciรณn de triรกngulos rectรกngulos

Problemas

26

27 Triรกngulos oblicuos

Problemas

28

Identidades trigonomĂŠtricas

29 Ecuaciones trigonomĂŠtricas

Graficas

30

6. FUNCIONES LOGARITMICAS Definiciรณn de logaritmo

31 Propiedades de los logaritmos

32 Ecuaciones logarĂ­tmicas

33 Problemas de aplicaciรณn

34 Graficas

35

7. DISCUSION DE ECUACIONES ALGEBRAICAS Ejes de simetría con los ejes coordenados y con el origen Intersección con los ejes coordenados Ecuaciones de asíntotas Extensión de la curva

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8. EVALUACIONES Evaluación 1 Sistema de coordenadas y algunos conceptos 1) Si el punto P(x,y) está a una distancia cuatro veces mayor de y queda entre y . Encuentra las coordenadas de P 2) Si el punto medio de un segmento de recta es y un extremo del segmento es ¿Cuál es la coordenada del otro extremo?

3) Determina el área del triángulo cuyos vértices son: A(-4,-5) B(2,1) C(1,3) 4) Transforma la siguiente coordenada a su forma cartesiana A( √

5) Transforma la siguiente coordenada a su forma polar A(

√

6) Los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia son los puntos (3,4) y a. (-7,-2) encuentra el valor del radio.

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Evaluación 2 Ecuación de primer grado 1) Encuentra la ecuación de la recta (Forma simétrica) que pasa por (-1,6) y por el punto de intersección de las rectas y

2) Encuentra los ángulos que se forman con las rectas

y

3) Dado el triángulo con vértices en A(6,0) B(-2,-2) y C(2,5) encuentra: a) La ecuación de la mediatriz AB (Forma pendiente y ordenada al origen) b) La ecuación de la altura BC (Forma general) c) La ecuación de la mediana AC (Forma simétrica) 4) Determina la ecuación de la recta (Forma Simétrica) con ordenada al origen igual a 7 y que sea perpendicular a 5) Encuentra la ecuación de la recta (Forma general) que pasa por el punto de intersección de las rectas y y que es paralela a la recta

6) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,10) y que forma un ángulo de 45° con la Recta 7) Dado el triángulo con vértices en A(-3,5), B(-1,0) y C(5,3), Encuentra: a) Las ecuaciones de cada lado del triángulo (Forma general) b) El ángulo B c) La ecuación de la altura BC (Forma pendiente y ordenada al origen) d) La longitud de la altura BC 8) Encuentra la ecuación de la recta (Forma simétrica) que pasa por el punto de intersección de con el eje de las abscisas y que sea paralela a ⁄ ¿Cuál es la distancia de dicha recta al origen?

9) La distancia del punto P a la recta es igual a 4u.

Encuentra el valor de la abscisa de P si se sabe que su ordenada es 3.

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Evaluación 3 Ecuación de segundo grado 1) Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro está delimitado por los puntos A(2,4) y B(4,8) 2) Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices en A(2,-1), B(6,-1) y C(3,-4) 3) Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(-8,-7), B(-6,-9) y su centro se localiza sobre la recta

4) Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en C(-4,-1) y que es tangente a la recta . Además, determina el punto de tangencia.

5) Encuentra

la

ecuación

de la circunferencia concéntrica y que es tangente a la recta

a

6) Encuentra la ecuación de la circunferencia de radio igual a 5u y con centro en el vértice de la parábola cuyo foco es F(1,-1) y directriz 7) Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en V(3,-1) y cuya directriz es y+2=0

8) Encuentra la ecuación de la parábola que abre hacia la derecha y que tiene vértice en V(-4,-2) se sabe que el lado recto es igual a 4u.

9) Encuentra los elementos de la parábola

10) Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en V(3,-4) y que pasa por el punto P(2,-5), se sabe que el eje de simetría es horizontal.

11) En un partido de futbol, un jugador golpea la pelota y ésta describe una trayectoria parabólica que está representada con la ecuación . Encuentra la altura y alcance máximos de la pelota después de ser golpeada.

12) Encuentra la ecuación de la elipse con vértices en V1(-10,6) y V(-10,6), se sabe que el lado recto es 10u

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13) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el centro de la elipse y por el punto P(1,3).

14) Encuentra la ecuación de la elipse con vértices en V1(1,1) y V2(7,1), se sabe que la excentricidad es 15) Encuentra la ecuación de la elipse con centro en C(1,2) y que pasa por el punto P(4,6), se sabe que uno de los focos se localiza en F(6,2)

16) Encuentra la ecuación de la parábola que abre hacia abajo y pasa por el punto P(-2,0). Su vértice es el centro de

17) Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y los focos localizados sobre el eje x. Se sabe que pasa por el punto P(8,3√ ) 18) Encuentra la ecuación de la hipérbola con vértices en

y

,

su excentricidad es

19) Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en C(-4,1) y un vértice en V(2,1). Se sabe que 2b=8 20) Dadas

la

cónicas

focal de ambas cónicas

y . Encuentra la excentricidad y el ancho

40

Evaluación 4 Relaciones y funciones 1)

2)

3) Encuentra el Domino de las siguientes funciones √

√ √ 4) Encuentra el Dominio y rango de la relación, de la función y de la inversa de las siguientes reglas de correspondencia.

41

5) Escribe Verdadero o falso a) b) c) d) e) f)

Es una función Es solo una relación Es una función √ Es una función biyectiva √ Es una función inyectiva { } Es la definición de una función explicita g) f(x)= tiene inversa h) Es una función i) j)

es una función inyectiva es una función inyectiva

( ( ( ( (

) ) ) ) )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

42

Evaluación 5 Funciones Trigonométricas 1) ¿Cuál es el

sí

2) ¿Cuál es la

sí

3) ¿Cuál es el valor de la

? sí

√

?

4) Un puente de 200m de largo esta sobre un río, las dos secciones del puente rotan hacia arriba formando un ángulo de 30° para dar paso a los barcos. Un motociclista quiere saltar de una sección a otra, el sabe que puede dar saltos hasta de 25m, ¿puede el motociclista saltar de un lado a otro sin caer al rio?

5) En base a la siguiente figura formada por triángulos rectángulos encuentra el valor de ‘x’

6) Un campo triangular tiene lados que miden 212m, 255m, 168m de longitud. Encuentra el área del campo.

7) Un jugador de billar golpea la bola desde la posición A con un ángulo de 30°, después rebota en el punto B y más tarde en el punto C. La intención del jugador es que la bola entre por el agujero de la esquina D. ¿Conseguirá el jugador meter la bola o fallará?

Recuerda que si una bola de billar rebota en una banda con un ángulo θ saldrá después con el mismo ángulo θ.

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8) Demuestra las siguientes identidades

9) Dibuja la grรกfica de cada funciรณn, encuentra el dominio y el rango

(

)

44

Evaluación 6 Funciones Logarítmicas 1) Desarrolla las siguientes expresiones √

√

2) Simplifica los siguientes logaritmos

3) Resuelve las siguientes ecuaciones.

√

√

4) Se sabe que el organismo elimina un cierto medicamento de acuerdo con la función exponencial , donde t se mide en horas. a) Si después de una hora y media quedan 170mg de medicamento, ¿Qué cantidad había inicialmente? b) Para que el medicamento tenga efecto es necesario que haya por lo menos 89 mg en el organismo, ¿Cuánto tiempo como máximo debe pasar para tomar una nueva dosis del medicamento y este tenga efecto?

5) Se adquiere una maquina por $15000 si se sabe que se desprecia continuamente desde la fecha de su compra. Su valor después de t años está dada por la expresión a) ¿Cuál es el valor de la maquina después de 7 años b) ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la maquina tenga un valor de $150

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6) Determina el dominio, rango ecuación de la asíntota y la función inversa delas siguientes funciones a) b) c) d) e)

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Evaluación 7 Discusión de ecuaciones algebraicas Analiza las siguientes ecuaciones 1) 2) 3) 4)

√

5) 6)

√

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9. RESPUESTAS DE EVALUACIONES Evaluación 1 1) 2) 3) 4) (-2,2) 5) √ 6) √

Evaluación 2 1) 2) 45° y 225° 3) a) 4)

b)

c)

⁄

⁄

5) 6) 7) a) b) 85.23° c) d) 8) a)

o ,

,

√

b)

√

9) 7u Evaluación 3 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) V(2,2)

P(2,3)

LR=6 2X-7=0

10) 11) Altura máxima 8m 12) 13) 2x-y+1=0 14) 15) 16)

Alcance máximo 44m

⁄

48

17) 18) 19) 20)

√

√

Evaluación 4 {

1) 2)

} [ [

[ [

]

[

]

] [

]

[

]

3)

[ [ [

4)

] ] ]

[ ] [ ] [ ] [ [

[

5) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

F V F V V F F V V F

[

49

Evaluación 5 √

1)

2) √ 3) 4) d = 26.8cm Significa, que el motociclista en caso de saltar, se caerá al río 5) 6) A= 17691.25 cm2 7) No cae en la esquina D Evaluación 6 3) a) b)

X=2 X=3/4

c) d) e) f) g) h) i) j)

X=10000 X=22/9 X=7 √ X=9

4) a) b) t = 3 horas 5) a) $1863.84 b) t = 15.4 años

50

Evaluaciรณn 7 1)

2)

3)

4)

51

5)

6)