Issuu on Google+

Μ. Τσατσαρώνης Μαθηματικός MSc Statistics & Econometrics

Β. Τσατσαρώνης Φσσικός Πληρουορίες: 6972201122 - 6983669643

Θέμα 1: (Μαθημαηικά Καηεύθςνζηρ) Έζηω η παπαγωγίζιμη ζςνάπηηζη f : (0, )  για ηην f '( x)  (2  x)e x και f (1)  e x Α) Να βπείηε ηον ηύπο ηηρ f . Β) Να βπείηε ηο ζύνολο ηιμών ηηρ και να αποδείξεηε όηι η f ανηιζηπέθεηαι. e

Γ) Να δείξεηε όηι:

1

2 e 

f 1 ( x)dx   f ( x)dx   1 2

e 4

οποία

ιζσύει:

e . 8

ΛΥΣΗ: Α) Για x  0 έσοςμε: f '( x)  2e x  xe x  f '( x)  2 xe x  x 2e x  f '( x)  ( x 2e x ) '  f ( x)  x 2e x  c x Όμωρ f (1)  e άπα c  2e ηόηε f ( x)  x 2e x  2e, x  0 . Β) f '( x)  2 xe x  x 2e x  0 για κάθε x  0 . Γηλαδή η f είναι γνηζίωρ αύξοςζα για κάθε x   0,   .

lim f ( x)  2e και lim f ( x)   .

x 0

x 

Άπα αν Af  (0, ) ηόηε f ( A)  (2e, ) . Αθού η f είναι γνηζίωρ αύξοςζα ζηο (0, ) είναι “1 – 1” επομένωρ ςπάπσει η ανηίζηποθη ηηρ f 1 :  2e,     0,   . Γ) Ιζσύει όηι: f 1 ( y)  x  f ( y)  x με dx  f '( y)dy .  e e 1 1  f ( y)  f    y  , Αν x  2e     f  y   2e  4 2 2  4  επειδή f “1-1”. Αν x  e  f ( y)  e  f ( y)  f (1)  y  1 επειδή f “1-1”. Άπα e

1

2 e 

1

f 1 ( x)dx   yf '( y )dy   yf ( y ) 1   f ( y )dy  1

 f (1) 

2

1 2

e 4

1 2

1 1  1 1 1 1 e e f ( )   f ( y )dy   e    2e    f ( y )dy     f ( x)dx 2 2 1 2 4 8 1  1 2 e

Και ηόηε έσοςμε

2 e 

2 1

f 1 ( x)dx   f ( x)dx   e 4

1 2

e . 8

2


THEMATA MATHIMATIKWN