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Mec´ anica de Suelos II

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Problema 1

De la zapata mostrada,hallar las tensiones verticales m´aximas en una profundidad donde estas resultantes son despreciables.

Figura 1: Cimentaci´on Propuesta

1.1.

Soluci´ on:

1. Primero analizando el problema podemos deducir que las tensiones m´aximas,se van a dar en el centro de gravedad del sistema para ello hemos optado por hacerla en forma anal´ıtica con ayuda del excel asi tambi´en usando el Visual Basic de Excel la cual daremos ah conocer sus respectivos codigo de los pequeos y sencillas rutinas que e optado para hacer los calculos. 2. Planteando el problema de los C.M la cual en forma anal´ıtica se puede plantear de la siguiente forma: 3. Las masas pueden asumirse o ser proporcionales directamente a las ´areas γ = VP y como V = Li Ai y como en este caso estamos trabajando a una misma profundidad los pesos pueden deducirse P = γLi Ai y como la longitud es una constante para las dos zapatas planteadas quedaria como: P = kAi . 4. Una vez deducido que las Areas son proporcionales a los pesos de cada zapata pasamos a calcular los centros de masas con la cual usaremos la 1 Tambien

se pueden usar programas como el Maple,Matlab asi como sistemas de obtenci´ on libre como el python o como Scilab que trabajan en plataforma linux.

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Christian Salcedo Malaver


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siguiente formula: x 1 A1 + x 2 A2 · · · x n An A1 + A2 · · · + An y1 A1 + y2 A2 · · · yn An Yc = A1 + A2 · · · + An

Xc =

(1) (2)

5. Ahora llego la hora de plantear y plasmar la idea en excel y de que forma deducir ciertos codigos para poder convertirlo en una hoja contundente y que nos den los resultados confiables un problema latente fue el como calcular las ´ areas de las zapatas asi que usamos la idea de calcularlas por el metodo matricial:   x1 y2      x2 y2         x3 y3  (3)        .. ..   . .      xn yn nx2 2

Con las cuales se multiplican los impares con los pares en forma xi ∗ yi+1 − xi+1 ∗ yi y esto multiplicado por 0.5 en la cual nos da la Area y esto lo propusimos en c´odigo Visual Basic para Excel la cual ponemos en disposici´ on del siguiente trabajo.

Figura 2: Planteo de Hoja de Calculo en Excel Ahora veremos el c´ odigo de la rutina para este problema en particular en con la ayuda de Visual Basic la cual tenemos el codigo siguiente: Sub cimentacion() 2 Se puede usar en vez del M´ etodo Anal´ıtico el metodo Geom´ etrico F´ısico en la cual se establece lineas de masas y proporcionalidad inversa la cual tambien se pueden desarrollar para calcular el Centro de Gravedad.

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Dim R As Range Dim n, m, i As Integer Dim p1, p2 As Double Dim x() As Double Dim u() As Double Dim y() As Double Dim q() As Double Dim GX, G1X, G1Y, G2X, G2Y, GY As Double Dim A, A1, A2, AR, AM As Double Set R = Selection n = R.Rows.Count m = R.Columns.Count If n ¿1 And m = 2 Then Else MsgBox (”Debe Selecionar Datos:”) Exit Sub End If ReDim x(n) ReDim y(n) A1 = 0 A2 = 0 For i = 1 To n x(i) = R(i, 1) y(i) = R(i + 1, 2) A1 = A1 + x(i) * y(i) Next For i = 1 To n x(i) = R(i + 1, 1) y(i) = R(i, 2) A2 = A2 + x(i) * y(i) Next A = Abs(A1 - A2) / 2 Cells(9, 4) = A G1X = Cells(5, 6) G1Y = Cells(5, 7) 3

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G2X = Cells(8, 6) G2Y = Cells(8, 7) AR = Cells(5, 5) AM = Cells(8, 5) GX = (G1X * AR + G2X * AM) / A GY = (G1Y * AR + G2Y * AM) / A Cells(9, 2) = GX Cells(9, 3) = GY Cells(1, 8) = ”G = (- Str(GX) + ”,- Str(GY) + ”)” End Sub Bueno Remplazando datos dados por el ingeniero en clase en mi caso fue d = 2,02 en la cual reemplace el dato respectivo y obtube los siguientes resultados para el calculo de las dos zapatas fueron las siguiente:

Zapata 1 2

Coordenada X 2.51 8.27

Coordenada Y 10.49 3.73

Area 16.1196 44.3996

Luego al analizar las dos areas y sus respectivos C.G hallamos el C.G general para los dos objetos la cual tambi´en se hizo el calculo en Excel y su respectivo c´ odigo Visual Basic la cual es la siguiente: Sub Centro() Dim A1, A2 As Double Dim Xc, Yc As Double Dim x1, y1, x2, y2 As Double A1 = Cells(4, 4) A2 = Cells(7, 4) x1 = Cells(4, 2) y1 = Cells(4, 3) x2 = Cells(7, 2) y2 = Cells(7, 3) Xc = (A1 * x1 + A2 * x2) / (A1 + A2) Yc = (A1 * y1 + A2 * y2) / (A1 + A2) Cells(9, 2) = Xc Cells(9, 3) = Yc End Sub 4

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Figura 3: Hoja de excel Calculo de C.G general. La cual calcula el C.G Total de las zapatas en la que podemos observar en la siguiente figura: En la cual se observa el C.G la cual es : C.G = (6,73, 5,534). Con la cual ya hemos resuelto la Primera parte del problema en la cual se hall´o todos los aspectos de ubicacion del centro de masa del sistema y nuestra figura quedaria asi:

Figura 4: Sistema con sus respectivos C.G

1.2.

Calculo de Tensiones

En el problema planteado se pide hallar las tensiones con el m´etodo de los circulos de newmark las cuales se pueden hallar con el uso tambi´en de una hoja de calculo u hoja matem´atica por lo tanto se hallan este circulos la que es

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gobernada por la siguiente formula. σz = p(1 −

3 1 )2 1 + ( zr )2

(4)

Las tensiones bajo punto cualquiera con la distancia a del centro son: σz = p ∗ i5

(5)

Pero nosotros en este problema vamos a utilizar,el m´etodo gr´afico de Newmark la cual cuenta con los siguientes pasos y recomendaciones. 1. Primero resolver en forma conveniente la ecuaci´on general dada anteriormente por la que despejamos zr : r = z

r

z −2 (1 − ) 3 − 1 p

(6)

2. Despues analizar esto y usar de nuevo el Excel para compararlos con valores Promedios de tal manera que sacamos valores respectos de ciertas profundidades

Figura 5: Hoja de Calculo generada en Excel 3. Despues dibujamos en Autocad con las diferentes profundidades en este caso se estar´ a haciendo para 2,5cm y para 3,0cm pero para ahorro de tiempo basta con 2,5cm. 4. Despues colocamos la figura y sobreponemos un circulo de newmark con los datos obtenidos en la hoja de c´alculo de la siguiente manera ya que este nos ayudara a calcular el n´ umero de circulos incluidos a este a diferentes escalas. 5. Como vemos se ha resuelto la misma figura pero en diferentes escalas las cuales nos daran de como varia las tensiones en las profundidades. 6. Para las demas figuras las tensiones van aumento: 7. Eso quiere decir que ah menor escala mayor tensi´on mejor dicho ah menor profundidad mayor tensi´on y a mayor profundidad menor tensi´on.

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Figura 6: Newmark 1/1000 z=25m

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Figura 7: Newmark 1/100 z=5

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8. Para z=25m la tension resulta ser : n=6

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σt = 0,005 ∗ 6 ∗ 1,5 = 0,045Por lo tanto es casi 0

(8)

9. Para el calculo de la otra figura de 1/100 se calcula n=39 por lo tanto su σt = 0,2925. 3

3 Con los Datos apreciados se puede deducir que las tensiones aumentan en forma de disminuir la distancia de profundidad lo que indica que en z ' 0 ser´ a la de mayor valor.

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Trabajo de mecanica de suelos II  

una buena info