Quesiti Ingegneria 2009 commentati e risolti

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Edizioni CISIA TEST 2009

Tutti i quesiti commentati e risolti

LA PROVA DI ACCESSO AI CORSI DI

INGEGNERIA

Tutti i quesiti commentati e risolti TEST 2009

LA PROVA DI ACCESSO AI CORSI DI INGEGNERIA

www.cisiaonline.it

Edizioni CISIA

2015



LA PROVA DI ACCESSO AI CORSI DI INGEGNERIA TEST 2009 Tutti i quesiti commentati e risolti

Edizioni CISIA

2015


Curatori: Logica:

Luisella Caire e Paola Suria Arnaldi

Comprensione Verbale:

Claudio Beccari

Matematica 1 e 2:

Gioconda Moscariello, Gabriella Zecca e Vincenzo Ferone

Scienze fisiche e chimiche:

Roberto Piazza e Paolo Sarti

Revisori: Claudio Beccari, Claudio Casarosa

Analisi e studi statistici: Giuseppe Forte, Giorgio Filippi

Impaginazione e layout: Claudio Beccari, Giuseppe Forte

Copyright

CISIA

Via Giuseppe Malagoli 12, 56124 Pisa Tutti i diritti sono riservati a norma di legge e a norma delle convenzioni internazionali

ISBN 978-88-940040-8-3 Stampato in Pisa presso Edizioni ETS - 2015


CISIA

Presidente Armando Brandolese

Politecnico di Milano

Vice presidente Bianca Maria Lombardo

Università degli Studi di Catania

Direttore Claudio Casarosa

Università di Pisa

Consiglio Scientifico Marco Abate Claudio Beccari Marco Lonzi Gioconda Moscariello Roberto Piazza Maurizio Verri

Università di Pisa Politecnico di Torino Università degli Studi di Siena Università degli Studi di Napoli Federico II Politecnico di Milano Politecnico di Milano

Consiglio Direttivo Armando Brandolese Bianca Maria Lombardo Claudio Casarosa Andrea Stella Paolo Villani

Direttore Tecnico Giuseppe Forte

Sede Via Malagoli, 12 56124 PISA www.cisiaonline.it www.facebook.com/consorziocisia www.twitter.com/consorziocisia

Politecnico di Milano Università degli Studi di Catania Università di Pisa Università degli Studi di Padova Università degli Studi di Salerno


Presentazione Il CISIA è stato costituito nel 2005 come Centro Interuniversitario per l’accesso alle Scuole di Ingegneria e Architettura, ed è andato nel tempo estendendo la propria sfera d’azione tanto che, diventato all’inizio del 2010 Consorzio Interuniversitario Sistemi Integrati per l’Accesso (stesso acronimo), si occupa attualmente sia della predisposizione che dell’attuazione delle prove di ammissione per diversi corsi delle aree di Ingegneria, Economia e Scienze delle Università Italiane. Da qualche anno il CISIA ha sviluppato l’erogazione via web dei test attraverso il progetto TOLC (Test on line CISIA), test che sono utilizzati da molte sedi in sostituzione o in modo complementare rispetto ai consueti test cartacei. I test CISIA Ingegneria, come prove di ingresso ai Corsi di Laurea di Ingegneria, sono adottati prevalentemente dai corsi di laurea ad accesso libero; i test vogliono integrare l’esame di diploma di istruzione media superiore, ma non sostituirsi ad esso. Nella maggioranza dei casi i test hanno finalità solo orientative e si inseriscono nelle iniziative che le diverse università attuano per l’orientamento in ingresso; solo per alcuni corsi di laurea a numero programmato, dove le domande di iscrizione superano i posti disponibili, i test sono utilizzati in modo selettivo. I risultati conseguiti nel test possono servire agli studenti per decidere se affrontare o non affrontare un corso di ingegneria, ma attualmente servono anche agli Atenei per ottemperare al dettato della legge che prescrive di verificare la presenza di eventuali carenze formative e di fornire, agli studenti che ne abbiano bisogno, gli strumenti necessari per colmarle. Per questo gli Atenei, nei loro regolamenti, indicano il tipo di carenze e, in genere, definiscono gli Obblighi Formativi Aggiuntivi (OFA) che gli studenti, se carenti, debbono soddisfare. Si tenga presente che in proposito la legge è severa ed impone agli studenti con carenze di colmarle entro il primo anno di studi universitari. È ovvio che l’informazione fornita mediante il test di ammissione, con l’eventuale attribuzione degli OFA, è vitale per gli studenti carenti; non viene impedito loro di immatricolarsi, ma se gravati da OFA avranno un carico didattico piuttosto forte che, per i più deboli di loro, potrebbe risultare eccessivo. Nel caso dei corsi di laurea per i quali gli Atenei hanno imposto il numero programmato locale, il test ha valore di concorso di ammissione. Nel caso dei corsi di laurea per i quali gli Atenei hanno imposto il numero programmato, il Test ha valore di concorso di ammissione. Tuttavia, non entrare in graduatoria in posizione utile di solito non impedisce l’immatricolazione nella Facoltà, nel senso che l’immatricolazione è in genere comunque concessa per altri corsi di laurea non troppo dissimili, ma per i quali non sia stabilita nessuna quota massima di immatricolati. Ogni Ateneo, che partecipa al test CISIA, pubblica i risultati ottenuti dagli studenti che hanno svolto la prova presso le proprie sedi. Si tenga presente che, poiché la prova di ammissione per Ingegneria è identica e simultanea sul territorio nazionale, il test ha valore nazionale non solo dal punto di vista culturale, ma anche da quello amministrativo: al momento dell’iscrizione in uno degli atenei partecipanti alla prova CISIA, lo studente potrà presentare il risultato che ha ottenuto nella sede in cui ha sostenuto la prova. Ovviamente il trasferimento del risultato non è consentito per iscriversi ad un corso di laurea a numero programmato locale. Questo piccolo volume si propone di offrire un utile riferimento agli studenti intenzionati ad affrontare il test di ammissione ad Ingegneria, in modo che sappiano che cosa ci si aspetta da loro ed acquisiscano un minimo di dimestichezza con il tipo di quesiti che troveranno nella prova. Il volume si apre con una breve descrizione delle caratteristiche del test CISIA cartaceo, in cui vengono illustrate le sezioni in cui è articolata la prova, tipo e numero dei quesiti e tempo a disposizione per affrontarli. Le conoscenze richieste di Matematica e Scienze Fisiche e Chimiche sono dettagliate in appositi sillabi. Vi sono inoltre indicati i tipi di punteggio in cui sono espressi i risultati del test. A queste prime informazioni segue un’importantissima sezione dedicata alla


affidabilità ed alla capacità predittiva del test che dovrebbe essere letta con molta attenzione soprattutto dagli studenti che affronteranno la prova di ingresso. Si tratta per loro di comprendere che il risultato conseguito nel test è un indicatore statistico fortemente correlato alla futura carriera universitaria; in questo senso potranno trarne utili indicazioni sul grado di impegno a cui sono chiamati per evitare difficoltà ed eccessive delusioni. Il volume riporta poi interamente un test con tutte le sezioni e tutti i quesiti; si tratta del test effettivamente predisposto dal CISIA ed erogato nella prova dell’anno 2009, così come fu presentato ai circa 28.000 candidati che in quell’anno lo affrontarono. In questo modo coloro che intendono cimentarsi nell’intero test, o in una o solo in alcune delle cinque sezioni, potranno farlo secondo il tempo prescritto senza essere interrotti o distratti dalla presenza di soluzioni e commenti. Infine il volume riporta l’intero test 2009 risolto e commentato. Ciascuna sezione viene preceduta da una breve introduzione dove, dopo alcune considerazioni di carattere generale, viene fornita la distribuzione statistica dei punteggi ottenuti in quella specifica sezione dai candidati nella prova del 2009. Ciò permette al lettore, che tenti di svolgere i quesiti nel tempo assegnato, di capire dove si sarebbe eventualmente collocato acquisendo un certo punteggio. Insieme ai quesiti vengono presentate le rispettive soluzioni, ciascuna con un relativo commento esplicativo da parte di un esperto. Alla conclusione del commento, relativamente ai risultati della prova del 2009, sono riportate, in termini statistici, le percentuali ottenute da ciascuna delle cinque risposte proposte per il quesito in oggetto, ed infine le percentuali dei candidati che hanno risposto correttamente al quesito o non hanno dato nessuna risposta o hanno risposto in modo errato. Si tratta di dati utili per avere indicazioni sulla difficoltà incontrata nel rispondere al quesito. In proposito, per interpretare correttamente i dati statistici, non si deve dimenticare che i candidati hanno avuto a disposizione per ciascuna sezione trenta minuti, e non di più, ed il tempo, quanto la difficoltà dei quesiti, sono elementi parimenti determinanti nello svolgimento della prova. Gli esperti che hanno curato questo volumetto sono professori dell’università e della scuola media superiore che hanno fatto o continuano a far parte di gruppi di lavoro a cui è affidata la formulazione dei quesiti. I loro commenti non indicano banalmente la risposta esatta ad ogni quesito, ma spiegano perché quella risposta è esatta e perché ciascuna delle altre è sbagliata. Queste spiegazioni nel loro complesso offrono ai lettori delle linee guida per imparare ad affrontare quesiti a risposte multiple chiuse che, come per il passato, sicuramente ancora negli anni a venire caratterizzeranno la prova CISIA. Prof. ing. Claudio Casarosa Direttore del CISIA


Indice Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TEST CISIA

La struttura del test . . . . . . . . . . . Come è espresso il risultato del test . . . I sillabi . . . . . . . . . . . . . . . . . Prova di ingresso e carriera universitaria

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TEST CISIA – Versione originale

Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il test commentato

Logica . . . . . . . . . . . Comprensione verbale . . Matematica 1 . . . . . . . Introduzione . . . . . . . . Scienze fisiche e chimiche Matematica 2 . . . . . . . Conclusione . . . . . . . .

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5

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3

6

7 8 9 10

15 16

43

45 . 71 86 86 103 126 135


Parte prima TEST CISIA

6


La struttura del test La prova di ingresso per corsi di laurea triennale delle Facoltà di Ingegneria si fonda su un test con caratteristiche che sono praticamente immutate dall’anno 2002. Il test consiste in una serie di quesiti (o esercizi) da affrontare con il metodo della scelta fra cinque risposte chiuse proposte per ogni quesito. Delle cinque risposte una sola è esatta, generalmente una è stravagante o assurda o impossibile, e le altre tre sono errate, ma plausibili. Il Test complessivamente risulta composto da 80 quesiti da affrontare in 2 ore e 30 minuti. La struttura del Test è basata sulla suddivisione dei quesiti in più sezioni tematiche. Le sezioni sono presentate in successione secondo un ordine preciso e debbono essere tassativamente affrontate in tale ordine. Il tempo concesso per affrontare ciascuna sezione è prestabilito e controllato; scaduto il tempo concesso per rispondere ai quesiti della sezione, si deve obbligatoriamente passare alla sezione successiva. Non è permesso in nessun caso tornare indietro alle sezioni precedenti, né si può passare alla sezione successiva prima che il tempo prestabilito sia trascorso. Le sezioni del Test CISIA in cui sono suddivisi i quesiti sono cinque e si succedono nell’ordine riportato qui di seguito. Logica La sezione serve per esaminare le capacità logiche degli studenti; la logica in quanto tale non è materia di studio nelle scuole secondarie, ma si suppone che, alla fine di un percorso formativo lungo tredici anni, i diplomati siano del tutto in grado di sviluppare ragionamenti non contraddittori. I quesiti riguardano sia successioni di numeri e/o di figure, disposte secondo ordinamenti da individuare, sia proposizioni seguite da varie affermazioni di cui una soltanto logicamente deducibile dalle premesse contenute nella proposizione di partenza. La sezione è composta da 15 quesiti, con 30 minuti concessi per lo svolgimento. Comprensione verbale Questa sezione, invece, serve per controllare la capacità di comprensione dello studente attraverso la lettura di tre brani scritti. I testi, di livello parauniversitario, sono di tipo divulgativo; prevalentemente riguardano argomenti di storia della scienza, di filosofia della scienza, di sociologia. Generalmente non implicano nessuna nozione pregressa, ed anzi, si chiede agli studenti di rispondere in base a ciò che è scritto nel testo, prescindendo da eventuali informazioni che lo studente possa già avere acquisito precedentemente. Per la sezione il tempo concesso è di 30 minuti, con 5 quesiti per ciascuno dei tre brani per complessivi 15 quesiti. Matematica 1 Questa prima sezione di matematica serve prevalentemente per accertare il possesso delle conoscenze di base di matematica; queste conoscenze sono quelle che sono sviluppate in tutte le scuole primarie e secondarie inferiori e in quasi tutte le scuole secondarie superiori, escludendo le conoscenze di analisi matematica che solitamente vengono impartite nell’ultimo anno dei Licei Scientifici. In particolare sono richieste le nozioni fondamentali di Matematica riportate successivamente nel sillabo della pagina 9. La sezione è costituita da 20 quesiti con un tempo di svolgimento di 30 minuti. Scienze fisiche e chimiche La sezione, la cui importanza non può sfuggire in vista di una possibile immatricolazione in una facoltà di ingegneria, serve a verificare le conoscenze e le competenze acquisite in Chimica e in Fisica secondo i programmi svolti in molte scuole secondarie superiori. È vero che la Fisica e la Chimica verranno riprese nei primi anni delle facoltà di Ingegneria, ma arrivare ai corsi universitari di queste materie senza nessuna preparazione può essere molto controproducente. Ne segue che se la Chimica e/o la Fisica non vengono sviluppate in una qualche scuola, il cui diploma di maturità consente, però, l’accesso alla facoltà di Ingegneria, i diplomati in queste scuole faranno molto bene a prepararsi per affrontare questa sezione del test. In particolare sono richieste le nozioni di Fisica e Chimica 7


riportate successivamente nel sillabo della pagina 9. La sezione è costituita da 20 quesiti con un tempo di svolgimento di 30 minuti. Matematica 2 Questa seconda sezione di matematica serve per verificare le competenze matematiche o, in altri termini, la capacità di usare le nozioni di matematica che si possiedono. Non sempre possedere le conoscenze di matematica, implica saperle usare nell’affrontare problemi effettivi, e perciò questa sezione si propone appunto di verificare questa abilità. Naturalmente le nozioni matematiche di cui si vuole sondare la capacità d’uso sono quelle fondamentali verificate nella precedente sezione di Matematica 1. La sezione è costituita da 10 quesiti con un tempo di svolgimento di 30 minuti.

Come è espresso il risultato del test Il risultato ottenuto da ogni candidato è basato sul numero di risposte esatte, errate e non date che egli ha conseguito in ogni sezione e nel complesso dell’intero test. Questa informazione è la più elementare possibile e, partendo da questa, le diverse sedi universitarie possono poi attribuire punteggi sia secondo propri criteri sia secondo criteri condivisi. Per questo motivo, nel caso in cui lo studente voglia iscriversi in una sede diversa da quella in cui ha sostenuto la prova, il risultato espresso in termini di numero di risposte esatte, errate e non date per ogni sezione è quello che potrà essere sempre trasferito da sede a sede senza equivoci. Un criterio adottato dal CISIA, e generalmente usato da molte sedi, è quello in cui la valutazione del risultato ottenuto dai candidati è fatta in modalità assoluta. In questa modalità l’individuazione della risposta esatta comporta l’attribuzione di 1 punto, mentre per una risposta sbagliata è attribuito un punteggio di −1/4 di punto, ed infine, per i quesiti a cui non si è data alcuna risposta, non è assegnato alcun punteggio o penalizzazione di sorta. Questo sistema di punteggio in termini statistici neutralizza i punti ottenibili scegliendo, in modo del tutto casuale, una tra le cinque risposte proposte per ciascun quesito e rispondendo poi a caso a tutti i quesiti. Il sistema di punteggio adottato fornisce in modo diretto un valore numerico (con segno) da assumere come punteggio, e per il quale è opportuno distinguere tra: Punteggio di Sezione o Parziale: è la somma algebrica dei punteggi dei quesiti di quella sezione; Punteggio Test o Totale: è la somma algebrica dei punteggi dei quesiti dell’intero Test. Il Punteggio è una grandezza sintetica del tutto espressiva dal punto di vista statistico, soprattutto in caso di popolazioni sufficientemente numerose, ma non è utilizzabile quando invece si desidera assegnare ai candidati una valutazione quanto più possibile insensibile alle inevitabili variazioni di difficoltà che il test presenta per popolazioni di sedi diverse, o di anni diversi. Per questo scopo, presso molte sedi universitarie, si ricorre ad una valutazione fatta in modalità relativa che si traduce in un valore numerico, il Voto Normalizzato, espresso in centesimi o talvolta in millesimi. In questo tipo di elaborazione si usano sostanzialmente gli stessi metodi usati per il GRE (General Requirement Examination) svolto da ETS (Educational Testing Service), prestigioso ente statunitense che ha istituito questo genere di test psicometrici. Come per il punteggio, è opportuno distinguere tra: Voto di Sezione o Parziale: ottenuto rapportando il Punteggio Parziale a quello medio dei migliori punteggi della sezione, in genere i migliori dieci; Voto Test o Totale: ottenuto dalla media pesata dei voti normalizzati di ogni sezione. 8


Esiste infine una ulteriore grandezza, tradizionalmente usata in alcune sedi per stabilire una graduatoria tra i partecipanti al Test di Ingegneria. Essa è nota come Indice Attitudinale ed è ottenuta come media pesata del Voto Test (normalizzato) e del Voto di Maturità riportato nell’esame di Diploma di Istruzione Superiore. Sulla base di studi statistici effettuati in alcune sedi universitarie, i pesi del Voto Test e dell’Esame di Maturità sono quasi unanimemente assunti identici ed uguali a 0,5.

I sillabi Con sillabo (o, latineggiando, syllabus) si intende il programma dettagliato di un insegnamento. In questo caso i sillabi indicati indicano su che cosa verteranno i quesiti di ogni sezione. I quesiti di Logica e di Comprensione verbale sono volti a saggiare le attitudini dei candidati piuttosto che accertare acquisizioni raggiunte negli studi superiori. Esse non richiedono, quindi, una specifica preparazione preliminare.

Matematica 1 e 2 Aritmetica ed algebra Proprietà e operazioni sui numeri (interi, razionali, reali). Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi ed esponenziali. Calcolo letterale. Polinomi (operazioni, decomposizione in fattori). Equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado o ad esse riducibili. Sistemi di equazioni di primo grado. Equazioni e disequazioni razionali fratte e con radicali. Geometria Segmenti ed angoli; loro misura e proprietà. Rette e piani. Luoghi geometrici notevoli. Proprietà delle principali figure geometriche piane (triangoli, circonferenze, cerchi, poligoni regolari, ecc.) e relative lunghezze ed aree. Proprietà delle principali figure geometriche solide (sfere, coni, cilindri, prismi, parallelepipedi, piramidi, ecc.) e relativi volumi ed aree della superficie. Geometria analitica e funzioni numeriche Coordinate cartesiane. Il concetto di funzione. Equazioni di rette e di semplici luoghi geometrici (circonferenze, ellissi, parabole, iperboli, ecc.). Grafici e proprietà delle funzioni elementari (potenze, logaritmi, esponenziali, ecc.). Calcoli con l’uso dei logaritmi. Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Trigonometria Grafici e proprietà delle funzioni seno, coseno e tangente. Le principali formule trigonometriche (addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione). Equazioni e disequazioni trigonometriche. Relazioni fra elementi di un triangolo.

Scienze fisiche e chimiche Meccanica Si presuppone la conoscenza delle grandezze scalari e vettoriali, del concetto di misura di una grandezza fisica e di sistema di unità di misura; la definizione di grandezze fisiche fondamentali (spostamento, velocità, accelerazione, massa, quantità di moto, forza, peso, lavoro e potenza); la conoscenza della legge d’inerzia, della legge di Newton e del principio di azione e reazione. Ottica I principi dell’ottica geometrica; riflessione, rifrazione; indice di rifrazione; prismi; specchi e lenti concave e convesse; nozioni elementari sui sistemi di lenti e degli apparecchi che ne fanno uso. 9


Termodinamica Si danno per noti i concetti di temperatura, calore, calore specifico, dilatazione dei corpi e l’equazione di stato dei gas perfetti. Sono richieste nozioni elementari sui principi della termodinamica. Elettromagnetismo Si presuppone la conoscenza di nozioni elementari d’elettrostatica (legge di Coulomb, campo elettrostatico e condensatori) e di magnetostatica (intensità di corrente, legge di Ampère, legge di Ohm e campo magnetostatico). Qualche nozione elementare è poi richiesta in merito alle radiazioni elettromagnetiche e alla loro propagazione. Struttura della materia Si richiede una conoscenza qualitativa della struttura di atomi e molecole. In particolare si assumono note nozioni elementari sui costituenti dell’atomo e sulla tavola periodica degli elementi. Inoltre si assume nota la distinzione tra composti formati da ioni e quelli costituiti da molecole e la conoscenza delle relative caratteristiche fisiche, in particolare dei composti più comuni esistenti in natura, quali l’acqua e i costituenti dell’atmosfera. Simbologia chimica Si assume la conoscenza della simbologia chimica e si dà per conosciuto il significato delle formule e delle equazioni chimiche. Stechiometria Deve essere noto il concetto di mole e devono essere note le sue applicazioni; si assume la capacità di svolgere semplici calcoli stechiometrici. Chimica organica Deve essere nota la struttura dei più semplici composti del carbonio. Soluzioni Deve essere nota la definizione di sistemi acido–base e di pH. Ossido–riduzione Deve essere posseduto il concetto di ossidazione e di riduzione. Si assumono nozioni elementari sulle reazioni di combustione.

Prova di ingresso e carriera universitaria Il Test CISIA per l’accesso alle Facoltà di Ingegneria si è rivelato nel tempo uno strumento di oggettiva affidabilità statistica. Anche se non è sostenibile che una singola prova, basata su quesiti a risposta multipla, sia sufficiente per sondare le capacità intellettive di ordine superiore di un essere umano, è tuttavia assodato che su un grande numero di studenti essa possa fornire indicazioni statisticamente attendibili sulle attitudini per specifici studi come quelli di ingegneria. In altre parole il Test, pur grossolano per sua natura, risulta uno strumento di orientamento del tutto valido e coloro che, appena conseguito il diploma di maturità, si trovano a scegliere fra le numerose facoltà universitarie, possono utilizzarlo per valutare in modo più consapevole se immatricolarsi o meno nelle facoltà di Ingegneria, e comunque per trarne indicazioni sull’intensità dell’impegno che dovranno profondere negli studi per evitare difficoltà e delusioni. Allo scopo è sufficiente che essi tengano presente la capacità predittiva del Test, ovvero come la graduatoria formulata sulla base dei risultati ottenuti sia statisticamente correlabile alla successiva carriera universitaria dei partecipanti alla prova. La capacità predittiva del Test è fondata sul monitoraggio delle carriere effettuato in alcune sedi universitarie, a cui fanno seguito studi statistici sulla correlazione esistente tra carriere universitarie degli studenti e risultato da loro ottenuto nel test. Dal momento che, in conformità all’attuale ordinamento degli studi, esistono differenze rilevanti non solo tra i diversi corsi di laurea in ingegneria, ma anche tra corsi di laurea in ingegneria di identica denominazione appartenenti ad Atenei diversi, è preferibile condurre analisi statistiche distinte per le sedi universitarie, onde evitare rilevanti disomogeneità nei dati da analizzare. Ciò nonostante il monitoraggio delle carriere 10


Figura 1: Suddivisione in decili conferma l’esistenza di una indubbia correlazione statistica con i risultati del test, ed inoltre gli studi di questo tipo, condotti in diverse sedi universitarie, sono tutti concordanti nel confermare una tale correlazione. Per evidenziare la correlazione tra Test e carriera, si opera con la procedura schematizzata nella figura 1. Sulla base dei risultati nel Test è stilata una graduatoria dei partecipanti poi suddivisa in gruppi (quantili) di uguale numerosità; quando sono 10 o 20 si parla rispettivamente di decili o ventili. I gruppi sono numerati in genere in ordine crescente con i risultati, per esempio al primo decile corrispondono i risultati più bassi, al decimo decile quelli più alti. La posizione dello studente è statisticamente identificata dalla appartenenza ad un gruppo, per esempio al primo decile o al secondo e così via. Nel corso degli anni viene seguita la carriera accademica degli allievi che dopo la prova di ammissione si iscrivono alla facoltà di ingegneria, rilevando per ciascuno di essi la sequenza degli esami sostenuti e i voti conseguiti. L’analisi statistica di questi dati mostra una indubbia correlazione fra gruppo di appartenenza (per esempio il numero del decile) e il profitto riportato dall’allievo nel corso degli studi, espresso come media dei voti, progressione nell’acquisizione dei crediti, ed eventuale punteggio di laurea. Per dare concretezza a queste affermazioni sarà illustrato qui di seguito uno studio riguardante coloro che, dopo aver partecipato nel 2009 al Test CISIA presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università di Pisa, si sono iscritti a quella facoltà nell’anno accademico 2009-2010; si tratta di una popolazione di 1146 studenti. I dati delle loro carriere coprono quattro anni accademici, ovvero il periodo tra l’anno di iscrizione e lo scorso 2014. Il risultato della prova in termini di distribuzione percentuale dei candidati sul Punteggio Test ottenuto è riportato nella figura 2 dove ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Test compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse. Naturalmente, poiché i punteggi indicati in ascisse sono quelli che derivano dall’attribuzione di un punto per ogni risposta giusta e di −0,25 punti per ogni risposta errata, teoricamente essi potrebbero variare tra −20 e +80 punti. In realtà si hanno minime percentuali di candidati che ottengono punteggi complessivi negativi e praticamente nessuno totalizza punteggi inferiori a −5. 11


confronto distribuzione Punteggio Totale

18%

100,00% 90,00%

16%

80,00%

14%

70,00% 12% 60,00% 10%

2009 cum 2009

50,00%

8% 40,00% 6% 30,00% 4%

20,00%

2%

10,00%

0%

0,00% -4

0

4

8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 <80 80

Figura 2: Distribuzione dei punteggi del test 2009 a Pisa A partire dal Punteggio Test ottenuto dagli oltre 1000 immatricolati è stata formata una graduatoria e quindi si è operata una suddivisione in decili, ciascuno mediamente costituito da 115 studenti, ordinandoli in modo crescente secondo il rispettivo valore medio del Punteggio Test. Nella figura 3 sono riportati per ogni decile i rispettivi valori medi del Punteggio Test e le distribuzioni percentuali sia degli studenti laureati entro l’anno 2014, sia di coloro che alla medesima data hanno abbandonato gli studi o comunque non hanno sostenuto alcun esame. Premesso che il tempo legale per conseguire il primo livello di laurea è di tre anni, la figura mostra che, dopo quattro anni di studi, i laureati sono in massima parte studenti che nella prova di ammissione si erano classificati nei cinque decili più alti; più precisamente il 55% dei laureati appartengono a questi decili. Viceversa gli studenti che non hanno sostenuto esami o hanno abbandonato gli studi appartengono per la maggior parte ai cinque decili più bassi: il 55% degli “abbandoni” provengono confronto carriera - punteggio test

60

MEDIA PT

%LAUREATI

60%

% ABBANDONI

55%

50

50% 45%

40

40% 35%

30

30% 25%

20

20% 15%

10

10% 5%

0

0% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 3: Carriera degli studenti immatricolati a Pisa nel 2009 in base al decile di appartenenza 12


media voti esami per ogni anno 26,00 25,50 MEDIA 1 MEDIA 2

25,00

MEDIA 3 24,50

MEDIA 4

24,00 23,50 23,00 22,50 22,00 21,50 21,00 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 4: vot medi superati alla fine del primo, secondo,. . . , quarto anno di immatricolazione dagli studenti immatricolati a Pisa nel 2009 suddivisi per decili di appartenenza crediti medi per ogni decile e punteggio test medio

60,00

140,00

MEDIA PT CREDITI MEDI 120,00

50,00

100,00 40,00 80,00 30,00 60,00 20,00 40,00

10,00

20,00

0,00

0,00 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 5: Crediti medi superati in quattro anni dagli studenti immatricolati a Pisa nel 2009 suddivisi per decili di appartenenza da questi decili. I dati relativi all’acquisizione di crediti formativi, ed alla media dei voti ottenuti negli esami durante i quattro anni di studio, sono riportati nella figura 5 e confermano le indicazioni precedenti. Da osservare che in termini di crediti acquisiti la differenza tra i decili alti e quelli bassi è molto notevole e, dal momento che un intero anno di studi ammonta a 60 crediti complessivi, gli studenti del decile più basso si trovano dopo quattro anni dall’iscrizione a circa un nono degli studi che avrebbero dovuto compiere in tre, con una media dei voti ottenuti negli esami di profitto intorno ai 22 trentesimi. Ammesso che si possa procedere per proporzionalità diretta, se quegli studenti mediamente hanno superato 30 crediti in 4 anni (cioè mediamente 7,5 crediti all’anno), occorreranno 13


loro più di 45 anni per terminare il triennio (180 crediti); la prospettiva è “terrificante”! In conclusione, grazie alla sua predittività, il Test CISIA non presenta tanto le caratteristiche di una “prova a soglia”, quanto mostra la capacità di discriminare gli studenti in modo del tutto rispondente ad un’efficace azione di orientamento. La prova di ammissione, limitatamente alla sola finalità orientativa, ha un suo oggettivo valore intrinseco, sul quale tutti coloro che intendono seguire gli studi in ingegneria sono invitati a riflettere attentamente. Una volta affrontata la prova, si dovrebbe meditare con molta attenzione sul risultato conseguito, specialmente se esso si colloca nella parte più bassa della graduatoria. L’iscrizione dello studente alla facoltà di ingegneria in questo caso dovrà essere accompagnata dalla consapevolezza che gli sono richiesti uno sforzo ed un impegno senza i quali il successo negli studi è altamente improbabile. Lo studente è comunque invitato a non dimenticare che le analisi statistiche, per loro natura, prescindono dalle singole individualità e che quindi il suo risultato potrebbe essere influenzato dalle condizioni e dal modo in cui egli ha affrontato la prova: nessuno può essere miglior giudice di se stesso sulla attendibilità del risultato che ha conseguito.

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Parte seconda TEST CISIA 5 settembre 2009 Versione originale

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Premessa Nelle pagine seguenti è interamente riportato il Test erogato nella prova nel settembre 2009. Si è scelto di riprodurne fedelmente la forma di stampa, ma si è fatta eccezione per la colorazione di fondo delle pagine che nell’originale contraddistingue le diverse sezioni tematiche e che svolge solo un ruolo di controllo visivo per le commissioni che in aula sovrintendono al corretto svolgimento della prova. La riproduzione della prova tal quale, senza che alla fine di ogni quesito sia segnalata la sua soluzione o sia introdotto un qualche commento sulle nozioni coinvolte, permette al lettore che lo voglia di cimentarsi nella soluzione di una o più sezioni tematiche, ed eventualmente di affrontare l’intero test. Naturalmente, nel caso che sia soltanto la curiosità a spingere il lettore a una tale impresa, non è necessario seguire particolari regole nello svolgimento dell’esercizio. Viceversa, qualora il lettore voglia attuare una simulazione realistica di una prova di accesso alla facoltà di ingegneria, deve ricordare che tanto il tempo assegnato per rispondere, quanto la diversa difficoltà che presentano i quesiti, hanno entrambi una influenza determinante sul risultato ottenuto dai partecipanti alla prova reale. È dunque essenziale che sia rispettato rigorosamente, per ogni sezione, il tempo assegnato per rispondere ai quesiti (trenta minuti). In questo modo, mediante la consultazione delle soluzioni riportate nell’ultima parte del volume, sarà possibile assumere come verosimile il risultato raggiunto nella simulazione in termini di risposte corrette, errate e non date. Il numero delle risposte corrette, errate e non date potrà poi essere tradotto facilmente dal lettore in un suo Punteggio Test che, mediante l’uso di un diagramma quale quello della figura 3, indicherà approssimativamente a quale decile egli sarebbe appartenuto se avesse partecipato nel 2009 alla prova, in questo caso, nella sede universitaria di Pisa. Ne trarrà infine l’informazione statistica più importante su quale avrebbe potuto verosimilmente essere la sua successiva carriera universitaria.

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LOGICA 1.

Nella Repubblica di Arraffa NON è vero che Ogni parlamentare è persona onesta e competente Dunque, nella Repubblica di Arraffa: A. qualche parlamentare non è onesto oppure non è competente B. ogni parlamentare o è onesto, ma non competente, oppure è competente, ma non onesto C. qualche parlamentare è onesto e competente D. le persone oneste e competenti non diventano mai parlamentari E. nessun parlamentare è onesto e competente

2. Volendo disporre i numeri 28

29

36

43

55

in modo che i dispari occupino una posizione dispari ed i pari occupino una posizione pari, in quanti modi diversi si può operare? A. B. C. D. E. 3.

3 24 12 5 6

La signora QKX è stata strangolata nel proprio salotto. Il commissario ZYW non crede che l’imputato di omicidio (il quale si difende vibratamente dichiarando la propria innocenza) non si sia recato a casa della vittima nell’intervallo di tempo nel quale la stessa ha perso la vita. Si può dedurre che: A. sicuramente l’imputato non è colpevole B. il commissario ZYW è convinto che l’imputato non si sia recato a casa della vittima nell’intervallo di tempo nel quale la stessa ha perso la vita C. per il commissario ZYW l’imputato certamente non è colpevole D. sicuramente l’imputato è colpevole E. il commissario ZYW non esclude che l’imputato abbia strangolato la signora QKX

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4.

Nell’atrio di ingresso di un condominio è appeso un cartello con il seguente avviso: È permesso giocare a calcio in cortile, tranne che dalle ore 13.00 alle ore 16.00 e di domenica Se ne può dedurre che in quel condominio: A. non è vietato giocare a calcio in cortile alle ore 12.00, purché non sia domenica B. non è vietato giocare a calcio in cortile la domenica dalle ore 16.00 in poi C. nei giorni diversi da domenica è vietato non giocare a calcio in cortile prima delle 13.00 e dopo le 16.00 D. non è vietato giocare a calcio in cortile alle ore 14.00, purché non sia domenica E. non è vietato giocare a calcio in cortile alle ore 14.00, purché sia domenica

5.

Con quale coppia di numeri continuereste la seguente successione di interi? 1, 2; 2, 4; 5, 8; 10, 14; 17, 22; 26, 32; . . . , . . . A. B. C. D. E.

6.

40, 80 46, 64 40, 67 37, 44 44, 16

Nonno Peperino non ricorda più la combinazione del suo forziere elettronico. Egli ricorda solo che: • è di quattro cifre distinte fra 0 e 9 • non vi compare il 4 • la terza cifra è la metà della quarta • le cifre sono in ordine crescente dalla prima all’ultima Qual è il minimo numero di tentativi che Nonno Peperino deve fare per essere sicuro di aprire il forziere? A. B. C. D. E.

3 4 5 6 2

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7.

Due giocatori, Aldo e Bruno, a turno dispongono su una scacchiera 3 × 3, una per volta, pedine identiche tutte nere. Vince il primo giocatore che riesce a completare un terzetto in una fila orizzontale, verticale o una delle due diagonali. Quante sono le mosse con cui può iniziare la partita il primo giocatore (Aldo) in modo da potersi garantire la vittoria indipendentemente da come giocherà Bruno? A. 8 B. 1 C. 0, nel senso che Bruno può sempre rispondere in modo opportuno e garantirsi la vittoria D. 5 E. 9

8.

Franco il tabaccaio ha in cassa 195 euro e non ha monete. Un cliente gli chiede se ha da cambiare 10, 20, 50 o 100 euro, ma Franco risponde a malincuore di no a tutte le richieste. Quanti pezzi da 20 euro ha in cassa Franco? A. B. C. D. E.

9.

1 4 3 2 0

Il cuoco Giovanni osserva che cucinando l’arrosto se non si usa il forno a gas la carne o è cruda all’interno o è bruciata all’esterno o entrambe le cose. Quindi se ne deduce che A. se l’arrosto ha l’interno ben cotto è stato cotto nel forno a gas B. se l’arrosto ha l’interno ben cotto o non è bruciato all’esterno è stato cotto nel forno a gas C. se l’arrosto ha l’interno ben cotto e non è bruciato all’esterno è stato cotto nel forno a gas D. se l’arrosto è crudo all’interno non è stato cotto nel forno a gas E. se l’arrosto è stato cotto nel forno elettrico la carne è cruda all’interno e bruciata all’esterno

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10.

Il grande teorico dei numeri Kontakerikonta ha scoperto i numeri Incredibili; egli non sa ancora se essi siano in numero finito, però ha fatto la seguente congettura: • se sono infiniti, almeno uno di essi deve avere 8 fattori primi distinti Il suo allievo Rikontoijo studiando con cura questi numeri, dimostra che la congettura di Kontakerikonta è falsa. Dunque Rikontoijo ha provato che: A. se i numeri Incredibili sono una quantità finita, nessuno di essi ha 8 fattori primi distinti B. se i numeri Incredibili sono una quantità finita, tutti hanno 8 fattori primi distinti C. i numeri Incredibili sono infiniti D. i numeri Incredibili sono infiniti e nessuno di essi ha 8 fattori primi distinti E. i numeri Incredibili sono infiniti e hanno tutti 8 fattori primi distinti

11.

Gli archeobatteri sono organismi unicellulari che vivono in stagni e si riproducono per scissione (cioè ogni batterio si divide in due e forma due altri batteri uguali). Se si immette un archeobatterio in un certo stagno, esso ogni giorno si riproduce per scissione una sola volta, e dopo 30 giorni la superficie dello stagno è completamente ricoperta dai batteri. Quanti giorni ci vorranno affinché la superficie dello stesso stagno sia completamente ricoperta, se inizialmente vi si immettono due archeobatteri? A. B. C. D. E.

12.

30 giorni 28 giorni 29 giorni dipende dalla superficie dello stagno 15 giorni

Un’ indagine svolta tra tutti i 1000 abitanti della cittadina di Sparagna al di sopra dei 55 anni, mostra che il 40% di loro possiede un frigorifero, che il 25% possiede un televisore, e che il 15% li possiede entrambi. Dunque, nella cittadina di Sparagna: A. al di sotto dei 55 anni meno del 40% della popolazione possiede un frigorifero B. meno del 45% della popolazione al di sopra dei 55 anni possiede televisore o frigorifero C. il 50% della popolazione al di sopra dei 55 anni non possiede né televisore né frigorifero D. al di sotto dei 55 anni più del 25% della popolazione possiede un televisore E. più del 50% della popolazione al di sopra dei 55 anni ha televisore o frigorifero

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13.

Quali dei numeri x, y proposti vanno inseriti nella tabella?

1 3 6 10 x 21 28 1 2 6 24 120 y 5040 A. B. C. D. E. 14.

x = 14 e y = 720 x = 14 e y = 240 x = 15 e y = 720 x = 12 e y = 240 x = 15 e y = 240

Luigina afferma: • il martedì , se faccio il bagno poi vado al mercato. L’altro ieri era martedì, e ho fatto il bagno • ieri non ho fatto il bagno e sono andata al mercato • oggi andrò al mercato e forse mi farò anche il bagno Ne consegue necessariamente che: A. B. C. D. E.

15.

tutte le volte che Luigina va al mercato, non si fa il bagno il martedì Luigina fa sempre il bagno se Luigina fa il bagno di mercoledì, poi non va al mercato l’altro ieri Luigina non è andata al mercato a volte Luigina va al mercato senza essersi fatta il bagno

In una discussione tra amici, Antonio dice: A tutti noi piace il caffè, tranne che a Paola, a cui non piace Fabio osserva che Antonio ha torto. Ne consegue che: A. B. C. D. E.

a tutti gli amici piace il caffè a Paola piace il caffè a uno degli amici, che non è Paola, non piace il caffè o a Paola piace il caffè, oppure c’è qualcuno tra gli amici, oltre Paola, a cui il caffè non piace non è possibile che il caffè dispiaccia a uno solo tra gli amici

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COMPRENSIONE VERBALE

ISTRUZIONI

In questa prova vengono presentati uno o più brani, tratti da vari testi; non è stata apportata alcuna modifica, se non l’eliminazione di riferimenti non essenziali; essi quindi rispecchiano lo stile personale del loro autore e del periodo storico in cui egli visse. Ciascuno dei brani presentati è seguito da cinque quesiti riguardanti il suo contenuto. Per ogni quesito sono previste cinque risposte differenti, contrassegnate con le lettere A, B, C, D, E. Per ogni quesito scegliete fra le cinque risposte o affermazioni quella che ritenete corretta in base soltanto a ciò che risulta esplicito o implicito nel brano, cioè solo in base a quanto si ricava dal brano e non in base a quanto eventualmente sapete già sull’argomento.

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TESTO I

La libertà So che discutere dei giudizi di valore fondamentali è un’impresa disperata. Per esempio se qualcuno approva, come obiettivo, l’estirpazione della razza umana dalla terra, non è possibile rifiutare tale punto di vista su basi razionali. Ma se si arriva a un accordo su certi obiettivi e valori, si può discutere razionalmente dei mezzi con cui conseguire tali obiettivi. Indichiamo, allora, due obiettivi sui quali quasi tutti coloro che leggeranno queste righe potranno agevolmente convenire. 1. I beni strumentali che dovrebbero servire a mantenere la vita e la salute di tutti gli esseri umani andrebbero prodotti con la minor fatica possibile per tutti. 2. Il soddisfacimento dei bisogni fisici è di fatto la precondizione indispensabile per una buona esistenza, ma ciò di per se non è abbastanza. Per essere contenti gli uomini dovrebbero avere anche la possibilità di sviluppare liberamente le proprie facoltà intellettuali e artistiche, nella misura consentita dalle particolari caratteristiche e abilità di ciascuno. Il primo dei due obiettivi richiede il perseguimento di ogni possibile conoscenza delle leggi della natura e delle leggi che regolano i processi sociali, vale a dire la promozione di ogni tipo di sforzo scientifico. Perché lo sforzo scientifico è un tutto naturale le cui parti si sostengono a vicenda in un modo che, di fatto, nessuno può anticipare. Tuttavia, il progresso della scienza presuppone la possibilità di comunicare senza alcuna restrizione tutti i risultati e i punti di vista, la libertà d’espressione e di istruzione in tutti gli ambiti dello sforzo intellettivo. Per libertà intendo condizioni sociali tali da impedire che l’espressione di opinioni e affermazioni relative a questioni di scienza generale e particolare comporti pericoli o svantaggi seri per chi le esprime. Questa libertà di comunicazione è indispensabile per lo sviluppo e la diffusione della conoscenza scientifica, una considerazione di grande importanza pratica. In primo luogo essa va garantita per legge. Ma le leggi non possono assicurare da sole la libertà d’espressione; affinché ciascuno possa esprimere le proprie opinioni senza incorrere in penalità deve sussistere un diffuso spirito di tolleranza nell’intera popolazione. Non potremo mai raggiungere del tutto un simile ideale di libertà esteriore, ma dobbiamo perseguirlo senza tregua se vogliamo far progredire il più possibile il pensiero scientifico e la riflessione filosofica e creativa in generale. Se si vuole assicurare anche il secondo obiettivo, cioè la possibilità dello sviluppo spirituale per tutti gli individui, si rende necessario un secondo tipo di libertà esteriore. L’uomo non dovrebbe trovarsi costretto a lavorare per il soddisfacimento delle necessità vitali al punto da non avere più né tempo né energia per le occupazioni personali. Senza questo secondo tipo di libertà esterna, la libertà d’espressione, per lui, è inutile. I progressi tecnologici potrebbero consentire questo secondo tipo di libertà se si riuscisse a risolvere il problema di una ragionevole ripartizione della fatica. Lo sviluppo della scienza e delle attività creative dello spirito in generale richiede un ulteriore tipo di libertà, che potremmo definire libertà interiore. Tale libertà dello spirito consiste nell’indipendenza del pensiero dai vincoli dei pregiudizi autoritari e sociali, come anche dagli stereotipi mentali non in armonia con i principi filosofici e dalla consuetudine in generale. Questa libertà interiore è un dono di natura piuttosto raro e un degno obiettivo per l’individuo. Tuttavia la società può fare molto per favorirne il conseguimento, quantomeno non intralciandone lo sviluppo. Le scuole, per esempio, possono ostacolare lo sviluppo della libertà interiore esercitando sui giovani influenze autoritarie o imponendo loro eccessivi oneri spirituali; d’altro canto le scuole possono favorire tale libertà incoraggiando il pensiero indipendente. Solo attraverso il perseguimento costante e consapevole della libertà esteriore e interiore l’uomo potrà contare su una possibilità di sviluppo e di affinamento spirituale, e con ciò di miglioramento della propria vita esterna e interiore. 23


QUESITI RELATIVI AL TESTO I

16.

La libertà interiore consiste A. B. C. D. E.

17.

I giudizi di valore A. B. C. D. E.

18.

essere condotta in modo autoritario scoraggiare l’originalità trasmettere un sapere acquisito favorire la ripetitività liberare dagli stereotipi

Il progresso tecnico A. B. C. D. E.

20.

non cambiano mai sono legati alle tradizioni sono derivabili da conoscenze scientifiche hanno un fondamento razionale sicuro sono problematici

La scuola dovrebbe A. B. C. D. E.

19.

nel seguire i propri sentimenti nell’accettazione dei giudizi altrui nello spirito critico nell’indifferenza ai valori sociali nell’affermazione del proprio punto di vista

assorbe maggiori energie esige maggiore impegno di lavoro fa aumentare i bisogni concentra l’attenzione sui beni materiali favorisce la libertà

Il progresso scientifico A. B. C. D. E.

favorisce l’omologazione dei giudizi è indipendente dalle condizioni sociali non esige uno sforzo comune assicura il dominio sociale sulla natura richiede libertà di comunicazione

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TESTO II

I graffiti Ciò che colpisce del periodo romano, e che secondo me non trova paralleli fino a tempi recentissimi, è la dimostrazione che la scrittura veniva usata casualmente, in modo del tutto effimero e quotidiano, ma nondimeno evoluto. Non sorprende che la migliore documentazione di ciò provenga da Pompei, perché l’eruzione del 79 d.C. garantì uno straordinario livello di conservazione degli edifici cittadini e delle varie forme di scrittura che questi portavano. Nell’ambito di Pompei si sono contate più di 11 000 iscrizioni di molti tipi diversi, incise, dipinte o scalfite sui suoi muri. Alcune sono solenni e formali, come le dediche di edifici pubblici e gli epitaffi funerari, simili alle altre che si rinvengono in tutto il mondo romano. Le iscrizioni di questo tipo non dimostrano necessariamente una alfabetizzazione diffusa. Il numero enorme che ne venne prodotto in età romana potrebbe riflettere la moda di questo particolare mezzo di ostentazione, più che una spettacolare diffusione della capacità di leggere e scrivere. Altre iscrizioni pompeiane sono forse più indicative, perché evidenziano il desiderio di comunicare con i concittadini in maniera meno formale e più quotidiana. I graffiti sono testimonianze ancora più evidenti della diffusione e dell’impiego della scrittura nella società pompeiana. Essi si trovano in tutta la città, scarabocchiati su pietra o su intonaco da cittadini con tempo da perdere e un messaggio da trasmettere a futuri perditempo. Anche se non possiamo calcolare la percentuale di Pompeiani alfabetizzati (il 30 per cento, o di più, o forse soltanto il 10 per cento?), possiamo però affermare con sicurezza che la scrittura era una parte essenziale e quotidiana della vita cittadina. Essa era perfino così diffusa da esser presa blandamente in giro. Pompei documenta in maniera straordinariamente ricca una città che impiegava la scrittura a numerosi livelli diversi, dal grandioso al trivialissimo. È anche probabile che fosse un centro eccezionalmente alfabetizzato. Un villaggio rurale in Italia allo stesso livello di conservazione di Pompei, o una città di una regione meno tradizionalmente alfabetizzata, quasi certamente restituirebbe un numero molto minore di documenti sull’uso della scrittura. Ciò però non significa che la scrittura, sia pure a livello effimero e banale, non raggiungesse le regioni decentrate. La Britannia romana ha prodotto esempi di scrittura molto meno numerosi dell’Italia centrale contemporanea, ma col vantaggio che ognuno di essi è stato attentamente raccolto e pubblicato. I volumi risultanti sono smilzi rispetto alla documentazione di Pompei, ma non meno impressionanti. Vi sono iscrizioni di una straordinaria varietà di tipi: dediche formali ed epitaffi su pietra; timbri di fabbricanti su una gran varietà di oggetti (come lingotti, tegole, recipienti metallici, vasellame e pellame); iscrizioni su etichette di metallo e sigilli; oltre a brevi iscrizioni graffite soprattutto come indicazioni di proprietà, su oggetti diversi di ogni tipo (ad esempio, 875 su frammenti di vasellame da tavola, e 619 su ceramica da cucina). La varietà di questa lista è davvero impressionante. Ne fanno parte, ad esempio, ventisette frammenti di barili di legno, che recano marchiato o graffito il nome o le iniziali dei proprietari, e trentuno timbri a lettere minutissime, che si crede servissero a contrassegnare gli unguenti dispensati dagli oculisti. L’archeologia della Britannia romana è eccezionalmente conosciuta e ben pubblicata. Perciò è stato addirittura possibile documentare la distribuzione in tutta la provincia degli stili romani, le piccole cannucce metalliche usate per scrivere sulle tavolette di cera. Di questi, circa 350 sono stati segnalati in siti rurali, soprattutto nella più ricca parte sudorientale, ma ne esistono tracce anche in quella settentrionale e occidentale. Come Pompei, la Britannia romana ha anche prodotto esempi di scrittura impiegata in senso del tutto quotidiano e banale – il tipo di scrittura che rievoca vivacemente ai nostri occhi persone 25


del remoto passato, sia pure sovente in una luce assai enigmatica. Una tegola della Londra romana recava un’iscrizione che le era stata incisa mentre stava asciugando: “Austalis se n’è andato per conto suo per tredici giorni”. Chi era Austalis, e chi ha scritto questa osservazione – un lavorante, un sorvegliante, o forse semplicemente qualcuno che passava per il cantiere? Un’altra tegola, proveniente da Silchester, reca un messaggio di una parola, “SATIS” (basta), tracciato in bella forma con un dito. Questo era probabilmente il caporeparto che segnava il compimento di un lotto di tegole, ma possiamo anche immaginare che fosse un operaio esausto che celebrava la fine di una giornata particolarmente faticosa. Un terzo graffito, su una conduttura in argilla che riforniva d’acqua l’impianto termale di una villa nel Lincolnshire, proclama “Liber esto” (Sii libero), la formula con cui si emancipavano gli schiavi. Era forse il sogno ad occhi aperti di uno schiavo che lavorava nel mattonificio? Non conosceremo la risposta a queste domande, né potremo accertare con sicurezza la condizione sociale delle persone che ci tramandano questi messaggi. Ma la Britannia romana conosceva certamente l’uso della scrittura a livello informale e quotidiano.

26


QUESITI RELATIVI AL TESTO II

21.

La diffusione dei graffiti indica che A. B. C. D. E.

22.

La presenza di graffiti in Britannia è significativa perché A. B. C. D. E.

23.

tolleranza religiosa bilinguismo greco-latino a una struttura organizzata della città coscrizione militare diffusione delle biblioteche

La funzione dei graffiti era A. B. C. D. E.

25.

dimostra l’assimilazione delle popolazioni celtiche segnala la presenza di presidi militari indica una vivace vita rurale indica alfabetizzazione anche alla periferia dell’Impero testimonia la persistenza di culti locali

L’alfabetizzazione era legata a A. B. C. D. E.

24.

l’analfabetismo era molto diffuso la vita sociale era scarsa la capacità di disegnare era scadente i liberti erano molto istruiti la gente comune sapeva leggere

espressione della creatività individuale simbologia religiosa indicazioni logistiche comunicazione sociale diffusione della cultura

La frequenza dei reperimenti di graffiti è A. B. C. D. E.

maggiore nei periodi di crisi inversamente proporzionale all’intensità della vita cittadina scarsa nell’Italia Meridionale inversamente proporzionale al crollo degli edifici tipica solo del V e VI secolo

27


TESTO III

Metodo e scientificità Che cosa distingue una conoscenza “scientifica” da una conoscenza che non lo è? Nessuno dubita che fisica, biologia o matematica siano “scienze”, ma quando ci chiediamo che cosa sia scientifico vogliamo sapere qualcosa di più di un semplice elenco. Ci interessa capire che cosa contraddistingue le scienze in quanto tali. La domanda, che è quella con cui iniziano i manuali di filosofia della scienza, non è oziosa, vista la carica valutativa che di solito accompagna l’attribuzione di scientificità a una forma di sapere. Per quanto le posizioni sul valore positivo o negativo della scienza possano differire, è un’opinione accettata che, per essere scientifica, una conoscenza debba essere “razionale”, “oggettiva” (nel senso di “valida intersoggettivamente”) e “fondata” (sull’esperienza, se si occupa del mondo esterno, e dal punto di vista logico-matematico, se usa un linguaggio formalizzato). Chiarire che cosa s’intenda esattamente con questi attributi e discutere se la conoscenza scientifica sia caratterizzabile in questi termini è uno dei compiti dei filosofi della scienza. Ma come si procede per raggiungere una conoscenza che soddisfi le caratteristiche richieste o, almeno, per appurare che la conoscenza raggiunta le soddisfi? La questione della natura della conoscenza scientifica è legata a quella del “metodo scientifico”: cioè se sia possibile definire, e come, un metodo seguendo il quale siamo sicuri del carattere scientifico della conoscenza acquisita. E buona parte del dibattito filosofico sulla scienza è stata centrata proprio sulla ricerca di una caratterizzazione generale del metodo scientifico: dal metodo induttivo di baconiana memoria alla più sofisticata induzione probabilistica; dal falsificazionismo popperiano a forme sempre più estreme di pluralismo metodologico. Come nel caso di molte altre questioni filosofiche, non si è arrivati a nessuna soluzione che non presenti a sua volta problemi. D’altronde le discipline che consideriamo scientifiche sono anche molto diverse tra loro: ha senso cercare un metodo che valga per tutte? La domanda si pone anche rimanendo nell’ambito di una stessa disciplina. La fisica per esempio, che storicamente è stata presa come il paradigma di scienza, non è una disciplina omogenea: gli argomenti, i concetti, i linguaggi e le tecniche usate differiscono a seconda del campo d’indagine. E così, se ci si occupa di settori in cui il progresso della fisica richiede un uso sempre più sofisticato della matematica e in cui si è spesso lontanissimi dalle scale fisiche accessibili nei laboratori, come nel caso della storia delle stringhe, non ha molto senso pretendere di applicare gli stessi criteri di progresso e controllo della teoria che possiamo usare nel caso di dati sperimentali a immediata disposizione. Ciò non vuol dire rinunciare a un riscontro empirico, ma solo che le modalità e i tempi nel rapporto con l’esperienza sono diversi a seconda dei casi. Come era ben chiaro a Paul A.M. Dirac, uno dei maggiori fisici del Novecento, che inizia il suo lavoro del 1931 sui monopòli magnetici con le seguenti magistrali considerazioni metodologiche: “Ci sono, al presente, problemi fondamentali nella fisica teorica [...] la soluzione dei quali richiederà presumibilmente una revisione dei nostri concetti fondamentali più drastica di quanto non sia successo finora. Molto probabilmente questi cambiamenti saranno così ingenti che sarà ben al di sopra dei poteri dell’intelligenza umana ottenere le nuove idee necessarie da tentativi diretti di formulare i dati sperimentali in termini matematici. In futuro, chi lavorerà in campo teorico dovrà perciò procedere in modo più indiretto. Il più potente metodo di avanzamento da suggerire al presente è impiegare tutte le risorse della matematica nel cercare di perfezionare e generalizzare il formalismo matematico che forma la base esistente della fisica teorica, e dopo ogni successo in questa direzione provare a interpretare i nuovi aspetti matematici nei termini di entità fisiche”. Dirac aveva ragione: molti progressi fondamentali della fisica contemporanea sono figli di sviluppi teorici del tipo sopra descritto. Un esempio per tutti: la scoperta del positrone (e quindi dell’antimateria), previsto in modo teorico da Dirac nel 1930 e osservato un paio di anni dopo.

28


QUESITI RELATIVI AL TESTO III

26.

Una affermazione è oggettiva quando A. B. C. D. E.

27.

La varietà delle discipline A. B. C. D. E.

28.

rende impossibile l’unicità del metodo dimostra il progresso del sapere va oltre l’ambito dell’esperienza va ricondotta al primato della fisica riguarda sempre oggetti materiali

Lo sviluppo del formalismo matematico A. B. C. D. E.

29.

è confermata sperimentalmente può essere verificata da operatori diversi è condivisa da tutti riguarda oggetti naturali è esente da contraddizioni

resta fermo a concetti generali elimina il ricorso all’esperienza serve solo per elaborazioni teoriche è indispensabile per il progresso della fisica ha portato a teorie astratte

La qualifica di scientificità A. B. C. D. E.

coincide con dogmatismo attualmente si identifica con sicurezza è arbitrariamente estesa a molti campi del sapere è molto molto apprezzata per ogni disciplina viene spesso usata in senso ristretto

30. Accertare la scientificità delle teorie è compito A. B. C. D. E.

della politica culturale della stessa teoria della filosofia e della scienza della logica della matematica

29


MATEMATICA 1 31.

Luigi ha due figli di 15 e 11 anni. Fra 18 anni la sua età sarà uguale alla somma delle età che avranno i figli. Quanti anni ha oggi Luigi? A. B. C. D. E.

30 non si può dire. 52 26 44

32.

Per quale dei seguenti valori di x vale cos(x) + sin(x) = 0? π A. x = 4 B. x = 0 C. x = π π D. x = 2 3π E. x = 4

33.

Per 0 ≤ x ≤ π l’equazione sin(x) = 2 − k ha almeno una soluzione se e solo se A. B. C. D. E.

34.

k≥1 1≤k≤2 k≤2 −1 ≤ k ≤ 1 1≤k≤3

Nell’insieme dei numeri reali la disequazione x4 + 5 < 0 è verificata A. B. C. D. E.

sempre se x = −5 mai se x > −5 √ 4 se x < − 5

30


35.

x+3 L’insieme delle soluzioni della disequazione ≥ 2 è costituito da tutti i numeri reali x+1 x tali che A. −1 < x ≤ 2 B. x ≤ 1 C. x ≥ 1 D. x < −1 E. −1 < x ≤ 1

36.

Il resto della divisione del polinomio x5 − 3x4 + 3 per x + 1 è A. B. C. D. E.

37.

−1 1 3 0 x−1

Sia T un triangolo rettangolo isoscele. Allora la somma dei coseni degli angoli interni di T è uguale a A. 2 B. 1 √ C. 3 √ D. 1 + 2 √ E. 2

38.

Quale delle seguenti uguaglianze è verificata qualunque siano i numeri reali x e y? 2

A. 3 x+y 3 x−y = 3 x −y B. 3 x+y 3 x−y = (3 x )2 2

2

2

C. 3 x+y 3 x−y = 3 x − 3y 2 D. 3 x+y 3 x−y = 3 x E. 3 x+y 3 x−y = 3 x (3y 3−y ) 39.

Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O e raggio di 1 cm, si tracciano le tangenti a√tale circonferenza che la incontrano nei punti A e B. L’area del poligono PAOB è di 3 cm2 se la distanza di P da O è A. 3 cm B. 2 cm C. 4√cm 3 cm D. 2 3 E. cm 2 31


40.

L’equazione x + A. B. C. D. E.

41.

1 = k, con x reale non nullo, ammette una ed una sola soluzione se x

k=1 k=3 k = −3 k = −1 k=2

Nel piano cartesiano l’equazione x2 + y2 + 4x = γ, con γ numero reale positivo, è:

p

γ+4 p l’equazione di una circonferenza di centro (0, − 4) e raggio γ + 2 √ l’equazione di una circonferenza di centro l’origine e raggio γ p D. l’equazione di una circonferenza di centro (−4,0) e raggio γ + 2 p E. l’equazione di una circonferenza di centro (0, − 2) e raggio γ + 4 A. l’equazione di una circonferenza di centro (−2,0) e raggio B. C.

42.

Dato un numero reale positivo x e posto f (x) = log10 x, si ha f (10 · x−2 ) =

1 f (x) B. 2 − 2 f (x) C. 1 − 2 f (x) 1 D. 2 f (x) E. −2 f (x)

A.

43.

Dal semicerchio di diametro AB = 2 cm e centro 0 si toglie il semicerchio di diametro AO. La figura così ottenuta si fa ruotare attorno ad AB con un giro di 360◦ . Il volume del solido ottenuto è 25 A. π cm3 3 7 B. π cm3 6 5 C. π cm3 6 D. 4π cm3 28 E. π cm3 3

32


44.

Nel piano cartesiano quanti sono i punti P(x, y) per cui sono verificate tutte e tre le seguenti condizioni? (x + y)2 = 1, A. B. C. D. E.

45.

x2 + y2 = 1,

Uno Due Infiniti Nessuno Quattro

Nel piano cartesiano l’asse del segmento di estremi A(0,0) , B(1, 1) ha equazione 1 −x 2 B. y = 2 − x x C. y = 1 − 2 D. y = 1 − x 1−x E. y = 2 A. y =

46.

47.

x+y≤0

81 Il numero √ 64 3 A. √ 2 3 B. √ 2 2 24 C. 85/4 24 D. 64 3 E. 2

!1/4

è uguale a

La seguente espressione:

1/3 320 + 320 + 320 (33 )2

vale A. 32 B. 1 C. 3 1 D. 3 1 E. 9 33


48.

Sia Q un quadrato di lato `, C1 il cerchio circoscritto a Q, C2 il cerchio inscritto in Q. Il rapporto tra l’area della superficie di C1 e l’area della superficie di C2 vale A. B. C. D. E.

4 2 √

2 varia al variare di ` √ 2 2

49.

Dato il triangolo equilatero ABC il cui lato misura 2 cm, siano D, E, F i punti medi rispettivamente dei lati AB, BC, AC. L’area del rombo DECF è √ 3 A. cm2 2 B. 2 cm2 √ 3 cm2 C. √ D. 2 cm2 1 E. √ cm2 3

50.

Il 30% degli studenti iscritti ad un corso universitario ha superato l’esame relativo al corso al primo appello. Se, dei restanti studenti iscritti, il 10% supera l’esame al secondo appello, gli studenti che devono ancora superare l’esame dopo i primi due appelli saranno: A. B. C. D. E.

il 37% del numero totale di studenti iscritti al corso. il 63% del numero totale di studenti iscritti al corso. il 70% del numero totale di studenti iscritti al corso. il 60% del numero totale di studenti iscritti al corso. il 40% del numero totale di studenti iscritti al corso.

34


SCIENZE 51.

Il periodo di un pendolo di massa m legata a un filo inestensibile di lunghezza l: A. B. C. D. E.

52.

Due bacinelle rigide di uguale volume sono completamente riempite rispettivamente di ceci (sfere, di diametro medio dc = 8 mm) e piselli (sfere, di diametro medio d p = 6 mm). Qual è approssimativamente il rapporto Nc /N p fra il numero di ceci Nc e del numero dei piselli N p in esse contenuti? A. B. C. D. E.

53.

circa 1,8 circa 2,4 circa 0,56 circa 0,75 circa 0,42

Nella pratica sportiva del bungee jumping un uomo, legato alle caviglie con una corda elastica, si lancia da un ponte. Nel momento di massima distensione della corda (minima distanza dal fondo), dopo il quale l’uomo comincia a risalire: A. B. C. D. E.

54.

non varia né con la massa, né con la lunghezza del filo diminuisce con la massa aumenta con la massa diminuisce accorciando il filo aumenta accorciando il filo

la forza totale sull’uomo si annulla l’energia cinetica dell’uomo si annulla l’energia cinetica dell’uomo è massima l’accelerazione dell’uomo si annulla il peso dell’uomo si annulla

Due corpi A e B, di volume uguale e masse mB = 3mA , sono completamente immersi in un liquido. Quando i due corpi, tenuti inizialmente fermi, vengono lasciati andare, la forza idrostatica (spinta di Archimede) che il liquido esercita su B è: A. B. C. D. E.

uguale a quella su A nove volte quella su A tre volte quella su A un nono di quella su A un terzo di quella su A

35


55.

Un automobile, inizialmente ferma, parte con un’accelerazione costante di 2 m/s2 . Nel medesimo istante, viene sorpassata da una bicicletta che viaggia alla velocità costante di 8 m/s. A quale distanza dal punto di partenza l’auto raggiungerà la bicicletta? A. B. C. D. E.

56.

Un corpo di peso P, situato in prossimità della superficie terrestre, cade partendo da fermo. Se g è l’accelerazione di gravità e si trascura la resistenza dell’aria, l’energia cinetica acquistata dal corpo dopo un tempo t è pari a: A. B. C. D. E.

57.

(1/2)Pgt (1/2)Pgt2 2Pgt 2Pgt2 (1/2)Pg2 t2

Il rapporto tra peso specifico e densità di un corpo sulla Terra è: A. B. C. D. E.

58.

64 m 32 m 6m 128 m 16 m

inversamente proporzionale al volume direttamente proporzionale alla massa uguale per tutti i corpi un numero puro diverso per ogni corpo

Un tubo di sezione S costante piegato ad U è aperto su un ramo e chiuso da un tappo T sull’altro (vedi figura). Se il tubo contiene acqua (densità ρ) e le altezze dell’acqua nei due rami sono H ed h, la forza che l’acqua esercita sul tappo vale: A. B. C. D. E.

ρg(H − h), diretta verso il basso ρgh, diretta verso l’alto ρgHS , diretta verso l’alto ρg(H + h), diretta verso il basso ρg(H − h)S , diretta verso l’alto

36


59.

Una macchina termica ha un rendimento del 75%. Quanto calore viene assorbito in un ciclo di funzionamento, se al termine di esso il lavoro fatto dalla macchina è pari a 3,6 kJ ? A. B. C. D. E.

60.

Secondo quale ordine sono disposti gli elementi chimici nella tavola periodica? A. B. C. D. E.

61.

la massa di un uomo sulla Luna è i 5/6 di quella sulla Terra il peso di un uomo sulla Luna è 1/6 di quello sulla Terra la massa di un uomo sulla Luna è 1/6 di quella sulla Terra sia la massa sia il peso di un uomo sulla Luna sono 1/6 di quelli sulla Terra il peso di un uomo sulla Luna è i 5/6 di quello sulla Terra

Il suono è: A. B. C. D. E.

63.

per numero di protoni alfabetico per abbondanza nell’universo per dimensione per anno di scoperta

L’accelerazione di gravità sulla Terra è circa sei volte quella sulla Luna. Ciò significa che: A. B. C. D. E.

62.

2,7 kJ 4,8 kJ 14,4 kJ 0,9 kJ 3,6 kJ

un’onda che si propaga in un mezzo elastico con una velocità che dipende dal mezzo un’onda elastica che si propaga nel vuoto alla velocità di 340 m/s un’onda che si propaga in un mezzo elastico alla velocità di 300 000 km/s un’onda elastica che si propaga nel vuoto alla velocità di 300 000 km/s un’onda che si propaga nel vuoto ed in tutti i mezzi materiali alla velocità di 340 m/s

Mescolate 60 litri d’acqua a 20 ◦C con 20 litri d’acqua a 60 ◦C. Trascurando le dissipazioni di calore, la temperatura finale che si raggiunge è: A. B. C. D. E.

25 ◦C 28 ◦C 40 ◦C 30 ◦C 35 ◦C

37


64.

La tariffa dell’energia elettrica per uso domestico è di 0,20 €/kWh. Ricordando che il calore specifico dell’acqua è di 4186 Jkg−1 K−1 e trascurando le perdite, quanto costa scaldare 50 litri di acqua da 20 ◦C a 60 ◦C usando uno scaldabagno elettrico? A. B. C. D. E.

65.

Due condensatori sono collegati in serie e hanno capacità di 1 µF e 3 µF. Applicando una differenza di potenziale di 100 V: A. B. C. D. E.

66.

circa 0,92 € circa 0,46 € circa 0,13 € circa 1,92 € circa 1,66 €

la capacità equivalente è di 4 µF la capacità equivalente è di 2 µF i valori della differenza di potenziale ai capi dei condensatori sono diversi i valori della carica elettrica sulle armature dei condensatori sono diversi la differenza di potenziale ai capi di ciascun condensatore è di 100 V

Due sferette metalliche A e B sono sospese mediante fili isolanti. Una bacchetta di vetro viene caricata positivamente, quindi avvicinata prima ad A e successivamente a B, senza toccarle. Si osserva che la sferetta A viene attratta dalla bacchetta, mentre B viene respinta dalla stessa. Possiamo concludere che: A. sia A sia B possono avere carica nulla B. B è carica positivamente, mentre A può essere sia carica negativamente sia avere carica nulla C. sia A sia B sono cariche negativamente D. A è carica negativamente, mentre B può essere sia carica positivamente sia avere carica nulla E. A è carica negativamente e B positivamente

67.

In una appartamento sono in funzione alcune utenze: un ferro da stiro che ha una resistenza di circa 40 Ω, ed una serie di lampadine da 100 W. Sapendo che la potenza massima utilizzabile è di 1,65 kW a 220 V, qual è il numero massimo di lampadine che possono essere accese quando il ferro è in funzione? A. B. C. D. E.

9 lampadine nessuna lampadina 4 lampadine 16 lampadine 6 lampadine

38


68.

Quale dei seguenti fenomeni non coinvolge reazioni chimiche? A. B. C. D. E.

69.

formazione di fuliggine durante una combustione formazione di ruggine su un vecchio chiodo formazione di muffa su un pezzo di formaggio formazione di depositi di calcare in una conduttura formazione di brina mattutina sui campi

Indicando con “·” il prodotto scalare e con “×” il prodotto vettore, quale delle seguenti operazioni genera la proiezione del vettore ~a sul vettore ~b ? ~b |~b| ~ B. ~a × b C. ~a · ~b D. ~a + ~b ~b E. ~a · |~b| A. ~a ×

70.

Un treno viaggia alla velocità di 144 km/h. Supponendo che le ruote aderiscano perfettamente ai binari (non c’è slittamento) e che abbiano un diametro d = 80 cm, il numero di giri che fanno in un secondo è circa pari a: A. B. C. D. E.

8 57 32 115 16

39


MATEMATICA 2 71.

Nel piano cartesiano, il luogo dei punti di coordinate (x, y) che verificano l’equazione (y − 2x2 )(y2 − 4) = 0 è: A. B. C. D. E.

72.

I numeri interi strettamente positivi a, b, c, d sono tutti differenti tra loro e sono tutti minori di 6. Sapendo che la loro somma vale 12 determinare il loro prodotto. A. B. C. D. E.

73.

L’insieme costituito dai punti di coordinate (1, −2), (1, 2) L’insieme costituito dai punti di coordinate (1, 2), (−1, 2) L’unione di una parabola e di due rette L’intersezione di un’iperbole e di due rette L’intersezione di una parabola e di due rette

60 24 50 40 30

Quanti sono i numeri reali x che sono soluzioni dell’equazione tan(2x − 5π) = −104 A. B. C. D. E.

74.

uno cinque infiniti nessuno due

Un triangolo rettangolo, ruotando attorno ai propri cateti, genera due coni. Il rapporto fra i volumi dei due coni è pari al rapporto fra A. B. C. D. E.

il cateto maggiore e l’ipotenusa i cateti i quadrati dei cateti il cateto minore e l’ipotenusa i cubi dei cateti

40


75.

Per quale dei seguenti valori di x si ha sin A. B. C. D. E.

76.

π 3 x = 3π x = 2π π x= 6 π x= 2 x=

x 3

=

sin(x) 3

Si considerino tutti i numeri reali a della forma a=

3n + 3 + (−1)n n+1

dove n è un qualunque intero positivo. Quanti dei numeri a sono maggiori di 2,99? A. B. C. D. E. 77.

Siano dati nel piano due triangoli equilateri che si possono ruotare e traslare liberamente uno rispetto all’altro. Data una qualsiasi posizione dei due triangoli, la loro porzione di superficie sovrapposta non potrà mai essere A. B. C. D. E.

78.

infiniti, ma non tutti nessuno uno due tutti

un trapezio un esagono un rettangolo un triangolo equilatero un triangolo rettangolo

Sia x un numero razionale che soddisfa questa proprietà: x≤y

per ogni

y

razionale tale che

Quale delle seguenti affermazioni è vera? A. B. C. D. E.

√ x è il più grande numero razionale minore di 2 √ x è il più piccolo numero razionale maggiore di 2 x=y √ x< 2 √ x= 2

41

y>

√ 2


79.

Date le due circonferenze rispettivamente di centro (0, 0) e raggio 1 e di centro (2, 2) e raggio 1, si indichi con d(P1 , P2 ) la distanza tra un generico punto P1 che sta sulla prima circonferenza ed un generico punto P2 che sta sulla seconda circonferenza. Si consideri poi il minimo m di d(P1 , P2 ) al variare di P1 e di P2 . Si ha che √ A. m = 2 √ 2 B. m = √2 C. m = 2 − 1 D. tale minimo non esiste √ E. m = 2( 2 − 1)

80.

Un’azienda vinicola produce il rinomato pirlot, un miscuglio di bianco pinot e di rosso merlot in parti uguali. Da una bottiglia il produttore ne preleva 1/3 e lo rimpiazza con una parte identica di solo pinot, poi preleva 1/4 del nuovo miscuglio e lo rimpiazza ancora con una parte identica di solo pinot. Quale frazione del miscuglio finale è composta di pinot? A. B. C. D. E.

5/7 7/12 5/12 2/3 3/4

42


Parte terza Il test commentato

43


Premessa In questa parte è nuovamente riportato il Test erogato nella prova del settembre 2009, ma, a differenza di quanto fatto in precedenza, ogni quesito è ora accompagnato da un breve commento e dalla spiegazione ad ognuna dell cinque risposte chiuse proposte per il quesito stesso. Ogni sezione tematica del test è preceduta da una introduzione che ne illustra in maniera sintetica le caratteristiche generali. Dopo aver ricordato, per la particolare sezione di cui si parla, sia il numero di quesiti che il tempo concesso per rispondere, viene riportato il risultato ottenuto in quella sezione dai circa 28 164 candidati che parteciparono alla prova del settembre 2009. Il risultato è presentato sotto forma di diagramma a barre come distribuzione percentuale in cui ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale di sezione compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse. L’informazione statistica in veste grafica consente una valutazione rapida, anche se approssimata, della difficoltà della sezione e, a chi abbia effettuato una simulazione del test, dà modo di individuare a quale segmento della popolazione avrebbe potuto appartenere avendo conseguito uno specifico Punteggio Parziale. Dopo l’introduzione vengono riportati i quesiti della sezione; per ognuno, per facilitarne la consultazione, viene di nuovo presentata la formulazione originale, e quindi viene dato un commento più o meno esteso e dove è spiegato perché una certa risposta è quella esatta e perché ciascuna delle altre è sbagliata. Una lettura attenta dei commenti è dunque caldamente raccomandata. Se ne possono trarre indicazioni metodologiche utili per affrontare il tipo di quesiti caratteristici del test. Infine a chiusura del quesito vengono forniti in forma percentuale i dati statistici che lo caratterizzano. In particolare quanti studenti hanno percentualmente dato risposte corrette o errate o non hanno dato alcuna risposta, inoltre per ognuna delle cinque risposte offerte viene data la percentuale di studenti che l’hanno indicata come risposta esatta. Questi dati indicano ovviamente il grado di difficoltà presentata dal quesito e mostrano come gli errori commessi si siano distribuiti tra le risposte non corrette ed eventualmente quale errore sia dunque il più frequente, tutte informazioni di indubbio interesse per chi abbia scelto di attuare una simulazione realistica del test con lo scopo di avere indicazioni sulla propria preparazione. Alla conclusione dell’intero test commentato e risolto, quale informazione sintetica relativa all’intera prova, viene presentato il risultato ottenuto nel test complessivo dai circa 28 164 partecipanti alla prova del settembre 2009. Anche in questo caso, come per ogni singola sezione, il risultato è presentato sotto forma di diagramma a barre. Per mezzo di questo diagramma chi abbia effettuato una simulazione del test ha modo di individuare a quale segmento della popolazione sarebbe appartenuto sulla base del Punteggio Test totale che ha totalizzato nella simulazione.

44


LOGICA Commenti e soluzioni a cura di Luisella Caire e Paola Suria Arnaldi Introduzione I quesiti logici sono di diversa natura e non esiste un solo metodo per affrontarli. Nello stesso tempo, a seconda del genere di quesito, grafico, proposizionale, sequenziale, eccetera, l’approccio può essere genericamente quello dell’esclusione delle risposte sicuramente false, per poi concentrarsi su quelle che potrebbero essere vere. Talvolta invece è meglio concentrarsi sulla ricerca della risposta giusta, piuttosto che procedere per esclusione. Dipende dai quesiti e dalla loro formulazione. In questa sezione potrebbero esserci dei quesiti in cui è spiegata solo la risposta giusta con ragionamenti particolari o con l’uso di formule o di diagrammi; si ritiene quella spiegazione così articolata sia sufficiente a spiegare anche perché le altre risposte sono sbagliate. Questa sezione consiste di 15 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti. Il risultato ottenuto dai circa 28 164 candidati nella prova del settembre 2009 è presentato in forma di distribuzione percentuale nella figura seguente: ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale nella Sezione di Logica compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse

confronto distribuzione LOGICA

16%

100,00% 90,00%

14%

80,00% 12% 70,00% 10%

2009

60,00%

cum 2009 50,00%

8%

40,00%

6%

30,00% 4% 20,00% 2%

10,00% 0,00%

0% -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 <15 15

Percentuale dei candidati per Punteggio Parziale ottenuto nella Sezione di Logica Il Punteggio Parziale può variare teoricamente tra −3,75 e 15 punti, mentre il punteggio medianoo è circa di 6 punti.

45


1.

Nella Repubblica di Arraffa NON è vero che Ogni parlamentare è persona onesta e competente Dunque, nella Repubblica di Arraffa: A. qualche parlamentare non è onesto oppure non è competente B. ogni parlamentare o è onesto, ma non competente, oppure è competente, ma non onesto C. qualche parlamentare è onesto e competente D. le persone oneste e competenti non diventano mai parlamentari E. nessun parlamentare è onesto e competente

Soluzione Se nella Repubblica di Arraffa è falso che tutti i parlamentari sono La risposta A è giusta. onesti e competenti è allora vero che esiste almeno un parlamentare che non è onesto oppure non è competente. La risposta B è sbagliata.

Dall’ipotesi

Non è vero che ogni parlamentare è persona onesta e competente deduciamo che possono esistere ad Arraffa parlamentari sia onesti sia competenti, né onesti né competenti, onesti ma non competenti, non onesti pur essendo competenti: sicuramente, però, esiste almeno un parlamentare che non possiede almeno una delle due qualità! Una qualità non esclude l’altra: l’onestà non esclude la competenza e la competenza non impedisce l’onestà. La risposta C è sbagliata.

Riformuliamo l’ipotesi.

Non è vero che ogni parlamentare di Arraffa è persona onesta e competente equivale a dire che ad Arraffa possono esserci parlamentari onesti e competenti, ma dalle informazioni in nostro possesso non ne siamo sicuri. Con certezza possiamo dire che esiste almeno un parlamentare (ma non sappiamo quanti) che non è onesto oppure non è competente oppure non è né onesto né competente, ma non si sa se esistono persone che posseggano entrambe le qualità. La risposta D è sbagliata. La premessa non toglie la speranza che qualche persona onesta e competente esista, si candidi e diventi parlamentare! Quindi la risposta non è corretta La risposta E è sbagliata.

L’ipotesi

Non è vero che ogni parlamentare è persona onesta e competente equivale a dire che è falso che tutti i parlamentari siano onesti e competenti senza escludere, però, che possano esistere parlamentari onesti e competenti. Dalla premessa del quesito si deduce che certamente esiste almeno un parlamentare che non possiede almeno una di queste due qualità: l’onestà o la competenza.

46


Interpretiamo il quesito con le proprietà della logica matematica. La premessa del test afferma che ... NON è vero che.... Il NON genera la negazione della proposizione che segue:

NOTA

ogni parlamentare è persona onesta e competente. La negazione di una proposizione logica si ottiene • sostituendo qualsiasi, ogni... con esiste almeno un ... Ad esempio: NON è vero che qualsiasi parlamentare è competente diventa esiste almeno un parlamentare che NON è competente • trasformando esiste un... in qualsiasi ... Ad esempio: Non è vero che esiste un parlamentare competente diventa qualsiasi parlamentare NON è competente • negando gli aggettivi qualificativi Ad esempio: Non onesto diventa onesto; onesto diventa Non onesto Nella seconda parte del quesito dobbiamo prestare attenzione al connettivo logico e: onesto e competente . Per negare una proposizione con i connettivi logici e, o, oppure valgono le seguenti regole: • NON (P e Q) equivale (NON P) o (NON Q)

Ad esempio: NON è vero che quel parlamentare è onesto e competente equivale a quel parlamentare (NON è onesto) oppure NON è competente oppure anche NON è onesto e NON è competente

• NON (P o Q) equivale (NON P) e (NON Q) Ad esempio: NON è vero che quel parlamentare è onesto o competente equivale a quel parlamentare (NON è onesto) e NON è competente

Per la negazione è sufficiente che NON si verifichi anche una sola delle due condizioni. La negazione logica di persona onesta e competente diventa (persona NON onesta) oppure (NON competente) oppure anche (NON onesta e NON competente) La negazione dell’intera proposizione è quindi: 47


esiste almeno un parlamentare che è persona NON onesta oppure persona NON competente oppure anche persona NON onesta e NON competente

Risultati percentuali relativi al quesito 1 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

26.31% 3.76% 36.56% 1.84% 23.53%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

26.31% 65.69% 8.01%

2. Volendo disporre i numeri 28

29

36

43

55

in modo che i dispari occupino una posizione dispari ed i pari occupino una posizione pari, in quanti modi diversi si può operare’ A. B. C. D. E.

3 24 12 5 6

Soluzione La risposta C è giusta. È dato un insieme di 5 numeri interi, tre dei quali dispari e due pari. Costruiamo uno schema, un diagramma ad albero e contiamo i casi possibili.

48


I pos.

II pos. 28

29

III pos.

IV pos. V pos.

43

36

55

55 43

36 28

43 55

55

28

43

29

36

55

55 29

36 28

29 55

55 29

28 36

29 43

43 29

36 28

29 43

43

28

29

36

28

scelte possibili

43 36

28 55 36

I casi possibili sono 12, perché ognuno dei tre numeri dispari, che possono occupare la prima posizione, genera quattro casi diversi. Se volessimo lavorare senza schema ad albero, potremmo ragionare pensando che in prima posizione possiamo mettere tre diversi numeri (29, 43, 55); in seconda posizione, per ognuno dei tre numeri dispari, possiamo scegliere tra i due numeri pari (28, 36). I casi diventano quindi 3·2=6 In terza posizione, per ognuno dei sei casi precedenti, abbiamo ancora due scelte tra i dispari rimasti. I casi possibili diventano 3 · 2 · 2 = 12

Per la quarta e quinta posizione NON abbiamo più possibilità di scegliere, ma dobbiamo completare ogni sequenza con l’unico pari rimasto e l’unico dispari restante. Abbiamo cioè ricostruito il diagramma ad albero mentalmente. Risultati percentuali relativi al quesito 2 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

6.41% 5.85% 35.81% 5.20% 10.98%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

49

35.81% 28.44% 35.75%


3.

La signora QKX è stata strangolata nel proprio salotto. Il commissario ZYW non crede che l’imputato di omicidio (il quale si difende vibratamente dichiarando la propria innocenza) non si sia recato a casa della vittima nell’intervallo di tempo nel quale la stessa ha perso la vita. Si può dedurre che: A. sicuramente l’imputato non è colpevole B. il commissario ZYW è convinto che l’imputato non si sia recato a casa della vittima nell’intervallo di tempo nel quale la stessa ha perso la vita C. per il commissario ZYW l’imputato certamente non è colpevole D. sicuramente l’imputato è colpevole E. il commissario ZYW non esclude che l’imputato abbia strangolato la signora QKX

Soluzione La risposta A è sbagliata.

Riformuliamo l’ipotesi. Dire che

Il commissario ZYW non crede che l’imputato di omicidio non si sia recato a casa della vittima... equivale a dire che il commissario ZYW crede che l’imputato si sia recato a casa di QKX. Dalle ipotesi del quesito sappiamo che l’imputato si difende vibratamente dichiarando la sua innocenza, ma non sappiamo se dice la verità oppure se mente. La risposta B è sbagliata.

Riformuliamo l’ipotesi. Dire che

Il commissario ZYW non crede che l’imputato di omicidio non si sia recato a casa della vittima nell’intervallo di tempo in cui la stessa ha perso la vita equivale a dire che il commissario ZYW crede che l’imputato si sia recato a casa di QKX nell’intervallo di tempo nel quale la stessa ha perso la vita. La risposta C è sbagliata.

Riformuliamo l’ipotesi. Affermare che

Il commissario ZYW non crede che l’imputato di omicidio non si sia recato a casa della vittima... equivale a dire che il commissario ZYW crede che l’imputato si sia recato a casa di QKX nell’intervallo di tempo nel quale la stessa ha perso la vita. Dalle ipotesi però non abbiamo informazioni per dire se il commissario lo ritenga lo strangolatore oppure no. La risposta D è sbagliata.

Riformuliamo l’ipotesi. Dire che

Il commissario ZYW non crede che l’imputato di omicidio non si sia recato a casa della vittima... equivale a dire che 50


il commissario ZYW crede che l’imputato si sia recato a casa di QKX. Dalle informazioni date non possiamo, però, dedurre se l’imputato è anche lo strangolatore. Sappiamo solo che il commissario crede che l’imputato fosse in casa della vittima proprio in quell’arco di tempo. La risposta E è giusta.

Riformuliamo l’ipotesi. Affermare che

Il commissario ZYW non crede che l’imputato di omicidio non si sia recato a casa della vittima. . . equivale a dire che il commissario ZYW crede che l’imputato si sia recato a casa di QKX nell’arco di tempo in cui la stessa ha perso la vita. ZYW, quindi, prende anche in considerazione che l’imputato possa essere l’omicida. Giustifichiamo la risposta con le leggi della logica matematica. Il quesito contiene la doppia negazione. L’operatore di negazione, applicato due volte, si elide NON (NON P) equivale P Il commissario ZYW NON crede che l’imputato NON si sia recato. . . equivale a dire: Il commissario ZYW crede che l’imputato si sia recato. . . ma ZYW non ha informazioni certe per sapere se l’imputato sia lo strangolatore della vittima oppure no. Risultati percentuali relativi al quesito 3 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

4.

0.32% 3.86% 0.82% 2.78% 84.48%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

84.48% 7.78% 7.74%

Nell’atrio di ingresso di un condominio è appeso un cartello con il seguente avviso: È permesso giocare a calcio in cortile, tranne che dalle ore 13.00 alle ore 16.00 e di domenica Se ne può dedurre che in quel condominio: A. non è vietato giocare a calcio in cortile alle ore 12.00, purché non sia domenica B. non è vietato giocare a calcio in cortile la domenica dalle ore 16.00 in poi C. nei giorni diversi da domenica è vietato non giocare a calcio in cortile prima delle 13.00 e dopo le 16.00 D. non è vietato giocare a calcio in cortile alle ore 14.00, purché non sia domenica E. non è vietato giocare a calcio in cortile alle ore 14.00, purché sia domenica 51


Soluzione La risposta A è giusta.

Sul cartello sta scritto:

È permesso giocare a palla in cortile, tranne che dalle ore 13.00 alle ore 16.00 e di domenica il che significa che alle 12 si può giocare a palla in cortile, purché NON sia domenica La risposta B è sbagliata. Alla domenica NON si può proprio giocare a palla in cortile, in nessun momento della giornata La risposta C è sbagliata. Si può giocare a palla in cortile prima delle 13 e dopo le 16 nei giorni non festivi, ma non è obbligatorio! L’errore della formulazione è generato dallo spostamento di posizione del connettivo logico NON. Infatti: è permesso giocare a calcio in cortile significa non è vietato giocare... invece è vietato NON giocare a calcio in cortile significa si deve giocare a calcio..., è fatto obbligo giocare a calcio La risposta D è sbagliata. Dalle 13 alle 16 NON si può giocare a palla in cortile, in nessun giorno della settimana. Quindi alle 14 è vietato il gioco della palla nel cortile. La risposta E è sbagliata. qualsiasi altro momento.

Di domenica NON si gioca a palla in cortile, né alle 14.00 né in

Risultati percentuali relativi al quesito 4 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

5.

81.70% 3.50% 5.63% 5.59% 1.38%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

81.70% 16.11% 2.19%

Con quale coppia di numeri continuereste la seguente successione di interi’ 1, 2; 2, 4; 5, 8; 10, 14; 17, 22; 26, 32; . . . , . . . A. B. C. D. E.

40, 80 46, 64 40, 67 37, 44 44, 16

52


Soluzione La risposta E è giusta. La differenza tra il primo termine di ogni coppia e il corrispondente della coppia che precede cresce come la successione dei numeri dispari. Chiamiamo x il primo termine della coppia di numeri cercata. Poiché (2 − 1) = 1, (5 − 2) = 3, (10 − 5) = 5, (17 − 10) = 7, (26 − 17) = 9 ↓

(x − 26) = 11 −→ x = 26 + 11 = 37

Esaminiamo ora i secondi termini: la differenza tra il secondo termine di ogni coppia e quello della coppia precedente cresce come la successione dei numeri pari. Chiamiamo y il secondo termine della coppia che cerchiamo e otteniamo: (4 − 2) = 2, (8 − 4) = 4, (14 − 8) = 6, (22 − 14) = 6, (32 − 22) = 10 ↓

(y − 32) = 12 −→ y = 32 + 12 = 44 Cerchiamo qualche idea su come affrontare quesiti che coinvolgono successioni numeriche, consapevoli, però, che gli spunti dati non sono assolutamente esaustivi. Tanto per cominciare è opportuno studiare la legge di variazione dei singoli termini della coppia. Si possono presentare due situazioni diverse. NOTA

1. Il primo e il secondo numero della coppia ordinata di numeri variano con leggi tra di loro indipendenti. Ad esempio: Con quale coppia di numeri continuereste la seguente successione di numeri interi? 1, 2; 2, 4; 5, 8; 10, 14; 17, 22; 26, 32; . . . , . . . Disponiamo il primo termine di ogni coppia in fila: 1, 2, 5, 10, 17, 26. . . . Procediamo in modo analogo per il secondo termine: 2, 4, 8, 14, 22, 32. . . Cerchiamo di capire se: • le singole successioni numeriche sono crescenti, decrescenti, oscillanti... • si passa da un numero al successivo aggiungendo/togliendo una costante, • si passa da un numero al successivo moltiplicando/dividendo per una costante • i singoli numeri sono tutti pari, tutti dispari 53


• si passa da un termine al successivo aggiungendo un numero variabile, ma crescente come la successione dei numeri dispari, dei numeri pari... • .... • .... 2. I termini di ogni coppia sono legati tra loro e la coppia successiva è legata alla precedente da una qualche legge. Ad esempio: Con quale coppia di numeri continuereste la seguente successione di numeri interi? 1, 1; 2, 4; 5, 25; 26, 676; . . . • il secondo numero di ogni coppia è legato al primo termine della stessa coppia: è il suo quadrato • il primo numero di ogni coppia, dalla seconda in poi, è il successivo del secondo numero della coppia precedente Ci aspettiamo che la prima coppia mancante sia 677, 6772 cioè 677, 458329

Risultati percentuali relativi al quesito 5 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

6.

0.29% 0.59% 0.71% 86.36% 0.45%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

86.36% 2.04% 11.60%

Nonno Peperino non ricorda più la combinazione del suo forziere elettronico. Egli ricorda solo che: • è di quattro cifre distinte fra 0 e 9 • non vi compare il 4 • la terza cifra è la metà della quarta • le cifre sono in ordine crescente dalla prima all’ultima Qual è il minimo numero di tentativi che Nonno Peperino deve fare per essere sicuro di aprire il forziere? A. B. C. D. E.

3 4 5 6 2 54


Soluzione La risposta A è giusta. L’informazione più utile, per riflettere sulle ipotesi del quesito, è che la terza cifra è la metà della quarta; dunque la quarta cifra deve essere pari. Non può essere 4, ma deve essere maggiore di 4 per poter avere le tre cifre, che la precedono, minori (le cifre della combinazione della cassaforte sono crescenti dalla prima all’ultima). • Quindi la quarta cifra può solo essere 6. Non può essere 8, perché in terza posizione non ci può essere il 4. • la terza cifra quindi è 3 • la seconda cifra, deve essere minore di 3, ma non può essere zero (lo zero può essere solo in prima posizione). Quindi la seconda cifra può essere 2 oppure 1 • la prima cifra è 1 oppure 0, se in seconda posizione c’è il 2; 0 se in seconda posizione c’è 1 Le combinazioni possibili sono quindi tre: 1)

0, 2, 3, 6

2)

1, 2, 3, 6

3)

0, 1, 3, 6

e tre è il minimo numero di tentativi che Nonno Peperino deve fare per essere sicuro di aprire il forziere: Schematizziamo, ancora una volta, in un diagramma ad albero, la situazione. Anzi è più facile invertire l’ordine e partire subito dal diagramma. IV cifra

III cifra

II cifra

I cifra 0

2 1

3

6

0

1 8

Non è possibile

Risultati percentuali relativi al quesito 6 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

30.62% 5.57% 2.37% 7.38% 21.53%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

55

30.62% 36.86% 32.52%


7.

Due giocatori, Aldo e Bruno, a turno dispongono su una scacchiera 3 × 3, una per volta, pedine identiche tutte nere. Vince il primo giocatore che riesce a completare un terzetto in una fila orizzontale, verticale o una delle due diagonali. Quante sono le mosse con cui può iniziare la partita il primo giocatore (Aldo) in modo da potersi garantire la vittoria indipendentemente da come giocherà Bruno? A. 8 B. 1 C. 0, nel senso che Bruno può sempre rispondere in modo opportuno e garantirsi la vittoria D. 5 E. 9

Soluzione La risposta E è giusta. Ecco la scacchiera: (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) Analizziamo le prime possibili mosse di Aldo. 1. Aldo posiziona la sua prima pedina in (2,2): ha la vittoria in tasca alla seconda sua pedina, qualsiasi sia la mossa di Bruno. 2. Aldo posiziona la sua prima pedina in una cella d’angolo. Per la simmetria di gioco della scacchiera, limitiamo lo studio al caso in cui Aldo scelga la cella (1,1), perché la situazione è uguale per gli altri tre angoli 3. Aldo posiziona la sua prima pedina in una casella centrale, ma sul bordo, per esempio in (1,2), perché la situazione si ripresenta tale e quale se sceglie (2,1), (2,3), (3,2) Con scelte di tipo (1,1) oppure (1,2) Aldo ha la possibilità di vincere con la sua seconda o terza pedina, qualsiasi sia la cella scelta di Bruno. Provare per credere studiando le sei scacchiere disegnate (non lasciamoci trarre in inganno, le pedine di Aldo e Bruno sono tra loro indistinguibili!) A seconda della strategia di gioco di Bruno, Aldo ha due strade diverse per vincere. • Se Bruno (secondo giocatore) posiziona la sua prima pedina in modo che le prime due pedine posate sulla scacchiera siano allineate tra loro orizzontalmente, verticalmente oppure diagonalmente, con una sola casella vuota per completare l’allineamento, per esempio: 1. Aldo occupa la cella (1, 1) −→ Bruno risponde in (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3) 2. Aldo occupa la cella (1, 2) −→ Bruno risponde in (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 2) 56


il gioco è fatto! È sufficiente che Aldo posizioni la sua seconda pedina nell’unica cella vuota dell’allineamento. È la situazione rappresentata nelle prime tre scacchiere della figura sottostante. • Se Bruno posiziona la sua prima pedina in modo che non sia allineata né orizzontalmente, né verticalmente, né diagonalmente con la prima pedina di Aldo, per esempio: 1. Aldo gioca in (1, 1) −→ Bruno risponde in (3, 2), (2, 3)

2. Aldo gioca in (1, 2) −→ Bruno risponde in (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3) Aldo deve allora posizionare la sua seconda pedina in modo da non lasciare chiudere la partita a Bruno (sesta scacchiera), ma può farlo. È la situazione rappresentata nella quarta e quinta scacchiera della figura. Aldo deve posizionare la sua seconda pedina nell’unica cella vuota che si trova sull’incrocio di due linee (una orizzontale ed una verticale) che NON hanno ancora pedine e. . . poi pazientare. Non vince alla sua seconda mossa, ma alla terza. È la situazione rappresentata nella quarta e quinta scacchiera. A1

A1

A2 !

B1

B1

A1 A2 !

A2 !

B1

Aldo vince con la sua II pedina A1 A3 !

A1 B2

A2

A1

A2 A3 !

B1

B2

Aldo vince con la sua III pedina

B1

B2 !

B1

Aldo perde Bruno vince con la sua II pedina

Risultati percentuali relativi al quesito 7 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

1.20% 17.62% 27.50% 5.96% 6.54%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

57

A2

6.54% 52.28% 41.18%


8.

Franco il tabaccaio ha in cassa 195 euro e non ha monete. Un cliente gli chiede se ha da cambiare 10, 20, 50 o 100 euro, ma Franco risponde a malincuore di no a tutte le richieste. Quanti pezzi da 20 euro ha in cassa Franco? A. B. C. D. E.

1 4 3 2 0

Soluzione La risposta D è giusta. 5 euro, da 10 euro,. . . ?

Infatti che cosa può avere in cassa il tabaccaio Franco? Quanti pezzi da

• biglietti da 5 euro: deve averne almeno uno, ma non può averne due o più di due, perché in questo caso avrebbe da cambiare 10 euro al cliente. • biglietti da 10 euro: può averne nessuno o al massimo uno, perché in caso contrario potrebbe cambiare i 20 euro del cliente. • biglietti da 20 euro: può averne nessuno, uno oppure al massimo due (due, se solo se non ha biglietti da 10 euro, per non poter cambiare il biglietto da 50 euro del cliente) • biglietti da 50 euro: deve averne uno ed uno solo, per non poter cambiare il biglietto da 100 euro ed avere un totale superiore a 100 euro • biglietti da 100 euro: deve averne uno ed uno solo: in cassa ha solo 195 euro Contiamo i biglietti che sicuramente Franco ha in cassa e il loro ammontare: (1 · 100 + 1 · 50 + 1 · 5) euro = 155 euro In cassa ci sono ancora altri 40 euro che possono essere solo la somma di due biglietti da 20 euro Risultati percentuali relativi al quesito 8 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

7.18% 12.18% 1.45% 42.80% 10.56%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

58

42.80% 31.36% 25.84%


9.

Il cuoco Giovanni osserva che cucinando l’arrosto se non si usa il forno a gas la carne o è cruda all’interno o è bruciata all’esterno o entrambe le cose. Quindi se ne deduce che A. se l’arrosto ha l’interno ben cotto è stato cotto nel forno a gas B. se l’arrosto ha l’interno ben cotto o non è bruciato all’esterno è stato cotto nel forno a gas C. se l’arrosto ha l’interno ben cotto e non è bruciato all’esterno è stato cotto nel forno a gas D. se l’arrosto è crudo all’interno non è stato cotto nel forno a gas E. se l’arrosto è stato cotto nel forno elettrico la carne è cruda all’interno e bruciata all’esterno

Soluzione La risposta A è sbagliata.

L’ipotesi

se NON si usa il forno a gas allora la carne o è cruda all’interno o è bruciata all’esterno o entrambe le cose equivale a dire: arrosto ben cotto all’interno e non bruciato in superficie −→ forno a gas L’interno dell’arrosto è ben cotto, ma come è l’esterno? È bruciato? Il realizzarsi di una sola delle due condizioni NON garantisce che sia stato cotto in un forno a gas La risposta B è sbagliata.

L’ipotesi

se NON si usa il forno a gas allora la carne o è cruda all’interno o è bruciata all’esterno o entrambe le cose equivale a dire: arrosto ben cotto all’interno e non bruciato in superficie −→ forno a gas Dunque, per essere sicuri che l’arrosto sia stato cotto in un forno a gas deve avere l’interno ben cotto e l’esterno non bruciato La risposta C è giusta.

L’ipotesi

se NON si usa il forno a gas allora la carne o è cruda all’interno o è bruciata all’esterno o entrambe le cose equivale a dire: arrosto ben cotto all’interno e non bruciato in superficie −→ forno a gas Dunque, se l’arrosto 59


è ben cotto all’interno e non è bruciato all’esterno deve essere stato cotto da un forno a gas. Illustriamo con uno schema la situazione del quesito. Se: p =⇒ q arrosto crudo all’interno forno NON a gas

arrosto bruciato all’esterno arrosto crudo all’interno e bruciato all’esterno

Attenzione che: q =⇒ 6 p

Infatti arrosto crudo all’interno

forno NON a gas

arrosto bruciato all’esterno

forno a gas e cuoco inesperto

arrosto crudo all’interno e bruciato all’esterno

forno a gas e altri problemi

La risposta D è sbagliata.

L’ipotesi

se NON si usa il forno a gas allora la carne o è cruda all’interno o è bruciata all’esterno o entrambe le cose equivale a dire: senza il forno a gas

−→

con forno a gas

−→

l’arrosto ha carne cruda all’interno o bruciata all’esterno oppure sia cruda all’interno sia bruciata all’esterno ?

Infatti la premessa non dice nulla su cosa avviene con il forno a gas: il forno a gas è necessario per cuocere un arrosto bene, ma da solo non è sufficiente. Molte altre condizioni sono richieste: per esempio che il cuoco non sia sbadato, inesperto, metta il forno ad una temperatura né troppo alta né troppo bassa... e lasci l’arrosto nel forno per il tempo necessario. Quindi la risposta è sbagliata, perché l’arrosto crudo all’interno... 60


può essere causato da un forno non a gas, ma anche da un utilizzo non appropriato del forno a gas La risposta E è sbagliata.

L’ipotesi

se NON si usa il forno a gas allora la carne o è cruda all’interno o è bruciata all’esterno o entrambe le cose equivale a dire: con il forno elettrico (non a gas) −→ l’arrosto ha carne cruda all’interno o bruciata all’esterno oppure entrambe le cose L’errore sta nell’utilizzo del connettivo logico e: la carne potrebbe essere anche solo cruda all’interno o solo bruciata all’esterno e non necessariamente devono realizzarsi entrambe le condizioni È un quesito che può trarre in inganno. È necessario leggere attentamente il testo e decodificarlo. Riconoscere subito che appartiene alla famiglia dei quesiti di logica del tipo NOTA

p =⇒ q Ad esempio: se piove apro l’ombrello - è sufficiente che piova, perché io apra l’ombrello. Questa affermazione significa che qualora piova io apro l’ombrello, ma non ho informazioni su quello che farò nel caso in cui NON piova: posso aprire ugualmente l’ombrello, per ripararmi dal sole. È bene, inoltre, ricordare che p =⇒ q mentre

p =⇒ q

equivale a (NONq) =⇒ (NON p)

NON equivale a (NON p) =⇒ (NONq)

Ad esempio da: se piove apro l’ombrello posso dedurre che se NON apro l’ombrello è perchè NON piove ma non è vero che se NON piove allora NON apro l’ombrello Si faccia inoltre molta attenzione a non confondere la famiglia di quesiti con l’implicazione semplice (p =⇒ q) con la famiglia di quesiti che contengono la biimplicazione: p ⇐⇒ q Ad esempio: apro l’ombrello se e solo se piove vuol dire condizione necessaria e sufficiente affinché apra l’ombrello è che piova. Ciò significa che qualora piova io apro l’ombrello, ma se non piove NON lo apro proprio. 61


Risultati percentuali relativi al quesito 9 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

10.

2.72% 20.95% 41.00% 16.10% 4.73%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

41.00% 44.50% 14.50%

Il grande teorico dei numeri Kontakerikonta ha scoperto i numeri Incredibili; egli non sa ancora se essi siano in numero finito, però ha fatto la seguente congettura: • se sono infiniti, almeno uno di essi deve avere 8 fattori primi distinti Il suo allievo Rikontoijo studiando con cura questi numeri, dimostra che la congettura di Kontakerikonta è falsa. Dunque Rikontoijo ha provato che: A. se i numeri Incredibili sono una quantità finita, nessuno di essi ha 8 fattori primi distinti B. se i numeri Incredibili sono una quantità finita, tutti hanno 8 fattori primi distinti C. i numeri Incredibili sono infiniti D. i numeri Incredibili sono infiniti e nessuno di essi ha 8 fattori primi distinti E. i numeri Incredibili sono infiniti e hanno tutti 8 fattori primi distinti

Soluzione La risposta A è sbagliata. La risposta sposta la proprietà formulata da Kontakerikonta per i numeri Incredibili, di quantità infinita, a quelli invece finiti in numero. Su questo insieme il professore non fa nessuna ipotesi La risposta B è sbagliata. dal professore.

La risposta parla di un insieme di numeri non presi in considerazioni

La risposta C è sbagliata.

La congettura di Kontakerikonta prevede che

se i numeri Incredibili sono infiniti, almeno uno di essi deve avere 8 fattori primi distinti La formulazione della risposta è sbagliata perché non dà informazioni sulla fattorizzazione dei numeri Incredibili: nessuno deve avere 8 fattori primi distinti La risposta D è giusta. Kontakerikonta, pur non sapendo se i numeri Incredibili sono una quantità infinita o finita, formula una congettura, un’ipotesi sui numeri Incredibili, qualora siano infiniti in numero (non formula invece ipotesi sui numeri Incredibili finiti in quantità. L’allievo Rikontoijo, studiando con cura questi numeri, non nega che i numeri Incredibili siano infiniti in numero: nega la congettura sulla loro proprietà. Negare la congettura significa dimostrare che è vera la negazione della congettura. Quindi il risultato che dimostra è che i numeri Incredibili sono infiniti, ma non hanno la proprietà prevista da Kontakericonta 62


ovvero, dimostra che l’insieme dei numeri Incredibili è una quantità infinita e nessun numero Incredibile ha 8 fattori primi distinti La risposta E è sbagliata. in numero:

Kontakerikonta formula una congettura sui numeri Incredibili infiniti

almeno uno di essi deve avere 8 fattori primi distinti Se la congettura è falsa significa che L’insieme degli Incredibili è una quantità infinita e non esiste nessun numero Incredibile con otto fattori primi tutti distinti Risultati percentuali relativi al quesito 10 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

11.

15.42% 4.09% 2.14% 31.93% 1.91%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

31.93% 23.57% 44.50%

Gli archeobatteri sono organismi unicellulari che vivono in stagni e si riproducono per scissione (cioè ogni batterio si divide in due e forma due altri batteri uguali). Se si immette un archeobatterio in un certo stagno, esso ogni giorno si riproduce per scissione una sola volta, e dopo 30 giorni la superficie dello stagno è completamente ricoperta dai batteri. Quanti giorni ci vorranno affinché la superficie dello stesso stagno sia completamente ricoperta, se inizialmente vi si immettono due archeobatteri? A. B. C. D. E.

30 giorni 28 giorni 29 giorni dipende dalla superficie dello stagno 15 giorni

Soluzione La risposta A è sbagliata. Non è la risposta esatta. In 30 giorni lo stagno si riempie se nell’istante iniziale c’è un solo archeobatterio. La risposta B è sbagliata. La risposta C è giusta. teri.

Una sola risposta numerica va bene e non è questa

Ci serviamo di una tabella per capire la legge di crescita degli archeobat-

63


n. batt.

g. 1

g. 2

g. 3

g. 4

...

g. 29

g. 30

1

1

2

4

8

...

228

stagno pieno

1

20 = 1

21 = 2

22 = 4

23 = 8

...

228

229

Ora ripetiamo il calcolo con due batteri, sapendo che lo stagno pieno deve contenere 229 archeobatteri.

n. batt.

g. 1

g. 2

g. 3

g. 4

...

g. 28

g. 29

2

2

4

8

16

...

228

stagno pieno

2

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

...

228

229

Possiamo osservare che, partendo con due archeobatteri il primo giorno, il numero dei batteri di un giorno qualsiasi è quello che ci sarebbe, con un solo archeobatterio iniziale, il giorno successivo. Allora lo stagno si riempie dopo 29 giorni. La risposta D è sbagliata. È vero che il numero di giorni dipende dalle dimensioni dello stagno, ma sapendo che con un archeobatterio occorrono 30 giorni e che lo stagno è sempre lo stesso, il tempo con due archeobatteri si può determinare senza conoscere le dimensioni dello stagno. La risposta E è sbagliata. dimezza!

La risposta esatta è un’altra. Con due archeobatteri il tempo non si

Risultati percentuali relativi al quesito 11 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

2.18% 1.68% 23.95% 7.71% 41.89%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

64

23.95% 53.45% 22.59%


12.

Un’indagine svolta tra tutti i 1000 abitanti della cittadina di Sparagna al di sopra dei 55 anni, mostra che il 40% di loro possiede un frigorifero, che il 25% possiede un televisore, e che il 15% li possiede entrambi. Dunque, nella cittadina di Sparagna: A. al di sotto dei 55 anni meno del 40% della popolazione possiede un frigorifero B. meno del 45% della popolazione al di sopra dei 55 anni possiede televisore o frigorifero C. il 50% della popolazione al di sopra dei 55 anni non possiede né televisore né frigorifero D. al di sotto dei 55 anni più del 25% della popolazione possiede un televisore E. più del 50% della popolazione al di sopra dei 55 anni ha televisore o frigorifero

Soluzione La risposta A è sbagliata. Le ipotesi del quesito non forniscono informazioni sui cittadini di Sparagna di età inferiore ai 55 anni. La risposta B è sbagliata. al di sopra dei 55 anni

Possiede televisore o frigorifero esattamente il 50% della popolazione

La risposta C è giusta. Poiché a Sparagna i cittadini di età superiore a 55 anni che hanno televisore o frigorifero o entrambi sono la metà: 400 + 250 − 150 = 500

−→

50%

l’altra metà della popolazione, cioè il 50%, non ha né televisore né frigorifero. Visualizziamo la situazione con uno schema a diagrammi di Venn.

50% né frigorifero né televisore

15% 25% frigorifero solo frigorifero e televisore

10% solo televisore

Totalità abitanti di Sparagna con età superiore a 55 anni

65


La risposta D è sbagliata. L’indagine svolta a Sparagna ha coinvolto i 1000 abitanti con età al di sopra di 55 anni. Non sappiamo quanti, al di sotto di 55 anni, hanno il televisore. La risposta E è sbagliata. Il numero di cittadini di Sparagna con più di 55 anni con televisore o frigorifero, tenendo conto che il 15 % li possiede entrambi, è: 400 + 250 − 150 = 500

−→

50%

La risposta è sbagliata perché prevede una percentuale maggiore strettamente del 50% (piú del 50%) e non del 50%. Risultati percentuali relativi al quesito 12 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

13.

1.15% 14.16% 10.94% 1.69% 35.32%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

10.94% 52.32% 36.75%

Quali dei numeri x, y proposti vanno inseriti nella tabella?

A. B. C. D. E.

1

3

6

10

x

21

28

1

2

6

24

120

y

5040

x = 14 e y = 720 x = 14 e y = 240 x = 15 e y = 720 x = 12 e y = 240 x = 15 e y = 240

Soluzione La risposta A è sbagliata.

La risposta numerica è unica e non è questa

La risposta B è sbagliata. In questo quesito o si procede per tentativi ed errori oppure si risolve il problema proposto e si sceglie. Se la scelta è questa ... è sbagliata La risposta C è giusta. Il quesito propone due insiemi di numeri: è necessario individuare le leggi che generano i due gruppi, sapendo che possono anche essere diverse. Proviamo a riscrivere i numeri della prima riga della tabella: 1, 3, 6, 10, x, 21, 28 • i numeri sono posti in ordine strettamente crescente 66


• la differenza tra un numero e il precedente NON è costante • scriviamo le differenze: (3 − 1 = 2), (6 − 3 = 3), (10 − 6 = 4), (x − 10 =?), (21 − x =?), (28 − 21 = 7) • la differenza tra un numero e quello che lo precede cresce come la successione dei numeri naturali x − 10 = 5 −→ x = 15; 21 − x = 6 −→ x = 15 Proviamo a riscrivere i numeri della seconda riga della tabella: 1, 2, 6, 24, 120, y, 5040 • i numeri sono posti in ordine strettamente crescente • la differenza tra un numero e il precedente NON è costante • il rapporto tra un numero e quello che lo precede NON è costante • scriviamo i rapporti: (2/1 = 2), (6/2 = 3), (24/6 = 4), (120/24 = 5), (y/120 =?), (5040/y =?) • il rapporto tra un numero e quello che lo precede cresce come la successione dei numeri naturali y/120 = 6 −→ y = 720; 5040/y = 7 −→ y = 720 La risposta D è sbagliata. Ancora una risposta numerica sbagliata. Se la risposta ipotizzata è questa, allora è sbagliato il metodo di lavoro La risposta E è sbagliata. coppia

La risposta giusta è un’altra. È esatto uno dei due numeri della

Risultati percentuali relativi al quesito 13 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

3.17% 1.05% 71.06% 1.04% 2.66%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

67

71.06% 7.92% 21.02%


14.

Luigina afferma: • il martedì, se faccio il bagno poi vado al mercato. L’altro ieri era martedì, e ho fatto il bagno • ieri non ho fatto il bagno e sono andata al mercato • oggi andrò al mercato e forse mi farò anche il bagno Ne consegue necessariamente che: A. B. C. D. E.

tutte le volte che Luigina va al mercato, non si fa il bagno il martedì Luigina fa sempre il bagno se Luigina fa il bagno di mercoledì, poi non va al mercato l’altro ieri Luigina non è andata al mercato a volte Luigina va al mercato senza essersi fatta il bagno

Soluzione La risposta A è sbagliata. Luigina stessa dice che il martedì, se fa il bagno, poi va al mercato. La risposta B è sbagliata. fa il bagno tutti i martedì.

Se Luigina fa il bagno il martedì poi va al mercato. Non dice, però se

La risposta C è sbagliata.

Dalle ipotesi sappiamo che:

ieri (mercoledì) Luigina non ha fatto il bagno ed è andata al mercato. Luigina dice cosa ha fatto ieri, mercoledì, ma non dice cosa fa in genere il mercoledì e neppure ci comunica se, quando fa il bagno il mercoledì, poi va o non va al mercato La risposta D è sbagliata. mercato! La risposta E è giusta.

L’altro ieri era martedì e Luigina ha fatto il bagno, quindi è andata al

Luigina stessa dice:

ieri (mercoledì) NON ho fatto il bagno e sono andata al mercato Risultati percentuali relativi al quesito 14 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

0.48% 2.79% 1.91% 2.45% 76.71%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

68

76.71% 7.64% 15.65%


15.

In una discussione tra amici, Antonio dice: A tutti noi piace il caffè, tranne che a Paola, a cui non piace Fabio osserva che Antonio ha torto. Ne consegue che: A. B. C. D. E.

a tutti gli amici piace il caffè a Paola piace il caffè a uno degli amici, che non è Paola, non piace il caffè o a Paola piace il caffè, oppure c’è qualcuno tra gli amici, oltre Paola, a cui il caffè non piace non è possibile che il caffè dispiaccia a uno solo tra gli amici

Soluzione La risposta A è sbagliata. La negazione dell’affermazione di Antonio A tutti noi piace il caffè, tranne che a Paola, a cui non piace porta a dire che: o a Paola piace il caffè oppure c’è qualcuno tra gli amici, oltre Paola, a cui non piace il caffè. La risposta proposta considera solo il caso in cui anche a Paola piace il caffè e non l’eventualità che esista qualche altro amico a cui non piace, visto che Fabio afferma che Antonio ha torto. La risposta B è sbagliata.

L’ipotesi del quesito

a tutti noi piace il caffè, tranne che a Paola, a cui non piace parla sia di Paola sia degli amici, diversi da Paola. Fabio ha ragione non solo se a Paola piace il caffè, ma anche se, oltre a Paola, il caffè non piace ad almeno un altro amico di Antonio. La risposta C è sbagliata.

Se è falsa la premessa del quesito

a tutti noi piace il caffè, tranne che a Paola, a cui non piace allora o a Paola piace il caffè oppure c’è qualcuno tra gli amici, oltre Paola, a cui non piace il caffè La risposta proposta a uno degli amici, che non è Paola, non piace il caffè prende in considerazione solo una delle due eventualità, compatibili con la negazione dell’affermazione di Antonio. La risposta D è giusta. L’ipotesi A tutti noi piace il caffé, tranne che a Paola, a cui non piace dice che 69


tra tutti gli amici di Antonio, solo a Paola non piace il caffé Se Antonio ha torto e ha ragione Fabio allora 1) a Paola piace il caffè così come a qualsiasi altro amico di Antonio, diverso da Paola oppure 2) a Paola piace il caffè ed esiste almeno un altro amico di Antonio, diverso da Paola, a cui non piace il caffè oppure 3) a Paola non piace il caffè ed esiste almeno un altro amico di Antonio, diverso da Paola, a cui non piace il caffè Nei primi due casi è evidente che: a Paola piace il caffè mentre la terza ipotesi ci dice che: esiste almeno un altro amico, oltre Paola, a cui non piace il caffè La risposta esatta è: o a Paola piace il caffè, oppure c’è qualcuno tra gli amici, oltre Paola, a cui il caffè non piace La risposta E è sbagliata. È un pensiero del linguaggio comune, non logicamente deducibile dalle ipotesi del quesito. Potrebbe essere un’affermazioni tra amici Risultati percentuali relativi al quesito 15 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

1.42% 3.96% 3.63% 74.67% 1.46%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

70

74.67% 10.46% 14.86%


COMPRENSIONE VERBALE Commenti e soluzioni di Claudio Beccari Introduzione Malgrado l’enfasi, talvolta esagerata, sull’efficacia della comunicazione iconica, tanto che si è parlato di civiltà dell’immagine, il testo verbale rimane lo strumento fondamentale dell’apprendimento e della diffusione culturale. Questo perché esso si serve del linguaggio, cioè di segni – le parole – che sollecitano direttamente, con o senza il tramite di una immagine mentale, la formazione o la rievocazione dei concetti mediante i quali noi operiamo ciò che in modo forse approssimativo chiamiamo pensare. Ogni concetto a sua volta si determina, si arricchisce, si flette in funzione dell’intero contesto, in una trama di correlazioni sintattiche che rimandano, pur senza identificarsi con esse, alle correlazioni logiche. Ogni testo, anche il più banale, di qualsiasi genere – storico, politico, letterario, tecnico o divulgativo – contiene un messaggio, anzi sottende, in modo esplicito o più frequentemente implicito, tutta una visione della realtà. Certo, dal punto di vista fisico, un testo non è che una serie di macchie d’inchiostro sulla carta o una serie di modificazioni elettroniche sullo schermo di un computer; esso comincia a vivere, ad esplicitare la propria funzione quando viene letto e compreso. Per questo l’abilità della comprensione verbale costituisce una dote imprescindibile per chiunque voglia affrontare i livelli di istruzione superiore. Gianfranco Caletti La scelta per l’anno accademico 2009 ha privilegiato testi di carattere logico-storico-scientifico, in sintonia con il tipo di facoltà cui i candidati chiedono di accedere. Gli argomenti che i testi propongono non sono troppo tecnici o peregrini, anzi si riferiscono a questioni molto dibattute anche in pubblicazioni a carattere divulgativo. Una buona soluzione richiede attenzione nella lettura, capacità di individuare con chiarezza il senso complessivo del testo, enucleandone con precisione i concetti, ed una adeguata abilità interpretativa. Per maggiore chiarezza nella discussione delle risposte, i testi qui riprodotti sono stati dotati della numerazione dei periodi in modo che le soluzioni dei quesiti possano farvi riferimento così da evitare inutili ripetizioni o circonlocuzioni di difficile comprensione. La sezione consiste di 15 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti. Il risultato ottenuto dai circa 28 164 candidati nella prova del settembre 2009 è presentato in forma di distribuzione percentuale nella figura seguente: ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale nella Sezione di Comprensione Verbale compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse. Il Punteggio Parziale può variare teoricamente tra −3,75 e 15 punti, mentre il punteggio mediano è di circa 6 punti. 71


confronto distribuzione C.VERBALE 14%

100,00% 90,00%

12% 2009 cum 2009

80,00%

10%

70,00% 60,00%

8%

50,00% 6%

40,00% 30,00%

4%

20,00% 2% 10,00% 0,00%

0% -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 <15 15

Percentuale dei candidati per Punteggio Parziale ottenuto nella Comprensione Verbale TESTO I

La libertà 1 So

che discutere dei giudizi di valore fondamentali è un’impresa disperata. Per esempio se qualcuno approva, come obiettivo, l’estirpazione della razza umana dalla terra, non è possibile rifiutare tale punto di vista su basi razionali. Ma se si arriva a un accordo su certi obiettivi e valori, si può discutere razionalmente dei mezzi con cui conseguire tali obiettivi. Indichiamo, allora, due obiettivi sui quali quasi tutti coloro che leggeranno queste righe potranno agevolmente convenire. 1. I beni strumentali che dovrebbero servire a mantenere la vita e la salute di tutti gli esseri umani andrebbero prodotti con la minor fatica possibile per tutti. 2. Il soddisfacimento dei bisogni fisici è di fatto la precondizione indispensabile per una buona esistenza, ma ciò di per se non è abbastanza. Per essere contenti gli uomini dovrebbero avere anche la possibilità di sviluppare liberamente le proprie facoltà intellettuali e artistiche, nella misura consentita dalle particolari caratteristiche e abilità di ciascuno. 2 Il

primo dei due obiettivi richiede il perseguimento di ogni possibile conoscenza delle leggi della natura e delle leggi che regolano i processi sociali, vale a dire la promozione di ogni tipo di sforzo scientifico. Perché lo sforzo scientifico è un tutto naturale le cui parti si sostengono a vicenda in un modo che, di fatto, nessuno può anticipare. Tuttavia, il progresso della scienza presuppone la possibilità di comunicare senza alcuna restrizione tutti i risultati e i punti di vista, la libertà d’espressione e di istruzione in tutti gli ambiti dello sforzo intellettivo. 3 Per libertà intendo condizioni sociali tali da impedire che l’espressione di opinioni e affermazioni relative a questioni di scienza generale e particolare comporti pericoli o svantaggi seri per chi le esprime. Questa libertà di comunicazione è indispensabile per lo sviluppo e la diffusione della conoscenza scientifica, una considerazione di grande importanza pratica. In primo luogo essa va garantita per legge. Ma le leggi non possono assicurare da sole la libertà d’espressione; affinché ciascuno possa esprimere le proprie opinioni senza incorrere in penalità deve sussistere un diffuso spirito di tolleranza nell’intera popolazione. Non potremo mai raggiungere del tutto un 72


simile ideale di libertà esteriore, ma dobbiamo perseguirlo senza tregua se vogliamo far progredire il più possibile il pensiero scientifico e la riflessione filosofica e creativa in generale. 4 Se si vuole assicurare anche il secondo obiettivo, cioè la possibilità dello sviluppo spirituale per tutti gli individui, si rende necessario un secondo tipo di libertà esteriore. L’uomo non dovrebbe trovarsi costretto a lavorare per il soddisfacimento delle necessità vitali al punto da non avere più né tempo né energia per le occupazioni personali. Senza questo secondo tipo di libertà esterna, la libertà d’espressione, per lui, è inutile. I progressi tecnologici potrebbero consentire questo secondo tipo di libertà se si riuscisse a risolvere il problema di una ragionevole ripartizione della fatica. 5 Lo sviluppo della scienza e delle attività creative dello spirito in generale richiede un ulteriore tipo di libertà, che potremmo definire libertà interiore. Tale libertà dello spirito consiste nell’indipendenza del pensiero dai vincoli dei pregiudizi autoritari e sociali, come anche dagli stereotipi mentali non in armonia con i principi filosofici e dalla consuetudine in generale. Questa libertà interiore è un dono di natura piuttosto raro e un degno obiettivo per l’individuo. Tuttavia la società può fare molto per favorirne il conseguimento, quantomeno non intralciandone lo sviluppo. Le scuole, per esempio, possono ostacolare lo sviluppo della libertà interiore esercitando sui giovani influenze autoritarie o imponendo loro eccessivi oneri spirituali; d’altro canto le scuole possono favorire tale libertà incoraggiando il pensiero indipendente. Solo attraverso il perseguimento costante e consapevole della libertà esteriore e interiore l’uomo potrà contare su una possibilità di sviluppo e di affinamento spirituale, e con ciò di miglioramento della propria vita esterna e interiore. 16.

La libertà interiore consiste A. B. C. D. E.

nel seguire i propri sentimenti nell’accettazione dei giudizi altrui nello spirito critico nell’indifferenza ai valori sociali nell’affermazione del proprio punto di vista

La risposta A è sbagliata. Il testo non parla mai di sentimenti né esplicitamente né implicitamente. La risposta B è sbagliata. Al contrario la libertà non consiste nell’accettare i giudizi altrui in modo indifferenziato, senza esercitare lo spirito critico. La risposta C è giusta. Il capoverso 5 definisce con precisione la libertà interiore che consiste nell’indipendenza del pensiero dai vincoli dei pregiudizi autoritari e sociali; questo implica l’esercizio dell’atteggiamento critico. La risposta D è sbagliata. Essere indifferenti ai valori sociali non vuol dire essere liberi; i valori sociali sono importantissimi per poter esercitare la libertà esterna. La risposta E è sbagliata. L’affermazione del proprio punto di vista è parte della libertà, ma non è tutto se non tiene conto dei valori sociali condivisi. Risultati percentuali relativi al quesito 16 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

9.95% 6.34% 17.72% 9.81% 44.46%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

73

17.72% 70.57% 11.71%


17.

I giudizi di valore A. B. C. D. E.

non cambiano mai sono legati alle tradizioni sono derivabili da conoscenze scientifiche hanno un fondamento razionale sicuro sono problematici

La risposta A è sbagliata. I giudizi di valore possono cambiare con il progresso della scienza, con l’evoluzione della società e per altre cause. La risposta B è sbagliata. Le tradizioni costituiscono solo in parte il fondamento dei giudizi di valore; la società cambia e le tradizioni si modificano cosicché cambiano anche i giudizi di valore. La risposta C è sbagliata. Certamente le conoscenza scientifiche influenzano i giudizi di valore, ma questi cambiano anche senza l’influenza delle conoscenze scientifiche. La risposta D è sbagliata. Assolutamente no: i giudizi di valore non hanno un fondamento razionale in ogni caso; ci sono giudizi di valore condivisibili da tutti, come indicato nell capoverso 1, ma certe cose, come l’esempio riportato nel capoverso 1, pur non essendo rifiutabili dal punto di vista razionale, non sono affatto condivisibili e quindi non hanno un fondamento razionale. La risposta E è giusta. È quanto viene affermato all’inizio del capoverso 1. Risultati percentuali relativi al quesito 17 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

18.

0.98% 5.89% 7.30% 15.79% 23.72%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

23.72% 29.96% 46.33%

La scuola dovrebbe A. B. C. D. E.

essere condotta in modo autoritario scoraggiare l’originalità trasmettere un sapere acquisito favorire la ripetitività liberare dagli stereotipi

La risposta A è sbagliata. Il capoverso 5 indica questo modo di procedere come un errore da parte della scuola. La risposta B è sbagliata. scoraggiare l’originalità.

Incoraggiare il pensiero indipendente è esattamente il contrario di

La risposta C è sbagliata. La scuola trasmette il sapere acquisito, ma questo non esaurisce il suo compito; il capoverso 5 insiste su questo punto sottolineando l’importanza di sviluppare nei discenti lo spirito critico e il pensiero indipendente. 74


La risposta D è sbagliata. La scuola non deve solo tramettere il sapere acquisito ma deve stimolare la creatività col pensiero indipendente e lo spirito critico. La risposta E è giusta. È appunto quanto si afferma nel capoverso 5 Risultati percentuali relativi al quesito 18 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

19.

3.87% 1.27% 5.17% 0.76% 82.02%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

82.02% 11.07% 6.91%

Il progresso tecnico A. B. C. D. E.

assorbe maggiori energie esige maggiore impegno di lavoro fa aumentare i bisogni concentra l’attenzione sui beni materiali favorisce la libertà

La risposta A è sbagliata. Il progresso tecnico risparmia energie alla persona consentendole di dedicare più tempo e, appunto, energia allo suo sviluppo e alla libertà d’espressione. La risposta B è sbagliata. Il progresso tecnico riduce l’impegno di lavoro delle persone che così hanno maggiore tempo da dedicare alle loro occupazioni personali. La risposta C è sbagliata. Il progresso tecnico non fa necessariamente aumentare i bisogni; consente di dedicare più tempo alle occupazioni personali e perciò non è escluso che le persone abbiano bisogno di disporre di maggiore tempo da dedicare a se stesse; ma questo non implica aumentare i bisogni in generale.. La risposta D è sbagliata. Il progresso tecnico di per sé non concentra l’attenzione delle persone sui beni materiali; lasciando più tempo alle persone per dedicarsi alle occupazioni personali, non è escluso che alcune persone possano occuparsi dei beni materiali, am questo dipende dalle persone, non dal progresso tecnico. La risposta E è giusta. È quanto si deduce dall’intero testo e in particolare dal capoverso 4. Risultati percentuali relativi al quesito 19 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

13.56% 10.17% 1.92% 4.72% 44.81%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

75

44.81% 30.38% 24.81%


20.

Il progresso scientifico A. B. C. D. E.

favorisce l’omologazione dei giudizi è indipendente dalle condizioni sociali non esige uno sforzo comune assicura il dominio sociale sulla natura richiede libertà di comunicazione

La risposta A è sbagliata. Il progresso scientifico migliora lo spirito critico e perciò i giudizi delle persone risultano meno omologati. La risposta B è sbagliata. Le condizioni sociali possono influire sul progresso scientifico, nel senso che possono impedire agli individui la libertà di esercitare il loro pensiero indipendente e critico e quindi di sviluppare nuove conoscenze scientifiche. La risposta C è sbagliata. uno sforzo comune.

Il progresso scientifico deriva dal confronto delle idee e quindi esige

La risposta D è sbagliata. Il progresso scientifico è conoscenza della natura, non un condizionamento individuale o sociale sulla natura. La risposta E è giusta. La libertà di comunicazione è condizione essenziale per l’esercizio della libertà interiore ed esterna, senza la quale il confronto delle idee non può avere luogo. Risultati percentuali relativi al quesito 20 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

2.63% 3.60% 0.83% 1.36% 82.27%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

82.27% 8.42% 9.31%

TESTO II

I graffiti 1 Ciò

che colpisce del periodo romano, e che secondo me non trova paralleli fino a tempi recentissimi, è la dimostrazione che la scrittura veniva usata casualmente, in modo del tutto effimero e quotidiano, ma nondimeno evoluto. Non sorprende che la migliore documentazione di ciò provenga da Pompei, perché l’eruzione del 79 d.C. garantì uno straordinario livello di conservazione degli edifici cittadini e delle varie forme di scrittura che questi portavano. Nell’ambito di Pompei si sono contate più di 11 000 iscrizioni di molti tipi diversi, incise, dipinte o scalfite sui suoi muri. Alcune sono solenni e formali, come le dediche di edifici pubblici e gli epitaffi funerari, simili alle altre che si rinvengono in tutto il mondo romano. Le iscrizioni di questo tipo non dimostrano necessariamente una alfabetizzazione diffusa. Il numero enorme che ne venne prodotto in età romana potrebbe riflettere la moda di questo particolare mezzo di ostentazione, più che una spettacolare diffusione della capacità di leggere e scrivere. 76


2 Altre

iscrizioni pompeiane sono forse più indicative, perché evidenziano il desiderio di comunicare con i concittadini in maniera meno formale e più quotidiana. 3 I graffiti sono testimonianze ancora più evidenti della diffusione e dell’impiego della scrittura nella società pompeiana. Essi si trovano in tutta la città, scarabocchiati su pietra o su intonaco da cittadini con tempo da perdere e un messaggio da trasmettere a futuri perditempo. 4 Anche se non possiamo calcolare la percentuale di Pompeiani alfabetizzati (il 30 per cento, o di più, o forse soltanto il 10 per cento?), possiamo però affermare con sicurezza che la scrittura era una parte essenziale e quotidiana della vita cittadina. Essa era perfino così diffusa da esser presa blandamente in giro. 5 Pompei documenta in maniera straordinariamente ricca una città che impiegava la scrittura a numerosi livelli diversi, dal grandioso al trivialissimo. È anche probabile che fosse un centro eccezionalmente alfabetizzato. Un villaggio rurale in Italia allo stesso livello di conservazione di Pompei, o una città di una regione meno tradizionalmente alfabetizzata, quasi certamente restituirebbe un numero molto minore di documenti sull’uso della scrittura. Ciò però non significa che la scrittura, sia pure a livello effimero e banale, non raggiungesse le regioni decentrate. La Britannia romana ha prodotto esempi di scrittura molto meno numerosi dell’Italia centrale contemporanea, ma col vantaggio che ognuno di essi è stato attentamente raccolto e pubblicato. I volumi risultanti sono smilzi rispetto alla documentazione di Pompei, ma non meno impressionanti. Vi sono iscrizioni di una straordinaria varietà di tipi: dediche formali ed epitaffi su pietra; timbri di fabbricanti su una gran varietà di oggetti (come lingotti, tegole, recipienti metallici, vasellame e pellame); iscrizioni su etichette di metallo e sigilli; oltre a brevi iscrizioni graffite soprattutto come indicazioni di proprietà, su oggetti diversi di ogni tipo (ad esempio, 875 su frammenti di vasellame da tavola, e 619 su ceramica da cucina). La varietà di questa lista è davvero impressionante. Ne fanno parte, ad esempio, ventisette frammenti di barili di legno, che recano marchiato o graffito il nome o le iniziali dei proprietari, e trentuno timbri a lettere minutissime, che si crede servissero a contrassegnare gli unguenti dispensati dagli oculisti. 6 L’archeologia della Britannia romana è eccezionalmente conosciuta e ben pubblicata. Perciò è stato addirittura possibile documentare la distribuzione in tutta la provincia degli stili romani, le piccole cannucce metalliche usate per scrivere sulle tavolette di cera. Di questi, circa 350 sono stati segnalati in siti rurali, soprattutto nella più ricca parte sudorientale, ma ne esistono tracce anche in quella settentrionale e occidentale. 7 Come Pompei, la Britannia romana ha anche prodotto esempi di scrittura impiegata in senso del tutto quotidiano e banale – il tipo di scrittura che rievoca vivacemente ai nostri occhi persone del remoto passato, sia pure sovente in una luce assai enigmatica. Una tegola della Londra romana recava un’iscrizione che le era stata incisa mentre stava asciugando: “Austalis se n’è andato per conto suo per tredici giorni”. Chi era Austalis, e chi ha scritto questa osservazione – un lavorante, un sorvegliante, o forse semplicemente qualcuno che passava per il cantiere? Un’altra tegola, proveniente da Silchester, reca un messaggio di una parola, “SATIS” (basta), tracciato in bella forma con un dito. Questo era probabilmente il caporeparto che segnava il compimento di un lotto di tegole, ma possiamo anche immaginare che fosse un operaio esausto che celebrava la fine di una giornata particolarmente faticosa. Un terzo graffito, su una conduttura in argilla che riforniva d’acqua l’impianto termale di una villa nel Lincolnshire, proclama “Liber esto” (Sii libero), la formula con cui si emancipavano gli schiavi. Era forse il sogno ad occhi aperti di uno schiavo che lavorava nel mattonificio? Non conosceremo la risposta a queste domande, né potremo accertare con sicurezza la condizione sociale delle persone che ci tramandano questi messaggi. Ma la Britannia romana conosceva certamente l’uso della scrittura a livello informale e quotidiano.

77


21.

La diffusione dei graffiti indica che A. B. C. D. E.

l’analfabetismo era molto diffuso la vita sociale era scarsa la capacità di disegnare era scadente i liberti erano molto istruiti la gente comune sapeva leggere

La risposta A è sbagliata. Il capoverso 4, rinforzato dal capoverso 5, dice espressamente che la scrittura era molto diffusa, anche se ipotizza che la percentuale dei Pompeiani alfabetizzati potesse essere stimata tra il 10% e il 30%; per noi oggi queste percentuali di alfabetizzazione sono basse, ma per i tempi di Pompei erano da considerarsi alti e lo dimostra l’abbondanza delle iscrizioni informali su tutti i muri della città. La risposta B è sbagliata. Tutt’altro che scarsa; il capoverso 2 indica esplicitamente che la scrittura era una testimonianza della voglia di comunicare. La risposta C è sbagliata. La stessa città di Pompei è una testimonianza che il disegno e la pittura era tutt’altro che scadente; la scrittura è anch’essa una forma di disegno. La risposta D è sbagliata. Può anche darsi che i liberti fossero molto istruiti; certamente era di modo disporre di schiavi eruditi che sarebbero diventati liberti, ma questo non indica nulla con la diffusione dei graffiti. La risposta E è giusta. La gente comune sapeva leggere in misura maggiore o minore, ma la diffusione dei graffiti indica che era un passatempo comune proprio per la voglia di comunicare ad altri; e la scrittura scolpita, incisa, disegnata o graffita non riguardava solo funzioni formali ma anche contesti comuni, persino triviali. Risultati percentuali relativi al quesito 21 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

22.

15.50% 5.99% 0.54% 3.67% 51.19%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

51.19% 25.70% 23.11%

La presenza di graffiti in Britannia è significativa perché A. B. C. D. E.

dimostra l’assimilazione delle popolazioni celtiche segnala la presenza di presidi militari indica una vivace vita rurale indica alfabetizzazione anche alla periferia dell’Impero testimonia la persistenza di culti locali

La risposta A è sbagliata. Nel testo si parla sempre della Britannia roman, non di assimilazione di popolazioni celtiche. 78


La risposta B è sbagliata. Nel testo non si parla di occupazione militare e quindi nemmeno di presidi militari. La risposta C è sbagliata. Certamente la scrittura era diffusa ache in ambito rurale, ma gli esempi riportati e i reperti trovati sono concentrati specialmete nelle città. La risposta D è giusta. La Britannia era senza dubbio alla periferia dell’impero; come per la Britannia è lecito aspettarsi che la scrittura fosse diffusa in tutto l’impero con le sue varie periferie. La risposta E è sbagliata. Nel testo non si parla di culti locali, ma si mostrano esempi d’uso della scrittura nelle attività artigiane e nei mestieri. Risultati percentuali relativi al quesito 22 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

23.

3.28% 0.79% 13.90% 63.51% 3.04%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

63.51% 21.01% 15.48%

L’alfabetizzazione era legata a A. B. C. D. E.

tolleranza religiosa bilinguismo greco-latino a una struttura organizzata della città coscrizione militare diffusione delle biblioteche

La risposta A è sbagliata.

Nel testo non si parla di tolleranza religiosa.

La risposta B è sbagliata. Nel testo non si parla del bilinguismo greco-latino, anche se era noto cha a Roma, più che altrove, era molto fine esprimersi in greco. La risposta C è giusta. Tutto il testo sottolinea la scrittura come elemento caratterizzante di città con struttura organizzata. La risposta D è sbagliata.

Nel testo non si parla di coscrizione militare.

La risposta E è sbagliata. Nel testo non si parla di biblioteche e della loro eventuale diffusione; si parla invece della moltitudine di reperti di scrittura specialmente a Pompei. Risultati percentuali relativi al quesito 23 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

1.22% 2.68% 53.23% 2.00% 2.01%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

79

53.23% 7.92% 38.85%


24.

La funzione dei graffiti era A. B. C. D. E.

espressione della creatività individuale simbologia religiosa indicazioni logistiche comunicazione sociale diffusione della cultura

La risposta A è sbagliata. La diffusione dei graffiti nasceva dalla necessità di comunicare; potevano anche esserci di buontemponi che si divertivano a scarabocchiare sui muri, ma essenzialmente la scrittura anche ai tempi dei romani soddisfaceva al desideri di comunicare. La risposta B è sbagliata.

Nel testo non si parla mai di religione.

La risposta C è sbagliata. Nel testo si parla di usi commerciali della scrittura, ma non come indicazioni di che percorso fare per raggiungere un dato luogo. La risposta D è giusta.

Tutto il testo sottolinea la funzione di comunicazione sociale ella scrittura.

La risposta E è sbagliata. Bisogna intendersi su che cosa significhi la diffusione della cultura; questa certamente implica l’alfabetizzazione, ma non è vero il contrario. I graffiti comunicavano semplici frasi allo scopo di comunicare qualcosa agli altri; ma non necessariamente l’oggetto della comunicazione era cultura. Risultati percentuali relativi al quesito 24 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

25.

15.46% 0.53% 2.70% 63.14% 4.09%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

63.14% 22.79% 14.07%

La frequenza dei reperimenti di graffiti è A. B. C. D. E.

maggiore nei periodi di crisi inversamente proporzionale all’intensità della vita cittadina scarsa nell’Italia Meridionale inversamente proporzionale al crollo degli edifici tipica solo del V e VI secolo

La risposta A è sbagliata. il testo non e parla, anzi lascia intendere che l’uso dei graffiti, e sia diffuso maggiormente nei centri prosperi e con una struttura sociale complessa. La risposta B è sbagliata. Al contrario la diffusione dei graffiti è direttamente proporzionale all’intensità delle vita cittadina; il testo lo sottolinea diverse volte. La risposta C è sbagliata. Il testo non fa nessun riferimento all’Italia meridionale; se proprio vogliamo usare la terminologia moderna, Pompei è nell’Italia meridionale, quindi è un particolare esempio di grande diffusione dei graffiti. 80


La risposta D è giusta. Dovrebbe essere del tutto evidente che più edifici romani sono crollati, meno graffiti sono sopravvissuti; a Pompei ce ne sono migliaia proprio perché la particolare eruzione del 79 d.C. ha conservato molto bene gli edifici. La risposta E è sbagliata.

Il testo non parla mai del periodo di tempo dei secoli V e VI.

Risultati percentuali relativi al quesito 25 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

4.09% 12.79% 7.00% 26.68% 4.36%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

26.68% 28.24% 45.08%

TESTO III

Metodo e scientificità 1 Che

cosa distingue una conoscenza “scientifica” da una conoscenza che non lo è? Nessuno dubita che fisica, biologia o matematica siano “scienze”, ma quando ci chiediamo che cosa sia scientifico vogliamo sapere qualcosa di più di un semplice elenco. Ci interessa capire che cosa contraddistingue le scienze in quanto tali. 2 La domanda, che è quella con cui iniziano i manuali di filosofia della scienza, non è oziosa, vista la carica valutativa che di solito accompagna l’attribuzione di scientificità a una forma di sapere. Per quanto le posizioni sul valore positivo o negativo della scienza possano differire, è un’opinione accettata che, per essere scientifica, una conoscenza debba essere “razionale”, “oggettiva” (nel senso di “valida intersoggettivamente”) e “fondata” (sull’esperienza, se si occupa del mondo esterno, e dal punto di vista logico-matematico, se usa un linguaggio formalizzato). Chiarire che cosa s’intenda esattamente con questi attributi e discutere se la conoscenza scientifica sia caratterizzabile in questi termini è uno dei compiti dei filosofi della scienza. 3 Ma come si procede per raggiungere una conoscenza che soddisfi le caratteristiche richieste o, almeno, per appurare che la conoscenza raggiunta le soddisfi? La questione della natura della conoscenza scientifica è legata a quella del “metodo scientifico”: cioè se sia possibile definire, e come, un metodo seguendo il quale siamo sicuri del carattere scientifico della conoscenza acquisita. E buona parte del dibattito filosofico sulla scienza è stata centrata proprio sulla ricerca di una caratterizzazione generale del metodo scientifico: dal metodo induttivo di baconiana memoria alla più sofisticata induzione probabilistica; dal falsificazionismo popperiano a forme sempre più estreme di pluralismo metodologico. 4 Come nel caso di molte altre questioni filosofiche, non si è arrivati a nessuna soluzione che non presenti a sua volta problemi. D’altronde le discipline che consideriamo scientifiche sono anche molto diverse tra loro: ha senso cercare un metodo che valga per tutte? La domanda si pone anche rimanendo nell’ambito di una stessa disciplina. La fisica per esempio, che storicamente è stata presa come il paradigma di scienza, non è una disciplina omogenea: gli argomenti, i concetti, i linguaggi e le tecniche usate differiscono a seconda del campo d’indagine. 5 E così, se ci si occupa di settori in cui il progresso della fisica richiede un uso sempre più sofisticato della matematica e in cui si è spesso lontanissimi dalle scale fisiche accessibili nei laboratori, come nel caso della storia delle stringhe, non ha molto senso pretendere di applicare gli stessi criteri di progresso e controllo della teoria che possiamo usare nel caso di dati sperimentali 81


a immediata disposizione. Ciò non vuol dire rinunciare a un riscontro empirico, ma solo che le modalità e i tempi nel rapporto con l’esperienza sono diversi a seconda dei casi. 6 Come era ben chiaro a Paul A.M. Dirac, uno dei maggiori fisici del Novecento, che inizia il suo lavoro del 1931 sui monopòli magnetici con le seguenti magistrali considerazioni metodologiche: “Ci sono, al presente, problemi fondamentali nella fisica teorica [...] la soluzione dei quali richiederà presumibilmente una revisione dei nostri concetti fondamentali più drastica di quanto non sia successo finora. Molto probabilmente questi cambiamenti saranno così ingenti che sarà ben al di sopra dei poteri dell’intelligenza umana ottenere le nuove idee necessarie da tentativi diretti di formulare i dati sperimentali in termini matematici. In futuro, chi lavorerà in campo teorico dovrà perciò procedere in modo più indiretto. Il più potente metodo di avanzamento da suggerire al presente è impiegare tutte le risorse della matematica nel cercare di perfezionare e generalizzare il formalismo matematico che forma la base esistente della fisica teorica, e dopo ogni successo in questa direzione provare a interpretare i nuovi aspetti matematici nei termini di entità fisiche”. 7 Dirac aveva ragione: molti progressi fondamentali della fisica contemporanea sono figli di sviluppi teorici del tipo sopra descritto. Un esempio per tutti: la scoperta del positrone (e quindi dell’antimateria), previsto in modo teorico da Dirac nel 1930 e osservato un paio di anni dopo. 26.

Una affermazione è oggettiva quando A. B. C. D. E.

è confermata sperimentalmente può essere verificata da operatori diversi è condivisa da tutti riguarda oggetti naturali è esente da contraddizioni

La risposta A è sbagliata. La sperimentazione produce risultati che non sono di per se oggettivi; le misure le osservazioni sperimentali sono una parte della verifica di una teoria ma non sono la sola caratteristica di una affermazione ottenuta con il metodo scientifico. La risposta B è giusta. Infatti l’oggettività di una affermazione per il metodo scientifico implica che l’affermazione si valida intersoggettivamente. La risposta C è sbagliata. La condivisione di tutti non è il solo criterio di oggettività; l’oggettività richiede la validità intersoggettiva, non semplicemente la condivisione. La risposta D è sbagliata. L’osservazione di oggetti naturali riguarda alcune scienze, non tutte le scienze, quindi non può essere un criterio generale di oggettività. La risposta E è sbagliata. La correttezza logica, cioè l’assenza di contraddizioni, riguarda solo alcune scienze, quindi non può essere un criterio generale di oggettività. Risultati percentuali relativi al quesito 26 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

14.49% 23.62% 27.28% 0.68% 5.17%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

82

23.62% 47.62% 28.76%


27.

La varietà delle discipline A. B. C. D. E.

rende impossibile l’unicità del metodo dimostra il progresso del sapere va oltre l’ambito dell’esperienza va ricondotta al primato della fisica riguarda sempre oggetti materiali

La risposta A è giusta. metodo scientifico.

Ogni disciplina, anzi ogni ambiti di ogni disciplina richiede un diverso

La risposta B è sbagliata. La varietà delle discipline e il progresso del sapre non sono messi in relazione fra di loro in questo testo. La risposta C è sbagliata. In ogni disciplina prima o poi è necesaria una verifica sperimentale o un controllo della correttezza logico matematica. La risposta D è sbagliata. La fisica è stata presa come esempio di una disciplina molto completa e complessa, ma non come la disciplina più importante. La risposta E è sbagliata. materiali.

Ci sono discipline che non hanno nulla a che vedere con gli oggetti

Risultati percentuali relativi al quesito 27 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

28.

49.03% 7.20% 2.89% 3.26% 0.66%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

49.03% 14.02% 36.95%

Lo sviluppo del formalismo matematico A. B. C. D. E.

resta fermo a concetti generali elimina il ricorso all’esperienza serve solo per elaborazioni teoriche è indispensabile per il progresso della fisica ha portato a teorie astratte

La risposta A è sbagliata. Lo sviluppo del formalismo matematico richiede sempre nuovi concetti tutt’altro che generali. La risposta B è sbagliata. Lo sviluppo del formalismo matematico non elimina affatto il ricorso all’esperienza in quelle discipline in cui il formalismo matematico è così importante; basti riferirsi al testo di Dirac, quando dice che “Il più potente metodo di avanzamento da suggerire al presente è impiegare tutte le risorse della matematica nel cercare di perfezionare e generalizzare il formalismo matematico che forma la base esistente della fisica teorica, e dopo ogni successo in questa direzione provare a interpretare i nuovi aspetti matematici nei termini di entità fisiche.” 83


La risposta C è sbagliata. La frase citata di Dirac “Il più potente metodo di avanzamento da suggerire al presente è impiegare tutte le risorse della matematica nel cercare di perfezionare e generalizzare il formalismo matematico che forma la base esistente della fisica teorica, e dopo ogni successo in questa direzione provare a interpretare i nuovi aspetti matematici nei termini di entità fisiche.” smentisce questa affermazione. La risposta D è giusta. La frase citata di Dirac “Il più potente metodo di avanzamento da suggerire al presente è impiegare tutte le risorse della matematica nel cercare di perfezionare e generalizzare il formalismo matematico che forma la base esistente della fisica teorica, e dopo ogni successo in questa direzione provare a interpretare i nuovi aspetti matematici nei termini di entità fisiche.” conferma questa affermazione. La risposta E è sbagliata.

Che cosa vuol dire “teorie astratte”? nel testo non se ne parla.

Risultati percentuali relativi al quesito 28 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

29.

1.37% 2.08% 5.78% 47.97% 2.88%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

47.97% 12.11% 39.92%

La qualifica di scientificità A. B. C. D. E.

coincide con dogmatismo attualmente si identifica con sicurezza è arbitrariamente estesa a molti campi del sapere è molto molto apprezzata per ogni disciplina viene spesso usata in senso ristretto

La risposta A è sbagliata. Nel metodo scientifico nulla è dogmatico, a tutto deve essere razionale, oggettivo e fondato; questo fra le altre cose implica una continua revisione dei concetti fondamentali di ogni dottrina, con un’analisi critica che esclude ogni dogmatismo. La risposta B è sbagliata. No, non c’è nessuna sicurezza nella qualifica di scientificità, tant’è che esistono metodi diversi e non sovrapponibili per accertare la scientificità, dal metodo induttivo, all’induzione probabilistica, al falsificazionismo. La risposta C è sbagliata. La qualifica di scientificità non può essere applicata a molti campi del sapere perché richiede le tre caratteristiche di razionalità, oggettività e fondatezza, come spiegato nel testo. La risposta D è giusta. Certamente ogni disciplina che voglia considerarsi scientifica apprezza la qualifica di scientificità secondo i criteri esposti nel testo. La risposta E è sbagliata. La qualifica di scientificità non può essere usata in senso ristretto quando siano presenti i principi generali e non ristretti, di razionalità, oggettività e fondatezza come descritti nel testo.

84


Risultati percentuali relativi al quesito 29 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

1.92% 6.37% 23.55% 3.54% 6.22%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

3.54% 38.06% 58.40%

30. Accertare la scientificità delle teorie è compito A. B. C. D. E.

della politica culturale della stessa teoria della filosofia e della scienza della logica della matematica

La risposta A è sbagliata. Il testo non menziona nessuna politica culturale né direttamente né indirettamente. La risposta B è sbagliata. Questa affermazione di carattere autoreferenziale esclude ogni qualifica di scientificità. La risposta C è giusta. scientificità delle teorie. La risposta D è sbagliata.

Infatti la filosofia e la scienza in generale definiscono i criteri di La logica non basta per accertare la scientificità delle teorie.

La risposta E è sbagliata. La matematica da sola non basta ad accertare la scientificità delle teorie. Risultati percentuali relativi al quesito 30 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

0.64% 6.49% 44.32% 1.86% 11.52%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

85

44.32% 20.51% 35.17%


MATEMATICA 1 Commenti e soluzioni di Goconda Moscariello e Gabriella Zecca Introduzione In questa sezione di Matematica 1, dedicata prevalentemente all’accertamento delle conoscenze acquisite, si svilupperanno i metodi per cercare la soluzione ai quesiti ricorrendo, all’occorrenza, all’uso delle formule più semplici, talvolta, formule che dovrebbero costituire il bagaglio di ciascuno fin dai tempi delle scuole medie. Non verranno commentate tutte le risposte, ma si commenterà solo la risposta giusta con le formule eventualmente necessarie per spiegare la correttezza. È chiaro, data la natura della matematica, che le risposte sbagliate non usano le formule giuste o non le usano affatto. La sezione consiste di 20 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti. Il risultato ottenuto dai circa 28 164 candidati nella prova del settembre 2009 è presentato in forma di distribuzione percentuale nella figura seguente: ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale nella sezione di Matematica 1 compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse. 12%

confronto distribuzione MATEMATICA 1

100,00% 90,00%

10% 80,00% 2009

70,00%

cum 2009

8%

60,00% 6%

50,00% 40,00%

4% 30,00% 20,00% 2% 10,00% 0%

0,00% -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 <20 20

Punteggi assoluti per la sezione di Matematica 1 Il Punteggio Parziale può variare teoricamente tra −5 e 20 punti, mentre il punteggio mediano è circa di 5,5 punti.

86


31.

Luigi ha due figli di 15 e 11 anni. Fra 18 anni la sua età sarà uguale alla somma delle età che avranno i figli. Quanti anni ha oggi Luigi? A. B. C. D. E.

30 non si può dire. 52 26 44

Soluzione Fra 18 anni la somma delle età dei due figli di Luigi sarà pari a La risposta E è giusta. (15 + 18) + (11 + 18) = 62 anni. Poichè questa sarà anche l’età di Luigi fra 18 anni, la sua età attuale deve essere uguale a 62 − 18 = 44 anni. Risultati percentuali relativi al quesito 31 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

32.

0.49% 2.68% 3.48% 4.71% 84.22%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

84.22% 11.37% 4.41%

Per quale dei seguenti valori di x vale cos(x) + sin(x) = 0? π A. x = 4 B. x = 0 C. x = π π D. x = 2 3π E. x = 4

Soluzione La risposta E è giusta. Se vale l’uguaglianza cos(x) + sin(x) = 0, sarà cos x , 0, altrimenti dovrebbe essere anche sin(x) = 0, mentre invece queste due uguaglianze non possono valere contemporaneamente per uno stesso valore di x. Percio’ possiamo dividere per cos(x) così che sin(x) l’uguaglianza proposta è equivalente a 1 + = 0 ovvero a tan(x) = −1. cos(x) 3π π Fra i valori di x indicati, solo verifica tale uguaglianza. Infatti, la tangente in vale 1, in 0 ed 4 4 π in π vale 0, in non esiste. 2 87


Risultati percentuali relativi al quesito 32 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

33.

9.53% 6.01% 3.94% 4.25% 50.54%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

50.54% 23.73% 25.73%

Per 0 ≤ x ≤ π l’equazione sin(x) = 2 − k ha almeno una soluzione se e solo se A. B. C. D. E.

k≥1 1≤k≤2 k≤2 −1 ≤ k ≤ 1 1≤k≤3

Soluzione La risposta B è giusta. Per 0 ≤ x ≤ π si ha che 0 ≤ sin x ≤ 1. Dunque l’ equazione proposta ha almeno una soluzione se e solo se 0 ≤ 2 − k ≤ 1, cioè, passando ai valori opposti, se e solo se −1 ≤ k − 2 ≤ 0, cioè ancora, aggiungendo 2 ad ambo i membri, se e solo se 1 ≤ k ≤ 2. Risultati percentuali relativi al quesito 33 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

34.

4.83% 28.07% 6.44% 4.80% 15.19%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

28.07% 31.25% 40.68%

Nell’insieme dei numeri reali la disequazione x4 + 5 < 0 è verificata A. B. C. D. E.

sempre se x = −5 mai se x > −5 √ 4 se x < − 5

Soluzione La risposta C è giusta. Poichè l’esponente 4 è un numero pari, per ogni x reale si ha x4 ≥ 0 e dunque x4 + 5 ≥ 5 > 0. Ciò esclude che per qualche x reale possa aversi x4 + 5 < 0 :.

88


Risultati percentuali relativi al quesito 34 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

35.

4.42% 1.07% 72.72% 1.37% 10.55%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

72.72% 17.41% 9.87%

x+3 L’insieme delle soluzioni della disequazione ≥ 2 è costituito da tutti i numeri reali x+1 x tali che A. −1 < x ≤ 2 B. x ≤ 1 C. x ≥ 1 D. x < −1 E. −1 < x ≤ 1

Soluzione La risposta E è giusta. Osserviamo preliminarmente che la disequazione ha senso per x , −1, poiché per x = −1 la quantità (x + 1) a denominatore si annulla. Sottraendo 2 ad ambo i membri della disuguaglianza proposta risulta 0=2−2≤

x + 3 − 2(x + 1) x + 3 − 2x − 2 x+3 −2= = x+1 x+1 x+1

Pertanto la disequazione assegnata equivale a 1−x ≥ 0. x+1

(1)

Poiche’ per la regola dei segni il rapporto di due quantità è positivo se e solo se le due quantità hanno lo stesso segno, la (1) è soddisfatta se e solo se x soddisfa uno dei due sistemi:       1 − x ≥ 0 1 − x ≤ 0 oppure     1 + x > 0 1 + x < 0. Il primo di questi ha per soluzioni le x tali che −1 < x ≤ 1; il secondo non ha soluzioni.

Risultati percentuali relativi al quesito 35 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

6.14% 9.06% 15.53% 3.13% 50.44%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

89

50.44% 33.86% 15.70%


36.

Il resto della divisione del polinomio x5 − 3x4 + 3 per x + 1 è

A. B. C. D. E.

−1 1 3 0 x−1

Soluzione La risposta A è giusta. Quando si divide un polinomio generico P(x) per un polinomio della forma x − α, che ha grado 1, il resto sarà un polinomio di grado minore di 1, cioè 0, dunque una costante R. Se Q(x) è il polinomio quoziente, si avrà allora per definizione: P(x) = (x − α)Q(x) + R. Ponendo x = α in quest’ultima relazione, si ricava R = P(α). Da ciò segue che, il resto della divisione proposta si ottiene valutando il polinomio x5 − 3x4 + 3 in x = −1 e precisamente: R = (x5 − 3x4 + 3)| x=−1 = (−1)5 − 3(−1)4 + 3 = −1 Risultati percentuali relativi al quesito 36 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

37.

28.42% 6.72% 7.53% 3.24% 3.44%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

28.42% 20.93% 50.65%

Sia T un triangolo rettangolo isoscele. Allora la somma dei coseni degli angoli interni di T è uguale a A. 2 B. 1 √ C. 3 √ D. 1 + 2 √ E. 2

Soluzione La risposta E è giusta. Diciamo α l’angolo al vertice e β e γ gli angoli alla base di T. Poichè T è un triangolo rettangolo isoscele risultarà α = 90◦ e β = γ. Inoltre, in ogni triangolo la somma degli angoli interni è pari 90


◦ ◦ . Poiché cos 90◦ = 0 e ad un angolo √ piatto; perciò risulta α + β + γ = 180 . Dunque β = γ√= 45 √ 2 2 2 √ cos 45◦ = , la somma richiesta vale cos α + cos β + cos γ = 0 + + = 2. 2 2 2

Risultati percentuali relativi al quesito 37 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

38.

4.30% 12.44% 4.61% 6.66% 31.49%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

31.49% 28.01% 40.50%

Quale delle seguenti uguaglianze è verificata qualunque siano i numeri reali x e y? 2

A. 3 x+y 3 x−y = 3 x −y B. 3 x+y 3 x−y = (3 x )2

2

2

2

C. 3 x+y 3 x−y = 3 x − 3y 2 D. 3 x+y 3 x−y = 3 x E. 3 x+y 3 x−y = 3 x (3y 3−y ) Soluzione La risposta B è giusta. Il prodotto di due potenze aventi la stessa base è uguale alla potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti dei due fattori. Vale cioè la formula aα aβ = aα+β , qualunque siano i numeri reali α e β e qualunque sia a > 0 reale. La potenza di una potenza è uguale alla potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti: (aα )β = aαβ . Il primo membro delle uguaglianze proposte è il prodotto di due potenze aventi la stessa base e pertanto è 3 x+y 3 x−y = 3 x+y+x−y = 32x . D’altra parte, quest’ultima espressione si può scrivere come potenza di una potenza: 32x = (3 x )2 . Risultati percentuali relativi al quesito 38 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

21.33% 25.58% 3.49% 11.28% 8.39%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

91

25.58% 44.50% 29.92%


39.

Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro O e raggio di 1 cm, si tracciano le tangenti a√tale circonferenza che la incontrano nei punti A e B. L’area del poligono PAOB è di 3 cm2 se la distanza di P da O è A. 3 cm B. 2 cm C. 4√cm 3 D. cm 2 3 E. cm 2

Soluzione

La risposta A al quesito 9 è sbagliata La risposta B è giusta. Il poligono PAOB è diviso dalla diagonale OP in due triangoli, rettangoli l’uno in A, l’altro in B (perché raggio e tangente perpendicolari l’uno all’altra) ed uguali tra Facendo riferimento alla figura, il sono poligono PAOB è l’unione dei loro (poiché hanno i cateti OA, OB uguali e l’ipotenusa OP in comune). due triangoli rettangoli POA e POB. B

O

P

A Allora, detta A1Quindi: l’area del poligono PAOB e A@ l’area del triangolo PAO, OA · AP area(PAOB) = 2 A· area(POA) =12 · = OA · AP. 1 = 2A2 = 2 OA · AP. 2 2 √ del √ Utilizzando valere: Poiché sappiamo che A1 = i dati 3 cm2 equesito, che OAdeve = 1 cm, deduciamo che AP = 3 cm. Allora, per il p teorema di Pitagora abbiamo AP = 3 cm. q p 2 Quindi, usando il di2Pitagora, OP = teorema OA + AP = 1 cmsi2 ha: + 3 cm2 = 2 cm. q p 2 2 PO = AP + OA = 3 + 1 cm = 2 cm. Risultati percentuali relativi al quesito 39 Pertanto la risposta A è sbagliata. Risposta A: 2.45% Risposte giuste: 12.40% Risposta B: 12.40% Risposte errate: 15.80% * pagina 20 Risposta C: 1.33% Risposte non date: 71.80% Risposta D: 9.16% Risposta E: 2.86%

92


40.

L’equazione x + A. B. C. D. E.

1 = k, con x reale non nullo, ammette una ed una sola soluzione se x

k=1 k=3 k = −3 k = −1 k=2

Soluzione La risposta E è giusta.

Sottraendo k ad entrambi i membri dell’equazione proposta si ottiene

1 − k = k − k = 0. x Perciò le soluzioni dell’equazione data sono tutte e sole le soluzioni di x+

x2 + 1 − kx = 0. x Osservando che il rapporto di due polinomi è nullo se e solo se il polinomio al numeratore è nullo (e quello al denominatore è non nullo), quest’ultima uguaglianza equivale a richiedere x2 − kx + 1 = 0.

(2)

Ricordiamo ora che un’ equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0 (con a , 0) ammette una e una sola soluzione se e solo se il discriminante dell’equazione ∆ = b2 − 4ac è nullo. Pertanto, poiché l’equazione (2) è un ’equazione di secondo grado con discriminante ∆ = k2 − 4, questa ammetterà una ed una sola soluzione se k2 = 4 ossia se k = ±2. Risultati percentuali relativi al quesito 40 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

41.

13.80% 1.74% 0.94% 4.08% 42.51%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

42.51% 20.57% 36.93%

Nel piano cartesiano l’equazione x2 + y2 + 4x = γ, con γ numero reale positivo, è: A. l’equazione di una circonferenza di centro (−2,0) e raggio

p

γ+4 p B. l’equazione di una circonferenza di centro (0, − 4) e raggio γ + 2 √ C. l’equazione di una circonferenza di centro l’origine e raggio γ p D. l’equazione di una circonferenza di centro (−4,0) e raggio γ + 2 p E. l’equazione di una circonferenza di centro (0, − 2) e raggio γ + 4 93


Soluzione La risposta A è giusta. Si dice circonferenza di centro il punto C = (x0 , y0 ) e raggio r > 0 il luogo dei punti del piano che hanno distanza r da C. Pertanto, tenendo conto della definizione di distanza di due punti nel piano, il generico punto P = (x, y) deve soddisfare (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 . Da qui si ricava l’equazione canonica della circonferenza: x2 + y2 + ax + by + c = 0 dove

(3)

c = x02 + y20 − r2 . (4) L’equazione considerata è pertanto del tipo (3) con a = 4, b = 0 e c = −γ. Usando allora le uguaglianze (4) si ottiene che l’equazione assegnata, per γ > 0, rappresenta una circonferenza con p a b centro di coordinate x0 = − = −2, y0 = − = 0 e raggio r = 4 + γ. 2 2 a = −2x0 ,

b = −2y0 ,

Risultati percentuali relativi al quesito 41 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

42.

32.48% 2.58% 5.13% 5.25% 2.88%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

32.48% 15.83% 51.69%

Dato un numero reale positivo x e posto f (x) = log10 x, si ha f (10 · x−2 ) = 1 f (x) B. 2 − 2 f (x) C. 1 − 2 f (x) 1 D. 2 f (x) E. −2 f (x)

A.

Soluzione La risposta C è giusta. Il logaritmo di un prodotto di numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei due fattori, ovvero si ha: log10 (a · b) = log10 (a) + log10 (b), qualunque siano i numeri reali positivi a e b. Il logaritmo di una potenza di base positiva ed esponente qualsiasi è uguale al prodotto fra l’esponente e il logaritmo della base. Vale cioè la formula: log10 (bα ) = α log10 (b) 94


qualunque siano α e b numeri reali con b > 0. Usando queste due proprietà della funzione logaritmo, e ricordando che log10 (10) = 1, si trova f (10 · x−2 ) = log10 (10 · x−2 ) = log10 (10) + log10 (x−2 ) = 1 − 2 log10 (x) = 1 − 2 f (x). Risultati percentuali relativi al quesito 42 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

43.

3.22% 1.03% 13.08% 6.95% 4.06%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

13.08% 15.26% 71.66%

Dal semicerchio di diametro AB = 2 cm e centro 0 si toglie il semicerchio di diametro AO. La figura così ottenuta si fa ruotare attorno ad AB con un giro di 360◦ . Il volume del solido ottenuto è 25 A. π cm3 3 7 B. π cm3 6 5 C. π cm3 6 D. 4π cm3 28 E. π cm3 3

Soluzione La risposta B è giusta. Con la rotazione di 360◦ di un semicerchio intorno al suo diametro si ottiene una sfera avente lo stesso diametro del semicerchio ruotante. Perciò il solido considerato (che indicheremo con la lettera S ) si ottiene sottraendo dalla sfera di diametro AB quella di diametro AO. Il volume di tale solido è, dunque, uguale alla differenza tra i volumi delle due sfere: Volume (S) = Volume (sfera di diametro AB) - Volume (sfera di diametro AO) AB Osserviamo ora che il raggio della sfera di diametro AB misura 1 cm. e che, essendo AO = , il 2 1 raggio della sfera di diametro AO misura cm. 2 Ricordando che per il volume V di una sfera di assegnato raggio r > 0 vale la formula: V=

4 3 3 πr cm , 3

si trova allora che il volume del solido S è: ! ! 4 3 3 4 1 3 4 1 4 7 7 3 V(S ) = π1 cm − π cm = π 1 − cm3 = π · cm3 = π cm3 . 3 3 2 3 8 3 8 6 95


Risultati percentuali relativi al quesito 43 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

44.

1.38% 8.61% 2.55% 5.55% 5.51%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

8.61% 15.00% 76.40%

Nel piano cartesiano quanti sono i punti P(x, y) per cui sono verificate tutte e tre le seguenti condizioni? (x + y)2 = 1, A. B. C. D. E.

x2 + y2 = 1,

x+y≤0

Uno Due Infiniti Nessuno Quattro

Soluzione La risposta B è giusta.

La prima condizione (x + y)2 = 1 è soddisfatta se e solo se risulta: x+y=1

oppure

x + y = −1.

Poichè la terza condizione richiesta impone x + y ≤ 0, avremo che prima e terza condizione insieme equivalgono a richiedere x + y = −1.

I punti che soddisfano tutte e tre le condizioni assegnate sono quindi tutti e soli quelli che soddisfano il sistema:           x + y = −1  x = −1 − y  x = −1 − y ⇐⇒  ⇐⇒      2 2 2 2 x + y = 1 (−1 − y) + y = 1 y2 + y = 0 Risolvendo la seconda equazione dell’ultimo sistema nella variabile y e sostituendo i valori trovati nella prima equazione si ottengono le soluzioni del sistema:       x = 0  x = −1     y = −1 y = 0

Osserviamo che tale quesito poteva essere risolto anche geometricamente. Infatti, ciascuna delle tre condizioni NOTA

(x + y)2 = 1,

x2 + y2 = 1,

x+y≤0

individua un sottoinsieme del piano. Il quesito richiede di determinare (se ne esistono) le intersezioni fra questi sottoinsiemi. 96


La risposta B al quesito 14 è giusta Iniziamo a descrivere gli insiemi individuati da ciascuna condizione (vedi figura). (1)

Condizione

Insieme di punti

(x + y)2

due rette r1 : x + y = 1 e r2 : x + y = 1

=1

(2) x2 + y2 = 1

circonferenza di centro l’origine e raggio 1

(3) x + y  0

il semipiano che si trova sotto la retta r3 : x+y=0

r2

( 1,0)

r3

(0, 1) r1

Le condizioni (1) e (3) sono verificate contemporaneamente da La prima relazione (x + y)2 = 1 è soddisfatta da tutti e soli i punti delle due rette tutti e soli i punti della retta r1 . I punti che verificano tutte e tre le condizioni assegnate r1 : x + y sono = 1 quindi e tutti re2soli : x quelli + y = che −1. soddisfano il sistema La seconda relazione x2 + y(2 = 1 è soddisfatta ( da tutti e soli i punti della circonferenza x+y= 1 y= x 1 di centro l’origine e raggio 1, 2la quale interseca () le 2due rette r1 ed r2 nei quattro punti 2 x +y =1 x +x=0 (−1,0), (0, − 1), (1,0) e (0,1). L’ultima condizione, x + y ≤ 0 individua il semipiano che si trova al di sotto dellae retta x + y = 0. i Poiché dei(-1,0) quattro puntiche individuati precedentemente, quindir3si: ottengono due punti e (0,-1) verificano solo i primi duetutte (−1,0), (0, − 1) si trovano in tale semipiano. e tre le condizioni assegnate. Pertanto la risposta B è giusta. * pagina 43

Risultati percentuali relativi al quesito 44 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

45.

8.13% 14.34% 5.60% 16.05% 2.16%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

14.34% 31.94% 53.72%

Nel piano cartesiano l’asse del segmento di estremi A(0,0) , B(1, 1) ha equazione 1 −x 2 B. y = 2 − x x C. y = 1 − 2 D. y = 1 − x 1−x E. y = 2 A. y =

Soluzione La risposta D è giusta. La retta passante per i punti A e B (che è la bisettrice del primo e terzo quadrante) ha equazione cartesiana y = x e dunque il suo coefficiente angolare vale 1. Ricordando 1 che le perpendicolari ad una retta di coefficiente angolare m , 0 hanno coefficiente angolare − , m avremo che il coefficiente angolare delle rette perpendicolari al segmento di estremi A e B sarà uguale a −1.

97


L’asse del segmento AB è la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio ! 1 1 M= , e dunque ha equazione 2 2 ! 1 1 y− =− x− 2 2 cioè y = 1 − x.. Ricordiamo che l’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento dato e passante per il suo punto medio. Ricordiamo inoltre che dato un segmento di estremi i punti ! a+c b+d , . A = (a, b) e B = (c, d) il suo punto medio è il punto M = 2 2 NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 45 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

46.

81 Il numero √ 64 3 A. √ 2 3 B. √ 2 2 24 C. 85/4 24 D. 64 3 E. 2

!1/4

4.85% 5.74% 2.69% 31.99% 2.67%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

31.99% 15.96% 52.05%

è uguale a

Soluzione La risposta C è giusta.

Applicando le regole relative alle potenze, si ha: ! !1/4 34 1/4 34 3 81 1/4 = = 1/4 = 1/4 . √ 8 8 8 64

Osserviamo che la frazione

3 3 = 3/4 . 1/4 (8) 2 98


è diversa da quella delle risposte A, B, E, che hanno lo stesso numeratore ma denominatori rispettivamente 21/2 , 23/2 , 2. 3 Le altre due risposte C e D prevedono frazioni con numeratore uguale a 24. Per ottenerlo, da 1/4 8 abbiamo: !1/4 81 3 3·8 24 24 = 1/4 = 1/4 = 1/4+1 = 5/4 . √ 8 8 ·8 8 8 64 Risultati percentuali relativi al quesito 46 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

47.

11.67% 19.61% 4.30% 1.40% 12.01%

La seguente espressione:

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

4.30% 44.70% 51.00%

1/3 320 + 320 + 320 (33 )2

vale A. 32 B. 1 C. 3 1 D. 3 1 E. 9 Soluzione La risposta C è giusta. Applicando le regole delle potenze si ottiene: 1/3 1/3 1/3 320 + 320 + 320 3 · 320 31+20 321·1/3 37 = = = = 6 = 37−6 = 3 (33 )2 (33 )2 33·2 36 3 Risultati percentuali relativi al quesito 47 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

4.86% 2.72% 19.05% 2.86% 4.68%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

99

19.05% 15.12% 65.83%


48.

Sia Q un quadrato di lato `, C1 il cerchio circoscritto a Q, C2 il cerchio inscritto in Q. Il rapporto tra l’area della superficie di C1 e l’area della superficie di C2 vale A. B. C. D. E.

4 2 √

2 varia al variare di ` √ 2 2

Soluzione La risposta√B è giusta.√ Il diametro di C1 è uguale alla diagonale di Q cioè, per il teorema di √ √ Pitagora, a l2 + l2 = 2l2 = l 2; perciò il suo raggio è uguale a l 2/2. Invece il raggio di C2 è l’apotema di Q e dunque vale l/2. Usando allora la formula per l’area del cerchio (= πr2 dove r è il raggio) avremo: √ area C1 = π(l 2/2)2 = π l2 2/4 = π l2 /2, area C2 = π(l/2)2 = π l2 /4.

Allora il rapporto trea le due aree è uguale a

π l2 /2 = 4/2 = 2. π l2 /4

Risultati percentuali relativi al quesito 48 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

49.

2.14% 12.46% 5.94% 8.55% 4.75%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

12.46% 21.38% 66.17%

Dato il triangolo equilatero ABC il cui lato misura 2 cm, siano D, E, F i punti medi rispettivamente dei lati AB, BC, AC. L’area del rombo DECF è √ 3 A. cm2 2 B. 2 cm2 √ C. 3 cm2 √ D. 2 cm2 1 E. √ cm2 3

100


Soluzione

La risposta E al quesito 19 è sbagliata La risposta A è giusta. In un triangolo qualsiasi, i segmenti che congiungono i punti medi dei tre lati suddividono il triangolo stesso (vedi in quattro triangoli fra loroDE, uguali, dei quali ha È immediato osservare figura) che i segmenti DF eciascuno EF perciò area uguale ad un quarto di quella del triangolo di partenza. dividono il triangolo ABC in quattro triangoli congruenti. C

F

A

E

D

B

Quindi il rombo DECF, essendo l’unione di due di questi triangoNotiamo inoltre che quattro triangoli suddetti costituiscono rombo DECF e perciò li, hadue areadeimetà rispetto al triangolo ABC. Osservatoilche l’altezza p

3 di un triangolo equilatero si ottiene 1 moltiplicando il lato per 2 , area (DECF) = area (ABC). si ha: 2

p √ 3 2 AB · Infine sappiamo√che l’ area di un triangolo1 equilatero di lato l è uguale 1 2 AB a 3/4 l . Nel nostro caso, area(DECF) = area(ABC) = = √ √ 3 2 2 2p 2 21 2 area (ABC) = area (DECF) 2 cm = 3 cm2 e dunque p = 2 3 cm . 3 4 2 ·2 3 = 2 cm2 = cm2 4 2 Risultati percentuali relativi al quesito 49 Pertanto la risposta E è sbagliata. Risposta A: 18.63% Risposte giuste: 18.63% Risposta B: 6.18% Risposte errate: 16.05% * pagina 57 Risposta C: 5.41% Risposte non date: 65.32% Risposta D: 2.70% Risposta E: 1.76%

50.

Il 30% degli studenti iscritti ad un corso universitario ha superato l’esame relativo al corso al primo appello. Se, dei restanti studenti iscritti, il 10% supera l’esame al secondo appello, gli studenti che devono ancora superare l’esame dopo i primi due appelli saranno: A. B. C. D. E.

il 37% del numero totale di studenti iscritti al corso. il 63% del numero totale di studenti iscritti al corso. il 70% del numero totale di studenti iscritti al corso. il 60% del numero totale di studenti iscritti al corso. il 40% del numero totale di studenti iscritti al corso.

Soluzione La risposta B è giusta. Dopo il primo appello, il (100 − 30)% = 70% del totale degli iscritti non ha ancora superato l’esame. Se il 10% dei restanti studenti lo supera al secondo appello, rimarrà il (100 − 10)% = 90% di quel 90 · 70 = 9 · 7 = 63 . Pertanto 70% a non averlo ancora superato. Ora, il 90% di 70 è uguale a 100 100 10 10 10 gli studenti residui saranno il 63% del totale. 101


Risultati percentuali relativi al quesito 50 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

2.79% 34.74% 2.35% 25.99% 1.62%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

102

34.74% 32.74% 32.52%


SCIENZE FISICHE E CHIMICHE Commenti e soluzioni a cura di Roberto Piazza e Paolo Sarti Introduzione Per i quesiti di questa sezione, dedicata alle Scienze Fisiche e Chimiche, si è cercato dove possibile di ricavare le soluzioni ricorrendo al ragionamento, più che alle nozioni ed alle formule di cui, per altro, nel sillabo della pagina 9 è richiesta una qualche conoscenza. Tuttavia ciò non è sempre possibile; infatti, poiché fisica e chimica sono scienze quantitative, è del tutto comprensibile che i quesiti richiedano talvolta un risultato numerico e, per i conti necessari, i candidati devono fare lo sforzo di richiamare alla mente qualche formula appresa durante i corsi delle scuole superiori. Sarebbe comunque un errore pensare che una preparazione puramente mnemonica, con un formulario di riferimento, sia premiante. I candidati considerino ben più importante aver assimilato i concetti fisici e chimici di base; nei loro futuri studi d’ingegneria questi sono destinati ad essere non solo strumenti per affrontare i problemi ma i fondamenti di un modo di pensare, elementi di un vero e proprio linguaggio, così come le note o gli accordi armonici lo sono per chi suona o compone musica. La sezione consiste di 20 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti. Il risultato ottenuto dai circa 28 164 candidati nella prova del settembre 200( è presentato in forma di distribuzione percentuale nella figura seguente: ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale nella sezione di Scienze Fisiche e Chimiche compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse. 16%

confronto distribuzione SCIENZE

100,00% 90,00%

14%

80,00% 12% 70,00% 10%

60,00% 2009

8%

50,00%

cum 2009 40,00%

6%

30,00% 4% 20,00% 2%

10,00%

0%

0,00% -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 <20 20

Punteggi assoluti per la sezione di Scienze fisiche e chimiche Il Punteggio Parziale può variare teoricamente tra −5 e 20 punti, mentre il punteggio mediano è circa di 3,5 punti. 103


51.

Il periodo di un pendolo di massa m legata a un filo inestensibile di lunghezza l: A. B. C. D. E.

non varia né con la massa, né con la lunghezza del filo diminuisce con la massa aumenta con la massa diminuisce accorciando il filo aumenta accorciando il filo

Soluzione Supponiamo che non ricordiate l’espressione per il periodo T di oscillazione di un pendolo semplice: quello che vogliamo mostrarvi è che ciò non è strettamente necessario, perché vogliamo solo sapere come il periodo dipende da m e da l. Per far questo, possiamo farci aiutare dalla cosiddetta “analisi dimensionale”, uno strumento spesso di estrema utilità per farsi una prima idea della soluzione di un problema fisico. Fare un’analisi dimensionale vuol dire in sostanza trovare in quale modo possiamo “combinare” le quantità fisiche che caratterizzano intrinsecamente un problema per ottenere una grandezza che sappiamo avere certe “dimensioni” fisiche (il che vuol dire, se preferite, che si misura in certe date unità). Cerchiamo di spiegarci meglio applicando quest’idea al nostro caso. Oltre alla massa e alla lunghezza del pendolo, una grandezza che può entrare in gioco nel determinare il periodo T di oscillazione è l’accelerazione di gravità g, che caratterizza la forza esterna agente su m. In realtà, il periodo potrebbe dipendere anche dall’ampiezza delle oscillazioni, ossia dal massimo angolo θ che, nel corso del moto, il filo assume rispetto alla verticale. Un risultato fondamentale, dovuto a Galileo, è tuttavia che, per oscillazioni abbastanza piccole, T non dipende da θ. Chiamando allora rispettivamente [l], [t] ed [m] le dimensioni di lunghezza, tempo e massa, le uniche tre grandezze che determinano T (che è ovviamente un tempo) hanno allora dimensioni [l], [m], e [g] = [l]2 /[t] per l’accelerazione di gravità. Ci accorgiamo allora subito che m non può entrare nell’espressione per T , perché non c’è alcun modo di fare “scomparire” le dimensioni di una massa usando l e g: fuori p uno! È poi facile vedere che l’unica combinazione di l e g che ha le dimensioni di un tempo è l/g. Quindi, il periodo delle oscillazioni non dipende dalla massa ed è proporzionale alla radice di l, quindi aumenta con essa (aumenta anche a piacere per g → 0: quindi niente orologi a cucù, nello spazio!). Pertanto la risposta esatta è la D. NOTA

L’espressione esatta per il periodo delle piccole oscillazioni, è data da: s l T = 2π , g

che è quindi in accordo con quanto abbiamo ottenuto. Notiamo anche che, anche nel caso in cui le oscillazioni non fossero piccole, l’eventuale dipendenza da θ non inficerebbe l’analisi dimensionale, perché un angolo è una variabile adimensionale (ossia un numero puro).

104


Risultati percentuali relativi al quesito 51 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

52.

9.68% 4.43% 6.51% 42.17% 9.92%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

42.17% 30.54% 27.29%

Due bacinelle rigide di uguale volume sono completamente riempite rispettivamente di ceci (sfere, di diametro medio dc = 8 mm) e piselli (sfere, di diametro medio d p = 6 mm). Qual è approssimativamente il rapporto Nc /N p fra il numero di ceci Nc e del numero dei piselli N p in esse contenuti? A. B. C. D. E.

circa 1,8 circa 2,4 circa 0,56 circa 0,75 circa 0,42

Soluzione Poiché le bacinelle hanno lo stesso volume, indicando con V p il volume di un pisello e con Vc quello di un cece, dovrà essere: N p · V p = Nc · Vc . Da questa equazione si ricava il rapporto richiesto, ovvero: Vp Nc = . Np Vc Sia i piselli che i ceci sono trattati come sfere, quindi i loro volumi sono proporzionali ai cubi dei rispettivi diametri, cosicché: ! Vp dp 3 Nc = = . Np Vc dc

In base ai dati forniti si ha dunque:

! Nc 3 3 27 = = , Np 4 64 sicuramente minore di 0,5. Quindi la risposta corretta è la E. Risultati percentuali relativi al quesito 52 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

12.68% 6.92% 3.66% 20.64% 6.40%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

105

6.40% 43.90% 49.70%


53.

Nella pratica sportiva del bungee jumping un uomo, legato alle caviglie con una corda elastica, si lancia da un ponte. Nel momento di massima distensione della corda (minima distanza dal fondo), dopo il quale l’uomo comincia a risalire: A. B. C. D. E.

la forza totale sull’uomo si annulla l’energia cinetica dell’uomo si annulla l’energia cinetica dell’uomo è massima l’accelerazione dell’uomo si annulla il peso dell’uomo si annulla

Soluzione Per rispondere alla domanda, basta notare che, quando raggiunge il punto più basso l’uomo si ferma, e che un corpo ha energia cinetica solo se si muove. Senza alcun dubbio, quindi la risposta esatta è la B. Ciò implica quindi che le altre risposte siano sbagliate (c’è solo una risposta giusta), ma vediamo perché. Quanto abbiamo detto esclude ovviamente la risposta C. Per quanto riguarda la D, basta notare che in seguito l’uomo comincia a risalire, quindi la sua velocità cambia (prima era nulla), e ciò significa, per definizione, che è presente un accelerazione. Per la legge fondamentale della dinamica (F = ma), se c’è un’accelerazione, c’è anche una forza che la produce: quindi anche la risposta A è sbagliata. Se poi avete risposto E . . . beh, provate a far dimagrire le persone con il bungee jumping e vediamo se ci riuscite (scherzi a parte, leggete la nota che segue)! In realtà c’è anche un punto in cui la forza totale agente sull’uomo (e quindi anche la sua accelerazione) si annulla. Estendendosi, l’elastico infatti dà origine ad una forza elastica di richiamo diretta verso l’alto che si oppone alla forza peso e che cresce proporzionalmente all’allungamento rispetto alla sua lunghezza a riposo. Man mano che l’uomo scende, questa forza quindi cresce, fino ad uguagliare la forza peso, ma ciò non avviene quando l’uomo si ferma, bensì quando raggiunge la velocità massima (dopo di che, la forza elastica diviene maggiore della forza peso e l’uomo decelera fino a fermarsi). Il peso dell’uomo, manifestazione della forza di gravità generata dalla Terra, è invece sempre pressoché costante, perché la distanza dell’uomo dal centro del pianeta non varia apprezzabilmente durante la caduta. La forza di gravità dovuta alla Terra decresce solo come l’inverso del quadrato della distanza dal centro del pianeta, quindi si annulla rigorosamente solo a distanza infinita. Anche un astronauta o un satellite in orbita è infatti soggetto alla forza di gravità: di fatto, continua incessantemente a “cadere”. Se riuscite a capire bene questo concetto, che è una delle intuizioni fondamentali di Newton, avete fatto un buon passo avanti nella comprensione della meccanica. NOTA

106


Risultati percentuali relativi al quesito 53 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

54.

5.72% 25.32% 18.89% 22.76% 3.94%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

25.32% 51.32% 23.36%

Due corpi A e B, di volume uguale e masse mB = 3mA , sono completamente immersi in un liquido. Quando i due corpi, tenuti inizialmente fermi, vengono lasciati andare, la forza idrostatica (spinta di Archimede) che il liquido esercita su B è: A. B. C. D. E.

uguale a quella su A nove volte quella su A tre volte quella su A un nono di quella su A un terzo di quella su A

Soluzione Se ricordate, il principio di Archimede ci dice che “un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del fluido spostato‘”, dove il “fluido” può essere un liquido, ma anche un gas (il principio vale anche per un palloncino o una mongolfiera!). Nel caso di un liquido, tuttavia, il corpo può anche galleggiare sulla superficie: in questo caso il fluido “spostato” è solo quello che si trovava nella parte immersa del corpo. In termini quantitativi, dunque, questa spinta idrostatica (o “archimedea”) ha intensità: F = [massa liquido spostato]× [accelerazione di gravità] = ρVi g dove ρ è la densità del liquido e Vi il volume immerso. Comunque, nel problema che consideriamo i due corpi sono completamente immersi, quindi il volume immerso coincide semplicemente con il volume di ciascuno di essi. Inoltre, i due corpi hanno lo stesso volume e sono immersi nello stesso liquido. Ne segue che le spinte idrostatiche cui sono sottoposti hanno la stessa intensità. Pertanto la risposta esatta è la A. Il fatto che i due corpi abbiano massa diversa, pur avendo volume uguale, ci dice che sono fatti di materiali diversi, con diversa densità (quantitativamente, le densità devono soddisfare ρB = 3ρA ). Non fatevi però confondere da questa informazione inessenziale, perché la densità che compare nella legge di Archimede è quella del liquido e non quella del corpo immerso! NOTA

107


Risultati percentuali relativi al quesito 54 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

55.

24.50% 3.18% 25.30% 2.50% 18.45%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

24.50% 49.42% 26.08%

Un’automobile, inizialmente ferma, parte con un’accelerazione costante di 2 m/s2 . Nel medesimo istante, viene sorpassata da una bicicletta che viaggia alla velocità costante di 8 m/s. A quale distanza dal punto di partenza l’auto raggiungerà la bicicletta? A. B. C. D. E.

64 m 32 m 6m 128 m 16 m

Soluzione L’auto raggiungerà la bicicletta nell’istante (successivo all’istante iniziale) in cui le le posizioni dei due veicoli coincidono. Per poterlo determinare dobbiamo valutare come variano nel tempo le posizioni dell’auto, sa e della bicicletta, sb , ossia le loro “leggi orarie”. L’auto si muove di moto uniformemente accelerato con partenza da fermo (velocità iniziale nulla) ed accelerazione a, quindi: 1 sa (t) = s0 + at2 , 2 dove s0 indica la posizione in cui la bici supera inizialmente l’auto, mentre la bicicletta si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v, per cui: sb (t) = s0 + vt. Imponendo che si abbia sa = sb , otteniamo: a 2 t = vt, 2 che ha per soluzioni t = 0, corrispondente all’istante iniziale in cui l’auto viene sorpassata dalla bicicletta, e t = 2v/a, che è l’istante in cui l’autista “riagguanta” il ciclista (quello che ci interessa). Sostituendo v = 8 m/s e a = 2 m/s2 , otteniamo t = 8 s. In tale istante, sia la bicicletta che l’auto si troveranno a 64 m dal punto di partenza, come si vede sostituendo tale valore nell’una o nell’altra delle due leggi orarie. Quindi la risposta corretta è la A. Risultati percentuali relativi al quesito 55 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

16.25% 11.99% 5.34% 1.57% 11.65%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

108

16.25% 30.55% 53.20%


56.

Un corpo di peso P, situato in prossimità della superficie terrestre, cade partendo da fermo. Se g è l’accelerazione di gravità e si trascura la resistenza dell’aria, l’energia cinetica acquistata dal corpo dopo un tempo t è pari a: A. B. C. D. E.

(1/2)Pgt (1/2)Pgt2 2Pgt 2Pgt2 (1/2)Pg2 t2

Soluzione Il peso di un corpo è dato dal prodotto della sua massa per l’accelerazione di gravità, ossia P = mg, mentre la velocità che acquista in caduta libera dopo un tempo t è v(t) = v0 + gt, dove v0 è la sua velocità iniziale. Poiché il corpo che stiamo considerando parte da fermo, abbiamo semplicemente v(t) = gt. Al tempo t, l’energia cinetica del corpo sarà dunque Ek (t) = 12 m [v(t)]2 . Combinando le espressioni precedenti, risulta: Ek =

1 1 1 m(gt)2 = (mg)gt2 = Pgt2 . 2 2 2

Pertanto la risposta corretta è la B. NOTA Usando semplicemente l’analisi dimensionale, avremmo potuto escludere già tre risposte. Infatti, l’energia ha le stesse dimensioni di un lavoro, ossia di una forza per una lunghezza (lo spostamento), ossia possiamo scrivere [Ek ] = [F][l]. Dato che il peso è una forza, le risposte A e C hanno invece dimensioni date da [F][g][t] = [F] [l][t]−2 [t] = [F][l][t]−1 ,

ossia di una forza per una velocità, che sono le dimensioni di una potenza, quindi non possono essere corrette. Lo stesso vale per la risposta E, che ha dimensioni [F][l]2 [t]−2 (non corrispondenti ad alcuna grandezza fisica semplice). La sola analisi dimensionale non ci permette tuttavia di scegliere tra la risposta B e la D, quindi o facciamo i conti, o ce la giochiamo a testa o croce, con la probabilità del 50% di “imbroccare” la risposta giusta (il che non è malaccio). Risultati percentuali relativi al quesito 56 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

5.19% 28.45% 3.36% 4.02% 8.93%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

109

28.45% 21.50% 50.05%


57.

Il rapporto tra peso specifico e densità di un corpo sulla Terra è: A. B. C. D. E.

inversamente proporzionale al volume direttamente proporzionale alla massa uguale per tutti i corpi un numero puro diverso per ogni corpo

Soluzione La densità ρ è il rapporto tra la massa e volume di un corpo, mentre il peso specifico P s è invece il rapporto tra peso e volume di un corpo. In simboli: ρ=

m V

e

Ps =

P . V

Poiché P = mg, il rapporto richiesto vale: Ps = g, ρ dunque il rapporto cercato dipende solo dall’accelerazione di gravità, che uguale per tutti i corpi. La risposta esatta è quindi la C. Come vedete, P s /ρ non dipende da alcuna proprietà intrinseca del corpo, quali la sua massa o il suo volume, il che esclude le risposte A e B. Ovviamente sbagliata è anche la risposta E, che è semplicemente la negazione della C, mentre potevamo subito concludere che tale è anche la D perché, dalle definizioni, peso specifico e densità hanno dimensioni diverse, quindi il loro rapporto non può essere un numero puro, ossia una quantità adimensionale. NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 57 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

8.22% 13.15% 10.30% 4.10% 14.18%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

110

10.30% 39.65% 50.05%


58.

Un tubo di sezione S costante piegato ad U è aperto su un ramo e chiuso da un tappo T sull’altro (vedi figura). Se il tubo contiene acqua (densità ρ) e le altezze dell’acqua nei due rami sono H ed h, la forza che l’acqua esercita sul tappo vale: A. B. C. D. E.

ρg(H − h), diretta verso il basso ρgh, diretta verso l’alto ρgHS , diretta verso l’alto ρg(H + h), diretta verso il basso ρg(H − h)S , diretta verso l’alto

livello1

livello 2

T

H h

S Soluzione Ricordiamo innanzitutto che la pressione esercitata da una forze su una superficie è il rapporto tra componente della forza in direzione perpendicolare alla superficie, F⊥ , e l’area A della superficie stessa, ossia: F⊥ p= . A La pressione interna di un fluido a riposo è sempre isotropa, ossia uguale in tutte le direzioni (ciò significa, in termini precisi, che un elemento si superficie all’interno del fluido sente la stessa forza qualunque sia la sua orientazione) ma, in presenza della forza peso, non è costante lungo la direzione verticale z. Più specificamente, se il fluido è un liquido, la cui densità non è influenzata apprezzabilmente dalla gravità, la legge di Stevino afferma che la pressione ph in un punto interno che si trovi ad una profondità ∆z al di sotto di un altro punto dove la pressione vale p0 , vale: ph = p0 + ρg∆z,

(5)

dove ρ è la densità del liquido stesso. In particolare punti nel liquido che si trovano allo stesso livello devono avere la stessa pressione. Osserviamo allora la figura. Al livello 1, il “pelo libero” dell’acqua che è a contatto diretto con l’aria, la pressione dell’acqua deve ovviamente essere uguale alla pressione atmosferica. Anche la faccia superiore del tappo sarà sottoposta alla pressione atmosferica, ma nessuno ci dice che questa sia anche la pressione che sente la faccia inferiore, perché il tappo può reggere una differenza di pressione sfruttando l’attrito con le pareti (ciò è in fondo quello che intendiamo dicendo che il tappo “tappa”: pensata al caso di una bottiglia di spumante!). La pressione dell’acqua a contatto con la faccia inferiore del tappo è però uguale a quella dei punti che si trovano allo stesso livello (il livello 2) nel braccio sinistro del tubo che, dato che il livello 2 si trova al di sotto del pelo libero ad una profondità pari ad ∆z = H − h, vale p0 + ρg(H − h). La pressione che sente la faccia inferiore del tappo è quindi maggiore di ρg(H − h) rispetto di quella che sente la faccia superiore, ed il tappo viene quindi spinto verso l’alto con una forza pari a tale pressione per l’area della sezione del tubo, ossia ρg(H − h)S . Pertanto la risposta esatta è la E. 111


NOTA Ancora una volta, l’analisi dimensionale vi consentirebbe di restringere notevolmente la scelta, anche se non ricordaste alcunché sul concetto di pressione idrostatica o sul principio di Pascal. Infatti, le quantità indicate nelle risposte A, B e D hanno le dimensioni di una pressione, non di una forza (provare per credere), quindi non possono essere corrette. Quanto alla risposta C, ρghS è il peso della colonna d’acqua contenuta nel solo ramo di sinistra. Sarebbe ben strano che la pressione non dipenda per nulla dal livello del ramo di destra, non credete? Per non complicarvi le idee, abbiamo poi supposto che i due rami del tubo abbiano la stessa sezione. Tuttavia, per la (5) la differenza di pressione tra le due facce del tappo che abbiamo trovato sarebbe stata la stessa anche se la sezione del ramo a destra fosse stata molto maggiore di quella del ramo a sinistra. Ma, in questo caso, la forza verso l’alto agente sul tappo sarebbe stata molto maggiore. su questo principio si basa la cosiddetta “leva idraulica”.

Risultati percentuali relativi al quesito 58 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

59.

4.41% 5.09% 3.94% 1.69% 35.15%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

35.15% 15.12% 49.73%

Una macchina termica ha un rendimento del 75%. Quanto calore viene assorbito in un ciclo di funzionamento, se al termine di esso il lavoro fatto dalla macchina è pari a 3,6 kJ ? A. B. C. D. E.

2,7 kJ 4,8 kJ 14,4 kJ 0,9 kJ 3,6 kJ

Soluzione Una macchina termica è un sistema che utilizza energia fornita sotto forma di calore per produrre lavoro meccanico. Perché sia davvero utile, tuttavia, dopo aver fornito tale lavoro la macchina deve tornare al punto di partenza e ricominciare da capo, ossia deve compiere un ciclo termodinamico. Purtroppo, il secondo principio della termodinamica ci dice che il lavoro W prodotto è sempre minore del calore Qa che la macchina assorbe per compiere il ciclo: non c’è nulla da fare, una parte del calore che utilizziamo viene inevitabilmente trasferita all’ambiente, ossia viene “sprecata”. Da ingegneri, allora è il caso di chiederci quale sia il rendimento (η) di una macchina termica, inteso come il rapporto W η= . Qa tra il lavoro prodotto dalla macchina e l’energia che questa assorbe per funzionare, ossia in parole povere il rapporto tra quanto “ricavo” e quanto “spendo” in termini energetici (e naturalmente anche 112


monetari). Per quanto abbiamo detto, si ha ovviamente sempre η < 1. Della macchina descritta nel problema considerato conosciamo sia W, sia η, quindi abbiamo: Qa =

W 3,6 kJ = = 4,8 kJ. η 0,75

Pertanto la risposta corretta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 59 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

60.

13.73% 15.29% 1.91% 11.11% 2.19%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

15.29% 28.95% 55.77%

Secondo quale ordine sono disposti gli elementi chimici nella tavola periodica? A. B. C. D. E.

per numero di protoni alfabetico per abbondanza nell’universo per dimensione per anno di scoperta

Soluzione Gli atomi sono aggregati elettricamente neutri in cui si distinguono due regioni: il nucleo, carico positivamente per la presenza dei protoni, e la nube elettronica, carica negativamente, contente un numero di elettroni tale da schermare la carica nucleare. Poiché la carica di un elettrone è, in valore assoluto, uguale a quella del protone, ogni atomo (non ionizzato) contiene lo stesso numero di protoni ed elettroni. La tavola periodica è compilata in base al principio del progressivo “riempimento” degli orbitali atomici. Il numero d’ordine degli elementi è così uguale a quello degli elettroni nell’atomo (o dei protoni presenti nel nucleo) dell’elemento considerato: 1 per l’idrogeno, 2 per l’elio, 3 per il litio e così via. Dunque la risposta corretta è la A. NOTA Speriamo innanzitutto che a nessuno di voi sia venuto in mente di rispondere B (cosa che sarebbe in fondo “arroganza culturale”: perché mai usare l’alfabeto latino e non quello ebraico, arabo, o indiano?), né tanto meno E (cosa che non sarebbe peraltro facile: ci sono parecchie controversie storiche sull’argomento!). Con tutto il rispetto per gli umanisti, vogliamo classificare gli elementi secondo qualche criterio che dia ragione delle loro proprietà fisiche e chimiche! Quest’ultime non sono neppure correlate alle dimensioni degli atomi: un elemento come lo Xeno ha proprietà chimiche molto più simili all’elio, cinque volte più piccolo ma anch’esso gas “nobile”, che allo iodio, che ha più o meno le stesse dimensioni ma è sicuramente molto meno “inerte”! Curiosamente, le cose vanno un po’ meglio per la risposta C, perché a grandi linee l’abbondanza degli atomi nell’Universo è tanto più grande quanto più piccolo è il numero atomico. Ma se si guardano le cose nei dettagli, ci si accorge che vi sono forti “anomalie”. Ad esempio, il berillio (numero atomico 4) è milioni di volte meno

113


abbondante di carbonio, azoto e ossigeno, che hanno numeri atomici maggiori (cosa che non ci dispiace, visto che questi elementi costituiscono oltre l’85% del nostro peso). La parte del leone, poi, la fanno idrogeno ed elio, che insieme costituiscono quasi il 98% di ciò che ci circonda su scale cosmiche (o almeno, di quello che vediamo: negli ultimi tempi, sembra ci sia molta più roba “oscura” in giro). Risultati percentuali relativi al quesito 60 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

61.

82.08% 1.61% 1.12% 5.47% 1.28%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

82.08% 9.48% 8.44%

L’accelerazione di gravità sulla Terra è circa sei volte quella sulla Luna. Ciò significa che: A. B. C. D. E.

la massa di un uomo sulla Luna è i 5/6 di quella sulla Terra il peso di un uomo sulla Luna è 1/6 di quello sulla Terra la massa di un uomo sulla Luna è 1/6 di quella sulla Terra sia la massa sia il peso di un uomo sulla Luna sono 1/6 di quelli sulla Terra il peso di un uomo sulla Luna è i 5/6 di quello sulla Terra

Soluzione Il peso di un oggetto sulla superficie di un corpo celeste è pari al prodotto della massa, che è una proprietà dell’oggetto indipendente da dove questo si trovi (il che esclude direttamente le risposte A, C e D), per l’accelerazione di gravità alla superficie, che invece dipende dalla dimensione del corpo celeste e dalla sua densità. Nel caso che stiamo considerando si ha, indicando con g l’accelerazione di gravità sulla Terra e con gL quella sulla Luna: g = 6gL . Pertanto la risposta esatta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 61 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

62.

0.49% 75.93% 9.39% 4.26% 1.37%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

75.93% 15.52% 8.56%

Il suono è: A. B. C. D. E.

un’onda che si propaga in un mezzo elastico con una velocità che dipende dal mezzo un’onda elastica che si propaga nel vuoto alla velocità di 340 m/s un’onda che si propaga in un mezzo elastico alla velocità di 300 000 km/s un’onda elastica che si propaga nel vuoto alla velocità di 300 000 km/s un’onda che si propaga nel vuoto ed in tutti i mezzi materiali alla velocità di 340 m/s 114


Soluzione Ovviamente, non è facile rispondere a questo quesito se nessuno vi ha mai raccontato, o soprattutto se non vi siete mai chiesti, che cosa sia il suono da un punto di vista fisico. Proviamo comunque a procedere per esclusione. Le risposte C e D affermano che il suono viaggia a 300 000 km/s, il che vuol dire, sulla scala dei tempi di risposta del nostro udito, praticamente a velocità infinita: se avete mai sentito un’eco, o avete mai notato come gli spettatori di una partita della nazionale cantino l’inno di Mameli così “fuori tempo”, e vi siete chiesti l’origine di questi effetti, non dovreste avere difficoltà a concludere che ciò non è vero. Con un po’ di logica, è poi immediato stabilire che anche la risposta E non può essere corretta, perché altrimenti lo sarebbe anche la B (c’è solo una risposta esatta!). Quindi, le risposte esatte sono la A o la B. Ma se avete mai visto un buon film di fantascienza, come “2001 - Odissea nello spazio” o “Interstellar”, avrete sicuramente notato che tutte le scene che avvengono all’esterno delle astronavi sono del tutto silenziose. Del resto, anche due astronauti reali, quando sono in passeggiata spaziale, comunicano attraverso la radio: se il suono si propagasse nel vuoto, non potrebbero parlarsi direttamente (magari alzando un po’ il tono di voce, visto che indossano un casco)? Quindi, anche se non sapeste che cosa sia un’onda o un mezzo elastico, dovreste concludere che la risposta giusta è la A. La velocità del suono dipende effettivamente dal mezzo in cui si propaga, ed in particolare è tanto più grande quanto meno comprimibile è il materiale, ossia quanto meno varia la densità con la pressione. I liquidi sono molto meno comprimibili dei gas, quindi, ad esempio, la velocità del suono nell’acqua è oltre quattro volte più grande che nell’aria. Ancor meno comprimibili sono i solidi come i metalli, dove la propagazione del suono è tuttavia un po’ più complessa, perché esistono due tipi fondamentali di onde acustiche, quelle longitudinali (“onde di pressione”) e quelle trasversali (“onde di deformazione”). Ad esempio, nell’acciaio il suono viaggia a ben 5200 m/s. Lo sapevano bene i pellerossa quando volevano assaltare un treno: poggiando l’orecchio su una rotaia, potevano infatti prevedere con anticipo l’arrivo del treno e prepararsi all’assalto ben prima che si avvertisse il rumore della locomotiva attraverso l’aria. Come qualcuno di voi saprà, si riteneva inizialmente che anche per la propagazione delle onde luminose fosse necessario un mezzo elastico di supporto, il famigerato “etere”. Il fatto è che, per poter supportare onde così veloci, l’etere avrebbe dovuto avere proprietà piuttosto contraddittorie, come avere una densità pressoché nulla, ma di essere nel contempo estremamente rigido ed incomprimibile. Ci pensò Einstein a far piazza pulita di quest’ipotesi. Nell’aria il suono è decisamente molto più lento della luce (quasi un milione di volte), ma è pur sempre una bella velocità, dato che percorrere un metro ci mette solo tre millisecondi! Eppure, è proprio la differenza dei tempi di arrivo del suono alle due orecchie (una quantità detta Interaural Time Difference) che, pur essendo ancor minore (al massimo 0,6 ms, cercate di capire perché), permette al nostro cervello di intuire da che direzione provenga un rumore. NOTA

Risultati percentuali relativi al quesito 62 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

40.19% 18.93% 3.88% 9.43% 7.67%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

115

40.19% 39.92% 19.89%


63.

Mescolate 60 litri d’acqua a 20 ◦C con 20 litri d’acqua a 60 ◦C. Trascurando le dissipazioni di calore, la temperatura finale che si raggiunge è: A. B. C. D. E.

25 ◦C 28 ◦C 40 ◦C 30 ◦C 35 ◦C

Soluzione Notiamo innanzitutto che gli scambi di calore con l’ambiente esterno sono trascurabili, quindi la temperatura finale di equilibrio è determinata unicamente dagli scambi di calore tra le due masse d’acqua. Ricordando che si attribuisce all’energia trasferita sotto forma di calore un segno positivo quando questa viene assorbita da un sistema (e conseguentemente negativa quando viene ceduta), dobbiamo allora avere Qa = − Qc , dove Qa è la quantità di calore assorbita dall’acqua più fredda e Qc quella ceduta dall’acqua più calda. La quantità di calore assorbita dalla massa d’acqua m1 a temperatura iniziale T 1 < T 2 è data da: Qa = m1 c(T − T 1 ), dove c indica il calore specifico dell’acqua, mentre la quantità di calore ceduta dalla massa d’acqua più calda sarà: Qc = m2 c(T − T 2 ). Si deve avere pertanto:

m1 c(T − T 1 ) = m2 c(T 2 − T ),

da cui, risolvendo rispetto a T , si ottiene per la temperatura di equilibrio: T=

m1 T 1 + m2 T 2 . m1 + m2

(6)

Sostituendo i valori numerici, si trova T = 30 ◦C, pertanto: la risposta esatta è la D. NOTA Osserviamo che la temperatura di equilibrio data dalla (6) è la media pesata delle temperature delle due masse d’acqua, con pesi dati dalle masse d’acqua. La temperatura di equilibrio sarebbe uguale alla semplice media aritmetica delle temperature solo se le masse d’acqua fossero uguali. Poiché la prima è invece molto maggiore della seconda, non sorprende che la temperatura di equilibrio sia più vicina alla temperatura iniziale della massa d’acqua più grande. Nel risultato, non appare invece il calore specifico, ma solo perché entrambe le masse sono costituite dallo stesso materiale (l’acqua): se avessimo considerato scambi di calore tra due materiali diversi, i pesi sarebbero stati infatti le capacità termiche (ossia il prodotto del calore specifico per la massa) dei due materiali.

116


Risultati percentuali relativi al quesito 63 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

64.

4.32% 3.85% 22.21% 25.39% 3.97%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

25.39% 34.36% 40.25%

La tariffa dell’energia elettrica per uso domestico è di 0,20 €/kWh. Ricordando che il calore specifico dell’acqua è di 4186 Jkg−1 K−1 e trascurando le perdite, quanto costa scaldare 50 litri di acqua da 20 ◦C a 60 ◦C usando uno scaldabagno elettrico? A. B. C. D. E.

circa 0,92 € circa 0,46 € circa 0,13 € circa 1,92 € circa 1,66 €

Il problema è concettualmente semplice: consiste nel calcolare quanta energia è necessaria per riscaldare la quantità d’acqua richiesta ed infine moltiplicarla per il costo unitario dell’energia, che è espressa in kilowattora, unità che non fa parte del Sistema Internazionale, ma che ancora molto usata, specie nelle bollette delle utenze domestiche dell’energia elettrica. La quantità di calore necessaria è proporzionale alla differenza di temperatura richiesta ∆T e alla massa m da riscaldare attraverso il calore specifico c dell’acqua, ossia possiamo scrivere: Q = mc∆T . Assumendo per l’acqua una densità di 1 kg/l, si ha quindi: Q = 50 l · 1 kg/l · 4186 J kg−1 K−1 · 40 K = 8,37 · 106 J. Poiché 1 kWh = 3,6 · 106 J, si deduce che 1 J = 2,78 · 10−7 kWh. L’energia necessaria espressa in kilowattora è dunque pari approssimativamente a Q = 2,33 kWh. Il costo richiesto si ottiene moltiplicando l’ultimo risultato per il costo dell’energia al kilowattora, ottenendo circa 0,46 €. Pertanto: la risposta esatta è la B. Risultati percentuali relativi al quesito 64 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

3.21% 3.77% 1.96% 1.87% 4.33%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

117

3.77% 11.38% 84.85%


65.

Due condensatori sono collegati in serie e hanno capacità di 1 µF e 3 µF. Applicando una differenza di potenziale di 100 V: A. B. C. D. E.

la capacità equivalente è di 4 µF la capacità equivalente è di 2 µF i valori della differenza di potenziale ai capi dei condensatori sono diversi i valori della carica elettrica sulle armature dei condensatori sono diversi la differenza di potenziale ai capi di ciascun condensatore è di 100 V

Soluzione La capacità di un condensatore è il rapporto C = Q/V tra la carica Q presente sulle due armature (uguale in modulo, ma di segno opposto, perché vi è induzione completa) e la differenza di potenziale (d.d.p.) elettrico V presente ai capi del condensatore stesso. Se i condensatori sono collegati in serie, cioè in modo tale da formare un percorso unico per la corrente elettrica che li attraversa, il valore di Q deve essere necessariamente lo stesso su ogni condensatore (è facile convincersene notando che la seconda armatura del primo condensatore è collegata alla prima del secondo, e così via). Quindi la risposta D è sicuramente sbagliata. Invece, ai capi del condensatore i si avrà Vi = Q/Ci , quindi le d.d.p. saranno diverse, a meno che tutte le capacità non siano uguali. Da ciò potremmo già concludere che la risposta esatta (che deve essere unica) è la C, ma vediamo perché le altre sono sbagliate. Prima di tutto, le singole Vi e sicuramente minori della d.d.p. totale ai capi del sistema di condensatori in serie, che è semplicemente data dalla somma delle Vi . Ciò esclude anche la risposta E. Per trovare poi la capacità equivalente C di un sistema di n condensatori in serie, ossia quella che dovrebbe avere un unico condensatore sottoposto alla stessa differenza di potenziale, basta notare che, come dicevamo:  n  n n X X Q X 1   Q V= Vi = =  Ci  Ci  i=1

per cui, dalla definizione di capacità:

i=1

i=1

n

1 X 1 = , C Ci

(7)

i=1

Dato che le capacità sono quantità positive, si ha pertanto necessariamente C −1 ≥ Ci , ossia C ≤ Ci , per ogni i. Quindi, la (7) ci dice che la capacità equivalente C deve essere necessariamente minore o uguale di tutte le singole capacità Ci , il che esclude anche le risposte A e B. Nel caso che ci interessa, questo risultato generale può essere comunque verificato direttamente. Infatti: C=

C1C2 = 0,75 µF. C1 + C2

Quindi, è confermato: la risposta corretta è la C.

118


Risultati percentuali relativi al quesito 65 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

66.

10.66% 2.27% 16.32% 7.32% 9.02%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

16.32% 29.28% 54.40%

Due sferette metalliche A e B sono sospese mediante fili isolanti. Una bacchetta di vetro viene caricata positivamente, quindi avvicinata prima ad A e successivamente a B, senza toccarle. Si osserva che la sferetta A viene attratta dalla bacchetta, mentre B viene respinta dalla stessa. Possiamo concludere che: A. sia A sia B possono avere carica nulla B. B è carica positivamente, mentre A può essere sia carica negativamente sia avere carica nulla C. sia A sia B sono cariche negativamente D. A è carica negativamente, mentre B può essere sia carica positivamente sia avere carica nulla E. A è carica negativamente e B positivamente

Soluzione Tutti sapete (o almeno, vogliamo supporre che lo sappiate) che corpi caricati con cariche di segno opposto si attraggono, mentre se hanno carica dello stesso segno si attraggono. Tuttavia un corpo, anche se elettricamente neutro, può nonostante ciò essere attratto da un oggetto carico, a prescindere dal segno della carica di quest’ultimo, a causa: a) del fenomeno dell’induzione elettrica, se il corpo è un conduttore; b) per effetti di polarizzazione elettrica, se il corpo è un isolante. Quindi, un corpo attratto da un corpo carico o è carico di segno opposto, o è eventualmente neutro; ma se è respinto, ha sicuramente una carica dello stesso segno. Questo ci porta a concludere che, nell’esperienza descritta nel testo del problema, la sferetta A potrebbe essere neutra o carica negativamente, mentre la sferetta B deve essere carica positivamente. Quindi la risposta esatta è la B. Il fenomeno dell’induzione è caratteristico dei conduttori e consiste nella ridistribuzione della carica causata dall’avvicinamento (senza che avvenga contatto!) di un oggetto carico alla superficie di un conduttore. Un conduttore allo stato neutro contiene cariche elettriche positive e negative in egual misura e i baricentri delle due distribuzioni di carica coincidono. In un corpo conduttore le cariche elettriche sono libere di muoversi sotto l’azione di un campo elettrico esterno. Pertanto, avvicinando al conduttore un oggetto elettricamente carico, questo attirerà le cariche di segno opposto presenti nel conduttore e respingerà quelle con carica dello stesso segno presenti nel conduttore. Le prime si distribuiranno nella regione del conduttore più vicina all’oggetto carico, mentre le seconde si distribuiranno nella parte del conduttore più lontana dal corpo carico. Poiché l’interazione elettrostatica è sensibilmente dipendente dalla distanza, le cariche più vicine all’oggetto carico saranno attratte in misura maggiore di quanto quelle più lontane non ne siano respinte. Ne risulta quindi una forza attrattiva tra il corpo carico e il conduttore neutro, come nel caso della sferetta metallica del quesito. NOTA

119


Risultati percentuali relativi al quesito 66 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

67.

1.60% 9.83% 2.36% 7.43% 58.81%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

9.83% 70.21% 19.97%

In un appartamento sono in funzione alcune utenze: un ferro da stiro che ha una resistenza di circa 40 Ω, ed una serie di lampadine da 100 W. Sapendo che la potenza massima utilizzabile è di 1,65 kW a 220 V, qual è il numero massimo di lampadine che possono essere accese quando il ferro è in funzione? A. B. C. D. E.

9 lampadine nessuna lampadina 4 lampadine 16 lampadine 6 lampadine

Soluzione Cominciamo con il ricordare che l’energia elettrica distribuita negli appartamenti viene distribuita sotto forma di tensione sinusoidale; quando si dice che la tensione di rete vale 220 V, si fa riferimento al valore efficace della tensione. Il valore efficace di una tensione periodica e costituito dal valore della tensione continua che produrrebbe gli stessi effetti energetici se venisse applicata allo stesso apparecchio utilizzatore, nel nostro caso il ferro da stiro che si comporta come un resistore da 40 Ω. La potenza dissipata dal ferro da stiro può essere perciò calcolata come prodotto della tensione efficace V ai capi della resistenza elettrica R che fa riscaldare il ferro, per la corrente I che attraversa la resistenza stessa: P = V · I. (8)

Sostituendo I dalla legge di Ohm, V = RI, otteniamo:

V2 ≈ 1210 W. R Quando il ferro da stiro è in funzione, la potenza residua che abbiamo a disposizione è dunque pari a: (1650 − 1210) W = 440 W. Sarà perciò possibile accendere fino a quattro lampadine. Quindi la risposta corretta è la C. P=

In italiano il valore efficace di una grandezza periodica si chiama anche valore quadratico medio, espressione non altrettanto precisa dell’equivalente espressione inglese root mean square value che esplicitamente invoca non solo il valore quadratico medio, ma specifica che si tratta della sua radice (quadrata). La potenza assorbita da una resistenza R a cui sia applicata un tensione sinusoidale di ampiezza pari a Vmax e di periodo T , istante per istante vale ! 2 v2 (t) Vmax 2 2πt p(t) = = sin R R T

NOTA

120


La trigonometria, che per il sillabo della pagina 9 si dà per conosciuta, ci fornisce la relazione fondamentale cos 2ϕ = cos2 ϕ − sin2 ϕ = 1 − 2 sin2 ϕ

dalla quale si ricava direttamente

1 − cos 2ϕ 2 che corrisponde al grafico che segue (disegnato solo per un periodo della sinusoide); l’espressione matematica, però, evidenzia il fatto che esso consiste del termine costante 1/2 sommato algebricamente ad un termine a valor medio nullo. sin2 ϕ =

sin2 (t) 1 1 2 t

O

T Quindi la potenza dissipata in un periodo nella resistenza R vale P=

2 Vmax 2R

perciò il valore efficace vale

Vmax Veff = √ 2

Queste semplici considerazioni, ovviamente, valgono solo se la funzione periodica è sinusoidale. Per una funziona periodica non sinusoidale la radice quadrata del valor quadratico medio richiede di integrare il quadrato della funzione su un dominio di un periodo, calcolandone poi il valor medio ed estraendo la radice quadrata. Ma questo modo di procedere non à accessibile alla maggioranza dei candidati al test che non hanno avuti corsi di analisi matematica nelle scuole superiori; d’altra parte queste conoscenze non sono previste dal sillabo della pagina 9. Ai fini del nostro quesito sarebbe un lavoro inutile, visto che la distribuzione dell’energia elettrica negli appartamenti viene eseguita con una tensione sinusoidale e non genericamente periodica. Attenzione a non pasticciare troppo con interventi sull’impianto elettrico casalingo senza le dovute cautele; la tensione efficace di 220 V produce già scosse notevoli, molto pericolose; √ ma il valore massimo di quella tensione sinusoidale vale Vmax = 2Veff = 311 V che è ovviamente molto più pericoloso per il nostro organismo. Risultati percentuali relativi al quesito 67 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

4.68% 2.16% 7.49% 5.24% 3.85%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

121

7.49% 15.92% 76.58%


68.

Quale dei seguenti fenomeni non coinvolge reazioni chimiche? A. B. C. D. E.

formazione di fuliggine durante una combustione formazione di ruggine su un vecchio chiodo formazione di muffa su un pezzo di formaggio formazione di depositi di calcare in una conduttura formazione di brina mattutina sui campi

Rispondere a questo quesito è quasi immediato quando si proceda per esclusione e con un po’ di intuito: vediamo come. Le particelle di fuliggine o “nerofumo”, costituite in gran parte (di solito attorno all’80-90%) da carbonio, si formano quando la combustione di materiali organici, come la legna, il carbone, la cera delle candele, avviene in carenza di ossigeno, per cui la combustione stessa è solo parziale. Comunque, anche se parziale, la combustione è in ogni caso una reazione chimica, che prevede l’apporto dell’ossigeno come comburente. Quindi la risposta A è sbagliata. Anche la formazione della ruggine, che è costituita da una miscela di ossidi di ferro, è una reazione chimica di ossidazione dei materiali ferrosi da parte dell’ossigeno, particolarmente rapida in ambiente umido. Quindi, eliminiamo anche la risposta B. Il calcare, che è costituito da carbonato di calcio (CaCO3 ), ha invece origine dalla reazione chimica degli ioni calcio Ca2+ , presenti nelle acque cosiddette “dure”, con l’anidride carbonica disciolta sotto forma di acido carbonico (H2 CO3 ): dato che il carbonato di calcio, è pochissimo solubile, esso spesso precipita formando incrostazioni di calcare sulle superfici di contenitori o tubature. In ogni caso, all’origine c’è ancora una reazione chimica (di tipo acido-base), quindi eliminiamo anche la risposta D. Quanto alla risposta C, crediamo che nessuno di voi pensi che la crescita di esseri viventi, anche se non molto eccitanti (sicuramente gustosi però per chi ama il gorgonzola o il taleggio) come i funghi che costituiscono le muffe, possa avvenire senza comportare reazioni chimiche: i sistemi viventi sono fantastici impianti chimici! La formazione della brina è invece un processo fisico, che non comporta alcuna reazione chimica. Il brinamento è infatti la condensazione su una superficie fredda come il suolo o l’erba, del vapore presente nell’aria direttamente sotto forma di piccoli cristalli di ghiaccio aghiformi. Pertanto la risposta esatta è la E. Il brinamento è quindi un cambiamento di stato diretto (ossia senza passare per lo stato liquido) da gas a solido, che è il fenomeno opposto alla sublimazione. La formazione della brina avviene quindi in modo molto diverso sia da quello della pioggia, sia da quello della neve. Il vapore acqueo presente nell’atmosfera condensa in acqua liquida quando la sua concentrazione eccede un valore, detto punto di rugiada (corrispondente alla condizione in cui l’umidità relativa è del 100%), che decresce molto in fretta con la temperatura: ad esempio, se a 25 ◦C è necessaria una percentuale in peso di vapore nell’aria di circa il 2%, a 5 ◦C ne basta lo 0,5%). Ciò può avvenire per diversi meccanismi, ad esempio perché l’aria umida sale espandendosi e raffreddandosi per superare un rilievo montuoso. Quando si raggiunge il punto di rugiada, ha luogo la formazione di una nuvola di goccioline, che generalmente si creano attorno a “centri di condensazione” costituiti da granelli di polvere o sale sospesi. Se le goccioline diventano abbastanza grosse da precipitare, si ha la pioggia; quando invece, prima che ciò avvenga, si raffreddano ulteriormente fino alla temperatura di congelamento, si formano i fiocchi di neve. NOTA

122


La formazione della brina, invece, avviene a livello del suolo e in condizioni molto diverse, soprattutto durante notti molto fredde e serene. L’aria in questo caso ha un contenuto di vapore piuttosto basso, cioè non sufficiente, anche se fa molto freddo, a raggiungere il punto di rugiada. Tuttavia le superfici con cui l’aria viene a contatto (le foglie, il suolo, i tetti) sono ancora più fredde, perché durante la notte si raffreddano per irraggiamento (cioè emettendo radiazione infrarossa) più in fretta dell’aria, raggiungendo una temperatura che, per quella concentrazione di vapore, è al di sotto del punto di rugiada. L’aria che viene a contatto con tali superfici condensa rapidamente: tuttavia, se il punto di rugiada è al di sotto di 0 ◦C, ciò che si forma non sono goccioline d’acqua, ma direttamente cristalli di ghiaccio, ossia brina (se il punto di rugiada è invece al di sopra di 0 ◦C, si forma, appunto, la rugiada, che è allo stato liquido). Se avete un po’ di spirito di osservazione, avrete notato che ciò avviene soprattutto sulle superfici più scure, perché queste, oltre ad assorbire l’energia fornita per irraggiamento, la emettono anche in modo più efficiente (andare in giro vestiti con abiti scuri, quindi, non è una buona scelta né d’estate, né d’inverno!). Risultati percentuali relativi al quesito 68 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

69.

8.04% 1.28% 9.81% 9.36% 52.57%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

52.57% 28.49% 18.93%

Indicando con “·” il prodotto scalare e con “×” il prodotto vettore, quale delle seguenti operazioni genera la proiezione del vettore ~a sul vettore ~b ? ~b |~b| B. ~a × ~b C. ~a · ~b D. ~a + ~b ~b E. ~a · |~b| A. ~a ×

Soluzione La proiezione di un vettore lungo una direzione è la lunghezza del segmento avente per estremi le intersezioni delle perpendicolari alla direzione e passanti per il punto di applicazione e per il vertice del vettore. Essendo la proiezione una grandezza scalare, escludiamo subito le risposte A, B e D, perché il risultato di un prodotto vettoriale (regola della mano destra) o di una somma di vettori (regola del parallelogramma) è anch’esso un vettore. L’operazione di prodotto scalare è invece un’operazione tra due vettori che genera uno scalare (nomen omen). Il prodotto scalare di due vettori si ottiene moltiplicando i rispettivi moduli con il coseno dell’angolo formato dalle loro direzioni, cioè: ~a · ~b = |~a||~b| cos θ = ab cos θ. 123


Indichiamo con ak la proiezione di ~a sulla direzione di ~b ovvero: ak = a cos θ. Analogamente, con bk la proiezione di ~b sulla direzione di ~a, cioè bk = b cos θ. Il prodotto scalare può allora essere scritto come segue: ~a · ~b = ak b = abk che è diverso dalla proiezione di ~a su ~b. Quindi anche la risposta C è sbagliata. Invece, poiché: ~a ·

~b ~a · ~b ab cos θ = = = a cos θ = ak , b b |~b|

La risposta esatta è la E. Risultati percentuali relativi al quesito 69 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

70.

3.80% 11.44% 6.18% 3.27% 2.34%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

2.34% 24.69% 72.97%

Un treno viaggia alla velocità di 144 km/h. Supponendo che le ruote aderiscano perfettamente ai binari (non c’è slittamento) e che abbiano un diametro d = 80 cm, il numero di giri che fanno in un secondo è circa pari a: A. B. C. D. E.

8 57 32 115 16

Soluzione Il quesito chiede di determinare la frequenza f di rotazione delle ruote, che può essere espressa come: ω f = (9) 2π dove ω è la velocità angolare. Poiché la velocità di un punto sulla circonferenza è: v = ωr e 144 km/h = 40 m/s, risulta: f =

v 40 m/s = ' 15,93 giri/s, 2πr 2π · 0,4 m/giro

quindi la risposta esatta è la E.

124


NOTA Vediamo come ricavare la formula (9). La velocità angolare è la grandezza caratteristica di un moto circolare ed è definita da:

ω=

∆θ , ∆t

ovvero come il rapporto tra la variazione della posizione angolare del corpo, che avviene in un intervallo di tempo ∆t, e l’intervallo di tempo stesso. Consideriamo ora un giro completo: a questo corrisponde una variazione di posizione angolare pari a 2π radianti e viene compiuto, se il moto è uniforme (cioè quando ω è costante) in un tempo T , detto periodo. Abbiamo quindi: 2π . ω= T Poiché la frequenza è il reciproco del periodo, possiamo scrivere: ω = 2π f e, ricavando f , otteniamo la (9). Risultati percentuali relativi al quesito 70 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

6.53% 5.57% 5.50% 3.42% 11.28%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

125

11.28% 21.02% 67.70%


MATEMATICA 2 Commenti e soluzioni di Gioconda Moscariello e Vincenzo Ferone Introduzione I quesiti di Matematica 2 differiscono da quelli di Matematica 1 nel senso che dovrebbero essere maggiormente diretti alla verifica delle competenze acquisite in matematica. Per il resto non dovrebbero essere molto dissimili da quelli di Matematica 1 per quel che riguarda il modo di affrontarli. È evidente però che in questa sezione bisogna fare maggiore uso delle conoscenze e dell’abilità nell’utilizzarle per affrontare i problemi proposti. Anche per questa sezione si commenteranno solo le risposte giuste mostrando un possibile ragionamento e usando le formule giuste per spiegare la correttezza delle risposte; data al natura della matematica, è evidente che le risposte sbagliate o non hanno seguito un ragionamento giusto o non hanno usato le formule giuste. La sezione consiste di 10 quesiti e il tempo concesso per rispondere è di 30 minuti. Il risultato ottenuto dai circa 28 164 candidati nella prova del settembre 2009 è presentato in forma di distribuzione percentuale nella figura seguente: ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Parziale nella sezione di Matematica 2 compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse.

confronto distribuzione MATEMATICA 2

24% 22%

100,00% 90,00%

20% 80,00% 18% 70,00% 16% 60,00%

14%

50,00%

12% 2009 10%

40,00%

cum 2009

8% 30,00% 6% 20,00% 4% 10,00%

2%

0,00%

0% -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Punteggi assoluti per la sezione di Matematica 2 Il Punteggio Parziale può variare teoricamente tra −2,5 e 10 punti, mentre il punteggio medio è circa di 2 punti.

126


71.

Nel piano cartesiano, il luogo dei punti di coordinate (x, y) che verificano l’equazione (y − 2x2 )(y2 − 4) = 0 è: A. B. C. D. E.

L’insieme costituito dai punti di coordinate (1, −2), (1, 2) L’insieme costituito dai punti di coordinate (1, 2), (−1, 2) L’unione di una parabola e di due rette L’intersezione di un’iperbole e di due rette L’intersezione di una parabola e di due rette

Soluzione La risposta C è giusta. Per la legge di annullamento del prodotto, il prodotto dei due fattori (y − 2x2 )(y2 − 4) è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo, ovvero se e solo se risulta y − 2x2 = 0

oppure

y2 − 4 = 0.

La prima equazione è equivalente a y = 2x2 che è l’equazione cartesiana di una parabola che ha come asse di simmetria l’asse delle ordinate, mentre la seconda equazione y2 − 4 = 0 ha come soluzioni y = 2 oppure y = −2 ciascuna delle quali è l’ equazione cartesiana di una retta parallela all’asse delle ascisse. Risultati percentuali relativi al quesito 71 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

72.

5.22% 8.49% 8.25% 3.44% 10.28%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

8.25% 27.43% 64.32%

I numeri interi strettamente positivi a, b, c, d sono tutti differenti tra loro e sono tutti minori di 6. Sapendo che la loro somma vale 12 determinare il loro prodotto. A. B. C. D. E.

60 24 50 40 30

Soluzione La risposta D è giusta.

I numeri a,b,c,d sono numeri interi, ovvero numeri dell’insieme Z = {. . . , − 3, −2, − 1,0,1,2,3,. . . . ,n,. . . . }. 127


D’ altra parte, a,b,c,d sono numeri positivi e minori di 6. Dunque appartengono al sottoinsieme di Z: S = {1,2,3,4,5}

Inoltre a,b,c,d sono tutti differenti fra loro e la loro somma è uguale a 12. Dei numeri dell’insieme S solo i numeri 1,2,4,5 soddisfano le ipotesi richieste: infatti il loro prodotto è uguale a 1 · 2 · 4 · 5 = 40. Risultati percentuali relativi al quesito 72 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

73.

8.47% 2.49% 0.54% 79.14% 1.91%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

79.14% 13.41% 7.45%

Quanti sono i numeri reali x che sono soluzioni dell’equazione tan(2x − 5π) = −104 A. B. C. D. E.

uno cinque infiniti nessuno due

Soluzione La risposta C è giusta. La funzione tangente è periodica di periodo π. Pertanto l’equazione data è equivalente a tan(2x) = −104 che con il cambiamento d’incognita y = 2x si scrive tan y = −104 . π π Poiché la funzione tan y, per − < y < , assume tutti i valori reali, in tale intervallo esiste una 2 2 soluzione dell’equazione tan y = −104 . Detta y0 tale soluzione, per la periodicità della tangente avremo poi le infinite soluzioni y = y0 + kπ, con k intero. Tornando allora all’ incognita x, le y π soluzioni dell’equazione proposta saranno gli infiniti valori x = 0 + k , con k intero. 2 2 Risultati percentuali relativi al quesito 73 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

6.69% 0.82% 8.85% 8.34% 9.20%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

128

8.85% 25.05% 66.10%


74.

Un triangolo rettangolo, ruotando attorno ai propri cateti, genera due coni. Il rapporto fra i volumi dei due coni è pari al rapporto fra A. B. C. D. E.

il cateto maggiore e l’ipotenusa i cateti i quadrati dei cateti il cateto minore e l’ipotenusa i cubi dei cateti

Soluzione La risposta B è giusta. Osserviamo che ciascuno dei due coni ha uno dei due cateti come raggio di base e l’altro come altezza rispettivamente. Denotiamo con b e c le lunghezze dei due cateti, con V1 il volume del cono con raggio di base b e con V2 il volume del cono con raggio di base c. Dalla formula del volume del cono avremo V1 πb2 c b = = . V2 πc2 b c Risultati percentuali relativi al quesito 74 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

75.

2.40% 29.36% 11.82% 2.36% 15.39%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

Per quale dei seguenti valori di x si ha sin A. B. C. D. E.

π 3 x = 3π x = 2π π x= 6 π x= 2 x=

x 3

=

29.36% 31.97% 38.66%

sin(x) 3

Soluzione La risposta B è giusta.

Con la sostituzione y =

x , l’equazione proposta diviene 3

3 sin y = sin 3y 129

(10)


Usando ora le formule di addizione e di duplicazione il secondo membro della precedente equazione diventa: sin(3y) = sin(2y + y) = sin 2y cos y + cos 2y sin y = 2 sin y cos2 y + (1 − 2 sin2 y) sin y

= 2 sin y (1 − sin2 y) + sin y − 2 sin3 y

Perciò risulta:

sin 3y = 3 sin y − 4 sin3 y

Tenendo conto della precedente relazione, l’equazione (10) diventa 3 sin y = 3 sin y − 4 sin3 y che equivale a sin y = 0. Tornando alla x, troviamo allora che deve risultare sin x/3 = 0. L’unico fra i valori di x proposti che soddisfi a questa relazione è 3π. Infatti, se x = 3π si ha sin x/3 = sin π = 0. Per tutti gli altri valori proposti si ha 0 < x/3 < π e perciò sin x/3 > 0. Risultati percentuali relativi al quesito 75 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

76.

5.73% 30.34% 5.44% 4.55% 5.64%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

30.34% 21.36% 48.30%

Si considerino tutti i numeri reali a della forma a=

3n + 3 + (−1)n n+1

dove n è un qualunque intero positivo. Quanti dei numeri a sono maggiori di 2,99? A. B. C. D. E.

infiniti, ma non tutti nessuno uno due tutti

Soluzione La risposta A è giusta.

I numeri a si possono scrivere nel modo seguente: a=

3(n + 1) + (−1)n (−1)n =3+ . n+1 n+1

Perciò la disuguaglianza a > 2,99 equivale a 0,01 +

(−1)n > 0, n+1 130


cioè

1 (−1)n+1 > . (11) 100 n+1 In tale disuguaglianza il primo membro (1/100) è positivo (ed indipendente da n); perciò essa è certamente vera per gli n pari: in questo caso infatti n + 1 è dispari e dunque il secondo membro della disuguaglianza è negativo, avendosi (−1)n+1 = −1. D’altra parte per alcuni n dispari (quelli da 1 a 99) la disuguaglianza è falsa. Ad esempio, per n = 1 la disuguaglianza (11) diventa (−1)2 1 1 > = , 100 2 2 che è evidentemente falsa. Risultati percentuali relativi al quesito 76 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

77.

35.88% 6.64% 4.21% 2.74% 8.39%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

35.88% 21.99% 42.13%

Siano dati nel piano due triangoli equilateri che si possono ruotare e traslare liberamente uno rispetto all’altro. Data una qualsiasi posizione dei due triangoli, la loro porzione di superficie sovrapposta non potrà mai essere A. B. C. D. E.

un trapezio un esagono un rettangolo un triangolo equilatero un triangolo rettangolo

Soluzione La risposta C è giusta. Siano l1 ed l2 i lati dei due triangoli, con l1 ≤ l2 , e disegniamo il triangolo maggiore con un lato orizzontale ed il vertice opposto in alto. Si può ottenere un trapezio ad esempio scegliendo l1 < l2 e disponendo il triangolo di lato l2 con un lato interno al primo ed anch’esso orizzontale ed il vertice opposto esterno al triangolo maggiore come nella figura 6. Dunque la risposta A è sbagliata. Per realizzare un esagono è sufficiente che ogni lato di ciascun triangolo possa incontrarne due dell’altro. Ad esempio se si dispongono i triangoli come nella figura 7 la superficie sovrapposta sarà un esagono. Perciò anche la risposta B è sbagliata. Un triangolo equilatero si può ottenere scegliendo l1 = l2 e sovrapponendo perfettamente i due triangoli. In questo modo si ottiene che la superficie sovrapposta è un triangolo equilatero e perciò la risposta D è sbagliata. Si ottiene infine un triangolo rettangolo se si dispone il secondo triangolo con un lato verticale come in Figura 8, cosicché anche la risposta E è sbagliata. 131


Pertanto la risposta A è sbagliata. * pagina 21 La risposta E al quesito 7 è sbagliata La risposta B al quesito 7 è sbagliata

Ad esempio, se si dispongono i triangoli come in figura Ad esempio, se si dispongono i triangoli come in figura, la superficie sovrapposta è un triangolo rettangolo. superficie sovrapposta è un esagono.

Figura 6: Trapeziola Pertanto

Pertanto la risposta E 8: è sbagliata. Figura Triangolo rettan-

7: Esagono risposta B èFigura sbagliata.

Risultati percentuali relativi al quesito 77 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

5.45% 19.09% 34.64% 2.76% 10.07%

golo

* pag

* pagina 21 Risposte giuste: 34.64%razionale che soddisfa questa proprietà 8. Sia x un numero Risposte errate: 37.37% p Risposte non date: 28.00% x  y per ogni y razionale tale che y > Quale delle seguenti a↵ermazioni è vera? A.

p

2 *p 78. Sia x un numero razionale che soddisfa questa proprietà: p √ B. x è il più piccolo numero razionale maggiore di 2 x ≤ y per ogni y razionale tale che y > 2 *p Quale delle seguenti affermazioni è vera? C. x = y *p √ p A. x è il più grande numero razionale minoreD. di 2x < 2 *p √ p B. x è il più piccolo numero razionale maggiore di 2 E. x = 2 *p C. D. E.

x è il più grande numero razionale minore di

x=y √ x< 2 √ x= 2

Soluzione

√ La risposta D è giusta. Non può essere x > 2 poiché√in tal caso per le proprietà dell’insieme dei numeri razionali, esisterebbe un razionale y tale che 2 < y√< x, contrariamente all’ipotesi; perciò le affermazioni B e C sono √ false. Neppure può essere x = 2 (cioè anche E è falsa),√poiché x è per ipotesi razionale mentre 2 è irrazionale. Allora deve essere necessariamente x < 2, cioè √ l’affermazione D è vera. Invece l’affermazione A è falsa √ in quanto, come prima, essendo x < 2 esiste un altro numero razionale x1 tale che x < x1 < 2.

132


Risultati percentuali relativi al quesito 78 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

79.

16.57% 13.34% 4.52% 18.48% 4.80%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

18.48% 39.23% 42.29%

Date le due circonferenze rispettivamente di centro (0, 0) e raggio 1 e di centro (2, 2) e raggio 1, si indichi con d(P1 , P2 ) la distanza tra un generico punto P1 che sta sulla prima circonferenza ed un generico punto P2 che sta sulla seconda circonferenza. Si consideri poi il minimo m di d(P1 , P2 ) al variare di P1 e di P2 . Si ha che √ A. m = 2 √ 2 B. m = √2 C. m = 2 − 1 D. tale minimo non esiste √ E. m = 2( 2 − 1)

Soluzione La risposta E è giusta. p La somma dei due raggi vale 1 + 1 = 2 e risulta perciò minore della √ distanza dei centri che è (2 − 0)2 + (2 − 0)2 = 2 2 > 2. Per questo motivo le due circonferenze sono esterne l’una all’altra. Diciamo Q1 , Q2 i punti in cui esse incontrano il segmento c1 c2 , t1 ,t2 le rispettive tangenti in tali punti. Queste due rette sono entrambe perpendicolari a c1 c2 e perciò parallele fra loro. Inoltre la loro distanza è uguale a quella√fra i punti Q1 e Q2 e questa a sua volta è equivalente alla differenza fra la distanza dei centri (= 2 2) e la somma dei raggi (= 2): √ √ d(Q1 ,Q2 ) = 2 2 − 2 = 2( 2 − 1). Infine si osserva che le due circonferenze sono esterne alla striscia di lati t1 , t2 e situate da parti opposte rispetto a questa. Perciò, qualunque siano i punti P1 sulla prima circonferenza e P2 sulla seconda, si ha d(P1 ,P2 ) ≥ d(Q1 ,Q2 ). Così il minimo m della quantità d(P1 ,P2 ) si ottiene proprio quando P1 = Q1 e P2 = Q2 : √ √ m = d(Q1 ,Q2 ) = 2 2 − 2 = 2( 2 − 1). Risultati percentuali relativi al quesito 79 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

3.33% 3.04% 2.44% 5.01% 12.31%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

133

12.31% 13.81% 73.87%


80.

Un’azienda vinicola produce il rinomato pirlot, un miscuglio di bianco pinot e di rosso merlot in parti uguali. Da una bottiglia il produttore ne preleva 1/3 e lo rimpiazza con una parte identica di solo pinot, poi preleva 1/4 del nuovo miscuglio e lo rimpiazza ancora con una parte identica di solo pinot. Quale frazione del miscuglio finale è composta di pinot? A. B. C. D. E.

5/7 7/12 5/12 2/3 3/4

Soluzione La risposta E è giusta. Dopo il primo prelievo, il contenuto della bottiglia si riduce ai suoi due terzi, e lo stesso avviene per ciascun componente del miscuglio. Dunque il merlot (come il pinot) 2 1 1 passa dall’iniziale mezza bottiglia a · = di bottiglia. E tanto rimane dopo il successivo 3 2 3 riempimento con il solo pinot. Con il secondo prelievo il contenuto si riduce a tre quarti di bottiglia, e in ugual misura si riduce 1 3 1 1 ciascun componente. Dunque il merlot passa questa volta da a · = di bottiglia; e tanto 3 4 3 4 rimane dopo il nuovo riempimento, Dunque alla fine il contenuto della bottiglia piena sarà costituito 1 3 per di merlot; allora gli altri saranno di pinot. 4 4 Risultati percentuali relativi al quesito 80 Risposta A: Risposta B: Risposta C: Risposta D: Risposta E:

4.46% 30.02% 11.31% 4.53% 16.78%

Risposte giuste: Risposte errate: Risposte non date:

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16.78% 50.32% 32.90%


Conclusione A completamento di quanto è stato presentato per le singole sezioni del test non rimane che presentare quale è stato il risultato che i circa 28 164 partecipanti alla prova del settembre 2009 hanno riportato complessivamente nell’intero test. Come in precedenza il risultato è presentato in figura in forma di distribuzione percentuale così che ogni barra fornisce la percentuale di studenti che hanno conseguito un Punteggio Test totale nel test compreso tra due valori consecutivi indicati sulle ascisse. Complessivamente i test ha avuto una distribuzione di punteggi sugli 80 quesiti rappresentato nel diagramma seguente.

confronto distribuzione Punteggio Totale

18%

100,00% 90,00%

16%

80,00%

14%

70,00% 12% 60,00% 10%

2009 cum 2009

50,00%

8% 40,00% 6% 30,00% 4%

20,00%

2%

10,00%

0%

0,00% -4

0

4

8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 <80 80

Percentuale dei candidati per Punteggio Totale ottenuto nell’intero Test Il Punteggio Test può variare teoricamente tra −20 e 80 punti, mentre il punteggio medio è compreso tra i 20 e i 24 punti (22,29 per la precisione). Si può notare che la distribuzione è quasi di tipo gaussiano con una lieve asimmetria e che, anche se minime, sono presenti percentuali di candidati che totalizzano zero punti o, addirittura, punteggi complessivi negativi; comunque in pratica nessuno totalizza punteggi inferiori a −5. Non è forse completamente inutile ribadire che, chi abbia effettuato una simulazione del test, dovrebbe fare uso di questo diagramma in modo da ricavarne una valutazione della preparazione di cui al momento è in possesso. Per fare ciò è sufficiente che individui, anche approssimativamente, a quale segmento della popolazione sarebbe appartenuto sulla base del Punteggio Test che ha totalizzato nella simulazione. Coloro che desiderino avere un quadro statistico più ampio e dettagliato possono avere ulteriori informazioni sulla prova 2009 a livello nazionale consultando la pubblicazione: “I Risultati delle prove di ingresso – Anno 2009”scaricabile dal sito web CISIA www.cisiaonline.it/ e in particolare alla pagina http://www.cisiaonline.it/index.php?id=157&lang=it.

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