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Poisson    & Geometric    Probability Distributions Big Picture

Study Guides

The geometric and  Poisson probability distributions are  two other discrete  probability distributions that  are related to the binomial distribution. Both of these  probability distributions can be applied  to solve real­world problems. The geometric probability distribution is useful for determining the number of trials needed to  achieve success, while the Poisson distribution is useful for describing the number of events that will occur during a specific interval of time or in a specific distance, area, or volume.

Key Terms Geometric Distribution: The discrete probability distribution of the number of trials needed to achieve success. Poisson Distribution: The  discrete probability  distribution of  the number of  events that  occur in  a specific  time interval or space.

Geometric Probability Distribution Experiment

Geometric Distribution

Experiment consists of a sequence of independent trials

• •

The geometric distribution  is found  by calculating the geometric probabilities for n = 1, 2, 3, ....

Each trial has two outcomes: success or failure

The number  of  trials  is  not  fixed; instead,  the experiment continues until the first success

A discrete probability distribution because  n can only be whole numbers

As n increases, P(x = n) decreases

The probability  of success  is  the same  for each trial.

The experiment is essentially binomial trials repeated until  the  first  success  is  achieved,  and   then  the experiment stops

Example: the number of times a coin needs to  be tossed until the first head (success) appears

Useful  in   business  applications–example:   how many candidates  need to  be  interviewed before the perfect candidate for a job is found?

Mean for the geometric distribution: Standard deviation for the binomial distribution:

Figure: Geometric probability distributions for three  different val­ ues of p.

Probability •

Random variable X is the number of trials until the first success appears

To calculate the probability of getting a success on the nth trial, P(x = n) = (1­p)n­1(p),  where n is  a whole number  and p is the probability  of success (this value is the same for each trial)

To  directly  find the  probability  of  more  than  n trials   completed  before  there   is  one  success, you   would  need   to  sum   the  probabilities   of an   infinite  number  of   trials,  which  would   be impossible.  Instead,  use  the  complement  rule: P(x > n) = 1 ­ P(x ≤ n)

Notes

ThisguidewascreatedbyLizhiFanandJinYu.Tolearnmoreaboutthestudent authors,visithttp://www.ck12.org/about/about­us/team/interns.

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Poisson    & Geometric    Probability Poisson Probability Distribution

Experiment •

   Distributions    cont . Poisson Distribution

Experiment consists of  counting the number  of events that will  occur during a  specific interval of time or in a specific distance, area, or volume

The Poisson distribution  is found  by calculating  the

A discrete probability distribution because n can only be

Poisson probabilities for n = 1, 2, 3, ....

There  are  two   outcomes:  the   event  occurs (success) or does not occur (failure)

• •

Each event is independent

Mean for the geometric distribution: μ = λ

The probability that an event  occurs during the specified time interval or space is the same

Standard deviation for the binomial distribution:

whole numbers

The experiment is a special case where the number of binomial trials gets  larger and the probability  of success gets smaller

Example: the  number of  traffic accidents  at  a particular intersection

Useful in predicting  or estimating  a number  of things –  planes  at an  airport,  the  number of fishes caught by a fisherman, arrival times, etc.

Probability •

Random variable X is the number of events that occur (successes)

To calculate the probability of n events, , where λ is the mean number of events in the time, distance, volume, or area

•  e is approximately equal to 2.7183 •

To directly  find  the  probability  of  more  than events occuring,  you  would need  to  sum  the probabilities  of  an  infinite   number  of  trials, which would  be  impossible.  Instead,  use  the complement rule.

Figure: Poisson probability distributions for three different values of λ.

For a binomial distribution where the number of trials n ≥ 100 and the probability of success p where  np < 100, then the binomial distribution for k  successes can be  approximated with a Poisson distribution where λ = np

Graphing Calculator In a graphing calculator, we can use built­in commands to find the geometric and Poisson distributions.

Geometric Distribution The command for geometric distribution is: geometpdf(p, x). p is the probability of success, and x is the trial that we want the success to occur in. This will give us the probability of success occurring on that trial. There is another similar equation called geometcdf, which requires us to plug in two values for x: one low and one high. It will give us the probability of success occurring between those two trials.

Poisson Distribution The command for Poisson distribution is: poissonpdf(λ, x). λ is the expected number of events, and x is the number of events. This will give us the probability that x many events occurred. There is a similar command called poissoncdf, which requires us to plug in two values for x: one low and one high. This will give us the probability the number of events that occurred fell between these two numbers. If you can’t find these commands, check the manual for your graphing calculator. For the TI-83/TI-84, both commands are found by pressing [2ND][DISTR].

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CK-12 FlexBook - Poisson and Geometric Probability Distributions