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Formule di Teoria dei Segnali L.Verdoliva Formule di trigonometria cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α 1 + cos 2α cos2 α = 2 1 − cos 2α sin2 α = 2 sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α 1 cos α cos β = [cos(α − β) + cos(α + β)] 2 1 sin α sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)] 2 1 sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)] 2 Formule di Eulero

cos α =

ejα + e−jα 2

sin α =

ejα − e−jα 2j

ejα = cos α + j sin α

Propriet` a δ(t) e δ(n)

R t2 t1

    x(t) δ(t) dt =

R +∞ −∞

R +∞ −∞

  

x(0) 0

 

0 ∈ (t1 , t2 )

δ(n) =

altrimenti P+∞

δ(t) dt = 1

1

n=0

0

altrimenti

k=−∞ δ(n

− k) = 1

P+∞

x(t)δ(t − t0 ) dt = x(t0 )

n=−∞ x(n)δ(n

− n0 ) = x(n0 )

x(t) δ(t − t0 ) = x(t0 ) δ(t − t0 )

x(n) δ(n − n0 ) = x(n0 ) δ(n − n0 )

δ(t) = δ(−t)

δ(n) = δ(−n)

R +∞

P+∞

−∞

Rt

x(α)δ(t − α) dα = x(t) ∗ δ(t) = x(t)

−∞ δ(τ ) dτ

= u(t) ↔ δ(t) =

k=−∞ x(k)δ(n

Pn

du(t) dt

k=−∞ δ(k)

1

− k) = x(n) ∗ δ(n) = x(n)

= u(n) ↔ δ(n) = u(n) − u(n − 1)


Media temporale per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2)

(1)

(2)

< x(t) > =

< x(t) > =

1 T →∞ T

Z

T /2

lim

1 T0

a) Invarianza temporale

b) Linearit` a

Z

x(t) dt

< x(n) > =

−T /2

N X 1 x(n) N →∞ 2N + 1

lim

n=−N

T0 /2

x(t) dt

< x(n) > =

−T0 /2

1 N0

NX 0 −1

x(n)

n=0

y(t) = x(t − t0 )

=⇒

< y(t) >=< x(t) >

y(n) = x(n − n0 )

=⇒

< y(n) >=< x(n) >

z(·) = a x(·) + b y(·)

=⇒

< z(·) >= a < x(·) > +b < y(·) >

Potenza per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2) ed Energia (3)

(1)

Z

1 = lim T →∞ T

Px

T /2

|x(t)|2 dt

Px =

−T /2

n=−N

Z

(2) (3)

T0 /2 1 |x(t)|2 dt T0 −T0 /2 Z +∞ = |x(t)|2 dt

Px =

Px = Ex

N X 1 |x(n)|2 N →∞ 2N + 1

lim

N0 −1 1 X |x(n)|2 N0 n=0

Ex =

−∞

+∞ X

|x(n)|2

n=−∞

Potenza ed Energia mutua

Pxy

1 = lim T →∞ T Z

Exy =

+∞

Z

T /2

x(t) y (t) dt −T /2

x(t) y ∗ (t) dt

−∞

a) Invarianza temporale

b) Non Linearit` a

Pxy

N X 1 = lim x(n) y ∗ (n) N →∞ 2N + 1 n=−N

Exy =

+∞ X

x(n) y ∗ (n)

n=−∞

y(t) = x(t − t0 )

=⇒

Py = Px

e

Ey = Ex

y(n) = x(n − n0 )

=⇒

Py = Px

e

Ey = Ex

z(·) = x(·) + y(·)

=⇒

Pz = Px + Py + 2 Re[Pxy ]

=⇒

Ez = Ex + Ey + 2 Re[Exy ]

2


Funzione di autocorrelazione per segnali di potenza aperiodici (1) e periodici (2) e per segnali di energia (3)

(1)

Z

1 Rx (τ ) = lim T →∞ T

T /2

x(t) x∗ (t − τ ) dt

Rx (m) =

−T /2

N X 1 x(n) x∗ (n − m) N →∞ 2N + 1

lim

n=−N

Z

(2) (3)

T0 /2 1 x(t) x∗ (t − τ ) dt T0 −T0 /2 Z +∞ Rx (τ ) = x(t) x∗ (t − τ ) dt

Rx (τ ) =

1 N0

Rx (m) =

x(n) x∗ (n − m)

n=0

+∞ X

Rx (m) =

−∞

NX 0 −1

x(n) x∗ (n − m)

n=−∞

Funzione di mutua correlazione per segnali di potenza (1) e per segnali di energia (2)

(1)

1 Rxy (τ ) = lim T →∞ T Z

(2)

Rxy (τ ) =

+∞

Z

T /2

x(t) y (t − τ ) dt −T /2

n=−N

x(t) y ∗ (t − τ ) dt

Rxy (m) =

−∞

+∞ X

x(n) y ∗ (n − m)

n=−∞

  a) Valore nell’origine

N X 1 Rxy (m) = lim x(n) y ∗ (n − m) N →∞ 2N + 1

Rx (0) =

 

Ex

Rxy (0) =

Px

b) Simmetria coniugata

Rx (·) = Rx∗ (−(·))

c) Limitatezza

|Rx (·)| ≤ Rx (0)

Exy Pxy

∗ (−(·)) Rxy (·) = Ryx   p Ex Ey |Rxy (·)| ≤  p Px Py

Sistemi LTI nel dominio del tempo Z

+∞

y(t) =

x(α) h(t − α) dα

y(n) =

−∞

+∞ X

x(k) h(n − k)

k=−∞

= x(t) ∗ h(t)

= x(n) ∗ h(n)

a) Propriet` a commutativa

x(·) ∗ h(·) = h(·) ∗ x(·)

b) Propriet` a distributiva

x(·) ∗ [h1 (·) + h2 (·)] = x(·) ∗ h1 (·) + x(·) ∗ h2 (·)

c) Propriet` a associativa

x(·) ∗ [h1 (·) ∗ h2 (·)] = [x(·) ∗ h1 (·)] ∗ h2 (·) 3


d) Propriet` a associativa mista

a[x(·) ∗ h(·)] = [ax(·)] ∗ h(·) = x(·) ∗ [ah(·)]

e) Invarianza temporale

x(t − t1 ) ∗ h(t − t2 ) = y(t − (t1 + t2 )) x(n − n1 ) ∗ h(n − n2 ) = y(n − (n1 + n2 ))

Sistema non dispersivo

⇐⇒

h(·) = kδ(·)

Sistema causale

⇐⇒

h(t) = 0 per t < 0 h(n) = 0 per n < 0

Sistema stabile

R +∞

⇐⇒

−∞ |h(t)| dt < ∞ P+∞ n=−∞ |h(n)| < ∞

Serie di Fourier

Sintesi

+∞ X

x(t) =

Xk ej2πkf0 t

x(n) =

k=−∞

Analisi

x(·) reale

1 T0

Xk =

−→

Z

T0 /2

x(t) e

−j2πkf0 t

dt

Xk

−T0 /2

N0 −1 1 X = x(n) e−j2πkν0 n N0 n=0

  ←→

|X−k | = |Xk | ∠X−k = −∠Xk

z(·) = ax(·) + by(·)

←→

Zk = aXk + bYk

y(t) = x(t − t0 )

←→

Yk = Xk e−j2πkf0 t0

y(n) = x(n − n0 )

←→

Yk = Xk e−j2πkν0 n0

y(·) = x(−·)

←→

Yk = X−k

dx(t) dt

←→

Yk = j2πkf0 Xk

y(n) = x(n) − x(n − 1)

←→

Yk = (1 − e−j2πkν0 )Xk

2) Traslazione temporale

3) Riflessione 4) Derivazione

y(t) =

5) Differenza prima

Xk ej2πkν0 n

k=0

X−k = Xk∗

1) Linearit` a

NX 0 −1

6) Relazione di Parseval 1 T0

R T0

|x(t)|2 dt =

P+∞

2 k=−∞ |Xk |

1 N0

4

P

2 <N0 > |x(n)|

=

P

2 k=<N0 > |Xk |


Trasformata di Fourier Z Sintesi

Z

+∞

x(t) =

X(f ) e

j2πf t

df

−∞

Z Analisi

+∞

X(f ) =

x(t) e−j2πf t dt

−→

x(n) e−j2πνn

n=−∞

 

X(−(·)) = X ∗ (·)

1) Linearit` a

←→

|X(−(·))| = |X(·)| ∠X(−(·)) = −∠X(·)

a1 x1 (·) + a2 x2 (·)

←→

a1 X1 (·) + a2 X2 (·)

x(−(·))

←→

x(at)

←→

X(−(·)) ³ ´ f 1 X a |a|

£n¤

←→

X(M ν)

5) Decimazione

x(M n)

←→

1 M

6) Convoluzione

x(·) ∗ y(·)

←→

X(·)Y (·)

x(t)y(t)

←→

X(f ) ∗ Y (f )

x(n)y(n)

←→

X(ν) ∗ Y (ν) =

8) Derivazione d.d.t

dk x(t) dtk

←→

(j2πf )k X(f )

9) Differenza prima

x(n) − x(n − 1)

←→

tk x(t)

←→

(1 − e−j2πν )X(ν) ³ ´k k

−∞ x(α) dα

←→

X(f ) j2πf

k=−∞ x(k)

←→

X(ν) 1−e−j2πν

x(t − t0 )

←→

X(f ) e−j2πf t0

x(n − n0 )

←→

X(ν) e−j2πνn0

x(t) ej2πf0 t

←→

X(f − f0 )

x(n) ej2πν0 n

←→

X(ν − ν0 )

2) Riflessione 3) Cambiamento di scala 4) Espansione

x

7) Prodotto

10) Derivazione d.d.f 11) Integrazione 12) Somma corrente 13) Traslazione d.d.t

14) Traslazione d.d.f

X(ν) ej2πνn dν

−1/2 +∞ X

X(ν) =

−∞

x(·) reale

1/2

x(n) =

M

Rt

Pn

5

PM −1

j 2π

k=0

X

¡ ν−k ¢ M

R

1 2

− 12

X(u)Y (ν − u) du

d X(f ) df k

+ 21 X(0)δ(f ) e + 21 X(0)δ(ν)


x(t) cos(2πf0 t + θ)

←→

1 2 X(f

− f0 )ejθ + 21 X(f + f0 )e−jθ

x(t) cos(2πν0 n + θ)

←→

1 2 X(ν

− ν0 )ejθ + 21 X(ν + ν0 )e−jθ

15) Modulazione

P+∞

16) Campionamento d.d.f

n=−∞ x(t

− nT )

←→

k=−∞ x(n

− kn)

←→

n=−∞ x(nT )δ(t

− nT )

←→

− kN )

←→

P+∞ 17) Campionamento d.d.t

P+∞ P+∞

k=−∞ x(kN )δ(n

18) Valore nell’origine

X(0) = X(0) =

R +∞

P+∞

1 k=−∞ T X

PN −1

1 k=0 N X

1 k=−∞ T X 1 k=0 N X

x(t) dt

x(0) =

n=−∞ x(n)

x(0) =

−∞

¡k¢ ¡ e N δ f −

P+∞

PN −1

P+∞

¡k¢ ¡ T δ f −

¡ f−

¡ f−

R +∞ −∞

−∞

|x(t)|2 dt =

R +∞ −∞

P+∞

2 n=−∞ |x(n)|

|X(f )|2 df

=

R +1/2 −1/2

|X(ν)|2 dν

Trasformate notevoli (segnali tempo continuo)

A rect

¡t¢

←→

AT sinc(f T )

¡t¢

←→

AT sinc2 (f T )

A e−t/T u(t)

←→

AT 1+j2πf T

tn−1 −α/T u(t) (n−1)! e

←→

1 (α+j2πf )n

A e−|t|/T

←→

2T 1+(2πf T )2

5) Funzione sinc

A sinc(2Bt)

←→

A 2B

6) Impulso ideale

δ(t)

←→

1

7) Segnale costante

A

←→

A δ(f )

8) Gradino unitario

u(t)

←→

1 j2πf

9) Funzione signum

sign(t)

←→

1 jπf

A ej2πf0 t

←→

A δ(f − f0 )

1) Impulso rettangolare 2) Impulso triangolare 3) Esponenziale monolatero

4) Esponenziale bilatero

10) Fasore

T T

6

³ rect

f 2B

´

+ 12 δ(f )

¢

X(ν) dν

19) Relazione di Parseval R +∞

k N

¢

X(f ) df

R +1/2 −1/2

k T

k T

k N

¢

¢


11) Segnale coseno

A cos(2πf0 t)

←→

A 2

δ(f − f0 ) +

A 2

12) Segnale seno

A sin(2πf0 t)

←→

A 2j

δ(f − f0 ) −

A 2j

←→

1 T

13) Treno di impulsi

P+∞

n=−∞ δ(t

− nT )

P+∞

k=−∞ δ

δ(f + f0 ) δ(f + f0 )

¡ f−

k T

¢

Trasformate notevoli (segnali tempo discreto)

A RN (n)

←→

sin(πνN ) −j(N −1)πν sin(πν) e

2) Impulso triangolare

B2N (n)

←→

sin2 (πνN ) −j2πN ν e N sin2 (πν)

3) Esponenziale monolatero

an u(n)

←→

1 1−ae−j2πν

a|n|

←→

1−a2 1−2a cos(2πν)+a2

5) Funzione sinc

2νc sinc(2νc n)

←→

h ³ ´i rep1 rect 2νν c

6) Funzione sinc2

2νc sinc2 (2νc n)

←→

h ³ ´i rep1 Λ 2νν c

7) Impulso ideale

δ(n)

←→

1

8) Segnale costante

A

←→

e A δ(ν)

8) Gradino unitario

u(n)

←→

1 1−e−j2πν

9) Funzione signum

sign(n)

←→

2 1−e−j2πν

A ej2πν0 n

←→

e − ν0 ) A δ(ν

11) Segnale coseno

A cos(2πν0 n)

←→

A 2

e − ν0 ) + δ(ν

A 2

12) Segnale seno

A sin(2πν0 n)

←→

A 2j

e − ν0 ) − δ(ν

A 2j

←→

1 N

1) Impulso rettangolare

4) Esponenziale bilatero

10) Fasore

13) Treno di impulsi

P+∞

k=−∞ δ(n

− kN )

P+∞

e + 12 δ(ν)

k=−∞ δ

e + ν0 ) δ(ν

¡ ν−

e + ν0 ) δ(ν k N

¢

Densit` a spettrale per segnali di potenza aperiodici (1) e periodici (2) e segnali di energia (3) ³ ´ P 2δ f − k (1) Sx (f ) = limT →∞ T1 |XT (f )|2 (2) Sx (f ) = +∞ |X | (3) Sx (f ) = |X(f )|2 k k=−∞ T0

7


Formulario FAST