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Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá FEG - UNESP Departamento de Engenharia Civil

Oscilações Raphael Bastos, graduando de Engenharia Civil

Guaratinguetá Outubro de 2009


Oscilações 1. Movimento Harmônico Simples (MHS) Um movimento pode ser considerado harmônico simples, quando a aceleração do corpo é proporcional ao deslocamento e tem sentido oposto a este, isso é, a aceleração está contra o movimento, tendo, portanto uma tendência de frear o corpo. Como exemplo, consideremos o caso de uma mola presa a um corpo de massa m, tal que, o conjunto mola-corpo é esticado até uma posição x, arbitrária. Desconsiderando o atrito, temos que, no sistema,

FR

ma

Como a força da mola é proporcional ao deslocamento (Lei de Hooke) e está no sentido contrário do movimento,

kx

a

ma

k x (aceleração de um movimento harmônico) m

Portanto, todo movimento que apresente esse tipo aceleração, contrária ao movimento e proporcional ao deslocamento, pode ser considerado movimento harmônico simples. Quando deslocamos o corpo da sua posição de equilíbrio, ele tende a voltar para sua posição inicial, tal que, em situações de movimento harmônico simples como o conjunto corpo- mola, o corpo vai ficar oscilando ao redor da sua posição de equilíbrio até que por forças externas fique nessa posição inicial. O tempo que o objeto leva para dar um ciclo inteiro, isso é, o tempo que leva para ir de uma extremo ao outro e voltar para o ponto de início do movimento é o período (T). Para quantificar o período, usamos a frequência (f), isso é, o número de ciclos por segundo, sendo o inverso do período, tal que,

f

1 (freqüência) T

Para analisarmos matematicamente o movimento harmônico simples, podemos experimentalmente ter a equação de movimento para movimentos harmônicos simples, tal que, a equação é,

x

A cos( t

) (Equação de movimento)

Temos portanto que, a equação de movimento é uma função do tempo, tal que, na equação temos,

A : Amplitude


( t

) : Fase

: freqüência angular Disto, temos que a velocidade de um corpo em movimento harmônico simples é,

dx dt

v v

A sin( t

) (Equação de velocidade)

Da mesma forma, podemos ter a aceleração em um movimento harmônico simples,

dv dt

a

2

a Mas como x

A cos( t

)

) , temos que,

A cos( t

2

a

x (Equação de Aceleração)

Conforme era previsto, a aceleração é contrária ao movimento e proporcional ao deslocamento, tal que, sabendo que a aceleração para molas, pode ser expressa usando (entre outras coisas) a massa do objeto, temos que, sendo a aceleração a molas a

2

x e a aceleração em

k x , temos que, m 2

2

k x m

x k m

k (Frequência Angular em molas) m Outra conseqüência da equação de movimento do MHS, é que podemos incrementar o valor de tempo na equação, por exemplo, se incrementarmos a função em um período,

x(t T )

A cos( (t T )

)

x(t T )

A cos( t

)

T


Como em um período o objeto volta ao ponto inicial, temos que, incrementando em t+T a função cosseno (e seno) se repete em 2 , portanto,

T

2

2 T

(Frequência angular em função do período)

Como a freqüência é o inverso do período,

2 f (Frequência angular em função da freqüência) Podemos arrumar a expressão do movimento para um MHS, considerando as expressões da freqüência angular,

x

A cos(

2 T

t

) (Equação do movimento, função do período)

Da mesma forma, podemos arrumar a equação da frequência,

f

2

(Equação da freqüência, função da freqüência angular)

Usando as equações da freqüência angular, temos uma equação da freqüência da mola,

f

1 2

k (Equação da freqüência para molas) m

É importante ressaltar que, temos depois de arrumar as equações, muitas formas para descrever o movimento harmônico simples, o uso de uma equação vai variar conforme a informação fornecida no problema, tal que, temos uma equação geral do MHS e uma equação para um MHS conhecido, quando temos problemas que usem molas, sendo que, sistemas de corpos com molas são o problema mais simples de oscilações.


Oscilações (parte Um)  

Apostila de Oscilações (parte Um)

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