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PROBLEMAS SEGUNDO DE ESO 1. LA ENVASADORA

Ana es una inventora muy creativa. Ha ideado esta original máquina para el envasado de aceite de una marca de reconocido prestigio. El aceite entra de forma constante por los puntos A, B y C en la misma cantidad por cada uno de ellos y discurre a través de los conductos de la estructura hasta los puntos D, E, F, G. Se quieren llenar 1200 botellas iguales. Suponiendo que los cambios de botella no representan pérdida alguna de aceite ni de tiempo, ¿cuántas botellas se llenarán en cada uno de los puntos D, E, F, G?


1200 botellas

Si n es el nº de botellas en D...

Dn

E  7n/5

F  7n/5

Gn

Sumando: n+7n/5+n+7n/5=1200  n =250 botellas

D  250 botellas E 350 botellas F350 botellas G250 botellas


2. LA CERRADURA

El dibujo representa una cerradura doble. Se abre con dos llaves circulares que han de encajar, exactamente en los agujeros. Calcula la cantidad de metal necesario para hacer esta cerradura.

Solución:

Es el área de 15 cuadrados de lado 6 cm menos el área de dos círculos de radio r = 3 cm.

Cantidad de chapa = 15 · 36 – 2  · 9 = 483,45 cm2


3. EL AUTOBÚS.

Carlos es un criminal muy buscado. Tiene la particularidad de cambiar de aspecto hábilmente y pasar desapercibido. Un día en el que es perseguido por el Inspector López, se refugia en un microbús de doce plazas algo especial: sobre cada lado del pasillo hay dos asientos que llevan número consecutivos y de las dos personas que lo ocupan hay una que dice la verdad y otra que miente. He aquí las declaraciones de los doce pasajeros del microbús: (1) el 5 es un embustero (2) yo soy Carlos

(5) yo sé quién es Carlos (6) yo no soy Carlos

(9) yo no soy Carlos (10) yo sé quién es Carlos

(3) yo soy Carlos (4) yo no soy Carlos

(7) el tres dice la verdad (8) el 2 es un embustero

(11) el 10 dice la verdad (12) el 5 dice la verdad

(1) El 5 es un embustero. (2)

(5) Yo no sé quien es Carlos.

(9)

(6)

(10) Yo sé quién es Carlos

Yo no soy Carlos. (3)

Yo no soy Carlos. (7)

Yo no soy Carlos. (4)

(11) El tres miente.

(8) Yo no soy Carlos.

Yo soy Carlos.

El 2 es un embustero.

El 10 dice la verdad. (12) El 5 no dice la verdad.


4. CESTAS DE HUEVOS El huevero tiene seis cestas con huevos. Cada una tiene huevos de una clase, de gallina o de pata. Cada cesta tiene el número de huevos que se indica:

El huevero dice, señalando una cesta que no acierto a ver cuál es exactamente: "Si vendo esta cesta, me quedaré el doble de huevos de gallina que de pata" ¿Podrías ayudarme a averiguar de qué cesta está hablando?. Solución En total el huevero tiene 99 huevos, que es un número múltiplo de 3 y, por lo tanto, se pueden separar en un tercio por un lado, y dos tercios por otro (los dos tercios son el doble de un tercio). Para que se quede "con el doble de huevos de gallina que de pata" debe de estar mirando a una cesta en la que el número de huevos sea múltiplo de 3, de lo contrario el número total de huevos restantes dejaría de ser múltiplo de 3. De esta manera descartamos las cestas 29, 23 y 14; debe de estar mirando alguna de las tres restantes y observando los números de huevos de las cestas vemos que: 15+14 = 29. Hay una cesta de 29 huevos. 23+6 = 29. Debe, pues, estar mirando a la cesta que tiene 12 huevos.


PROBLEMAS CUATRO DE ESO

1. Calcula el mayor número natural de 6 cifras, n, que cumple: - Sus tres primeras cifras coinciden con sus tres últimas cifras (es decir, n es de la forma “ABCABC”). - m.c.d. (n,5544)=924 ABCABC= 100000A+10000B+1000C+100A+10B+C= 1000(100A+10B+C)+ 100A+10B+C= 1001 (100A+10B+C) =7·11·13·ABC

ABCABC = 7·11·13·ABC 5544= 23·32·7·11 924 = 22·3·7·11

ABC es múltiplo de 12, además no puede ser múltiplo de 8, ni de 9 Eso se cumpla con el 996

Luego el número buscado es el 996996


2. FLOR EN BALDOSA

En el parque de mi ciudad hay unas baldosas cuadradas con el diseño de una bonita flor en su interior. El lado de la baldosa es de 40 cm ¿cuál es el área de la flor?

Solución:

Área de cada una de las cuatro zonas blancas= A. cuadrado de lado 40 cm – A triángulo equilátero de lado 40 cm – A dos sectores de amplitud 30º y radio 40 cm = 402 – 400  ·40 2 2· = 69,4216 cm2 12

3 -

Área de la flor = Área cuadrado – Área de las cuatro zonas blancas = 402 – 4· 69,42 = 1322,32 cm2


3. EL AUTOBÚS.

Carlos es un criminal muy buscado. Tiene la particularidad de cambiar de aspecto hábilmente y pasar desapercibido. Un día en el que es perseguido por el Inspector López, se refugia en un microbús de doce plazas algo especial: sobre cada lado del pasillo hay dos asientos que llevan número consecutivos y de las dos personas que lo ocupan hay una que dice la verdad y otra que miente. He aquí las declaraciones de los doce pasajeros del microbús: (1) el 5 es un embustero (2) yo soy Carlos

(5) yo sé quién es Carlos (6) yo no soy Carlos

(9) yo no soy Carlos (10) yo sé quién es Carlos

(3) yo soy Carlos (4) yo no soy Carlos

(7) el tres dice la verdad (8) el 2 es un embustero

(11) el 10 dice la verdad (12) el 5 dice la verdad

igual que 2º ESO


4. COLECCIONISTAS

Agustín, Bruno, Carlos, Diego, Ezequiel y Federico son coleccionistas de cuadros y dos de ellos son hermanos. Un día fueron juntos a una exposición y compraron de la siguiente manera: 

Agustín compró 1 cuadro, Bruno compró 2, Carlos 3, Diego 4, Ezequiel 5 y Federico 6.  Los dos hermanos pagaron igual cantidad de dinero por cada uno de los cuadros que compraron.  Los demás del grupo pagaron el doble por cada cuadro de los que pagaron los hermanos.  En total pagaron 100.000 €.  El precio de cada cuadro era un número entero de euros. ¿Quiénes son hermanos?

Solución En total tenemos 21 cuadros; llamemos "y" a los cuadros que compran los hermanos, y "z" a los cuadros que compran los demás, "x" a lo que le cuesta a los hermanos los cuadros. Entonces: xy+2xz=100.000; y+z=21; con lo que tenemos: x(y+2z)=100.000, x(21+z)=100.000; z puede ser 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y 18; pero z solo puede ser 11, ya que al sumarle z a 21 ha de dar un divisor de 100000. Al ser z 11, y será 10, los únicos dos que suman 10 los cuadros comprados son 4+6; Los hermanos son por tanto Diego y Federico.


problemas olimpiada matematica soria 2013