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Célio Tavares

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matemรกtica financeira

aplicada em anรกlise da viabilidade de projetos


céliotavares

matemática financeira

aplicada em análise da viabilidade de projetos

Com HP-12C e Excel


© 2011 by CTavares Consultoria. É proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio eletrônico, inclusive por processos xerográficos, sem autorização expressa do Editor.

Revisão técnica : Marília Dutra Barreto

Felipe Assis Dias

Revisão do texto: Elisa Mesquita Siqueira Projeto gráfico e Capa: Bernardo Vaz Diagramação: Derval Júnior

www.ctavares.com.br Rua Minas Gerais, 655 - Sl 210 Ed. Pioneiro - Divinópolis-MG (37) 3222-5733 / 3212-1471 Sugestões ou questionamentos: suporte@ctavares.com.br

T231m

Tavares, Célio Matemática financeira aplicada em análise da viabilidade de projetos com HP-12C e excel / Célio Tavares. Divinópolis: Célio Tavares Consultoria em Finanças, 2011. 157 p. ISBN 978-85-63350-01-5 1. Matemática financeira. I. Título.

CDD: 500

CDU: 51

Ficha catalográfica elaborada por Lissandra Ruas Lima – CRB – 2851- 6ª Região


Aos meus pais,

devo-lhes muito: primeiro a vida, depois a educação

para vivê-la com dignidade. Às minhas filhas, Débora e à Letícia,

com quem aprendo sempre. Vocês multiplicaram o

meu prazer de viver. À Ana Rita,

que me deu os dois maiores presentes de minha vida.

Ao Bernardo Vaz

pela dedicação ao projeto gráfico deste livro.

Ao Prof. Antônio Fabiano de Paiva

meu mestre!


sumário Nota do autor............................................................................................................................................................................................................ 9 Prefácio...................................................................................................................................................................................................................... 11 I - Matemática Financeira........................................................................................................................................................................... 13 1.1 Introdução............................................................................................................................................................................................. 14 1.2 Conceitos básicos da Matemática Financeira................................................................................................................... 14 1.2.1 Valor do dinheiro no tempo..................................................................................................................................................... 14 1.2.2 Capital inicial, montante e prazo........................................................................................................................................... 15 1.2.3 Operação Financeira..................................................................................................................................................................... 15 1.2.4 Fluxo de Caixa................................................................................................................................................................................... 15 1.2.5 Juros e Taxa de Juros..................................................................................................................................................................... 18 Unidade de medida das Taxas de Juros............................................................................................................................ 19 1.3 Regime de capitalização dos juros.......................................................................................................................................... 20 1.3.1 Juros Simples..................................................................................................................................................................................... 20 1.3.2 Juros Compostos............................................................................................................................................................................ 20 1.4 Planilha de financiamento: amortização, juros e saldo devedor.......................................................................... 26 1.4.1 Sistema Price...................................................................................................................................................................................... 26 1.4.2 Sistema de Amortizações Constantes: SAC.................................................................................................................... 28 Exercícios propostos......................................................................................................................................................................... 30 1.5 Funções Financeiras Básicas do Excel e da HP 12C....................................................................................................... 34 1.5.1 As funções PGTO – TAXA – VF – VP do Excel.................................................................................................................. 34 Significado das funções financeiras básicas.................................................................................................................. 34 1.5.2 As teclas n – i – PV – PMT – FV da HP-12C.................................................................................................................... 34 Significado das teclas financeiras básicas........................................................................................................................ 35 1.5.3 Cálculo da taxa de juros de uma série de pagamentos iguais........................................................................... 35 1.5.4 Cálculo do valor presente de uma série de pagamentos iguais....................................................................... 38 1.5.5 Cálculo do valor da prestação numa série de pagamentos iguais.................................................................. 40 1.5.6 Cálculos envolvendo o valor futuro de uma série uniforme............................................................................... 42 1.5.7 Funções Financeiras Adicionais: as funções VPL e TIR ............................................................................................ 44 Significado das funções financeiras adicionais............................................................................................................ 44 1.5.7.1 Cálculo do Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa....................................................................................... 44 1.5.7.2 Cálculo da taxa de retorno de um fluxo de caixa....................................................................................................... 46 1.5.7.3 Mensagem de erro da HP-12C no cálculo da TIR........................................................................................................ 48 1.6 Taxas de Juros....................................................................................................................................................................................... 50 1.6.1 Taxas Proporcionais – Juros simples................................................................................................................................... 50 1.6.2 Taxas Equivalentes – Juros compostos............................................................................................................................. 50 1.6.3 Taxa efetiva ou Taxa real.............................................................................................................................................................. 53 1.6.4 Taxas Nominais................................................................................................................................................................................. 53 1.6.5 Taxa Over.............................................................................................................................................................................................. 55 1.6.6 Rendimento Real............................................................................................................................................................................. 56 1.7 Cálculo da taxa anual de juros para prestações diferentes e períodos não uniformes no Excel .... 58 1.8 Desconto de duplicatas.................................................................................................................................................................. 58 1.8.1 Taxa de desconto............................................................................................................................................................................ 59


1.9 1.10

Recupere o capital investido em seu curso....................................................................................................................... 62 Quanto pedir de desconto nas compras à vista?........................................................................................................... 64 Exercícios resolvidos e comentados....................................................................................................................................... 66 Exercícios propostos......................................................................................................................................................................... 82

II - Avaliação de Ativos pelo Método do Fluxo de Caixa Descontado.................................................................... 91 2.1 Introdução.............................................................................................................................................................................................. 92 2.2 Definição de valor de mercado de um ativo..................................................................................................................... 92 Exercícios resolvidos e comentados....................................................................................................................................... 94 Exercícios propostos..................................................................................................................................................................... 97 III - Análise da Viabilidade de Projetos............................................................................................................................................ 99 3.1 Introdução............................................................................................................................................................................................100 3.2 Princípios Fundamentais para a Aplicação de Capital...............................................................................................101 3.2.1 Determinar as alternativas viáveis......................................................................................................................................101 3.2.2 Converter os resultados das alternativas para um denominador comum...............................................101 3.2.3 Somente as diferenças entre as alternativas são relevantes..............................................................................101 3.2.4 O valor do dinheiro no tempo deve ser considerado sempre.........................................................................102 3.2.5 Decisões separáveis devem ser tomadas isoladamente......................................................................................102 3.2.6 Considerar a incerteza associada às previsões...........................................................................................................102 3.2.7 Levar em conta também os efeitos não monetários da alternativa.............................................................103 3.2.8 A eficácia dos procedimentos depende de sua implantação em todos os níveis gerenciais da empresa.......................................................................................................................................................................................103 3.2.9 As auditorias pós-decisão aperfeiçoam a qualidade das decisões................................................................103 3.3 Algumas Considerações Relevantes.....................................................................................................................................104 3.3.1 A Taxa Mínima de Atratividade – TMA e o Custo de Oportunidade.............................................................104 3.3.2 Efeitos Colaterais...........................................................................................................................................................................105 3.3.3 Capital de Giro................................................................................................................................................................................105 3.3.4 Custos Indiretos.............................................................................................................................................................................105 3.4 Métodos equivalentes para a comparação de alternativas de investimento.............................................106 3.4.1 Método do Valor Presente Líquido....................................................................................................................................106 3.4.2 Método do Custo Anual ou Benefícios Anuais...........................................................................................................109 3.4.3 Método da Taxa de Retorno...................................................................................................................................................112 3.4.4 Método do Pay-back Descontado.....................................................................................................................................113 3.4.5 Comparação entre os métodos VPL e TIR......................................................................................................................114 3.4.6 O Método da Taxa Interna de Retorno Modificada - MTIR..................................................................................116 3.4.7 O Método da Taxa Interna de Retorno Incremental...............................................................................................118 3.4.8 Análise da Sensibilidade...........................................................................................................................................................120 Exercícios resolvidos e comentados.....................................................................................................................................122 Exercícios propostos.......................................................................................................................................................................148 Bibliografia.............................................................................................................................................................................................................157


nota do autor É o tempo da travessia ... E se não ousarmos fazê-la ... Teremos ficado ... para sempre ... À margem de nós mesmos...

(Fernando Pessoa)

O objetivo deste livro é ser um instrumento eficiente de auxílio para quem precisa tomar decisões financeiras, tanto na empresa, quanto na vida pessoal. Procurei apresentar os fundamentos teóricos da Matemática Financeira e optei por um texto enxuto e conciso, por meio de aplicações práticas e objetivas do dia-a-dia das empresas e das pessoas.

São 50 exemplos numéricos, 33 exercícios resolvidos e comentados

detalhadamente e 60 exercícios propostos, sendo a maioria com respostas. Todos tirados das operações usuais do mercado financeiro, com instruções detalhadas de uso do Excel da calculadora HP-12C.

As empresas brasileiras estão entrando na fase de investimentos em equi-

pamentos e em novos projetos de expansão. São inúmeras as oportunidades de investimento nas empresas, mas o capital disponível é sempre limitado. Surge então uma questão a ser resolvida: como escolher as alternativas que maximizam o valor da empresa? Existem técnicas valiosas para a análise da viabilidade de alternativas de investimento, mas, às vezes, são empregadas incorretamente, o que compromete a qualidade das tomadas de decisão.

Além disso, as decisões “de como investir”, “de comprar ou alugar um

equipamento”, “de definir a substituição de equipamentos”, “do que produzir” e “quanto produzir” têm que ser tomadas em bases racionais; não se pode confiar apenas na intuição. A Análise da Viabilidade de Projetos será o instrumental para garantir uma alocação eficiente dos recursos disponíveis na empresa. Célio Tavares


prefácio Matemática Financeira, um dos ramos importantes da matemática aplicada, costuma ser uma disciplina que assusta os que nela se iniciam. Em princípio, isso se dá pelo fato de muitos autores e professores da área utilizarem a matemática avançada para a derivação de equações de forma complexa e abstrata. Isso assusta os que dela precisam, sejam alunos de nível superior ou de pós-graduação, sejam empresários ou profissionais diversos das áreas de gestão e finanças.

Com prazer li e reli o livro “MATEMÁTICA FINANCEIRA Aplicada em ANÁLISE

DA VIABILIDADE DE PROJETOS – Com HP-12C e Excel”, do Professor Célio Tavares.

Com toda sua experiência didática em nível superior, técnico e cursos de

aperfeiçoamento dados em entidades diversas, como SEBRAE, FIEMG e outros, somada à sua experiência profissional como consultor de empresas, com foco principal na área de finanças, o Professor Célio elaborou este livro de forma ímpar: aliou com simplicidade os conceitos básicos e fundamentais da Matemática Financeira à sua aplicabilidade, abrindo mão das complexas equações matemáticas, sem perder conteúdo, apresentando-a de maneira prática, ágil e de fácil compreensão, principalmente em sua aplicabilidade.

Utiliza as ferramentas do Excel e da tradicional calculadora HP-12-C com

muita propriedade e simplicidade, mostrando, de forma clara e sucinta, a importância e a facilidade que é valer-se dessas ferramentas para o uso das funções financeiras e sua aplicação prática no dia-a-dia dos profissionais.

Por fim, vale um destaque especial pela forma como aborda a aplicação

da Matemática Financeira em Análise de Viabilidade de Projetos. Apresenta os complexos conceitos de forma muito clara, simples e ao mesmo tempo com profundidade, com exemplos práticos e claros, utilizando-se da base conceitual, aliada à matemática e às ferramentas do Excel e da HP-12-C. Da forma como conseguiu escrever os fundamentos, as aplicações e a enormidade de exercícios deste livro, está contribuindo com o mundo acadêmico e empresarial com uma obra que tornará, com certeza, muito mais fácil e tranquilo


o aprendizado e aprofundamento em Matemática Financeira – e mais – a sua aplicabilidade no mundo das finanças. Nós, Professores dessa disciplina e, com certeza, os alunos, agradecemos.

Angelo Braz de Matos Economista Professor e Membro do Conselho Universitário da Universidade de Itaúna - MG


I Matemática Financeira Introdução Conceitos básicos de matemática financeira Regime de capitalização dos juros Planilha de financiamento: amortização, juros e saldo devedor. Funções Financeiras Básicas do Excel e da HP 12C Taxas de Juros Desconto de duplicatas

“Se você quer saber o verdadeiro valor do dinheiro, vá ao banco e peça algum emprestado” (Benjamin Frank lin.)


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1.1 – Introdução Um dos princípios básicos de aplicação do capital deixa claro que O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO tem que ser considerado sempre. A Matemática Financeira é a ferramenta utilizada para levar em consideração o valor do dinheiro no tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes entre diferentes alternativas de investimentos. Além de ser a ferramenta usada para a análise da viabilidade de projetos, a Matemática Financeira tem outras aplicações importantes nas empresas e na vida pessoal, tais como: • Montar um plano de financiamento; • Calcular o saldo devedor de um financiamento; • Calcular o preço à vista de um financiamento proposto; • Calcular a taxa efetiva de juros de um empréstimo ou aplicação financeira; • Decidir qual o melhor financiamento entre vários; • Renegociar as dívidas; • Decidir se é melhor alugar ou comprar um equipamento; • Calcular quanto se deve poupar mensalmente para atingir um determinado objetivo; • Saber quanto se deve ter hoje para cobrir gastos futuros.

1.2 – Conceitos básicos da Matemática Financeira 1.2.1) Valor do dinheiro no tempo Como existem inúmeros investimentos disponíveis no mercado financeiro, pode-se dizer que todo capital aplicado em qualquer investimento merece receber uma remuneração (o que constitui o conceito de valor do dinheiro no tempo) que pode ser maior ou menor, dependendo do tipo de investimento mais o seu risco associado.


matemáticafinanceiraaplicada

Quanto maior o risco, maior deverá ser a remuneração do capital investido. Todo capital que não está sendo remunerado perde o que poderia estar recebendo sob a forma de juros em uma aplicação financeira, o que configura uma medida de custo de oportunidade perdido. Assim sendo, nenhum administrador pode, por seu livre arbítrio, deixar qualquer capital sem alguma forma de remuneração.

1.2.2) Capital inicial, montante e prazo Capital inicial é o valor que é aplicado (ou emprestado) hoje, também chamado de valor presente. Montante é o valor dessa aplicação (ou da dívida) no futuro, com a inclusão dos juros devidos, também chamado de valor futuro. O prazo de uma aplicação (n) é o número de períodos da aplicação, que pode ser medido em dias, meses, anos etc.

1.2.3) Operação Financeira Operação Financeira é o nome genérico que o mercado usa para referir-se a operações de empréstimos, financiamentos, desconto antecipado de duplicatas, aplicação em fundos de investimentos etc. Em resumo, são as transações efetuadas no dia-a-dia, sejam de aplicação ou de captação. Toda operação financeira tem pelo menos dois lados: o lado do investidor e o lado do tomador. Por exemplo, quando alguém deposita na poupança, tornase o investidor e a instituição do depósito é o tomador. Deposita-se hoje (saída de caixa) um valor presente também chamado de principal e espera-se receber (entrada de caixa) no futuro, um valor futuro também chamado de montante, que deve ser igual à soma de seu investimento inicial (valor presente) mais os juros dessa aplicação.

1.2.4) Fluxo de Caixa Denomina-se fluxo de caixa de uma empresa, de um investimento ou de uma pessoa, o conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo.

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Pode-se representar o fluxo de caixa através do seguinte diagrama: 1 Recebimento (+)

Pagamento (-)

Figura 1: Página 8 fig 1

Exemplos sobre representação de um fluxo de caixa: 1) Uma pessoa depositou em uma aplicação financeira R$ 12.000,00 e retirou

2

R$ 14.347,42 após doze meses. 14.347, 42

0

12

12.000, 00

2) Uma empresa fez umFigura investimento inicial em um equipamento industrial 2: Página 9 fig2 no valor de R$ 850.000,00 e obteve as seguintes receitas e despesas anuais relativas ao equipamento:


matemáticafinanceiraaplicada

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Além disso, no final do sexto ano, a empresa resolveu vender o equipamento por R$ 500.000,00, já descontados os impostos e as despesas de transporte. 3

0

85.500

93.000

90.000

1

2

3

109.000 614.000

4

5

6

65.000

850.000

Figura 3: Página 9 fig 3 3) Uma pessoa comprou um eletrodoméstico cujo valor à vista era igual a

R$ 2.500,00, mas pagou seis parcelas de R$ 453,30, sendo uma entrada e as restantes com trinta dias de prazo entre elas.

4

453, 30 5

0

2.500, 00

Figura 4: Página 10 fig 4

4) Uma pessoa fez um financiamento em um banco para comprar um veículo à vista no valor de R$ 25.000,00. O financiamento será pago em vinte e quatro parcelas mensais iguais a R$ 1.724,68.

5

1.724, 68 1

0

25.000, 00

Figura 5: Página 10 fig 5

24


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5) Uma empresa adquiriu um terreno para expansão de sua sede no valor de R$ 100.000,00 à vista, mas resolveu pagá-lo em parcelas mensais da seguinte maneira: Entrada: R$ 20.000,000 – 1a parcela: R$ 21.360,00 – 2a parcela: R$ 21.200,00 – 3a parcela: R$ 20.800,00 e 4a parcela: R$ 20.400,00.

6 20.000

21.360

21.200 20.800

1

0

2

3

20.400

4

100.000

Figura 6: Página 10 fig 6

6) Uma pessoa fez um financiamento em um banco, com o objetivo de quitar sua dívida no cartão de crédito, no valor de R$ 10.000,00 para pagar em doze parcelas de R$ 1.034,84. Além das parcelas, o banco descontou, no ato da liberação do crédito, uma taxa de cadastro de R$ 650,00 e mais R$ 285,00 relativos a impostos e comissões. 935, 00 1.034, 84 1

0

12

10.000, 00

1.2.5) Juros e Taxa de Juros

Figura 7: Página 11 fig 7

Juro é o valor que se paga ao investidor por sua aplicação (investimento), durante um determinado período de tempo (prazo). A taxa de juros, como indica o próprio nome, é uma taxa, geralmente expressa em base percentual, por exemplo, 10% ao ano. Para o cálculo dos juros,


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precisa-se da taxa de juros pactuada entre as partes, do valor da operação e do prazo.

Exemplo: Se uma aplicação tem taxa de juros de 10% ao ano e o valor do principal aplicado é R$ 1.000,00, então os juros de um ano dessa aplicação serão R$ 100,00. O montante final será então R$ 1.100,00, ou seja, juros mais o principal. Juro é a diferença entre o montante obtido no futuro (valor futuro ou F) e o capital inicial aplicado (valor presente, principal ou P) de uma aplicação. JUROS = F − P

No nosso exemplo: J = 1.100,00 – 1.000,00 = 100,00 Pode-se também dizer que a taxa de juros é a relação entre o valor dos juros e o principal aplicado: TAXA JUROS(i) =

No exemplo:

i=

JUROS PRINCIPAL

100 = 0, 1 = 10% 1000

Unidade de medida das Taxas de Juros: As taxas de juros são fixadas através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, trimestre, mês, dia etc. Deve-se lembrar de colocar sempre todos os valores nas mesmas unidades de tempo. Isto é, se a taxa de juros for dada em anos e o número de períodos em meses, deve-se colocar o tempo em anos, ou então colocar a taxa de juros em meses.

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1.3 – Regime de capitalização dos juros Os juros são normalmente classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de cálculo utilizado.

1.3.1) Juros Simples Nessa categoria, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial.

Exemplo: Considere uma aplicação de R$ 100,00 que renderá juros simples com taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de quatro anos?

Montagem da tabela da evolução do capital aplicado ao longo do tempo: A fórmula que relaciona o capital inicialmente aplicado (valor presente ou P) com o montante (valor futuro ou F) no regime de capitalização simples é:

F = P(1 + i)n Onde i é a taxa de juros e n o número de períodos da aplicação.

1.3.2) Juros Compostos Nessa categoria, os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo existente no início de cada respectivo período.


matemáticafinanceiraaplicada

Exemplo: Seja uma aplicação de R$ 100,00 que renderá juros compostos com taxa de 10% a.a. Qual será o saldo ao final de quatro anos? Montagem da tabela da evolução do capital aplicado ao longo do tempo:

A fórmula para o cálculo do montante (valor futuro F), dados o capital inicial (valor presente P), a taxa de juros (i) e o prazo de aplicação (n) no regime de capitalização composta é: F = P(1 + i)n

(Fórmula da Capitalização)

Usa-se a fórmula da capitalização quando se tem um valor presente e desejase levá-lo a valor futuro. Pode-se também obter a fórmula para o cálculo do capital inicial (valor presente P), dados o montante (valor futuro F), a taxa de juros (i) e o prazo de aplicação (n) no regime de capitalização composta:

P=

F (1 + i)n

(Fórmula da Descapitalização)

Usa-se a fórmula da descapitalização quando se tem um valor futuro e deseja-se trazê-lo a valor presente. O gráfico a seguir mostra a evolução de um valor aplicado a uma taxa de juros com capitalização simples e com capitalização composta.

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Comparando a evolução de um valor aplicado a uma taxa de juros com capitalização simples e com capitalização composta, pode-se concluir facilmente que o dinheiro cresce mais na capitalização composta. Pode-se também montar a equação de equilíbrio do fluxo de caixa:

8

0

X1

X2

Xn

1

2

n

P

Figura 8: Página 15 fig 8 P=

X1 X2 Xn + + ··· + 1 2 (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

Com as fórmulas do valor presente, do valor futuro e a equação de equilíbrio do fluxo de caixa, podem-se resolver os principais problemas da Matemática Financeira no regime de juros compostos.


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Exemplos: 1) Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 2.850,00 no regime de juros compostos, por um prazo de oito meses, a uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Calcular o saldo no final da aplicação.

Solução: Tem-se um valor presente e deseja-se levá-lo a valor futuro e para isso usa-se a fórmula da capitalização: F = P x (1 + i)n onde: P = 2.850, n = 8 e i = 0,015 (em decimal), F = 2.850 x (1 + 0,015)8 → F = 3.210,50 Então, se forem aplicados hoje R$ 2.850,00 por um período de oito meses, a uma taxa de 1,5% ao mês, tem-se R$ 3.210,50 ao final dos oito meses. 2) Quanto será preciso aplicar hoje no regime de juros compostos, para no final de vinte e quatro meses obter-se uma quantia de R$ 20.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 2% ao mês?

Solução: Tem-se um valor futuro e deseja-se trazê-lo a valor presente e para isso, usase a fórmula da descapitalização:

P=

F onde: F = 20.000, n = 24 e i = 0,02 em decimal, (1 + i)n

P=

20.000 → P = 12.434, 43 (1 + 0.02)24

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Então, para se obter a quantia de R$ 20.000,00 daqui a vinte e quatro meses, devem ser aplicados hoje R$ 12.434,43 a uma taxa de 2% ao mês. 3) O preço à vista de uma mercadoria é igual a R$ 3.250,00 e pode ser parcelado em três prestações mensais e iguais, sem entrada, com taxa de juros de 1,5% ao mês. Calcular o valor da parcela. Solução: Trata-se de um problema de elaboração de um financiamento com prestações iguais (Sistema Price). Usa-se a equação de equilíbrio do fluxo de caixa: 9

0

X

X

X

1

2

3

3.250, 00

Figura 9: Página 17 fig 9

Como as parcelas são iguais, serão representadas por X.

Então:

P=

X1 X2 Xn + + ··· + 1 2 (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

onde:

3.250 = 0,9852 X + 0,9707 X + 0,9563 X ou 3.250 = 2,9122 X

X = 1.115,99.

Logo, o valor presente de R$ 3.250,00 pode ser financiado em três prestações mensais de R$ 1.115,99, com taxa de juros de 1,5% ao mês. 4) Uma pessoa tem uma dívida de R$ 23.250,00 e está negociando pagar uma parcela de R$ 8.000,00 daqui a dois meses, outra parcela de R$ 10.000,00 daqui a quatro meses e uma última parcela daqui a seis meses. Calcular o valor dessa última parcela, sabendo-se que a taxa de juros é de 2,5% ao mês.


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Solução: Trata-se de um problema de elaboração de um financiamento com presta-

10

ções diferentes. Usa-se a equação de equilíbrio do fluxo de caixa:

0

8.000

10.000

X

2

4

6

23.250, 00

Figura 10: Página 18 fig 10 8.000 10.000 X onde: 23.250 = (1 + 0.025)2 + (1 + 0.025)4 + (1 + 0.025)6

Então:

23.250 = 7.614,52 + 9.059,51 + 0,8623 X ou 6.575,97 = 0,8623 X → X = 7.626,09. Logo, o valor da terceira parcela é de R$ 7.626,09, com taxa de juros de 2,5% ao mês. Observação: Os problemas de montagem de planos de financiamento podem ser resolvidos com a utilização da equação de equilíbrio do fluxo de caixa. Mas quando o número de parcelas fica muito grande, a equação de equilíbrio do fluxo de caixa fica muito extensa. Por isso, deve-se utilizar a calculadora financeira HP-12C e as funções financeiras do Excel, que serão mostradas mais adiante.

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1.4 – Planilha de financiamento: amortização, juros e saldo devedor O objetivo de montar uma planilha de financiamento é mostrar separadamente os juros, as amortizações, as prestações e o saldo devedor em qualquer período do financiamento. Assim fazendo, podem-se detalhar melhor todos os tipos de financiamento. Uma prestação contém juros (aluguel do dinheiro) e amortização (pagamento de uma parte do principal). Existem planos de financiamento com prestações iguais (sistema Price), que é o mais comum no comércio em geral. Existem também planos de financiamentos com amortizações iguais, que é o Sistema de Amortizações Constantes (sistema SAC), muito utilizado nos financiamentos em longo prazo. Na realidade, podem-se criar outros tipos de planos de financiamento, dependendo do jeito que queremos amortizar o capital.

1.4.1) Sistema Price Compor a planilha de um financiamento com as seguintes condições: valor financiado: R$ 1.000,00; taxa de juros: 2,5% a/m; número de parcelas: seis; valor da parcela: R$ 181,55.

1.000,00 843,45

25,00 21,09

156,55 160,46

181,55 181,55

843,45 682,99

A seguir serão explicados detalhadamente os cálculos das duas primeiras linhas da tabela acima.


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1.000,00 – correspondem ao saldo devedor inicial no primeiro mês. 25,00 – correspondem ao juro relativo ao primeiro mês. (2,5% de R$1.000,00). 156,55 – correspondem à amortização (pagamento do capital) do primeiro mês. O valor é obtido através da fórmula: Amortização = Prestação – Juros. 156,55 = 181,55 – 25,00). Deve-se observar que uma prestação contém juros e amortização. 181,55 – correspondem ao valor da prestação. Como o sistema é Price, as prestações são iguais. 843,45 – corresponde ao saldo devedor após o pagamento da primeira prestação. Seu valor é obtido através da fórmula: Saldo Final = Saldo Inicial – Amortização (843,45 = 1.000,00 – 156,55). Observe-se que, no cálculo do saldo final, não foi considerado o valor do juro pago (R$25,00), pois esse valor corresponde simplesmente ao aluguel do capital e não pode ser abatido da dívida, porque não se trata de amortização. 843,45 – correspondem ao saldo inicial do segundo mês. É claro que o saldo final do primeiro mês tem que ser igual ao saldo inicial do segundo mês. 21,09 – corresponde ao juro relativo ao segundo mês.

(2,5% de R$ 843,45).

Note que o saldo devedor não é mais R$ 1.000,00 e, sim, R$ 843,55. 160,46 – correspondem à amortização (pagamento do capital) do segundo mês. O valor é obtido através da fórmula: Amortização = Prestação – Juros. (160,46 = 181,55 – 21,09) 181,55 – correspondem ao valor da prestação. Como o sistema é Price, as prestações são iguais. 682,99 – correspondem ao saldo devedor após o pagamento da segunda prestação. Seu valor é obtido através da fórmula:

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Saldo Final = Saldo Inicial – Amortização. (682,99 = 843,45 – 160,46). Observação: O restante da tabela segue o mesmo raciocínio. Agora é com você. Tente calcular os valores das próximas linhas. É fazendo que se aprende. Mãos à obra!

1.4.2) Sistema de Amortizações Constantes: SAC

Compor a planilha de um financiamento com as seguintes condições: valor financiado: R$ 3.000,00; taxa de juros: 2,5% a/m; número de parcelas: seis.

Nesse sistema as prestações são variáveis, sempre vão caindo com o pas-

sar do tempo e as amortizações são constantes. Abaixo serão explicados detalhadamente os cálculos das duas primeiras inhas da tabela acima: 3.000,00 – correspondem ao saldo devedor inicial no primeiro mês. 75,00 – correspondem ao juro relativo ao primeiro mês. (2,5% de R$ 3.000,00). 500,00 – correspondem à amortização (pagamento do capital) do primeiro mês. O valor é obtido por meio da fórmula: Amortização = Valor Financiado / Nº. de parcelas (500,00 = 3.000,00 / 6) Lembre-se de que, nesse sistema de financiamento, as amortizações são iguais para todos os meses. Então, tem-se que amortizar o valor financiado R$ 3.000,00 nas seis parcelas a pagar, o que corresponde a R$ 500,00 por mês. 575,00 – correspondem ao valor da prestação que é obtido por meio da fórmula: Prestação = Juros + Amortização (575,00 = 500,00 + 75,00) 2.500,00 – correspondem ao saldo devedor após o pagamento da primeira prestação. Seu valor é obtido por meio da fórmula:


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Saldo Final = Saldo Inicial – Amortização (2.500,00 = 3.000,00 – 500,00) Observe que, no cálculo do saldo final, também não foi considerado o valor do juro pago (R$ 75,00), pois esse valor corresponde simplesmente ao aluguel do capital e não pode ser abatido da dívida, porque não se trata de amortização. 2.500,00 – correspondem ao saldo inicial do segundo mês. É claro que o saldo final do primeiro mês tem que ser igual ao saldo inicial do segundo mês. 62,50 – correspondem ao juro relativo ao segundo mês. (2,5% de R$ 2.500,00). Note-se que o saldo devedor não é mais R$ 3.000,00 e, sim, R$ 2.500,00. 500,00 – correspondem à amortização (pagamento do capital) do segundo mês que é constante. 562,50 – correspondem ao valor da prestação que é obtido por meio da fórmula: Prestação = Juros + Amortização (562,50 = 500,00 + 62,50) 2.000,00 – correspondem ao saldo devedor após o pagamento da primeira prestação. Seu valor é obtido por meio da fórmula: Saldo Final = Saldo Inicial – Amortização (2.000,00 = 2.500,00 – 500,00) Observação: O restante da tabela segue o mesmo raciocínio. Agora é com você. Tente calcular os valores das próximas linhas. É fazendo que se aprende. Mãos à obra!

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Exercícios propostos Observação: Os exercícios 1 ao 8 são fundamentais para a continuidade do aprendizado e devem ser resolvidos usando se apenas os conceitos apresentados até aqui. Adotar o regime de juros compostos. 1) Uma empresa tem os seguintes valores a pagar: R$ 12.000,00 vencidos há dois meses, R$ 9.600,00 com vencimento daqui a cinco meses e R$ 15.000,00 com vencimento daqui a oito meses. Se a taxa de juros vigente é de 1,25% a/m, responda: 1.1) Qual será o valor único para liquidar a dívida hoje? Resposta: R$ 34.904,71. 1.2) Qual será o valor único para liquidar a dívida daqui a três meses? Resposta: R$ 36.230,07. 1.3) Se a empresa se dispuser a dar uma entrada hoje no valor de R$ 12.000,00 e pagar uma parcela de R$ 12.000,00 daqui a três meses e mais uma parcela adicional daqui a seis meses, qual será o valor dessa parcela? Resposta: R$ 12.221,50. 1.4) Se a empresa preferir efetuar três pagamentos iguais (mesmo valor nominal) daqui a dois, três e quatro meses, qual será o valor desses pagamentos? Resposta: R$ 12.075,03. 2) O preço de uma mercadoria, para pagamento à vista é igual a R$ 22.500,00. O fornecedor se propõe a efetuar a venda a prazo, mas cobra uma taxa de juros de 1,75% a/m. 2.1) Se o comprador der uma entrada de R$ 8.000,00 e pagar uma segunda parcela de R$ 7.000,00 após três meses, qual será o valor da parcela adicional que deverá ser paga no final do sexto mês? Resposta: R$ 8.716,72.


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2.2) Se o comprador quiser pagar em três parcelas consecutivas mensais e iguais (30, 60 e 90 dias), qual será o valor dessas parcelas? Resposta: R$ 7.764,02. 2.3) Se o comprador quiser pagar em três parcelas consecutivas mensais e iguais (entrada, 30 e 60 dias), qual será o valor dessas parcelas? Resposta: R$ 7.630,48. 3) Uma pessoa fez um financiamento pelo sistema SAC que foi contratado nas seguintes condições: Valor financiado: R$ 48.000,00; taxa de juros: 2,5% a/m; número de parcelas: vinte e quatro. Calcular o valor da sexta parcela, o total de juros pagos, o total amortizado e o saldo devedor após o pagamento dessa sexta parcela. Resposta: Sexta parcela = R$ 2.950,00.

Juros = R$ 6.450,00. Amortização:

R$ 12.000,00. Saldo devedor: R$ 36.000,00. 4) Idem exercício anterior considerando o financiamento pelo sistema Price com prestação igual a R$ 2.683,82. Resposta: Sexta parcela = R$ 2.683,82.

Juros = R$ 6.624,67. Amortização:

R$ 9.478,25. Saldo devedor: R$ 38.521,75. 5) Compor a planilha do financiamento e calcular o total de juros pagos, sabendo-se que a taxa de juros é igual a 2% a/m, usando o sistema SAC, e o sistema Price, para um financiamento de R$ 180.000,00 com prazo total de vinte e quatro meses, sendo seis meses de carência (onde será pago apenas juros trimestrais) e dezoito meses de amortização. 5.1) SAC Resposta: Juros = R$ 56.234,88. 5.2) Price com prestação igual a R$ 12.006,38. Resposta: Juros = R$ 58.149,69.

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5.3) Pode-se afirmar que o custo do financiamento Price é maior do que o SAC? Resposta: Não, porque os sistemas têm a mesma taxa de juros; portanto, têm também o mesmo custo. 6) Uma pessoa financiou um veículo no valor de R$ 78.600,00 a uma taxa de 1,42% ao mês, sem entrada, perfazendo trinta e seis parcelas mensais de R$ 2.803,87. Entretanto, após o pagamento da 12a parcela, a pessoa não conseguiu pagar as três parcelas seguintes e, por isso, resolveu vender o veículo com o repasse do financiamento. 6.1) Calcular o total de juros pagos, o total amortizado e o saldo devedor após o pagamento da 12a parcela. Resposta: Juros = R$ 11.734,36. Amortização: R$ 21.912,08. Saldo devedor: R$ 56.687,92. 6.2) Calcular o saldo devedor atualizado considerando-se as três parcelas em atraso e a mesma taxa de juros. Resposta: R$ 59.137,28. 6.3) A pessoa que assumiu o financiamento deseja liquidá-lo em quatro parcelas mensais, iguais e consecutivas (entrada, 30 dias, 60 dias e 90 dias). Calcular o valor das parcelas considerando a mesma taxa de juros. Resposta: R$ 15.098,46. 7) Uma empresa adquiriu determinado equipamento cujo valor à vista era igual a R$ 80.000,00 e resolveu amortizá-lo da seguinte maneira: Entrada: R$ 20.000,00 – 30 dias: R$ 10.000,00 60 dias: R$ 20.000,00 e 90 dias: R$ 30.000,00. Calcular o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros é igual a 2,5% a/m. Resposta: 30 dias: R$ 11.500,00 – 60 dias: R$ 21.250,00 90 dias: 30.750,00.


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8) Uma empresa assumiu um financiamento de R$ 51.523,00, com prazo de quarenta e oito meses, taxa de juros de 0,85% a/m e correção monetária de 0,56% a/m. A empresa pagou regularmente apenas as cinco primeiras parcelas que foram: R$ 1.356,90 – R$ 1.358,99 – R$ 1.361,08 – R$ 1.370,96 – R$ 1.373,07. Daí para frente a empresa não pagou mais nada, mas no décimo mês resolveu depositar em juízo seis parcelas mensais consecutivas de R$ 1.200,00. Calcular o saldo devedor após o depósito em juízo da ultima parcela. Resposta: R$ 48.075,14.

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O Professor Célio Tavares elaborou este livro de forma ímpar: aliou com simplicidade os conceitos básicos e fundamentais da Matemática Financeira à sua aplicabilidade, abrindo mão das complexas equações matemáticas, sem perder conteúdo, apresentando-a de maneira prática, ágil e de fácil compreensão, principalmente em sua aplicabilidade. Utiliza as ferramentas do Excel e da tradicional calculadora HP-12-C com muita propriedade e simplicidade, mostrando, de forma clara e sucinta, a importância e a facilidade que é valer-se dessas ferramentas para o uso das funções financeiras e sua aplicação prática no dia a dia dos profissionais. Angelo Braz de Matos Economista e Professor e Membro do Conselho Universitário da Universidade de Itaúna - MG

ISBN 978-1-56592-479-6

9 781565 924796

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