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Universidad Internacional San Isidro Labrador

Carrera Bachillerato en la enseñanza de la matemática

Curso Matemática IV y abordaje pedagógico de la Matemática IV

Profesor Michael Ortega Mora

Estudiante José francisco Arroyo Hernández Jorge Quesada Castillo Oscar Vargas Araya Seidy Gómez Ureña Lizzeth Cordero

VI cuatrimestre

Año: 2011 1


Tabla de contenidos: Áreas y Volumen de la pirámide truncada

Tabla de contenidos Capítulo I Introducción…………………………………………………………………………………Pag.03

Capítulo II Pirámide truncada…………………....…...…………………………………………………Pag.04 Desarrollo de una pirámide truncada………………………………………………………..Pag.04 Elementos de una pirámide truncada……………………………………………………….Pag.04 Calculo de la apotema lateral de una pirámide truncada……………………………………Pag.05 Formulas de las áreas y el volumen de una pirámide truncada…………………………….Pag.05 Otra forma de encontrar el volumen de una pirámide………………………………………Pag.06 Ejemplo 1………………………………………….……………………………………….. Pag.07 Ejemplo 2………………………………………….……………………………………….. Pag.08 Ejemplo 3……………………………………………….………………………………….. Pag.09 Capítulo III Conclusiones…..…………………………………………………………………………….Pag.10 Bibliografía………………………………………………………………………………….Pag.11 Anexos………………………………………………………………………………………Pag.12

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Introducción El desarrollo de estudios en el pasado no se encargó solo de analizar en el caso de la matemática, geometría específicamente, de solo las figuras y sólidos geométricos definidos, sino que busco algo más allá de los mismos y su forma, es decir tomando en cuenta modificaciones posibles que consecuentemente modificarían resultados, en síntesis se habla sobre cortes y truncamientos hechos a los diferentes sólidos que conocemos por ejemplo a nivel de secundaria. Por consiguiente el desarrollar un pequeño análisis sobre estos tipos de figuras con esos cambios como lo es en este caso, pues estas pueden necesitarse en la vida cotidiana que es propiamente lo que siempre está impregnado de matemática.

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Pirámide truncada La pirámide truncada es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

Desarrollo de una pirámide truncada

Elementos de una pirámide truncada

La sección determinada por el corte es la base menor. Las caras laterales son trapecios. La altura del tronco de pirámide es la distancia entre las bases. Pirámide deficiente es la parte de la pirámide determinada por la base menor y el vértice. La apotema lateral es la altura de cualquiera de sus caras laterales. 4


Cálculo de la apotema lateral de una pirámide truncada

Calculamos la apotema lateral del tronco de pirámide, conociendo la altura, la apotema de la base mayor y apotema de la base menor, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

Formulas de las áreas y el volumen de la pirámide truncada

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Otra forma de encontrar el volumen de una pirámide Papiro de Moscú

Volumen de pirámide truncada.

Fue comprado por Golenishchev en el año 1883, a través de Abd-el Radard, una de las personas que descubrió el escondite de momias reales de Deir el-Bahari. Originalmente se le conocía como Papiro Golenishchev pero desde 1912, cuando fue a parar al Museo de Bellas Artes de Moscú (nº 4576), se conoce como Papiro de Moscú. Con cinco metros de longitud y tan sólo ocho centímetros de anchura consta de veinticinco problemas matemáticos, aunque algunos se encuentran demasiado dañados para poder ser interpretados. El papiro fue escrito en escritura hierática en torno al 1890 a. C., durante la dinastía XII, por un escriba egipcio desconocido, que no era tan meticuloso como Ahmes, el escriba del papiro Rhind. Se desconoce el objetivo con el que fue escrito. De los 25 problemas de que consta hay dos que destacan sobre el resto; son los relativos al cálculo del volumen de una pirámide truncada (problema 14º), y el área de una superficie parecida a un cesto (problema 10º). Este último es uno de los problemas más complicados de entender, pues no es clara la forma, y si la figura buscada fuese un cesto o un hemisferio entonces sería el primer cálculo de tal superficie conocido. En el problema 14º del papiro de Moscú se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrangular. El escriba egipcio expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4 (t², b²), multiplica 2 por 4 (tb), suma los anteriores resultados (t² + b² + tb), y multiplica por un tercio de 6 (h/3); finaliza diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente». En notación algebraica moderna sería: V = h (t² + b² + tb) / 3

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Ejemplos 

Ejemplo numero 1

Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de la pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

=

+

= 1+ 2 1 = (24 ) = 576

2 = (14 )

= 196

=4∙

=

+ =

3

(

+ 576

14

+ 24 2

= 772(

+

+

= (24 ) + 24 = (576

= (1108

)

12 3

= 772

∙ 13

2

= 988(

)

) + 988( ) = 1760(

) =

+ 336

= 196

3

∙ 14

(

+

+√ + )

+ (14 ) ∙

+ 196 =

)

)∙

7 3

12 3

4432 (

7


Ejemplo numero 2

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de la siguiente pirámide

=

8ul 10ul

+

=

12ul

1+

2

1 = (20 ) = 400( 2 = (8 ) = 64( = 464(

=4∙

20ul

=4∙

=

+ =

3

(

= 464( +

+

) =

= (20 ) + 20 = (400

= (624

)

+ 160

10 3

) + 672( ) = 1136( 3

∙8

(

+

=

20

+8 ∙ 12 2 = 672(

)

+√ + )

+ (8 ) ∙

+ 64

)

)

)

)

)∙

10 3

10 3

2080 (

)

8


Ejemplo número 3

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de la siguiente pirámide

7ul

10ul

8ul

15ul =

+

= 1+ 2 1 = (15 ) = 225

2 = (10 )

= 100 =4∙

= =

+

3

(

+ 225

10

+ 15 2

+

= (15 ) + 15 = (225

= (475 )

) =

3

∙ 10

+ 150

7 3

∙8

= 325

2

= 400(

)

) + 400( ) = 725(

= 325(

+

= 100

=

(

+

+√ + )

+ (10 ) ∙

+ 100

)

)∙

7 3

7 3

1108.3 (

)

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Conclusiones Como conclusiones podemos dar las siguientes: ♣ La principal formula que se obtuvo para calcular el volumen de la pirámide truncada proviene del papiro de Moscú, el cual es uno de los más antiguos e importantes tanto a nivel histórico como matemático pues se concibe el primer cálculo realizado sobre una pirámide truncada del cual se tiene prueba contundente y tangible.

♣ No solo es necesario conocer las formulas básicas sobre el área de geometría, es importante conocer siempre un poco más a fondo pues en un dado caso se nos puede presentar la necesidad de calcular volúmenes y áreas de una figura como la que se encuentra en estudio. ♣ La matemática siempre se encarga de encontrar la respuesta a cada cuestionamiento que se presenta en la vida cotidiana pero además busca explorar y descifrar cada mínimo detalle que se le presenta.

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Bibliografía

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Anexos

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