Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μαθηματικά Κατεύθυνσης
Ίσα ονομάζονται δύο μη μηδενικά διανύσματα όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα.
•
→
→
→
→
o Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και Γ∆ είναι ίσα, γράφουμε AB = Γ∆ . o Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με 0 . Αντίθετα ονομάζονται δύο διανύσματα, όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα.
•
→
→
o Για να δηλώσουμε ότι δύο διανύσματα AB και Γ∆ είναι αντίθετα, →
Β
→
γράφουμε ΒΑ = − ΑΒ
→
β
Γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β .
•
θ
→
Ο
Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA= α και →
Α →
OB = β .
a
∧
Την κυρτή γωνία AOB , που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ, την ονομάζουμε γωνία ∧
∧
των διανυσμάτων α και β και τη συμβολίζουμε με (α, β) ή (β, α) ∧
Για την γωνία θ = (α, β) ισχύει 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 . Ειδικότερα:
• θ =0 , αν α ↑ ↑ β .
• θ = π , αν α ↑ ↓ β . π • θ = , αν τα α και β είναι ορθογώνια ή κάθετα και γράφουμε α ⊥ β 2
• Αν ένα από τα διανύσματα α , β είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε ως γωνία των
α και β μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία θ με 0 ≤ θ ≤ π .
4. Αν α , β είναι δύο διανύσματα, τότε να αποδείξετε ότι: α + β = β + α και ( α + β )+ γ = α +( β + γ ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ → → → • Από το διπλανό σχήμα έχουμε: α + β = OA+ AM = OM και → → → Β → β + α = OB+ BM = OM . β Α Επομένως, α + β = β + α . → →
→
a
→
→
β+ γ
→
• Από το διπλανό σχήμα έχουμε:
Α →
a
→
a
→
→
β
Μ
→
a+β
→
Ο
γ
a+β
Ο
→
β
a →
β
Β
→ → → → → → (α + β ) + γ = (OA+ AB) + BΓ = OB+ BΓ = OΓ και → → → → → → α + ( β + γ ) = OA+ ( AB+ BΓ ) = OA+ AΓ = OΓ . Επομένως, (α + β ) + γ = a + ( β + γ ) . →
→
→
a + β+ γ
Γ
Επιμέλεια: Δρ Νικόλαος Χριστοδούλου
www.christodoulou-n.eu 4