Page 1


SIGBJØRN HALS • TORE OLDERVOLL • OTTO SVORSTØL

BASIS 1P-Y ENGANGSBOK I MATEMATIKK FOR VG1 YRKESFAGLIGE PROGRAMMER BOKMÅL

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 1

07.04.2017 14:46:02


Fotografier og grafikk: Omslag og kapittelstart: Colourbox.no. Sigbjørn Hals s. 7, 14, 66, 105 3sbworld/Thinkstock s. 22 Cappelen Damm s. 46 SNA Europe (Norway) AS s. 55 bacho pipesett. Modellskute.no s. 138 Tore Oldervoll s. 139 Otto Svorstøl s. 145 BMW Group s. 158 © Cappelen Damm AS, Oslo 2017 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Grafisk formgiver og omslagsdesign: Frihåndstegninger: Tekniske tegninger: Forlagsredaktører: Sats: Trykk og innbinding:

Kristine Steen Per Ragnar Møkleby Terje Sundby, Keops Bjørn-Terje Smestad og Terje Idland HAVE A BOOK, Polen 2017 UAB Balto Print, Litauen 2017

Utgave nr. 1 Opplag nr. 1 ISBN: 978-82-02-50546-2 www.cdu.no www.sinus.cdu.no

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 2

07.04.2017 14:46:02


Forord SINUS ER ET MATEMATIKKVERK for den videre­gående skolen. Sinus Basis 1P-Y er en engangsbok skrevet for elever som trenger et enklere opplegg enn andre elever. Den følger kapittelinndelingen i Sinus 1P-Y. Boka er skrevet for matematikkurset 1P-Y for yrkesfaglige utdanningsprogrammer og er tilpasset justeringene i læreplanen fra 2013. Elever som sliter med å få til matematikken trenger gjerne en annen tilnærming til stoffet enn det de har møtt tidligere. I denne boka blir det lagt stor vekt på visualisering. Elevene møter nye forklaringsmåter som fremmer forståelse og effektive teknikker som gjør at de raskt opplever mestring. Boka legger vekt på den praktiske matematikken og henter eksempler og oppgaver fra dagligliv og yrkesliv. Den passer for alle yrkesfagene. Sinus Basis 1P-Y har som målsetting å bidra til at elevene med lav måloppnåelse skal kunne klare å bestå kurset. Teorien er kortfattet og lett forståelig. Etter eksemplene følger enkle oppgaver slik at elevene kan øve på det de har lært. Elevene løser disse oppgaven direkte i boka. Elevene får mye hjelp med løsningene i starten, og blir så gradvis lært opp til å jobbe mer selvstendig. Sinus Basis 1P-Y er dessuten utstyrt med mange lenker og QR-koder. Dette gjør at elevene raskt får tilgang til digitale ressurser som kan være til hjelp ved innlæringen av det aktuelle stoffet og gjør det mulig for eleven å arbeide mer selvstendig. Bak hvert kapittel er det en egen oppgavedel med oppgaver som elevene løser i en egen kladdebok. Dessuten finner de oppgaver som skal løses med og uten hjelpemidler. Første del heter «Øv mer». Oppgavene her er ordnet likt som delkapitlene i teoridelen og etter vanskegrad. Andre del heter «Uten hjelpemidler» og inneholder oppgaver som skal løses uten å bruke digitale hjelpemidler. Tredje del heter «Med hjelpemidler» og inneholder oppgaver der elevene kan eller må bruke digitale hjelpemidler. Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de ikke fullt ut kjenner betydningen av. Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her er det mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver og videoer som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

Sigbjørn Hals Tore Oldervoll Otto Svorstøl

3

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 3

07.04.2017 14:46:02


Innhold 1 Tall og mengde . ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  6 1.1 Hoderegning . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8 1.2 Brøkdelen av et tall....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 1.3 Overslagsregning. ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12 1.4 Desimaltall og brøker.................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 1.5 Størst og minst. ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16 1.6 Forkorting av brøker . ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 18 1.7 Brøkregning . .............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 20 1.8 Enheter for mengde . ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22 1.9 Summering av mengder ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24 Sammendrag . ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26 Oppgaver ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 26 2 Prosentregning .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  32 2.1 Prosent . .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 34 2.2 Prosentfaktor . ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36 2.3 Prosenttrekanten . ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 38 2.4 Vekstfaktorer . ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40 2.5 Prosentvis økning . ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42 2.6 Prosentvis nedgang . .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 44 2.7 Merverdiavgift . ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46 2.8 Prosentpoeng . ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48 Sammendrag . ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50 Oppgaver ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 51 3 Algebra ................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  56 3.1 Regnerekkefølge ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 58 3.2 Variabler ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60 3.3 Førstegradslikninger ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 62 3.4 Potenslikninger . ......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 64 3.5 Formler . .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66 3.6 Formler og likninger . ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68 Sammendrag . ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70 Oppgaver ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 71

4

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 4

07.04.2017 14:46:02


4 Økonomi . ......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  76 4.1 Lønn og feriepenger ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 78 4.2 Skattetrekk . .......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 80 4.3 Skatt . . ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 82 4.4 Regnskap og budsjett .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 84 4.5 Sparing . ................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 86 4.6 Serielån ................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 88 4.7 Annuitetslån . ......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 90 4.8 Kredittkort . ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 92 Sammendrag . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 94 Oppgaver ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 95 5 Forholdsregning .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  102 5.1 Forholdet mellom to tall . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 104 5.2 Blandingsforhold . ................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 106 5.3 Proporsjonale størrelser . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 108 5.4 Omvendt proporsjonale størrelser .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 110 5.5 Indekser . ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 112 5.6 Konsumprisindeksen ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 114 5.7 Reallønn . ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 116 5.8 Kroneverdi ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 118 Sammendrag . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 120 Oppgaver ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 121 6 Lengder og vinkler . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  126 6.1 Enheter for lengde . ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 128 6.2 Måling av lengde og avstand . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 130 6.3 Vinkler i formlike figurer . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 132 6.4 Lengder i formlike figurer . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 134 6.5 Pytagorassetningen ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 136 6.6 Målestokk . ............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 138 Sammendrag . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 140 Oppgaver ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 141 7 Areal og volum ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  146 7.1 Areal . .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 148 7.2 Sirkel . ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 152 7.3 Volum .................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 154 7.4 Prisme ................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 156 7.5 Sylinder . . ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 158 7.6 Pyramide og kjegle .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 160 7.7 Kule . ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 162 Sammendrag . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 164 Oppgaver ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 165 Fasit ..................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 170 Stikkord . ............................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 183

5

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 5

07.04.2017 14:46:02


1 Tall og mengde MÅL for opp­l æ­r in­g en er at ele­ven skal kun­ne • gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene og vurdere hvor rimelige de er

Dette lærer du i kapittel 1: • Å finne gode metoder for hoderegning • Å doble og halvere tall flere ganger • Å finne brøkdelen av et tall • Å gjøre overslag ved å regne med avrundede verdier • Å gjøre om fra brøk til desimaltall • Å sammenligne størrelsen på brøker • Å forkorte og utvide brøker • Å finne en brøk av en brøk • Å legge sammen brøker med ulik nevner • Å gjøre om mellom ulike enheter for mengder

6

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 6



07.04.2017 14:46:03


KAN DU DETTE?

Dette har du bruk for i kapittel 1: □□ Vite forskjellen mellom et helt tall og et desimaltall Et desimaltall er et tall som inneholder et komma. Tallene bak kommaet kaller vi desimaler.

EKSEMPEL

195,72

□□ Gange et tall med 10, med 100 og med 1000 uten hjelpemidler Når du ganger et desimaltall med 10, flytter du kommaet en plass til høyre. Ganger du med 100, flytter du kommaet to plasser til høyre. Når du ganger et helt tall med 10, legger du til en null i slutten av tallet. Ganger du et helt tall med 100, legger du til to nuller.

□□ D ele et tall med 10, med 100 og med 1000 uten hjelpemidler

EKSEMPEL

195,72  ·  10 = 1957,2 195,72  ·  100 = 19 572 432  ·  10 = 4320 432  ·  100 = 43 200 EKSEMPEL

Når du deler et desimaltall med 10, flytter du kommaet en plass til venstre. Deler du med 100, flytter du kommaet to plasser til venstre. Når du deler et helt tall med 10, tenker du deg at det står et komma etter tallet, og så flytter du kommaet én plass til venstre.

□□ Bruke tierpar («tiervenner») i hoderegning

195,72 : 10 = 19,572 195,72 : 100 = 1,9572 432 :  10 = 43,2

EKSEMPEL

Tierpar er to hele positive tall som gir summen 10.

Når du skal regne ut 58 + 9, kan du tenke slik: Legg 2 til 58 for å få 60. Da har du igjen 7 av de 9. Svaret blir derfor 67.

1 + 9,  2 + 8,  3 + 7,  4 + 6,  5 + 5 Du kan bruke tierpar når du regner oppgaver i hodet.

□□ Kunne gangetabellen

EKSEMPEL

Hvis du kan 2-, 3-, 4- og 5-gangen, men er mer usikker på 6-, 7-, 8- og 9-gangen, vil du ha stor nytte av fingermultiplikasjon. Det er enkelt å lære og ganske effektivt.

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 7

7

07.04.2017 14:46:04


1.1 Hoderegning I hverdagen har vi ofte bruk for å kunne regne ut noe i hodet. Det skal vi lære mer om nå. 7 tiere og 5 tiere er til sammen 12 tiere. Altså er 70 kr + 50 kr = 120 kr.

Hvis vi har 12 hundre og skal betale 5 hundre, har vi igjen 7 hundre. Dermed er 1200 kr - 500 kr = 700 kr.

Det er også nyttig å kunne doble og halvere tall i hodet. EKSEMPEL

LØSNING

Hva er det dobbelte av 47? 40 ⋅  2 = 80 7 ⋅  2 = 14 80 + 14 = 94

Det dobbelte av 40 er 80. Det dobbelte av 7 er 14. Det blir til sammen 94.

Når vi har lært å doble og halvere, kan vi gjøre dette flere ganger i en utregning. EKSEMPEL

LØSNING

EKSEMPEL

LØSNING

Hvor mye er 3,5 kr ⋅  4? 3,5 kr ⋅  2 = 7 kr  7 kr ⋅  2 = 14 kr

Å gange med 4 er det samme som å doble tallet to ganger. Det dobbelte av 3,5 er 7, og det dobbelte av 7 er 14.

Hvor mye er 70 ⋅  8 ? 70 ⋅  2 = 140 140 ⋅  2 = 280 280 ⋅  2 = 560

Å gange med 8 er det samme som å doble tallet tre ganger, for 2 ⋅  2 ⋅  2 = 8. Det dobbelte av 70 er 140, det dobbelte av 140 er 280, og det dobbelte av 280 er 560.

Vi kan også tenke slik: 7 ⋅  8 = 56 56 ⋅  10 = 560 eller 70 ⋅  8 = 10 ⋅  7 ⋅  8 = 10 ⋅  56 = 560

8

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 8

1.1 Hoderegning

07.04.2017 14:46:04


?

OPPGAVE 1.10

OPPGAVE 1.11

Regn ut i hodet. Husk to streker under svaret.

Regn ut i hodet. Husk to streker under svaret.

a) 30 kr + 60 kr =     kr

a) 70 + 50 =    

b) 800 kr + 500 kr =     kr

b) 900 + 800 =    

c) 90 kr - 40 kr =     kr

c) 3000 + 12 000 =      

d) 1300 kr - 700 kr =     kr

d) 900 - 400 =    

OPPGAVE 1.12

OPPGAVE 1.13

Regn ut i hodet.

Regn ut i hodet.

a) 2 ⋅  80 =    

a) 2 ⋅ 15 =    

b) 4 ⋅  80 =    

b) 4 ⋅  15 =    

c) 8 ⋅  80 =    

c) 8 ⋅  15 =    

d) 8 ⋅  800 =    

d) 80 ⋅  15 =    

OPPGAVE 1.14

OPPGAVE 1.15

Regn ut i hodet.

Regn ut i hodet.

a) 2 ⋅  35 m =     m

a) 2 ⋅  7,5 cm =     cm

b) 4 ⋅  35 m =     m

b) 4 ⋅  7,5 cm =     cm

c) 10 ⋅  35 m =     m

c) 10 ⋅  7,5 cm =     cm

d) 20 ⋅  35 m =     m

d) 20 ⋅  7,5 cm =     cm

OPPGAVE 1.16

a) Du har tallene 1, 4 og 6. Velg ett, to eller alle tre av disse tallene. Prøv å lage alle de hele tallene fra og med 1 til og med 10 ved hjelp av tegnene + og -. Hvert tall skal bare brukes én gang. Er det noen av tallene du ikke kan lage? REGN HER

1 =1

6 =            

2 =6-4

7 =            

3 =6-4+1

8 =            

4 =            

9 =            

5 =            

10 =          

b) Kan du finne tre tall som er slik at du kan lage alle de hele tallene fra og med 1 til og med 10? Finnes det flere løsninger?

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 9

9

07.04.2017 14:46:05


SOMMERSALG 1.2 Brøkdelen av et tall

1/2 AV 1/2 PRIS

Figuren til høyre viser at halvparten av en halv er en fjerdedel. I praktisk regning er det ofte nyttig å kunne halvere flere ganger. PÅ SOMMERVARER

EKSEMPEL

LØSNING

EKSEMPEL

LØSNING

Ei bukse kostet før 840 kr. Hva blir den nye prisen når du skal betale halv pris av halv pris? 840 kr : 2 = 420 kr 420 kr : 2 = 210 kr Den nye prisen er 210 kr.

Halvparten av 840 kr er 420 kr. Halvparten av 420 kr er 210 kr. For å finne halv pris av halv pris må du altså halvere to ganger.

3 4

Hvor mye er   av 80 kr?

80 kr : 4 = 20 kr 20 kr ⋅  3 = 60 kr 

Fjerdeparten av 80 kr er 20 kr. 1 av 80 kr er altså 20 kr. 4  3 1 er tre ganger så mye som  . 4  4

3 ganger 20 kr er 60 kr.

EKSEMPEL

LØSNING

2

Regn ut  av 21 000 kr i hodet og digitalt. 3  21 000 kr : 3 = 7000 kr 1  av 21 000 kr = 7000 kr

3 2  av 21 000 kr = 7000 kr ⋅  2 3

= 14 000 kr

Fra gangetabellen vet vi at 3 ⋅ 7 = 21. Da er 21 : 3 = 7. 21 tusenlapper delt på 3 er 7 tusenlapper. 21 000 kr : 3 = 7000 kr. 2 1  er det dobbelte av  . 3 3

Det dobbelte av 7000 kr er 14 000 kr.

2 av 21 000 kr = 14 000 kr 3  2 21000 3

10

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 10

2

14000

Vi kan også regne ut  av 21 000 kr ved å skrive det inn på 3  lommeregneren slik løsningen til venstre viser.

1.2 Brøkdelen av et tall

07.04.2017 14:46:06


?

OPPGAVE 1.20

OPPGAVE 1.21

Regn ut i hodet.

Finn ved å halvere flere ganger.

a) 80 kr : 2 =     kr

a) Fjerdeparten av 100 kr =     kr

b) 800 kr : 2 =     kr

b) Fjerdeparten av 84 m =     m

c) 270 m : 3 =     m

c) 180 kr : 4 =

    kr

d) 350 m : 5 =     m

d) 200 kr : 8 =

    kr

OPPGAVE 1.22 5

1

Regn ut  av tallet ved først å finne  . Kontroller svaret ved hjelp av lommeregner. 8  8 a)

1 av 56 = 7 8

5 av 56 = 5 ⋅ 7 =      8

Med lommeregner:

5 ⋅ 56 =      8

b)

1 av 80 =     8

5 av 80 8

=     

Med lommeregner:

5 ⋅ 80 =      8

c)

1 av 160 =     8

5 av 160 8

=     

Med lommeregner:

5 ⋅ 160 =      8

OPPGAVE 1.23

Ei jakke kostet tidligere 2400 kr. På salg kostet den halvparten av halv pris før salget. Hva kostet jakka på salget?

SOMMERSALG

1/2 AV 1/2 PRIS

REGN HER

PÅ SOMMERVARER

OPPGAVE 1.24 1 6

5 6

En blanding av saft og vann inneholder   saft og   vann. a) Hvor mye saft er det i 30 dL saftblanding? b) Hvor mye vann er det i 30 dL saftblanding? c) Hvor mye saftblanding blir det når det er 2 dL rein saft? REGN HER

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 11

11

07.04.2017 14:46:07


1.3 Overslagsregning Tone har kjøpt to planker. Hvor lange de er, målt i centimeter, står i enden av hver planke. Tone tenkte slik da hun regnet ut hvor mange meter hun hadde til sammen: • Den øverste planken er ca. 400 cm = 4 m. • Den nederste er ca. 500 cm = 5 m. • Summen av lengdene blir da ca. 5 m + 4 m = 9 m. Overslagsregning er å runde av tallverdier slik at de blir lettere å regne med i hodet.

2

Arealet av de to figurene til venstre er det samme, for 2 ⋅ 2 er det samme som 4 ⋅ 1. Når vi dobler lengden, må vi halvere bredden for å få det samme arealet.

4

Slik er det også med overslagsregning når vi skal gange: Når det ene tallet blir større, må det andre bli mindre.

2

1

Ved hjelp av lommeregner ser vi at 32,50 + 18,40 = 50,90. Hvis vi runder det ene tallet opp og det andre tallet ned, får vi 30 + 20 = 50. Det er tilnærmet riktig. Lommeregneren gir at 5,3 ⋅ 1,9 = 10, 07. Hvis vi runder det ene tallet opp og det andre tallet ned, får vi 5 ⋅ 2 = 10. Denne verdien kan ofte være nøyaktig nok.

32.50 18.40 50.9 5.3 1.9 10.07

Når vi legger sammen eller ganger, runder vi ett tall opp og ett tall ned.

Hva gjør vi når vi trekker fra eller deler? Lommeregneren gir at 37,9 - 23,8 = 14,1. Hvis vi runder ett tall opp og ett ned, får vi 40 - 20 = 20. Det blir feil. Hvis vi runder begge opp, får vi 40 - 25 = 15. Det er mye nærmere det riktige. Vi kan også runde

37.9 23.8 14.1

begge tallene ned. Det gir 35 – 20 = 15. Vi må bruke den samme framgangsmåten ved deling. Når vi trekker fra eller deler, runder vi enten begge tallene opp eller begge ned.

Overslagsregning gjør at vi lettere kan regne ut omtrentlige verdier i hodet. Tilsvarende teknikker kan vi bruke for å gjøre det lettere å finne helt nøyaktige verdier. 503 - 398 blir lettere å regne ut nøyaktig hvis vi legger til to i begge tallene slik at 398 blir 400. Det gir fortsatt likt svar. 503 - 398 = 505 - 400 = 105

12

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 12

1.3 Overslagsregning

07.04.2017 14:46:07


?

OPPGAVE 1.30

OPPGAVE 1.31

Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er.

Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er.

a) 202,5 + 498,3 ≈ 200 + 500 =     

a) 407 + 792 ≈

+

=     

b) 504,1 - 202,5 ≈ 500 - 200 =     

b) 618 - 407 ≈

-

=     

c) 42,8 ⋅ 18,7 ≈ 40 ⋅ 20 =     

c) 61,2 ⋅ 9,8 ≈

⋅ 

=     

d) 36,2 : 6,3 ≈ 36 : 6 =     

d) 48,7 : 6,9 ≈

:

=     

OPPGAVE 1.32

Bruk overslagsregning og finn omtrent hvor stort svaret er. a) 793 - 589

b) 18,6 ⋅ 2,2

c) 82,8 : 9,3

REGN HER

OPPGAVE 1.33

REGN HER

a) 377 cm ≈

380 cm

+ 512 cm ≈     cm + 448 cm ≈     cm Snekker Andersen kjøper fire lekter. Lengden, målt i centimeter, står i enden av hver lekt, slik figuren ovenfor viser. a) Rund av lengdene og finn ut omtrent hvor mange meter med lekter Andersen kjøper. b) Lektene koster 4,95 kr per meter. Omtrent hvor mye må Andersen betale for lektene?

+ 461 cm ≈     cm

=     cm =     m

b) Snekker Andersen må betale omtrent    kr/m ⋅    m =     kr

OPPGAVE 1.34

Bruk metoden nederst på forrige side til å finne nøyaktige svar på disse oppgavene: a) 423 - 197 =

     -      =     

b) 752 - 296 =

     -      =     

c) 9863 - 1999 =

     -      =     

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 13

13

07.04.2017 14:46:08


1.4 Desimaltall og brøker To venner skal dele sju boller.

Det blir tre hele og en halv bolle på hver. Sju delt på to er altså tre og en halv. 7

Delingstegn og brøkstrek betyr det samme. Derfor kan vi skrive  = 7  :  2 = 3,5. 2 I en brøk er telleren tallet over brøkstreken. Tallet under brøkstreken kaller vi nevneren.

7 ← telleren er på toppen 2 ← nevneren er nede 7 2

Ovenfor gjorde vi brøken  om til et desimaltall ved å dele telleren med nevneren. Det kan vi gjøre med alle brøker. Vi gjør en brøk om til et desimaltall ved å dele telleren med nevneren.

EKSEMPEL

LØSNING

3 5

Gjør brøken   om til desimaltall i hodet og med lommeregneren. 3 = 0,3 10

Å dele på 5 gir dobbelt så mye som å dele på 10. Vi deler derfor først 3 med 10 og får 0,3.

3 = 0,3 ⋅ 2 = 0,6 5

Det dobbelte av 0,3 er 0,6.

3 5 0.6

På den lommeregneren vi brukte, måtte vi trykke på tasten S ⇔ D  for å få gjort om brøken til et desimaltall. På noen kalkulatorer står det  F ⇔ D .

Noen ganger går ikke divisjonen opp, og da får vi uendelig mange desimaler i svaret. Lommeregneren viser da bare noen av desimalene. EKSEMPEL

LØSNING

5

Bruk lommeregneren og gjør brøken  om til et desimaltall. 6  Vi skriver 5 : 6 inn på lommeregneren og trykker på tasten S ⇔ D . Da får vi 0,8333333333, som kan avrundes til 0,833.

5 6 0.8333333333

14

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 14

1.4 Desimaltall og brøker

07.04.2017 14:46:09


?

OPPGAVE 1.40

OPPGAVE 1.41

Skriv tallene som desimaltall. Se hvor mange du klarer uten lommeregner.

Skriv tallene som desimaltall med tre desimaler.

a)

1 = 2

a)

1 = 3

b)

1 = 4

1 b) = 6

c)

2 = 5

c)

2 = 3

d)

3 = 8

d)

2 = 9

e)

3 = 20

e)

2 = 11

f)

3 = 16

f)

7 = 17

OPPGAVE 1.42 1 7

5

Regner vi ut   med mange desimaler,

8

får vi 0,142857142857142857… 2 7

Regner vi ut   med mange desimaler,

7

2

7-delshjulet

får vi 0,285714285714285714…

1

4

Det ser altså ut som vi får de samme sifrene i svaret, og at de kommer i samme rekkefølge som figuren til høyre ovenfor viser. Bruk figuren og prøv å gjette hva disse tallene blir som desimaltall. Skriv 12 desimaler. Kontroller svaret med lommeregneren. (Mange lommeregnere runder av svaret til 9 desimaler.) a)

3 = 7

0,428 

b)

4 = 7

0,5 

c)

5 = 7

0,7 

d)

6 = 7

0, 

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 15

15

07.04.2017 14:46:10


1.5 Størst og minst Hvilket av tallene nedenfor er størst?

1,75

1,8

1

–2

Noen vil kanskje svare 1, for det tar mest plass. Andre gjetter på -2 fordi 2 er det største tallet, eller på 1,75, for det har flest siffer (er lengst). Ingen av disse svarene er riktige. Det største tallet er 1,8, for det står lengst til høyre på tallinja når vi plasserer disse tallene der. –2

1

–2

–1

0

1

1,8 1,75

2

Det største av to tall er det som står lengst til høyre på tallinja.

75 er større enn 8. Hvorfor er ikke da 1,75 større enn 1,8? I desimaltall kan vi legge til ekstra nuller etter siste desimal uten at det forandrer tallet. Tallet 1,8 og tallet 1,80 er altså like store. Når vi skal sammenlikne tallene 1,75 og 1,8, skriver vi tallet 1,8 som 1,80, og da ser vi at det er 1,8 som er størst. Når vi skal sammenlikne desimaltall, føyer vi til nuller bak siste desimal slik at alle tallene får like mange desimaler. EKSEMPEL

Skriv tallene 3,6, 3,56 og 3,582 i stigende rekkefølge.

3,6 LØSNING

3,56

3,582

Vi føyer til nuller slik at alle tallene får like mange desimaler. 3,6 = 3,600 3,56 = 3,560 3,582 = 3,582 Da ser vi at 3,560 er minst, og at 3,600 er størst. Tallene i stigende rekkefølge er: 3,56, 3,582 og 3,6

16

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 16

1.5 Størst og minst

07.04.2017 14:46:10


?

OPPGAVE 1.50

Skriv tallene i stigende rekkefølge. a) 5,23, 5,3 og 5,179

b) 6,09, 6,101 og 6,1

5,23 = 5,230

6,09 =

5,3 =

6,101 =

5,179 =

6,1 =

Rekkefølgen blir:

Rekkefølgen blir:





OPPGAVE 1.51

Gjør brøkene om til desimaltall og finn ut hvilken brøk som er størst. a)

3 4  eller  4 5

3  =   4

4  =   5

er størst.

b)

13 12  eller  6 5

13  = 6  

12  =   5

er størst.

c)

23 25  eller  11 13

23 = 11    

25  =   13

er størst.

d)

18 19  eller  29 30

18 = 29    

19  =   30

er størst.

OPPGAVE 1.52

12 venner sitter ved 2 bord på en pizzarestaurant. Ved det ene bordet sitter det 5 personer. De får 2 pizzaer på deling. Ved det andre bordet sitter det 7 personer. De skal dele 3 pizzaer. Hvem får mest pizza? REGN HER

2 pizzaer skal deles på 5. 2 : 5 = 3 pizzaer skal deles på 7. 3 : 7 =

Bordet med

personer får mest pizza.

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 17

17

07.04.2017 14:46:11


1.6 Forkorting av brøker Bredden av figuren nedenfor er 1. Denne bredden har vi også delt inn i 2-deler, 3-deler, 4-deler, 6-deler, 8-deler og 12-deler. 1 – 2

1 – 2

1 — 12

1 — 12

1 — 12

1 – 8

1 – 8

1 – 8

1 — 12

1 — 12

1 — 12

1 – 6

1 – 6

1 – 6

1 – 6

1 – 6

1 – 6

1 – 4

1 – 4

1 – 4

1 – 4

1 – 8

1 – 3

1 – 3

1 – 3

1 — 12

1 — 12

1 — 12

1 — 12

1

1 – 8

1 – 8

1 – 8

1 – 8

1

1 — 12

1 — 12

2

Av rutene med rød ramme rundt ser vi at  = 2 ·  =  . 4 8  8 Vi kan bruke figuren til å finne andre brøker som er like store. EKSEMPEL

LØSNING

1 2

Finn en brøk som har 12 i nevneren og er lik  . Se på rutene i figuren til høyre. Vi ser av figuren at

1 – 2 1 — 12

1 1 6 =6⋅ = 12 12 2 1 2

Hvordan kan vi være helt sikre på at  =

1 — 12

1 — 12

1 — 12

1 — 12

1 — 12

6 ? 12

Vi må gange 2 med 6 for å få 12 i nevneren. Når vi ganger med det samme tallet i teller og nevner, forandrer ikke brøken verdi. 

EKSEMPEL

LØSNING

1⋅6 6 = . 2 ⋅ 6 12

6

Forkort brøken  uten og med lommeregner. 8  Her deler vi med 2 i telleren og i nevneren. 6 8

=

Vi kan også se svaret ut fra figuren til høyre. Vi skriver inn brøken og trykker på tasten = . 3 4

Svaret blir  .

1 – 8 6 8

1 – 4

1 – 4

1 – 4

6:2 3 = 8:2 4

1 – 8

1 – 8

1 – 8

1 – 8

1 – 8

3 4

Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Når vi utvider en brøk, ganger vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Når vi forkorter eller utvider en brøk, endrer den ikke verdi.

18

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 18

1.6 Forkorting av brøker

07.04.2017 14:46:12


?

OPPGAVE 1.60

Bruk figuren øverst på forrige side til å finne to andre brøker som har samme verdi som disse brøkene. a)

1 = 4

b)

=

2 = 3

c)

=

4 = 12

=

OPPGAVE 1.61

Forkort brøkene mest mulig. Bruk gjerne figuren øverst på forrige side til hjelp. a)

4 = 8

b)

4 = 6

c)

9 = 12

OPPGAVE 1.62

Forkort brøkene mest mulig. Husk to streker under svaret. a)

6 = 9

b)

10 = 15

c)

14 = 21

d)

4 = 10

e)

8 = 14

f)

12 = 9

OPPGAVE 1.63

Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene. a)

72 = 120

b)

126 = 294

c)

153 = 51

d)

256 = 1024

e)

51 = 85

f)

66 = 231

OPPGAVE 1.64

En klasse med 30 elever er ute og spiser pizza. Det sitter 12 personer ved det ene bordet og 18 ved det andre. Ved det minste bordet blir det satt fram 10 L brus og 4 pizzaer. Ved det største bordet blir det satt fram 15 L brus og 6 pizzaer. Forklar ved å forkorte brøker at alle får like mye brus og pizza. REGN HER

Per person ved det minste bordet: Brus:

10 L 12

=

L

4 pizza 12

Pizza:  

=

pizza

pizza =

pizza

Per person ved det største bordet: Brus:

L=

L

Pizza:

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 19

19

07.04.2017 14:46:13


1.7 Brøkregning 1

1

I delkapittel 1.2 så vi at halvparten av  er  . 2  4 1 2

1 2

1 1 2 2

Vi kan regne ut dette slik:   av  = ⋅

=

1 4

.

Når vi skal gange to brøker, ganger vi telleren med telleren og nevneren med nevneren.

EKSEMPEL

LØSNING

2 3

6 7

Finn   av  . 2 6 2 6 2 ⋅ 6 12   av = ⋅ = = 3 7 3 7 3 ⋅ 7 21 12 : 3 4 = = 21 : 3 7

Her ganger vi teller med teller og nevner med nevner og får  Vi kan forkorte brøken ved å dele både 12 og 21 med 3.

12 . 21

Det kan ofte lønne seg å forkorte brøkene før vi ganger teller med teller og nevner med nevner. Denne oppgaven kan derfor også løses slik: 2 6 2 6 2 2⋅ 3 av = ⋅ = ⋅ 7 3 7 3 3 7 2 ⋅2 4 = = 7 7

Her skriver vi 6 som 2 · 3. Da kan vi forkorte 3 i telleren mot 3 i nevneren.

Når vi ganger en brøk med en brøk, trenger ikke nevnerne å være like. Når vi legger sammen brøker eller tar en brøk minus en annen brøk, må nevnerne være like. EKSEMPEL

LØSNING

1 4

2 3

Regn ut  + .  1 + 2 = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 4 3 4 ⋅3 3⋅4 3 8 11 = + = 12 12 12

Nevnerne er 4 og 3. Det minste tallet som både 4 og 3 går opp i, er 12. For å få 12 som nevner ganger vi telleren og nevneren i den første brøken med 3 og telleren og nevneren i den andre brøken med 4. 2 6 1 2 og  + . Det kan vi også gjøre på lommeregneren: 3 7  4 3

I eksemplene foran regnet vi ut  ⋅

2 6 3 7

20

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 20

4 7

1 2 4 3

11 12

1.7 Brøkregning

07.04.2017 14:46:15


?

OPPGAVE 1.70

Regn ut. a)

1 4 1 4 1 2 ⋅2 av = ⋅ = ⋅ = 2 5 5 2 5 2

b)

1 6 1 6 1 3⋅2 av = ⋅ = ⋅ = 3 5 3 5 3 5

c)

2 6 2 6 av = ⋅ =      = 3 5 3 5

d)

6 1 6 1 av = ⋅ =      = 7 12 7 12

=    =

b)

3 8 3 ⋅ = ⋅ 4 7 4 7

3 =    = 7

d)

14 3 ⋅ = 3 7

OPPGAVE 1.71

Regn ut. a)

1 8 1 ⋅ = ⋅ 4 7 4 7

c)

14 3 ⋅ = 5 7

5

3

=    = ⋅

3 =    = 7

OPPGAVE 1.72

Regn ut. Husk to streker under svaret. a)

1 1 1 1⋅2 1 + = + = +    =    4 2 4 2 ⋅2 4

b)

1 2 1 2 ⋅2 1 + = + = +    =    6 3 6 3⋅2 6

c)

1 3 1⋅2 3 3 + = + =    + =    4 8 4 ⋅2 8 8

d)

5 5 2 5 2⋅ − = −   = −    =    9 3 9 3⋅ 9

OPPGAVE 1.73

Regn ut og forkort mest mulig. (Tips: Bruk QR-koden på forrige side.) a)

1 1 1⋅ 1 1 + =    + =    + =    =    3 6 3⋅ 6 6

b)

1 1 − = 2 6

=   

OPPGAVE 1.74

Bruk lommeregneren og regn ut. a)

1 4 + =    3 9

b)

c)

1 4 : =    3 9

d) 3 ⋅

5 =    12

f) 3 +

e) 3 :

1 4 ⋅ =    3 9 5 =    12 5 =    12

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 21

21

07.04.2017 14:46:17


1.8 Enheter for mengde Når vi lager mat, måler vi ofte mengder i gram eller kilogram. Større mengder måler vi ofte i tonn. Mindre mengder kan vi måle i milligram. Vi har denne sammenhengen mellom milligram (mg), gram (g), hektogram (hg), kilogram (kg) og tonn. 1 tonn = 1000 kg 1 kg = 1000 g 1 hg = 100 g 1 g = 1000 mg Denne sammenhengen kan vi også vise i en tabell. kg hg

tonn

EKSEMPEL

g

mg

Hvor mange kilogram er 23 400 g?

LØSNING

kg hg 2

3

4

Hvis vi skal regne om 23 400 g til kilogram, skriver vi tallet slik at det siste sifferet står i ruta med gram (g).

g 0

0

Vi ser at 23 400 g er lik 23,4 kg.

EKSEMPEL

LØSNING

Hvor mange kilogram er 0,56 tonn?

0

Vi tegner den delen av tabellen der vi har tonn og kilogram. Vi plasserer tallet 0,56 slik at 0 kommer i ruta med tonn. Til slutt fyller vi ut med en null.

kg

tonn

5

6

0

Vi ser at 0,56 tonn er lik 560 kg.

Mengder av væske måler vi ofte i liter (L), desiliter (dL), centiliter (cL) eller milliliter (mL). 1 L = 10 dL 1 dL = 10 cL 1 L = 100 cL 1 cL = 10 mL 1 L = 1000 mL

L

dL

1 1

10

4 5

8

3 5 1 2 2 5

6

9

L

dL cL mL

7

5 4 3

1 5 1 10

2 1

Denne sammenhengen kan vi også vise i en tabell, slik som på figuren ovenfor. Vi bruker denne tabellen på tilsvarende måte som i eksemplene lenger oppe på denne siden.

22

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 22

1.8 Enheter for mengde

07.04.2017 14:46:19


?

OPPGAVE 1.80

Løs oppgaven ved hjelp av tabellen.

a) Hvor mange gram er 6,7 kg?

kg

hg

6

7

g 0

mg

0

Svar: 

g

b) Hvor mange gram er 0,67 kg?

Svar: 

g

c) Hvor mange kilogram er 3700 g?

Svar: 

kg

d) Hvor mange gram er 2500 mg?

Svar: 

g

e) Hvor mange hektogram er 230 g?

Svar: 

hg

f) Hvor mange milligram er 0,2 g?

Svar: 

mg

OPPGAVE 1.81

Løs oppgaven ved hjelp av tabellen. tonn a) Hvor mange tonn er 4500 kg?

kg

4

5

0

hg

0

Svar: 

tonn

b) Hvor mange tonn er 45 000 hg?

Svar: 

tonn

c) Hvor mange kg er 13,7 tonn?

Svar: 

kg

d) Hvor mange kg er 0,63 tonn?

Svar: 

kg

e) Hvor mange hg er 0,63 tonn?

Svar: 

hg

OPPGAVE 1.82

Løs oppgaven ved hjelp av tabellen.

a) Hvor mange liter er 75 dL?

L

dL

7

5

cL

mL Svar: 

L

b) Hvor mange liter er 750 cL?

Svar: 

L

c) Hvor mange desiliter er 2,5 L?

Svar: 

dL

d) Hvor mange centiliter er 2,5 L?

Svar: 

cL

e) Hvor mange centiliter er 0,25 L?

Svar: 

cL

f) Hvor mange milliliter er 0,25 L?

Svar: 

mL

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 23

23

07.04.2017 14:46:20


1.9 Summering av mengder Når vi skal legge sammen mengder, må vi passe på å gjøre alle mengdene om til samme enhet. EKSEMPEL

LØSNING

Nedenfor er det en oppskrift på havregrøt. 6 dL vann 3 dL lettmelk 100 gram havregryn ½ teskje salt Hvor mange kilogram veier dette til sammen når vi går ut fra at 1 L vann eller lettmelk veier 1 kg? Vi ser bort fra mengden av salt, for den utgjør en så liten del av summen. Når 1 L vann eller lettmelk veier 1 kg, må 1 dL veie 0,1 kg. Det er fordi det er 10 dL i en liter. Da må 6 dL veie 0,6 kg. 6 dL = 0,6 L = 0,6 kg 3 dL = 0,3 L = 0,3 kg 100 g = 0,1 kg Til sammen blir dette 0,6 kg + 0,3 kg + 0,1 kg = 1,0 kg

1 liter vann veier 1 kg.

Når vi skal legge sammen mengder, kan vi bruke tabellen når vi gjør mengdene om til samme enhet. EKSEMPEL

Legg sammen 5,4 hg + 2,2 kg + 620 g.

LØSNING

kg hg 5 +

2

+ =

EKSEMPEL

3

2 6

2

0

3

6

0

L

dL cL 5

+

1

+ =

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 24

4

I kolonnen over 6-tallet i svaret mangler det et tall. Den desimalen bør vi derfor ikke ta med i svaret. Vi runder altså av svaret oppover. Det blir 3,4 kg til sammen.

Legg sammen 5,2 dL + 1,3 L + 45 cL.

LØSNING

24

g

2

2

I kolonnen over 7-tallet mangler det et tall. Derfor tar vi ikke med sifferet 7 i svaret og runder av 2,27 til 2,3. Det blir 2,3 L til sammen.

3 4

5

2

7

1.9 Summering av mengder

07.04.2017 14:46:20


?

OPPGAVE 1.90

a) Trekk sammen 1,2 kg + 1,54 kg + 2,1 kg.

+

kg

hg

1

2

1

5

b) Gjør om til hg og trekk sammen 0,7 kg + 4,7 hg + 500 g. g

4

kg

hg

0

7

g

+

+

+

=

=

Det blir i alt     kg.

Det blir i alt     hg.

OPPGAVE 1.91

a) Gjør om til L og trekk sammen 2,4 L + 0,6 L + 20 dL. L

dL

2

4

cL

b) Gjør om til dL og trekk sammen 0,4 L + 2,1 dL + 12 cL.

mL

+

+

+

+

=

=

Det blir i alt     L.

L

dL

0

4

cL

mL

Det blir i alt     dL.

OPPGAVE 1.92

En oppskrift på formloff er slik: 2,4 kg hvetemel 50 g smør 1,5 hg gjær 2 ts salt 100 g farin 1,5 L vann eller melk Hvor mange kg veier deigen når vi ser bort fra vekten av saltet? REGN HER

kg

hg

2

4

g

+ + + + =

Deigen veier

kg. SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 25

25

07.04.2017 14:46:20


Sammendrag □□ Avrundingsregler ved overslagsregning Når vi legger sammen og når vi ganger (addisjon og multiplikasjon), runder vi ett tall opp og ett tall ned. Når vi trekker fra og når vi deler (subtraksjon og divisjon), runder vi enten begge tallene opp eller begge tallene ned.

□□ Gjøre om brøk til desimaltall Vi gjør en brøk om til et desimaltall ved å dele telleren med nevneren.

□□ Sammenlikning av brøker Vi kan finne ut hvilke brøker som er størst eller minst ved å gjøre dem om til desimaltall og sammenlikne desimaltallene.

□□ Forkorting av brøker Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi.

□□ Utviding av brøker Når vi utvider en brøk, ganger vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi.

□□ Produkt av brøker Når vi skal gange to brøker, ganger vi telleren med telleren og nevneren med nevneren.

□□ Sum av brøker Når vi skal summere to brøker, utvider vi først brøkene slik at de får samme nevner. Deretter summerer vi brøkene ved å summere tellerne.

□□ Sammenhengen mellom noen enheter 1000 kg = 1 tonn 1000 g = 1 kg 100 g = 1 hg 1000 mg = 1 g 10 dL = 1 L 10 cL = 1 dL 10 mL = 1 cL Alle størrelser må gjøres om til samme enhet før vi legger sammen eller trekker fra.

26

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 26

Sammendrag

07.04.2017 14:46:20


ØV MER 1.1 HODEREGNING

Oppgave 1.110

Regn ut i hodet. a) 40 kr + 50 kr b) 400 kr + 500 kr c) 80 kr - 30 kr d) 800 kr - 300 kr Oppgave 1.111

Regn ut i hodet. a) 90 + 70 b) 900 + 700 c) 9000 + 7000 d) 90 - 70 e) 900 - 700 f) 9000 - 7000 Oppgave 1.112

Regn ut i hodet. a) 18 + 13 b) 54 + 19 c) 38 + 28 Oppgave 1.113

Regn ut i hodet. a) 2 · 10 m b) 4 · 10 m c) 16 · 20 m Oppgave 1.114

Regn ut i hodet. a) 2 · 2,5 cm b) 4 · 2,5 cm c) 20 · 2,5 cm Oppgave 1.115

Regn oppgaven i hodet. Anna skal kjøpe lister til rommet sitt. Hun trenger både golvlister og taklister. Rommet er 4,00 m langt og 3,00 m bredt. Anna trekker fra 1,00 m golvlist på grunn av ei dør. Hvor mange meter med lister trenger Anna i alt? Oppgave 1.116

Regn oppgaven i hodet. Preben var i Eiffeltårnet sammen med fem venner. En enkelt heisbillett helt til toppen av tårnet kostet 13 euro. Hvor mye betalte de i alt? Gi svaret i euro.

1.2 BRØKDELEN AV ET TALL

Oppgave 1.120

Regn i hodet. a) 50 kr : 2 b) 500 kr : 2 c) 90 m : 3 d) 900 m : 3 Oppgave 1.121

Finn ved å halvere flere ganger. a) Fjerdeparten av 400 kr b) Fjerdeparten av 1000 kr c) Fjerdeparten av 300 m Oppgave 1.122

Regn ut både i hodet og ved hjelp av lommeregner. 1 2 a)  av 3 b)  av 20 3 5 1 2 c)  av 24 d)  av 35 6 7 Oppgave 1.123

Guri og Petter skal dele 4200 kr. Guri skal ha  3 7

av pengene og Petter resten.

Hvor mange kroner får Guri, og hvor mange kroner får Petter? Oppgave 1.124 4

Bilen til Kåre Kakse bruker til vanlig   liter 5 bensin per mil. Hvor mye bensin brukte bilen på 15 mil? Oppgave 1.125

Ei kanne saftogvann inneholder 7 dL saft og 2,8 L vann. a) Hvor mye saftogvann er det på kanna? b) Hvor stor brøkdel av innholdet er saft? Oppgave 1.126 3

I en klasse med 30 elever er  av elevene gutter. 5  a) Hvor mange gutter er det i klassen? b) Hvor mange jenter er det i klassen? c) Hvor stor brøkdel av klassen er jenter? Oppgave 1.127

a) 1 kg appelsiner koster 24 kr. 3 4

Hva koster  kg? b) 1 kg druer koster 27 kr. 2 3

Hva koster  kg?

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 27

27

07.04.2017 14:46:21


1.3 OVERSLAGSREGNING

Oppgave 1.141

Oppgave 1.130

Skriv disse tallene som desimaltall. 1 1 1 a) b) c) 20 25 50

Leif var på ferie i Istanbul. Der kjøpte han ei skinnjakke til 2500 tyrkiske lire. En tyrkisk lire kostet 3,03 norske kroner. Gjør et overslag over hvor mye Leif betalte i alt i norske kroner. Oppgave 1.131

Jonas og tre venner skal ta heisen i en eldre bygning. Heisen har en kapasitet på 250 kg. Jonas og vennene veier: 82 kg

67 kg

50 kg

59 kg

Gjør et overslag og finn ut om alle kan ta heisen samtidig.

Oppgave 1.142

Robert bruker denne oppskriften når han baker brød: 1 2 1 2 2 5

L kefir dL vann

Du er i butikken og har disse varene i handlekurven din:

Oppgave 1.150

28,50 kr 18,10 kr 16,90 kr 19,60 kr 29,90 kr

Du har bare 100 kr. Bruk overslagsregning og finn ut om du kan kjøpe alle disse varene. Oppgave 1.133

Lene pusser opp huset sitt. Hun regner med at hun trenger minst 10 L maling. Malingen selges bare i spann på 3 L, og ett spann koster 298 kr. I tillegg kjøper hun 20 m2 fliser til en pris av 89,90 kr per kvadratmeter. Gjør et overslag over hva dette vil koste Lene.

kg hvetemel

1 2

hg gjær

Skriv denne oppskriften og bruk da desimaltall i stedet for brøker. 1.5 STØRST OG MINST

1,75 liter lettmelk Tomatsuppe Ertestuing Hvetemel Bananer

kg sammalt hvetemel

2 ts salt

1 kg rugmel

Oppgave 1.132

1 4 3 4

L lettmelk

Skriv tallene i stigende rekkefølge. a) 3,402  3,042  3,240  3,204  3,2039 b) 2,457  2,547  2,754  2,475  2,4057 c) 0,8      0,9      0,09   0,10   0,15 Oppgave 1.151

Gjør brøkene om til desimaltall og finn ut hvilken brøk som er størst. 1 2 4 3 a)  eller  b)  eller  4 5 5 4 8 3 9 19 c)  eller  d)  eller  5 2 5 10 Oppgave 1.152 5 8

tykt, og et rør som er   tomme tykt.

1.4 DESIMALTALL OG BRØKER

Hvilket av de to rørene er tykkest?

Oppgave 1.140

1.6 FORKORTING AV BRØKER

Skriv disse tallene som desimaltall. 1 1 a) b) 10 100 1 3 c) d) 1000 4 1 3 e) f) 5 5

3 4

Ulf er rørlegger. Han har et rør som er   tomme

Oppgave 1.160

Forkort brøkene uten og med lommeregner. 5 6 4 a) b) c) 10 9 16 10 14 8 d) e) f) 80 21 20

28

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 28

07.04.2017 14:46:23


Oppgave 1.161

Oppgave 1.175

2 a) Utvid brøken   slik at den får 15 som 5

Even skal bake ei kake. Det går med   liter

nevner. Bruk svaret til å avgjøre hvilken brøk som er 2 5

størst av   og  3

7 . 15

b) Utvid brøken   slik at den får 16 som 4 nevner. Bruk svaret til å avgjøre hvilken brøk som er 3 4

størst av   og 

11 . 16

1.7 BRØKREGNING

Oppgave 1.170

Regn ut. 1 1 1 1 1 1 a)  av  b)  av  c)  av  2 3 2 8 2 16 Oppgave 1.171

Regn uten og med lommeregner. 1 3 7 5 a) + b) + 2 2 12 12 2 3 5 2 c) + d) + 5 10 21 7 Oppgave 1.172

1 6

helmelk,   liter kefir og   liter vann.

Hvor mye væske brukte han til sammen? 1.8 ENHETER FOR MENGDE

Oppgave 1.180

Bruk tabell og gjør om til gram (g). a) 0,200 kg b) 1,325 kg c) 0,056 kg Oppgave 1.181

Bruk tabell og gjør om til kilogram (kg). a) 280 g b) 75 g c) 3 g d) 1,2 tonn Oppgave 1.182

Bruk tabell og gjør om til hektogram (hg). a) 240 g b) 25 g c) 2 g d) 13 kg Oppgave 1.183

Bruk tabell og gjør om til liter (L). a) 12 dL b) 180 cL c) 2500 mL

Regn uten og med lommeregner. 1 1 5 1 3 1 a)  ·  b)  ·  c)  · 3 d) 3 :  7 7 6 5 5 3

Oppgave 1.184

Oppgave 1.173

Oppgave 1.185

Regn uten og med lommeregner. 5 4 1 2 3 1 a) + - b) - + 3 3 3 5 5 10 1 1 1 2 c) + + d) 1 + 2 4 8 9

1 3

Bruk tabell og gjør om til desiliter (dL). a) 1,9 L b) 26 cL c) 650 mL

Bruk tabell og gjør om til milliliter (mL). a) 0,4 cL b) 0,12 dL c) 0,05 L 1.9 SUMMERING AV MENGDER

Oppgave 1.174

Oppgave 1.190

En konditor lager tre kakedeiger. De inneholder disse mengdene sukker:

Trekk sammen. a) 1,8 kg + 0,2 kg + 1,2 kg b) 0,6 kg + 8 hg + 2,6 kg c) 20 g + 60 g + 0,08 kg d) 42 g + 218 g + 0,350 kg

1 4

0,4 kg,  kg og 0,7 kg

Hvor mye sukker trenger konditoren?

1 4

Oppgave 1.191

Trekk sammen. a) 1,2 L + 4 dL + 2,3 L + 6 dL b) 3,5 dL + 0,25 L + 1,4 dL + 0,80 L c) 20 cL + 2 dL + 30 cL + 3 dL

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 29

29

07.04.2017 14:46:26


Oppgave 1.192

Oppgave 1.203

Trekk sammen. a) 2,75 kg + 3,5 hg + 170 g b) 50 g + 0,72 hg + 2,30 hg + 0,820 kg

En bil bruker i gjennomsnitt 0,53 L bensin per mil. a) Hvor mye bensin bruker da bilen på 30 mil? b) Bensintanken tar 60 L. Gjør et overslag over omtrent hvor langt bilen kan kjøre på en kvart tank.

Oppgave 1.193

Maj O. Nes er i butikken og handler. I handlekurven ligger:

550 g pizzadeig 2,5 kg hvetemel 2 hg kjøttpålegg

Oppgave 1.204

0,4 kg brød 50 g gjær

Oppgave 1.205

Hvor mange kilogram veier varene? Oppgave 1.194

I en kasse ligger det noe verktøy: Hammer:

0,702 kg

Syl:

Høvel:

780 g

Bor: 24 g

Skrutrekker: 0,125 kg

Skriv tallene i stigende rekkefølge. 2,708   -3,7   -4,5  2,7  2,17

42 g

Dor: 45 g

Hvor mange kilogram veier verktøyet til sammen?

a) Skriv tallene som desimaltall. 1 7 1)  2)  4 100 b) Finn hvilken brøk som er størst. 3 2  eller  10 5 Oppgave 1.206

Forkort brøkene. 3 4 6 a) b) c) 9 16 48 Oppgave 1.207

Oppgave 1.200

Skriv brøkene med 18 som nevner. 1 5 2 a) b) c) 9 6 3

Kiloprisen på kaffe er 132 kr.

Oppgave 1.208

UTEN HJELPEMIDLER

Hva koster

1 4

kg kaffe?

Linda, Britt og Jorunn løp stafett. Til sammen 1

1

Anne-Gry kjøpte bensin for 300 kr. Gjør overslag og finn ut hvor mange liter bensin hun fylte når prisen per liter var 14,99 kr.

løp de 4,2 km. Linda løp  , Britt   og Jorunn 3 6 resten. a) Hvor langt løp Linda, og hvor langt løp Britt? b) Hvor langt løp Jorunn? c) Hvor stor brøkdel løp Jorunn?

Oppgave 1.202

Oppgave 1.209

Oppgave 1.201

Snekker Hammer kjøper 6 bord (materialer). I enden av hvert bord står det et tall som forteller hvor mange centimeter bordet er. På bordene står det: 497, 309, 323, 440, 506, 320 Gjør overslag og finn ut omtrent hvor mye Hammer må betale når bordene koster 9,95 kr per meter.

Alf, Berit og Kristian skal dele 24 000 kr. 1 3

2 5

Alf skal ha  , Berit   og Kristian resten. Hvor mange kroner skal hver av dem ha? Oppgave 1.210

a) b) c) d)

Hvor mange kilogram er 1251 g? Hvor mange gram er 1,4 hg? Hvor mange milligram er 3,5 g? Hvor mange tonn er 150 000 kg?

30

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 30

07.04.2017 14:46:27


Oppgave 1.211

Oppgave 1.302

I handlekurven din ligger:

Gå til Sinus-sidene for 1P-Y på Internett. Under kapittel 1 Tall og mengde finner du det ferdige regnearket «Desimaltall og brøk». Last ned dette regnearket og bruk det til å finne hva som er størst av: 3 5 1 5 a)  og  b)  og  8 12 4 21

250 g salami 2,5 kg hvetemel

2 hg leverpostei 50 g gjær

Hvor mange kilogram veier de varene du har i kurven? Oppgave 1.212

Trekk sammen. 250 g + 2,0 hg + 1,550 kg Oppgave 1.213

Fire kopperrør har lengdene 0,3 m, 8,5 cm, 24,5 cm og 2,5 dm. Regn ut samlet lengde av disse rørene. Gi svaret både i desimeter og i meter.

MED HJELPEMIDLER Oppgave 1.300

På en skidag kunne elevene på en skole velge 1 mellom slalåm, aking og langrenn.   av elevene 3 2 valgte slalåm, og   valgte aking. 5

a) Hvor stor del av elevene valgte enten slalåm eller aking? b) Alle elevene ble med på en av aktivitetene. Hvor stor del av elevene valgte langrenn? Oppgave 1.301

Jan, Ellen og Tora skal kjøre bil sammen til hytta. De skal dele på å kjøre den 320 km lange veien. Jon kjører 80 km, mens Ellen og Tora kjører like lange strekninger. a) Hvor stor del av veien kjører Jon? b) Hvor stor del av veien kjører hver av de to andre?

Oppgave 1.303

Forkort brøkene med et digitalt hjelpemiddel. 95 294 468 a) b) 333 529 624 Oppgave 1.304

Ved bord A sitter det fem elever. De får på deling to flasker med 1,5 L brus i hver flaske. Ved bord B sitter det tre elever. De får på deling ei flaske som gjør at det blir 0,5 L på hver. Ved bord C sitter det fire elever. De får på deling ei flaske med 1,5 L og to flasker med 0,5 L brus. Ved hvilket bord er det mest brus per elev? Oppgave 1.305

En type potetgull har et energiinnhold på 2170 kJ per 100 g. Hvor mye energi får du i deg hvis du spiser alt i en pose som inneholder 250 g potetgull? Oppgave 1.306

Familien Sundt er opptatt av å ha et sunt kosthold. Derfor tar de tran. Anbefalt daglig dose med tran er 5 mL for både barn og voksne. a) Hvor mange daglige doser er det i ei flaske på 0,500 L? b) Familien består av 5 personer. Hvor lenge varer ei flaske med tran? Oppgave 1.307

Last ned fila «Multiplikasjon.ggb» fra Sinus-nettsiden. Bruk den til å finne svar på oppgavene nedenfor. 2 5 9 7 4 8 Hvor mye er   av  ? 7 9

a) Hvor mye er   av  ? b)

c) Bruk de figurene du får når du flytter sammen kvadratene, til å forklare at du må multiplisere teller med teller og nevner med nevner når du multipliserer to brøker.

SINUS BASIS 1P-Y — Tall og mengde

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 31

31

07.04.2017 14:46:28


5 Forholdsregning MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne • regne med forholdstall, prosent, prosentpoeng og vekstfaktor • behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser i praktiske sammen­ henger • gjøre rede for og regne med prisindeks, kroneverdi, reallønn og nominell lønn og beregne inntekt, skatt og avgifter

Dette lærer du i kapittel 5: • Finne forholdet mellom to tall • Regne ut mengder i et blandingsforhold • Vite hva som menes med at to størrelser er proporsjonale • Regne med proporsjonale størrelser • Vite hva som menes med at to størrelser er omvendt proporsjonale • Regne med omvendt proporsjonale størrelser • Vite hva som menes med basisår og indekser • Kunne regne med indekser • Vite hva som menes med konsumprisindeks, kroneverdi og reallønn • Regne med konsumprisindeks, kroneverdi og reallønn

102

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 102



07.04.2017 14:46:57


KAN DU DETTE?

Dette har du bruk for i kapittel 5:

EKSEMPEL

□□ Kunne forkorte en brøk uten og med lommeregner Når vi forkorter en brøk, deler vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. En god lommeregner forkorter brøker direkte.

□□ Vite hva vi mener med å kryssmultiplisere

18 18 : 6 3 = = 24 24 : 6 4 18 24

3 4

EKSEMPEL

Vi kan kryssmultiplisere når vi har en likning som består av en brøk på begge sider av likhetstegnet. Å kryssmultiplisere er å sette produktene av de to «diagonalene» som er merket med røde streker i eksempelet til høyre, lik hverandre. I eksempelet til høyre ganger vi x med 4 og setter dette lik 6 ganger 3. Noen liker best å begynne med den diagonalen som inneholder x, for da får vi alltid x på venstre side av likningen.

□□ Løse en likning ved å kryssmultiplisere

x 3 = 6 4 x ⋅ 4 =⋅ 6 3

EKSEMPEL

Når vi løser en likning ved å kryssmultiplisere, fortsetter vi bare med å løse den likningen vi får etter å ha kryssmultiplisert. I eksempelet til høyre deler vi med 4 på begge sider. Vi kan regne ut svaret i hodet ved å halvere to ganger. Halvparten av 18 er 9, og halvparten av 9 er 4,5. Vi kan også finne svaret ved hjelp av lommeregneren.

x 3 = 6 4 x ⋅4 =6⋅3 4 x = 18 4 x 18 = 4 4 x = 4,5 18 4 4.5

SINUS BASIS 1P-Y — Forholdsregning

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 103

103

07.04.2017 14:46:58


5.1 Forholdet mellom to tall I en klasse er det 9 jenter og 6 gutter. Forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter er 9 9:3 3 = = 6 6:3 2 Til vanlig sier vi at forholdet er 3 : 2 («tre til to»).

Forholdet mellom to tall finner vi ved å lage en brøk der det første tallet står i telleren og det andre tallet står i nevneren. Vi forkorter brøken for å finne forholdet.

EKSEMPEL

LØSNING

Vi blander 30 dL vann og 9 dL saft. Finn forholdet mellom vann og saft. Forholdet mellom vann og saft er vann 30 30 : 3 10 = = = saft 9 9:3 3 Forholdet er10 : 3.

EKSEMPEL

LØSNING

I en klasse er det 16 elever. Forholdet mellom jenter og gutter er 3 : 5. Hvor mange jenter og hvor mange gutter er det i klassen? Det er 3 deler jenter og 5 deler gutter. Det blir til sammen 8 deler. Disse 8 delene utgjør 16 elever. 8 deler = 16 elever

1 del er 16 elever : 8 = 2 elever. 3 deler er 2 elever · 3 = 6 elever. 5 deler er 2 elever · 5 = 10 elever. Det er 6 jenter og 10 gutter i klassen.

EKSEMPEL

LØSNING

På en skole er forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter 4 : 3. Det er 132 gutter på skolen. Hvor mange jenter er det? Vi har 132 gutter. Det tilsvarer 3 deler. 4 deler

3 deler = 132

1 del er 132 : 3 = 44. 4 deler er: 44 · 4 = 176. Det er 176 jenter.

104

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 104

5.1 Forholdet mellom to tall

07.04.2017 14:46:59


?

OPPGAVE 5.10

OPPGAVE 5.11

Finn forholdet mellom tallene. a) 12 og 4

På en skole er forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter 4 : 3. Hvor mange jenter er det når tallet på gutter er 96?

12 12 : a) = 4: 4

=

=   :  

b) 4 og 12

4 4: b) = 12 12 :

96 gutter utgjør     deler. =

=   :  

c) 18 og 12

18 18 : c) = 12 12 :

1 del er    :    =   . 4 deler er         .

=

=   :  

Det er      jenter.

OPPGAVE 5.12

Vi blander 15 liter hvit maling med 9 liter svart maling. Finn forholdet mellom svart og hvit maling.

Forholdet mellom svart og hvit maling er    =

: :

= 

=   :  .

OPPGAVE 5.13

Vi blander 0,6 liter gul maling med 3 liter rød maling. Finn forholdet mellom gult og rødt.

Forholdet er 

0,6 0,6 ⋅ 10 = =    = 3 3 ⋅ 10

OPPGAVE 5.14

: :

=    =   :   .

REGN HER

I ei skål ligger det 6 Nox og 8 Fox. a) Hva er forholdet mellom antallet Nox og antallet Fox? b) Hva er det minste antallet Nox og det minste antallet Fox vi må legge til i skåla for at forholdet skal bli 4 : 5?

SINUS BASIS 1P-Y — Forholdsregning

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 105

105

07.04.2017 14:46:59


5.2 Blandingsforhold Når vi blander væsker i et bestemt forhold, er det noen ganger vi trenger en bestemt mengde blanding. Vi skal nå se hvordan vi regner ut det. EKSEMPEL

LØSNING

En malermester skal blande rød og gul maling slik at det til sammen blir 3 liter. Forholdet mellom rød og gul skal være 5 : 1. Hvor mye rød og hvor mye gul maling må malermesteren bruke? Det skal være 5 deler rød maling og 1 del gul. Det er 6 deler til sammen. Disse 6 delene utgjør 3 L = 30 dL. 6 deler = 3 liter

1 del er 30 dL : 6 = 5 dL = 0,5 L 5 deler er 5 dL · 5 = 25 dL = 2,5 L Han må bruke 2,5 L rød maling og 0,5 L gul maling.

EKSEMPEL

LØSNING

Vi skal blande vann og saft i forholdet 10 : 3. Hvor mye vann skal vi bruke til 6 dL saft? Vi har 6 dL saft. Det tilsvarer 3 deler. 3 deler = 6 dL

10 deler

1 del er 6 dL : 3 = 2 dL 10 deler vann er 2 dL · 10 = 20 dL = 2 L.

EKSEMPEL

LØSNING

106

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 106

Andrea har 5,2 liter oljeblandet bensin på ei kanne. Forholdet mellom olje og bensin er 1 : 25. Andrea heller 1 dL olje og 1 L bensin i denne blandingen. Hva er forholdet mellom olje og bensin etter påfyllingen? Det er til sammen 26 deler. Det utgjør 5,2 L = 52 dL oljeblandet bensin. 1 del er 52 dL : 26 = 2 dL. Det er 2 dL olje i blandingen. Mengden av bensin er 52 dL - 2 dL = 50 dL = 5,0 L. Mengden av olje etter påfyllingen er 2 dL + 1 dL = 3 dL. Mengden av bensin etter påfyllingen er 5 L + 1 L = 6 L. De to mengdene må ha samme enhet. Mengden av bensin etter påfyllingen er 6 L = 60 dL. 3 3:3 1 = 1 : 20. Forholdet er= = 60 60 : 3 20

5.2 Blandingsforhold

07.04.2017 14:47:00


?

OPPGAVE 5.20

I en klasse er det 30 elever. Forholdet mellom jenter og gutter er 3 : 2. Hvor mange jenter og hvor mange gutter er det i klassen? REGN HER

5 deler =     elever

OPPGAVE 5.21

På ei saftflaske står det at forholdet mellom saft og vann skal være 1 : 5. a) Hvor mye saft må vi da bruke til 10 dL vann? b) Hvor mye ferdig saftblanding får vi? REGN HER

a) saft

vann

1 del er          =     Vi må bruke      dL saft. b) Det er      dL saft +      dL vann =      dL ferdig saftblanding.

OPPGAVE 5.22

Petter har 10,5 liter oljeblandet bensin på ei kanne. Forholdet mellom olje og bensin er 1 : 20. Hvor mye olje og hvor mye bensin er det i blandingen? REGN HER

SINUS BASIS 1P-Y — Forholdsregning

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 107

107

07.04.2017 14:47:00


5.3 Proporsjonale størrelser Grete er på butikken og skal kjøpe epler. Tabellen nedenfor viser hva hun må betale om hun kjøper 1, 2, 3 eller 4 kg epler. Antall kg epler

1

2

3

4

15 kr

30 kr

45 kr

60 kr

15 kr = 15 kr/kg 1 kg

30 kr = 15 kr/kg 2 kg

45 kr = 15 kr/kg 3 kg

60 kr = 15 kr/kg 4 kg

Grete må betale Pris per kg

Hvis hun dobler mengden med epler, må hun betale dobbelt så mye. Hvis hun tredobler mengden med epler, må hun betale tre ganger så mye. Vi sier at prisen og eplemengden er proporsjonale størrelser. Tallet 15 kaller vi proporsjonalitetskonstanten. Det er her prisen per kg epler.

y To størrelser x og y er proporsjonale hvis   er konstant for alle samsvarende verdier av x og y. x

EKSEMPEL

LØSNING

EKSEMPEL

LØSNING

I tabellen til høyre er x og y proporsjonale størrelser. Gjør beregninger og fyll ut de tomme rutene i tabellen.

x

5

y

30

Når x og y er proporsjonale størrelser, blir y doblet når x blir doblet. 10 er dobbelt så mye som 5. x Da er y det dobbelte av 30. y er altså 60 når x er 10. y 120 er fire ganger så mye som 30. Da må x være fire ganger så mye som 5. x er da 4 · 5 = 20.

Tabellen viser tida x i sekunder fra du ser et lyn til du hører tordenskrallet, og avstanden y til lynet målt i meter. Undersøk om x og y er proporsjonale størrelser, og finn eventuelt proporsjonalitetskonstanten. Hva forteller den?

x (s) y (m)

10 120

5

10

20

30

60

120

2

3

4

680 1020 1360

Vi utvider tabellen og regner ut forholdet mellom y og x. x (s)

2

3

4

y (m)

680

1020

1360

y (m/s) x

680 = 340 2

1020 = 340 3

1360 = 340 4

Forholdet mellom y og x er det samme for alle samsvarende verdier av x og y. De er derfor proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetskonstanten er 340 m/s. Det forteller oss at lyden har farten 340 m/s gjennom lufta.

108

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 108

5.3 Proporsjonale størrelser

07.04.2017 14:47:01


?

OPPGAVE 5.30

I en fruktdisk ligger det noen plastposer med appelsiner. Tabellen nedenfor viser vekta x i kilogram og den samsvarende prisen y i kroner. Vekt x (kg)

1,2

2,4

1,6

Pris y (kr)

10,20

20,40

13,60

a) Undersøk om x og y er proporsjonale størrelser, og finn eventuelt proporsjonalitetskonstanten. Hva forteller proporsjonalitetskonstanten?

Vi utvider tabellen og finner forholdet mellom samsvarende verdier av y og x. Vekt x (kg)

1,2

2,4

1,6

Pris y (kr)

10,20

20,40

13,60

y (kr/kg) x

     =           =           =     

Proporsjonalitetskonstanten er    . Det forteller oss at                      . b) Hvor mye koster en pose med 1,5 kg appelsiner?

1,5 kg appelsiner koster          kr. OPPGAVE 5.31

Undersøk om x og y er proporsjonale størrelser. x y

1 12

3 36

7 80

10 110

REGN HER

SINUS BASIS 1P-Y — Forholdsregning

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 109

109

07.04.2017 14:47:01


5.4 Omvendt proporsjonale størrelser Noen venner bestemmer seg for å leie en håndballhall i et par timer for å gjennomføre en uformell romjulstrening. Det koster 1200 kroner å leie denne hallen, og vennene blir enige om å dele disse utgiftene likt mellom seg. Ingvild ordner med leien og setter opp en tabell som viser hvor mye hver må betale, alt etter hvor mange som møter opp til treningen. Vi finner prisen per deltaker ved å dele 1200 kroner på antallet deltakere. Deltakere, x Pris per deltaker, y (kr) x · y (kr)

8 150 1200

10 120 1200

12 100 1200

15 80 1200

16 75 1200

20 60 1200

Vi ser at om vi dobler antallet deltakere fra 10 til 20, blir prisen per deltaker halvert fra 120 kr til 60 kr. Vi sier da at prisen per deltaker er omvendt proporsjonal med antallet deltakere på treningen. Legg merke til at tallet på deltakere · prisen som hver betaler = 1200 kr. Tallet 1200 kr kaller vi proporsjonalitetskonstanten.

To størrelser x og y er omvendt proporsjonale dersom produktet x · y er konstant for alle samsvarende verdier av x og y.

EKSEMPEL

Thomas skal kjøre fra Trondheim til Dombås. I denne tabellen finner vi en sammenheng mellom farten v i kilometer per time og tida t i timer: Fart, v (km/h) Tid, t (h)

40 5

50 4

70 2,86

80 2,5

a) Er v og t omvendt proporsjonale størrelser? Finn eventuelt proporsjonalitetskonstanten. LØSNING

a) For å finne ut om farten og tida er omvendt proporsjonale, utvider vi tabellen og finner produktet av v og t. Fart, v (km/h) Tid, t (h) v · t (km)

40 5 200

50 4 200

70 2,86 200,2

80 2,5 200

b) Hvor langt er det fra Trondheim til Dombås? LØSNING

b) Det er 200 km mellom Trondheim og Dombås. c) Hvor lang tid bruker Thomas hvis farten er 75 km/h?

LØSNING

c) Hvis farten er 75 km/h, bruker Thomas 200 km = 2= , 67 h 2 h og 40 min 75 km/h

110

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 110

5.4 Omvendt proporsjonale størrelser

07.04.2017 14:47:01


?

OPPGAVE 5.40

Merk av om x og y i tilfellene nedenfor er proporsjonale, omvendt proporsjonale eller ingen av delene. Proporsjonale

Omvendt proporsjonale

Ingen av delene

a) Klassen til Anne skal servere på en stor fest. De får til sammen 5000 kr for arbeidet. x er tallet på elever som er med og serverer, og y er lønna til hver elev. b) Vi fyller vann i en tank ved hjelp av en slange. x er tida, og y er vannmengden. c) Du sykler med jevn fart. x er tida du bruker, og y er avstanden du sykler. d) Vi måler høyden og vekta til tilfeldig utvalgte barn. x er høyden, målt i cm, og y er vekta til barna, målt i kg. e) Anne skal kjøpe epler for 200 kr til klassen. y er hvor mange kg hun kan kjøpe, og x er hvor mye eplene koster per kg. OPPGAVE 5.41

En skoleklasse på 16 elever leier en liten buss til en tur. Tabellen viser prisen P per elev når det er x elever som er med. Pris P per elev (kr/elev)

75

80

100

120

150

Antall x som er med (elever)

16

15

12

10

8

a) Undersøk om P og x er omvendt proporsjonale størrelser, og finn eventuelt proporsjonalitetskonstanten. Pris P per elev (kr/elev)

75

80

100

120

150

Antall x som er med (elever)

16

15

12

10

8

P · x (kr)

Proporsjonalitetskonstanten er      kr. b) Hvor mye må hver elev betale dersom det er 14 elever med på turen?

Hver elev må betale

kr =       kr per elev. 14 elever

SINUS BASIS 1P-Y — Forholdsregning

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 111

111

07.04.2017 14:47:02


5.5 Indekser I 2015 brukte hver husholdning i Norge i gjennomsnitt 55 122 kr til matvarer. I 2016 brukte vi 56 555 kr. Det er Statistisk sentralbyrå som utarbeider statistikker som viser denne utviklingen. Slike tall som viser en prisutvikling, regner vi ofte om til indekser. Da tar vi utgangspunkt i et basisår og setter indeksen lik 100 i det året. I denne boka bruker vi 2015 som basisår hvis ikke annet er sagt.

I basisåret 2015 er indeksen lik 100.

Hvis prisene etter noen år har steget med for eksempel 5,4 % fra basisåret 2015, setter vi indeksen lik 105,4 det året. Når indeksen er 107,2, betyr det at prisene har økt med 7,2 % siden basisåret 2015. Indeksen og prisen er proporsjonale størrelser. Forholdet mellom indeksen og prisen er derfor alltid det samme. Vi har denne regelen: et år et annet år   indeks indeks = pris pris

EKSEMPEL

LØSNING

I 2016 var utgiftene til matvarer 56 555 kr for en gjennomsnittsfamilie. I basisåret 2015 var utgiftene 55 122, og indeksen var da 100. Hva var indeksen for matvarer i 2016? Vi setter opplysningene inn i en tabell: År

2016

2015

Indeks

x

100

Pris (kr)

56 555

55 122

Ut fra tabellen kan vi sette opp likningen x 100 = 56555 55122 x=

Ganger med 56 555 på begge sider

100 ⋅ 56555 55122

x = 102,6 Indeksen for matvarer var 102,6 i 2016.

EKSEMPEL

LØSNING

I 2008 var indeksen for blokkleiligheter i Oslo 60,6. En blokkleilighet i Oslo var verdt 2 850 000 kr i 2008. Finn verdien i basisåret 2015 dersom den følger utviklingen til indeksen. Vi setter opplysningene inn i en tabell: År

2008

2015

Indeks

60,6

100

Pris (kr)

2 850 000

x

Ut fra tabellen kan vi sette opp likningen 60,6 100 = 2 850 000 x

60,6 · x = 2 850 000 · 100 x=

Leiligheten var verdt 4 702 970 kr i 2015.

112

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 112

Kryssmultipliserer

2 850 000 ⋅ 100 60,6

x = 4 702 970

5.5 Indekser

07.04.2017 14:47:02


?

OPPGAVE 5.50

I 2007 var indeksen for matvarer 84,8. En gjennomsnittsfamilie brukte da 46 744 kr til matvarer. I 2011 brukte familien 50 823 kr til matvarer. Finn indeksen for matvarer i 2011. REGN HER

År

2007

2011

Indeks

84,8

x

Pris (kr)

46 744

50 823

OPPGAVE 5.51

I 2010 var indeksen for eneboliger i Bergen 133,7 (med basisår 2005). En enebolig hadde da verdien 4 450 000 kr. I 2016 hadde verdien økt til 6 108 000 kr. Finn indeksen for eneboliger i Bergen i 2016. REGN HER

År

2010

2016

Indeks Pris (kr)

OPPGAVE 5.52

Prisindeksen for en vare var 92,1 i 2010 og 103,6 i 2016. Varen kostet 6400 kr i 2016. Finn prisen på varen i 2010. REGN HER

SINUS BASIS 1P-Y — Forholdsregning

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 113

113

07.04.2017 14:47:02


5.6 Konsumprisindeksen Statistisk sentralbyrå utarbeider statistikker som viser det gjennomsnittlige årlige forbruket til husholdningene i Norge. Statistikken tar med alle de vanlige utgiftene som en familie har. Denne tabellen viser forbruket i noen år: År

2010

Forbruk i kr

2011

2012

2013

2014

2015

2016

427 159 432 724 435 507 444 783 454 059 463 799 480 495

Konsumprisindeks

92,1

93,3

93,9

95,9

97,9

100

103,6

I den nederste raden er det regnet ut en indeks av forbrukstallene for gjennomsnittsfamilien. Den indeksen kaller vi konsumprisindeksen, som ofte blir forkortet til KPI. Konsumprisindeksen forteller hvor dyrt det er å leve i Norge. Vi bruker 2015 som basisår. Konsumprisindeksen er da 100 for det året. Framgangsmåten er akkurat den samme som vi brukte i forrige delkapittel, men her sier vi gjerne forbruk i stedet for pris. EKSEMPEL

LØSNING

I basisåret 2015 brukte husholdningene i gjennomsnitt 463 799 kr. Indeksen var da 100. I 2000 var forbruket av varer og tjenester 350 168 kr. Finn konsumprisindeksen i 2000. Vi setter opplysningene inn i en tabell: År

2015

2000

KPI

100

x

Forbruk (kr)

463 799

350 168

Ut fra tabellen kan vi sette opp likningen 100 x = 463 799 350168

463 799 · x = 350 168 · 100 x=

Konsumprisindeksen for 2000 er 75,5.

EKSEMPEL

LØSNING

Vi setter opplysningene inn i en tabell: År

2016

2004

KPI

103,6

81,0

Forbruk (kr)

480 496

x

Forbruket i 2013 var 375 677 kr.

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 114

350168 ⋅ 100 = 75,5 463 799

I 2016 var konsumprisindeksen 103,6, og forbruket i en gjennomsnittsfamilie var 480 496 kr. I 2004 var konsumprisindeksen 81,0. Finn forbruket til familien i 2004. Ut fra tabellen kan vi sette opp likningen 103, 6 81,0 = 480 496 x

Kryssmultipliserer

103,6 · x = 480 496 · 81,0 x=

114

Kryssmultipliserer

480 496 ⋅ 81, 0 = 375677 103, 6

5.6 Konsumprisindeksen

07.04.2017 14:47:03


?

OPPGAVE 5.60

I 2009 brukte husholdningene i Norge i gjennomsnitt 416 955 kr. I basisåret 2015 brukte husholdningene i gjennomsnitt 463 799 kr. Finn konsumprisindeksen i 2009. REGN HER

År

2009

2015

Forbruk (kr)

416 955

463 799

KPI

x

100

OPPGAVE 5.61

I 2008 var konsumprisindeksen 88,0, og husholdningene brukte i gjennomsnitt 408 143 kr. I 2011 var konsumprisindeksen 93,3. Finn forbruket i 2011. REGN HER

År

2008

2011

KPI Forbruk (kr)

x

OPPGAVE 5.62

I 1994 var forbruket i en gjennomsnittsfamilie 304 716 kr. Konsumprisindeksen var da 65,7. I 2006 var konsumprisindeksen 82,3. Finn forbruket i 2006. REGN HER

SINUS BASIS 1P-Y — Forholdsregning

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 115

115

07.04.2017 14:47:03


5.7 Reallønn Når vi skal sammenlikne lønna til en person fra ett år til et annet, må vi ta hensyn til at prisene øker. Hvis lønna til en person ikke øker like fort som prisene øker, får hun eller han dårligere råd. Lønna og prisene må øke proporsjonalt hvis vi skal ha like god råd. For å finne ut om vi har fått bedre eller dårligere råd, regner vi ut og sammenligner reallønnene.

Reallønna er lønn omregnet til basisåret.

Vi finner reallønna på samme måte som når vi regnet med indekser og konsumprisindekser, men her er det snakk om lønn og ikke pris eller forbruk. EKSEMPEL

LØSNING

Thomas tjente 420 500 kr i 2012. Konsumprisindeksen var da 93,9. Finn reallønna til Thomas i 2012. Vi setter opplysningene inn i en tabell: År

2015

2012

KPI

100

93,9

Lønn (kr)

x

420 500

Ut fra tabellen kan vi sette opp likningen 100 93, 9 = x 420500

x · 93,9 = 100 · 420 500 x=

Reallønna i 2012 var 447 817 kr.

EKSEMPEL

LØSNING

Kryssmultipliserer

100 ⋅ 420500 = 444 817 93, 9

Thomas tjente 420 500 kr i 2012. Da var KPI 93,9. I 2016 var reallønna til Thomas 440 000 kr. KPI var da 103,6. a) Finn lønna til Thomas i 2016. b) Hvilket år hadde Thomas best råd? a) Vi setter opplysningene inn i en tabell. Når reallønna er 440 000 kr, tilsvarer dette lønna omregnet til basisåret 2015. År

2015

2016

KPI

100

103,6

Lønn (kr)

440 000

x

Dette gir likningen 100 103, 6 = x 440 000

Kryssmultipliserer

100 · x = 440 000 · 103,6 x=

440 000 ⋅103,6 100

x = 455 840 Lønna til Thomas i 2015 var 455 840 kr. b) I det forrige eksempelet fant vi at reallønna til Thomas var 447 817 kr i 2012. Han har best råd i 2012, for han har høyere reallønn i 2012 enn i 2015.

116

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 116

5.7 Reallønn

07.04.2017 14:47:03


?

OPPGAVE 5.70

I 2014 tjente Magnus 390 000 kr. Konsumprisindeksen var da 97,9. Finn reallønna til Magnus i 2014. REGN HER

År

2015

2014

KPI

100

97,9

Lønn (kr)

x

390 000

OPPGAVE 5.71

I 2013 var reallønna til Mari 335 320 kr. Konsumprisindeksen var 95,9. Finn lønna til Mari dette året. REGN HER

År

2015

2013

KPI Lønn (kr)

OPPGAVE 5.72

I 2012 var reallønna til Siv 620 000 kr. Konsumprisindeksen var da 93,9. a) Regn ut lønna til Siv i 2012. b) Siv tjente 670 000 kr i 2016. Konsumprisindeksen var da 103,6. Hva kan du si om økonomien til Siv i 2016 sammenliknet med økonomien hennes i 2012? REGN HER

SINUS BASIS 1P-Y — Forholdsregning

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 117

117

07.04.2017 14:47:04


5.8 Kroneverdi Av og til har vi bruk for å vite hvor mye ei krone er verdt i dag, sammenliknet med hva vi kunne kjøpe for ei krone i basisåret 2015. Dette kaller vi kroneverdien.

Kroneverdien er verdien av 1 kr omregnet til basisåret.

EKSEMPEL

LØSNING

I 2016 var konsumprisindeksen 103,6. Finn kroneverdien dette året. Vi tenker oss at en vare kostet 1 kr i 2016, og regner ut hva denne varen ville ha kostet i basisåret 2015. Vi setter opplysningene inn i en tabell: År

2016

2015

KPI

103,6

100

Pris (kr)

1

x

Ut fra tabellen kan vi sette opp likningen 103,6 100 = x 1

Kryssmultipliserer

103,6 · x = 100 · 1 x=

100 103,6

x = 0,9653

Kroneverdi oppgir vi alltid med 4 desimaler

Kroneverdien i 2016 var 0,9653 kr.

EKSEMPEL

LØSNING

I 2012 var kroneverdien 1,0650. Bruk dette til å regne ut konsumprisindeksen i 2012. Vi setter opplysningene inn i en tabell: År

2015

2012

KPI

100

x

Pris (kr)

1,0650

1

Ut fra tabellen kan vi sette opp denne likningen: 100 x = 1,0650 1

Trenger ikke kryssmultiplisere, for likningen ovenfor gir svaret direkte

100 =x 1,0650 x = 93,9

Konsumsprisindeksen i 2012 var 93,9.

Legg merke til at det første eksempelet gir denne formelen:

kroneverdien =

118

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 118

100 KPI

5.8 Kroneverdi

07.04.2017 14:47:04


?

OPPGAVE 5.80

I 2010 var konsumprisindeksen 92,1. Finn kroneverdien dette året. REGN HER

100

Kroneverdien er

=     .

Vi kan også finne kroneverdien ved hjelp av en tabell: År

2015

2010

KPI

100

92,1

Pris (kr)

x

1

OPPGAVE 5.81

I 1998 var kroneverdien 1,3986. Bruk dette til å finne konsumprisindeksen i 1998. REGN HER

År

2015

1998

KPI Pris (kr)

OPPGAVE 5.82

På forrige side lærte vi at vi også kunne finne kroneverdien ved å bruke formelen kroneverdien =

100 KPI

Finn en formel for KPI ut fra formelen ovenfor. REGN HER

SINUS BASIS 1P-Y — Forholdsregning

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 119

119

07.04.2017 14:47:04


Sammendrag □□ Forhold Vi finner forholdet mellom to tall ved å dividere det første tallet med det andre.

□□ Proporsjonale størrelser y

To størrelser x og y er proporsjonale hvis   er konstant for alle samsvarende verdier av x x og y. Denne konstanten kaller vi proporsjonalitetskonstanten.

□□ Omvendt proporsjonale størrelser To størrelser x og y er omvendt proporsjonale dersom x · y er konstant for alle samsvarende verdier av x og y. Denne konstanten kaller vi proporsjonalitetskonstanten. Hvis vi dobler den ene størrelsen, blir den andre halvert.

□□ Basisår I basisåret er indeksen lik 100. I denne boka er basisåret 2015 om ikke annet er sagt.

□□ Regning med indekser, reallønn og kroneverdier Når vi regner med indekser, reallønn og kroneverdier, skriver vi opplysningene inn i en tabell, lager en likning og løser denne likningen ved «kryssmultiplikasjon». Så regner vi ut den ukjente verdien.

120

CD 96 Sinus 1P-Y Basis.indb 120

Sammendrag

07.04.2017 14:47:04

Sinus Basis 1P-Y (utdrag)  
Sinus Basis 1P-Y (utdrag)