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DIAPOSITIVAS SEMANA N° 01 MATEMATICA BASICA

Números Naturales ( N ) Números Enteros ( Z )

PROGRAMA DE ESTUDIOS BASICOS

MATEMATICA BASICA

N={0,1;2;3;4;5;....} Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q) 1 1 1 Q={...;-2;-1; - 2 ;0; ; ; 1;

1 CONJUNTOS SISTEMA NUMERICOS

5 2

2011-II

4 3

Números Naturales ( N ) Números Enteros ( Z ) Números Racionales (Q) 1 1 1 Q={...;-2;-1; - 2 ;0; ; ; 1;

;2;....}

5 2

CESAR AUGUSTO AVILA CELIS

Números Irracionales ( I )

I={...; 2 ; 3 ;  ;....}

Prof. Cesar A. Avila Celis

C Z

Q

Números Complejos ( C ) 1 C={...;-2; - ;0;1; 2 ; 3;1+3i;3;....}

Números Complejos ( C ) 1 C={...;-2; - ;0;1; 2 ; 3;1+3i;3;....} 2

Prof. Cesar A. Avila Celis

20/08/2012

1

1

Ejemplo:

Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.

N

Prof. Cesar A. Avila Celis

El conjunto “A unión B” que se representa A  B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos conjuntos.

NOTACIÓN : A  B

I

I={...; 2 ; 3 ;  ;....}

Números Irracionales ( I )

INCLUSIÓN A está contenido en B, si y sólo sí todo elemento de A está en B

R

;2;....}

Números Reales ( R ) R={...;-2;-1;0;1; 2 ; 3;2;3;....}

20/08/2012

1

4 3

Números Reales ( R ) R={...;-2;-1;0;1; 2 ; 3;2;3;....} 2

20/08/2012

N={0,1;2;3;4;5;....} Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

A

REPRESENTACIÓN GRÁFICA B

2

5

13

3

Simbólicamente:

A

9

7

4

B

11

13 9 7

15

A  B  2; 3; 4; 5; 8; 9;10;11;15

A  B x: x  A  x  B

A  B  x / x  A  x  B

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20/08/2012

4

20/08/2012

El conjunto “A intersección B” que se representa por A  B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B. Ejemplo:

A  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 y B  5; 6; 7; 8; 10

A

2

1

7

4

8

7 6

3

B

5

Ejemplo:

Ejemplo:

A

2

1

7 6

3 10

A 1

6

5

4

B

8

7 6

10

5

10

A  B  1; 2; 3; 4  8;10

A  B  x / x  A  x  B  20/08/2012

7

3

5

A  B  1; 2; 3; 4

7

2

6

5

4

B

8

7

A  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7  yB  5; 6; 7; 8; 10

A  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 y B  5; 6; 7; 8;10

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6

El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representa por A  B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A - B) o (B - A).

A  B  5; 6; 7 A  B  x / x  A  x  B 20/08/2012

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20/08/2012

El conjunto “A menos B” que se representa por A  B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

6

5

5

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A B  x / x  (A  B)  x  (B  A)

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8

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9

También es correcto afirmar que:

Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.

A  B  (A  B)  (B  A) A

B A- B

Notación: A’ o AC Simbólicamente:

B-A

U A’ = U - A

,

A  x / x  U  x  A 

A  B  (A  B)  (A  B)

Ejemplo: U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} y A ={1;3; 5; 7; 9}  A’={2;4;6,8}

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6. Si se cumple que:

El conjunto diferencia A – B se denomina también complemento de B respecto de A. CA B= {x/ x  A  x  B}

B

A

10

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U

A

2

1 6

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B  x  N / 0  x  5

3 5

x 1 B  2

1  x  8;

U  x  N / 0  x  9, A  x  Z  / 3  x  9 ,

; señale los elementos de cada uno de los

siguientes conjuntos:

A

A’

4. Dados los conjuntos

a) (A  B)C

x 1 A Z  2  x  Z 

b) (A  B)  (A  B) c) n(A  B)

 1  x  18  

y,

¿cuántos subconjuntos

propios tiene A  B ?

8

7 9 4

11

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12


3)  a, b y c  R: a+(b+c) = (a+b)+c y a(b.c) = (a.b)c

Es un conjunto de números denotado por R con dos operaciones: Adición (+) y Multiplicación (.) y una relación de orden “menor que” (<) verificando los siguientes axiomas:

4) Elementos neutros.- ! 0 y 1 tales que, a en R: a+0 = a y a.1 = a

Cerradura

1)  a, b  R: a + b  R y a.b  R

1

1

1

6) Distributividad:  a, b y c en R a(b+c) = ab+ac (b+c) a = ba+ca

Conmutativa

a + b = b + a y a.b = b.a

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O1) Tricotomía: a < b  a = b  a > b O2) Transitividad: Si a < b y b < c entonces a < c O3) Si a < b entonces a+c < b+c, c  R O4)Si a<b y 0 < c entonces ac < bc

 aR ! aR / a (a) a  a  0  a  0R ! a R / a.a  a .a 1

5)

2)  a y b  R :

Asociativa

14 20/08/2012

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Propiedades

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Definición 2. Sean a, b  R , b  0 

1)aR , a.0= 0 = 0.a 2) aR , -a = (-1).a 3) a+b =a +c  b=c 3) a,bR , a(-b)=(-a)b= -(ab) 4) aR , -(-a) = a 5) a,bR , (-a)(-b)= ab

Axioma del Supremo: “Todo subconjunto de números reales superiormente acotada posee supremo”. 15

Propiedades

a  ab 1 b

5. a, b  R  a 2  b 2  a  b  a  b DESIGUALDADES Definición 1.- Sean a, b  R  a  b  b  a

2. a, b,c,d  R; b  0  d  0 a c ad  bc   b d bd

Definición 2.- Sean

3. Si a, b, x  R;a  0

Definición 3.- Sean

inicio

4. a, b  R  ab  0  a  0  b  0

1. a, b  R ; ab  0  (ab) 1  a 1b1

DEFINICIÓN 1.Sustracción: Sean a y b R a-b=a+(-b)

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a, b  R  a  b  b  a  a  b

a, b  R  a  b  b  a  a  b

 ax  b  0  x  a 1b

Definición 4.- Sea

a  R  a positivo  a  0 16 20/08/2012

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18 20/08/2012

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Definición 5.- Sea a  R  a negativo  a  0 INTERVALOS Son subconjuntos de números reales que nos permite representar la solución de ecuaciones e inecuaciones I. Abierto a, b = {x/ a < x < b}

a

b

a

b

a

b

a

b

I. Cerrado [a, b] = {x/ a  x  b} a, b] = {x/ a < x  b} [a, b = {x/ a  x < b}

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Intervalos al infinito: a, + = {x/ a < x < +}

Definición 6.- Sean a, b  R entonces a y b

tienen el mismo signo si y sólo si ambos son positivos o negativos.

- , b = {x/ -  < x < b}

Definición 7.- Sean a, b  R entonces a y b tienen signos distintos si y sólo si uno es positivo y el otro negativo.

[a, + = {x/ a  x < +}

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20/08/2012

1. En el conjunto de los números reales, exprese los conjuntos dados como intervalos y grafique sobre la recta real. a) A  x  R / x  2 c)

x  R / x  3

e)

f)

 x  9

b) B  x  R /  4  x  6

d)

x  R /

2. Si

1  6 x  x 2  M x  R

x  8  x  9

.

x  R / x  15  x  R / x  14 x  R / x  7  x  R / x  13

Solución.- Completando cuadrados se tiene,

1  6 x  x 2   ( x  3)2  10

x   A   x  R /   3,2  , B  x  R / 3x  1,3  3   determine y grafique A  B .

Por propiedad

,

-

b +

a -

R

b

+

0

+

21

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1 3 x   , , 2 2

halle el mayor valor de m y el

menor M / m  x 2  x  3  M 4. Halle el mayor valor de m que verifique m  x 2  4x  17

.

4. Si

+

a

-, b] = {x/ - < x  b }  -, + = {x / x R} =

20

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x  R

,

( x  3)2  0 x  R   ( x  3)2  0 x  R

6. Si 2 

( x  3) 2  10  10

x2  3, x  R , determine el menor x5

intervalo donde se halle 5 – 2x

Por tanto Mmínimo  10 ,

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23 20/08/2012

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20/08/2012

p(x)  ax  bx  c

Cuando el grado del polinomio p(x) es igual a 2 ó 3,

Conjunto solución de una inecuación. Son todos los números reales que verifican la desigualdad.

,

p(x)  0

,

Coeficientes : a1 , a 2 ,..., a n

p(x)  0 20/08/2012

p(x)  0 Prof. Cesar A. Avila Celis

con a  0 a las raíces de la ecuación

se llaman desigualdades de segundo ó tercer grado respectivamente. ax 2  bx  c

es irreducible si no se puede factorizar en factores lineales en R .

a n  0; var iable : x

p(x)  0

,

p(x)  ax 3  bx 2  cx  d

p(x)  0 , p(x)  0

Observación Toda expresión polinomial cuadrática de la forma:

p(x)  a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n

24

Observación .- Llamaremos puntos críticos de los polinomios 2

INECUACION DE SEGUNDO Y TERCER GRADO

las desigualdades p(x)  0

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p(x)  0

Método abreviado para resolver inecuaciones.Para resolver las inecuaciones polinomiales y racionales por éste método se procede en la forma siguiente: 1º) Se factoriza el polinomio ( ó polinomios) como producto de factores lineales y/o cuadráticos de la forma x – a . Los factores cuadráticos irreducibles se eliminan. 2º) Cada factor lineal se iguala a cero para hallar los puntos críticos

p(x)  0 25

20/08/2012

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26

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27


3º) Se ubican los puntos críticos sobre la recta real de menor a mayor o viceversa 4º) Se determinan tantos intervalos como puntos críticos se obtengan y se etiquetan los intervalos de derecha hacia izquierda con signos  ó  en forma alternada hasta terminar. 5º) Se escribe el conjunto solución de la inecuación según la regla siguiente : p(x)  0  x a) Si pertenece a la unión de intervalos abiertos con signos positivos

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Determine

a) (A  B)

C

9. Resuelva en R

Solución.-

( x  5)( x  3)  0 1) Factorizando: 2) Los puntos críticos (p.c.) son -5 y 3 . 3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene

+

 CS  2, 3 29 20/08/2012

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APLICACION 1. La Ganancia mensual estimada, obtenida por la empresa Kodac al producir y vender x cámaras de modelo K1 es: P ( x)  0.04 x 2  240 x  10000

dólares. Encuentre la cantidad de cámaras que debe producir para maximizar sus ganancias. R: 3000 cámaras.

c) x  3x 2  6  10  3x  5x2  10  4x2  3x

10. Resuelva las inecuaciones en R c) x 3  5x 2  13x  7  0 d) x 3  3x 2  13x  15  0 31 20/08/2012

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4)

+

32 20/08/2012

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+ -5

3

+ 3

5) Elegimos los intervalos con signo” + “

x   , 5   3, 

x  2,3

y B  x  R / 2x  3  x 2 b) (A B)  (A B)

Solución.-

5) Elegimos el intervalo que tiene el signo” – “

Ejercicios: A  x  R / 3x  5  x 2

x 2  2 x  15  0

.

( x  3)( x  2)  0 1) Factorizando: 2) Los puntos críticos (p.c) son 2 y 3 . 3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene 2

28

8. Dados los conjuntos

x2  5x  6  0

4)

b) Si p(x)  0  x pertenece a la unión de intervalos cerrados con signos positivos c) Si p(x)  0  x pertenece a la unión de intervalos abiertos con signos negativos d) Si p(x)  0  x pertenece a la unión de intervalos cerrados con signos negativos 20/08/2012

Ejercicio 2.- Resolver la inecuación,

Ejercicio 1.- Resolver la inecuación, .

 CS   , 5   3,  3020/08/2012

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Conjuntos Numericos