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Ejem1. FunciĂłn original

f(x) = x3 − 3x + 2

1er PASO. Hallamos la primera y segunda derivada.


Ejem1. Función original

f(x) = x3 − 3x + 2

1er PASO. Hallamos la primera y segunda derivada. f'(x) = 3x2 − 3


Ejem1. Función original

f(x) = x3 − 3x + 2

1er PASO. Hallamos la primera y segunda derivada. f'(x) = 3x2 − 3 f''(x) = 6x


Ejem1. Función original

f(x) = x3 − 3x + 2

1er PASO. Hallamos la primera y segunda derivada. f'(x) = 3x2 − 3 f''(x) = 6x 2º PASO. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos el o los valores de x (denominados valores críticos).


Ejem1. Función original

f(x) = x3 − 3x + 2

1er PASO. Hallamos la primera y segunda derivada. f'(x) = 3x2 − 3 f''(x) = 6x 2º PASO. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos el o los valores de x (denominados valores críticos). f'(x) = 3x2 − 3


Ejem1. Función original

f(x) = x3 − 3x + 2

1er PASO. Hallamos la primera y segunda derivada. f'(x) = 3x2 − 3 f''(x) = 6x

2º PASO. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos el o los valores de x (denominados valores críticos). f'(x) = 3x2 − 3 3x2 − 3 = 0


Ejem1. Función original

f(x) = x3 − 3x + 2

1er PASO. Hallamos la primera y segunda derivada. f'(x) = 3x2 − 3 f''(x) = 6x

2º PASO. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos el o los valores de x (denominados valores críticos). f'(x) = 3x2 − 3 3x2 − 3 = 0 3x2 = 3


Ejem1. Función original

f(x) = x3 − 3x + 2

1er PASO. Hallamos la primera y segunda derivada. f'(x) = 3x2 − 3 f''(x) = 6x 2º PASO. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos el o los valores de x (denominados valores críticos). f'(x) = 3x2 − 3 3x2 − 3 = 0 3x2 = 3 x2 = 1


Ejem1. Función original

f(x) = x3 − 3x + 2

1er PASO. Hallamos la primera y segunda derivada. f'(x) = 3x2 − 3 f''(x) = 6x 2º PASO. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos el o los valores de x (denominados valores críticos). f'(x) = 3x2 − 3 3x2 − 3 = 0 3x2 = 3 x2 = 1

valores críticos x1 = −1,

x2 = 1


3er PASO. En la 2ÂŞ derivada substituimos los valores crĂ­ticos y observamos el signo resultante mediante el siguiente criterio:


3er PASO. En la 2ª derivada substituimos los valores críticos y observamos el signo resultante mediante el siguiente criterio: Si f''(x) < 0 la función f(x) tiene un máximo en el valor crítico x Si f''(x) > 0 la función f(x) tiene un mínimo en el valor crítico x


3er PASO. En la 2ª derivada substituimos los valores críticos y observamos el signo resultante mediante el siguiente criterio: Si f''(x) < 0 la función f(x) tiene un máximo en el valor crítico x Si f''(x) > 0 la función f(x) tiene un mínimo en el valor crítico x Substituimos en f''(x) = 6x con: valores críticos x1 = −1, x2 = 1


3er PASO. En la 2ª derivada substituimos los valores críticos y observamos el signo resultante mediante el siguiente criterio: Si f''(x) < 0 la función f(x) tiene un máximo en el valor crítico x

Si f''(x) > 0 la función f(x) tiene un mínimo en el valor crítico x Substituimos en f''(x) = 6x con: valores críticos x1 = −1, x2 = 1 f''(x1) = f''(−1) = −6


3er PASO. En la 2ª derivada substituimos los valores críticos y observamos el signo resultante mediante el siguiente criterio: Si f''(x) < 0 la función f(x) tiene un máximo en el valor crítico x Si f''(x) > 0 la función f(x) tiene un mínimo en el valor crítico x Substituimos en f''(x) = 6x con: valores críticos x1 = −1, x2 = 1 f''(x1) = f''(−1) = −6, entonces f(−1) tiene un Máximo en x1 = −1.


3er PASO. En la 2ª derivada substituimos los valores críticos y observamos el signo resultante mediante el siguiente criterio: Si f''(x) < 0 la función f(x) tiene un máximo en el valor crítico x

Si f''(x) > 0 la función f(x) tiene un mínimo en el valor crítico x Substituimos en f''(x) = 6x con: valores críticos x1 = −1, x2 = 1 f''(x1) = f''(−1) = −6, entonces f(−1) tiene un Máximo en x1 = −1. f''(x2) = f''(1) = 6


3er PASO. En la 2ª derivada substituimos los valores críticos y observamos el signo resultante mediante el siguiente criterio: Si f''(x) < 0 la función f(x) tiene un máximo en el valor crítico x Si f''(x) > 0 la función f(x) tiene un mínimo en el valor crítico x

Substituimos en f''(x) = 6x con: valores críticos x1 = −1, x2 = 1 f''(x1) = f''(−1) = −6, entonces f(−1) tiene un Máximo en x1 = −1. f''(x2) = f''(1) = 6, entonces f(1) tiene un Mínimo en x2 = 1.


4º PASO. Obtenemos las coordenadas de los valores críticos en la función original.


4º PASO. Obtenemos las coordenadas de los valores críticos en la función original. Función original f(x) = x3 − 3x + 2


4º PASO. Obtenemos las coordenadas de los valores críticos en la función original. Función original f(x) = x3 − 3x + 2 Para x1 = −1 f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4


4º PASO. Obtenemos las coordenadas de los valores críticos en la función original. Función original f(x) = x3 − 3x + 2 Para x1 = −1 f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 coordenadas del punto máximo (x1, f(x1)) coordenadas del punto máximo (-1, 4)


4º PASO. Obtenemos las coordenadas de los valores críticos en la función original. Función original f(x) = x3 − 3x + 2 Para x1 = −1 f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 coordenadas del punto máximo (x1, f(x1)) coordenadas del punto máximo (-1, 4) Ahora con 2º valor crítico: Para x2 = 1


4º PASO. Obtenemos las coordenadas de los valores críticos en la función original. Función original f(x) = x3 − 3x + 2 Para x1 = −1 f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 coordenadas del punto máximo (x1, f(x1)) coordenadas del punto máximo (-1, 4) Ahora con 2º valor crítico: Para x2 = 1 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0


4º PASO. Obtenemos las coordenadas de los valores críticos en la función original. Función original f(x) = x3 − 3x + 2 Para x1 = −1 f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 coordenadas del punto máximo (x1, f(x1)) coordenadas del punto máximo (-1, 4) Ahora con 2º valor crítico: Para x2 = 1 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 coordenadas del punto mínimo (x2, f(x2)) coordenadas del punto mínimo (1, 0)


     x 













      


5º PASO. Damos valores antes y después de cada valor crítico y se substituyen en la primera derivada f’(x), si resultan positivos la gráfica es creciente si es negativo el resultado es decreciente. Valores críticos:

x1 = −1,

x2 = 1


5º PASO. Damos valores antes y después de cada valor crítico y se substituyen en la primera derivada f’(x), si resultan positivos la gráfica es creciente si es negativo el resultado es decreciente. Valores críticos:

antes X f’(x)

x1 = −1,

Valor crítico -1

Después /antes

x2 = 1

Valor crítico 1

después


5º PASO. Damos valores antes y después de cada valor crítico y se substituyen en la primera derivada f’(x), si resultan positivos la gráfica es creciente si es negativo el resultado es decreciente. Valores críticos:

antes X f’(x)

-2

x1 = −1,

Valor crítico -1

Después /antes 0

x2 = 1

Valor crítico 1

después 2


5º PASO. Damos valores antes y después de cada valor crítico y se substituyen en la primera derivada f’(x), si resultan positivos la gráfica es creciente si es negativo el resultado es decreciente. Valores críticos:

antes X f’(x)

-2

x1 = −1,

Valor crítico -1

Después /antes

x2 = 1

Valor crítico 1

después


5º PASO. Damos valores antes y después de cada valor crítico y se substituyen en la primera derivada f’(x), si resultan positivos la gráfica es creciente si es negativo el resultado es decreciente. Valores críticos:

antes X f’(x)

-2

x1 = −1,

Valor crítico -1

Después /antes 0

x2 = 1

Valor crítico 1

después


5º PASO. Damos valores antes y después de cada valor crítico y se substituyen en la primera derivada f’(x), si resultan positivos la gráfica es creciente si es negativo el resultado es decreciente. Valores críticos:

antes X f’(x)

-2

x1 = −1,

Valor crítico -1

Después /antes 0

x2 = 1

Valor crítico 1

después 2


5º PASO. Damos valores antes y después de cada valor crítico y se substituyen en la primera derivada f’(x), si resultan positivos la gráfica es creciente si es negativo el resultado es decreciente. Valores críticos:

antes X f’(x)

-2 +

x1 = −1,

Valor crítico -1

Después /antes 0

x2 = 1

Valor crítico 1

después 2


5º PASO. Damos valores antes y después de cada valor crítico y se substituyen en la primera derivada f’(x), si resultan positivos la gráfica es creciente si es negativo el resultado es decreciente. Valores críticos:

antes X f’(x)

-2 +

x1 = −1,

Valor crítico -1

Después /antes 0 -

x2 = 1

Valor crítico 1

después 2


5º PASO. Damos valores antes y después de cada valor crítico y se substituyen en la primera derivada f’(x), si resultan positivos la gráfica es creciente si es negativo el resultado es decreciente. Valores críticos:

antes X f’(x)

-2

+

x1 = −1,

Valor crítico -1

Después /antes 0

-

x2 = 1

Valor crítico 1

después 2

+


Los valores antes y después se substituyen en f'(x) = 3x2 − 3 y se observa el signo del resultado.

f´(-2) = 3(-2)2 – 3 = 12 – 3 = + creciente


Los valores antes después se substituyen en f'(x) = 3x2 − 3 y se observa el signo. f´(-2) = 3(-2)2 – 3 = 12 – 3 = + creciente


Los valores antes después se substituyen en f'(x) = 3x2 − 3 y se observa el signo. f´(-2) = 3(-2)2 – 3 = 12 – 3 = + creciente f´(0) = 3(0)2 – 3 = 0 – 3 = - decreciente


Los valores antes después se substituyen en f'(x) = 3x2 − 3 y se observa el signo. f´(-2) = 3(-2)2 – 3 = 12 – 3 = + creciente f´(0) = 3(0)2 – 3 = 0 – 3 = - decreciente f´(2) = 3(2)2 – 3 = 12 – 3 = + creciente


Ejemplo 2. Función original

f(x) = x4 − 8x2 + 3

1er PASO. Hallamos la primera y segunda derivada. f’(x) = 4x3 − 16x f’’(x) = 12x2 − 16


2º PASO. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos el o los valores de x (denominados valores críticos). f’(x) = 4x3 − 16x 4x3 − 16x = 0 4x(x2 – 4) = 0 x(x2 – 4) = 0/4 x(x2 – 4) = 0 x = 0/(x2 – 4) x1 = 0

x(x2 – 4) = 0 x2 – 4 = 0/x

x2 – 4 = 0 x2 = 4

valores críticos x2 = −2, x3 = 2, x1 = 0


3er PASO. En la 2ª derivada substituimos los valores críticos y observamos el signo resultante mediante el siguiente criterio: Si f''(x) < 0 la función f(x) tiene un máximo en el valor crítico x

Si f''(x) > 0 la función f(x) tiene un mínimo en el valor crítico x


Substituimos en f’’(x) = 12x2 − 16 con: valores críticos x2 = −2, x3 = 2, x1 = 0 f''(x1) = f''(0) = 12(0)2 – 16 f''(x1) = f''(0) = 0 – 16 = -16 f''(x1) = f''(0) = = -16 entonces f(0) tiene un Máximo en x1 = 0.

f''(x2) = f''(-2) = 12(-2)2 – 16 f''(x2) = f''(-2) = 12(4) – 16 f''(x2) = f''(-2) = 48 – 16 f''(x2) = f''(-2) = 32 entonces f(-2) tiene un Mínimo en x2 = -2. f''(x3) = f''(2) = 12(2)2 – 16 f''(x3) = f''(2) = 12(4) – 16 f''(x3) = f''(2) = 48 – 16 f''(x3) = f''(2) = 32 entonces f(2) tiene un Mínimo en x3 = 2.


4º PASO. Obtenemos las coordenadas de los valores críticos en la función original. Función original f(x) = x4 − 8x2 + 3 Para x1 = 0 f(0) = (0)4 – 8(0)2 + 3 = 3 coordenadas del punto máximo (x1, f(x1)) coordenadas del punto máximo (0, 3)

Para x2 = -2 f(-2) = (-2)4 – 8(-2)2 + 3 f(-2) = 16 – 32 + 3 = -13 coordenadas del punto mínimo (x2, f(x2)) coordenadas del punto mínimo (-2, -13) Para x3 = 2 f(2) = (2)4 – 8(2)2 + 3 f(2) = 16 – 32 + 3 = -13 coordenadas del punto mínimo (x3, f(x3)) coordenadas del punto mínimo (2, -13)


Máx(0,3)

Mín(-2,-13)

Mín(2,-13)


5º PASO. Damos valores antes y después de cada valor crítico y se substituyen en la primera derivada f’(x), si resultan positivos la gráfica es creciente si es negativo el resultado es decreciente. valores críticos x2 = −2, x3 = 2, x1 = 0 valores críticos x2 = −2, x1 = 0, x3 = 2, Los valores antes después se substituyen en f'(x) = 4x3 − 16x y se observa el signo.

2

después

1

Valor crítico

0

después

-1

Valor crítico

-2

Después /antes

-3

Valor crítico

antes

x

3


f´(-3) = 4(-3)3 – 16(-3) = f´(-3) = 4(-27)+48 = -108+ 48 decreciente f´(-1) = f´(1) = f´(3) =


Máx(0,3)

(-) decreciente

Mín(-2,-13)

(+) creciente

(-) decreciente

(+) creciente

Mín(2,-13)


f´(-3) = f´(-3) = f´(-1) = f´(-1) = f´(1) = f´(3) =

4(-3)3 – 16(-3) = 4(-27)+48 = -108+ 48 decreciente 4(-1)3 – 16(-1) = 4(-1) + 16 = -4 + 16 creciente


Máx(0,3)

(-) decreciente

Mín(-2,-13)

(+) creciente

(-) decreciente

(+) creciente

Mín(2,-13)


f´(-3) = 4(-3)3 – 16(-3) = f´(-3) = 4(-27)+48 = -108+ 48 decreciente f´(-1) = 4(-1)3 – 16(-1) = f´(-1) = 4(-1) + 16 = -4 + 16 creciente f´(1) = 4(1)3 – 16(1) = f´(1) = 4(1) - 16 = 4 - 16 decreciente f´(3) =


Máx(0,3)

(-) decreciente

Mín(-2,-13)

(+) creciente

(-) decreciente

(+) creciente

Mín(2,-13)


f´(-3) = 4(-3)3 – 16(-3) = f´(-3) = 4(-27)+48 = -108+ 48 decreciente f´(-1) = 4(-1)3 – 16(-1) = f´(-1) = 4(-1) + 16 = -4 + 16 creciente f´(1) = 4(1)3 – 16(1) = f´(1) = 4(1) - 16 = 4 - 16 decreciente f´(3) = 4(3)3 – 16(3) = f´(3) = 4(27) - 48 = 108- 48 creciente


Máx(0,3)

(-) decreciente

Mín(-2,-13)

(+) creciente

(-) decreciente

(+) creciente

Mín(2,-13)

Máximos y mínimos  
Máximos y mínimos  

Máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada

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