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Revista

I.

OPERACIÓN DE MATRICES

A. Matriz Una matriz es una arreglo rectangular de números llamados entradas. Se le denomina m al número de renglones y n al número de columnas. Es decir que una matriz es de tamaño m x n. Ejemplo:

B. Matriz cuadrada Si una matriz posee el mismo número de renglones y columnas se dice que la matriz es cuadrada. Esta se subdivide en varios tipos de matriz. Ejemplo:

1. Matriz diagonal  Se le llama entradas diagonales si es posible trazar una diagonal en la matriz; algebraicamente se denomina de esta forma aii.  La matriz diagonal tiene todas sus entradas no diagonales 0. Ejemplo:

2. Matriz escalar Es una matriz que tiene todas sus entradas diagonales iguales. Ejemplo:


3. Matriz identidad Matriz en la que todas las entradas diagonales tienen un valor de 1. Se le denomina con la letra I. Ejemplo:

4. Igualdad de matrices Si las matrices son del mismo tamaño y sus entradas correspondientes son iguales, entonces son iguales.

C. Suma de matrices Se realiza por componentes, es decir que la suma se obtiene al sumar las entradas de las matrices involucradas. Es necesario que sean del mismo tamaño. (A+B) Ejemplo:

1. Múltiplo escalar Si Aes una matriz m x n y c es un escalar, entonces el múltiplo escalar cA es la matriz que se obtiene al multiplicar el escalar por cada componente.

2. Matriz negativa Es la matriz -1(A). Se puede utilizar para definir la diferencia de dos matrices. Ejemplo:


3. Matriz cero Es una matriz cuya entradas son igual a 0, se denota O.

D. Multiplicación de matrices Si A es una matriz de m x n y B es una matriz de n x r entonces el producto de esas matrices será una matriz C m x r. Se observa que las matrices no deben ser del mismo tamaño, únicamente que el número de columna de A debe ser igual al número de renglones de B. Se multiplica cada componente y se suman. Ejemplo:

E. Potencia de matrices Cuando Ay B son matrices cuadradas su producto también será una matriz cuadrada. Un caso especial se da cuando A=B. entonces tiene sentido definir A2=AA o bien cualquier factor k Ak. Si k es igual a 1 entonces A1=A; si bien k=0 entonces A0=In no igual a 0. Ejemplo:

F. Transpuesta de una matriz Esta matriz se obtiene al intercambiar los renglones y columnas de A.


Ejemplo:

G. Matriz simétrica Si la matriz A es cuadrada y si su transpuesta es igual a la matriz original se dice que la matriz es simétrica. NOTA: las entradas no diagonales deben ser iguales para que al transponer la matriz quede igual. Ejemplo:

H. Matriz antisimétrica Si la matriz transpuesta de A es igual a la negativa de la matriz A entonces se dice que la matriz es antisimétrica. NOTA: las entradas diagonales deben ser cero para que se cumpla esto. Ejemplo:

I. Traza de una matriz Es la suma de la diagonal de una matriz cuadrada. Ejemplo:

J. Matrices triangulares 1. Triangular superior Las entradas arriba de las entradas diagonal son diferentes a cero, y las debajo de la diagonal son cero. Ejemplo:


2. Triangular inferior Las entradas debajo de las entradas diagonal son diferentes a cero, y arriba de la diagonal son cero. Ejemplo:

Combinación Lineal Para cada matriz A hay un escalar diferente. Sea A1, A2, Ak y C1, C2, Ck se puede formar C1A1 + C2A2 + … + CkAk Los escalares C1, C2, Ck se denominan los coeficientes.

Independencia Lineal Se dice que {A1, A2 … Ak es linealmente independiente si existen escalares C1, C2, … Ck tales que C1A1 + C2A2 + … + CkAk = 0 Se tiene que todos los escalares C1, C2, … Ck son cero. Con uno de los escalares que sea distinto de cero el conjunto será linealmente dependiente.

Determinantes El determinante de una matriz es un escalar. Sólo existe si la matriz es cuadrada. Notación: Si A es una matriz de n x n, el determinante de A se denota por |A| o det A ¿Como encontrarlo? o

Si A es |X| (1 x 1), entonces A= [a 11] A= |a11|

o

Si A es Entonces det A= a11a22 – a21a12

o

Si A=


Entonces para encontrar det A, se copia las primeras 2 columnas al lado derecho y se trazan las diagonales siguiendo un proceso análogo al que se hace para encontrar el determinante de una matriz de 2x2. det A=( a11a22a33+ a12a23a31 + a13a21a32) - ( a31 a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12) Este procedimiento sólo es válido para matices de 3x3. o

Para matrices de nxn (n≥2), se encuentra el determinante usando cofactores. El cofactor ij Cij = (-1)i+j det Ai j donde Ai j es la submatriz que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna j. Se llama menor ij al det Ai j Se utiliza la expansión a lo largo de un renglón o de una columna. Ejemplo.

Si

, entonces se buscan los cofactores. En este caso se toma el segundo renglón.

C21= (-1) 2+1 det

= -16

C22= (-1) 2+2 det

= -2

C23= (-1) 2+3 det

= 13

det B= -1(-16)+ 0 (-2) + 1(13) det B= 29 Teorema de Laplace Este teorema establece que para llevar a cabo el procedimiento anterior se puede usar cualquier renglón o cualquier columna y se obtiene exactamente el mismo resultado.

Propiedades de los determinantes La matriz A tiene que ser cuadrada para que exista la propiedad o o o

Si A tiene un renglón o columna cero entonces det A= 0 Si B se obtiene al intercambiar dos renglones o columnas de A, entonces det B= -det A Si A tiene dos renglones o columnas idénticos entonces det A = 0.


o o o

Si B se obtiene al multiplicar un renglón o columna de A por escalar k, entonces det B = k det A SI A,B y C son idénticas excepto que el iésimo renglón o columna de C sea la sima de los iésimos renglones. Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón o columna de A a otro renglón o columna, entonces det B = det A.

Matriz Adjunta La matriz adjunta de A se denota por adj A y se encuentra usando los cofactores de A. La adj A es igual a la matriz transpuesta de la matriz de cofactores

Otros metodos Método de Gauss-Jordan Este método puede utilizarse para calcular la inversa. Si A es una matriz cuadrada y una secuencia de operaciones elementales con renglones reduce A a I, entonces la misma secuencia de operaciones elementales transforma I en A-1. Si A no puede reducirse a I, entonces el teorema garantiza que A no es invertible.  El procedimiento descrito es la eliminación de Gauss-Jordan efectuada sobre una matriz aumentada de nx2n.

Método de Cramer Es una fórmula para describir la solución de ciertos sistemas de n ecuaciones lineales con n variables completamente en términos de determinantes. Ejemplo 2x – y x+ 3y= 1 Se escribe la matriz aumentada

Para resolver para cada variable se escribe el vector de términos constantes en lugar de los coeficientes de la variable correspondiente.


x=

=

y= =

=

=2

= -1

Matriz inversa Si A=

entonces A es invertible si ad – bc ≠ 0, en cuyo caso

A-1= Es decir, se multiplica

por la matriz que resulta al intercambiar las entradas de la

diagonal principal de A y al cambiar los signos de las otras dos entradas. Ej. Si A= det A= -2 A-1 =

=

Propiedades de las inversas o o o o o o o 

La inversa de la inversa (A-1)-1 = A (cA)-1 = (1/c)A-1 (AB)-1= B-1A-1 (A1A2 … An)-1 = An-1 A2-1 … A1-1 (AT) -1 = (A-1)T (An)-1 = (A-1)n A-n = (An) -1 = (A-n)n

Matrices elementales Es una matriz que se obtiene de hacer una operación de renglón a la matriz identidad. Ejemplo. Tomamos una matriz identidad 2x2

Operación de renglón R1 R2

Matriz elemental correspondiente E1


3R2

E2

R1 – 4R2

E3


Matriz  

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