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Unidad 1
1.2
La integral definida y el teorema fundamental del cálculo
Sumas de Riemann y la integral definida Entender la definición de una suma de Riemann Hallar una integral definida utilizando límites. Calcular una integral definida utilizando las propiedades de las integrales definidas.
Sumas de Riemann En la definición de área dada en la sección 1.1, las particiones tenían subintervalos de igual ancho. Esto se hizo solo por conveniencia de cálculo. El siguiente ejemplo muestra que no es necesario tener subintervalos de igual ancho.
Una partición con subintervalos de anchos desiguales
EJEMPLO 1
y
Considere la región acotada por la gráfica de
f(x) = x
f x
1 n−1 n
x
y el eje x para 0 ≤ x ≤ 1, como se muestra en la figura 1.14. Encuentre el límite
...
n
lím
n→
2 n 1 n
f ci
xi
1
i
donde ci es el punto terminal derecho de la partición dada por Ci = i2 n2 y ∆xi es el ancho del i-ésimo intervalo.
x
Solución
1 22 . . . (n − 1)2 1 n2 n2 n2
El ancho del i-ésimo intervalo está dado por
xi
Los subintervalos no tienen anchos iguales. Figura 1.14
i2 n2
i
i2
i2
1
2
n2 2i
1
n2 2i n2
1.
Por tanto, el límite es n
n
lím
n→
f ci i
1
xi
lím
n→
1
1 n lím 3 2i 2 n→ n i 1 nn 1 lím 3 2 n→ n
y
x = y2 1
i
i 2 2i 1 n2 n2
lím
(1, 1)
Área = 1
n→
3
4n 3
3n2 6n 3
i 1 2n 6
1
1
nn 2
n
2. 3
(0, 0)
x 1
El área de la región acotada por la gráfica de x = y2 y el eje y para 0 ≤ y ≤ 1 es 13. Figura 1.15
De acuerdo con el ejemplo 7 de la sección 1.1, sabe que la región mostrada en la 1 figura 1.15 tiene un área de 3. Debido a que el cuadrado acotado por 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1 tiene un área de 1, puede concluir que el área de la región que se muestra en la figura 1.14 es 23. Esto concuerda con el límite que encontró en el ejemplo 1, aun cuando en ese ejemplo utilizó una partición con subintervalos de anchos desiguales. La razón por la que esta partición particular da el área apropiada es que cuando n crece, el ancho del subintervalo más grande tiende a cero. Esta es la característica clave del desarrollo de las integrales definidas.