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Richiami su numeri complessi • Insieme C dei numeri complessi E' ll'insieme E insieme delle coppie ordinate di numeri reali Z

=

(Z R ,

ZI ) =

ZR

+

j ZI;

Z R , ZI ∈ R

Δ

j = ( 0 ,1 )

unità immaginaria g

Si noti che C contiene R; in particolare ll'insieme insieme delle coppie del tipo (a,0), coincide con l'insieme R.

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Richiami su numeri complessi (2) ¾ Operazioni sui numeri complessi * Z = Z R − j ZI coniùgio (o coniugato) Z + W = Z R + W R + j (Z I + W I ) somma Z W = Z R W R − Z I W I + j (Z I W R + Z R W I ) prodotto asse Im

ZW Z+W

j zR

W Z zI

asse Re

¾ Esistono inoltre le seguenti operazioni a risultato reale: 2 2 * Z = Z + Z = Z ⋅ Z modulo R I ZI argomento o fase arg( Z ) = ∠ Z = arctg ZR

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Richiami su numeri complessi (3) Un numero complesso può essere scritto tramite modulo ed argomento nel seguente modo: Z = Z e j arg(Z) = Z

[cos(∠Z ) + j sin(∠Z )]

Come conseguenza, il prodotto di due numeri complessi verifica la seguente proprietà:

ZW = Z W e

j [ arg(Z)+arg(W) a g( ) a g(W) ]

⎧⎪ ZW = Z W ⎨ ⎪⎩arg ( ZW ) = arg ( Z ) + arg (W ) Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

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Richiami su spazi vettoriali Sia K un campo, detto campo degli scalari e sia V un insieme non vuoto nel quale siano definite le operazioni di addizione e di moltiplicazione per uno scalare, tali che:

∀ u, v ∈ V ∃ u + v ∈ V ∀ u ∈ V, V a ∈ K ∃ au ∈ V

(chiusura rispetto alla somma) (chiusura rispetto al prodotto)

allora V è detto spazio vettoriale sul campo K se sussistono i seguenti assiomi: assiomi della addizione A1) A2) A3)) A4)

∀ u, u v, v w ∈ V,

(u + v ) + w = u + (v + w )

∃ ø ∈ V: u + ø = u

∀ u ∈ V,

∀ u, v ∈ V

∀ u ∈V

∃ ((− u ) ∈ V : u + ( − u)) = ø

u+v =v+u

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Richiami su spazi vettoriali (2) assiomi della moltiplicazione M1) ∀ a ∈ K, K u, v ∈ V , a(u ( + v)) = a u + av M2) ∀ a, b ∈ K, u ∈ V , (a + b) u = a u + b u a b ∈ K, K u ∈ V , (a b) u = a (b u) M3) ∀ a, M4) per lo scalare " unità " 1 ∈ K, 1 u = u ∀ u ∈ V Gli elementi di V si dicono vettori vettori.. Spazi vettoriali normati + Una norma su uno spazio vettoriale V è un'applicazione . : V → R tale che, ∀a ∈ K e ∀u, v ∈ V valgono le proprietà : 1) au = a ⋅ u 2) u + v ≤ u + v 3) u = 0 ⇔ u = 0 Disuguaglianza triangolare Uno spazio normato è una coppia (V ,

)

dove . ≥ 0 è la norma

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Richiami su spazi vettoriali (3) Una metrica o distanza nell'insieme A è un'applicazione + d: A × A → R che soddisfa, ∀ x, y ∈ A , le seguenti proprietà: 1. d ( x, y ) = d ( y, x) ≥ 0 2. d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) (disuguaglianza triangolare) 3. d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y Uno spazio metrico è una coppia (A,d) (A d) dove d è la metrica. metrica Ogni spazio vettoriale normato è anche uno spazio metrico. I f tti dati Infatti, d ti 2 vettori tt i u e v, sii può ò definire d fi i la l distanza di t f di fra essi mediante la formula:

d (u, v ) = u - v Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

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Richiami su spazi vettoriali (4) Spazi unitari Sia V uno spazio vettoriale sul campo K, (ad esempio R o C), in cui è definita una funzione . | . : V × V → K , chiamata prodotto interno che verifica interno, erifica le seguenti seg enti proprietà, proprietà ∀u , v, w ∈ V e ∀a ∈ K : . | . funzione definita positiva 1. u | u ≥ 0 con u | u = 0 ⇔ u = 0 2. u + w | v = u | v + w | v .|. forma hermitiana (lineare 3. a u | v = a u | v nel primo argomento e antilineare 4. u | v + w = u | v + u | w nel secondo) se K complesso, ∗ 5. u | a v = a u | v pp forma bilineare simmetrica oppure se K reale 6. u | v = v | u * 7. u | u = u | u * ⇒ u | u ∈ R La coppia ( V , . | . ) costituisce uno spazio unitario (o spazio pre-hilbertiano) Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

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Richiami su spazi vettoriali (5) Due vettori u,v di uno spazio unitario si dicono ortogonali se risulta:

u|v =0

In uno spazio p unitario, si definisce la norma di un vettore ((norma “indotta” dal prodotto interno) nel modo seguente:

u =

u, u

quindi uno spazio unitario è anche uno spazio normato, e vale la relazione: u|v ≤ u v Si può introdurre di conseguenza anche la distanza:

d (u, v ) = u − v che rende V uno spazio metrico. Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

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Richiami su spazi vettoriali (6) Esempio Lo spazio vettoriale Rn è uno spazio unitario se si adotta come prodotto interno il prodotto scalare ordinario (euclideo): u|v =

n

∑uv i =1

i i

= u⋅v

Di conseguenza si ottiene la norma euclidea (o modulo) di un vettore:

u = u = u ⋅ u = u12 + u2 2 + ... + un 2

Due vettori u,v di Rn si dicono ortogonali se risulta:

u⋅v = 0 Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

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Spazi vettoriali complessi Spazio vettoriale complesso a n dimensioni E' lo spazio vettoriale Cn sul campo C costituito dalle n-ple di numeri complessi. Il generico elemento è:

A = ( A1 ,A A 2 ,...,A An ) ;

A1 ,A A 2 ,...,A An ∈ ^

A = A R + jA I ;

AR , AI ∈ \n

¾ Operazioni su vettori complessi 1) somma A + B = ( A1 + B1 , A2 + B2 ,..., An + Bn ) 2) prodotto per uno scalare

ZA = ( ZA1 ,ZA 2 ,...,ZA n ) Z ∈ ^

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Spazi vettoriali complessi (2) 3) prodotto scalare euclideo A ⋅ B = ( A1B1 + A 2 B 2 + ... + A n B n ) =

= A R ⋅ B R − A I ⋅ B I + j( A I ⋅ B R + A R ⋅ B I ) quindi i di il prodotto d scalare l euclideo lid tra vettorii complessi l i segue la l stessa regola del prodotto tra numeri complessi. 4) vettore complesso coniugato

(

)

A ∗ = A1∗ ,,A 2∗ ,...,A , , n ∗ = A R − jA I Lo o spa spazio o vettoriale etto a e Cn non o è u unitario ta o rispetto spetto a al p prodotto odotto sca scalare ae ordinario euclideo. Infatti, consideriamo ad esempio un vettore E dello spazio C3. Se si introduce la grandezza:

AC ( E ) = E ⋅ E = Ex 2 + E y 2 + Ez 2 = E R ⋅ E R − E I ⋅ E I + 2 jE R ⋅ E I Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

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Spazi vettoriali complessi (3) Tale grandezza è in generale complessa, e quindi non può essere una norma, che è una grandezza reale positiva. Chiameremo AC (E ) ampiezza complessa del vettore E. Lo spazio p vettoriale Cn ((e in p particolare lo spazio p complesso p tridimensionale C3) è unitario se si adotta come prodotto interno il prodotto scalare coniugato (o prodotto hermitiano):

A | B = A ⋅ B∗ Due vettori A,B dello spazio Cn (C3) si dicono ortogonali se:

A⋅B = A ⋅B = 0 *

*

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Spazi vettoriali complessi (4) Essendo lo spazio C3 unitario rispetto al prodotto hermitiano, si può introdurre la norma (o modulo) di un vettore complesso:

E = E = E⋅E* =

2

Ex + E y + Ez 2

2

= ER ⋅ ER + EI ⋅ EI

Tale grandezza è effettivamente reale positiva, quindi consente di p complesso. p introdurre la nozione di distanza in uno spazio Si considerino 2 vettori u, A dello spazio C3, con u vettore reale ((cioè avente componenti p reali)) e A complesso. p Si ha:

u ⋅ A* = 0

u⋅A = 0

e quindi, se uno dei 2 vettori è reale, la definizione di ortogonalità in C3 coincide con quella classica dello spazio R3 Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

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Spazi vettoriali complessi (5) Chiameremo versore complesso un vettore di C3 a norma unitaria, cioè è un vettore che soddisfa f la relazione:

ˆi ⋅ ˆi * = 1 – Tale vettore, avendo in generale componenti complesse, non rappresenta in generale una direzione geometrica, come avviene nello spazio R3: si tratta, tratta in questo senso, senso di uno “pseudo-versore” pseudo-versore .

Dato un generico vettore complesso E, si può sempre definire il versore complesso ad esso associato:

ˆi = E E

E

E = E ˆi E

Nello spazio C3, si definisce la proiezione di un vettore E lungo un generico versore complesso i come:

Ei = E, ˆi = E ⋅ ˆi ∗ Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

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Spazi vettoriali complessi (6) Ovviamente, la proiezione di un vettore lungo la sua “direzione” deve essere uguale al modulo del vettore stesso: 2 ∗ E E ∗ ˆ E ⋅ iE = E ⋅ = = E E E avendo indicato con ˆi il versore complesso associato ad E. E

Si definisce base ortonormale per lo spazio vettoriale complesso C3 una terna di versori complessi ˆiu , ˆi v , ˆi w mutuamente ortogonali, ortogonali che soddisfano cioè le relazioni:

(

ˆi ⋅ ˆi ∗ = 1 ˆi ⋅ ˆi ∗ = 1 u u v v ˆi ⋅ ˆi ∗ = ˆi ∗ ⋅ ˆi = 0 ˆi u

v

u

v

)

ˆi ⋅ ˆi ∗ = 1 w w ˆi ∗ = ˆi ∗ ⋅ ˆi = 0 ⋅ u w u w

ˆi ⋅ ˆi ∗ = ˆi ∗ ⋅ ˆi = 0 v w v w

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Spazi vettoriali complessi (7) In generale, un vettore complesso può scriversi sempre nella forma:

E = E R + jE I = ER ˆi R + jEI ˆi I

3 ˆ ˆ ER , i R , EI , i I ∈ R

Se e solo se risulta verificata una delle 3 seguenti condizioni: 1. ER = 0 2. EI = 0 3. ER // EI allora si può scrivere:

E = Aˆi R

3 ˆ A ∈ C e i R versore ve so e reale eale (∈ R )

le condizioni 1,2,3 si possono riassumere nella condizione:

ER × EI = 0 (cond. di polarizzazione lineare) Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

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Vettori sinusoidali e fasori: richiami Una funzione vettoriale del tempo e dello spazio si dice vettore sinusoidale (o monocromatico) se ciascuna delle sue componenti è una funzione sinusoidale del tempo:

G f ( P, t ) = f x ( P, t ) iˆx + f y ( P, t ) iˆy + f z ( P, t ) iˆz = Ax ( P ) cos (ωt + ϕx ( P ) ) iˆx +

+ Ay ( P ) cos (ωt + ϕ y ( P ) ) iˆy + Az ( P ) cos (ωt + ϕz ( P ) ) iˆz

G In ogni punto dello spazio ed in ogni istante di tempo, f (P, t )∈ ℜ 3 . Per ogni vettore sinusoidale, si definisce il rispettivo vettore complesso rappresentativo (o fasore) mediante la relazione (trasformata di Steinmetz Steinmet vettoriale): ettoriale)

G jϕ y ( P ) jϕ x ( P ) ˆ F ( P ) = Ax ( P ) e ix + Ay ( P ) e iˆy + Az ( P ) e jϕ z ( P )iˆz G 3 F ∈ C . In ogni punto dello spazio, Esercitazioni di Propagazione L-A - Ing. Enrico Vitucci

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Vettori sinusoidali e fasori: richiami (2) F è “rappresentativo” nel senso che ad un assegnato vettore sinusoidale corrisponde sempre uno ed un solo vettore complesso, complesso e viceversa. Esiste cioè una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei vettori sinusoidali e l’insieme dei vettori complessi p ad essi associati. Si definisce la trasformazione inversa ((antitrasformata di Steinmetz vettoriale) nel modo seguente:

G G jω t f (t ) = ℜ e F ⋅ e

{

}

1 G j ω t G * − jω t = F ⋅e + F ⋅e 2

(

)

Si considerino ora due g generici vettori sinusoidali f e g di uguale g frequenza, rappresentati nel campo complesso dai fasori F e G. Il valor medio temporale del prodotto scalare fra f e g è: T G G 1 G G < f ⋅ g >= ∫ f ⋅ g dt T0

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Vettori sinusoidali e fasori: richiami (3) Si ha:

(

)(

)

G jωt G * − jωt G jωt G * − jωt G G F⋅e + F ⋅e ⋅ G⋅e + G ⋅e f ⋅g = = 4 G G * G * G G G j2ωt G * G * − j2ωt F⋅G + F ⋅G F⋅G e + F ⋅G e + = 4 4

e inoltre:

G G* G* G F ⋅G + F ⋅G = 4

G G* G G* * ⎛ F ⋅G ⎞ ⎛ F ⋅G ⎞ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

G G j2ωt G * G * − j2ωt F⋅G e + F ⋅G e 4

2

G G* ⎧ F ⋅G ⎫ = ℜe ⎨ ⎬ ⎩ 2 ⎭

G G G G * ⎛ F ⋅ G ⎞ j2ωt ⎛ F ⋅ G ⎞ − j2ωt ⎜⎜ ⎟⎟e ⎟⎟ e + ⎜⎜ G G 2 ⎠ 2 ⎠ ⎧ F ⋅ G j2ωt ⎫ ⎝ ⎝ = = ℜe⎨ ⋅e ⎬ 2 ⎩ 2 ⎭

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Vettori sinusoidali e fasori: richiami (4) Pertanto: G G* G G TG T⎛ G G ⎧ F ⋅ G j2ωt ⎫ ⎞⎟ 1 ⎜ ⎧F ⋅ G ⎫ 1 G < f ⋅ g >= ∫ f ⋅ g dt = ∫ ℜe⎨ ⋅e ⎬ ⎟ dt ⎬ + ℜe ⎨ ⎜ T 0⎝ ⎩ 2 ⎭ T0 ⎩ 2 ⎭⎠ Il primo addendo non dipende da t, mentre il secondo rappresenta una grandezza sinusoidale di pulsazione 2ω, e pertanto il suo valore medio da 0 a T è nullo. Si ottiene infine: G G* T G G ⎧ F ⋅G ⎫ 1 G G < f ⋅ g >= ∫ f ⋅ g dt = ℜe ⎨ ⎬ T 0 ⎩ 2 ⎭ Analogamente si può dimostrare che:

G G* G G ⎧F ×G ⎫ < f × g >= ℜe ⎨ ⎬ ⎩ 2 ⎭

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Spaz_Vett_compl_fasori  

spazi vettoriali complessi fasori

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