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Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá FEG - UNESP Departamento de Engenharia Civil

Momentos de Inércia Raphael Bastos, graduando de Engenharia Civil

Guaratinguetá Outubro de 2009


Momentos de Inércia 1. Introdução e Definições Ao analisarmos a distribuição de forças ou tensões em elementos estruturais, como vigas e seções transversais, é comum encontramos um tipo de integral que relaciona o quadrado da posição com o elemento de área. Essa integral é chamada Momento de Inércia ou Momento de Segunda Ordem, tal que o momento de inércia tem usos na análise estrutural, mecânica dos fluidos entre outros. Para exemplificar, vamos considerar uma viga sob ação de momento M e tensão, tal que as forças aplicadas estão comprimindo a viga, conforme mostrado na figura. Considerando que a força aplicada esteja a uma altura y do eixo x, temos que, dF

kydA

FR

dF

FR

kydA A

FR

k ydA A

A integral

ydA se refere ao centro de gravidade A

da viga, isso, ao momento estático, tal que, FR y

k ydA 0

Conforme visto, temos que a viga está em equilíbrio de forças, analisando o momento que atua na viga, M

ydF

M

ky 2 dA A

M

k y 2 dA A

Portanto, conforme falado anteriormente,temos uma integral que relaciona o quadrado da posição com o elemento de área, isso é o momento de Inércia. Nos resta definir esse conceito de momento de inércia.


Seja a área A, situada no plano xy, definimos como momento de inércia de um elemento de área dA, em relação aos eixos xy, como sendo dI x y 2 (em

x 2 (em relação ao eixo y). Portanto integrando as

relação ao eixo x) e dI y funções, temos que,

y 2 dA (em relação ao eixo x)

Ix A

x 2 dA (em relação ao eixo y)

Iy A

Podemos expressar o momento de inércia de outras formas, na forma polar ou na forma de integral dupla. Forma Polar A forma polar é usada quando se quer analisar barras sob torção ou elementos estruturais que tendam a ter torção. Para o cálculo do momento de inércia polar, consideraremos os eixos xy, tal que, o elemento de área dA, está distante de da origem. Conforme visto o momento de inércia relaciona o quadrado da posição com o elemento de área. Como a posição é , temos que, o momento de inércia polar, J 0 , 2

J0

dA

A

Mas, se quisermos relacionar as posições em x,y, temos que, 2

x2

y2 2

J0

dA

A

x2

J0

y 2 dA

A

x 2 dA

J0 A

y 2 dA A

Como as integrais são o momento de inércia em relação a x e y, J0

Ix

Iy


O momento polar de inércia é, portanto, a soma dos produtos de inércia em relação aos eixos x e y.

Forma de Integral Dupla Uma forma de determinarmos o momento de inércia é usarmos integrais duplas, sendo que, esse processo é usado quando tivermos uma região definida no plano, como em figuras geométricas (como triângulos, quadrados e outros). Para tanto, consideremos, a região limitada por D {( x, y) | 0

x

x´, 0

y

y´} ,

sendo x´ pode ser função de y ou um ponto na região e y´ pode ser função de x ou um ponto na região, tal que, x´ y ´

y 2 dxdy

Ix 0 0 x´ y ´

x 2 dxdy

Iy 0 0

Exemplo 1.1 Determinar o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h, em relação ao eixo x. Repostas Como a base é b e a altura é h, temos que a região é D {( x, y) | 0 x b, 0 y h} , portanto, o momento de inércia em relação ao eixo x é, b h

y 2 dxdy

Ix 0 0 b

h

y 2 dy dx

Ix 0

0

b

Ix

1 3 h dx 3 0

Ix

1 3 bh 3

Então, um retângulo qualquer tem momento de inércia(em relação ao eixo x),

Ix

1 3 bh 3


Exemplo 1.2 Determinar o momento polar de inércia para uma seção circular de raio r. Respostas Podemos considerar um elemento circular, distante

do centro, tal que, a

distância desse elemento percorre do centro até o a distância do raio r e considerando que o ângulo percorrido é de 2 . Temos que, a região é D {( , ) | 0 r, 0 2 } , portanto, 2

r 2

J0

dA

0 0

Usando o jacobiano (transformação de sistema de coordenadas), temos que,

dA

.d .d 2

r 2

J0

.d .d

0 0 2

r 3

J0

d .d

0 0 2

1 4 r d 4

J0 0

J0

J0

2

4

1 4 r 4

r4

2. Teorema dos Eixos Paralelos Quando queremos determinar o momento de inércia, muitas vezes é necessário analisarmos o momento de inércia em uma geometria particular do elemento estrutural, visto que normalmente, os momentos de inércia são calculados tendo como referencial eixos traçados usando o centróde. Para termos práticos, o teorema dos eixos paralelos é usado para o cálculo do momento de inércia quando temos translação de eixos coordenados. Para o cálculo do momento de inércia usando o elemento de área dA, localizado em (x´,y´) tendo como referencial o centróide que dista d da origem.


A localização do elemento dA é, portanto, dA ( x´ x, y´ y )

Para o momento de inércia em relação a x, temos que, o elemento de momento de inércia é, 2

dI x

y´ y dA

O momento de inércia, portanto, é, 2

Ix

y´ y dA A

y´2 2. y´. y

Ix

2

y dA

A

A

Como

2

y´2 dA 2 y y´dA

Ix

A

y dA A

y´dA é o momento estático de x´ em relação ao centróide, mas A

como, x´ passa no centróide temos que o momento estático é 0, portanto,

y´2 dA y

Ix A

2

dA A

Como a primeira integral é o momento de inércia de x´ em relação ao centróide, temos que,

Ix

I x´

Ay

2

Podemos deduzir analogamente as expressões para o momento de inércia em relação a y, Iy

I y´

Ax

2

Na forma polar, analogamente, a expressão deve manter a forma, portanto, temos a expressão,

J0

JC

Ar 2


3. Raio de Giração Definimos como raio de giração de uma área A, em relação a um eixo x, conhecido o momento de inércia em relação a esse eixo, temos que, Ix

ix 2 A

ix 2

Ix A

ix

Ix A

Para o eixo y, temos a expressão, iy

Iy A

Se for conhecido o momento polar de inércia, temos a expressão para o raio de giração,

i0

J0 A

Exercícios Definições 1) Determine o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h, em relação ao eixo x´ do centróide (considere o eixo x´, o eixo que passa pelo centro de gravidade, como mostrado). 1 3 (Resposta: I x´ bh ¨) 12 Figura 1 - Problema 1

2) Determine o momento de inércia para um triângulo de base b e altura h em relação ao eixo x. 1 3 (Resposta: I x´ bh ) 12


3) Determine o momento polar de inércia de um semi círculo de raio r. 1 4 (Resposta: J 0 r ) 4 4) Determine o momento polar de inércia de uma elipse com pólo medindo a e vértice (semi eixo menor) b e pólo (semi eixo maior) a em relação ao centro. 1 (Resposta: J 0 ab(a 2 b 2 ) ) 4 5) Determine o momento de inércia da figura mostrada, em relação ao eixo x e ao eixo y. (Resposta: I x

ab3 e Iy 21

a 3b ) 5

Figura 2 - Problema 5

Teorema dos Eixos Paralelos 6) Determine o momento de inércia da área abaixo da curva na figura mostrada em relação ao eixo y. (Resposta: I y 9, 25.106 mm4 ) 7) Determine os momentos de inércia da figura mostrada em relação Figura 3 - Problema 6

ao baricentro, considerando que 2 I x de inércia no ponto A é J A (Resposta: I x

Figura 5 - Problema 7

1,5.106 mm 4 e I y

I y e que o momento polar

22,5.106 mm 4 .

3.106 mm 4 )

Figura 4 - Problema 8

8) Determine o momento polar de inércia da figura mostrada em relação ao centro O e ao centróide. (Reposta: 150,5.106 mm4 e 31,8.106 mm4 )


Raio de Giração 9) Determine o momento polar de inércia de um triângulo eqüilátero de lado a e o seu raio de giração em relação a um dos vértices. (Resposta: J 0

Figura 6 - Problema 10

7 3 4 a e i0 96

7 2 a ) 24

10) Determine o momento polar de inércia e o raio polar de giração na figura mostrada em relação ao ponto médio do menor lado e do maior lado. (Resposta: J 0

17 4 a , i0 6

a

17 e J0 12

4 4 a , i0 3

a

2 ) 3


Apostila de Momentos de Inercia  

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