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1

 1  ภ 

 1 ภ    ภ  1. ภ

2. ภภ

3. (/'ภ

4. ภ

ภ 5. & 6. &ภ -  7.  'ภ

1.1  ภ (Function)   ภ ภ     ภ        1  !"#$%&& '   () 1   *

+$ f ภ +#, & y 'ภ f ( x  -& ภ./'ภ ภ0 #"#$#  (* y = f ( x)

1#) (

()ภ    y ()ภ  

x

 - 2+$ ภ.  

ภภ

y = 5x 2 −1

f

"#$ 

f ( x) = 5 x 2 − 1 g ( x) = 5 x 2 − 1 h( x ) = 5 x 2 − 1

Calculus 1

g,h

$ #23ภ &)ภ (


2

 1  ภ 

1.2 ภ. ภ ภภ ภ f ( x ภ x &()  &     ภ0 #+$ f ( x) = 3 − 2 x 2 !ภ ' 1. f (2) 2. f (−3) 3. +, 1.  f (2) ภ f ( x = 2 !ภf ( x) = 3 − 2 x 2 #  * f (2) = 3 − 2(2) 2

f ( x) ภ0 # x

f (a )

+$  

4.

f (3 − b)

= 3 − 2(4) = 3−8 = −5

2.  f (−3) ภ f ( x = −3 !ภf ( x) = 3 − 2 x 2 #  * f (2) = 3 − 2(−3) 2 = 3 − 2(9) = 3 − 18 = −15

3. 

f (a)

!ภ#  *

ภ

(

f

x=a

f ( x) = 3 − 2 x 2 f ( a ) = 3 − 2( a ) 2

= 3 − 2a 2

4. 

f (3 − a)

!ภ#  *

ภ

f

(

x = 3−a

f ( x) = 3 − 2 x 2 f (3 − a) = 3 − 2(3 − a) 2

= 3 − 2(9 − 6a + a 2 ) = 3 − 18 + 12a − 2a 2 = −15 + 12a − 2a 2

(

= − 2a 2 − 12a + 15

)

Calculus 1


3

 1  ภ 

  ภ0 #+$ 1.

f (x3 )

f ( x) = x 2 + 5 x − 7 !ภ '

2.

x f( ) 2

3.

1 f( ) x

4.

f ( x + 5)

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

Calculus 1


4   ภ0 #+$

 1  ภ  ; x > −2 x −8 f ( x) =  2 !ภ '  x − x + 5 ; x ≤ −2

1. f (0) 2. f (−4) 3. f (−2) 4. f (11) ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

Calculus 1


5

 1  ภ 

  ภ0 #+$

 ;  x −3  2 g ( x) =  x − 3 ;  2x − 5  x − 3 ;

x>3 x=3

!ภ '

x<3

1. g (3) 2. g (â&#x2C6;&#x2019;11) 3. g (19) 4. g (0) ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; Calculus 1


6

 1  ภ 

1.3 0 1  ภ ภ0 #+$

f (x) & g (x ) ภ +#,

(/'ภ ภ0 #"#$#  (*

1. ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) 2. ( f â&#x2C6;&#x2019; g )( x) = f ( x) â&#x2C6;&#x2019; g ( x) 3. ( f . g )( x) = f ( x) . g ( x) 4.

f f ( x) ( x) = g g ( x)

5.

c ( f + g )( x ) = cf ( x ) + cg ( x)

;

g ( x) â&#x2030;  0

c ( f â&#x2C6;&#x2019; g )( x ) = cf ( x ) â&#x2C6;&#x2019; cg ( x)

 c  (+#,

( (*#< )ภ#(ภ

  ภ0 #+$ 1. +, 1.

f ( x) = 3 x + 4

&

g ( x) = x 2 + 2 x

2.

4( f â&#x2C6;&#x2019; g )( x)

( f . g )( x )

!ภ "

(* 3.

f (â&#x2C6;&#x2019;5) g

4( f â&#x2C6;&#x2019; g )( x) = 4 f ( x) â&#x2C6;&#x2019; 4 g ( x)

= 4(3x + 4) â&#x2C6;&#x2019; 4( x 2 + 2 x) = 12 x + 16 â&#x2C6;&#x2019; 4 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 8 x = â&#x2C6;&#x2019;4 x 2 + 4 x + 16 = â&#x2C6;&#x2019;4( x 2 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 4)

2.

( f .g )( x) = f ( x) . g ( x)

= (3x + 4)( x 2 + 2 x) = 3x 3 + 6 x 2 + 4 x 2 + 8 x = 3 x 3 + 10 x 2 + 8 x = x(3 x 2 + 10 x + 8)

Calculus 1


7

 1  ภ 

3.

f f ( x) ( x) = g g ( x) 3x + 4 = 2 x + 2x f 3(â&#x2C6;&#x2019;5) + 4 â&#x2C6;´ (â&#x2C6;&#x2019;5) = (â&#x2C6;&#x2019;5) 2 + 2(â&#x2C6;&#x2019;5) g â&#x2C6;&#x2019; 15 + 4 = 25 â&#x2C6;&#x2019; 10 11 =â&#x2C6;&#x2019; 15

  ภ0 #+$ 1.

f ( x) = 5 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 9

â&#x2C6;&#x2019; 2( f + g )(1)

&

g ( x ) = 17 â&#x2C6;&#x2019; 3 x

2.

1 ( f . g )( ) 2

!ภ "

(* 3.

f (â&#x2C6;&#x2019;10) g

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

Calculus 1


8

 1  ภ 

1.4  ภ3.ภ  ภ0 #+$ f & g ภ & R f â&#x2C6;Š Dg â&#x2030;  0 ภ

ภ' f & g '()  #$) gof  ภ ((1#  ภ Dgof = {x â&#x2C6;&#x2C6; D f f ( x) â&#x2C6;&#x2C6; Dg }&ภ0 # 1#) ( gof )( x) = g[ f ( x)] 0  x + Dgof y = f ( x)

g = [ f ( x )]

x

( gof )( x)

ภ!ภ* ) 2 ( fog )( x) = f [ g ( x)]

   ,"#$(ภ#$)

  +, 1. !ŕ¸

ภ0 #+$ f ( x) = 3x â&#x2C6;&#x2019; 5 & g ( x) = x 2 + 1 !ภ

ภ"

(* 1. ( gof )( x) 2. ( fog )(â&#x2C6;&#x2019;3) f ( x) = 3x â&#x2C6;&#x2019; 5

g ( x) = x 2 + 1 â&#x2C6;´ ( gof )( x) = g[ f ( x)] = g (3 x â&#x2C6;&#x2019; 5) = (3 x â&#x2C6;&#x2019; 5) 2 + 1 = (9 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 30 x + 25) + 1 = 9 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 30 x + 26

2. !ŕ¸

g ( x) = x 2 + 1

f ( x) = 3 x â&#x2C6;&#x2019; 5 â&#x2C6;´ ( fog )(â&#x2C6;&#x2019;3) = f [ g (â&#x2C6;&#x2019;3)]

= f [(â&#x2C6;&#x2019;3) 2 + 1] = f (10) = 3(10) â&#x2C6;&#x2019; 5 = 25

Calculus 1


 1  ภ 

  ภ0 #+$ f ( x) = x 2 + 2 & g ( x) = x 2 + 1 !ภ

ภ"

(* 1. ( gof )( x) 2. ( fog )(2) 3. ( fof )(â&#x2C6;&#x2019;1) 4. ( gog )(â&#x2C6;&#x2019;4) ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

Calculus 1

9


10   ภ0 #+$

 1  ภ 

f ( x) =

xâ&#x2C6;&#x2019;2 x +1

,

x â&#x2C6;&#x2019; 3 ; x > 2 g ( x) =  2 ;x â&#x2030;¤ 2 2 x

&

 2 x 2 + 7 ; x < â&#x2C6;&#x2019;1 h( x ) =  3 â&#x2C6;&#x2019; 5 x ; x â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1

!

ภ

ภ"

(* 1. (gof )(2) 2. ( fog )(0) 3. (hof )(â&#x2C6;&#x2019;3) 4. ( gofoh)(â&#x2C6;&#x2019;2) ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

Calculus 1


11

 1  ภ 

1.5   0 A&B !+$)23 Cภ'ภ (& ภ./ )"   ( '$+ภ&$+# 3  )  ภ f ( x) = x 2 â&#x2C6;&#x2019; x + 2  x ( '$+ภ&$ 2 'ภ f ! # "

(* x

f (x)

1.0 2.0 1.5 2.75 1.8 2.34 1.9 3.71 1.95 3.8525 1.99 3.9701 1.995 3.985025 1.999 3.997001

f (x)

x

3.0 8.0 2.5 5.75 2.2 4.64 2.1 4.31 2.05 4.1525 2.01 4.0301 2.005 4.015025 2.001 4.003001

!ภ&ภ'ภ f ! D "#$  x ( '$+ภ&$ 2 "! #$ ( $)ภ 2 #$ (ภภ 2 'ภ f !( '$+ภ&$ 4 &  x ( '$+ภ&$ 2 ภ)'3* ' ภ f ภD)( '$+ภ&$ 4 ภ)'3* + ภ/( 

(* !ภ& A ภ f ( x) = x 2 â&#x2C6;&#x2019; x + 2   ภ 4  x    2 B +$ -& ภ./ #$)

(

)

lim x 2 â&#x2C6;&#x2019; x + 2 = 4

xâ&#x2020;&#x2019;2

 3ภภภ"  " !" #< )' &$

Calculus 1


12

 1  ภ 

0 (0 - ( ภ()ภ&'ภ (!<$) A &E$)' f (x) (!F# x = a B )23  'ภ f ! '$+ภ&$+# '()  #$) xlim f ( x) â&#x2020;&#x2019;a

x

'$+ภ&$

a

E$) ( x < a)

x

'$+ภ&$

a

' ( x > a)

â&#x2C6;&#x2019;

A &'' f (x) (!F# x = a B )23  'ภ f ! '$+ภ&$+# '()  #$) xlim f ( x) â&#x2020;&#x2019;a +

A &' f (x) (!F# x = a B )23  x '$+ภ&$ a E$)& ' &$ 'ภ f ! '$+ภ&$+# (  #()ภ'()  #$) lim f ( x) xâ&#x2020;&#x2019; a A

f (a )

B )23 '

!ภภ!/ภ

) , ภ()ภ& # "

(* lim f ( x) = A

xâ&#x2020;&#x2019;a â&#x2C6;&#x2019;

f

f (x) 



&ภ

g

lim f ( x) = B

x â&#x2020;&#x2019;a

'$+ภ&$ &

lim f ( x) = L x â&#x2020;&#x2019;a



lim f ( x) = L x â&#x2020;&#x2019;a

ภD 

f ( x)  x

f ( x)  x

E$)&'( ภ L

lim f ( x) = lim+ f ( x) = L

x â&#x2020;&#x2019;a â&#x2C6;&#x2019;

x â&#x2020;&#x2019;a

ภD  0  Fภ'

> 0 E32$ x )<+ 1#  ' f ( x) â&#x2C6;&#x2019; L < Îľ

δ

a

f ( x)  x

' ( ภ B

a

 ) &'ภ

lim f ( x) = L

f

E$) ( ภ A

a

 ) &'ภ

'$+ภ&$

(a â&#x2C6;&#x2C6; D )

(%  !F  -& ภ./ (

 ) &'ภ

'$+ภ&$

x â&#x2020;&#x2019;a +

x=a

f

Îľ

> 0 (ภ0 #+$ 2

& 0 <

xâ&#x2C6;&#x2019;a

<

δ

&$ !"#$

Calculus 1


13

 1  ภ 

5678 9  ภ0 #+$ c  ( & 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

lim f ( x) = L

xâ&#x2020;&#x2019;a

&

lim g ( x ) = M

xâ&#x2020;&#x2019;a

lim c = c

xâ&#x2020;&#x2019;a

lim x n = a n

x â&#x2020;&#x2019;a

lim cf ( x ) = c lim f ( x ) = cL

xâ&#x2020;&#x2019;a

xâ&#x2020;&#x2019;a

lim [ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x) + lim g ( x) = L + M

xâ&#x2020;&#x2019;a

xâ&#x2020;&#x2019;a

xâ&#x2020;&#x2019;a

lim [ f ( x ) â&#x2C6;&#x2019; g ( x )] = lim f ( x ) â&#x2C6;&#x2019; lim g ( x ) = L â&#x2C6;&#x2019; M

x â&#x2020;&#x2019;a

xâ&#x2020;&#x2019;a

x â&#x2020;&#x2019;a

lim [ f ( x) â&#x2039;&#x2026; g ( x)] = lim f ( x) â&#x2039;&#x2026; lim g ( x) = L â&#x2039;&#x2026; M

x â&#x2020;&#x2019;a

x â&#x2020;&#x2019;a

x â&#x2020;&#x2019;a

lim f ( x)

 f ( x )  x â&#x2020;&#x2019;a L lim  = =  lim g ( x) M x â&#x2020;&#x2019;a  g ( x ) 

; M â&#x2030; 0

x â&#x2020;&#x2019;a

8.

lim

xâ&#x2020;&#x2019;a

n

f ( x ) = n lim f ( x ) = n L xâ&#x2020;&#x2019;a

  ภ0 #+$



n

 x+2 ; x >1  f ( x) =  x â&#x2C6;&#x2019; 2  x 2 â&#x2C6;&#x2019; x + 1 ; x â&#x2030;¤ 1

!0  Dภ&2$ n &'<&$

!

( 0 !ภ)'&!"#$ lim f ( x) = L ภD  x â&#x2020;&#x2019;a #  *

limâ&#x2C6;&#x2019; f ( x) = limâ&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; x + 1 2

x â&#x2020;&#x2019;1

x â&#x2020;&#x2019;1 2

= (1) â&#x2C6;&#x2019; 1 + 1 =1

&

x â&#x2020;&#x2019;1

! #  *

Calculus 1

x+2 x â&#x2020;&#x2019;1 x â&#x2C6;&#x2019; 2 1+ 2 = 1â&#x2C6;&#x2019; 2 = â&#x2C6;&#x2019;3

lim+ f ( x) = lim+

limâ&#x2C6;&#x2019; f ( x) â&#x2030;  lim+ f ( x) x â&#x2020;&#x2019;1

lim f ( x) "(& xâ&#x2020;&#x2019;1

x â&#x2020;&#x2019;1

lim f ( x) xâ&#x2020;&#x2019;1

lim f ( x) = lim+ f ( x) = L

x â&#x2020;&#x2019;a â&#x2C6;&#x2019;

x â&#x2020;&#x2019;a

Lâ&#x2030;Ľ0


14

 1  ภ 

  ภ0 #+$

 x 2 + 7 ; x < â&#x2C6;&#x2019;3 f ( x) =   x + 7 ; x â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3

!

lim f ( x)

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3

( 0 !ภ)'&!"#$ lim f ( x) = L ภD  x â&#x2020;&#x2019;a #  *

lim f ( x) = lim+ f ( x ) = L

x â&#x2020;&#x2019;a â&#x2C6;&#x2019;

x â&#x2020;&#x2019;a

lim f ( x) = limâ&#x2C6;&#x2019; x + 7 2

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3

= (â&#x2C6;&#x2019;3) 2 + 7 = 16 =4

&

lim f ( x) = lim+ x + 7

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3+

x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3

= â&#x2C6;&#x2019;3 + 7 =4

! #  *

  ภ0 # 1. ( 0 1.

lim f ( x) = lim+ f ( x) = 4

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3

lim f ( x) = 4

x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3

f ( x) = 2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 5 , g ( x ) = 3 x + 4

2.

lim [ f ( x) â&#x2C6;&#x2019; g ( x)]

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2

!'

lim f ( x) . g ( x) xâ&#x2020;&#x2019;3

3.

f ( x) x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;1 g ( x ) lim

lim [ f ( x) â&#x2C6;&#x2019; g ( x)] = [ lim f ( x)] â&#x2C6;&#x2019; [ lim g ( x)]

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2

x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2

= [ lim 2 x â&#x2C6;&#x2019; 5] â&#x2C6;&#x2019; [ lim 3 x + 4] 2

x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2

= [2(â&#x2C6;&#x2019;2) 2 â&#x2C6;&#x2019; 5] â&#x2C6;&#x2019; [3(â&#x2C6;&#x2019;2) + 4] = 3 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2) = 3+ 2 =5

2.

lim f ( x) . g ( x) = lim f ( x) . lim g ( x) x â&#x2020;&#x2019;3

x â&#x2020;&#x2019;3

x â&#x2020;&#x2019;3

= [lim 2 x â&#x2C6;&#x2019; 5].[lim 3 x + 4] 2

x â&#x2020;&#x2019;3

x â&#x2020;&#x2019;3

= [2(3) â&#x2C6;&#x2019; 5].[3(3) + 4] = (13).(13) = 169 2

3.

2x2 â&#x2C6;&#x2019; 5 f ( x) xlim â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 lim = x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1 g ( x ) lim 3 x + 4 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;1

2(â&#x2C6;&#x2019;1) 2 â&#x2C6;&#x2019; 5 3(â&#x2C6;&#x2019;1) + 4 = â&#x2C6;&#x2019;3 =

Calculus 1


15

 1  ภ 

  !'

lim f ( x ) xâ&#x2020;&#x2019;4



 3x â&#x2C6;&#x2019; 8 ; x > 4  f ( x) =  x 2 + 4  â&#x2C6;&#x2019; 2( x â&#x2C6;&#x2019; 9) ; x â&#x2030;¤ 4 

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;   !'

lim g ( x)

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;1



; x < â&#x2C6;&#x2019;1  ( x â&#x2C6;&#x2019; 1)( x + 3) g ( x) =  2 2(3 x â&#x2C6;&#x2019; 2) + 5 x â&#x2C6;&#x2019; 1 ; x â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

Calculus 1


16

 1  ก  

ก.:.;3 <ก,= 0 < ) "ก0 # 0

0 0

ก""#$( ก  " #  * + ก& !3$+$

(ก /M+ ก) < 0  ก)ก  ก F/& ก./' )F & , '$ก$"'ก !3!2F 0'&"#$ .;9. ก.ก 3.ก 0 1. 1#)(#3  ก 

3x 2 − 3x = 3x ( x − 1) 2. 1#)(%&ก0&  < A 2 − B 2 = ( A − B )( A + B )  9 x 2 − 16 = ( 3x − 4 )( 3x + 4 ) 3. 1#)( 3 ! )ก  &D 

x 2 + 5x − 6 = ( x + 3)( x + 2 ) 4. 1#)(ก0& </ < ( A + B ) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 ( A − B ) 2 = A 2 − 2 AB + B 2  ( x + 3 ) 2 = x 2 + 6 x + 9 ( 3x − 7 ) 2 = 9 x 2 − 42 x + 49

5. 1#)(%&ก , %&ก0&  < A 3 − B 3 = ( A − B ) (A 2 + AB + B 2 )

A 3 + B 3 = ( A + B ) (A 2 − AB + B 2 )  x 3 + 8 = ( x + 2 ) (x 2 − 2 x + 4 ) 8 x 3 − 27 = ( 2 x − 3 ) (4 x 2 + 6x + 9 )

Calculus 1


17

 1  ภ 

0 F/ '< )F * ภ 0 (( ) '$ภ  *</ +$)<+ < %&ภ0& !"#$< < A 2 â&#x2C6;&#x2019; B 2 = ( A â&#x2C6;&#x2019; B )( A + B ) 1#)& ภภ+$F/  '< )F * ! )+$+ ภภ0! # ()<+ < ภ( 

x + 3 < )F x â&#x2C6;&#x2019; 3  0</ภ!"#$ ( x + 3)( x â&#x2C6;&#x2019; 3) = ( x ) 2 â&#x2C6;&#x2019; 32   â&#x2C6;&#x2019;4 xâ&#x2C6;&#x2019;2 x2 â&#x2C6;&#x2019; 4 22 â&#x2C6;&#x2019; 4 0 !ภlim â&#x2020;&#x2019; = x â&#x2020;&#x2019;2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 2â&#x2C6;&#x2019;2 0 2 2 x â&#x2C6;&#x2019;2 ( x â&#x2C6;&#x2019; 2)(x + 2 ) #  * lim = lim x â&#x2020;&#x2019;2 x â&#x2C6;&#x2019; 2 xâ&#x2020;&#x2019;2 xâ&#x2C6;&#x2019;2 = lim x + 2

x   ! lim x â&#x2020;&#x2019;2

+,

2

"2F 0"#$ )ภ  ภ

x â&#x2020;&#x2019;2

= 2+2 =4 x 3 + 27   ! xlim â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3 x + 3 x 3 + 27 (â&#x2C6;&#x2019;3) 2 + 27 0 "2F 0"#$ +, !ภxlim = â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3 x + 3 â&#x2C6;&#x2019;3+3 0 x 3 + 27 x 3 + 33 #  * xlim )ภ  ภ = lim â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3 x + 3 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3 x + 3 ( x + 3)( x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2(3) x + 9) = lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3 x+3 2 = lim x â&#x2C6;&#x2019; 6 x + 9 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;3

= (â&#x2C6;&#x2019;3) 2 â&#x2C6;&#x2019; 6(â&#x2C6;&#x2019;3) + 9 = 9 + 18 + 9 = 36 2 x â&#x2C6;&#x2019;xâ&#x2C6;&#x2019;6   ! xlim â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2 x+2 x 2 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 6 (â&#x2C6;&#x2019;2) 2 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x2C6;&#x2019; 6 +, !ภxlim = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2 x+2 â&#x2C6;&#x2019;2+2 2 x â&#x2C6;&#x2019; xâ&#x2C6;&#x2019;6 ( x + 2)( x â&#x2C6;&#x2019; 3) #  * xlim = lim â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;2 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2 x+2 x+2

Calculus 1

â&#x2020;&#x2019;

0 0

"2F 0"#$

)ภ  ภ


18

 1  ภ  = lim x â&#x2C6;&#x2019; 3 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;2

= â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; 3 = â&#x2C6;&#x2019;5

x â&#x2C6;&#x2019;5 x â&#x2020;&#x2019; 25 x â&#x2C6;&#x2019; 25 x â&#x2C6;&#x2019;5 25 â&#x2C6;&#x2019; 5 !ภxlim = â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 25 x â&#x2C6;&#x2019; 25 25 â&#x2C6;&#x2019; 25 x â&#x2C6;&#x2019;5 x â&#x2C6;&#x2019;5 x +5 = lim . #  * xlim â&#x2020;&#x2019; 25 x â&#x2C6;&#x2019; 25 x â&#x2020;&#x2019; 25 x â&#x2C6;&#x2019; 25 x +5 2 ( x ) â&#x2C6;&#x2019; 52 = lim x â&#x2020;&#x2019; 25 ( x â&#x2C6;&#x2019; 25)( x + 5) x â&#x2C6;&#x2019; 25 = lim x â&#x2020;&#x2019; 25 ( x â&#x2C6;&#x2019; 25)( x + 5) 1 = lim x â&#x2020;&#x2019; 25 ( x + 5) 1 = 25 + 5 1 = 5+5 1 = 10

  ! +,

lim

0 0

"2F 0"#$ F/ '< )F

  !' 1.

lim x â&#x2020;&#x2019;1

x â&#x2C6;&#x2019;1 x â&#x2C6;&#x2019;1

2.

lim x â&#x2020;&#x2019;2

x3 â&#x2C6;&#x2019; 8 xâ&#x2C6;&#x2019;2

3.

x 2 + 7 x â&#x2C6;&#x2019; 18 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;9 x+9 lim

4.

x 2 â&#x2C6;&#x2019; 49 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;7 x + 7 lim

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; Calculus 1


 1  ภ 

19

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; : 9.;9. ภ.ภ 3.ภ 01>  ;>  Calculus 1


20

 1  ภ 

1.6 ภ3?  â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; +â&#x2C6;&#x17E;

  +$ -& ภ./ #$) Âą â&#x2C6;&#x17E; ()# "

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$), ("( (* F# )< #$ E$)' $ !0  !  â&#x2C6;&#x17E;  ((!0  ภ,1#)"( (* F# )< #$ '' $ !0  ! +â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

x=a

567 ภ3?  (0 -(# "

(* 1. lim x n = â&#x2C6;&#x17E; ; n !0  ภx â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2.

lim x n = â&#x2C6;&#x17E;

;

n !0  <ŕ¸

lim x n = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

;

n !0  (ŕ¸

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n !0  Dŕ¸

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n !0  (ŕ¸

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

3.

4. 5.

1 =0 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x n 1 lim n = 0 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x 1 lim n = â&#x2C6;&#x17E; x â&#x2020;&#x2019;0 + x 1 limâ&#x2C6;&#x2019; n = â&#x2C6;&#x17E; x â&#x2020;&#x2019;0 x 1 lim n = â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x â&#x2020;&#x2019;0 â&#x2C6;&#x2019; x

lim

  ! lim 7 x 5 â&#x2C6;&#x2019; 3x 2 + 1 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; +,

lim 7 x 5 â&#x2C6;&#x2019; 3 x 2 + 1 = 7(â&#x2C6;&#x17E;) 5 â&#x2C6;&#x2019; 3(â&#x2C6;&#x17E;) 2 + 1 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

= â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; +1 =â&#x2C6;&#x17E; 3 2 + 2 â&#x2C6;&#x2019;4 3 x x 3 2 3 2 lim + 2 â&#x2C6;&#x2019;4= + â&#x2C6;&#x2019;4 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x 3 x â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;

  ! xlim â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; +,

Calculus 1


21

 1  ภ  = 0+0â&#x2C6;&#x2019;4 = â&#x2C6;&#x2019;4

1 7 â&#x2C6;&#x2019; +5 x4 x 1 7 1 7 lim 4 â&#x2C6;&#x2019; + 5 = â&#x2C6;&#x2019; + 5 x â&#x2020;&#x2019;0 x x 0 0 = â&#x2C6;&#x17E;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;+5 =â&#x2C6;&#x17E;

  ! lim x â&#x2020;&#x2019;0 +,

  !' 1. lim x â&#x2020;&#x2019;0

3 4 â&#x2C6;&#x2019; 5 + 2x â&#x2C6;&#x2019; 8 7 x x

2.

2 8 4x3 + â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x 6 5 x4 lim

3.

1 6 2  lim  7 + 2 â&#x2C6;&#x2019; 5 x  x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x x x  

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; Calculus 1


22

 1  ภ 

ภ.:.;3 Âą â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;

Âą

â&#x2C6;&#x17E; < ) "ภ0 #  #()ภ 0 â&#x2C6;&#x17E; 0

#  * !3ภ""#$( ภ "

#  * + ภ&!3$+$(ภภ$ -1#)ภ :9, 3.ภ, >; >=:AB . 8 C6 > 3x 3 + 2 x â&#x2C6;&#x2019; 5 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 4 â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; 6 x 3 3x 3 + 2 x â&#x2C6;&#x2019; 5 lim â&#x2021;&#x2019; x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 4 â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; 6 x 3

  ! +,

lim

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;

#  * +$ 0   ((ภ0& <F#+ 1! ) * M.& ( x 3 ) 3x 3 2 x 5 + 3â&#x2C6;&#x2019; 3 3 3x + 2 x â&#x2C6;&#x2019; 5 x x x lim = lim 2 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 4 â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; 6 x 3 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 4 6x3 x â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; x3 x3 x3 2 5 3+ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 x x = lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 4 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;6 x3 x 2 2 5 3+ â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; = 4 1 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; 3+ 0 â&#x2C6;&#x2019; 0 = 0â&#x2C6;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2019;6 3 = â&#x2C6;&#x2019;6 1 =â&#x2C6;&#x2019; 2 3

â&#x2C6;´

)& ...$+$   ((ภ0& <F# #< )" &)#(ภ !

Calculus 1


23

 1  ภ 

  ! +,

lim x ��&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

0

9x 4 â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019;1 2 â&#x2C6;&#x2019; 3x 2

x 2 

â&#x2C6;´

x4

â&#x2021;&#x2019;

â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;

 * M.&

9x4 x2 1 â&#x2C6;&#x2019; 4â&#x2C6;&#x2019; 4 4 9x 4 â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019;1 x x x lim = lim 2 2 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2 â&#x2C6;&#x2019; 3x 2 3x â&#x2C6;&#x2019; x2 x2 1 1 9â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 x x = lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2 â&#x2C6;&#x2019;3 x2 1 1 9â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; = 2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x17E; 9â&#x2C6;&#x2019;0â&#x2C6;&#x2019;0 = 0â&#x2C6;&#x2019;3 3 = â&#x2C6;&#x2019;3 = â&#x2C6;&#x2019;1

( x 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 x + 5) 2 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 5 x 8 â&#x2C6;&#x2019; 3x 5 ( x 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 x + 5) 2 â&#x2C6;&#x17E; lim â&#x2021;&#x2019; 8 5 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; 5 x â&#x2C6;&#x2019; 3x 8 4 2

0 x  (x )  * M.&

  ! +,

9x4 â&#x2C6;&#x2019; x2 â&#x2C6;&#x2019; 1 lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2 â&#x2C6;&#x2019; 3x 2

â&#x2C6;´

Calculus 1

lim

x3 2x 5 2 ( 4 â&#x2C6;&#x2019; 4 + 4) ( x 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 x + 5) 2 x x x lim = lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 5 x 8 â&#x2C6;&#x2019; 3x 5 5x 8 3x 5 â&#x2C6;&#x2019; 8 x8 x 1 2 5 ( â&#x2C6;&#x2019; 3 + 4 )2 x = x x 3 5â&#x2C6;&#x2019; 3 x ( 0 â&#x2C6;&#x2019; 0 + 0) 2 = 5â&#x2C6;&#x2019;0 =0


24

 1  ภ 

  !&"

(* 1. lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 3.

(x

(2 x

lim

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

)

5

3

+ 3x 4 â&#x2C6;&#x2019; 5x 5

5

â&#x2C6;&#x2019; 3x 2 + 7 x â&#x2C6;&#x2019; 1

)

3

x17 + 4 x14 â&#x2C6;&#x2019; 34 x10 â&#x2C6;&#x2019; 9 x 9 â&#x2C6;&#x2019; 2 x11 â&#x2C6;&#x2019; 3 x15 + x16

2. lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 4.

lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

1 â&#x2C6;&#x2019; 3 x 4 + 16 x 6 â&#x2C6;&#x2019; 36 x 8

(7 x

2

â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2C6;&#x2019; 5

)

2

â&#x2C6;&#x2019; 9x9 3 x 4 â&#x2C6;&#x2019; 2 x 6 + 12 x18

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; Calculus 1


25

 1  ภ 

  ภ..ภ  x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;  x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; !"#$)&#ภ'3* +$ภQ"

(* c0 + c1 x + c 2 x 2 + L + c n x n c xn = lim n x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; d 0 + d1 x + d 2 x 2 + L + d m x m x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; d m x m lim

; cn , d m â&#x2030;  0

 c0 + c1 x + c 2 x 2 + L + c n x n c xn = lim n xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; d + d x + d x 2 + L + d x m xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; d x m 0 1 2 m m lim

  ! +,

lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

; cn , d m â&#x2030;  0

4 x 6 + 3x 4 â&#x2C6;&#x2019; 5 x + 1

(3x

lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

3

)

2

+ 5x 2 + x â&#x2C6;&#x2019; 1

4 x 6 + 3x 4 â&#x2C6;&#x2019; 5 x + 1

(3x

3

)

+ 5x 2 + x â&#x2C6;&#x2019; 1

2

= lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

4x6

(3x )

4x6 x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 9 x 6 4 = 9 81x12 â&#x2C6;&#x2019; x 8 â&#x2C6;&#x2019; 5 x 6 + 1

3 2

= lim

  ! 1.

lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

(3x

2

)

â&#x2C6;&#x2019;1

3

2.

x â&#x2C6;&#x2019; 23x 3 + 13 x 5 lim x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 12 x 5 â&#x2C6;&#x2019; 8 x 4

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;.. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;.. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; Calculus 1


26

 1  ภ 

1.7    ภ  ภ

f

ภ (  (

a

2$

lim f ( x ) = f (a )

xâ&#x2020;&#x2019;a

!ภ)!"#$ ภ f ภ (  ( x = a ภD   "'"

(* ! Fภ'$ 1. f (a) "#$ 2. lim f ( x) "#$ (   lim â&#x2C6;&#x2019; f ( x) = lim f ( x) ) 3.

xâ&#x2020;&#x2019;a +

xâ&#x2020;&#x2019;a

xâ&#x2020;&#x2019; a

lim f ( x ) = f (a )

xâ&#x2020;&#x2019;a

2$'# '$+#'$ 3+ '$ (* !ภ& ภ f "  (

x=a

(discontinuous

at a )   ภ0 #+$

x 3 â&#x2C6;&#x2019; 5x + 1 f ( x) =  2  3x + 4

; xâ&#x2030;¤2 ;x>2

!!/

f

  (

x = 2 "

( 0 !/  "'"

(* 1. f (2) "#$ â&#x2C6;´

f (2) = (2) 3 â&#x2C6;&#x2019; 5(2) + 1 = 8 â&#x2C6;&#x2019; 10 + 1 = â&#x2C6;&#x2019;1

2.

lim f ( x )

xâ&#x2020;&#x2019;a

!"#$

"#$ (  

lim f ( x) = lim f ( x) )

xâ&#x2020;&#x2019;a â&#x2C6;&#x2019;

lim f ( x ) = limâ&#x2C6;&#x2019; x 3 â&#x2C6;&#x2019; 5 x + 1

xâ&#x2020;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;

x â&#x2020;&#x2019;2 3

= (2) â&#x2C6;&#x2019; 5(2) + 1

xâ&#x2020;&#x2019;a +

lim f ( x) = lim+ 3x 2 + 4

xâ&#x2020;&#x2019;2 +

xâ&#x2020;&#x2019;2

= 3(2) 2 + 4

= â&#x2C6;&#x2019;1

! =  8

f

< 

= 16 = 4

lim f ( x) â&#x2030;  lim+ f ( x)

xâ&#x2020;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;

xâ&#x2020;&#x2019;2

0+$

lim f ( x) "(&

xâ&#x2020;&#x2019;2

x=2

Calculus 1


27

 1  ภ 

  ภ0 #+$

x â&#x2C6;&#x2019;5 ; x â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1  f ( x) =  x + 2 â&#x2C6;&#x2019; ( x 2 â&#x2C6;&#x2019; 4 x + 1) ; x < â&#x2C6;&#x2019;1

!!/

f

  (

x = â&#x2C6;&#x2019;1 "

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;.. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;.. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;.. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;...   ภ0 #+$

1 + 3 x ; x < 3  g ( x) = â&#x2C6;&#x2019; 11 ; x = 3 x 2 + 1 ; x > 3 

!!/

g

  (

x = 3 "

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

Calculus 1


28

 1  ภ 

=>.  ภ    x3 â&#x2C6;&#x2019; 8 ; x >1 f ( x) =  2 !ภ '  x â&#x2C6;&#x2019; 2x + 5 ; x â&#x2030;¤ 1

1. ภ0 #+$ 1.1

1.2

f (â&#x2C6;&#x2019;3)

2. ภ0 #+$

 x â&#x2C6;&#x2019; 2 f ( x) =    x +1 

!ภ

ภ"

(* 2.1 ( gof )(â&#x2C6;&#x2019;2)

2

1.3

f (1)

1.4

f (â&#x2C6;&#x2019;5)

f ( x â&#x2C6;&#x2019; 1)

 7 x 2 ; x < â&#x2C6;&#x2019;1  3 â&#x2C6;&#x2019; 2x ; x > 1 ( ) = g ( x) =  & h x  2 2 ;x â&#x2030;¤1 3 x ; x â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 x + x

,

2.2

( fog )(0)

2.3 (hof )(1)

3.2

x 3 + 27 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;3 x + 3

2.4 ( gofoh)(â&#x2C6;&#x2019;3)

3. !&'"

(* 3.1 3.4 3.7

xâ&#x2C6;&#x2019;4 x â&#x2020;&#x2019;4 x â&#x2C6;&#x2019;2 4 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 64 lim x â&#x2020;&#x2019;4 2 x â&#x2C6;&#x2019; 8

lim

3.5 lim x â&#x2020;&#x2019;0

5 3 2 â&#x2C6;&#x2019; 5+ 9 4 x x x

1  11 5  lim  â&#x2C6;&#x2019;7 + â&#x2C6;&#x2019;2  x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x 4 x x  

3.9 lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 3.10

lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

3.8 lim x â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

7 â&#x2C6;&#x2019; x 4 + 3x 7 â&#x2C6;&#x2019; 81x12

(â&#x2C6;&#x2019; 2 x

6

â&#x2C6;&#x2019; x4 â&#x2C6;&#x2019; 7

3.3

lim

3.9

)

2

3.6

(2 x

(x

3

4

x 2 â&#x2C6;&#x2019; x â&#x2C6;&#x2019; 42 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;6 x+6 lim

lim

x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2019; x5 â&#x2C6;&#x2019; x6

6 7 5 + 5 â&#x2C6;&#x2019; 11 3 5x 4x 7x

)

3

+ x 2 â&#x2C6;&#x2019; 5x â&#x2C6;&#x2019; 9

)

6

3 x14 + x11 â&#x2C6;&#x2019; 4 x 9 â&#x2C6;&#x2019; 5 x â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 3 x 9 â&#x2C6;&#x2019; 6 x11 â&#x2C6;&#x2019; 5 x 14 lim

x 5 â&#x2C6;&#x2019; 5x 4 â&#x2C6;&#x2019; 4 x 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 x 3 + 9 x10

4. ภ0 #+$

 2 ; x <1 x â&#x2C6;&#x2019; x + 1  g ( x) =  x ; x =1 2  x +1 ; x >1  2x 

5. ภ0 #+$

3(2 x + 5)2 f ( x) =  2  x â&#x2C6;&#x2019; 2x + 4

!!/

; x â&#x2030;Ľ â&#x2C6;&#x2019;3 ; x < â&#x2C6;&#x2019;3

g

!!/

  (

f

x = 1 "

  (

x = â&#x2C6;&#x2019;3 "

Calculus 1


29

 1  ภ 

NOTE ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

Calculus 1


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