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‫ ﺧﺎﻟﺪ ﻫﺸﺎﻣﻲ‬:‫ذ‬

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‫اﻟﺴﻨﺔ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﻣﻦ اﻟﺴﻠﻚ اﻟﺜﺎﻧﻮي اﻹﻋﺪادي‬

2 b + b a 2 + 2 a = 2 b + a

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‫ﺍﻣﺘﺤﺎﻧﺎﺕ ﺟﻬﻮﻳﺔ ﻣﺼﺤﺤﺔ‬

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‫ ن‬2.5 : ‫ا  اول‬ 3x + 1 = x − 2 : ‫( ' اد‬1 2x − 1 ≥ x + 1 : -N‫( ' اا‬2 ‫ ن‬2 : ‫ا  ا‬ : C ‫) ا "" إ‬%‫' ا‬ 5 4 3 2 ‫ة‬P‫ ا‬Q 4 2 5 3 U -‫ا‬ . C V‫ال ا"" ا‬1 ‫( د‬1 .C V‫@ ا"" ا‬W4 A-‫ ال ا‬\$‫( ا‬2 ‫ ن‬6 :  ‫ا  ا‬ (O , I , J ) X  " ‫ب‬1 ‫ى‬1‫ا‬ B ( −3, −1) ‫ و‬A ( 3,3) ‫" أن‬# ( AB ) \)5‫ أ‬-‫( أ‬1 ( AB ) !"# ‫دي‬1‫ و ا‬C ( 2,1) +‫)\ ) ∆ ( ار * ا‬5‫ أ‬-‫ب‬

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2x − 3 y = −3 : 7N ' -‫( أ‬3  3x + 2 y = 8

( AB ) !"# C +" ‫دي‬1‫ د إا ا^ ا‬-‫ب‬

‫ ن‬6.5 : ‫ا  ا ا‬ f (2) = 1 _-A +` ‫ دا‬f (1 ‫ى‬1‫  ا‬X  "  ‫ ( "ا‬D ) 57‫)\ ا' ا‬5‫ أ‬-‫أ‬ 1 f (x ) = x : x  ‫د‬# '% a5‫* ا‬A -‫ب‬ 2 F !‫ إ‬E ‫ل‬1-& ‫ا‬T ‫زا‬V‫ و ا‬F ( 2, 4 ) ‫ و‬E ( 4, 2 ) *+‫ ا‬75 (2

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2 y = x + 1 ‫* أن‬A -‫( أ‬2 3

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E ‫" أن‬# G +‫ د اا& ا‬-‫ت‬

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AE = 4cm ‫ و‬AD = 3cm ‫ و‬AB = 6cm _-A ‫ت‬B+‫ازي ا‬1 ABCDEFGH AEFGH ‫م‬4‫ ا‬/ \$‫ ا‬-1

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‫ ن‬2.5 : ‫ا  ا ا‬

 AI 44/ ‫ ا‬T ‫زا‬V‫ [ و ا‬BC ]  I *% ‫ و‬BC = 4 ‫ و‬AB = 2 _-A A  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" ABC

‫ ؟‬T ‫زا‬VA A ‫رة‬1b ‫  ه‬-‫ أ‬-1 T ‫زا‬VA B ‫رة‬1b D \)5‫أ‬-‫ب‬ ‫ع‬B<l‫ وي ا‬BDI _"‫* أن ا‬A -2 ‫ ن‬3 :  ‫ا  ا‬ : ‫ره آ‬#‫زع أ‬1& ‫ دا‬20 * ‫د‬5 ‫ن‬1% 17 - 38 - 30 - 18 - 24 - 17 - 22 - 24 - 28 - 30 24 - 28 - 22 - 30 - 18 - 37 - 18 - 29 - 24 - 22 ‫  ت‬-‫ول ا‬N ^#‫ أ‬-1 25 1‫ ه‬C V‫@ ا"" ا‬W4 A-‫* أن ال ا‬A -2  C V‫@ ا"" ا‬W4 A-‫ أن ال ا‬o"# ‫ا اط إذا‬W‫* ه‬D ‫ د‬. ‫دي‬A N ‫ `ا ط‬,-‫ ا‬-3 .   ‫ ن‬3 : ‫ا  ا )دس‬ SA = SB = SC = SD = 5 ‫ و‬AB = 3 2 9J5 O @P‫ي آ‬W‫ ا‬ABCD 9A‫ ا‬a&#Q X ‫ هم‬SABCD 4 ‫ وي‬SO ‫ع‬d&‫ر‬E‫* أن ا‬A -1 ‫ا‬1‫"! ا‬# [SD ] ‫[ و‬SC ] ‫[ و‬SB ] ‫[ و‬SA ] 9+‫ت ا‬d  D ′ ‫ و‬C ′ ‫ و‬B ′ ‫ و‬A ′ *% -2 ABCDA ′B ′C ′D ′ /‫ ا‬/ \$‫ا‬

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

******************************************************************

@ @ @ @ @

@ @

@

@ @ 28

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @

2 3

‫ ه د  ة‬y = x + 1 ‫* أن‬7 -‫ أ‬-2 (AB)" (AB) ‫د اد ا ة ل‬- (A B ) : y = mx + p : 9J :m ‫د‬- B ∈ ( A B ) ‫ و‬A ∈ ( A B ) : ‫ أن‬A‫و‬

@ @ @ @ @

(A B )

@ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

:a‫و‬

‫ * أو‬7‫آ‬E‫ ا‬-‫اد ا‬#l‫ ا‬9N ‫ل اد ه‬1" : ‫إذن‬ 2 ‫وي‬ : ‫ا  ا‬ . C V‫ال ا"" ا‬1 ‫د‬- -1 3 ‫ة‬P‫  ا‬,‫ا‬1‫ ا‬5 1‫ ه‬U  7‫ اآ‬ 3 1‫ال ه‬1‫ادن ا‬ .C V‫@ ا"" ا‬W4 A-‫ ال ا‬\$- -2

2 × 3 + 3× 5 + 4 × 2 + 5 × 4 14 6 + 15 + 8 + 20 M = 14 49 M = 14 M = 3,5 M =

( A B ) ⊥ ( ∆ ) ٍ:  2 ( AB ) : y = x + 1 :  ‫و‬ 3 (∆) : y = m ′x + p ′ 9J 2  × m ′ = −1 : 3 −1 3 3 :  m′ = = −1 × = − 2 2 2 3 3 (∆) : y = − x + p ′ :  2 : p ′ ‫د‬-

@ @ @ @ @ @ @

: ‫اذن‬

( ∆ ) ‫] اد ا ة ل‬D‫ا‬-‫ب‬

@

@

:

p = 3− 2 =1 2 y = x + 1 :‫اذن‬ 3

@

@

: ‫ن‬

: 

@

@

3x + 1 = x − 2 : ‫' اد‬- -1 3x + 1 = x − 2 :  3x − x = −2 − 1 :  2x = −3 :  3 x =− : ‫اذن‬ 2 3 − 1‫ "د ' و ه‬: A‫و‬ 2 2x − 1 ≥ x + 1 : -N‫' اا‬- -2 2x − 1 ≥ x + 1 : 2x − x ≥ 1 + 1 :  x ≥ 2 : 

1 y A = x A + p : ‫ن‬ 2 2 3 = × 3 + p :  2 3= 2+ p

@

@

:

‫ا  اول‬

:p ‫د‬- A ∈ ( A B ) : ‫ أن‬A‫و‬

@

@

yB − yA xB −xA −1 − 3 m= −3 − 3 −4 2 = m= −6 3 2 y = x +p 3

m=

@

@

@ @01@æbznßüa@|îz—m 2011@ìîãìí@@@òÇŠ†@òbß@‘ì@@òèu

(∆)

:

:  ‫ا  ا‬

B ( −3, −1) ‫ و‬A ( 3,3) ‫" أن‬# ( AB ) \)5‫ أ‬-‫ أ‬-1 Y

(∆) A

J

C ∈ ( A B ) : ‫ أن‬A‫و‬ 3 y C = − x C + p ′ :  2 3 1 = − × 2 + p ′ :  2 :  1 = −3 + p ′ : ‫ادن‬ 4 = p′ 3 y = − x + 4 : A ‫و‬ 2

O B

29

C I

X

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

(A B ) (A B )

@ @ @

X‫ ( و ) ∆ ( ه ' ا‬AB ) 93& +5 A ‫و‬

@ @ @ @ @ @ @

 18 25   ;;   13 13 

: ‫ ( و ) ∆ ( ه‬AB ) 93& +5 ‫ادن اا‬

: ‫ا  ا ا‬ f ‫ &' اا‬-‫ أ‬-1 "‫' ا‬b‫ * ا‬D 4" ‫  ان‬+` ‫ دا‬f :  f ( 2) = 1 :  ‫و‬

(OM )

@

@

‫ ا‬1‫ ' اا ه‬A‫و‬ F ( 2, 4 )

@

E ( 4, 2 )

(D )

@

J

E ( 4; 2 )

M

@ @ @

O

I

x

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

: × (3) × (2)

:  : 

: ‫ول‬l‫ * ا‬5‫ ا‬+‫ح ا‬+5

Y

@

: X‫' ا‬- ‫ أ‬-3

6x − 9 y − (6x + 4 y ) = −9 − 16 6x − 9 y − 6x − 4 y = −25 :  :  −13 y = −25 −25 25 y = = :  −13 13 : *"bl‫  إى اد* ا‬aA y ‫ض‬15 25 2x − 3 × = −3 13 75 2x − = −3 13 75 2x = −3 + 13 36 2x = 13 18 x = 13 18 : ‫اذن‬ x = 13 18 25 X‫ ' ا‬1‫ ه‬ ;;  ‫وج‬P‫ ا‬a‫و‬  13 13  ( AB ) ⊥ ( ∆ ) ‫ ان‬A-‫ب‬

M ( 2;1) +‫  * ا‬f ‫ ان &' اا‬: 

@

@

2x − 3 y = −3  3x + 2 y = 8  2x − 3 y = −3  3x + 2 y = 8  6 x − 9 y = −9  6x + 4 y = 16

2x − 3y = −3  3x + 2 y = 8

@ @

2x − 3 y = −3  3x + 2 y = 8

: 3y = 2x + 3 :  : 2x -3y = −3 : 

+` ‫ دا‬f -‫ب‬ f ( x ) = ax :  f (x ) :  x f (2) a= :  2 1 a= :  2 1 f (x ) = x : ‫ادن‬ 2 ( D ) !‫ & إ‬E +‫ * أن ا‬,- -‫ ا‬-2 a=

C ∈(∆) ‫و‬

‫ ( و‬AB ) 93& +5 1‫"! ه‬# C ‫دي ل‬1‫ ان ا^ ا‬

(∆)

3 y = − x + 4 :  2  3  (∆) : 2 × y = 2 ×  − x + 4  :   2  (∆) : 2y = −3x + 8 :  (∆) : 3x + 2y = 8 :  2 ( AB ) : y = x + 1 :  ‫و‬ 3 2  ( AB ) : 3 × y = 3 ×  x + 1 :  3  (∆)

f ( x E ) = y E :  E ∈ ( D ) 1 × 4 = 2 : 2 2 = 2 : ‫اذن‬ ‫ اد‬,-& E :A‫و‬ E ∈ ( D ) ‫إذن‬ 30

:

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @

3 = 0 + b :  3=b : ‫ادن‬

@ @

1 g ( x ) = x + 3 : A ‫و‬ 2

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

G +‫د اا& ا‬- - ‫ت‬ [GF ] ‫  ل‬E  xG + x F = xE  2   yG + y F = y E  2 xG + 2  2 = 4   yG + 4 = 2  2 x G + 2 = 4 × 2  yG + 4 = 2× 2 x G + 2 = 8  yG + 4 = 4

:  ‫ا  ا‬ AEFGH ‫م‬4‫ ا‬/ \$- -1 1 V AEFGH = × AE × S EFGH : 3 1 V AEFGH = × AE × EF × FG :  3 1 V AEFGH = × 4 × 6 × 3 :  3 V AEFGH = 24cm 3 : ‫ادن‬

( EFG )

‫ازي‬1 ( IJL ) :  -‫ – أ‬2 AI = 6cm ‫ و‬AE = 4cm  ‫و‬ AI 6 3 = = :  AE 4 2

x G = 8 − 2  yG = 4 − 4

: 

: 

:  :  : 

x G = 6 :   y G = 0 G ( 6;0) : ‫ادن‬

3 a75 AEFGH ‫م‬4" 7%& 1‫ ه‬AIJKL ‫م‬4‫ ا‬: ‫ادن‬ 2 a75 AEFGH ‫م‬4" 7%& 1‫ ه‬AIJKL ‫م‬4‫ ان ا‬A – ‫ب‬ 3 2 IL 3 IJ 3 = ‫و‬ = : ‫ ان‬ EH 2 EF 2 IL 3 IJ 3 = ‫= و‬ : ‫ ان‬ 3 2 6 2 3 3 IL = × 3 ‫ و‬IJ = × 6 : ‫ ان‬ 2 2 IL = 4,5cm ‫ و‬IJ = 9cm : ‫ ان‬

[GF ] ‫ ل‬

E  – ‫ث‬   GE = EF :  T ‫زا‬VA G +‫رة ا‬1b ‫ ه‬E +‫ادن ا‬ F ( 2;4) ∈ ( D ′) :  -‫ – أ‬3

‫ ا‬1‫ ه‬57‫ ا‬4"& ‫ ا‬d‫ اا ا‬g ‫ أن‬A ‫و‬ ( D ′)

g ( 2) = 4 : ‫ن‬

g  b ‫د‬- – ‫ب‬ g ( 2) = 4 : 

4,5cm ‫ و‬9cm ‫ ه‬IJKL '+‫ا ا‬A ‫ادن‬

g ( 0) = 3 : 57  ‫و‬

@

g ( x ) = ax + b : 9J

@ @

g ( 2) − g ( 0) :  2−0 4−3 a= :  2−0 1 a = :  2 1 g ( x ) = x + b : a ‫و‬ 2 1 g ( x ) = x + b : a ‫و‬ 2 1 g ( 0) = × 0 + b :  2

a=

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ 31

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

‫ر‬7%‫د ا‬# y ‫ل و‬d3l‫د ا‬# 1‫ ه‬x *% -4

@

3x + 7 y = 290  x + y = 50 3x + 7 y = 290  x = 50 − y 3 ( 50 − y ) + 7 y = 290  x = 50 − y 150 − 3 y + 7 y = 290  x = 50 − y

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

5 2

@ @ @

M =

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

‫ا  اول‬ 14x − 4 = 11 − x :‫' اد‬- -1 14x + x = 11 + 4 :  15x = 15 :

:  : 

15 15 x =1

x =

: 

5 2

4 6

3 10

2 4

25

23

17

7

:

: 1 1‫ ه‬1‫ادن ' اد ا‬ 2 ( x − 1) + ( 3x + 5)( x − 1) = 0 : ‫' اد‬-

( x −1) × ( x −1) + ( 3x + 5)( x −1) = 0 :  ( x − 1) × ( x − 1) + ( 3x + 5)  = 0 :  ( x −1) × [ x −1 + 3x + 5] = 0 :  ( x −1) × [ 4x + 4] = 0 : 

35 1‫ر ه‬7%‫د ا‬# ‫ و‬15 1‫ل ه‬d3E‫د ا‬# ‫ادن‬  ‫ا  ا‬ -1 4 3 2 1 ‫ة‬P‫ا‬ 6 10 4 3 U -‫ا‬ ‫ال‬1‫ ا‬-2 3 " ,‫ا‬1 10 U  7‫ اآ‬:  3 1‫ال ه‬1‫ادن ا‬ : A-‫ ال ا‬-3

3 ×1 + 2 × 4 + 3 ×10 + 4 × 6 + 5 × 2 25 3 + 8 + 30 + 24 + 10 M = 25 75 M = 25 M =3

@

@

: 

4 y = 140 :   x = 50 − y 140  = 35 y = :  4  x = 50 − y = 50 − 35 = 15

@

@

@ @02@æbznßüa@|îz—m 2010@ìîãìí@@ÞýíŒa@@ü†bm@@òèu

x − 1 = 0 ‫ {و‬4x + 4 = 0 :  x = 1 ‫ {و‬4x = −4 :  −4 = −1 :  x = 1 ‫ {و‬x = 4

-1 ‫ و‬1 ‫ن ه‬B ‫ادن "د‬ 3x + 1 ≤ 9 − x : -N‫' اا‬- -2 3x + x ≤ 9 − 1 : 4x ≤ 8 :

: 

8 : 4 x ≤ 2 :

x ≤

:  : 

‫  * {و‬bl‫ ا‬-‫اد ا‬#l‫ ا‬9N ‫ ه‬-N‫ل اا‬1" ‫ادن‬ 2 ‫وي‬

: ‫ادن‬ : +D1‫ ا ا‬-4 1 ‫ة‬P‫ا‬ 3 U -‫ا‬

 2x − 3 y = 4  : ‫ ا‬X‫' ا‬- -3 x + y = 2  2x − 3 y = 4 :   x = 2 − y

3

U -‫ا‬ ‫ااآ‬

2 ( 2 − y ) − 3 y = 4 :   x = 2 − y 4 − 2 y − 3 y = 4 :   x = 2 − y −5 y = 4 − 4 = 0 :   x = 2 − y y = 0 :   x = 2 − y = 2 − 0 = 2

25 = 12,5 : 1‫ ه‬NE‫ ا‬U -‫ ا‬5  2

U -‫  ت ااآ ا‬-‫ول ا‬N * QB+5‫و ا‬ ‫ة‬P‫  ا‬,‫ا‬1‫ ا‬17 1‫ ه‬12,5 * ‫ة‬s7 7‫آ‬E‫ااآ ا‬ 3 3 ‫ ه‬+D1‫ادن ا ا‬

@

( 2;0 ) : ‫وج‬P‫ ا‬1‫ ه‬X‫ ' ا‬A ‫و‬

@

@ @ 32

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AB =

( x B − x A ) + ( y B − y A ) : 

@

AB =

( 2 − 0 ) + ( 0 − 3)

@

AB = 4 + 9 A B = 13

@ @ @ @ @ @ @ @ @

2

2

( AB ) ‫ه د‬

@ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

3 f (2) = × 2 − 1 :  2 f (2) = 3 − 1 : f (2) = 2 : ‫ادن‬ f ‫ا‬A -1 a&‫ر‬1b ‫ي‬W‫ اد ا‬1‫ ه‬x *% -‫ب‬ f ( x ) = −1 : 

(AB) ‫د اد ا ة ل‬- (A B ) : y = mx + p : 9J :m ‫د‬- B ∈ ( A B ) ‫ و‬A ∈ ( A B ) : ‫ أن‬A‫و‬

@

@

: 

3 y = − x + 3 : ‫* ان‬7 -‫ج‬ 2

@

@

2

:  : ‫ادن‬

@

@

:  ‫ا  ا‬ f (2) \$- -‫ أ‬-1

2

(AB )

:

y − yA m= B xB −xA 0−3 m= 2−0 −3 m= 2 −3 y = x +p 2

3 x − 1 = −1 2 3 x = −1 + 1 2 3 x =0 2 x =0

: ‫ن‬ : : ‫اذن‬ :a‫و‬

( ∆) : y

−3 x A + p : ‫ن‬ 2 −3 3= × 0 + p :  2 3 = p :  3 ( AB ) : y = − x + 3 :‫اذن‬ 2 !‫ إ‬A ‫ل‬1-& ‫ ا‬T ‫زا‬VA B +‫رة ا‬1b C  -‫أ‬-3 B   AB = BC :  [ AC ]  B : ‫ادن‬ yA =

: 

2 3 = − x ‫ و‬: ( D ) : y = x −1  -‫ب‬ 3 2 3 −2 m ( D ) × m ( ∆ ) = × = −1 : ‫ ان‬A ‫و‬ 2 3 ( ∆ ) !"# ‫دي‬1# ( D ) : ‫ن‬

-‫ت‬ ( D)

( ∆)

(D )

B : -‫ب‬

xC + x A =xB  2 :   y + y C A  = yB  2 xC + 0  2 = 2 :    yC + 3 = 0  2 x C + 0 = 2 × 2 :   y C + 3 = 0

x C = 4 C ( 4; −3) : A ‫ و‬  y C = −3

: 

:  0 1‫ اد ه‬A ‫و‬ g (3) : \$- -‫ أ‬-2 2 g (3) = − × 3 :  3 g (3) = −2 : ‫ادن‬

:p ‫د‬- A ∈ ( A B ) : ‫ أن‬A‫و‬

[ AC ] 

: 

-1.5 1‫ ه‬1 a&‫ر‬1b ‫ي‬W‫ اد ا‬-‫ث‬ ‫ا  ا ا‬  AB : 4/‫د زوج إا ا‬- -‫ أ‬-1  AB ( x B − x A ; y B − y A ) :   AB ( 2 − 0;0 − 3)  AB ( 2; −3)

: 

: ‫ادن‬ AB \$- -‫ب‬

: ‫ادن‬ 33

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

( AB ) 1‫ ه‬T ‫زا‬VA ( AB ) ‫رة ا‬1b ‫_ أن‬7 -‫ج‬

ID \$- -2 C  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" IDC  ‫ة‬s7‫رس ا‬1 ‫ه‬7 \$  ID 2 = IC 2 + CD 2 :  ID 2 = 12 + 22 :  2 ID = 5 :  ID = 5 : ‫ادن‬ IH \$- D  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" IDH  ‫ة‬s7‫رس ا‬1 ‫ه‬7 \$  :  IH 2 = ID 2 + HD 2

B !‫ إ‬A ‫ل‬1-& T ‫زا‬V‫" ان ا‬5 T ‫زا‬VA B ‫ ه‬A ‫رة‬1b ‫ ان‬ T ‫زا‬VA C ‫ ه‬B ‫رة‬1b ‫و‬ T ‫زا‬VA ( BC ) 1‫ ( ه‬AB ) ‫رة‬1b : ‫ ان‬

[ AC ]  B

‫ ان‬A ‫و‬  C ‫ و‬B‫ و‬A ^‫ ان ا‬ ( AB ) = ( BC ) : 

( AB ) 1‫ ه‬T ‫زا‬VA ( AB ) ‫رة ا‬1b ‫ادن‬ ( AB ) ‫ازي ل‬1‫( ا‬T ) " ‫د اد ا ة‬- - ‫د‬ (O , I , J ) "‫' ا‬b‫ أ‬O * ‫و ار‬

2

IH 2 = 5 + 42 :  2 IH = 5 + 16 :  IH = 21 : ‫ادن‬ ‫ة‬#‫ ا‬B CQ ‫ر‬1s1 DBCHFG :  -3 V DBCHFG = S BCD × DH :  BC ×CD V DBCHFG = × DH :  2 2× 2 V DBCHFG = ×4 :  2 V DBCHFG = 8cm 3 : ‫ادن‬ / !+#‫ أ‬k 7A DBCHFG /‫ ا‬7%& :  -4 27cm 3 a/ 27cm 3 3 k = :  8cm 3 27 k3 = :  8 33 k3= 3 :  2

( A B ) //(T ) ٍ: 

(T )

(T )

:  9J :  : 

: p ′ ‫د‬- O ∈ (T ) : ‫ أن‬A‫و‬

(T )

3 y O = − x O + p ′ :  2 3 0 = − × 0 + p ′ :  2 :  0 = p′ 3 : y = − x : A ‫و‬ 2

 ‫ا  ا‬ D  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" IDH ‫_ أن‬7 -1 '+ ADHE :  ( DH ) ⊥ ( DA ) :  '+ CDHG :  ( DH ) ⊥ ( DC ) :  ‫ى‬1‫ن <* ا‬3 ( DA ) ‫ ( و‬DC ) ‫ ان‬A ‫و‬

3

 3 k 3 =   2 3 k = 2

3 = − x +3 2 : y = m ′x + p ′ 3 m′ = − 2 3 : y = − x + p′ 2

( AB ) : y

:  : ‫ادن‬

@ @ @ @ @ @ @

D *  ‫و‬

@ @

( ACD ) ( DH ) ⊥ ( ACD ) :  ( ACD ) *< ( DI ) ‫ ان‬A ‫و‬ ( DH ) ⊥ ( DI ) : ‫ن‬

D  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" IDH : A ‫و‬

@ @

@ @ 34

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @

 AB : 4/‫د زوج إا ا‬- -‫ أ‬-2  AB ( x B − x A ; y B − y A ) :   AB ( 3 − 1; 0 − −1) :   : ‫ادن‬ AB ( 2;1)

@

AB =

( x B − x A ) + ( y B − y A ) : 

@

AB =

( 3 − 1) + ( 0 − −1)

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

2

2

@

@

2

: 

(D )

( AB )

‫ ا )  ن‬4‫ ه‬6‫ ه‬7)8 ‫ ا‬96  ‫د‬6! ‫ ا‬: ,123 ‫د‬:‫ إ‬, " ‫ن ؟ و  ? > ه=< ا‬AB  ‫ازن أو‬6  ( AB ) ‫ ( و‬D ) 4  ,‫ ر‬%F ( AB ) ‫ ا  !ة ل‬, ‫د‬A ‫ا‬ ‫ا  ا ا‬ +` ‫ دا‬f  -1 f ( x ) = ax : 

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

: -N‫' اا‬--2 5x − 2 < 2x + 10 : 3x < 12 : 12 x< : 3 x < 4 : +Q  bl‫ ا‬-‫اد ا‬#l‫ ا‬9N ‫ ه‬-N‫ل اا‬1" ‫ادن‬ 4 *  ‫ا  ا‬ Dl‫@ ا‬W‫ل ه‬d3‫ ل أ‬\$- -1 2 ×1 + 6 × 2 + 8 × 3 + 5 × 4 + 4 × 5 25 2 + 12 + 24 + 20 + 20 M = 25 78 M = 25 M = 3,12

M =

!‫ & إ‬A (1, −1) ‫و‬

@ @

5x − 2 < 2 ( x + 5)

!‫ & إ‬A (1, −1) : ‫ ان‬A ‫و‬

A (1, −1)  ‫ن‬3 ( AB ) ‫ ( و‬D ) ‫ن‬

@

−3 1‫ ه‬1‫ادن ' اد ا‬ 7

y B = −2x B +1 :  0 = −2 × 3 + 1 :  0 = −5 :  ( D ) !‫ & إ‬E B ( 3, 0) ‫ادن‬

@ @

12x + 6 − 3 = 5x :  7x = −3 : −3 x = : 7

2

( ∆ ) !"# ‫دي‬1# ( D ) : ‫ن‬ ( AB ) ‫ ( و‬D ) ‫ ل‬7‫ ا‬9<1‫ رس ا‬-‫ب‬ ( D ) !‫ & إ‬E B ( 3, 0) ‫ * أن‬,-

@

@

3 ( 4x + 2 ) − 3 = 5x :‫' اد‬--1

:  AB = 4 +1 : ‫ادن‬ AB = 5 1 ( ∆ ) : y = x − 2 ‫ و‬: ( D ) : y = −2x +1 ‫أ‬-3 2 1 m ( D ) × m ( ∆ ) = −2 × = −1 : ‫ ان‬A ‫و‬ 2

@

@

: ‫ا  اول‬

AB \$- -‫ب‬

@ @

@ @03@æbznßüa@|îz—m 2010@ìîãìí@@@òÇŠ†@òbß@‘ì@@òèu

:  :  : 

: ‫ادن‬ ‫ ال‬4d3‫د أ‬# ‫ق‬1d ‫ ا‬Dl‫د ا‬# -2 7‫ة اآ‬P Q 4 ‫  ت ا‬-‫ول ا‬/‫ * ا‬QB+5‫ا‬ 9=5+4 1‫* ال ه‬   ‫ا  ا‬ a" ‫ي‬W‫ ( ا‬D ) " ‫د اد ا ة‬- -1 A (1, −1) *  ‫ و‬−2

f (x ) :  x f (2) a= :  2 3 a = :  2 3 f (x ) = x : ‫ادن‬ 2 a=

(D ) : y

= mx + p : # d A 

-2 ‫ ان ا' وي‬A ‫و‬ ( D ) : y = −2x + p :  A (1, −1) ∈ ( D ) ‫ ان‬A ‫و‬

y A = −2x A + p :  −1 = −2 ×1 + p :  −1 = −2 + p :  −1 + 2 = p :  1 = p :  ( D ) : y = −2x +1 : ‫ادن‬

'b‫  * أ‬E  1‫ ه‬g ' (d )  - a -2 +` o ‫ دا‬g A ‫ا" و‬ g ( −2 ) = 0 : /5 57 -b

@ @ 35

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

IJ = 32 = 4 2 : ‫ادن‬ SIJKL ‫م‬4‫ ا‬/ \$- -2 EFGH 9A‫ ا‬P‫ آ‬O *% 9A IJKL : ‫ ( و أن‬EFGH ) ‫دي‬1# (SO ) ‫ أن‬B5

1 V SIJKL = × SO × S IJKL : 3 2 1 V SIJKL = × 8 × 4 2 : 3 256 3 V SIJKL = cm ‫ادن‬ 3 ( EFGH ) ‫دي‬1# (SO ) ‫ت أن‬7&‫إ‬

(

-1 1‫ ه‬g ‫ا‬A

@ @

LK = 4 2 ;; JK = 4 2 ;; LJ = 4 2 * IJKL  IK = FG ‫ أن‬LJ = EF A ‫و‬

@

‫ان ن‬+‫ أن ا‬ 9A IJKL : A ‫و‬

O ‫ ه‬E ‫رة‬1b -4 F ′ ‫ ه‬F ‫رة‬1b  ‫و‬ (OF ′) 1‫ ( ه‬EF ) ‫رة‬1b 

F ′ ‫ و‬O *+‫  * ا‬f '& ‫ * ان‬,-  3 F ′ 1;  : 57   2 3 f (x ) = x : ‫ أن‬A 2 3 f (1) = ×1 :  2 3 f (1) = :  2 f '& !‫ & إ‬F ′ : ‫ادن‬ +` ‫ دا‬f :  ‫و‬ f '& !‫ & إ‬O :  (OF ′) ‫ ا‬1‫ ه‬f '& a‫و‬

@ @

f " 57‫زا ه ا' ا‬V‫@ ا‬4A (d ) ‫رة‬1b ‫ادن‬

S

@

 ‫ا  ا‬

@

IJ \$- -1 E  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" EIJ 

@ @

M

‫ة‬s7‫رس ا‬1 ‫ه‬7 \$  IJ 2 = EI 2 + EJ 2 :  IJ 2 = 42 + 42 :  2 ID = 32 : 

@ @ @ @

3 a&‫ر‬1b ‫ي‬W‫ادن اد ا‬ 2

F′

@

@

3 :  2

-3

( DBFH ) ‫ى‬1‫  ا‬

 M *% ‫ [ و‬HF ]  O ‫ [ و‬DB ]  S [ HB ] ( DH ) // (SM ) :  DBH _"‫ ان  ا‬ ( BF ) // (OM ) : EBH _"‫و ان  ا‬ ( BF ) // ( DH ) : ‫ ان‬A ‫و‬  M ‫ و‬S ‫ و‬O ^‫( اي ا‬OM ) // ( SM ) :  ( BF ) // (OS ) : ‫ادن‬ ( BF ) ⊥ ( EF ) ‫ ( و‬BF ) ⊥ ( FG ) : ‫ ان‬A ‫و‬ ( BF ) ⊥ ( EFGH ) :  (OS ) ⊥ ( EFGH ) : ‫ادن‬ SIJKL ‫م‬4" ‫ع‬d&‫ ( ار‬SO ) A‫و‬ : ‫ أن‬/5 +‫ ا‬pdA ‫ و‬: IJ = 4 2 

@

g ( −1) =

)

@ @

3  "‫ل ا‬B` * E  −1;  :  -c 2  3  E  −1;  ∈ (d ) : ‫ أن‬A ‫و‬ 2 

O

@ @ 36

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

U -‫  ت ااآ ا‬-‫ول ا‬N * QB+5‫و ا‬ ‫ة‬P‫  ا‬,‫ا‬1‫ ا‬35 1‫ ه‬25 * ‫ة‬s7 7‫آ‬l‫ااآ ا‬ 20 20 ‫ ه‬+D1‫ادن ا ا‬ 10×5 +13×10 +12×20 + 9×50 + 6×100 M= :  -3 50 50 +130 + 240 + 450 + 600 M= :  50 1470 M= :  50 M = 29, 4 : ‫ادن‬

 ‫ا  ا‬ x - 3 = 0 ‫' اد‬- -‫ أ‬-1 x = 3 : 3 : 1‫ ه‬1‫ادن ' اد ا‬ 3x -1 = 0 ‫' اد‬- 3x = 1 :

@

1 : x = 3

@

1 : 1‫ ه‬1‫ادن ' اد ا‬ 3

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

‫ا  ا )دس‬ ‫ دي‬QE‫ح ا‬7 ‫ * ا‬y ‫ح ادي و‬7 ‫ * ا‬x *%

50 = 25 : 1‫ ه‬NE‫ ا‬U -‫ ا‬5  2

3x + y = 31  5x + 2 y = 57  y = 31 − 3x  5x + 2 y = 57  y = 31 − 3x  5x + 2 ( 31 − 3x ) = 57  y = 31 − 3x  5x + 62 − 6x = 57  y = 31 − 3x  −x = 57 − 62 = −5

: 

 y = 31 − 3x  x = 5

: 

 y = 31 − 15 = 16  x = 5

: 

:  : 

: 

‫ح‬7 ‫ دراه و * ا‬5 1‫ح ادي ه‬7 ‫ادن * ا‬ . ‫ دره‬16 1‫ دي ه‬QE‫ا‬ ‫ د‬QE‫ ا‬rA ‫د ا‬# a *% ‫ اد‬rA ‫د ا‬# 1‫ ه‬2a :  16 × a + 5 × 2a ≤ 100 :  16a + 10a ≤ 100 :  26a ≤ 100 : 

( x - 3)( 3x -1) = 3x − 4x + 3 : ‫ ان‬,-& ‫ب‬ ( x - 3)( 3x -1) = x × 3x −x ×1− 3× 3x + 3×1: : ( x - 3)( 3x -1) = 3x −x −3x + 3 :‫ادن‬ ( x - 3)( 3x -1) = 3x − 4x + 3 2

100 :  26 a ≤ 3,85 :  a≤

2

2

E ‫ و اد‬3 ‫وز‬/ E ‫ د‬QE‫ ا‬rA ‫د ا‬# A ‫و‬ 6 ‫وز‬/ 9 1‫ي ه‬1 ‫ ا‬rA ‫ع ا‬1/ ‫ادن‬

3x 2 − 4 x + 3 = 0 : -‫ج‬

( x - 3)(

: 

)

3x -1 = 0 :

@ @04æbznßüa@|îz—m 2010@ìîãìí@@@@ñ†Ša‹“Ûa@l‹ÌÛa@@òèu

x - 3 = 0 ‫أو‬

3x -1 = 0 : 1 : x = 3 ‫ أو‬x = 3 1 : ‫ن ه‬B ‫ادن "د‬ 3‫و‬ 3 x -1 2x + 3 x − ≤ : -N‫' اا‬--2 2 2 6 ( x − 1) − ( 2x + 3) ≤ x : 2 6 x − 1 − 2x − 3 x : ≤ 2 6 −x −4 x : ≤ 2 6

‫ا  اول‬ 10 ‫ة‬P‫  ا‬,‫ا‬1 13 1‫ ه‬U  7‫  اآ‬-1 10 1‫ال ا"" ه‬1 ‫ادن‬ +D1‫ ا ا‬-2 100 50 20 10 5 ‫ة‬P‫ا‬

6 × ( −x − 4 ) ≤ 2 × x :

37

06

09

12

13

10

U -‫ا‬

50

44

35

23

10

‫ح ااآ‬

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

x =

(1; −1) : ‫وج‬P‫ ا‬1‫ ه‬X‫ ' ا‬A ‫و‬

  ‫ا  ا‬ :+ ‫ او‬,- ‫ا‬  BA 4/‫زا ذات ا‬VA C ‫رة‬1b ‫ ه‬D ‫* أن‬7-1  BA : 4/‫د زوج إا ا‬-  BA ( x A − x B ; y A − y B ) : 

@

AB =

@

@ @ @ @

BC =

BC =

@

BC =

@

5 2

: 

 2x + y = 1 :  -‫ب‬ 3x − 4 y = 7

× -3  2x + y = 1 :  ×2 3x − 4 y = 7  −6x − 3 y = −3 :  (S 2 ) :  6x − 8 y = 14

(S 2 ) : 

‫ف‬+A 3 *‫ اد‬9/5 −6x − 3 y + 6x − 8 y = −3 + 14 : / 0,1y) ‫أن‬ *: ,-& ( BD ) ‫ ( و‬AC ) *" & J−(11  = 11

:

:

x = −1 + 2 y 7 y = 14

(S 2 ) : 

:

25 4

: 

 x = −1 + 2 y :  ( S 1 ) :  14  y = 7 = 2 x = −1 + 2 × 2 = 3 :  (S 1 ) :  y = 2 ( 3; 2 ) : ‫وج‬P‫ ا‬1‫ ه‬X‫ ' ا‬A ‫و‬

2

@

x = −1 + 2 y 7 y = 12 + 2

(S 1 ) : 

: ‫ادن‬

:

: 

(S 1 ) : 

:

9 +4 4

x = −1 + 2 y −2 + 4 y + 3 y = 12

(S 1 ) : 

2 2 ( x C − x B ) + ( y C − y B ) :  ‫و‬

2  −3  BC =   + ( 2 )  2 

: 

x = −1 + 2 y :  2 ( −1 + 2 y ) + 3y = 12

2

BC =

@

5 2

2 1  BC =  − 2  + ( 2 − 0 ) 2 

@ @

25 4

AB =

@

:  -‫ أ‬-3

( S 1 ) : 

2

@

@

x − 2 y = −1 2x + 3 y = 12 x = −1 + 2 y (S 1 ) :  2x + 3 y = 12

(S 1 ) : 

 −5  AB =   + 0 2 :  2 

@

@

* 7‫آ‬l‫ ا‬-‫اد ا‬#l‫ ا‬9N ‫ ه‬-N‫ل اا‬1" A ‫و‬ -3 ‫أو &وي‬

  −1  :  BA  − 2;0 − 0   2    −5  : ‫ادن‬ BA  ;0   2   CD : 4/‫د زوج إا ا‬-  CD ( x D − x C ; y D − y C ) :    1  :  CD  −2 − ; 2 − 2  2     −5  : ‫ادن‬ CD  ;0   2    CD = BA :  BA 4/‫زا ذات ا‬VA C ‫رة‬1b ‫ ه‬D : A ‫و‬   −5  BA  ;0  :  -2  2 

@

@

−6x − 24 ≤ 2x : −6x − 2x ≤ 24 : −8x ≤ 24 : 24 : x ≥ −8 x ≥ −3 :

2 = 1 : 2

y =

11 = −1 : ‫ادن‬ −11

‫ض‬15 ‫ و‬X‫"* * ا‬bl‫ر إى اد* ا‬5

y = −1 2x + y = 1 : 

: ‫ادن‬

2x + −1 = 1 : 2x = 2 :

@ @

@ @ 38

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

B ∈ ( BD ) : ‫ أن‬A‫و‬ −1 yB = x B + p ′ : ‫ن‬ 2 −1 0 = × 2 + p ′ :  2 :  0 = −1 + p ′ :  1 = p′ −1 ( DB ) : y = x + 1 :‫اذن‬ 2

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

ABCD #A‫ ا‬73 -3   CD = BA : 

‫ع‬B<l‫ازي ا‬1 ABCD :  5 : ‫ أن‬A‫و‬ 2 * ABCD ‫ن‬

AB = BC =

: ,  ‫ ا‬,- ‫ا‬ :‫ ( ه‬AC ) " ‫* أن اد ا ة‬7 -1 y = 2x + 1

−1 x +1 ‫ ( و‬AC ) : y = 2x + 1 :  -3 2 1 m ( DB ) × m ( AC ) = − × 2 = −1 : ‫ ان‬A ‫و‬ 2 ( AC ) !"# ‫دي‬1# ( DB ) : ‫ن‬

(AC) ‫د اد ا ة ل‬- (A C ) : y = mx + p : 9J :m ‫د‬- C ∈ ( AC ) ‫ و‬A ∈ ( A C ) : ‫ أن‬A‫و‬

( DB ) : y =

yC − y A xC − x A 2−0 m= 1 −1 − 2 2 2 m= 1 ( AC ) : m=

( BD ) ‫ ( و‬AC ) *" & J ( 0,1) ‫ * أن‬,- -4 ( AC ) : y = 2x + 1 :  y J = 2x J + 1 :

1 = 2 × 0 + 1 ‫ى‬: 1=1 : ( AC ) " & J ( 0,1) : ‫ادن‬ −1 ( DB ) : y = x + 1 :  2 −1 y J = x J + 1 : 2 −1 1 = × 0 + 1 : 2 1=1 : ( BD ) " & J ( 0,1) : ‫ادن‬

M *%

 x + xC y A + yC M A ; 2 2   −1 1   2 + 2 0+2 M ;  2   2   M ( 0;1)

  :  

[ BD ] 

: : ‫اذن‬ y = 2x + p :a‫و‬

:p ‫د‬- A ∈ ( A C ) : ‫ أن‬A‫و‬ : ‫ن‬ y A = 2x A + p −1 +p 2 0 = −1 + p 1= p

0 = 2×

: 

:  :  ( AC ) : y = 2x + 1 :‫اذن‬

‫ ا‬pd5 4 [ BD ] ‫ [ و‬AC ] *+‫* أن ا‬7-5

[ AC ] 

: ‫ن‬

:‫ ( ه‬BD ) " ‫* أن اد ا ة‬A -2 1 y = − x +1 2

( BD ) ‫د اد ا ة ل‬- ( BD ) : y = m ′x + p ′ : 9J

:

: m ′ ‫د‬- B ∈ ( BD ) ‫ و‬D ∈ ( BD ) : ‫ أن‬A‫و‬

: ‫ادن‬

yB − yD xB −xD 0−2 m′ = 2 − −2 −2 −1 m′ = = 4 2 −1 : y = x + p′ 2 : p′ m′ =

N *%

x +xD yB + yD  N B ;  :  2 2  

@

( BD )

@

@ @ 39

: ‫ن‬ : : ‫اذن‬ :a‫و‬ ‫د‬-

@รฏรbโรง@โกรbโ@@Zห@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@รฒzzโร@รฒiรฌรจu@รฆbรฃbznรa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbรฎลกbรญโนรa@ร@รฐรฌรจยงaa@โกรbยยพa @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

( 3;3)

1โซ ( ูโฌ3;3) โซุงุชโฌEโซ ุฐุงุช ุงโฌ+โซ ุงู ุง ุงุฑ * ุงโฌA โซูโฌ (d 2 )

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

โซ ุงโฌpd5 4 [ BD ] โซ [ ูโฌAC ] *+โซ ุงโฌA โซูโฌ

(d 2 )

1โซ ูโฌh '& โซุงุฏูโฌ dโซ ุงุง ุงโฌg  "โซ' ุงโฌbโซ  * ุงโฌE  1โซ ูโฌ4"  g (0) = 0 + 2 = 2 โซ ุงูโฌA โซูโฌ ( 0;2) โซุงุชโฌEโซ ุฐุงุช ุงโฌ+โซ  ุงโฌg '& โซ ุงูโฌ

M =N =J

-6 J โซ ุงโฌpd5 4 [ BD ] โซ [ ูโฌAC ] *+โซ ุงโฌ โซุนโฌB<lโซุงุฒู ุงโฌ1 ABCD : ( AC ) !"# โซุฏูโฌ1# ( DB ) : โซ ุงูโฌA โซูโฌ

1โซ ( ูโฌ0;2) โซุงุชโฌEโซ ุฐุงุช ุงโฌ+โซ ุงู ุง ุงุฑ * ุงโฌA โซูโฌ (d 3 )

( BD ) โซ ( ูโฌAC ) *" & J โซูโฌ

 โซ ุงูโฌABCD โซุนโฌB<lโซุงุฒู ุงโฌ1โซู ุงโฌ+Q โซ ุฃูโฌ 4d  * ABCD โซุงุฏูโฌ โซุง  ุง ุงโฌ +` โซ ุฏุงโฌf  -โซ ุฃโฌ-1 f ( x ) = ax : 

(d 3 )

1โซ ูโฌg '& โซุงุฏูโฌ f ( a ) = g ( a ) = h ( a ) : ,- โซูโฌWโซ ุงโฌa โซูโฌ1 Eโซ ุงโฌ-3 Bโซ ุงุช ุงโฌ93& +5 โซูโฌ1 โซ ุฃโฌ1โซูโฌ 2 โซูโฌ1 Eโซ ุฐุงุช ุงโฌ+โซ  ุงโฌ93& โซ ุงุชโฌ57 2 โซ ูโฌa โซ ุงุฏโฌQ A โซูโฌ  โซุง  ุงโฌ ( AS ) โฅ (SB ) โซ ( ูโฌAS ) โฅ (SC )  -1 S  93

@ @

๏ฃซ 2 + โ2 0 + 2 ๏ฃถ N๏ฃฌ ; ๏ฃท : 2 ๏ฃธ ๏ฃญ 2 N ( 0;1) : โซุงุฏูโฌ

โซุงุชโฌEโซ ุฐุงุช ุงโฌ+โซ  ุงโฌh '& โซ ุงูโฌ

SABC

f (x ) :  x f (2) a= :  2 4 a = = 2 :  2 f (x ) = 2x : โซุงุฏูโฌ dz& โซ ุฏุงโฌh  -โซุจโฌ h ( x ) = mx + b :  a=

(SB ) โซ( ูโฌSC ) โซ ุงูโฌA โซูโฌ ( AS ) โฅ (SBC ) :  โซูโฌ4" โซุนโฌd&โซ ( ุงุฑโฌAS ) :โซุงุฏูโฌ

1 V SABC = ร SA ร S SBC :  3 1 6ร 6 : V SABC = ร 6 ร 3 2 V SABC = 36cm 3 : โซุงุฏูโฌ

m : โซุฏโฌ- h (4) โ h (2) m= : โซ ุงูโฌA 4โ2 โ2 m= = โ1 :  2 h ( x ) = โ1x + b : โซุงุฏูโฌ

AB \$--2 S  โซุงูโฌPโซ ุงโฌCQ _" SAB  โซุฉโฌs7โซุฑุณ ุงโฌ1ย โซูโฌ7 \$  AB 2 = SA 2 + SB 2 :  2 2 2 AB = 6 + 6 :  2 AB = 72 :  AB = 72 = 6 2 : โซุงุฏูโฌ BC = 6 2 โซ ูโฌAC = 6 2 : /5 +โซ ุงโฌpdA โซูโฌ 6 2 a"< โซูโฌ13 โซุนโฌB<lโซ ูู ุงโฌABC _"โซ ุงโฌA โซูโฌ AB = AC  -โซโุฃโฌ3 [ BC ] ^Dโซ & ุฅ! ูุงโฌA 

b :โซุฏโฌ- h (3) = 3 : A โ1ร 3 + b = 3 : โ3 + b = 3 : b = 3 + 3 = 6 : h (x ) = โx + 6 : โซุงุฏูโฌ +` โซ ุฏุงโฌf  -2

"โซ' ุงโฌbโซ  * ุงโฌ4"& โซ ุงูโฌ f '& 1โซ( ูโฌd1 ) โซุงุฏูโฌ dโซ ุงุง ุงโฌh  "โซ' ุงโฌbโซ  * ุงโฌE  1โซ ูโฌ4"  h (3) = 3 โซ ุงูโฌA โซูโฌ

[ BC ]  H โซ ุฃูโฌA โซูโฌ [ BC ] ^Dโซ ( ูุงโฌAH ) : 

@

@ @ 40

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

H  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" AHB :  ‫ة‬s7‫رس ا‬1 ‫ه‬7 \$  2 2 AH + BH = AB 2 :  2 2 2 AH = AB − BH : 

@ @@05æbznßüa@|îz—m @2009@ìîãìí@@@@@ñ‡jÇ@@òÛb×†@@òèu ‫ا  اول‬ 2x + 5 y = 130  x + y = 35 2x + 5 y = 130  x = 35 − y

2 ( 35 − y ) + 5 y = 130  x = 35 − y 70 − 2 y + 5 y = 130  x = 35 − y 70 + 3 y = 130  x = 35 − y 3 y = 130 − 70  x = 35 − y 3 y = 60   x = 35 − y

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

:  : ‫ادن‬ ABC : _"‫  ا‬-‫ب‬

AH × BC 2 3 6 ×6 2 S ABC = 2 18 12 S ABC = 2 S ABC = 9 12

S ABC =

:  :  : 

:  :  :  : 

S ABC = 9 4 × 3 = 18 3 : ‫ادن‬ SABC ‫م‬4" ‫ع‬d&‫ ار‬SK  -4 1 V SABC = × Sk × S ABC :  3 V SABC = 36cm 3 : ‫ ان‬A‫و‬ 1 × SK × S ABC = 36 :  3 SK × S ABC = 36 × 3 :  36 × 3 SK = :  S ABC 36 × 3 SK = :  18 3 2×3 SK = :  3 6 SK = :  3 6× 3 SK = :  3× 3

‫د‬# y ‫ * | دره* و‬9+‫د اا‬# 1‫ ه‬x *%-‫ب‬ ‫ دراه‬5 | * 9+‫ا‬ : 

1‫ ه‬,A‫ اال ا‬\$ X‫@ ا‬W‫ ان ' ه‬A‫و‬

+Q 15 1‫ * | دره* ه‬9+‫د اا‬# A ‫و‬ +Q 20 1‫ دراه ه‬5 | * 9+‫د ا‬# ‫و‬

:  : 

AH = 3 6

: 

@

: 

AH = 54 = 27 × 2 = 32 × 3× 2

60  = 20 y = :  3  x = 35 − y = 35 − 20 = 15 (15; 20 ) : ‫وج‬P‫ ا‬1‫ ه‬X‫ادن ' ا‬

2x + 5 y = 130  x + y = 35

2

AH 2 = 72 −18 AH 2 = 54

: 

y = 20  x = 15

@

2

: 

@ @

( ) ( )

AH 2 = 6 2 − 3 2

:  -‫ أ‬-1

2 x + 4 ≤ 2x -N‫' اا‬- -2 3 2 x − 2x ≤ −4 :  3 2 6 x − x ≤ −4 :  3 3 −4 x ≤ −4 :  3 −4 :  x ≥ −4 3 3 :  x ≥ −4 × −4

6× 3 3 SK = 2 3

SK =

41

:  : ‫ادن‬

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

7‫آ‬l‫ ا‬-‫اد ا‬#l‫ ا‬9N ‫ ه‬-N‫ل اا‬1" A ‫و‬ 3 ‫* {و &وي‬

2

@ @ @ @

g ( x ) = mx + b : 

'‫ا‬-‫ أ‬-3

m : ‫د‬- g (0) − g (−6) m= : ‫ ان‬A 0 − −6 4−0 2 m= = :  6 3 2 g ( x ) = x + b : ‫ادن‬ 3 b :‫د‬- g (−6) = 0 : A 2 × −6 + b = 0 : 3 −4 + b = 0 : b = 4 : 2 g ( x ) = x + 4 : ‫ادن‬ 3 f ( x ) = 2x :  -‫ ا‬-2

Y

@

@ @

2 J O

I 2

4

X

@ @ @ @ @ @

@. @ @ @ @ @ @ @

f (x ) :  x

f (1) = 2 :  f (1) a= :  1 2 a = = 2 :  1 f (x ) = 2x : ‫ادن‬ dz& ‫ دا‬g  -‫ب‬

@

@

5

I (1; 2 ) +‫  * ا‬f ‫ ل‬57‫ا' ا‬: ‫ ان‬A

@

@

4

a=

2 x + 4 = 5 :  3 3 :  x = 2 3 1‫ اد ه‬A ‫و‬ 2

@

3

 ‫ا  ا‬ +` ‫ دا‬f  -1 f ( x ) = ax : 

g ‫ا‬A 5 a&‫ر‬1b ‫ي‬W‫ اد ا‬1‫ ه‬x *% g ( x ) = 5 : 

@

@

x ≥ 3 :

2 x + 4 = 5 ‫' اد‬- -‫ب‬ 3 2x 12 15 + = :  3 3 3 2x + 12 15 = : 3 3 2x + 12 = 15 : 2x = 15 − 12 : 2x = 3 : 3 x = : 2 3 1‫ ه‬1‫ادن ' اد ا‬ 2

@

‫ر‬1- 9 g ‫ "ا‬57‫ ا' ا‬93& +5 ‫ل‬1 ‫ أ‬-‫ب‬ -6 1‫' ه‬bE‫ا‬ 2 x + 4 = 2x ‫' اد‬- -‫ أ‬-4 3 2x 12 6x : + = 3 3 3 2x + 12 = 6x :

+D1‫ي ا ا‬1-

 ‫ا‬ f ( 2)‫ي‬W‫ا‬ = 2× 2 : ‫د‬ f ( 2) = 4

: ‫ادن‬

2 x + 4 :  3 2 g (3) = × 3 + 4 :  3 g (3) = 2 + 4 = 6 : ‫ادن‬ g (x ) =

4x = 12 : x = 3 : 3 1‫ادن ' اد ه‬

@

@ @ 42

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

I ‫ ه‬T ‫زا‬VA A ‫رة‬1b  -‫ أ‬-2 B ′ ‫ه‬T ‫زا‬VA B ‫رة‬1b  ‫و‬ C ′ ‫ه‬T ‫زا‬VA C ‫رة‬1b ‫و‬ IB ′C ′ _"‫ ا‬1‫ه‬T ‫زا‬VA ABC _"‫رة ا‬1b ‫ادن‬ ˆ ‫او‬P‫رة ا‬1b  -‫ب‬ ˆ ′ ‫ ه‬BAC B ′IC

2 x + 4 = 2x :  - ‫ب‬ 3 g ( x ) = f ( x ) : 93‫ ا‬+5 ‫ل‬1 ‫ ه أ‬x = 3 Q : g ( 3) = 6 :  ‫و‬

( 3;6) : ‫ ه‬93‫ ا‬+5 ‫ادن إا‬

4& ‫زا ه زاو‬A ‫رة زاو‬1b ‫" أن‬5 ‫و‬ ˆ = 90° :‫ أن‬A‫و‬ BAC ˆ ′ = 90° : ‫ن‬ B ′IC  ‫ا  ا‬ -‫أ‬-1

  ‫ا  ا‬

[80;100[ [60;80[ [ 40;60[ [ 20; 40[ [0; 20[

B (1;7 )

y

@ @ @ @ @

C ( −1;3)

8

16

10

4

U -‫ا‬

40

38

30

14

4

90

70

50

30

10

‫ح‬ ‫اآ‬ P‫آ‬

 ‫ا‬

@

O

@

x

I

@ @ @

[ AB ] 

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

[ 40;60[

1‫ال ا"" ه‬1 ‫ادن‬

10× 4 + 30×10 + 50×16 + 70×8 + 90× 2 :  -2 40 40 + 300 + 800 + 560 +180 M= :  40 1880 M= :  40 M = 47 : ‫ادن‬ 40 = 20 : 1‫ ه‬NE‫ ا‬U -‫ ا‬5  -3 2

A ( 3;1)

J

 " ,‫ا‬1 16 1‫ ه‬U  7‫  اآ‬- b

M=

@ @

 ‫ا‬

2

[ 40;60[

M ( 2; 4 )

a -1

[ AB ] 

N *% -‫ب‬

x +xA yB + yA  N B ;  :  2 2    1+ 3 7 +1  N ;  :  2   2 N ( 2;4) : 

U -‫  ت ااآ ا‬-‫ول ا‬N * QB+5‫و ا‬

 " ,‫ا‬1‫ ا‬30 1‫ ه‬20 * ‫ة‬s7 7‫آ‬l‫ااآ ا‬

[ 40;60[

[ 40;60[  ‫ <* ا‬N1& +D1‫ ا ا‬A ‫و‬ ‫ا  ا ا‬

M : A ‫ و‬N = M : 

AM ‫ و‬OA : \$- -‫ أ‬-2 OA =

(x A − xO ) + ( y A − yO )

OA =

( 3 − 0) + (1 − 0 )

2

2

2

:

2

B′

: : ‫ادن‬

OA = 9 + 1 OA = 10

AM =

(x M

−xA ) +(yM − yA )

AM =

( 2 − 3) + ( 4 − 1)

AM = 1+ 9 A M = 10

: 

2

2

2

2

B

:  : I

: : ‫ادن‬

@

A

@ @ 43

C′ C

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

B ∈ ( A B ) : ‫ أن‬A‫و‬ : ‫ن‬ y B = − 3x B + p ′ :  7 = −3 × 1 + p ′ :  7 = −3 + p ′ :  10 = p ′

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

( AB ) : y

( AB ) : y

 OA : 4/‫د زوج إا ا‬- -‫ب‬  OA ( x A − x O ; y A − y O ) :   OA ( 3 − 0;1 − 0 ) :   OA ( 3;1) : ‫ادن‬  CM : 4/‫د زوج إا ا‬-  CM ( x M − x C ; y M − y C ) :   :  CM ( 2 − −1; 4 − 3)  CM ( 3;1) : ‫ادن‬

= −3x + 10 :‫اذن‬ 1 3

= −3x + 10 ‫( و‬OA ) : y = x :  -‫ج‬ 1 m ( AB ) × m (OA ) = −3 × = −1 : ‫ ان‬A ‫و‬ 3 (OA ) !"# ‫دي‬1# ( AB ) : ‫ن‬

(OA ) ‫د اد ا ة ل‬-- ‫ أ‬-3 (OA ) : y = mx + p : 9J

‫ا  ا )دس‬ B +" 7A B ′ +‫ ه " ا‬S  -‫أ‬-1 SB ′ = 2 × BB ′ : SB ′ = 2 × BB ′ = 2 × 6 = 12cm : ‫ادن‬ B ′  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" SA ′B ′  -‫ب‬ ‫ة‬s7‫رس ا‬1 ‫ه‬7 \$  2 SA ′ = A ′B ′2 + SB ′2 :  2 2 2 SA ′ = 6 + 12 :  2 SA ′ = 36 + 144 :  SA ′ = 36 +144 = 180 = 6 5 : ‫ادن‬ ′ ′ SA B _"‫   ا‬-‫ج‬ ( IB ) // ( A ′B ′) ‫[ و‬SB ′]  B

O ∈ (OA ) yO − y A xO − x A 0 −1 m= 0−3 −1 1 m= = −3 3 m=

V ABCDA ′B ′C ′D ′ = 6

3

: ‫ن‬ : : ‫اذن‬

(OA )

1 yO = x 0 + p 3 1 0 = ×0+ p 3 0= 0+ p 0= p

:  -‫ أ‬-2 : : ‫ادن‬

V ABCDA ′B ′C ′D ′ = 216cm 3 1 V SA ′B ′C ′ = × SB ′ × S A ′B ′C ′ :  -‫ب‬ 3 1 6× 6 V SA ′B ′C ′ = ×12 × : 3 2 V SA ′B ′C ′ = 72cm 3 : ‫ادن‬ SB 6 1 k = = = :  -‫ أ‬-3 SB ′ 12 2 1 ‫ ا  ه‬75 A ‫و‬ 2 V SIBJ = k 3 ×V SA ′B ′C ′ :  -‫ب‬

(OA )

: ‫ن‬ :  :  :  :

1 y = x :‫اذن‬ 3

( AB ) ‫د اد ا ة ل‬- ( AB ) : y = m ′x + p ′ : 9J : m ′ ‫د‬- B ∈ ( AB ) ‫ و‬A ∈ ( AB ) : ‫ أن‬A‫و‬

yB − yA : ‫ن‬ xB −xA 7 −1 : m′ = 1− 3 6 m′ = = −3 : ‫اذن‬ −2 : y = −3x + p ′ :a‫و‬ m′ =

3

V SIBJ

1 y = x + p :a‫و‬ 3

:

:p ‫د‬- O ∈ (OA ) : ‫ أن‬A‫و‬

‫ازي‬1‫ "_ و ا‬9"<  * ‫" ان ا ار‬5‫و‬ ad   'A‫ ا‬9"J‫ ا‬9+ _‫ ا‬9"J‫' ا‬- [SA ′]  I : ‫ادن‬ V ABCDA ′B ′C ′D ′ = AB 3

‫ و‬A ∈ (OA )

:m ‫د‬- : ‫ أن‬A‫و‬

1 =   × 72 = 9cm 3 : ‫ادن‬ 2

( AB)

@ @

: p ′ ‫د‬-

@ @ 44

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @

‫ض‬15 ‫ و‬X‫"* * ا‬bl‫ر إى اد* ا‬5

@ @@@06æbznßüa@|îz—m @2009@ìîãìí@@@@@òîÓ‹“Ûa@@òè§a

y =2

@

3x + 2 y = 1 : 

@

3x + 2 × 2 = 1 3x + 4 = 1 3x = −3 −3 x = = −1 3

@ @ @ @

:

@

( −1; 2 ) : ‫وج‬P‫ ا‬1‫ ه‬X‫ادن ' ا‬

@

 ‫ا  ا‬ '%)‫ا‬-1 '%)‫ا‬-2

@ @ @

‫ا  اول‬ 7x + 5 = 3x + 2 : ‫' اد‬- -1 7x − 3x = 2 − 5 :  4x = −3 :

: : :

x =

−3 1‫ ه‬1‫ادن ' اد ا‬ 4

A = ( 3x + 8 ) − 16 ‫ ا‬7‫ أ – ' ا‬-2 2

A = ( 3x + 8 ) − 4 2

B

: A = ( ( 3x + 8 ) − 4 ) ( ( 3x + 8 ) + 4 ) : A = ( 3x + 4 )( 3x + 12 ) :‫ادن‬

D

@ @

( 3x + 8 )

@ @ A

C

@ @ @ @ @ @ @

E

( AE ) ‫ازي ا‬1 ( BC ) ‫* أن ا‬7 -‫ أ‬-3

@ @

DE = 2DC : DE = 2AB : ‫ادن‬

@

  ‫ا  ا‬ +‫  ا‬E +‫د زوج اا ا‬- -1

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

2

− 16 = 0 : 

−4 −12 ‫ {و‬x = = −4 :  3 3 −4 ‫ و‬−4 : ‫ن ه‬B ‫ "د‬A‫و‬ 3 3x + 5 ≤ 2 ( x + 3) : -N‫' اا‬- -3 x =

B ‫ل‬1-& ‫زا ا‬VA C +‫رة ا‬1b E +‫ ا‬:  A !‫إ‬   BA = CE : ‫ع‬B<l‫ازي ا‬1 ABCE : ( AE ) ‫ازي ا‬1 ( BC ) : ‫ادن‬    AD = AB + AC :  -‫ب‬ ‫ع‬B<l‫ازي ا‬1 : ABDC    BA = DC : ‫ادن‬   BA = CE : ,A‫ اال ا‬\$ "5 ‫و‬   DC = CE : ‫اي‬ [ DE ] C :

= 16 : ‫] " اد‬-‫ب‬

,A‫ق * اال ا‬B+5‫و ا‬ ( 3x + 4 )( 3x + 12 ) = 0 : :  3x + 4 = 0 ‫ {و‬3x + 12 = 0 :  3x = −4 ‫ {و‬3x = −12

@ @

2

( 3x + 8)

@ @

:

2

@

@

−3 4

:  : :  bl‫ ا‬-‫اد ا‬#l‫ ا‬9N ‫ ه‬-N‫ل اا‬1" ‫ادن‬ .1 ‫* {و وي‬ 3x + 5 ≤ 2x + 6 3x − 2x ≤ 6 − 5 x ≤1

6 x + 7 y = 8 :X‫ ا‬7N '- -4  3x + 2 y = 1

+‫ ا‬dz‫ ا‬3 ‫ل‬DA  6x + 7 y = 8  3x + 2 y = 1 −6x − 7 y = −8  6 x + 4 y = 2

[JB ]

× -1 :  ×2

: 

‫ف‬+A 3 *‫ اد‬9/5 −6x − 7 y + 6x + 4 y = −8 + 2 : / :  −3 y = − 6

x +xJ yB + yJ  E B ;  :  2  2   −4 + 0 3 + 1  E ;  :  2   2

y =

45

−6 = 2 : ‫ادن‬ −3

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @

m=

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @

x g(x)

yJ − yB xJ −xB 1− 3 m= 0 − −4 −2 −1 m= = 4 2

O

( JB )

@

@ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

=

−1 x +1 ‫و‬ 2

: ‫ن‬ :  :  :  y =

:

(D ) : y

−1 x + 1 :‫اذن‬ 2

= 2x + 6 :  -‫ أ‬-3

−1 = −1 : ‫ ان‬A ‫و‬ 2 ( D ) !"# ‫دي‬1# ( JB ) : ‫ن‬

[JB ] +‫^ ا‬D‫ ( وا‬D ) ‫* ان ا‬7-‫ب‬ [JB ]  E ( −2;2) *  ( D ) ‫ * أن‬,-

@

@

−1 x + p :a‫و‬ 2

m ( JB ) × m ( D ) = 2 ×

x

@

@

y =

:

−1 xJ + p 2 −1 1= ×0+ p 2 1= 0+ p 1= p

( JB ) : y I

: ‫اذن‬

yJ =

M (1; 2)

@

:

:p ‫د‬- J ∈ (JB ) : ‫ أن‬A‫و‬

@

J

: ‫ن‬

( JB )

@

@

:

m=

M (1; 2) ∈ ( ∆) ‫ و‬O (0;0) ∈ ( ∆ ) : ‫اذن‬ Y (∆ )

@

1 y = − x +1 2 y = mx + p : 9J

:m ‫د‬- B ∈ ( JB ) ‫ و‬J ∈ ( JB ) : ‫ أن‬A‫و‬

‫ ' اا‬g *% -2  0 1 0 2

@

@

( JB )

b :‫د‬- f (1) = 1 : A −1 + b = 1 : b = 1 + 1: b = 2 : f ( x ) = −x + 2 : ‫ادن‬

@

@

‫ ( ه‬JB ) " ‫* ان اد ا ة‬7 - 2

f (0) − f (1) : ‫ ان‬A 0 −1 2 −1 1 m= = = −1 :  −1 −1 f ( x ) = −x + b : ‫ادن‬

@

@

E ( −2;2) : ‫ادن‬

dz& ‫ دا‬f  f ( x ) = mx + b :  m : ‫د‬-

@

:  2 = 2 × −2 + 6 :  2 = −4 + 6 :  2=2 :  [JB ]  * E ( −2;2)  ( D ) : ‫ادن‬ ( D ) 9  ( JB ) : ‫ ان‬A ‫و‬ [JB ] +‫^ ا‬D‫ ( وا‬D ) : ‫ن‬ ‫ا  ا ا‬ f ( 2 ) = 0 ‫ و‬f ( 0 ) = 2 : '‫ل ا‬B` *  -‫أ‬-1 a = 1 : ‫ ه‬a Q -‫ب‬ f ( x ) = −x + 2 ‫ ه‬f ‫  اا‬b ‫* أن‬7 -‫ج‬ y E = 2x E + 6

‫ل‬1 ‫ أ‬1‫ ه‬f (x ) = g ( x ) ‫ "د‬57‫' ا‬-‫ ا‬-‫ب‬ 0, 6 7‫ ا‬aQ ‫ و‬93‫ ا‬+5  ‫ا  ا‬ x = 4 ‫ * ان‬,- -1 "A 30 ‫ت‬BA‫ع ا‬1/  5 + 11 + x + 2x + 2 = 30 :  3x + 18 = 30 :  3x = 30 − 18 :  3x = 12 :  x =

12 =4 3

: ‫ادن‬

46

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

‫ا  اول‬ 3 ( 5x − 2 ) − 2 = 7x : ‫' اد‬- -1 3 ( 5x − 2 ) − 2 = 7x :  15x − 6 − 2 = 7x :  15x − 8 = 7x :  15x − 7x = 8 :  8x = 8 : 

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@

x = 1 − y  3x − 2 y = 8

: 

@

x = 1 − y  3 (1 − y ) − 2 y = 8

: 

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

0 5 5

‫هاف‬E‫د ا‬# ‫ت‬BA‫د ا‬# ‫ ااآ‬U -‫ا‬

2

2

2 V = 3,14 ×   × 10 : 2 : ‫ادن‬ V = 31, 4cm 3 AO ′ ‫ ا‬\$- -‫ب‬ O  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" OAO ′ 

:X‫ ا‬7N '- -3

x = 1 − y  3 − 3 y − 2 y = 8 x = 1 − y   −5 y = 8 − 3

1 11 16

 AB  V = π ×  × OO ′ :   2 

−5 ‫أو وي‬ 2

x + y = 1  3x − 2 y = 8

2 4 20

U -‫  ت ااآ ا‬-‫ول ا‬N * QB+5‫و ا‬  ,‫ا‬1‫ ا‬16 1‫ ه‬15 * ‫ة‬s7 7‫آ‬l‫ااآ ا‬ 1 ‫ة‬P‫ا‬ 1 ‫ ه‬+D1‫ادن ا ا‬ ‫ا  ا )دس‬ 5‫ا‬1+DE‫ ا‬/V \$- ‫ أ‬-1

* 7‫آ‬l‫ ا‬-‫اد ا‬#l‫ ا‬9N ‫ل اد ه‬1" : ‫إذن‬

@ @

3 8 28

30 = 15 : 1‫ ه‬NE‫ ا‬U -‫ ا‬5  -3 2

11‫ "د ' و ه‬: A‫و‬ 12x + 5 ≥ 8x − 5 : -N‫' اا‬- -2 12x + 5 ≥ 8x − 5 : 12x − 8x ≥ −5 − 5 :  4x ≥ −10 :  −10 x ≥ :  4 −5 x ≥ :  2

@ @

4 2 30

8 x = = 1 : ‫ادن‬ 8

@ @

5×0 +11×1+ 4×2 +8×3+ 2× 4 :  -2 30 0 +11+8 + 24 +8 M= :  30 51 M= :  30 M =1,7 : ‫ادن‬ M=

@ @@@07æbznßüa@|îz—m @2009@ìîãìí@@@@òÇŠ†@òbß@‘ì@@òèu

‫ة‬s7‫رس ا‬1 ‫ه‬7 \$  AO ′ = OA 2 + OO ′2 :  2 2 2 AO ′ = 1 + 10 :  2 AO ′ = 101 :  AO ′ = 101 : ‫ادن‬ 2 V ′ = π × r × h :  -2 2

: 

V ′=

: 

V :  ‫و‬ 4

2

 AB   ×h 2  2  π ×r ×h = 4 2 π ×1 × h π ×r2 ×h = 4 π × h/ π/ × r 2 × h/ = / 4 1 r2 = 4 1 1 r= = 4 2

π ×

x = 1 − y :   −5 y = 5  x = 1 − −1 = 2  :   5  y = −5 = −1 ( 2; −1) : ‫وج‬P‫ ا‬1‫ ه‬X‫ادن ' ا‬

 ‫ا  ا‬ 20 ‫ة‬P‫  ا‬,‫ا‬1 121‫ ه‬U  7‫  اآ‬-1 20 1‫ال ه‬1‫ادن ا‬ 47

:  :  :  :  : ‫ادن‬

@รฏรbโรง@โกรbโ@@Zห@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@รฒzzโร@รฒiรฌรจu@รฆbรฃbznรa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbรฎลกbรญโนรa@ร@รฐรฌรจยงaa@โกรbยยพa @

aN1โซ ุง' ุงโฌpd5 4  a = 3 :  g ( x ) = 3x : A โซูโฌ โซุง  ุง ุงโฌ ( โ ) โซ & ุง! ุงโฌA +โซ ุงโฌ:  -1

@ @ @ @ @ @

@ @ @ @

 AB :

@ @

4/โซุฏ ุฒูุฌ ุฅุง ุงโฌ- -2  AB ( x B โ x A ; y B โ y A ) :   AB ( โ1 โ 2;3 โ 2 )  AB ( โ3;1)

@ @ @ @

AB =

@ @ @ @ @ @ @ @ @

Y

@ @

C (1;5)

@ @

M ( 0;3)

@

@ @ @ @

2 2 ( โ3) + (1) : 

x=

:  : โซุงุฏูโฌ

:  -3 :  : 

โ3 = โ1 :  3

-1 1โซ ุงุฏ ูโฌA โซูโฌ X  "  f โซ ) โ ( "ุงโฌ57โซ ุง' ุงโฌ-โซุฌโฌ  x 0 -1 4 1 f (x ) B ( โ1;1) โซ ูโฌA ( 0; 4 ) *+โซ ) โ (  * ุงโฌ:โซุงุฐูโฌ

-3

Y A

( โ ) โซ & ุง! ุงโฌA โซ" ุงูโฌ5 โซูโฌ ( AM ) 1โซ ) โ ( ูโฌA โซูโฌ

@

@

: โซุงุฏูโฌ AB \$-

x = 0 'Nโซ * ุงโฌ:  โ1 y = ร 0 + 3 :  2 y = 3 : M ( 0;3) +โซ ุงู ) โ (  * ุงโฌ

@

@

: 

AB = 9 +1 A B = 10 โ1 y = x + 3 : 2

@

20 12

: โซุงุฏูโฌ   โซุง  ุงโฌ f (x ) = 3x + 4 :  -โซ ุฃโฌ-1 f (0) = 3 ร 0 + 4 :  f (0) = 4 : โซุงุฏูโฌ f โซุงโฌA 1 a&โซุฑโฌ1b โซูโฌWโซ ุงุฏ ุงโฌ1โซ ูโฌx *% -โซุจโฌ f (x ) =1 :  3x + 4 = 1 :  3x = 1 โ 4 :  :  3x = โ3

2=2 : ( โ ) โซ & ุง! ุงโฌA +โซ ุงโฌ: A โซูโฌ

@

25 2

12ร20 + 2ร25 + 7ร30 + 50ร4 25 240 + 50 + 210 + 200 M= 25 700 M= 25 M = 28

โ1 x A + 3 :  2 โ1 2 = ร 2 + 3 :  2 2 = โ1 + 3 : 

@

30 7

M=

yA =

@

@

50 4

-2 dh โซุงู ุจโฌ WBโซุฏ ุงโฌ#

B

( โโฒ)

J

O

I

x

A ( 2, 2 )

B ( โ1, 3 )

J O

I

(โ)

x

+` โซ ุฏุงโฌg  -2

g ( x ) = ax : 

( D ) // ( โ ) : โซ ุงูโฌA โซูโฌ

@

@ @ 48

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

:  2 h × 15 ≤ 2034, 72 : 

@

2034, 72 152 2034, 72 h≤ 225 2034, 72 h≤ 152 h ≤ 9, 04 h≤

@ @ @ @ @ @ @ @

 y = x + 150  5x = y + 10

@ @ @ @ @ @ @

 y = x + 150  4x = 160  y = x + 150   160 x = 4 = 40  y = 40 + 150 = 190  x = 40

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

15 14

13 12 11 10

−1 = −1 2 −1 2 = = −1 × =2 −1 −1 2 (D ) :

: 

m (D )

5

25 19

4

5

3

2

14 10

5

2

: ‫اذن‬ y = 2x + p :a‫و‬

:p ‫د‬- B ∈ ( D ) : ‫ أن‬A‫و‬ y B = 2x B + p : ‫ن‬ 3 = 2 × −1 + p :  3 = −2 + p :  5= p :  ( D ) : y = 2x + 5 :‫اذن‬ O ‫ل‬1-& ‫ ا‬T ‫زا‬VA A +‫رة ا‬1b C  -5 B !‫إ‬   A C = OB : 

:  :  : 

x C − x A = x B − x O :   y C − y A = y B − y O x C − 2 = −1 − 0 :   y C − 2 = 3 − 0

:  : 

x C  y C x C  y C

‫ا  اول‬ -1 (‫ات‬1A) ‫ة‬P‫ا‬

= −1 + 2

: 

= 3+ 2

=1

: ‫ادن‬

=5

C (1;5) : A ‫و‬ V (C ) = 2 ×V (C1 ) 3

6

:

m (D ) ×

@ @@@08æbznßüa@|îz—m @2008@ìîãìí@@@@òÇŠ†@òbß@‘ì@@òèu

@

@

: 

190 1‫ ه‬\$%‫د ا‬#‫ و‬40 1‫ ه‬7"+‫د ا‬# ‫ادن‬

@

:m ‫د‬- : ‫ أن‬A‫و‬ : ‫ن‬

m ( D ) × m ( ∆ ) = −1

: 

 y = x + 150  5x = ( x + 150 ) + 10  y = x + 150  5x = x + 160

y = mx + p : 9J -4

:

(D ) ⊥ (∆)

: 

:  9 ‫وز‬/& ‫ أن‬\$/ E h Q A ‫و‬ ‫ا  ا )دس‬ \$%‫د ا‬# y ‫ و‬7"+‫د ا‬# x *%

@

@

(D )

V ABCDEFGH ≤V (C )

@

‫د‬#) U -‫ا‬ (‫ء‬J#l‫ا‬ ‫ح ااآ‬

 ‫ا  ا‬ :  -1 2

6 V (C ) = 8 × 3,14 ×   × 9 :  2 V (C ) = 8 × 3,14 × 9 × 9 :  V (C ) = 2034, 72m 3

50 = 12,5 : 1‫ ه‬NE‫ ا‬U -‫ ا‬5  2

: ‫ادن‬

ABCDEFGH +Q \$--‫ أ‬-2

U -‫  ت ااآ ا‬-‫ول ا‬N * QB+5‫و ا‬  ,‫ا‬1‫ ا‬14 1‫ ه‬12,5 * ‫ة‬s7 7‫آ‬l‫ااآ ا‬ 13 ‫ة‬P‫ا‬ 13 ‫ ه‬+D1‫ادن ا ا‬

AG = 152 + 152 + 102

:  A G = 225 + 225 + 100 :  : ‫ادن‬ A G = 550 'C‫ا ا‬W‫اء ه‬1E ‫( آ‬C ) 5‫ا‬1+DE‫ ا‬-‫ب‬

@ @ 49

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

x + y = 4  3x + 5 y = 10 x = 4 − y  3x + 5 y = 10

@ @ @ @

:  : 

@

x = 4 − y  12 − 3 y + 5 y = 10

: 

@

x = 4 − y  12 + 2 y = 10 x = 4 − y   2 y = 10 − 12

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

13 ‫ * أو وي‬7‫ه اآ‬# *W‫ء ا‬J#l‫د ا‬# -3 6+5+4=15 : 1‫ ه‬D  ‫ا  ا‬ 3 f (x ) = x :  2 3 6 f (2) = × 2 = 2 2 f (2) = 3 g (x ) = −3x + 9 g (2) = −3 × 2 + 9 g (3) = −6 + 9 = 3 g ‫ا‬A 5 a&‫ر‬1b ‫ي‬W‫ اد ا‬1‫ ه‬x *%

:  : 

x = 4 − y   2 y = −2

x    y x  y

M=

:  -1

x = 4 − y  3 ( 4 − y ) + 5 y = 10

@

@

2×10 + 3×11+ 5×12 + 4×13+ 5×14 + 6×15 :  -2 25 20 + 33+ 60 + 52 + 70 + 90 M= :  25 325 M= :  25 : ‫ادن‬ M =13

  ‫ا  ا‬

@

: 

= 4− y −2 = = −1 2 = 4 − −1 = 5 = −1

: 

g (x ) = 5

: 

4x 2 − 9 = 0 : ‫' اد‬- -2

( 2x ) − 32 = 0 :  ( 2x − 3)( 2x + 3) = 0 :

@

2

@ @

2x − 3 = 0 ‫ او‬2x + 3 = 0 :  2x = 3 ‫ او‬2x = −3 :  3 −3 :  x = ‫ او‬x = 2 2 3 −3 ‫و‬ ‫ن ه‬B ‫ "د‬A ‫و‬ 2 2

@ @ @ @ @ @

x g (x )

@

@ @ @ @ @

3 0

3 f (x ) = x 2

x f (x )

0 0

2 3

*  f '& ‫ادن‬ A ( 2;3) ‫ و‬O ( 0;0 )

Y

C ( 2, 2 )

@ @

2 3

*  f '& ‫ادن‬ A ( 2;3) ‫ و‬B ( 3;0)

Y

@

: ‫ادن‬ :  :  : ‫ادن‬ -2 :  :  :  : 

-3

g (x ) = −3x + 9

‫ا  ا ا‬

@

: 

−3x + 9 = 5 −3x = 5 − 9 −3x = −4 −4 4 x = = :  −3 3 4 1‫ اد ه‬A ‫و‬ 3

( 5; −1) : ‫وج‬P‫ ا‬1‫ ه‬X‫ادن ' ا‬

@

-1

A ( −2,1)

A ( 2;3)

J O

I

J

D

O

B (1, −2 )

@

@ @ 50

B ( 3;0)

I

x

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

0 =b

:  ( ∆ ) : y = x :‫اذن‬ ‫ ب‬-5 (CD ) : y = cx + d : 9J :c ‫د‬- ‫زا‬A  ‫رة‬1b ‫ن‬E : ( AB ) // (CD ) ‫ أن‬A‫و‬ a‫از‬1  1‫ه‬ m (CD ) = m ( AB ) : ‫ن‬

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

c = −1 ‫اي‬

m ( AB ) = −1

: ‫ ان‬A ‫و‬

m (CD ) = −1

: ‫ن‬

(CD )

:

(xC − x A ) + ( yC − y A )

AC =

2

AC =

( 2 − −2 ) + ( 2 − 1) 2

2

2

:

A C = 16 + 1 A C = 17

: : ‫ادن‬

x +xB yA + yB  E A ;  2 2    −2 + 1 1 + −2  E ;  2   2  −1 −1  E ;   2 2

y = −x + d :a‫و‬

:  -2

:  -3 : : ‫ادن‬

(AB) ‫د اد ا ة ل‬- ‫أ‬-4 (A B ) : y = mx + p : 9J :m ‫د‬- B ∈ ( A B ) ‫ و‬A ∈ ( A B ) : ‫ أن‬A‫و‬

:d ‫د‬- C ∈ (CD ) : ‫ أن‬A‫و‬ y C = −x C + b : ‫ن‬ 2 = −2 + d :  2+2 =d :  :  4=d (CD ) : y = −x + 4 : ‫ادن‬  ‫ا  ا‬ ( BF ) ⊥ ( FE ) ‫ ( و‬BF ) ⊥ ( FG )  -1 F  ‫ن‬3 ( FE ) ‫ ( و‬FG ) ‫ ان‬A ‫و‬ ( BF ) ⊥ ( EFG ) :  F * ‫ ( و ر‬EFG ) ‫ى‬1‫ ( <* ا‬HF ) ‫ ان‬A ‫و‬ ( BF ) ⊥ ( HF ) : ‫ن‬ F  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" HBF  ‫ة‬s7‫رس ا‬1 ‫ه‬7 \$  2 HB = FB 2 + FH 2 :  F  ‫او‬P‫ ا‬CQ _" HEF A ‫و‬ ‫ة‬s7‫رس ا‬1 ‫ه‬7 \$  2 FH = EF 2 + EH 2 :  2 2 2 2 HB = FB + EF + EH :  2 2 2 2 HB = 6 + 6 + 6 :  2 2 HB = 3 × 6 :  HB = 3× 62 :  HB = 6 3 : ‫ادن‬ ( HD ) ⊥ ( ADC ) :  -2 HABD ‫م‬4" ‫ع‬d&‫ ( ار‬HD ) 

yB − yA : ‫ن‬ xB −xA −2 − 1 : m= 1 − −2 −3 m= = −1 : ‫اذن‬ 3 : y = − x + p :a‫و‬ m=

(A B )

:p ‫د‬- A ∈ ( A B ) : ‫ أن‬A‫و‬ y A = −1× x A + p : ‫ن‬ 1 = −1× −2 + p :  1 = 2 + p :  1 − 2 = p :  −1 = p :  (A B ) : y = − x − 1 :‫اذن‬ ( ∆ ) : y = ax + b : 9J -‫ب‬

:a ‫د‬- ( AB ) ⊥ ( ∆ ) : ‫ أن‬A‫و‬ m ( AB ) × m ( ∆ ) = −1 : ‫ن‬ :

− 1 × m ( ∆ ) = −1 a =1

‫ اي‬m ( ∆ ) = −1 = 1 −1

(∆)

:

: ‫اذن‬ y = x + b :a‫و‬

:b ‫د‬- E ∈ ( ∆ ) : ‫ أن‬A‫و‬ y E = x E +b : ‫ن‬

1 V HABD = × HD × S ABD : 3 1 6× 6 : V HABD = × 6 × 3 2

−1 −1 = +b 2 2 51

: 

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @

x + y = 15 :  C9 ‫ ا‬.,9 -3  2x + y = 21 x + y = 15 :9\$  2x + y = 21

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

HI 2 1 = = HD 6 3 2

1 S IJK =   × S A BD : 9\$ 3

y  x y  x y  x

= 15 − x + 15 = 21

y  x y  x

= 15 − 6 =6 =9 =6

= 15 − x = 21 − 15 = 15 − x =6

 1  6× 6 : 9\$ S IJK =   × 2 3 1 36 : 9\$ S IJK = × 9 2 36 S IJK = = 2cm 2 : ‫ادن‬ 18 2

: 9\$ : 9\$

‫ ادس‬-‫ا‬ ) !9 ‫ت ا‬g  ‫)ت‬0 ‫ ه د ا‬x S) 40x − 7 × 285 > 0 : 9\$ 40x − 1995 > 0 : 9\$ 40x > 1995 : 9\$

: 9\$ : 9\$

1995 : 9\$ 40 1995 : 9\$ x > 40 x > 49,875 : 9\$ x >

: ‫اذن‬

 C9 ‫ ا‬. ‫( ه‬6;9) ‫ ا !وج‬J9‫و‬

@ @

J1)0( HABD ‫) 'م‬c;/ HIJK ‫ ا م‬9\$ -3

(1)  y = 15 − x 2  1 ‫ ض‬ : 9\$ 2x + y = 21 (2)  y = 15 − x :    2x + 15 − x = 21

@

@

V HABD = 36cm 3 : ‫ادن‬

#\$/‫ ا‬-‫ا‬ : '('(1 ‫ال ا‬9 -1 ‫ ذات‬30 ‫ ه ا )!ة‬U); 0‫  أآ‬1 ‫>)  ا )!ة ا‬ 7 U);, ‫ا‬ 30 ‫ال ه‬9 ‫إذن ا‬ : )%3 ‫)  ا‬# ‫ا‬‫ ا )!ة‬P)> 50 30 25 20 10 U);, ‫ا‬ 3 7 5 4 6 P‫اآ‬1 ‫ ا‬U);, ‫ا‬ 25 22 15 10 6 12.5=   s‫ ا‬U);, ‫ ا‬X; J1 )> ‫ي‬I ‫ ه ا‬12.5  ‫ة‬H0 0‫آ‬i‫ ا‬P‫اآ‬1 ‫ ا‬U);, ‫ا‬ 25 ‫)  ا )!ة‬# E ‫ ا ا‬15 25 ‫) ه‬%3 ‫)  ا‬# ‫إذن ا‬ M =

10 × 6 + 20 × 4 + 25 × 5 + 7 × 30 + 3 × 50 25

60 + 80 + 125 + 210 + 150 25 265 + 360 M = 25 M =

 ‫ ا‬50 .;\$ ‫ = أن‬\$ ‫)ت‬0 ‫د  ا‬i‫ ا‬, ‫  ا‬1  ‫و‬

@ @09@æbznßüa@|îz—m 2007@ìîãìí@@@òÇŠ†@òbß@‘ì@@òèu ‫ول‬.‫ ا‬-‫ا‬ 3x + 1 = 2 − x :  ‫ ا د‬.,9 -1 3x + 1 = 2 − x : 9\$ 3x + x = 2 − 1 : 9\$ 4x = 1 : 9\$ x =

1 ‫ و) ه‬.  ‫ ' د‬:  1  ‫و‬ 4 6x − 1 ≤ 2x − 5 : ,‫ا‬1 ‫ ا‬.,9 -2 6x − 1 ≤ 2x − 5 :9\$ 6x − 2x ≤ −5 + 1 : 9\$

: 9\$ -2 :9\$ :9\$

4x ≤ −4 : 9\$ −4 : 9\$ x ≤ 4 x ≤ −1 : J9‫و‬ ‫  أو‬c<i‫) ا‬#)#, ‫اد ا‬i‫ ا‬-)  ‫ 'ل ا د  ه‬: ‫إذن‬ −1 ‫(وي‬\$

@

@ M = 625 25 @

:9\$

M=25

: ‫اذن‬

@ @

1 : ‫اذن‬ 4

@

@ @ 52

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @

(A B )

:

y =

@ @

-1 ‫(وي‬\$ )') ‫ اء ا‬9\$ ( A B ) ⊥ (∆ ) : ‫اذن‬

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

(∆ )

:p ‫د‬,9 A ∈ ( A B ) : ‫و  أن‬ 1 y A = x A + p : ‫ن‬v 2 1 −1 = × 2 + p : 9\$ 2 p = −2 : 9\$ 1 ( AB ) : y = x − 2 :‫اذن‬ 2 ( A B ) ⊥ (∆ ) : ‫) أن‬09 -‫ب‬ 1 ( AB ) : y = x − 2 : 9\$ 2 ‫و‬ (∆ ) : y = -2x + 3 1 9\$ × −2 = −1 : 2

@

0/‫ ا‬-‫ا‬

1 x + p :J9‫و‬ 2

:

y = -2x + 3 : P)#1( ‫ د  ا‬9\$ -‫ا‬-1 A (2, −1) :9\$

y A = -2x A + 3 : 9\$ A ∈ ( ∆ )

−1 = -2 × 2 + 3 :9\$ −1 = -1 : ‫اذن‬

 ‫ ا د‬E#,/ A : 1  ‫و‬ A ∈ ( ∆ ) ‫إذن‬ B (4, 0) :9\$ y B = -2x B + 3 : 9\$ B ∈ ( ∆ ) 0 = -2 × 4 + 3 :9\$ 0 = -5 : ‫اذن‬ B ∉ ( ∆ ) :  1  ‫ و‬u),< )D ‫ا‬I‫وه‬ [AB] X;19 1)Q‫د اا‬,9 -‫ب‬ [AB] X;19 M S1 xA +xB 2 : 9\$ yA + yB yM = 2 2+4 xM = 2 : 9\$ −1 + 0 yM = 2 xM =3

xM =

:1*‫ اا‬-‫ا‬ ‫ول‬i‫ا !ء ا‬ 'b‫(  * أ‬d ) 4" ‫  أن‬+` ‫ دا‬f -1 "‫ا‬ M (2;1) ∈ (d ) : ‫ ن‬f (2) = 1 : ‫ أن‬A‫و‬ f ( x ) = ax : +` ‫ دا‬f -2

−1 2  −1  M  3;   2 

f ( x ) f (2) 1 = = : ‫ ان‬A‫و‬ x 2 2 1 :‫اذن‬ f (x ) = x 2

a=

yM =

T ‫ا !ء ا‬ -1 ‫ ه‬g ‫ ب‬J/‫ي <ر‬I ‫د ا د ا‬,9 -1 g (x ) =

: 9\$ : ‫اذن‬

AB =(,9 -‫ج‬ A B = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) 2 : 9\$ 2

1 x − 2 : 9\$ 2

-1 ‫ ه‬g ‫ ب‬J/‫ي <ر‬I ‫ ه ا د ا‬z S) : 9\$ g ( z ) = −1

AB = (4 − 2) 2 + (0 − −1)2

: 9\$

A B = (2) 2 + (1) 2

:9\$

AB = 5

: ‫اذن‬ (AB) ‫;ة ل‬1b ‫د ا د  ا‬,9 -‫أ‬-2 (A B ) : y = mx + p : -A9 :m ‫د‬,9 B ∈ ( A B ) ‫ و‬A ∈ ( A B ) : ‫و  أن‬

1 :9\$ z − 2 = −1 2 1 z = −1 + 2 :9\$ 2 1 : 9\$ z =1 2

yB − yA : ‫ن‬v xB −xA 0 − −1 :9\$ m= 4−2 1 : ‫اذن‬ m= 2

m=

z =2

: ‫اذن‬ 2 ‫ا د ه‬ -2 x 0 2 g(x) -2 -1 A (2; −1) ∈ ( ∆ ) ‫ و‬C (0; −2) ∈ ( ∆ ) : ‫اذن‬

53

@รฏรbโรง@โกรbโ@@Zห@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@รฒzzโร@รฒiรฌรจu@รฆbรฃbznรa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbรฎลกbรญโนรa@ร@รฐรฌรจยงaa@โกรbยยพa @ @ @ @ @

1 1 V = SH ร S A BCD โ IH ร S ABCD 3 3 1 V = S A BCD (SH โ IH ) 3

@

IH =

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

: 9\$ (d )

1 SH V = S A BCD (SH โ ) 3 2 1 SH V = S A BCD ร 3 2 1 V = S A BCD ร SH 6 1 V = A B 2 ร SH 6 1 V = ร 62 ร 8 6 V = 48 cm 3

SH :โซูโฌv 2

g (x ) =

:J9โซูโฌ

3

@

1 x โ2 2

โซูโฌ

f (x ) =

1 x :9\$ 2

โซ( ูโฌd ) โซ) ูโฌ#1( โซ ุฃู ุงู ุงโฌJ โซ ุงโฌ. โซ* ุงโฌ+ โซูโฌ1 โซ ุงโฌ: 9\$ โซูโฌ\$โซุงุฒโฌ1 ( โ ) A (2; โ1) โ ( โ ) โซ ูโฌO (0;0) โ (d ) โซู  ุงูโฌ A โซ ุงโฌO โซูโฌ,/ 1 โซ ุฉ ู ุงุฒุง ุงโฌ1 โซู ุงุฒุง ุงโฌ ( โ ) โซ  ุงโฌ19/ (d )  %# โซู <ุฑุฉ ุฃูโฌ ( โ ) โซ  ุงโฌ19/ /โซ ู <ุฑโฌB (2;1) โ (d ) โซู  ุงูโฌ  \$2  A โซ ุงโฌO โซูโฌ,/ 1 โซ ุงุฒุง ุงโฌ9\$  OA . : โซ? ุงุฒุงโฌI 'T

โซ  ุงโฌ1 โซ ุงโฌ9\$ B(2;1) โซ ู <ุฑุฉโฌR(x;y) S1   OA = BR . : 9\$  OA ( x A โ x O ; y A โ y O ) . : โซ  ุฃูโฌ

0(9 J )c;/ (P) P( โซูุงโฌ

1 0(9 (P) P( ' )c;/ โซูโฌ 10

@

-3

:9\$

u),< โซุงโฌIโซููโฌ V3 =48000 cm3J  '<โซ ุงโฌP( โซุงุฐู ุงโฌ

@

C (0; โ2)

: 9\$

@

@

R x

:9\$

@

@

I A (2; โ1)

:โซุงุฐูโฌ V3 J  '<โซ ุงโฌP( โซ ุงโฌ01โซ ุงุฐุง ุงโฌ-2 1 10

M (2;1)

O

:J9โซูโฌ

๏ฃซ 1๏ฃถ :โซูโฌv V = ๏ฃฌ ๏ฃท รV 3 ๏ฃญ 10 ๏ฃธ 1 V = ร 48000 : 9\$ 1000 V = 48 cm 3 :9\$

@

J

[SH] X;19 I : โซู  ุฃูโฌ

@ @

Y

: 9\$

 OA ( 2; โ1) . :9\$  BR ( x R โ x B ; y R โ y B ) . : โซู  ุฃูโฌ  BR ( x โ 2; y โ 1) . : 9\$

@ @ @

y-1=-1 โซ ูโฌx โ 2 = 2 :9\$ y=0 โซ ูโฌx=4 : 9\$ R(4;0) : โซุงุฐูโฌ g(4)=0 :โซู  ุฃูโฌ R (4;0) โ ( โ ) :โซูโฌv

@ @ @ @ @

3 โซ ุงโฌ-โซุงโฌ

@ @

:(P) P( โซ ุงโฌP  V =(,9 -1 SABCD โซ ุง ูโฌP  V1 S)

@

1 V 1 = SH ร S A BCD : 9\$ 3

@

IABCD โซ ุง ูโฌP  V2 โซูโฌ

@

1 V 2 = IH ร S ABCD : 9\$ 3

@ @

V =V1 - V2

@ @ 54

: โซู  ุฃูโฌ

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @

3x + 5 y = 72 :  1  ‫و‬  x + y = 20

@

y=6‫ و‬x=14 :  C9 ‫? ا‬I‫ ه‬. E03  =( P' 6 ‫ر ه‬0S ‫ و د ا‬14 ‫ل ه‬+i‫إذن د ا‬

@ @ @

f )%b ‫د ا ا  ا‬,9 -‫ أ‬-1 f(2)=3 : ‫أي‬ f . a S)

@ @

f (2) 3 = J9‫و‬ 2 2 f (−3) : =(,9 -‫ب‬ 3 : 9\$ f (x ) = x 2 3 −9 : 9\$ f ( −3) = × −3 = 2 2 a=

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

‫ اول‬-‫ا‬ 2x 5 3 − = x − :  ‫ ا د‬.,9 -‫ أ‬-1 3 6 2 4x 5 2x 3 − = − : 9\$ 6 6 2 2 4x − 5 2x − 3 : 9\$ = 6 2 2 ( 4x − 5) = 6 ( 2x − 3) : 9\$

#\$/‫ ا‬-‫ا‬

@

@

@ @10@æbznßüa@|îz—m 2007@ìîãìí@@@@ñ‡jÇ@òÛb×†@@òèu

8x − 10 = 12x − 18 : 9\$ 8x − 12x = −18 + 10 : 9\$ −4x = −8 : 9\$ −8 x = = 2 : 9\$ −4

−3 ‫ه‬f J/‫ي <ر‬I ‫ ه ا د ا‬x S) -‫ج‬ 5 −3 : 9\$ f (x ) = 5 3 −3 :J9‫و‬ x = 2 5 −3 2 : 9\$ x = × 5 3 −2 : ‫اذن‬ x = 5 −3 −2 f ‫ب‬ ‫ ه‬J/‫ي <ر‬I ‫ه ا د ا‬ J9 5 5

2 ‫ ا د  ا ) ه‬. 2 − 3x > x + 7 ,‫ا‬1 ‫ ا‬.,9 -‫ب‬ −3x − x > 7 − 2 : 9\$ −4x > 5 :9\$ x <−

 %> c<i‫) ا‬#)#, ‫اد ا‬i‫ ا‬-)  ‫ ه‬,‫ا‬1 ‫'ل ا‬ −

3x + 5 y = 72  x + y = 20 3x + 5 y = 72  x + y = 20

g(-1) =(,9 -‫ ا‬-2 : 9\$ g (x ) = 2x + 3 g ( −1) = 2 × −1 + 3 = 1 : 9\$ g(0) =(,9 : 9\$ g (x ) = 2x + 3 g (0) = 2 × 0 + 3 = 3 : 9\$ g ‫) ل‬0 ‫ ا‬.)1 1 ‫ ا‬-‫ب‬ g (0) = 3 ‫ و‬g ( −1) = 1 9\$ ‫ و‬A(0,3) )1%#9 ‫ ا ر  ا‬P)#1( ‫ ه ا‬g .)1 /  1  ‫و‬ B(-1,1)

@

3x + 5 y = 72  x + y = 20 3x + 5 y = 72  3x + 3 y = 60

@ @ @ @ @

B ( −1;1)

I

:9\$ × (1) × (3)

: 9\$ : 9\$

x = 14 : ‫اذن‬  C9 ‫ ا‬. ‫( ه‬14;6) ‫ ا !وج‬J9‫و‬ ‫ر‬0S ‫رة ا‬\$‫ وا= ز‬y ‫رو‬c; ‫رة ا‬\$‫ ه وا= ز‬x S) -‫ب‬ x+y=20 : ‫ أي‬20 ‫  ع ا !وار ه‬P' 3x+5y=72 : ‫ أي‬P‫ دره‬72 W‫ زا‬20 ‫و> أدى‬

J O

:  C9 ‫ ا‬.,9 -‫أ‬-2

: ‫ول‬i‫  ا‬T ‫ ا‬%( ‫ح ا‬%

A (0;3)

@

5 4

3x + 5 y − (3x + 3 y ) = 72 − 60 : 9\$ 3x + 5 y − 3x − 3 y = 12 : 9\$ 2 y = 12 : 9\$ y =6 : )1'<i‫) ا‬1 ‫  إى ا د‬J1 )# y = 6 ‫ض‬ x +6 = 20

Y

@

5 : 9\$ 4

x

@

@ @ 55

@รฏรbโรง@โกรbโ@@Zห@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@รฒzzโร@รฒiรฌรจu@รฆbรฃbznรa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbรฎลกbรญโนรa@ร@รฐรฌรจยงaa@โกรbยยพa @ @

Y

0/โซ ุงโฌ-โซุงโฌ

F ( 2,5 )

@ @

E ( 6;3)

@ @ @

Hโฒ

@

@

O

I

H ( 2;0 )

x

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

G ( โ2, โ3)

x E + xG 2 9\$ y E + yG = 2 โ2 + 6 = 2 : 9\$ โ3 + 3 = 2 =2

(C) โซุฉโฌWโซุน ุง ุงโฌH =(,9 -3 โซุฉโฌWโซ? ุง ุงโฌI โซุนโฌH [HG] : 9\$

@

HG = (โ2 โ 2) 2 + (โ3 โ 0) 2 :9\$

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

( D ) โฅ ( D โฒ) : โซ) ุงูโฌ09 -1 โ1 ( D โฒ) : y = x โซ ( ูโฌD ) : y = 3x โ 1 : 9\$ 3 โ1 3ร = โ1 : โซ  ุงูโฌ 3 ( D ) โฅ ( D โฒ) :โซูโฌv ( D ) โซ ) โ ( ุง ุงุฒู ูโฌP)#1( โซุฏ ุฏ  ุงโฌ,9 -2 ( D ) : y = 3x โ 1 :  ( โ ) : y = ax + b : 9J5 ( โ) //(D ) :

H ( 2;0 ) : โซุงุฐูโฌ

HG = ( x G โ x H ) + ( y G โ y H )

@

1*โซ ุงุงโฌ-โซุงโฌ

: 9\$

@ @

13 โซูโฌ12.5  โซุฉโฌH0 0โซุขโฌiโซ ุงโฌPโซุงุขโฌ1 โซ ุงโฌU);, โซ>)  ุงโฌ Pโซุงุขโฌ1 โซ ุงโฌU);,' # โซ)  ุง ุงโฌ# โซ) ู ุงโฌ%3 โซ)  ุงโฌ# โซ  ุงโฌ1  โซูโฌ 13 .)%3 โซ)  ุงโฌ# โซ ู ุงโฌ15   โซุฃู ุงโฌ

=

=0

2

a=3 : ( โ ) : y = 3x + b : A โซูโฌ A (2, โ2) โ ( โ ) : โซ ุงูโฌA โซูโฌ y A = 3x A + b : โซูโฌ โ2 = 3 ร 2 + b : โ2 = 6 + b : โ8 = b : โซุงุฐูโฌ ( โ ) : y = 3x โ 8 : aโซูโฌ

2

HG = 16 + 9 = 5

:9\$ 5 1โซุง)ุน ูโฌ (C ) โซุฑุฉโฌ1b (C โฒ)  -โซุงโฌ-4 โซ ุง)ุนโฌpd5 4 โซุฉโฌCโซุฒุง ู ุฏุงโฌA โซุฉโฌCโซุฑุฉ ุฏุงโฌ1b  5 : โซ( ูโฌC โฒ) โซุนโฌs โซูโฌ T โซุฒุงโฌEA H โซุฑุฉโฌ1b H โฒ  -โซุจโฌ   HH โฒ = EF :   HH โฒ( x H โฒ โ x H ; y H โฒ โ y H ) :   HH โฒ(x H โฒ โ 2; y H โฒ โ 0)  HH โฒ(x H โฒ โ 2; y H โฒ )  EF (x F โ x E ; y F โ y E )

โซ ู ุง ููโฌ/โซ ุฅโฌ-1 15 14 13 12   โซุงโฌ 1 7 3 2 U);, โซุงโฌ 13 12 5 2 Pโซุงุขโฌ1 โซุญ ุงโฌ

25 =12.5:   sโซ ุงโฌU);, โซ ุงโฌX; =(,9 2

(C) โซุฉโฌWโซ ุข! ุง ุงโฌH 1)Qโซุฏ ุงุงโฌ,9 -2 โซุฉโฌWโซ? ุง ุงโฌI %> [EG] โซ  ุงูโฌ โซุฉโฌWโซ[ ู ุข! ุง ุงโฌEG] X;19  1  โซูโฌ ๏ฃฑ ๏ฃด๏ฃดx H ๏ฃฒ ๏ฃดy ๏ฃด๏ฃณ H ๏ฃฑ ๏ฃด๏ฃดx H ๏ฃฒ ๏ฃดy ๏ฃด๏ฃณ H ๏ฃฑx H ๏ฃฒ ๏ฃณy H

16 8 21

16   โซ ู ุงโฌ: โซุงูโฌ9 โซุงโฌ : ^31 โซ ุง   ุงโฌ- 2 12ร2 +13ร3+14ร7 +15ร1+16ร8+17ร4 M= : 9\$ 25 M =16,8 : โซุงุฏูโฌ : )%3 โซ)  ุงโฌ# โซุฏ ุงโฌ,9 -3

J

@ @

17 4 25

 โซุง  ุงโฌ 'โซ ุงโฌ-1

:  : โซุงุฐูโฌ โซูโฌ

56

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

−12 : 9\$ x ≤ 2 x ≤ −6 :9\$

@ @ @ @ @

‫ او‬c<‫)ا‬#)#, ‫اد ا‬i‫ ا‬-)  ‫ ه‬,‫ا‬1 ‫'ل ا‬ -6  ‫(وي‬\$  C9 ‫ ا‬.,9 -a -3

@ @ @ @ @ @ @ @

x = 14 − y  3 y = 18 x = 14 − y  y = 6 x = 8  y = 6

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

14 ‫ ه‬-%# ‫ ان  ع ا‬P'‫و‬ x + y = 14 :9\$

@

x + y = 14 : ' .;,  1  ‫و‬  x + 4 y = 32

@

(8,6) ‫' ا !وج‬ 8 ‫غ ه‬125 X9<  =' ‫  د ا‬1  ‫و‬ 6 ‫ غ ه‬500 X9; ‫ود ا '=  ا‬

@ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

S A ′B ′C ′D ′ S ABCD 48 k2= 16 2 k =3 k = 3

:9\$ :9\$ :9\$ : ‫اذن‬

@ @11@æbznßüa@|îz—m Œì¨a@oÐîãbm@”×a‹ß@@òèu 2007@ìîãìí ‫ اول‬-‫ا‬ 3( x − 2) + 5x = 10 :  ‫ ا د‬.,9 -1 3x − 6 + 5x = 10 : 9\$ 8x = 10 + 6 : 9\$ 8x = 16 : 9\$ 16 x = = 2 : 9\$ 8

(AB) ‫;ة ل‬1b ‫د ا د  ا‬,9 -a1 :

: 9\$

k2=

#\$/‫ ا‬-‫ا‬ (A B )

9\$

: ‫اذن‬ )0S1 ‫ ا‬. k ‫د‬,9 -2 HABCD‫) ل‬0S/ HA ′B ′C ′D ′ 9\$ S A ′B ′C ′D ′ = k 2 × S ABCD : 9\$

(8,6) ‫  ه ا !وج‬C9 ‫ ا‬.  1  ‫و‬ ‫ غ‬125 X9<  =' ‫ د ا‬x S) -b ‫ غ‬500 X9<  =' ‫ د ا‬y ‫و‬ ‫ ب‬J9 0\$ ‫ام‬c ‫ا زن ب ا‬ x × 125 + y × 500 = 4000 :9\$

@

@

1 V HABCD = × HD × S A BCD : 3 1 V HA BCD = × 3 × ( 4 × 4 ) 3 V HABCD = 16cm 2

:‫اذن‬

@

@

CH =(,9 -‫ا‬--1 G  \$‫ ا !او‬PW> N'T HGC N'T ‫ ا‬9\$ CH 2 = HG 2 + GC 2 9\$ CH 2 = 32 + 4 2 :9\$ 2 CH = 9 + 16 = 25 : 9\$ CH = 5 : ‫اذن‬ HABCD ‫ ا م‬P  =(,9 -‫ب‬ HABCD ‫ع 'م‬+/‫( ار‬HD) )

:9\$

@

@

‫ا  ا )دس‬

:9\$

x × 125 + y × 500 4000 :9\$ = 125 125 x × 125 y × 500 4000 :9\$ + = 125 125 125 x + 4 y = 32 : 9\$

@

 x H ′ = −2 :   y H ′ = 2 H ′( −2; 2) : ‫اذن‬

x + y = 14 : 9\$  x + 4 y = 32 x = 14 − y :9\$  x + 4 y = 32 x = 14 − y :9\$  14 − y + 4 y = 32 x = 14 − y :9\$  3 y = 32 − 14

@

@

 EF (2 − 6;5 − 3) :   EF (−4; 2) : ‫اذن‬  x H ′ − 2 = −4 :   y H ′ = 2

y = mx + p : -A9

:m ‫د‬,9

2 ‫ ا د  ا ) ه‬. 4x + 7 ≤ 2x − 5 ,‫ا‬1 .,9 -2 4x − 2x ≤ −7 − 5 : 9\$ 2x ≤ −12 :9\$

B ∈ ( A B ) ‫ و‬A ∈ ( A B ) : ‫و  أن‬ y − yA m= B : ‫ن‬v xB −xA

57

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

C ( −3; 4) : ‫اذن‬

@ @ @ @

.)T 1 ‫ ا‬-2

( AB ) (A B )

A (1, 2 )

@ @

J

@ @

O

@

:p ‫د‬,9

x

@ @ @ @ @ @

(

) : 0/‫ ا‬-‫ا‬

@

f(0)=2 ‫ و‬f(-2)= -1 -a -1 f(-1) < g(-1) -b f(0)=2 ‫ و‬f(-2)= -1 : 9\$ -2 f ( x ) = ax + b : 9\$

@ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @

@

x g(x)

@ @ @ @ @ @ @

-4 6

-2 3

(A B )

-10 15

-10‫(ب <رة ا د‬, g ( −4) = 6 : 9\$ g ( x ) = mx :9\$ )%&  ‫ دا‬g‫و‬

@ @

(A O )

: ‫ ا ول‬P 19 -3

@

m=

yO − y A : ‫ن‬v xO − x A 0−2 :9\$ m′ = 0 −1 : ‫اذن‬ m′ = 2 : y = 2x + p ′ :J9‫و‬ : p ′ ‫د‬,9 O ∈ ( A O ) : ‫و  أن‬ y O = 2x O + p ′ : ‫ن‬v m′ =

f (−2) − f (0) :J9‫و‬ −2 − 0 −1 − 2 3 :9\$ a= = −2 − 0 2 3 : J9‫و‬ f (x ) = x + b 2 3 f (0) = × 0 + b = 2 :9\$ 2 b = 2 :9\$ 3 f (x ) = x + 2 : ‫اذن‬ 2

@

@

: m ′ ‫د‬,9

a=

@

@

:

A ∈ ( A B ) : ‫و  أن‬ −1 yA = x A + p : ‫ن‬v 2 −1 2 = ×1 + p : 9\$ 2 5 : 9\$ =p 2 −1 5 (A B ) : y = x + :‫اذن‬ 2 2 y = 2x : 9\$ -b (A O ) : y = m ′x + p ′ : -A9

B ( 5, 0 )

I

0−2 :9\$ 5 −1 −2 −1 : ‫اذن‬ m= = 4 2 −1 y = x + p :J9‫و‬ 2 m=

0 = 2 × 0 + p ′ : 9\$ 0 = p ′ : 9\$ (A O ) : y = 2x :‫اذن‬ −1 5 : y = x + 9\$ -c 2 2 (A O ) : y = 2x ‫و‬ −1 × 2 = −1 ‫و  ان‬ 2 ( A O ) ⊥ ( A B ) : ‫ن‬

  BA = AC . :9\$ [BC]X;19 A -3  BA (x A − x B ; y A − y B ). : 9\$  BA (1 − 5; 2 − 0). : 9\$  BA (−4; 2). : ‫اذن‬  AC (x C − x A ; y C − y A ). ‫و‬  AC (x C − 1; y C − 2). : 9\$ x C − 1 = −4 ; y C − 2 = 2 : 9\$ x C = −3 ; y C = 4 : 9\$

g (x ) g (−4) 6 −3 :9\$ = = = x −4 −4 2 −3 g (x ) = x : ‫اذن‬ 2 −3 g (−10) = × −10 = 15 : ‫اذن‬ 2

@ @ 58

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

EADM ‫ ا م‬P  =(,9 - -1

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

AM =(,9 - -2 DAM N'T ‫ ا‬9\$ 2 AM = DM 2 + AD 2 :‫اذن‬ :9\$ A M 2 = 62 + 32 2 A M = 36 + 9 = 45 :9\$ AM = 45 = 3 5 : ‫اذن‬ (ADM) ' ‫(  ذي‬AE) 9\$ (AM) ' ‫(  ذي‬AE) :9\$ 2 ME = AM 2 + AE 2 : ‫اذن‬ 2

ME = 81 = 9

12 :   ‫('(' ه ا‬1 ‫ال ا‬9-1 -2

x −1 x +1 1 + = :  ‫ ا د‬.,9 -‫أ‬ 3 4 2 4( x − 1) + 3( x + 1) 1 = : 9\$ 3× 4 2 4x − 4 + 3x + 3 1 = : 9\$ 12 2 7x − 1 1 = : 9\$ 12 2 2(7 x − 1) = 1× 12 : 9\$ 14x − 2 = 12 : 9\$ 14x = 12 + 2 : 9\$ 14 x = = 1 : 9\$ 14

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

x2−

@ @

@

 x 

14

13

12

11

‫ة‬P‫ ا‬Q

10

5

10

5

15

5

U -‫ا‬

50

40

35

25

20

5

‫ح اآ‬

: ‫ ادس‬-‫ا‬

1 = 0 :  ‫ ا د‬.,9 -‫ب‬ 4 2

@

15

M ‫ ر‬i‫(= ل ا‬,9 -3

1 x −   = 0 :9\$ 2 1  1   x −  x +  = 0 :9\$ 2  2  1 1  −  = 0 ‫ او‬ x +  = 0 : 9\$ 2 2  1 −1 ‫ او‬x = : 9\$ x = 2 2 2

@

16

5×11+12×15 +13×5 +14×10 +15×5 +16×10 M= 50 M =13.5 :‫ادن‬

1 ‫ ا د  ا ) ه‬.

@

@ @

:3 ‫ ا‬-‫ا‬

‫ اول‬-‫ا‬

@

@

: ‫اذن‬

@ @12@æbznßüa@|îz—m oÛýîÏbm@‘bäØß@@òèu 2007@ìîãìí

@

@

[AC] X;19 I : 9\$ -3   AI = IC . : 9\$  AI .  1 ‫زا ذات ا‬s I ‫ ه <رة‬C :‫اذن‬  AI .  1 ‫زا ذات ا‬s B ‫ ه <رة‬M 9\$  AI .  1 ‫زا ذات ا‬s D ‫ ه <رة‬N 9\$ ‫و‬ ) )#1( N‫ و‬M‫ و‬C ‫) ) ن‬#1( B ‫ و‬I ‫ و‬D ^#9 ‫و  ان ا‬ ^#9 ‫) ا‬#13‫ _ ' ا‬,/ ‫ن ازا‬

ME 2 = 45 + 62 = 45 + 36 = 81 :9\$

@

@

‫[ع‬R‫ازي ا‬1 ABCD 9\$ -1   AB = DC . :9\$  AB .  1 ‫زا ذات ا‬s D ‫ ه <رة‬C  1  ‫و‬ -2

1 V EA DM = × AE × S ADM : 9\$ 3 1 3× 6 : 9\$ V EADM = × 6 × 3 2 V EADM = 18cm 3 : ‫اذن‬

@

@

1*‫ اا‬-‫ا‬

59

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @

(D) ‫  إ‬19/  A  1  ‫و‬ (D)  ‫  د‬B 1)/‫ض ا‬9 2 = −1 + 3 :   2 = 2 :9\$ (D) ‫  إ‬19/ B  1  ‫و‬ [BC] X;19M S1 -2 x B + xC 2 : 9\$ y B + yC yM = 2 1 + −1 xM = 2 :9\$ 4+2 yM = 2 xM =0

@

xM =

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

yM =3

: 9\$

@

AB = ( −1) 2 + ( −3) 2

:9\$

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

3  ‫(وي‬\$ 5

‫ هد آات‬y ‫ اول و‬X9; ‫ هد آات ا‬x S) -3 T ‫ ا‬X9; ‫ا‬ x + y = 45  : 9\$  2 x = y  3 2  3 y + y = 45 : 9\$  x = 2 y  3  2 y + 3y = 45  3 :9\$  2 x = y  3 5y  3 = 45 : 9\$  x = 2 y  3 3   y = 45 × 5 :9\$  2 x = y  3  y = 27  :9\$ 2  x = y  3  y = 27  :9\$  2 x = 3 × 27  y = 27 ‫اذن‬  x = 18

M=I : ‫اذن‬ [ BC ] X;19 I ‫أي‬ AC‫ و‬AB =(,9 -3 A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 : 9\$ A B = (1 − 2) 2 + (2 − 5) 2

@

‫ او‬0‫) اآ‬#)#, ‫اد ا‬i‫ ا‬-)  ‫ ه‬,‫ا‬1 ‫'ل ا‬

: J9‫و‬

@ @

1 −1 ‫و‬  ‫ ' د  [ن ه‬ 2 2 −5x + 3 ≤ 0 ,‫ا‬1 .,9 -2 −5x ≤ −3 : 9\$ −3 :9\$ x ≥ −5 3 x ≥ : 9\$ 5

5 = 1 :9\$

AB = 10

:‫اذن‬

A C = (x C − x A ) 2 + ( y C − y A ) 2 : 9\$

AC = (−1 − 2) 2 + (4 − 5) 2

: 9\$

AC = ( −3) 2 + ( −1) 2

:9\$

AC = 10 :‫اذن‬ AC = AB : J9‫و‬ )>( ‫(وي ا‬1 ABC N'T ‫  ا‬1  ‫و‬ ( D ) ' ‫ ) ∆ ( ا  ذي‬P)#1( ‫د د  ا‬,9 --4 ( D ) : y = −x + 3 : 9\$ ( ∆ ) : y = ax + b : -A (∆ ) ⊥ ( D ) :9\$ a × −1 = −1 :9\$ −1 a= = 1 :9\$ −1 (∆ ) : y = x + b :  1  ‫و‬ I (0,3) ∈ ( ∆ ) : ‫و  ان‬ y I = x I + b : ‫ن‬ 3 = 1× 0 + b :9\$ 3 = b :9\$ ( ∆ ) : y = x + 3 : J9‫و‬

27 ‫ ه‬T ‫ ا‬X9; ‫ و ا‬18 ‫ول ه‬i‫ ا‬X9; ‫د آات ا‬

#\$/‫ ا‬-‫ا‬ ( D ) : y = − x + 3 :9\$

(D)  ‫  د‬A 1)/‫ض ا‬9 5 = −2 + 3 :  

60

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @

0/‫ ا‬-‫ا‬

1 g   −4 g (x ) 3 =   = 3 = −4 : J9‫و‬ a= 1 1 x 3 3

g(x)= -4x

M  (, ‫(= ا ل ا‬,9 -1 M=

: ‫اذن‬

M=

3 ‫ ا‬-‫ا‬ -1

@

4×2+8×3+12×4 +16×5+ 20×6 20 280 20

: 9\$

= 14

:‫اذن‬ )%3 ‫)  ا‬# ‫د ا‬,9 -2

@ @

20 6 20

@ @

16 5 14

12 4 9

8 3 5

4 ‫ ا )!ة‬P)> 2 U);, ‫ا‬ 2 P‫اآ‬1 ‫ح‬

@ @

10 =   ‫ ا‬U);, ‫ ا‬X; 9\$  )# E ‫ ا ا‬14 ‫ ه‬10  ‫ة‬H0 0‫آ‬i‫ ا‬P‫اآ‬1 ‫ ا‬U);, ‫ا‬ 16 ‫ا )!ة‬ 16 ‫) ه‬%3 ‫)  ا‬# ‫  ا‬1  ‫و‬

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

1*‫ اا‬-‫ا‬

-  ABCD 9\$ - -2   AB = DC . : 9\$ t ‫زا‬s D ‫ ه <رة‬C  1  ‫و‬ ( EB ) ⊥ ( EC ) : ‫) ان‬09 -3 t ‫زا‬s D ‫ ه <رة‬C 9\$ t ‫زا‬s O ‫ ه <رة‬E 9\$ ‫و‬ t ‫زا‬s A ‫ ه <رة‬B 9\$ ‫و‬ ˆ ‫ <رة‬BEC ˆ  1  ‫و‬ t ‫زا‬s A OD ‫ان‬1 -  ‫ا ا‬%> ‫و  ان‬ ˆ = 90° ‫ن‬ A OD ˆ = 90° J9‫و‬ BEC

f ( x ) = 3x − 5 9\$ -‫ا‬-1

x

2

1

f(x) 1 -2 ‫ و‬A(2,1) )1%#9 ‫ ا ر  ا‬P)#1( ‫ ه ا‬f .)1 /  1  ‫و‬ B(1-2)

‫ ادس‬-‫ا‬ A ( 2,1)

J

@ @ @

O

@

I

x B (1, −2 )

@ @ @ @ @

f (a ) = −1 : 9\$ f .)1 / ‫  ا‬19/ P(a.-1) 9\$ -‫ب‬ 3a − 5 = −1 :9\$ 3a = −1 + 5 :9\$ 3a = 4 :9\$ 4 a = : J9‫و‬ 3

@ @ @ @ @ @ @

@ @

IC = 4 5 : ‫) ان‬09 -‫ا‬--1 B  \$‫ ا !او‬PW> BIC N'T ‫ ان ا‬9\$ -  ABCD IC 2 = BC 2 + BI 2 :9\$ IC 2 = 82 + 42 :9\$

)%&  ‫ دا‬g 9\$ -2 g(x)=ax: 9\$

61

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

15 ‫ه‬10  ‫ة‬H0 0‫آ‬i‫ ا‬P‫اآ‬1 ‫ ا‬U);, ‫>)  ا‬ P‫اآ‬1 ‫ ا‬U);,' # ‫)  ا ا‬# ‫) ه ا‬%3 ‫)  ا‬# ‫  ا‬1  ‫و‬ 15 152 # ‫) ه ا‬%3 ‫)  ا‬# ‫ادن ه ا‬ 2×150 + 7×151+ 6×152 + 5×153 20 3034 M= =151.7 20

M=

 2x − y − 1 = 0  3x − 2 y = 0 2x − y − 1 = 0  3x − 2 y = 0 6 x − 3 y − 3 = 0  6 x − 4 y = 0

@ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @ @ @ @ @

×2

:9\$

+ ( 8 ) :9\$ 2

1 V SABEF = × SM × S A BCD : 9\$ 3

‫ع‬+/‫ ار‬-> M N) SM ‫د‬,9 (SM ) ⊥ ( A F ) :9\$ ( A D ) ⊥ ( A F ) ‫ ان‬P'‫و‬ (SM ) //( A D ) :9\$ ( DS ) //( AM ) : ‫و  ان‬ ‫[ع‬R‫ازي ا‬1 AMSD   ‫اذن ا‬ SM = AD = 8 :9\$ 1 V SA BEF = × 8 × 82 : J9‫و‬ 3 83 V SABEF = : ‫اذن‬ 3

@ @13@æbznßüa@|îz—m æb¾ìi@‘bÏ@@òèu 2006@ìîãìí

: !"# ' -5 A‫و‬

 2x − y − 1 = 0  3x − 2 y = 0

‫ اول‬-‫ا‬

(2,3) ‫  ه ا !وج‬C9 ‫ ا‬. ‫  ان‬-‫ب‬ P‫ دراه‬3 ‫آر ا ا ه‬0 ‫  ا‬Q  1  ‫و‬ P‫ دراه‬2 ‫ة ا اة ه‬%( ‫  ا‬Q‫و‬ f ( x ) = 2x − 1 : 9\$ -‫ ا‬-3 f (2) = 2 × 2 − 1 :9\$ f (2) = 3 : ‫اذن‬ g .)1 / (d ) ‫ و‬f .)1 / ( ∆ ) S) - - ‫ب‬ x 0 2 -1

2

:9\$ :9\$ : ‫اذن‬ SABFE ‫ ا م‬P  =(,9 -2

3x − 2 y = 0 :

f(x)

)

IG 2 = 80 + 64 IG 2 = 144 IG = 12

:9\$

x = 2 : 9\$ (2,3) ‫  ه ا !وج‬C9 ‫ ا‬. ‫اذن‬ ‫ آر ا ا‬0 ‫  ا‬Q y ‫ة ا اة و‬%( ‫  ا‬/ x S) -‫ا‬-2 P‫دره‬1 ‫  آر وا ب‬Q ‫ق‬+\$ 2x ‫) أي‬/%(  Q 1 ‫) ه‬9 T ‫ق ) ا‬+ ‫ ا‬9\$ 2x − y = 1 :9\$ 2x − y − 1 = 0 :9\$ 2y ‫ أي‬\$‫  آ ر‬Q ‫(وي‬\$ 3x ‫ات أي‬%( ‫[ث‬Q  Q 3x = 2 y :9\$

@

@

×3

IG 2 = 4 5

6x − 3 y − 3 − 6x + 4 y = 0 :9\$ y = 3 :9\$ 3x − 6 = 0 : )T ‫ض  ا   ا‬9

@

@

(

: 9\$

( 6x − 3 y − 3 ) − ( 6 x − 4 y ) = 0

@

@

: ‫ادن‬

‫ف‬%   ‫ن‬1\$‫(و‬1 ‫ح ا‬%

@

@

-3

 C9 ‫ ا‬.,9 -1

@

@

IC = 4 5 : ‫اذن‬ IG = 12 ‫) ان‬09 -‫ب‬ (CG ) ⊥ ( BC ) ‫( و‬CG ) ⊥ ( DC ) 9\$ ( BC ) ‫ ( و‬DC ) ‫د ب‬, ‫ى ا‬1( ‫(  ذي ' ا‬CG ) ‫اذن‬ (CG ) ⊥ ( BDC ) :  1  ‫و‬ (BDC) ‫ى‬1( ‫  ا‬R (IC) ‫و  ان‬ (CG ) ⊥ ( IC ) : ‫ن‬ C  \$‫ ا !او‬PW> ICG N'T ‫اذن ا‬ IG 2 = IC 2 + CG 2 : ‫اذن‬

#\$/‫ ا‬-‫ا‬

@

@

IC 2 = 64 + 16 :9\$ IC 2 = 80 :9\$ 2 IC = 16 × 5 :9\$

N = 10 ‫   ه‬s‫ ا‬U);, ‫ ا‬X; :9\$ 2

151 ‫)  ا )!ة‬# E ‫ ا‬7 J1 )> U); 0‫ اآ‬9\$ -1 151 # ‫ ا‬: ‫('(' ه‬1 ‫ل ا‬9 : ‫إذن‬ : )%3 ‫ ا‬# ‫ ا‬\$,/ -2 153 5 20

3

@ @ 62

152 6 15

151 150 7 2 9 2

# ‫ا‬ U);, ‫ا‬ ‫حم‬

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

y =

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

J O

(d )

@

A

AB =(,9 -‫ا‬-1 A B = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) 2 :9\$ 2

AB = (2 − −1) 2 + (1 − −3) 2

C

@ @

D

E

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

: 9\$

AB = 9 + 16 :9\$ : ‫اذن‬ AB = 5 [AB] X;19 1)Q‫د اا‬,9 -‫ب‬ [AB] X;19 E S1 x +xB xE = A 2 : 9\$ yA + yB yE = 2 −1 + 1 xE = 2 : 9\$ −3 + 1 yE = 2 0 xE = 2 : 9\$ −2 yE = 2 1  E  ; −1 : ‫اذن‬ 2  x − 2 y − 4 = 0 (D)  ‫ د‬9\$ -‫ا‬- -2 −2 y = − x + 4 :9\$ −x + 4 :9\$ y = −2

@ @

(∆ ) M (2;3) ∈ (d ) ‫ و‬O (0;0) ∈ (d ) : ‫اذن‬

0/‫ ا‬-‫ا‬

@ @

x

-#1 ‫ ا‬%# 1)/‫) ه اا‬0 ‫ ا‬., ‫ ا‬-‫ج‬ (2,3) ‫أي ا !وج‬

1*‫ اا‬-‫ا‬

@

I A (0; −1)

‫ان‬1 )D ‫) ن‬#1( ‫  ا‬1  ‫و‬

B

2 3

M (2;3)

1 ‫( ه‬D) .‫ و‬2 ‫( ه‬L) . -‫ج‬ 2 1 × 2 = 1 :9\$ ‫و‬ 2

@

0 0

x g(x)

1 ( D ) : y = x − 2 : 9\$ -‫ب‬ 2 ( ∆ ) : y = ax + b : -A ( ∆ ) //( D ) :9\$ 1 a = :9\$ 2 1 (∆ ) : y = x + b :  1  ‫و‬ 2 A ( −1, −3) ∈ ( ∆ ) : ‫و  ان‬ 1 y A = x A + b : ‫ن‬ 2 1 −3 = × −1 + b :9\$ 2 1 −3 + = b :9\$ 2 5 − = b : ‫اذن‬ 2 1 5 ( ∆ ) : y = x − : J9‫و‬ 2 2

@

@

M (2;3) ∈ ( ∆ ) ‫ و‬A (0; −1) ∈ ( ∆ ) : ‫اذن‬

1 x − 2 :‫أي‬ 2

[BE] X;19 C 9\$ -- 2   BC = CE . :9\$ t ‫زا‬s C ‫ ه <رة‬E  1  ‫و‬ t ‫زا‬s A ‫ ه <رة‬D 9\$ -3 t ‫زا‬s C ‫ ه <رة‬E 9\$ t ‫زا‬s B ‫ ه <رة‬C 9\$ ˆ \$‫  ا !او‬1  ‫و‬ .t ‫زا‬s BAˆ C ‫ ه <رة‬CDE BAˆ C = 90° ‫و ان‬ ˆ = 90° : ‫ن‬ CDE (DE) ' ‫(  ذي‬CD) ‫اذن‬

@ @ 63

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @

@ @14@æbznßüa@|îz—m 2006@ìîãìí@@ñ‡jÇ@òÛb×†

@

‫ اول‬-‫ا‬

@

@

x + y = 20  2x + 5 y = 61 x + y = 20  2x + 5 y = 61

@

2x + 2 y = 20 × 2  2x + 5 y = 61

@ @ @ @ @

3 ‫ ا‬-‫ا‬

:  C9 ‫ ا‬.,9 -1 :9\$ ×2 ×1

: 9\$

: ‫ول‬i‫  ا‬T ‫ ا‬%( ‫ح ا‬%

@

2x + 5 y − (2x + 2 y ) = 61 − 40 2x/ + 5 y − 2x/ − 2 y = 21 : 9\$ : 9\$ 3 y = 21 y = 7 : 9\$ : )1'<i‫) ا‬1 ‫  إى ا د‬J1 )# y = 7 ‫ض‬ x + 7 = 20 x = 13 : ‫اذن‬

@ @ @ @ @ @

 C9 ‫ ا‬. ‫( ه‬13;7) ‫ ا !وج‬J9‫و‬ P‫ دراه‬2 |  -%# ‫ ه د ا‬x S) -2 P‫ دراه‬5 |  -%# ‫ د ا‬y ‫و‬ P‫ دره‬61 ‫د ا  ه‬# ‫  ع‬P' 2x+5y=61 : ‫أي‬ 20 -%# ‫ أن  ع ا‬P'‫و‬ x+y=20 : ‫أي‬

@ @ @ @ @ @ @ @

x + y = 20 :  1  ‫و‬  2x + 5 y = 61

@

y=7‫ و‬x=13 :  C9 ‫? ا‬I‫ ه‬. E03  =( P' P‫ دراه‬5 |  7 ‫ و‬P‫ دراه‬2 |  13 ‫ ه‬-%# ‫اذن د ا‬

@ @

AH =(,9 -1 D  \$‫ ا !او‬PW> ADH N'T ‫ ا‬\$ AH 2 = AD 2 + DH 2 :‫اذن‬ A H 2 = 92 + 92 :9\$ 2 2 AH = 2×9 :9\$ :‫اذن‬ AH = 9 2 ACDH ‫ ا م‬P  =(,9 -- -2 ( DH ) ⊥ (DA ) ‫ ( و‬DH ) ⊥ (DC ) 9\$

( DH ) ⊥ (ADC ) :9\$

1 V ACDH = × DH × S A DC : 9\$ 3 1 9×9 : 9\$ V ACDH = × 9 × 3 2 V ACDH = 121.5cm 3 :9\$

(CDH ) //(PNM ) : 9\$ -3 ( MN ) //(DH ) : 9\$

#\$/‫ ا‬-‫ا‬

@

: ‫ م ا ول‬/‫ إ‬-1

@

1000

900

800

700

600

500

‫ ا )!ة‬P)>

‫ة‬H0 ‫  )* ا‬9‫ه‬0 =( AHD N'T ‫اذن  ا‬

@

4

6

3

4

3

5

U);, ‫ا‬

25

21

15

12

8

5

P‫اآ‬1 ‫ح ا‬

A M AN MN = = AH AD DH 1 AM = AH : ‫و  ان‬ 3 AM 1 :‫اي‬ = AH 3 AM AN MN 1 = = = : ‫اذن‬ AH AD DH 3

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

U); 0‫  اآ‬1 ‫('(' ه >)  ا )!ة ا‬1 ‫ال ا‬9 -2 900 ‫ال ه‬9 ‫  ا‬1  ‫ و‬6 ‫ ه‬U); 0‫اآ‬ )%3 ‫)  ا‬# ‫د ا‬,9 - -3 25 ‫(وي‬\$   s‫ ا‬U);, ‫ أن ا‬P' 12.5 ‫ ا   ه‬U);, ‫ ا‬X; ‫أي‬  ‫ة‬H0 0‫ اآ‬P‫اآ‬1 U); 0‫آ‬i # ‫اذن >)  ا )!ة ا‬ 15 ‫ أي‬12.5 800 ‫)  ا )!ة‬# E ‫ ا‬15 P‫اآ‬1 ‫ ا‬U);, ‫و ا‬ 800: )%3 ‫)  ا‬# ‫اذن ا‬ :  (, ‫(= ا ل ا‬,9 -4

@ M = @ @

ACDH ‫) ل‬c;/ AMNP ‫  ان ا م‬93  1  ‫و‬ 1 : 0(9 3 3

1 : J9‫و‬ V A MNP =   ×V A CDH 3 1 V A MNP = × 121.5 = 4.5cm 3 :‫ادن‬ 27

500 × 5 + 600 × 3 + 700 × 4 + 800 × 3 + 900 × 6 + 1000 × 4 25

64

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @

0 2

x g(x)

1 4

M =

B (1; 4) ∈ (d ) ‫ و‬A (0; 2) ∈ (d ) : ‫اذن‬

M=756

y

@

B

@ @ @

J O

I

f (3) 4 : J9‫و‬ = 3 3 4 f ( x ) = x :  1  ‫و‬ 3

x

@

g(-2)=-2‫ و‬2 ' E#,/ 1 ‫ ا‬g )+ 1 ‫د ا ا  ا‬,9 ‫ب‬ g(x)=2x+b : 9\$ 2 ‫ ه‬g . g(-2)=2x+b : J9‫و‬ g(-2)= -4+b : ‫أي‬ -4+b= -2 J9 ‫و‬ b=4-2=2 : ‫اذن‬ g(x)=2x+2 :  1 ‫وا‬

@ @ @ @ @

%# ‫ه أ ;ل‬g ‫ و‬f‫* ا ;رة ب‬+ J ‫ي‬I ‫ ا د ا‬- ‫ب‬ -3 ‫ أي‬-#1 ‫ا‬

1*‫ اا‬-‫ا‬

@

[AB] X;19 M 1)Q‫د إا‬,9 --‫ا‬-1

@

xM =

@ @ @

yM

@

xM

@

yM

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

: ‫ادن‬ P‫ دره‬756 ‫(  ه‬, ‫ادن ا ل ا‬

a=

@

@

:9\$

f )%b ‫د ا ا  ا‬,9 -‫ أ‬-1 f .)T / ‫  إ‬19/ M(3,4) ‫ أن‬P' f(3)=4 : ‫أي‬ f . a S)

A (0; 2)

@

25

0/‫ ا‬-‫ا‬

M

@ @

2500 + 1800 + 2800 + 2400 + 5400 + 4000

xM

xA +xB 2 y + yB = A 2 −2 + 6 = 2 3 −1 = 2 =2

y M =1

3 f   =(,9 -‫ ا‬-2 2 4 f ( x ) = x : ‫و  ان‬ 3 3 4 3 f   = × : 9\$ 2 3 2 3 f  =2 : ‫اذن‬ 2  1 g  −  =(,9  2 g ( x ) = 2x + 2 : ‫و  ان‬

: 9\$

: 9\$

: 9\$

M ( 2;1) : ‫اذن‬

−1  1 g  −  = 2 × + 2 :)\$ 2  2  1 g  −  = −1 + 2 = 1 : 9\$  2

(AB)‫;ة ل‬1b ‫د ا د  ا‬,9 -‫ب‬ (AB):y = ax+b : -A

− yB : 9\$ −xB 4 −1 : 9\$ = −8 2 −1 (AB ) : y = x + b : J9‫و‬ 2

yA xA 3 − −1 a= = −2 − 6 a=

2 ‫ ه‬g‫ ب‬J/‫ي <ر‬I ‫ ه ا د ا‬x S) -‫ب‬ g(x)=2 : 9\$ 2x+2=2 J9‫و‬ 2x=2-2: 9\$ x=0 : ‫اذن‬ g ‫ ب‬2 ‫ ه‬J/‫ي <ر‬I ‫ ه ا د ا‬0 J9 g '& (d ) ‫ و‬f '& ( ∆ ) *% -‫ ا‬-3 x 0 3 f(x) 0 4 M (3; 4) ∈ ( ∆ ) ‫ و‬O (0;0) ∈ ( ∆ ) : ‫اذن‬

:b ‫د‬,9

−1 x B +b 2 −1 −1 = × 6 + b 2 −1 = −3 + b 2 =b

yB =

: 9\$ : 9\$ : 9\$ : ‫اذن‬ 65

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @

AB = 64 + 16 : ‫اذن‬

@

AB = 80

@

:‫اذن‬

@

PQ = (x Q − x P ) 2 + ( y Q − y P ) 2 :9\$ ‫و‬

@

PQ = (4 − 0) 2 + (5 − −3) 2

:9\$

PQ = (4) 2 + (8) 2

:9\$

@ @

(AB ) : y =

‫ت أن‬%28* 9‫ ه<ا ا;ال وذا‬-> *?‫ ا‬-@ :  5 .‫ ن اد‬B‫و‬A -  ‫ا‬  \$ ( ∆ ) ‫ ( ⊥ ) ∆ ( و‬A B ) : 9\$ [AB] ^3‫ ) ∆ ( وا‬-‫ ا‬-2 .[AB] X;19 

−1 x + 2 : 9\$ 2 ( ∆ ) : y = 2x − 3 ‫و‬ −1 × 2 = −1 : ‫و  ان‬ 2 ( ∆ ) ⊥ ( A B ) : ‫اذن‬

(AB ) : y =

PQ = 16 + 64

:9\$ : ‫اذن‬ PQ = 80 : J9‫و‬ PQ = AB = 80 -  APBQ ‫) ان‬09   AQ = PB . :9\$ ‫[ع‬Ri‫ازي ا‬1 APBQ :9\$ } ‫  ذ‬E#,1 ‫ ا‬S \$ Q ∈ (∆ ) ‫ و‬P ∈ (∆ ) 9\$ ‫و‬ ( AB ) ⊥ (∆ ) ‫و  ان‬ ‫ان‬1 APBQ‫ي‬%> ‫ ان‬9\$ ‫(ن‬\$#1 ‫ ن و‬11 [AB] ‫[ و‬PQ] ‫'ن‬A ‫وا‬ .-  APBQ : ‫اذن‬

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

[AB] X;19 M 1)Q‫ إا‬9\$ M ( 2;1)

( ∆ )  ‫  د‬M 1)/‫ض ا‬9 1 = 2 × 2 − 3 :  

1=1 : ‫أي‬ M ∈ ( ∆ ) :  1  ‫و‬ M ∈ ( ∆ ) ‫ ( ⊥ ) ∆ ( و‬A B ) ‫اذن‬ .[AB] ^3‫ ) ∆ ( وا‬J9‫و‬ ( ∆ ) : y = 2x − 3 9\$ -‫ب‬ y P = 2x P − 3 : 9\$ P ∈ (∆ ) -3=2x0-3 : 9\$ -3=-3 : ‫أي‬ P ∈ (∆ ) :  1  ‫و‬ Q 1)/‫د اا‬,9 -‫ا‬-3  AQ ( x Q − x A ; y Q − y A ) : 9\$

:3 ‫ ا‬-‫ا‬

@ @ @ @

A

@

) ABCD 9\$ -‫ا‬-1   AB = DC . :9\$ C ‫ ه‬T ‫زا‬s D ‫' <رة‬1  ‫و‬ .S6 ‫ ا‬-‫ب‬

@ @ @ @

I D

B

 AQ ( x Q − −2; y Q − 3) : 9\$  AQ ( x Q + 2; y Q − 3). : ‫اذن‬  PB (x B − x P ; y B − y P ). ‫و‬  PB (6 − 0; −1 − −3). : 9\$  PB (6; −1 + 3). : ‫اذن‬  PB (6; 2). : J9‫و‬

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

C

J

−1 x + 2 : J9‫و‬ 2

K

T ‫زا‬s B ‫ ه‬A ‫ <رة‬9\$ -‫ا‬- 2 T ‫زا‬s J ‫ ه‬I ‫ <رة‬9\$ T ‫زا‬s C ‫ ه‬D ‫ <رة‬9\$ ˆ ˆ ‫إذن <رة‬ BJC ‫ ه‬T ‫زا‬s A ID ‫ان‬1 ) ‫ا ا‬%> ‫  أن‬-‫ب‬ ˆ = 90° ‫أي‬ AID ˆ ‫ ه‬T ‫زا‬s A ID ˆ ‫و  أن <رة‬ BJC ˆ = 90° J9‫و‬ BJC \$‫ ا !او‬PW> BJC N'T ‫  ا‬1  ‫و‬    DK = DB + DC . : 9\$ -3 ‫[ع‬Rs‫ازي ا‬1 DBKC ‫إذن‬   BK = DC . : J9‫و‬       AB = BK . : 9\$ BK = DC . ‫ و‬AB = DC . ‫  ان‬-‫ب‬ T ‫زا‬s B ‫ <رة‬K J9‫و‬

  A Q = PB . 9\$

 x Q + 2 = 6 : 9\$   y Q − 3 = 2 x Q = 4 ;; y Q = 5 : 9\$ Q (4;5) : ‫اذن‬

AB=PQ ‫  ان‬E#,19 -‫ب‬ AB = (x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 :9\$

66

AB = (6 − −2) 2 + (−1 − 3) 2

:9\$

A B = (8) 2 + ( −4) 2

:9\$

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

‫ ادس‬-‫ا‬

@ @15@æbznßüa@|îz—m 2006@ìîãìí@@òÇŠ†@òbß@‘ì@òèu

S

‫ اول‬-‫ا‬ 2x − 3 y = 11  4x + y = 15 2x − 3 y = 11  4x + y = 15

:  C9 ‫ ا‬.,9

2x − 3 y = 11 (2) 2  1 ‫ ض‬ (1)  y = 15 − 4x 2x − 3(15 − 4x ) = 11   y = 15 − 4x 2x − 45 + 12x = 11   y = 15 − 4x 14x = 11 + 45   y = 15 − 4x 14x = 56   y = 15 − 4x x = 4   y = 15 − 4x x = 4   y = −1

: 9\$ :  

: 9\$ : 9\$ : 9\$ : ‫اذن‬

 C9 ‫ ا‬. ‫( ه‬4;-1) ‫ ا !وج‬J9‫و‬

#\$/‫ ا‬-‫ا‬

@

3 5 B ( , ) : 9\$ 2 2

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

@ @

A

: 9\$

@

@

C O

f(1) =(,9 -‫ أ‬-1 f (x ) = 3x − 2 : 9\$ f (1) = 3 × 1 − 2 : 9\$ :‫أي‬ f (1) = 1 A (0, 2) :9\$ -‫ب‬ A ∈(∆) f (0) = 2 : 9\$ f (0) = 3 × 0 − 2 : ‫و  أن‬ f (0) = −2 : ‫اذن‬ A ∉ ( ∆ ) : 1  ‫و‬

@

D

:9\$

OA‫د‬,9 -‫ا‬- -1 (ADC): ‫ى‬1( ‫  ا‬9\$ D  \$‫ ا !او‬PW> ADC N'T ‫ا‬ : ‫اذن‬ A C 2 = A D 2 + DB 2 2 2 2 AC = (3 2) + (3 2) : ‫أي‬ AC 2 = 36 : ‫أي‬ AC = 6 :  1 ‫وا‬ [AC] X;19 O ‫و  ان‬ OA=3 : ‫ن‬ ‫ع‬#/‫( ار‬SO) 9\$ -‫ب‬ O  \$‫ ا !او‬PW# ‫ ا‬SAO N'T ‫  ا‬:  1  ‫و‬ ‫ة‬H0 ‫رس ا‬D1) 9‫ه‬0 =( SO 2 = SA 2 − A O 2 :  2 2 2 SO = 5 − 3 : 9\$ 2 2 : 9\$ SO = 25 − 9 = 4 SO = 4cm : J9‫و‬ ABCD -  ‫(= ( ا‬,9 -‫ج‬ B

(

S ABCD = AB 2 = 3 2

)

2

= 18cm 2

: 9\$

: ‫ ا م‬P  =(,9 V SA BCD V SA BCD V SA BCD

3 5 B ∈(∆) f ( ) = : 9\$ 2 2 3 3 f ( ) = 3 × − 2 :‫و  أن‬ 2 2 3 9 f ( ) = − 2 : ‫اذن‬ 2 2 3 5 f ( ) = : ‫أي‬ 2 2

1 = × SO × S A BCD : 9\$ 3 1 : 9\$ = × 4 × 18 3 : 9\$ = 24cm 3 SA ′ 2 = : 9\$ -‫ ا‬-2 SA 5 2 )c;1 ‫ ا‬0(  1  ‫و‬ 5

2 0(9 SABCD‫) ل‬c;/ ‫ ه‬SA ′B ′C ′D ′ ‫ ا م‬-‫ب‬ 5

:  1  ‫و‬ 2

4 76 2 S A ′B ′C ′D ′ =   × S ABCD = × 18 = cm 2 25 25 5

67

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @

AB = 50 :9\$

@

[AB] X;19 1)Q‫د اا‬,9 -2 [AB] X;19 I S1

@ @ @ @

yI

@

xI

@ @ @

yI

@

xI

@

yI

@ @ @ @

@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

xA +xB 2 y + yB = A 2 4 + −1 = 2 −2 + 3 = 2 3 = 2 1 = 2 3 1 I ;  2 2

xI =

1 1

Y

: 9\$

B

: 9\$

J

F

O

I

: 9\$ F (1;1) ∈ (∆ ) ‫ و‬E (0; −2) ∈ (∆ ) : ‫اذن‬

: ‫اذن‬

3 1 CI = ( − 2)2 + ( − 4) 2 2 2

:9\$

B  ')T /  \$ 1 ‫ ا‬g)%b ‫ ا ا  ا‬.T 9 -‫ أ‬-2 g .)1 / (d) S) g c)< \$,/ -‫ب‬ )%&  ‫ دا‬g : ‫  أن‬ g ( x ) = ax : ‫ن‬v

 −1   7  CI =   +    2  2

: 9\$

g (x ) : 9\$ x B ∈ (d ) ‫  أن‬

a=

2

1 49 + 4 4 50 CI = 4 50 CI = 4 5 2 CI = 2 CI =

x

E (0; −2)

CI ‫د‬,9 -3 CI = (x I − x C ) 2 + ( y I − y C ) 2 : ‫  أن‬

2

0 -2

x f(x)

AB = 5 2 : ‫اذن‬

@

@

-‫ج‬ 9\$

A B = (5) 2 + ( −5) 2 : 9\$

@

@

B ∈ ( ∆ ) : ‫اذن‬

AB = (x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 : 9\$

3 5 g   = : 9\$ 2 2 3 g( ) a = 2 :   3 2

:9\$ : 9\$ : 9\$

5 5 2 5 a = 2 = × = : 9\$ 3 2 3 3 2 5 g (x ) = x :‫اذن‬ 3

:9\$ : ‫ج‬1913‫ا‬ [AB] X;19 I : ‫  أن‬ AB : ‫ن‬v 2 5 2 : 9\$ AI = IB = 2 AI = IB =

0/‫ ا‬-‫ا‬ 

AB . 1)Q‫د اا‬,9 -1  AB (x B − x A ; y B − y A ). 9\$  AB (4 − −1; −2 − 3). : 9\$  AB (5; −5). : ‫اذن‬

AI=BI=CI : ‫اذن‬  ( ‫* ا‬+9 ABC N'T ‫  رؤوس ا‬0/ I ‫اذن‬ \$‫ ا !او‬PW> N'T ABC ‫اذن‬

@ @

AB =(,9 68

@ïßb“ç@‡Ûb‚@@Zˆ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@òzz—ß@òiìèu@æbãbznßa@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@pbîšbí‹Ûa@À@ðìè§aa@‡Çb¾a @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @

500+x 21

= 25

: ‫أي‬

‫ ادس‬-‫ا‬ SO ‫ع‬+/‫د ار‬,9 -1 (SDB) ‫ى‬1( ‫  ا‬9\$ [DB] X;19 O ‫ و‬SB=SD [DB] %#' ^3‫( وا‬SO) : ‫اذن‬ O  \$‫ ا !او‬PW# ‫ ا‬SDO N'T ‫  ا‬:  1  ‫و‬ ‫ة‬H0 ‫رس ا‬D1) 9‫ه‬0 =( SO 2 = SD 2 − DO 2 :  DO ‫د‬,9 (ADB): ‫ى‬1( ‫  ا‬9\$ A  \$‫ ا !او‬PW> ADB N'T ‫ا‬ DB 2 = AD 2 + AB 2 : ‫اذن‬ 2 2 2 DB = (3 2) + (3 2) : ‫أي‬ : ‫أي‬ DB 2 = 36 DB = 6 :  1 ‫وا‬ [DB] X;19 O ‫و  ان‬ DO=3 : ‫ن‬ 2 2 SO = SD − DO 2 : ‫و  ان‬ : ‫ن‬ SO 2 = 52 − 32 2 SO = 16 :‫أي‬ SO=4 : ‫اذن‬ ABCDA ′B ′C ′D ′ P( ‫ ا‬P  =(,9 -2 ABCDA ′B ′C ′D ′ P  V S) SABCD P  V1 ‫و‬ SA ′B ′C ′D ′ P  V2‫و‬ V =V 1 −V 2 : ) 1 ‫ ا [> ا‬9\$ [SB] X;19 B ′ ‫[ و‬SA] X;19 A ′ ‫ ان‬P'‫و‬ A ′B ′ =

@

1 ‫(وي‬/ 2

@ @ @ @ @ @ @ @

: ‫[ع‬R‫(وي ا‬1 BDI N'T ‫) ان ا‬09 -2 t ‫ زا‬B ‫ ه <رة‬D ‫  ان‬ t ‫ زا‬A ‫ ه <رة‬I ‫و‬ DI=AB :‫اذن‬ DI=2 : ‫أي‬ t ‫ زا‬B ‫ ه <رة‬D ‫  ان‬ AI=BD :9\$ [AB] X;19 I : ‫و  أن‬  ( ‫* ا‬+9 ABC N'T ‫  رؤوس ا‬0/ I ‫اذن‬ AI = IB =

3 ‫ ا‬-‫ا‬ : ‫;);ت‬, ‫ ول ا‬-1 38 37 30 29 28 24 22 18 17 ‫ ا )!ة‬P)> 1 1 3 1 2 4 3 3 2 U);, ‫ا‬ M :  (, ‫(= ا ل ا‬,‫ ا‬-2 M=

M=

3

1 V 2 =   V1 2 1 V 2 = V1 8 V =V 1 −V 2 1 V =V 1 − V 1 8 7 V = V1 8

AB :9\$ 2

AI=2 :9\$ BD=2 : 9\$ IB=DI=BD=2 9\$ : IBD N'T ‫اذن  ا‬ ‫[ع‬R‫(وي ا‬1 BDI N'T ‫ ا‬:‫اذن‬

AB :‫ن‬ 2

0(90 SABCD‫) ل‬c;/ ‫ ه‬SA ′B ′C ′D ′ ‫ا   أن‬IS‫وه‬

@

I ‫ ه‬A ‫اذن <رة‬ -‫ب‬

500+x = 25×21:‫أي‬ x = 25 : ‫ادن‬

@ @

1*‫ اا‬-‫ا‬

uuur AI  1 ‫ ذات ا‬t ‫ ازا‬9\$ -‫ أ‬-1

: 1  ‫و‬

17×2 +18×3+ 22×3+ 24×4 + 28×2 + 29×1+30×3+37×1+38×1 20

500 20

M=25

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17×2 +18×3+ 22×3+ 24×4 + 28×2 + 29×1+30×3+37×1+38×1+1×x 21

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