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Revista Digital ESCRITORES

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Ana Elizabeth Barrientos Oscar Taracena Maria García

Carlos Ramírez INFORMACIÓN Contáctanos: chicoramirez1994@hotmail.com

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@charlierck

© 2012. Matrices y qué más? Todos los derechos reservados


¿Qué es una matriz?......................................... Pág. 8 Matriz cuadrada............................................... Pág. 8 Suma de matrices........................................... Pág. 10 Multiplicación de matrices.............................. Pág. 11 Potencia de matrices....................................... Pág. 11 Transpuesta de una matriz............................. Pág. 12 Matriz simétrica............................................. Pág. 12 Matriz antisimétrica........................................ Pág. 12 Traza de una matriz........................................ Pág. 13

CONTENIDO…

Matrices triangulares...................................... Pág. 13


Pág. 14…………………………….....Independencia lineal Pág. 15………………………………………..Determinantes Pág. 17……………..…………………..Teorema de Laplace

CONTENIDO…

Pág. 14……………………………….....Combinación lineal


¿Qué es una matriz? Una matriz es un arreglo rectangular de números llamados entradas. Se le denomina m al número de renglones y n al número de columnas. Es decir que una matriz es de tamaño m x n. Ejemplo:

Matriz cuadrada Si una matriz posee el mismo número de renglones y columnas se dice que la matriz es cuadrada. Esta se subdivide en varios tipos de matriz.


Matriz diagonal Se le llama entradas diagonales si es posible trazar una diagonal en la matriz; algebraicamente se denomina de esta forma aii. La matriz diagonal tiene todas sus entradas no diagonales 0. Ejemplo:

Matriz escalar Es una matriz que tiene todas sus entradas diagonales iguales. Matriz identidad Matriz en la que todas las entradas diagonales tienen un valor de 1. Se le denomina con la letra I. Ejemplo: Ejemplo: Igualdad de matrices Si las matrices son del mismo tama単o y sus entradas correspondientes son iguales, entonces son iguales.


Suma de matrices Se realiza por componentes, es decir que la suma se obtiene al sumar las entradas de las matrices involucradas. Es necesario que sean del mismo tamaĂąo. (A+B) Ejemplo:

MĂşltiplo Escalar Si Aes una matriz m x n y c es un escalar, entonces el mĂşltiplo escalar cA es la matriz que se obtiene al multiplicar el escalar por cada componente.

Matriz negativa Es la matriz -1(A). Se puede utilizar para definir la diferencia de dos matrices.

Matriz cero Es una matriz cuyas entradas son igual a 0, se denota O.


Multiplicación de matrices Si A es una matriz de m x n y B es una matriz de n x r entonces el producto de esas matrices será una matriz C m x r. Se observa que las matrices no deben ser del mismo tamaño, únicamente que el número de columna de A debe ser igual al número de renglones de B. Se multiplica cada componente y se suman. Ejemplo:

Potencia de una matriz Cuando Ay B son matrices cuadradas su producto también será una matriz cuadrada. Un caso especial se da cuando A=B. entonces tiene sentido definir A2=AA o bien cualquier factor k Ak. Si k es igual a 1 entonces A1=A; si bien k=0 entonces A0=In no igual a 0. Ejemplo:


Transpuesta de una matriz Esta matriz se obtiene al intercambiar los renglones y columnas de A. Ejemplo:

Matriz simétrica Si la matriz A es cuadrada y si su transpuesta es igual a la matriz original se dice que la matriz es simétrica. NOTA: las entradas no diagonales deben ser iguales para que al transponer la matriz quede igual. Ejemplo:

Matriz antisimétrica Si la matriz transpuesta de A es igual a la negativa de la matriz A entonces se dice que la matriz es antisimétrica. NOTA: las entradas diagonales deben ser cero para que se cumpla esto. Ejemplo:


Traza de una matriz Es la suma de la diagonal de una matriz cuadrada. Ejemplo:

Matrices triangulares 1. Triangular superior Las entradas arriba de las entradas diagonal son diferentes a cero, y las debajo de la diagonal son cero. Ejemplo:

2. Triangular inferior Las entradas debajo de las entradas diagonal son diferentes a cero, y arriba de la diagonal son cero. Ejemplo:


Para cada matriz A hay un escalar diferente. Sea A1, A2, Ak y C1, C2, Ck se puede formar C1A1 + C2A2 + … + CkAk Los escalares C1, C2, Ck se denominan los coeficientes.

Se dice que {A1, A2 … Ak es linealmente independiente si existen escalares C1, C2, … Ck tales que C1A1 + C2A2 + … + CkAk = 0 Se tiene que todos los escalares C1, C2, … Ck son cero. Con uno de los escalares que sea distinto de cero el conjunto será linealmente dependiente.


El determinante de una matriz es un escalar. Sólo existe si la matriz es cuadrada. Notación: Si A es una matriz de n x n, el determinante de A se denota por |A| o det (A) ¿Cómo encontrarlo? -Si A es |X| (1 x 1), entonces det(A)= [a 11] -Si A es

entonces det A= a11a22 – a21a12

Si A= det A=( a11a22a33+ a12a23a31 + a13a21a32) - ( a31 a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)


Para matrices de nxn (n≥2), se encuentra el determinante usando cofactores. El cofactor ij Cij = (-1)i+j det Ai j donde Ai j es la submatriz que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna j.Se llama menor ij al det Ai j . Se utiliza la expansión a lo largo de un renglón o de una columna. Ejemplo: Si,

entonces se buscan los cofactores. En este caso

se toma el segundo renglón. C21= (-1) 2+1 det

= -16

C22= (-1) 2+2 det

= -2

C23= (-1) 2+3 det

= 13

det B= -1(-16)+ 0 (-2) + 1(13) det B= 29


Este teorema establece que para llevar a cabo el procedimiento anterior se puede usar cualquier renglón o cualquier columna y se obtiene exactamente el mismo resultado. Propiedades de los determinantes La matriz A tiene que ser cuadrada para que exista la propiedad o Si A tiene un renglón o columna cero entonces det A= 0 o Si B se obtiene al intercambiar dos renglones o columnas de A, entonces det B= -det A o Si A tiene dos renglones o columnas idénticos entonces det A = 0. o Si B se obtiene al multiplicar un renglón o columna de A por escalar k, entonces det B = k det A o SI A,B y C son idénticas excepto que el iésimo renglón o columna de C sea la sima de los iésimos renglones. o Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón o columna de A a otro renglón o columna, entonces det B = det A.



Matrices y qué más?