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GALVÁN/ CIENFUEGOS/ ROMERO FABELA/ ELIZONDO/ RODRÍGUEZ/ RINCÓN

CÁLCULO DIFERENCIAL

Un enfoque constructivista para el desarrollo de competencias mediante la reflexión y la interacción


Cálculo diferencial:

Un enfoque constructivista para el desarrollo de COMPETENCIAS mediante la reflexión y la interacción Tercera edición Delia Aurora Galván Sánchez Dora Elia Cienfuegos Zurita José de Jesús Romero Alvarez María de la Luz Fabela Rodríguez Isabel Cristina Elizondo Ordóñez Ana María Rodríguez López Elvira Guadalupe Rincón Flores Revisores técnicos: Dr. Gerardo P. Aguilar Sánchez Profesor del Departamento de Física y Matemáticas División de Ingeniería y Arquitectura Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México

L.F.M. Daniel Barriga Flores Director del Departamento de Ciencias Básicas División Profesional Tecnológico de Monterrey, Campus Morelia

Dr. Leopoldo Zúñiga Silva Doctor en Ciencias en Matemática Educativa, CICATA-IPN Tecnológico de Monterrey, Campus San Luis Potosí

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Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12

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Contenido Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Mensaje para los profesores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Mensaje para los estudiantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 UNIDAD I: Análisis y aplicación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Función exponencial base e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones trigonométricas: seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuevas funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➢ Suma, resta, producto y cociente de dos funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➢ Función compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➢ Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➢ Otras funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➢ Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 28 46 56 68 88 95 104 112 112 113 116 124 125

UNIDAD II: Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.1 Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➢ Límite en un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➢ Límites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➢ Límites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130 130 143 146 152

UNIDAD III: La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

La derivada como razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La derivada como pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivada por gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivada con fórmulas y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cómo derivar funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Recta tangente y razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretación de la derivada en términos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La derivada como estrategia para obtener límites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164 175 180 193 208 222 229 233

UNIDAD IV: Optimización de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 4.1 Cómo aplicar la derivada a problemas de optimización: máximos y mínimos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 4.2 Concavidad y puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Sección de conocimientos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Hojas de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Temas complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 ➢ ➢ ➢ ➢

Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Efectos en la gráfica de una función al sumar, restar o multiplicar una constante . . . . . Derivada de otras funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivada de funciones trigonométricas inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

397 401 414 415

Contenido r

7


Unidad 1

Funciones, representación y análisis Temas

14 r Unidad 1

1.1

Función.

1.2

Función lineal.

1.3

Función potencia.

1.4

Función polinomial.

1.5

Función exponencial.

1.6

Función exponencial con base e.

1.7

Funciones logarítmicas.

1.8

Funciones trigonométricas seno y coseno.

1.9

Nuevas funciones.

Funciones, representación y análisis


En nuestra vida diaria, continuamente surgen situaciones en las cuales dos o más cantidades o variables se relacionan entre sí mediante alguna regla o patrón. Es ahí donde, sin darnos cuenta, están presentes las matemáticas y lo más sorprendente es que aún sin conocerlas formalmente… ¡las estamos utilizando! Entre los muchos ejemplos de esto podemos mencionarte los siguientes: r El costo de publicar en un periódico un aviso de venta de un automóvil depende del número de palabras que tiene el texto publicado. r El valor de las unidades de inversión (UDI´S dependen del tiempo en días), ya que éstas cambian diariamente. r El costo de transportarnos en un taxi depende de la distancia en kilómetros recorridos.

UNIDAD

1 Reconocer que en determinada situación está presente una función y poder establecer un modelo matemático que la represente es de gran utilidad, ya que con la fórmula podemos realizar un análisis de la situación, hacer predicciones a futuro y tomar mejores decisiones fundamentadas en un conocimiento. En esta unidad aprenderás a reconocer cuándo una situación de la vida real es, desde un punto de vista matemático, una función. Conocerás los tipos de funciones que más aplicación tienen en la vida diaria, y aprenderás a reconocerla y a plantear su ecuación. En algunos de los ejercicios que se plantean (y resuelven) utilizamos datos reales con el fin de demostrar que en verdad utilizamos las matemáticas para resolver los problemas cotidianos de la vida real y con ello aumentar la motivación por el aprendizaje de éstas.

UNIDAD

Tema 1.1

Estudio del cambio uniforme. Modelo lineal r

15 1 5


1.1 .

Función

Reflexiona y contesta las situaciones planteadas. 1. Cuando hablas por celular, ¿de qué depende el costo de esa llamada? 2. Un vendedor de automóviles tiene un sueldo fijo de $6 000 por quincena y recibe una comisión por cada automóvil vendido. ¿De qué dependerá su sueldo en la próxima quincena?

Si analizas las situaciones anteriores te darás cuenta de que en ambos casos existe una relación entre dos variables o cantidades y se cumple que una de las variables depende de la otra; en matemáticas, para describir esa relación, usamos un concepto que se llama función. En nuestra vida diaria encontramos una infinidad de situaciones en las que identificamos una relación entre dos variables en donde una depende de la otra; sin embargo, NO toda relación entre dos variables es una función (desde un punto de vista matemático), hay una condición que se debe cumplir; veamos en la siguiente definición cuál es esa condición.

No t a

Se acostumbra utilizar la letra f para denotar a una función, ya que es la letra más representativa para el concepto; sin embargo, se puede utilizar cualquier otra letra para denotarla. Cómo comprobar si una relación entre dos variables es función A REFLEXIONAR

Para verificar si existe una relación funcional entre dos variables podemos representar la situación mediante diagramas, de la siguiente manera: Variable independiente x

Decimos que la variable y está en FUNCIÓN

x1

de la variable x, si se cumple

x2

que cada valor de x se relaciona con un ÚNICO

x3

valor de y. A la variable y se le llama variable dependiente y a la variable x se le llama variable independiente. La forma de denotar esta relación funcional es: y = f (x ) que se lee como “y está en función de x” o “y depende de x”.

16 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis

Variable dependiente y y1 y2 y3 y4

Debemos analizar los valores de x y de y, y comprobar que se cumple que cada valor de x se relaciona con un único valor de y; ¿Esto se cumple? Observa que x2 y x3 se relacionan con el mismo valor de y3; en ese caso, ¿la relación es una función? ___________________ ¿Por qué?


Cuándo no es una función

-RMUXTW

Indica si la gráfica dada corresponde a una función.

Observa el siguiente diagrama Variable independiente

y

Variable dependiente 6

t

w

4

w1

t1 t2 t3 t4

w2 w3

2 0 6

4

2

x 0

2

4

6

2 4 6

La relación entre estas dos cantidades, ¿es una función? _________ ¿Por qué

En esta gráfica TODA línea vertical corta a la gráfica en un solo punto, por lo que a cada x le corresponde un único valor de y; por tanto, SÍ es una función.

Otra forma de determinar si una relación entre dos variables es una función

Regla de la línea vertical: Si conocemos la gráfica de una relación, podemos determinar si es una función por medio de la regla de la línea vertical, la cual consiste en trazar líneas verticales en la gráfica. Si al trazar dichas líneas, TODAS cortan la gráfica en un sólo punto, entonces sí es una función, ya que se cumple que cada valor de la variable independiente se relaciona con un único valor de la variable dependiente. Si al menos una línea vertical corta a la gráfica en dos o más puntos, entonces no es función, ya que la variable independiente se estaría relacionando con más de un valor de la variable dependiente. -RMUXTW

Indica si la gráfica dada corresponde a una función. y 6 4 2

x

0 6

4

2

0

2

4

Dominio y Rango de una función

El dominio y el rango de una función son conceptos relacionados con sus variables, veamos cómo se definen.

Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de la variable independiente. Rango o imagen: Es el conjunto de valores correspondientes a la variable dependiente.

No t a

El dominio y el rango de una función no necesariamente son valores numéricos, también pueden representarse con un conjunto de palabras, el cual puede estar escrito por enumeración o por descripción (mediante un enunciado), por ejemplo:

6

2 4 6

;WT]KQ~V

;WT]KQ~V

Observa que aquí la línea vertical toca a la gráfica en 2 puntos, por lo que NO cumple con la condición para ser función, ya que para una x hay 2 valores de y.

r Si la variable representa los meses del año, los valores que puede tomar se representan como el conjunto {enero, febrero, marzo, … diciembre}; también pueden representarse mediante el enunciado {Todos los meses del año}. r Si la variable representa colores de automóvil, los valores que puede tomar se representan como el conjunto {azul, gris, blanco, . . .}. Tema 1.1

Función r

17


No t a

Cuando la variable representa algo de la vida real, por ejemplo: costos, tiempo, edad, altura, precio, etc., el conjunto de valores del dominio y del rango deben ser razonables, de acuerdo con lo que la variable representa.

R Si, por ejemplo, una variable representa temperaturas, no necesariamente debe ser un número entero o un valor aislado, puede tomar valores decimales, así que el conjunto solución puede denotarse con un intervalo como el siguiente, T E ( 5, 48)

Cómo clasificar a las variables

Las variables de una función pueden ser discretas o continuas. r Se dice que una variable es discreta cuando sólo puede tomar valores aislados, es decir, sus valores pueden enumerarse; la forma de representarla es como un conjunto de datos y se escribe de la siguiente forma: {todos los x, donde x es un elemento del dominio}. Por ejemplo: R Si la variable representa el número de automóviles vendidos, los valores que puede tomar se representan mediante el conjunto {x donde x  0, 1, 2, 3, . . .}. R Si la variable representa el costo de envío de un paquete, los valores que puede tomar son valores aislados, ya que éste se calcula por medio de rangos de acuerdo con el peso del paquete; por ejemplo, si el peso está entre (0, 3] kilos, el costo es de $5 y si el peso está entre (3, 6) kilos, el costo es de $8.50 y así sucesivamente; en este caso los valores que puede tomar la variable costo, se representa mediante el conjunto {y donde y  5, 8.50, . . .}. r Se dice que una variable es continua, cuando puede tomar cualquier número (incluso decimales y fracciones), en este caso sus valores NO se pueden enumerar; la forma de representarla es con un intervalo y se escribe de la siguiente forma:

si consideramos las temperaturas máximas y mínimas registradas en Monterrey, Nuevo León. Cómo representar funciones

Las funciones pueden presentarse de diferentes formas, es importante que sepas identificar y trabajar cada una de ellas, en este curso manejaremos tablas de datos, gráficas y fórmulas. 1o. Tablas de datos: En la primera línea colocamos los valores de la variable independiente y en la segunda línea los de la variable dependiente. Por ejemplo, x (variable independiente)

1

2

3

y (variable dependiente)

1

4

9

2o. Gráficas: Para graficar utilizaremos el plano X-Y. En el eje horizontal dibujaremos los valores de la variable independiente y en el eje vertical los de la variable dependiente. Por ejemplo, y variable dependiente 15 10 5

10

18 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis

6

4

variable x independiente 0 2 0 2 4 6 8 10 12 5

x E (a, b) Los extremos del intervalo pueden ser abiertos o cerrados, de acuerdo con lo que la variable represente. Si los extremos están incluidos, esto se denota con intervalo cerrado y los valores se colocan entre corchetes, por ejemplo [a, b]; si los extremos no están incluidos, esto se denota con intervalo abierto y los valores se colocan entre paréntesis, por ejemplo (a, b). Puede suceder que un extremo sea cerrado y el otro abierto, por ejemplo, (a, b] o [a, b).

8

No t a

Al graficar una función en la que las variables son discretas, la gráfica está formada por puntos aislados; sin embargo, es válido unir los puntos para identificar a qué tipo de función se ajusta la gráfica; en las siguientes secciones estudiaremos los diferentes tipos de funciones.


3o. FĂłrmulas: Son ecuaciones matemĂĄticas, en donde dejamos expresada la variable dependiente en tĂŠrminos de la variable independiente, es decir, y  f (x) Por ejemplo y  2x  5, y  2x, etcĂŠtera. -RMUXTW

Analicemos la situaciĂłn planteada al inicio del capĂ­tulo:

El costo de una llamada por celular depende del tiempo, en minutos, que dure la llamada. Suponga que su celular estĂĄ inscrito en el Plan Amigo y tiene $100 de crĂŠdito que equivalen a 40 minutos de tiempo aire. La relaciĂłn entre las variables Âżes una funciĂłn? ;WT]KQ~V

Lo primero que debemos hacer es verificar si se cumple la condiciĂłn para que la relaciĂłn entre las dos variables sea funciĂłn. Para ello identificamos las variables, es decir, cuĂĄl es la independiente y cuĂĄl la dependiente y seleccionamos la letra con la que las vamos a representar (por lo general, se acostumbra utilizar la primera letra de la palabra). r La variable independiente es el tiempo que dura la llamada y la podemos representar con la letra t. r La variable dependiente es el costo y lo podemos representar con la letra C. Ahora debemos comprobar que se cumple la relaciĂłn uno a uno entre las variables, para lo que tenemos que elegir un valor de la variable independiente y relacionarlo con el valor correspondiente de la variable dependiente. Consideremos una llamada que dura 5 minutos, el costo de esa llamada serĂ­a $12.50; entonces relacionamos 5 con 12.50 y reflexionamos haciĂŠndonos la pregunta: Para esa misma llamada de 5 minutos, ÂżhabrĂĄ otro costo?, es decir, Âżpuede tener un costo con 2 o mĂĄs valores diferentes? Tomemos otro valor para t, por ejemplo 6 minutos. Esta llamada tendrĂ­a un costo de $15, Âżes el Ăşnico valor posible? Utilicemos diagramas para representar la situaciĂłn anterior y analizarla. Debemos pensar en diferentes valores de la variable independiente t (inventarlos), de tal manera que el valor que tomemos sea ra-

zonable con lo que la variable representa y relacionarlos con su posible valor de la variable dependiente, que tambiĂŠn debe ser un valor razonable de acuerdo con el valor independiente con el que se relaciona. Es decir, Tiempo (en minutos)

5

Costo (en pesos)

12.50

6 6.20

15

Observa que para cada valor de tiempo hay un Ăşnico valor de costo, por tanto, la relaciĂłn entre las variables es funciĂłn; no importa que t  6 y t  6.20 se relacionen con el mismo valor de costos, eso no contradice la definiciĂłn ya que se relacionan solamente uno a uno. Dado que la situaciĂłn anterior es una funciĂłn, podemos hablar del dominio y del rango para la funciĂłn.

No t a

Recuerda que los valores asignados al dominio y al rango deben ser valores razonables de acuerdo con lo que la variable representa. r El dominio para la funciĂłn serĂ­a D  t E [0, 40], si consideramos a 0 como una llamada sin contestar y a 40 como el tiempo mĂĄximo que se puede hablar con una tarjeta de $100. La variable es de tipo continua, ya que puede tomar todos los valores intermedios y se representan en un intervalo. r El rango para la funciĂłn es R  C E [0, 100] donde el 0 y el 100 son los valores correspondientes para el mĂĄximo y mĂ­nimo en el dominio. La variable es de tipo continua, ya que puede tomar todos los valores intermedios y se representan en un intervalo.

No t a

En este caso las variables no pueden tomar valores negativos, pues no podemos hablar de tiempos ni de costos negativos; considerando la situaciĂłn planteada, hay un valor mĂĄximo a considerar en ambos casos. Tema 1.1

FunciĂłn r

19


Por último, denotemos la función: Dado que utilizamos la letra t para representar el tiempo que dura la llamada y la letra C para representar el costo de la llamada, la notación funcional quedaría expresada como C  f (t) que se lee como el costo está en función del tiempo o el costo depende del tiempo. -RMUXTW

La siguiente tabla muestra el consumo mensual de agua durante los meses de enero a junio de 2003.

Mes

enero febrero marzo abril mayo junio

Consumo de agua en m3

20

17

20

19

22

21

La relación entre las variables ¿es una función? ;WT]KQ~V

Observa que en cada mes hay un único valor de consumo; por tanto, la relación es una función. En este caso,

20 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis

r La variable independiente es el mes y podemos representarlo con la letra m. r La variable dependiente es el consumo mensual y podemos representarlo con la letra C. Dado que la relación es una función, es posible hablar del dominio y del rango para la función. r El dominio de la función es D  {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio}. La variable es de tipo discreta, ya que sólo toma valores aislados. r El rango de la función es R  {17, 19, 20, 21, 22}, el cual contiene los valores correspondientes al consumo mensual; éstos deben escribirse en orden creciente y, si algún valor se repite, sólo se escribe una vez. La variable es del tipo discreta, pues solamente toma valores aislados. Por último, denotemos la función: Dado que utilizamos la letra m para representar el mes y la letra C para representar el consumo mensual, la notación funcional quedaría expresada como C  f (m), que se lee: el consumo está en función del mes o el consumo depende del mes.


¡A TRABAJAR!

UNIDAD 1

En los ejercicios 1, 2 y 3, determina si la relación entre las variables del enunciado es una función. Si cumple con ser función: dar el dominio, el rango y clasificar a las variables como discreta y continua.

-RMZKQKQW

El costo (expresado en pesos) de enviar por correo un paquete, depende de su peso (expresado en gramos)

a) La relación entre las variables del enunciado, ¿es una función? b) Proporciona el dominio y el rango, y clasifica las variables como discretas o continuas.

;WT]KQ~V

a) Identifica las variables y define la letra para representarla

Independiente 







Dependiente

Utiliza diagramas para comprobar si una variable independiente se relaciona con una única variable dependiente

+WVKT][Q~V

¿Es función?

¿Por qué?

Dominio (valores de la variable independiente) La variable es Rango (valores de la variable dependiente) La variable es

❒ Discreta ❒ Continua ❒ Discreta ❒ Continua

b) ¿Cómo se denota la función?

-RMZKQKQW

Supongamos que la temperatura, en °C, depende del mes del año en que estemos.

La relación entre las variables del enunciado, ¿representa una función?

;WT]KQ~V

Identifica las variables y define la letra para representarla

Independiente 







Dependiente

¡A Trabajar! r

21


Utiliza diagramas para comprobar si una variable independiente se relaciona con una Ăşnica variable dependiente.

+WVKT][Q~V

-RMZKQKQW

ÂżEs funciĂłn?

ÂżPor quĂŠ?

Supongamos que en el enunciado anterior escribimos temperatura mĂĄxima.

a) ÂżLa relaciĂłn representa una funciĂłn?

;WT]KQ~V

Identifica las variables y define la letra para representarla

Independiente 







Dependiente

Utiliza diagramas para comprobar si una variable independiente se relaciona con una Ăşnica variable dependiente.

b) Proporciona el dominio y el rango y clasifica a las variables como discretas o continuas. Dominio (valores de la variable independiente) La variable es Rango (valores de la variable dependiente) La variable es

â?&#x2019; Discreta â?&#x2019; Continua â?&#x2019; Discreta â?&#x2019; Continua

c) ÂżCĂłmo se denota la funciĂłn? __________________________

22 r Unidad 1

Funciones, representaciĂłn y anĂĄlisis


-RMZKQKQW

La siguiente gráfica muestra una función que da las ventas en una agencia de automóviles en los meses de enero-diciembre un cierto año

Cantidad de automóviles vendidos

Mes del año

Contesta lo que se indica con respecto a la situación planteada a) ¿Qué representa la variable independiente? b) ¿Qué representa la variable dependiente? c) ¿En qué periodo las ventas fueron disminuyendo? d) ¿En qué mes no hubo ventas? e) ¿Cuál fue el comportamiento de las ventas en los primeros tres meses del año? f ) ¿En qué periodo las ventas fueron aumentando? g) De los 2 periodos en que las ventas fueron aumentando, ¿hay alguno que sea mejor que otro? ¿Cuál periodo?

-RMZKQKQW

+WVKT][Q~V

¿Por qué es mejor?

La relación entre las cantidades de la siguiente tabla, ¿es una función? Justifica tu respuesta.

¿Es función?

T

2

1

0

1

2

S

4

1

0

1

4

¿Por qué?

¡A Trabajar! r

23


-RMZKQKQW

¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función? Justifica.

a)

y 4 2 x

0 3

2

1

0

1

2

3

2 4

¿Es una función? ¿Por qué? ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Cuál es el rango de la función?

b) y 4 2 0 3

2

1

x 0

1

2 4

¿Es una función? ¿Por qué?

24 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis

2

3


Conjunto de ejercicios de práctica sección 1.1 En los siguientes ejercicios del 1 al 18 indica si la relación entre las cantidades es una función; si lo es, indica su dominio, rango y si las variables son discretas o continuas 1.

2.

3.

4.

t

1

0

1

0

y

1/2

0

1/2

1

5

10

15

5

10

15

0

t

1

2

3

1

− 2

− 3

0

x

7

14

21

28

p

1

2

3

4

n

1980

I

40 000 23 000

13. Alumnos de la clase de Matemáticas I y cantidad de computadoras portátiles de cada alumno. Supón que la cantidad de computadoras portátiles depende del alumno. 14. Maestro del colegio X y número de computadoras por maestro. Supón que el número de computadoras depende del maestro.

r

1983

UNIDAD 1

15. La producción de maíz en una empresa depende (producción máxima de 50 toneladas) del número de trabajadores. 16. El costo de la siembra (máximo $200 000) depende de los kg de semilla utilizada. 17. Los litros de gasolina que gasta diariamente un automóvil (máximo 35 litros) depende de los kilómetros recorridos.

1987

1989

3 500

16 000

5. La estatura que debe tener un niño depende de su edad (medida cada año). Considera la edad del niño desde recién nacido hasta 10 años de edad. 6. Los grupos de Matemáticas I y profesores de Matemáticas I. Supón que el grupo depende del maestro.

18. Los litros de agua que se gastan en un centro de lavado de autos depende del tamaño del automóvil (chico, mediano y grande). Gráficas y funciones 19. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función? Explica tu respuesta a) 5 4 3

7. Alumnos de Matemáticas I (específicamente los de este grupo) y día de cumpleaños. Supón que la fecha de cumpleaños depende del alumno.

2 1 0

8. Alumnos de Matemáticas I (específicamente los de este grupo) y fecha de cumpleaños. Supón que el alumno depende de la fecha de cumpleaños.

5

4

3

2

1

11. La calificación que obtienen los alumnos de Matemáticas depende del número de horas que invierten en estudiar. 12. Número de becarios asignados a los maestros del colegio X y maestros del departamento de Matemáticas. Supón que el maestro depende del número de becarios asignados.

0

1

2

2 3

9. Los idiomas en que se pueden inscribir los alumnos de un colegio depende del alumno. 10. Maestros del departamento de Matemáticas y número de libros que tiene el maestro. Supón que el número de libros depende del maestro.

1

b) 2 1 0 5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

1 2 3

Conjunto de ejercicios de práctica 1.1 r

25


c)

d) 2

4

1

3 2

0 1

2

0

1

2

3 1

1

0 4

2

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

1 2

e) 5 4 3 2 1 0 14

13 12 11 10

9

8

7

6

5

4

3

2

0 1

1 1 2

20. Determina el dominio y el rango de las siguientes funciones. y

a)

d)

e)

y

x 2

6

1 x

12

b)

5

y

x 4

f)

4

c)

2

5 4 3

1 0 3

2

1

y 5 4 3 2 1 x 0 1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5

2

4

1

1

4

5

5

x 1.5

7

0 1

26 r Unidad 1

y 4

3

2

Funciones, representaci贸n y an谩lisis

1

2

3

4

5

4

1.5


21. Las perspectivas del Banco de México indican que la economía, en 2003, tuvo el siguiente comportamiento: un inicio promisorio; luego entre abril y septiembre la situación se descompuso y, finalmente, en el último trimestre, la situación mejoró sustancialmente. Dibuja una posible gráfica del comportamiento de la economía en el año 2003. (Fuente: El Norte, 29 de enero de 2004). Nota: Promisorio  que va en aumento. 22. La siguiente gráfica muestra el número de empresas industriales en Nuevo León durante los primeros 10 meses del año 2003. (Fuente: El Norte, 29 de enero de 2004). a) ¿Qué representa la variable independiente y la variable dependiente? b) ¿En qué mes se registró el mayor número de empresas industriales y cuántas fueron? c) ¿En qué mes se registró el menor número de empresas industriales y cuántas fueron?

11 de abril de 2003: se informa de 2 890 casos (de los cuales 1309 se registraron en China, 1 059 en Hong Kong y 133 en Singapur) y 116 decesos. 22 de abril de 2003: en China han ocurrido 2 000 casos y 92 muertes, y se registran 5 casos nuevos de infección por hora. La epidemia avanza en Canadá, donde se registran 304 casos. Hay un total de cuatro 4 500 casos confirmados en todo el mundo. 1 de mayo de 2003: 5 220 casos y 329 fallecimientos registrados en 28 países.

24. Dada la siguiente gráfica que muestra la tasa de crecimiento de la población desde 1895 a 1995, a) ¿Qué representa la variable independiente y la variable dependiente? b) Identifica ¿en qué período (de años) se obtuvo la tasa más baja y cuál fue? c) ¿En qué periodo (de años) se obtuvo la más alta y cuál fue? (INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000).

Saldo negro… En los primeros 10 meses de 2003, el número de empresas industriales bajó en NL. (Número de industrias de la transformación en el estado). 10 427 Ene 03

10 406 Dic 02

222 Variación neta 10 184 Oct 03

Fuente: IMSS.

25. A partir de los datos mostrados en la siguiente gráfica publicada por el INEGI. (INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000) a) ¿Qué representa la variable independiente y la variable dependiente? b) ¿En qué periodo la población disminuyó?

23. La siguiente información indica el avance de la epidemia SARS en el mundo, en el periodo noviembre 2002–mayo 2003. Dibuja una posible gráfica de número de casos contra tiempo. (Fuente: Selecciones del Reader´s Digest, agosto de 2003). AVANCE DE LA EPIDEMIA 16 de noviembre de 2002: se registra el primer caso de SARS en la provincia de Guangdong, China. Principios de marzo de 2003: la enfermedad se propaga a Hong Kong, Canadá, Singapur y Vietnam. 26 de marzo de 2003: hasta el 28 de febrero se habían contabilizado 792 casos y 31 muertes en Guangdong.

Conjunto de ejercicios de práctica 1.1 r

27


26. Observa y describe el comportamiento entre la producción manufacturera y la maquiladora que se muestra en la siguiente gráfica. (Fuente: “http:// www.revistapoder.com/NR/exeres/A 57A9278-B8EE438F-A6DB-F9703520B8E5.htm ) 1. La apuesta a la maquila El desarrollo industrial de México se concentró en la maquila. Producción| Manufacturera sin maq. Producción| Maquiladora 280

28. Con base en los datos que ofrece la siguiente gráfica: a) ¿Cómo podemos interpretar la desnutrición en los países desarrollados? b) De continuar esta tendencia ¿qué comportamiento se espera en la desnutrición después del año 2030. (Fuente: “http:// www.revistapoder.com/NR/exeres/8B2A39C621CE-48C6-9467-3A410766AE46.htm ) Millones de personas

% de la población

240

Ene-01

Ene-02

Ene-00

Ene-98

Ene-99

Ene-97

Ene-95

Ene-96

Ene-94

Ene-93

120 z 80

FUENTE: ELABORACIÓN PROPIA CON DATOS DE INEGI Y CENSUS BUREAU, EUA.

25

800

20

600

15

400

10

200

5

0

0 1990z 1992

27. La siguiente gráfica muestra los efectos de la oferta laboral en nuestro país debido a la desaceleración industrial en Estados Unidos. Describe el comportamiento de Jun-01 a Mar-02. (Fuente: “http://www. revistapoder.com/NR/exeres/A57 A9278-B8EE-438FA6DB-F9703520B8E5.htm) 3 800

2015

2030

29. Por medio de un graficador determina si las siguientes ecuaciones corresponden a una función. a) x  4y  y2  0 b) y =

3 600

1997z 1999

FUENTE: FAO (ORGANIZACIÓN PARA LA AGRICULTURA Y LA ALIMENTACIÓN, ONU).

Establecimientos de maquila

3 700

% de la población

z 160

Millones de personas

1000

200

x 3/ 2 + 3 x 3 4x − 5

c) y = 3 x 4 + 4 x 2

3 500 3 400

d) 16(y  2)2  25(x  5)2  400 Dic-01 Mar-02 Jun-02

Mar-00 Jun-00 Sep-00 Dic-00 Mar-01 Jun-01 Sep-01

3 200

Mar-99 Jun-99 Sep-99 Dic-99

3 300

e) y =

x 3/ 2 + 3 x 3 5x

FUENTE: BASADA EN DATOS DE INEGI.

1.2 .

Función F unciión lineal lineall

La función lineal es una función que se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los economistas se basan en la linealidad de esta función y, las leyes de la oferta y la demanda son fundamentales en cualquier análisis económico. En medicina ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg sobre recuperación de información. Estas son sólo algunas de las aplicaciones, conforme avances en el estudio de esta sección conocerás algunas aplicaciones más de esta importante función. 28 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis


El cálculo es una rama de la matemática que estudia el cambio. Si observamos a nuestro alrededor nos damos cuenta de que todo

Es obvio que la estatura de una persona cambia paulatinamente, por lo que sería importante saber cuánto creciste por año, durante la última década. ¿Qué harías para obtener esta información?

cambia: la población, el nivel de contaminación, la economía, la inflación, la temperatura, también nosotros cambiamos, nuestra edad, estatura, peso, etcétera; por esta razón el ser humano se interesa en medir el cambio. Reflexiona sobre cómo mides el cambio.

CONSTRUCCIÓN

Supongamos que actualmente mides 1.70 m de estatura y pesas 65.30 kg y que hace 10 años tenías una estatura de 1.45 m, mientras que tu peso era de 44 kg. ¿Cuánto ha cambiado tu estatura de 10 años a la fecha?

¿Cuánto creciste por año? En matemáticas, a este número se le llama camΔe . bio promedio de la estatura y se denota por Δt Encuentra el cambio promedio del peso en el periodo de 10 años. Δp = Δt

No t a

En resumen, para obtener el cambio (absoluto) de una cantidad “y”, en un intervalo de tiempo [a, b], el valor de dicha cantidad en el tiempo b, se le resta el valor que ésta tenía en el tiempo a, es decir

¿Cuánto cambió tu peso en ese tiempo?

Cambio en y  6y  y2  y1

¿Qué hiciste para obtener los valores anteriores? Si se tratara de cualquier otra cantidad, ¿harías la misma operación para obtener el cambio en un cierto periodo?

No t a

En matemáticas, al igual que en otras ramas de la ciencia, se utilizan símbolos especiales para denotar algunos conceptos; tal es el caso del cambio, que para denotarlo se utiliza el símbolo % que corresponde a la letra “delta” mayúscula del alfabeto griego (que es equivalente a la letra “D” del abecedario romano); así que si la estatura la denotamos con la letra e entonces la expresión %e representaría el cambio en la estatura. ¿Cómo denotarías el cambio en el peso? ¿Y el cambio en el tiempo?

y para obtener el cambio promedio de una cantidad “y” en un intervalo de tiempo [a, b], se divide el cambio en “y” entre el cambio en el tiempo, es decir Cambio promedio de “y” 



Δy y2 − y1 = Δt t2 − t1 cambio en la variable dependiente

cambio en la variable independiente

No t a

Observa que obtener el cambio promedio en un intervalo [a, b] es equivalente a obtener la pendiente de la línea que une los puntos (t1, y1) y (t2, y2). En lo sucesivo, llamaremos pendiente al cambio promedio.

Tema 1.2

Función lineal r

29


La razón por la que se estudia el cambio y el cambio promedio, es porque proporcionan información acerca del comportamiento de los valores de una variable y con base en esto se pueden analizar situaciones para tomar decisiones. En matemáticas también se emplea el cambio y el cambio promedio para clasificar funciones, por ejemplo, cuando una función tiene un cambio promedio constante para cualquier periodo que se analice, ésta recibe el nombre de función lineal. Cómo reconocer una función lineal

Las funciones lineales se caracterizan por tener un cambio promedio (una pendiente) constante; es decir, para cualquier par de puntos que se analicen, el cambio promedio siempre será el mismo. El cambio promedio (la pendiente) puede ser positivo, si los valores de la función aumentan, o negativo, si los valores de la función disminuyen. El símbolo que se utiliza para denotar la pendiente es la letra m. Como el cambio promedio y la pendiente son conceptos equivalentes, entonces Δy concluimos que m = , por lo que en adelante Δx también utilizaremos la letra m para denotar al cambio promedio. -RMUXTW

Determina si la siguiente función, expresada en una tabla de valores,

es lineal. x

0

5

7

19

y

3

13

23

33

;WT]KQ~V

Para determinar si es lineal tenemos que encontrar el cambio promedio (la pendiente) para cada par de puntos consecutivos, es decir, entre los puntos (0, 3) y (5, 13), 13 − 3 el cambio promedio es m = = 2 y entre los 5−0 puntos (5, 13) y (7, 23) el cambio promedio es: 23 − 13 = 5 no hay necesidad de continuar 7−5 buscando los cambios promedio para los demás puntos, ya que de aquí podemos concluir que la función no es lineal porque el cambio promedio (la pendiente) para estos dos pares de puntos no es el mismo. m=

30 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis

-RMUXTW

Determina si la siguiente función, expresada en la tabla de valores, es

lineal. x

1

0

3

5

9

y

5.5

7

11.5

14.5

20.5

;WT]KQ~V

De nuevo, para determinar si es lineal hay que encontrar el cambio promedio (la pendiente) para cada par de puntos consecutivos, es decir, entre los puntos (1, 5.5) y 7 − 5.5 = 1.5 (0, 7), el cambio promedio es: m = 0 − ( −1) Entre los puntos (0, 7) y (3, 11.5) el cambio promedio es: 11.3 − 7 m= = 1.5 3− 0 El hecho de que en dos pares de puntos el cambio promedio sea el mismo, no implica que la función sea lineal; tenemos que verificar que la pendiente sea constante para todas las parejas dadas en la tabla. Entre los puntos (3, 11.5) y (5, 14.5), la pendiente es 14.5 − 11.5 m= = 1.5 5− 3 Entre los puntos (5, 14.5) y (9, 20.5), la pendiente es m=

20.5 − 14.5 = 1.5 9−5

Como el cambio promedio (la pendiente) es constante para todo par de puntos, concluimos que la función dada es lineal.

No t a

Observa que aunque los valores de x y y no aumentan en forma constante, podemos decir que la función se ajusta a un modelo lineal, ya que sí aumentan en forma proporcional de un punto a otro; es decir, obtuvimos que el cambio promedio es de 1.5. Éste representa el cambio de y por cada unidad de x; también observa que del segundo al tercer punto la x aumentó 3 unidades. Ahora observa cuánto aumentó la y del segundo al tercer punto: aumentó en tres veces el cambio promedio, es decir, aumentó 4.5 unidades; lo mismo ocurre en los


demás puntos, el aumento para x y y en puntos consecutivos se da en la misma proporción. Al ser un cambio proporcional podemos asegurar que es una función lineal.

donde m representa el cambio promedio de la función (conocida como pendiente) y b es la intersección con el eje y (el valor de y cuando x  0). Para obtener la ecuación podemos utilizar la forma punto – pendiente

Ecuación de una función lineal

En la sección anterior mencionamos que podemos representar una función por medio de una tabla de valores como una gráfica o una fórmula. CONSTRUCCIÓN Para encontrar una fórmula que describa una función lineal, podemos aprovechar el hecho de que el cambio promedio es constante. Retomemos el ejemplo anterior, donde m  1.5 y sabemos que si x  0 y  7 (observa la tabla de datos anterior). Expresaremos cada uno de los puntos de la tabla anterior en términos del cambio promedio m  1.5 y del punto (0,7), que es la intersección con el eje y.

Para x = 3, el valor de y es y  11.5, este valor lo podemos escribir como 11.5  7 1.5 (3). Para x  5, el valor de y es y x  14.5, este valor lo podemos escribir como 14.5  7 1.5 (5). Para x  9, el valor de y es y  20.5, este valor lo podemos escribir como 20.5  7  1.5 (9). Por último, este comportamiento también se cumple para x  1, ya que en este caso se tiene que y  7 1.5 (1) Podemos resumir el análisis anterior en la siguiente tabla:

y  y1  m(x  x1) donde m es la pendiente (cambio promedio en la función con respecto a x) y (x1, y1) es un punto de la función. Si no conocemos la pendiente, podemos obtenerla con la fórmula

m=

y2 − y1 x2 − x1

donde (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos de la función. Observa que la fórmula de la pendiente es la división del cambio en y entre el cambio en x. Gráfica de una función lineal

La gráfica de una función lineal es una línea recta que puede ser creciente, decreciente, u horizontal, dependiendo de cómo sea la pendiente. Para la función y  mx  b: R S  i la pendiente es positiva ‰ la función es creciente y su gráfica quedaría como: y

x  1

y  7  1.5 (1)

x0

y  7  1.5 (0)

x3

y  7  1.5 (3)

x5

y  7  1.5 (5)

x9

y  7  1.5 (9)

Por tanto, concluimos que para un valor cualquiera de x, la ecuación para esta función lineal es y 7  1.5 x

`

`

valor de y cuando x0

Cambio promedio (pendiente)

Al generalizar lo anterior tenemos que: La ecuación de una función lineal es de la forma

5 x

0 6

4

2

0

2

4

6

5

R S  i la pendiente es negativa ‰ la función es decreciente y su gráfica quedaría como: y 5 x

0 6

4

2

0

2

4

6

5

y  b  mx

Tema 1.2

Función lineal r

31


Ahora ya tenemos una estrategia para encontrar la inversa de la funciĂłn exponencial y  ax, sabemos que hay que despejar x, para hacerlo podemos escribirla como ax  y, que es la forma que tienen las ecuaciones de los ejemplos anteriores. Como x es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener el nĂşmero y, entonces x debe ser el logaritmo base a de y que se denota por x  loga y; de esta forma tenemos ya despejada la variable que estĂĄ en el exponente.

exponencial; se utiliza tanto, que recibe el nombre de base natural. Para resolver la ecuaciĂłn ex  y, debemos encontrar el exponente x al que hay que elevar la base natural e para obtener el nĂşmero y. Si seguimos la lĂłgica de los ejemplos anteriores dirĂ­amos que x debe ser el logaritmo base e de y; sin embargo, cuando en la funciĂłn exponencial se usa como base la base natural e, el exponente x recibe el nombre de logaritmo natural y se denota como x  ln y.

FunciĂłn logarĂ­tmica de base a La funciĂłn logaritmo natural se deďŹ ne como la inversa de la funciĂłn La funciĂłn logarĂ­tmica de base a se

exponencial de base e y se denota como â&#x20AC;&#x153;lnâ&#x20AC;? Es decir x  ln y

deďŹ ne como la inversa de

si y sĂłlo si

ex  y

en donde y  0.

la funciĂłn exponencial de base a Es decir, x  loga y

si y sĂłlo si

ax  y

en donde x  0 y a es un nĂşmero real positivo diferente de uno.

El dominio de la funciĂłn loga x es el conjunto de valores de x, tal que x  0 y su imagen es el conjunto de todos los nĂşmeros reales.

El dominio de la funciĂłn ln x es el conjunto de valores de x tales que x  0 y la imagen es el conjunto de todos los valores reales. -RMUXTW

Resuelve la ecuaciĂłn 10 t  5 y encuentra el valor numĂŠrico del expo-

nente t. GrĂĄfica de la funciĂłn logarĂ­tmica

Ya que la funciĂłn logarĂ­tmica de base a es la inversa de la funciĂłn exponencial base a, podemos dibujar su grĂĄfica reflejando la grĂĄfica de la funciĂłn exponencial con respecto a la lĂ­nea y  x; esto puede observarse en la siguiente figura:

;WT]KQ~V

Para resolver la ecuaciĂłn dada debemos despejar t y su valor es el logaritmo base 10 de 5, que en forma logarĂ­tmica se escribe como t  log 5; para obtener el valor numĂŠrico de log 5, utiliza tu calculadora y tendrĂĄs como resultado que t  0. 698970 -RMUXTW

SupĂłn que se depositaron $20 000 en una cuenta bancaria y despuĂŠs de un aĂąo el saldo en la cuenta es de $21 940. Si el banco capitalizĂł el interĂŠs continuamente y no se hizo ningĂşn otro depĂłsito ni retiro, ÂżcuĂĄl fue la tasa nominal que pagĂł el banco? ;WT]KQ~V

FunciĂłn logaritmo natural

En la secciĂłn anterior encontramos el valor del nĂşmero e  2.71828182846â&#x20AC;Ś Este nĂşmero se usa con mucha frecuencia como base de una funciĂłn 96 r Unidad 1

Funciones, representaciĂłn y anĂĄlisis

Para contestar a la pregunta, primero debemos plantear la ecuaciĂłn que describa la situaciĂłn anterior. De acuerdo con los datos del enunciado, sabemos que corresponde a un modelo exponencial con base e y que cumple la siguiente igualdad: Saldo despuĂŠs de un aĂąo  (depĂłsito inicial)etasa


Al sustituir los valores dados quedarĂ­a la ecuaciĂłn 21.940  20 000er. Para resolverla hay que despejar el exponente r. Primero pasamos dividiendo el 20 000 al lado izquierdo de la igualdad, para obtener la ecuaciĂłn 1.097  er El valor del exponente r es el logaritmo natural de 1.097, que en forma logarĂ­tmica se escribe como r  ln 1.097. Para encontrar el valor numĂŠrico de ln 1.097, utiliza tu calculadora. . ÂżQuĂŠ nĂşmero obtuviste? r  El valor obtenido representa la tasa nominal que pagĂł el banco. -RMUXTW

Resuelve la ecuaciĂłn 2  3x y encuentra el valor numĂŠrico del exponente x.

;WT]KQ~V

ÂżQuĂŠ debemos hacer para resolver la ecuaciĂłn?

.

Escribe el exponente x en forma logarĂ­tmica. x  Lo podrĂĄs resolver directamente si en tu calculadora aparece la tecla

loga x .

Para los casos en que la calculadora no tiene la tecla de la funciĂłn logarĂ­timca base â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? necesitamos tener otra estrategia para resolver la ecuaciĂłn; a continuaciĂłn presentamos una lista de propiedades que te serĂĄn Ăştiles para resolver tanto ecuaciones exponenciales como logarĂ­tmicas y con las que siempre podrĂĄs encontrar el valor numĂŠrico del logaritmo. Propiedades de los logaritmos

Las propiedades de los logaritmos tienen mĂşltiples aplicaciones, por ahora las utilizaremos solamente para resolver ecuaciones exponenciales, es decir, para despejar variables que se encuentran en un exponente. Cuando necesitamos resolver una ecuaciĂłn exponencial de base 10, se recomienda utilizar el logaritmo base 10, â&#x20AC;&#x153;logâ&#x20AC;? y para resolver ecuaciones exponenciales de base e, se utiliza el logaritmo natural â&#x20AC;&#x153;lnâ&#x20AC;?. Para resolver ecuaciones exponenciales con bases diferentes a la 10 y a la e, se puede utilizar cualquiera de los dos tipos de logaritmos, sin embargo aquĂ­ utilizaremos los logaritmos naturales. Logaritmo base 10

Logaritmo natural (base e)

Propiedades

Propiedades

1. Log( AB ) = LogA + LogB

1. In( AB ) = In A + In B

 A 2. Log    LogA  LogB  B

 A 2. In    In A  In B  B

3. LogAB = B LogA

3. In AB = B In A

Identidades

Identidades

4. Log(10 A ) = A

4. In ( e A ) = A

LogA 5. 10 = A

In A 5. e = A

Valores especiales

Valores especiales

6. Log(10) = 1

6. In e = 1

7. Log(1) = 0

7. In1= 0

Tema 1.7

Funciones logarĂ­tmicas r

97


-RMUXTW

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, utilizando las propiedades de los logaritmos.

debemos convertirla en una ecuación logarítmica. Aplicamos en el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación y obtenemos:

a) 2  3x

ln(1.5 u 23x)  ln (2ex)

;WT]KQ~V

Observa que la variable que debemos despejar aparece en el exponente, por lo que para despejarla debemos convertirla en una ecuación logarítmica. Aplicamos el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación y obtenemos: ln 2  ln 3x Si aplicamos la propiedad 3 de los logaritmos naturales, bajamos el exponente, el cual queda multiplicando al logaritmo natural de 3: ln 2  x u ln 3 Como la variable ya no aparece en el exponente, ya es posible despejarla; pasamos el ln 3 dividiendo y obtenemos: ln 2 x= , obtenemos su valor con una calculadora ln 3 y tenemos que x  .6309297 Este valor representa el número al que hay que elevar el 3 para que dé cómo resultado 2. b) 1.5 u 23x  2ex ;WT]KQ~V

Observa que la variable que debemos despejar aparece en el exponente, por lo que para despejarla

98 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis

En ambos lados de la ecuación aparece dentro del paréntesis un producto (multiplicación), por lo que primero debemos utilizar la propiedad 1 para separar los factores. Al hacerlo tenemos que: ln 1.5  ln 23x  ln 2  ln ex En el lado izquierdo utilizamos la propiedad 3 para bajar el exponente y en el lado derecho utilizamos la propiedad 4 que nos indica que el logaritmo natural elimina a la función exponencial base e (por ser funciones inversas una de la otra) y como resultado queda solamente el exponente: ln 1.5  3x u ln 2  ln 2  x Para despejar la variable, dejamos en una lado de la ecuación los términos que tienen x y en el otro lado los que no tienen. Al hacerlo obtenemos: 3x u ln 2  x  ln 2  ln 1.5 En el lado izquierdo sacamos la x de factor común y por último despejamos: x(3 ln 2  1)  ln 2  ln 1.5 entonces x=

ln 2 − ln 1.5 = .26651009 3 ln 2 − 1


ÂĄA TRABAJAR! -RMZKQKQW

UNIDAD 1

Resuelve para t la siguiente ecuaciĂłn: 5(4t)  7(32t)

;WT]KQ~V

Para despejar t, Âżpuedes bajarla directamente del exponente?

ÂżQuĂŠ necesita tener la ecuaciĂłn para poder bajarla? Aplica propiedades y resuelve la ecuaciĂłn.

No t a -RMZKQKQW

En cada uno de los siguientes ejercicios no enfatizaremos el planteamiento de la funciĂłn, pues es algo que ya hicimos con detalle en las secciones anteriores. Enfatizaremos el uso del logaritmo natural para contestar la pregunta planteada.

La poblaciĂłn de una ciudad crece exponencialmente a razĂłn de 2.5% cada dos aĂąos.

De seguir creciendo de esta forma, Âżdentro de cuĂĄntos aĂąos se duplicarĂĄ la poblaciĂłn?

;WT]KQ~V

Primero deberĂĄs plantear la ecuaciĂłn para la poblaciĂłn como una funciĂłn del tiempo.

La ecuaciĂłn es: Utiliza la ecuaciĂłn anterior para plantear la ecuaciĂłn necesaria para encontrar el tiempo de duplicaciĂłn de la poblaciĂłn. ÂĄReflexiona! ÂżEn dĂłnde se encuentra la variable que se te pide? ÂżQuĂŠ tienes que hacer para obtener la variable? ÂĄResuĂŠlvela!

-RMZKQKQW

Uno de los principales contaminantes de un accidente nuclear como el de Chernobyl, es el estroncio 90, que se desintegra exponencialmente a razĂłn continua de 2.47% al aĂąo. ÂżCuĂĄl es la vida media del estroncio 90?

ÂĄA Trabajar! r

99


;WT]KQ~V

Primero deberás plantear la ecuación para la cantidad de contaminante como una función del tiempo.

La ecuación es: Utiliza la fórmula anterior para plantear una ecuación necesaria que para obtener la vida media del estroncio 90.

¡Reflexiona! ¿En dónde se encuentra la variable que te pide? ¿Qué tienes que hacer para obtener la variable? ¡Resuélvela!

-RMZKQKQW

;WT]KQ~V

El precio de cierto artículo aumenta exponencialmente a razón continua. Si sabemos que en 3 años aumentó 60% de su valor original, ¿cuál es el tiempo de duplicación para el precio de ese artículo? Primero debes plantear la ecuación para el precio del artículo como una función del tiempo.

La ecuación es: Utiliza la fórmula anterior para plantear la ecuación que te permita encontrar el tiempo de duplicación para el precio del artículo ¡Reflexiona! ¿En dónde se encuentra la variable que te pide? ¿Qué tienes que hacer para obtener la variable? ¡Resuélvela!

-RMZKQKQW

100 r Unidad 1

Una población de bacterias disminuye exponencialmente. Si en 3 días hay 20% de las que originalmente había, ¿cuál es la vida media de esa población?

Funciones, representación y análisis


;WT]KQ~V

Primero deberás plantear la ecuación para la población de bacterias como una función del tiempo.

La ecuación es: Utiliza la ecuación anterior para plantear una ecuación necesaria para encontrar la vida media de la población de bacterias. ¡Reflexiona! ¿En dónde se encuentra la variable que se te pide? ¿Qué tienes que hacer para obtener la variable? ¡Resuélvela!

-RMZKQKQW

¿Cuánto tiempo tardará en triplicarse una inversión, si gana un interés de 9% compuesto bimestralmente?

;WT]KQ~V

¿Qué fórmula vas a utilizar?

¿Qué variable te piden obtener? Cuál es el valor de: Saldo S 

Depósito inicial P 

Tasa interés r 

Número de veces al año que se paga el interés n  Sustituye los datos en la fórmula y calcula el valor indicado.

¿Qué tienes que utilizar para obtener la variable indicada? ¡Resuélvelo!

-RMZKQKQW

Una sustancia radiactiva disminuye exponencialmente. Si la vida media de la sustancia es de 25 días y la cantidad inicial es de 1 000 g, ¿cuándo quedará reducida a 20% de la que originalmente había?

;WT]KQ~V

Primero deberás plantear la ecuación. La ecuación a utilizar es:

Con la ecuación contestar la pregunta.

¡A Trabajar! r

101


¡Reflexiona! ¿Qué variable conoces?

¿Qué variable te piden obtener?

¿Qué tienes que hacer para obtener la variable? ¡Resuélvela!

-RMZKQKQW

¿Cuál fue la tasa de interés que se pagó en una inversión, si se tiene que en tres años la inversión se duplicó? Supongamos un interés compuesto continuamente.

;WT]KQ~V

¿Qué fórmula vas a utilizar?

¿Qué variable se te pide obtener? Cuál es el valor de: Saldo S 

Depósito inicial P 

Sustituye los datos en la fórmula y calcula el valor indicado.

¿Qué tienes que hacer para obtener la variable indicada? ¡Resuélvelo!

102 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis

Tiempo t 


Conjunto de ejercicios de práctica sección 1.7 En los ejercicios 1 a 10 resuelve las ecuaciones

14. La siguiente tabla muestra las utilidades en miles de pesos, de una empresa durante sus primeros 5 años de operación.

1. 4  2(3 )

6. 2.5(1.3)  0.39(6 )

2. 25x  2  53x4

7.

3. 5et  3

8. (e4x  1)3  e2

4. 2ex  e2x  1

9. 1.01(2.025x)  3.42(ex/4)

t

t

y

5. 4(2 )  7(6 ) t/3

2y

P0 = P0 e−2.1x 2

t

t/5

t

Resuelve los siguientes problemas 11. La siguiente tabla muestra cómo el precio de cierto artículo afecta las ventas. p (pesos)

2.5

2.7

V (cientos de 384.16 274.4 unidades)

2.9

3.1

3.2

196

140

100

a) Plantea la fórmula para la demanda en función del precio. b) ¿Cuál fue el precio si se vendieron 50 unidades? 12. La siguiente tabla muestra la cantidad de sustancia tóxica, en miligramos, existente en el medio ambiente a las t horas del día 27 de marzo de 2003. t

0

Q

17.8

6

12

18

24

8.6642 4.2163 2.0528 0.9992

a) Plantea una ecuación, suponiendo que la sustancia decrece exponencialmente a razón continua. b) Utiliza la ecuación para determinar en cuántas horas la cantidad de la sustancia sería de 2.9423 mg. 13. La siguiente tabla muestra la población en cierta ciudad (en miles de habitantes) en el tiempo t (años) a partir de 1990. t

0

3

6

9

1

2

3

4

5

U 129.3715 133.5114 137.7838 142.1929 146.743

10. 20e  100(1.84)

t

UNIDAD 1

12

P 520 1 100.84 2 330.48 4 933.62 10 444.48 a) Plantea una ecuación suponiendo que la población crece exponencialmente a una razón continua. b) Utiliza la ecuación para determinar en qué año la población es de 99 094.48 miles de habitantes.

a) Plantea la fórmula para la utilidad en función del tiempo. b) De continuar con la misma tendencia, ¿a los cuántos años la utilidad será de $ 177.27 miles de pesos? 15. Debido a un programa de planificación familiar, la población de cierta ciudad disminuye exponencialmente a razón continua de 0.6% cada año. De continuar esta tendencia, ¿cuál será la vida media de esa población? 16. El elemento radiactivo polonio, disminuye exponencialmente a una razón continua de 0.71% por día. ¿Cuál es la vida media de esa sustancia? 17. El número de visitantes al famoso parque Disneylandia crece exponencialmente en periodos de vacaciones escolares. Si el número de visitantes en el tercer día de vacaciones fue 12% más con respecto al inicio del periodo vacacional, ¿cuántos días tienen que pasar para que se duplique el número de visitantes? 18. La tasa de robos en la ciudad de Monterrey tiene un comportamiento exponencial y se triplica cada 5 meses. Calcula el tiempo de duplicación. 19. La vida media de una sustancia radiactiva es de 3 meses. Si está disminuyendo exponencialmente a razón continua, a) ¿Cuál es la razón continua con que disminuye la sustancia? b) ¿En cuántos meses quedará 5% de lo que había originalmente? 20. En un esfuerzo por disminuir costos, una compañía planea reducir su fuerza de trabajo exponencialmente a razón continua. Si actualmente emplea a 500 trabajadores y dentro de 12 meses tendrá 370, ¿cuál es la razón continua con que disminuye el número de trabajadores? 21. Una papelería estima que el valor de una máquina copiadora se deprecia exponencialmente a razón continua. Si el valor de compra fue de $15 000 y a

Conjunto de ejercicios de práctica 1.7 r

103


los 3 años su valor es de $10 222.08, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que su valor sea $3 500?

rés compuesto continuamente debe pagar el banco?

22. En una agencia de automóviles, el precio de contado de los automóviles tipo A crece exponencialmente cada año a una tasa de 8.816%. Si el modelo 2003 se vendió en $152 000, ¿qué modelo costará $213 115?

28. ¿Cuál será la tasa de interés de una inversión de $10 000 compuesta continuamente, si después de 3 años incrementa su valor a $18 320?

23. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse una inversión si gana un interés de 13% compuesto continuamente?

29. ¿Qué tasa de interés anual tiene un rendimiento efectivo anual de 7.58%, suponiendo un interés compuesto continuamente?

24. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el valor de una inversión aumente 70% si se paga un interés de 6.4% compuesto continuamente?

30. ¿Cuál fue la tasa de interés que se pagó en una inversión si se sabe que en 10 años la inversión triplicó su valor? Supón un interés compuesto continuamente.

25. Supongamos que inviertes $35 000 en bonos del gobierno japonés. Si el interés es de 7.3% compuesto anualmente, ¿cuántos años debes esperar para que tu inversión valga $80 000?

31. Una inversión se compone continuamente durante 2 años a una tasa nominal de r % y durante 4 años más a una tasa nominal de 2r %. Si al término de 6 años se duplicó la inversión, determina el valor de r.

26. Si inviertes $180 240 en un banco que ofrece un interés es de 8.4% compuesto 13 veces al año, ¿cuántos años tienes que esperar para que tu inversión valga $298 000?

32. Una persona tiene una inversión de $300 000 en un banco que le paga una tasa de interés de 9% compuesta continuamente y desea utilizarla para comprar una propiedad con un valor actual de $528 000. Si ésta se devalúa a 3.8% anual, ¿cuánto tiempo tiene que esperar dicha persona para poder realizar la compra?

27. Si se depositan $18 500 en un banco y se desean tener $50 000 dentro de 4 años, ¿qué tasa de inte-

1.8 .

Funciones trigonométricas seno y coseno Escuchar la radio, el sonido de algún instrumento de cuerda como el violín o el piano, la corriente que circula al encender la computadora o la lámpara del escritorio son eventos que de forma natural se realizan en la vida cotidiana y en los cuales se involucran fenómenos periódicos, es decir, se repite su comportamiento después de cierto intervalo. Otras situaciones donde se observa este tipo de evento son los ciclos comerciales, el movimiento de los planetas, los días y las noches, ciclos biológicos en decir, todos aquellos fenómenos donde exista una repetición periódica. Este tipo de fenómeno puede ser modelado por medio de funciones trigonométricas, generalmente por las funciones Seno y Coseno.

104 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis


Observa cómo la gráfica de la función Seno “se repite” en el intervalo [0, 2Q] y en el intervalo [2Q, 4Q]. FUNCIÓN SENO y 2 1 x

0 5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

1 2

Algo similar ocurre con la función Coseno, observa la gráfica También la gráfica “se repite” en el intervalo [0, 2/] y en el intervalo [2/, 4/]. FUNCIÓN COSENO y 2 1 x

0 5

4

3

2

0

1

1

2

3

4

5

1 2

Vemos entonces que las funciones trigonométricas se caracterizan por ser periódicas, es decir, se repiten en un mismo ciclo y este tipo de función la utilizaremos cuando identificamos una situación que presenta este comportamiento. Las ondas en las que estas funciones se descomponen reciben el nombre de armónicas. Ecuación de las funciones trigonométricas: El modelo matemático de las funciones trigonométricas está compuesto por cuatro parámetros A, B, C y D. Las ecuaciones generales son de la forma: F(x)  y  A sen B(x  C)  D F(x)  y  A cos B(x  C)  D Veamos qué significa cada uno de los parámetros. El parámetro A determina la amplitud de la onda, es decir, los valores máximos y mínimos de la curva. Si tomamos como base la función F(x)  sen (x) donde el valor de A  1 observemos cómo la onda se extiende de 1 a 1. 4 y

2

x

0 2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

2

4

Tema 1.8

Funciones trigonométricas seno y coseno r

105


Ahora bien, observa las siguientes gráficas.

Escribe la función matemática para cada gráfica: 1.

y 1

2.

4

Observa las siguientes gráficas, la gráfica de color negro es la gráfica de referencia; F(x)  sen(x) y la otra gráfica es F(x)  2 sen(x)

2 2 x 0

2

6

2

y

4 2

4

x

0





2

¿Cuál es el valor de A para la gráfica 1? A 

4 6

¿Cuál es el valor de A para la gráfica 2? A  Si la función matemática de la función 1 es: F(x)  5 sen(x), ¿cuál es la función matemática de la segunda? Ahora observa las siguientes gráficas de las funciones Coseno, considera como referencia la gráfica de color negro, es decir la gráfica F(x)  cos(x)

¿Qué sucede si el parámetro A es negativo? El parámetro B determina el periodo de una función. Observa las funciones de referencia a partir del origen. y 1

y x

6

1

3

2

1

0

1

2

3

1

2

3

4 2

2

1 x

0



1. Función Seno

 y

2 1

4 6

x 3

2

1

¿El parámetro A tiene el mismo efecto en la función Coseno que en la función Seno?

0

1

2. Función Coseno

¿Cuál es el valor de A para la gráfica 1? A  ¿Cuál es el valor de A para la gráfica 2? A 

106 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis

Observa que del origen a 2Q, la gráfica seno crece hasta llegar a su punto máximo, decrece, cruza al eje x, sigue decreciendo hasta llegar a su punto mínimo, empieza a crecer y llega nuevamente al eje x en el valor de 2Q, luego a partir de 2Qvuelve


a repetir ese comportamiento. Situación similar se observa con la función Coseno, a partir del origen decrece, cruza al eje x, sigue decreciendo hasta llegar a su punto mínimo, empieza a crecer, cruza al eje x y sigue creciendo hasta llegar a su punto máximo en el valor de x  2Q; luego a partir de 2Q vuelve a repetir ese comportamiento. De manera semejante puede observarse esta situación a partir del origen hacia la izquierda. A la duración de este ciclo se le llama periodo, por lo que el parámetro B indica cuantos ciclos ocurren en 2Q. Observa las siguientes gráficas, considera la gráfica de referencia F(x)  sen(x):

Observa las siguientes gráficas. ¿Cuál es el valor del parámetro B de la función que no es de referencia? B  Escribe una expresión matemática para la gráfica que no es de referencia: y 2

1 x 



0

y

2

3

4

1

1 2 0.5 x 0

1

1

2

0.5

1

Se visualiza que de 0 a 2Qhay 2 ciclos de la función que no es la de referencia, por tanto, el valor de su parámetro B es 2. Observa la siguiente gráfica, identitifca a la función de referencia y determina el parámetro B de la función que no es de referencia. B 

El parámetro C indica el desplazamiento horizontal o desfase, es decir, a partir del origen donde está comenzando. En la gráfica siguiente la función de referencia F(x)  sen(x)se observa que comienza cortando en el origen y la gráfica que no es de referencia está comenzando en /, es decir, el parámetro C /, por tanto, el desfase en la ecuación matemática queda expresado como F(x)  sen(x  /). Observa que si la función empieza a la derecha del origen el parámetro será negativo y viceversa, si la gráfica comienza en los negativos, el parámetro será positivo. y 1

Escribe una ecuación matemática para la función que no es de referencia: x 0



2

3

4

y 1

1

0.5 x 

0 0.5



2

¿Cuáles otras expresiones se pueden escribir para la función que no es de referencia? (puedes comprobar tus respuestas con ayuda de un graficador). 1.

1

2.

Tema 1.8

Funciones trigonométricas seno y coseno r

107


A partir de las siguientes gráficas determina el valor del parámetro C y da una posible expresión matemática. y

F(x)  sen(x)  4 y F(x)  sen(x)  2, respectivamente. Observa las gráficas, determina el parámetro D y da la expresión matemática que le corresponde. y

1 4 x 

0

2

3

1

2

4

x 0



2

3

4

1 2 2 4

1. Parámetro C  1. Expresión matemática 

Gráfica 1 1. D 

y

1. Expresión matemática 

1

Gráfica 2 x 0



2

3

4

2. D  2. Expresión matemática 

1

RESUMIENDO LOS PARÁMETROS: y = A sen B( x + C ) + D

2. Parámetro C 

Para la función

2. Expresión matemática 

Escribe el efecto de cada parámetro

Finalmente, el parámetro D indica el desplazamiento vertical, como si el eje de las x se desplazara sobre el eje de las y. Observa las gráficas: y

A

1

B 4

2 2

C x 0



2

3

4

D La gráfica de referencia tiene desplazamiento 0, la gráfica 1 tiene desplazamiento 4, D  4 mientras que la 2 tiene desplazamiento 2, D  2. Por tanto la expresión matemática para las gráficas 1 y 2 son 108 r Unidad 1

Funciones, representación y análisis


¡A TRABAJAR!

UNIDAD 1

Observa las gráficas (referencia y de no referencia) luego determina los parámetros y da la expresión matemática que le corresponde a la gráfica que no es de referencia. 1.

y

A

,

B

,

4

C

y

3

D

5

Ecuación matemática

2 1 x 0



2

3

4

y 5

A

,

B

,

4

C

y

3

D Ecuación matemática

2 1 x 0



2

3

4

Aplicaciones de las funciones trigonométricas

-RMZKQKQW

Las fluctuaciones mensuales de las ventas de un almacén en periodos a corto plazo se pueden modelar mediante la siguiente función, si las ventas se miden en miles de unidades y el tiempo en meses.

6

4

2

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

¡A Trabajar! r

109


a) Plantear la ecuaciĂłn para la ventas mensuales en funciĂłn del tiempo ÂżQuĂŠ ecuaciĂłn vas a utilizar?

ÂżPor quĂŠ?

Identifica el valor de los parĂĄmetros y da la ecuaciĂłn.

-RMZKQKQW

El 19 de septiembre de 1985 se produjo un sismo en MĂŠxico que causĂł gran destrucciĂłn en el paĂ­s, especialmente en el Distrito Federal. La UNAM ha trabajado intensamente en el estudio de este lamentable fenĂłmeno, segĂşn datos de expertos se presentĂł un movimiento prĂĄcticamente armĂłnico de 2 segundos de periodo y una duraciĂłn aproximada de 2 minutos, durante este tiempo la magnitud del terremoto estuvo oscilando entre 7.8 y 8.2 grados de la escala de Richter. Fuente: http://www.ssn.unam.mx/website/jsp/Sismo85/sismo85_inf.htm, recuperado el 8 de marzo de 2011. a) Plantear la ecuaciĂłn para el comportamiento del terremoto. ÂżQuĂŠ ecuaciĂłn vas a utilizar?

ÂżPor quĂŠ?

Plantear la ecuaciĂłn en base a la informaciĂłn proporcionada: b) Dibuja una grĂĄfica que describa este fenĂłmeno natural. Escribe en cada eje la variable correspondiente.

y 12 10 8 6 4 2 0

x 0

-RMZKQKQW

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CUALIDADES DEL SONIDO: El oĂ­do es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedan existir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que son la intensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiolĂłgico, estĂĄn relacionadas con diferentes propiedades de las ondas sonoras. Las ondas sonoras es una aplicaciĂłn mĂĄs de las funciones armĂłnicas, veamos un ejemplo:

Considera un sonido emitido por un instrumento de cuerda cuya grĂĄfica se representa por la funciĂłn y  3 sen (2x). a) Dibuja la grĂĄfica para el sonido, marca en los ejes la variable que estĂĄs midiendo 3

b) ÂżQuĂŠ significa el 3 multiplicando a la funciĂłn y quĂŠ efecto tiene en el sonido?

y

2 1 x

0 7

6

5

4

3

2

1

0

1

1 2 3

110 r Unidad 1

Funciones, representaciĂłn y anĂĄlisis

2

3

4

5

6

7

c) ÂżQuĂŠ significa el 2 multiplicando a la variable x y quĂŠ efecto tiene en el sonido?


Conjunto de ejercicios de práctica sección 1.8 En los ejercicios del 1 al 4 determina la función y  A sen B (x  C)  D o y  A cos B (x  C)  D según sea el caso, para la gráfica dada

UNIDAD 1

En los ejercicios del 5 al 8 dibuja la gráfica para la función trigonométrica dada, describe el efecto de los parámetros 5. y  2 sen x  1

1. 6

6. y cos(2x)

4

7. y  sen (x  1)1

2

1 ⎛1 ⎞ 8. y = cos ⎜ x ⎟ ⎝2 ⎠ 2 Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones 0

0.25

0.5

0.75

2

2.

2

0



2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2

9. Las ondas senoidales son usadas para modelar diversos fenómenos tales como radio, sonido o luz. Una alta frecuencia de radio requiere un número muy grande de ciclos por segundo. Si el eje x representa el tiempo entonces el periodo de una función Seno es el tiempo (eje x) que se requiere para completar un ciclo y el recíproco de ese número indica el número de ciclos por una unidad de tiempo, a esto se le llama frecuencia. Por tanto, la frecuencia F está dada por 1/P. Si la onda de sonido del piano está dado por y  sen (524 Qt), determina:

4

a) El periodo. b) La frecuencia (ciclos por segundo).

3. 3

2 1



0.75

0.5

0 0.25 0 0.25 0.5 0.75



10. La temperatura promedio del cuerpo humano se encuentra alrededor de los 37°. Si la temperatura de una persona estuvo variando en el transcurso del día alrededor de los 37°, siendo en promedio las temperaturas normales 37.5° como máxima y 36.5° como mínima, como se muestra en la siguiente gráfica. Determina los parámetros y da una expresión matemática que modele el fenómeno.

4.

(Temp. °C) y 2

37°

37.5° 37°

1

36.5°

0 

0.75

0.5

0.25

0

1 0

4

8

12

16

20

t 24 hrs.

Conjunto de ejercicios de práctica 1.8 r

111


Las tendencias actuales en la enseñanza de las matemáticas definen al profesor como un facilitador del proceso de aprendizaje y al estudiante como un participante activo en este proceso, por otra parte es evidente la necesidad de formar ciudadanos reflexivos y bien informados capaces de afrontar los retos que plantea una sociedad compleja y en constante cambio, la competencia matemática hace referencia a esta capacidad de los estudiantes para analizar, reflexionar y comunicarse de manera eficaz al plantear, resolver e interpretar problemas matemáticos en diferentes situaciones o contextos. Esta obra presenta una propuesta innovadora en el proceso de enseñanza y el aprendizaje del cálculo diferencial en funciones de una variable, necesarios para un primer curso de Matemáticas universitarias en donde se promueve la competencia matemática y el proceso de matematización. El enfoque que se maneja es un aprendizaje constructivista y significativo que ayuda tanto al profesor como al estudiante a desempeñar eficientemente sus nuevos roles en este proceso, la principal característica es la participación activa del estudiante durante toda la sesión de clase. Enfatiza la construcción de los conceptos matemáticos y propone una serie de problemas que abordan situaciones de la vida real para resolver en clase, los cuales incluyen una secuencia didáctica basada en la técnica de la pregunta, que guían al estudiante en la resolución del problema. Este enfoque favorece habilidades y actitudes como la reflexión, el razonamiento y el desarrollo de habilidades del pensamiento. En el libro se enfatiza la modelación matemática y la interpretación de resultados, logrando un aprendizaje significativo; asimismo, fomenta el desarrollo de habilidades para trabajar en equipo y las investigaciones con datos reales, la búsqueda de información, el análisis y la reflexión.

9786074816686 Cálculo diferencial. 2a. Ed. Galván. Cengage  

Las tendencias actuales en la enseñanza de las matemáticas definen al profesor como un facilitador del proceso de aprendizaje y al estudian...