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C.C.A

“En todo amar y servir”

Nombre: Cesar Abraham Suazo Ponce Grado: 9no grado Sección: “A” Correo electrónico: cesarsuazop@hotmail.com


Sistema de ecuaciones *Concepto: Ecuaciones lineales con 2 incógnitas a toda expresión del tipo ax+by=c siendo a, b y c números tales que a y b son diferentes de 0 y xe y son las incógnitas *Sistema de ecuaciones lineales: Es un conjunto en donde cada ecuación es de primer grado  3 x + 2 x 2 + x 3 = 1  2 3  2 x + 2 x + 4 x = −2  1 − x + x 2 + x 3 = 0  2


Método de igualación 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método de reducción


1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.


Método de sustitución 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.


Método por determinantes Para resolver el sistema r, s, son números reales.

donde x y y son las incógnitas y a, b, c, d,

1. Consideramos el arreglo variables.

que consta de los coeficientes de las

2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y restando el producto de los números que están en las esquinas inferior izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos

3. Con la notación observamos que la solución del sistema es

Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los términos independientes.


Ejemplos: Igualaciรณn:

1 Despejamos, por ejemplo, la incรณgnita x de la primera y segunda ecuaciรณn:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuaciรณn:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5 Soluciรณn:


Reducción:

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:


Sustitución:

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución


Determinantes: SOLUCIÓN Calculamos primero el determinante del sistema.

Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos entre el determinante del sistema

Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos entre el determinante del sistema.

COMPROBACIÓN Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones Primera ecuación: 5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10 Segunda ecuación 2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1


Ejercicios Igualación: 2 x + 3 y = 8  5 x − 8 y = 2 x = 8 − 3 y  5 x = 51 + 8 y 8 − 3y 2 51 + 8 y =x 5 8 − 3 y 51 + 8 y = = 2 5 = 5( 8 − 3 y ) = 2( 51 + 8 y ) = 40 − 15 y = 102 + 16 y = 15 y − 16 y = −40 + 102 − 31 y 62 = = − 31 31 y=2 8 − 3 y( 2) x= 2 2 = 2 x =1 RESPUESTA X =1 Y =2 x=


Sustitución: 4 x + y = −29  5 x + 3 y = −45 4 x = −29 − y − 29 − y x= 4  − 29 − 5 y  = 5  + 3 y = −45 4   − 145 − 54 = + 3 y = −45 4 = −145 − 5 y + 12 y = −180 = −5 y + 12 y = −180 + 145 7 y − 35 = = 7 7 y = −5 x = 5 x + 3( − 5) = −45 = 5 x − 15 = −45 = 5 x = 15 − 45 5 x 30 = = 5 5 x=6 RESPUESTA X =6 Y = −5


Reducción 7 x + 4 y = 65  5 x − 8 y = 3

7 x + 4 y = 65 → x 2 → {14 x + 8 y = 130 = 5 x − 8 y = 3 →→→→ { 5 x − 8 y = 3 19 x 133 = 19 19 x=7 = 5( 7 ) − 8 y = 3 = 35 − 8 y = 3 = 8 y = 3 − 35 =

− 8 y − 32 = −8 8 y=4 RESPUESTA X =7 Y =4 =


Determinantes − 3 x + 8 y = 13  8 x − 5 y = −2 13 8 − 2 − 5 − 65 + 16 − 49 x= = = −3 8 15 − 64 − 49 8 −5 x =1 y = 8(1) − 5 y = −2 = 8 − 5 y = −2 − 5 y − 10 = −5 5 y=2 RESPUESTA X =1 Y =2


Cualquier m茅todo Reducci贸n


Sistema de ecuaciones