Issuu on Google+


Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner

Faktor 2 Grunnbok Nynorsk


# J.W. Cappelens Forlag AS, Oslo 2006 Føresegnene i a˚ndsverklova gjeld for materialet i denne publikasjonen. Utan særskild avtale med J.W. Cappelens Forlag AS er all eksemplarframstilling og tilgjengeleggjering berre tillaten sa˚ langt det har heimel i lov eller avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til a˚ndsverk. Bruk som er i strid med lov eller avtale, kan føre til erstatningsansvar og inndraging og straffast med bøter eller fengsel. Faktor 1–3 følgjer læreplanane for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er laga til bruk pa˚ ungdomstrinnet i grunnskolen. Illustratør: Line Jerner Omslagsdesign: Line Jerner Omslagsillustrasjon: Line Jerner Grafisk formgiving: Jakob Thyness Ombrekk: AIT Oslo AS Omsett til nynorsk av Arve Lauvnes Forlagsredaktør: Espen Skovdahl Trykking/innbinding: Livoniaprint, Latvia 2011 Utga˚ve 1 Opplag 4 ISBN 978-82-02-25305-9 www.cdu.no http://faktor.cappelen.no Fotografi GVPress: #TCG s. 12, #Index Stock Imagery s. 13, Science Photo Library #Detlev van Ravenswaay s. 14, #Science Photo Library s. 61, 118, 177, #Greg Geria s. 62, #Super Stock s. 103, #Photo Researchers s. 111 (Pentagon), #Russell Kightley/SPL s. 178, #Bruno Morandi s. 214, #Dirscherl s. 227, #GoodShoot s. 233, #Gonzalo Azumendi s. 257 Samfoto: #Svein Grønvold/NN s. 19, #Øystein Søbye/NN s. 102 (bier), #Bjørn-Owe Holmberg s. 102 (blad), 111 (blad), #Tore Wuttudal/NN s. 103 (votter), #Jann Lipka/Mira s. 115, #Fredrik Naumann s. 116, #Tom Schandy/NN s .127, #Jens Sølvberg s. 133, #Helge Sunde s. 137, #Ba˚rd Løken/NN s. 139, #Johannes Haugan/NN s. 184, #Ove Bergersen/NN s. 184, 197 Scanpix: AP s. 15, #Royalty-Free/Corbis s. 31, Ørn E. Borgen/Aftenposten s. 32, Morten Holm s. 74, s. 87, #Bettmann/Corbis s. 88, #Historical Picture Archive/Corbis s. 95, #Alinari Archives/Corbis s. 101, #Bo Zaunders/Corbis s. 102 (kirkespir), #Christine Osborne/Corbis s. 102 (mosaikk), #Jean Guichard/ Corbis s. 102 (spriral), #Lester Lefkowitz/Corbis s. 102 (skjell), #Roger Ressmeyer/Corbis s. 103 (heksagon), #Visuals Unlimited/Corbis s. 103 (snøkrystall), #David Samuel Robbins/Corbis s. 103 (postkasse), #Royalty-Free s. 111 (fotball), #Jim Winkley/Ecoscene s. 111 (ruiner), #Knut Falch s. 179, #Maurizio Gambarini/dpa/Corbis s. 180, #NRKP2 s. 228


Innleiing Velkommen til Faktor 2. Dette er den andre av i alt tre grunnbøker du skal bruke pa˚ ungdomstrinnet. Til kvar av grunnbøkene høyrer det ei oppga˚vebok. Her ser du ungdommane som følgjer deg gjennom alle bøkene.

Fra˚ venstre: Martin, Lotte, Herman, Hanna, Simen og Sara

Kapitla i grunnboka er delte inn i fire delar: Lærestoff og oppga˚ver Prøv deg sjølv Noko a˚ lure pa˚ Oppsummering Nokre av oppga˚vene er merkte med desse symbola: Kalkulator

Finn ut

Rekneark

Utfordrande oppga˚ve

I oppga˚veboka finn du oppga˚ver i tre vanskegradar og repetisjonsoppga˚ver til kvart kapittel. Kategori 1 Kategori 2 Kategori 3 Litt av kvart Bakarst i boka finn du Digital manual for arbeid med kalkulator og rekneark. Vi ha˚per du fa˚r glede av arbeidet med Faktor! Helsing Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innleiing

3


Innhald 1 Tal og talforsta˚ing.....................7 Potensar ...........................................8 Kvadrattal ....................................... 16 Rekning med forteiknstal .............. 20 Forhold ........................................... 23 Figurtal og talrekkjer ..................... 27 Prøv deg sjølv ................................. 30 Noko a˚ lure pa˚ ............................... 32 Oppsummering ............................... 34

2 Algebra ..................................... 37 Bokstavuttrykk................................ 38 Likningar......................................... 47 Ulikskapar ....................................... 57 Prøv deg sjølv ................................. 59 Noko a˚ lure pa˚ ............................... 61 Oppsummering ............................... 63

Innhald

3 Geometri................................... 67 Mangekantar .................................. 68 Omkrins og areal av mangekantar ........................ 72 Omkrins og areal av ein sirkel....... 84 Pytagoras-setninga ........................ 88 Konstruksjon og berekningar ........ 96 Geometri i natur og kunst........... 102 Det gylne snittet og det gylne rektangelet.................... 107 Prøv deg sjølv ............................... 113 Noko a˚ lure pa˚ ............................. 117 Oppsummering ............................. 119

4

4 Statistikk og sannsynsrekning ......................... 123 Relativ frekvens............................ 124 Sektordiagram.............................. 130 Andre diagram ............................. 135 Kritisk bruk av diagram ............... 140 Sentralma˚l og variasjonsbreidd ... 143 Talet pa˚ moglege utfall ............... 148 A˚ finne sannsynet ........................ 151 A˚ finne sannsynet ved fleire hendingar....................... 155 Er sannsynet like stort kvar gong? .............................. 162 Prøv deg sjølv ............................... 164 Noko a˚ lure pa˚ ............................. 167 Oppsummering ............................. 169

5 Ma˚ling og berekningar ......... 173 Nøyaktige ma˚l.............................. 174 Ma˚lestokk ..................................... 177 Volum, og areal av ei overflate ... 185 Prøv deg sjølv ............................... 196 Noko a˚ lure pa˚ ............................. 198 Oppsummering ............................. 199

6 Funksjonar.............................. 201 Koordinatsystemet ....................... 202 Formlar og funksjonar ................. 207 Grafen til ein funksjon ................. 211 Meir om funksjonar ..................... 215 Prøv deg sjølv ............................... 218 Noko a˚ lure pa˚ ............................. 220 Oppsummering ............................. 222


7 Økonomi ................................. 225 Prosent og promille ..................... 226 Meirverdiavgift ............................. 231 Rabatt ........................................... 234 Tilbod ........................................... 236 Renterekning................................ 239 Avbetaling .................................... 246 Prøv deg sjølv ............................... 249 Noko a˚ lure pa˚ ............................. 251 Oppsummering ............................. 253 Digital manual ............................ 254 Kalkulatoren ................................. 255 Rekneark....................................... 258 Fasit ............................................. 288 Stikkord ....................................... 309

Innhald

5


Det er 384 000 km til ma˚nen.

Er det 400 000 000 000 eller 40 000 000 000 stjerner i galaksen va˚r, Mjølkevegen?

Alpha Kentauri er 40 000 000 000 000 km unna jorda. Eit romskip flyg med ca. 40 000 km/h. Kor lang tid ville det ha teke a˚ reise dit?


1 Tal og talforsta˚ing Av og til har vi bruk for a˚ skrive svært store tal, for eksempel i samband med avstandar i verdsrommet. For a˚ fa˚ betre oversikt kan vi skrive tal som produkt av eit desimaltal mellom 1 og 10 og ein tiarpotens: 384 000 = 3,84  105

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . .

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

tal pa˚ standardform faktorar, potensar, kvadratrot og forhold mellom storleikar i berekningar forteiknstal talmønster

Mange nullar a˚ halde orden pa˚!


Potensar

?

To i femte er ein potens.

25

Kva betyr to i femte? 25 er ein potens med 2 som grunntal og 5 som eksponent. Vi uttaler 25 slik: to i femte.

Tal og talforsta˚ing

25 = 2  2  2  2  2 = 32

8

Regel

Eit produkt der alle faktorane er like, kan vi skrive pa˚ potensform. Eksponenten fortel kor mange gonger vi skal multiplisere grunntalet med seg sjølv. Oppga˚ver 1.1

1.2

Skriv som potens. a) 2  2  2  2 b) 3  3  3  3

c) 10  10  10 d) 7  7  7  7  7

e) 5  5  5  5  5  5 f) 9  9  9  9

Rekn ut potensen. a) 23 b) 35

c) 53 d) 105

e) 55 f) 210


1.3

Skriv av tabellen og fyll inn det som manglar.

Grunntal 3

Eksponent

Potens

2 64

6

35

5 1

8 2,34

4 1.4

Rekn ut. a) 3  4  4  4

b) 5  23

c) 24  33

Multiplikasjon og divisjon av potensar Na˚r vi skal multiplisere to potensar som har det same grunntalet, le`t vi grunntalet sta˚ og summerer eksponentane. 3

4

3+4

2 2 = 222 2222 = 2

=2

7

Hugs! 2 = 21 , 3 = 31 osv.

Na˚r vi skal dividere ein potens med ein potens som har det same grunntalet, le`t vi grunntalet sta˚ og subtraherer eksponentane. 56 = 56 : 52 = 56 -- 2 = 54 52

Regel

Na˚r vi multipliserer potensar som har det same grunntalet, le´t vi grunntalet sta˚ og summerer eksponentane. Na˚r vi dividerer potensar som har det same grunntalet, le´t vi grunntalet sta˚ og subtraherer eksponentane. Dersom vi dividerer to like potensar med kvarandre, blir svaret lik 1 fordi teljaren og nemnaren er like store.

Tal og talforsta˚ing

9


Dersom vi bruker regelen for divisjon av potensar, fa˚r vi 53 = 53 -- 3 = 50 53 Det betyr altsa˚ at 50 = 1. Regel

For alle tal a er a0 = 1. Na˚r vi skal multiplisere eller dividere to potensar som ikkje har det same grunntalet, ma˚ vi rekne ut potensane kvar for seg. Eksempel

Rekn ut. Skriv svaret som e´in potens dersom det er mogleg. a) 22  25 c) 32  43 6 2 b) 4 : 4 d) 44 : 23 Løysing a) 22  25 = 22 + 5 = 27 b) 46 : 42 = 46 -- 2 = 44

c) 32  43 = 9  64 ¼ 576 d) 44 : 23 = 256 : 8 = 32

Tal og talforsta˚ing

Oppga˚ver

10

1.5

1.6

1.7

Rekn ut. Skriv svaret som e´in potens. c) 22  23 a) 32  35 2 2 b) 5  5 d) 52  54

e) 102  103 f) 72  73

Rekn ut. Skriv svaret som e´in potens. a) 132  133 c) 122  123 b) 52  5 d) 102  104

e) 100  105 f) 70  73

Rekn ut. Skriv svaret som e´in potens. c) 22  26 a) 32  3 b) 152  152 d) 102  104  102

e) 103  105  10 f) 7  73  70  72


1.8

Rekn ut. Skriv svaret som e´in potens. 27 24 65 b) 2 6 a)

1.9

106 102 312 d) 8 3 c)

Rekn ut. Skriv svaret som e´in potens. c) 35 : 34 a) 55 : 52 d) 74 : 73 b) 105 : 103

55 52 35 f) 4 3 e)

e) 155 : 153 f) 109 : 103

1.10 Rekn ut. Skriv svaret som e´in potens dersom det er mogleg. a) 95 : 92 c) 26 -- 24 e) 124 : 123 4 3 4 3 f) 34 + 24 b) 3 + 3 d) 10 + 10 1.11 Rekn ut. Skriv svaret som e´in potens dersom det er mogleg. a) 32  35 c) 122  23 e) 82  8 b) 52  53 d) 52  102 f) 5  43 1.12 Rekn ut. Skriv svaret som e´in potens dersom det er mogleg. a) 136 : 134 c) 5  42 -- 16 b) 84 -- 44 d) 3  52 + 5  32

Potensar med 10 som grunntal Nedanfor ser du nokre eksempel pa˚ potensar med 10 som grunntal. 100 101 102 103 104 105 106

= = = = = = =

1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000

Vi bruker tala 1, 10, 100 osv. na˚r vi skriv naturlege tal pa˚ utvida form: 3456 = 3  1000 + 4  100 + 5  10 + 6  1 Ettersom vi kan skrive 10, 100, 1000 osv. som potensar med 10 som grunntal, fa˚r vi: 3456 = 3  103 + 4  102 + 5  101 + 6  100

Tal og talforsta˚ing

11


Eksempel

Skriv 1 205 604 pa˚ utvida form ved a˚ bruke potensar av 10. Løysing 1 205 604 = 1  1 000 000 + 2  100 000 + 0  10 000 + 5  1000 + 6  100 + 0  10 + 4  1 1 205 604 = 1  106 + 2  105 + 5  103 + 6  102 + 4  100

Oppga˚ver 1.13 Skriv tala som potensar med 10 som grunntal. a) 100 c) 100 000 e) Ti millionar b) 1000 d) 1 000 000 f) Ein milliard

12

1.15 Skriv tala pa˚ vanleg ma˚te. a) 5  103 + 4  102 + 1  101 b) 3  104 + 4  103 + 5  102 c) 7  105 + 4  104 + 5  103 d) 2  105 + 4  103 + 5  102 e) 1  106 + 4  105 + 5  103 f) 3  105 + 4  102 + 9  101

+ + + + + +

6  100 6  101 + 5  100 6  102 + 3  101 + 4  100 6  100 6  102 + 1  101 + 2  100 1  100

1.16 Skriv 6 milliardar pa˚ vanleg ma˚te og deretter ved a˚ bruke tiarpotens. Det er over 6 milliardar menneske pa˚ jorda!

Menneskemengd

Tal og talforsta˚ing

1.14 Skriv tala pa˚ utvida form ved a˚ bruke potensar av 10. a) 6543 c) 12 675 e) 2 450 565 b) 3409 d) 125 308 f) 2 907 530


Tal pa˚ standardform For a˚ fa˚ betre oversikt over eit stort tal kan vi skrive talet som eit produkt av eit desimaltal mellom 1 og 10 og ein tiarpotens.

Avstanden fra˚ jorda til sola er ca. 150 000 000 km!!

Sola, va˚r eiga stjerne

150 000 000 km kan vi skrive slik: 1,5  108 km

Tiarpotens

Desimaltal mellom 1 og 10 Na˚r vi skriv om store tal pa˚ denne ma˚ten, flytter vi desimalteiknet og set det mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med ein tiarpotens. Ovanfor har vi flytt desimalteiknet a˚tte plassar. Derfor blir tiarpotensen 108 . Skrivema˚ten 1,5  108 kallar vi standardform.

Tal og talforsta˚ing

13


Regel

Vi skriv store tal pa˚ standardform ved a˚ plassere desimalteiknet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med ein tiarpotens. Eksponenten i tiarpotensen svarer til det talet pa˚ plassar som vi har flytt desimalteiknet.

Eksempel

Skriv talet 340 000 000 pa˚ standardform. Løysing 340 000 000 = 3,4  108

Oppga˚ver 1.17 Skriv tala pa˚ standardform. a) 25 000 c) 24 000 000 b) 14 000 d) 910 000

Tal og talforsta˚ing

1.18 Skriv avstandane fra˚ sola til planetane pa˚ standardform.

14

a) Sola – Venus b) Sola – Jorda c) Sola – Jupiter

108 000 000 km 150 000 000 km 778 000 000 km

e) 4 500 000 f) 4 500 000 000


1.19 Skriv tala pa˚ vanleg ma˚te. c) 9,1  105 a) 4,5  103 4 b) 2,7  10 d) 4,5  106

e) 1,05  107 f) 4,08  109

1.20 Massen til ma˚nen er rekna ut til a˚ vere ca. 73 500 000 000 000 000 000 tonn. Skriv talet ved a˚ bruke tiarpotens.

Apollo 11 var det første romfartøyet som landa pa˚ ma˚nen, 20. juli 1969.

1.21 Finn ut kor mykje jorda veg. Skriv talet ba˚de pa˚ vanleg ma˚te og ved a˚ bruke tiarpotens.

Massen til ma˚nen er ca. 0,0123 av massen til jorda!

Tal og talforsta˚ing

15


Kvadrattal

?

Alle tala er kvadrattal!

4

9

16

25

Kva meiner vi med kvadrattal? Vi kan leggje ut fire brikker pa˚ denne ma˚ten: && &&

Tal og talforsta˚ing

Vi fa˚r eit kvadratforma mønster.

16

Vi kan leggje ut ni brikker pa˚ den same ma˚ten: &&& &&& &&& Sja˚ pa˚ reknestykka nedanfor. 11 22 33 44 55

= = = = =

12 22 32 42 52

= = = = =

1 4 9 16 25

Tala 1, 4, 9, 16, 25 osv. kallar vi kvadrattal.


Regel

Dersom x er eit heilt tal, er x  x = x 2 eit kvadrattal. OppgaËšver 1.22 Kva for nokre av tala er kvadrattal? 4 9 7 8

16

1.23 Lag ei teikning som illustrerer kvadrattala. a) 4 b) 9 c) 16

25

d) 25

1.24 Kva kvadrattal illustrerer figurane? a)

c)

b)

1.25 Rekn ut kvadrattalet x 2 naËšr x er a) 5 c) 10 b) 8 d) 15

e) 20 f) 100

1.26 Vi legg ut 81 brikker som eit kvadrat. Kor mange brikker er det langs sida av kvadratet? 1.27 Stolane i ein kinosal er plasserte som eit kvadrat. Det er 625 plassar i salen. Kor mange stolar er det i kvar rad?

Tal og talforstaËšing

17


Kvadratrot Na˚r vi multipliserer to like tal med kvarandre, fa˚r vi eit kvadrattal. 33 = 9 Det vil seie at 9 er eit kvadrattal. Motsett seier vi at 3 er kvadratrota av 9. Teiknet for kvadratrot er pffiffiffi 9=3

pffiffiffi . Vi kan skrive kvadratrota av 9 slik:

Pa˚ den same ma˚ten er pffiffiffi 25 = 5 fordi 5  5 = 25:

Regel

Vi finn kvadratrota av eit bestemt tal gjennom a˚ finne det positive talet som multiplisert med seg sjølv gir det bestemte talet.

Eksempel

Tal og talforsta˚ing

Finn kvadratrota av 36.

18

Løysing pffiffiffiffiffi Sidan 6  6 = 36, er 36 = 6.

Oppga˚ver 1.28 Finn kvadratrota av a) 9 b) 25 c) 16 d) 36 e) 81 f) 100

Vi ma˚ bruke kalkulator for a˚ rekne ut kvadratrota av tal som ikkje er kvadrattal.


1.29 Rekn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) 36

pffiffiffiffiffiffiffiffi c) 144 pffiffiffiffiffiffiffiffi d) 400

1.30 Rekn ut. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 25 + 81 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi b) 36 + 100

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c) 25 + 16 pffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 9 + 36

pffiffiffiffiffi e) 85 pffiffiffiffiffiffiffiffi f) 128

1.31 a) Sidene i eit kvadrat er 6,5 cm. Kor stort er arealet? b) Arealet av eit kvadrat er 23,04 cm2 . Kor lang er sida? 1.32 Ein handballbane har form som eit rektangel som er dobbelt sa˚ langt som det er breitt. Arealet av handballbanen er 800 m2 . Rekn ut lengda og breidda av handballbanen.

Handballcup i Ski

Tal og talforsta˚ing

19


Rekning med forteiknstal

?

Hm ...

5–3=2 5–2=3 5–1=4 5–0=5 5–(–1) = ? 5–(–2) = ?

–1∙3=–3 –1∙2=– 2 –1∙1 = –1 –1∙0= 0 –1∙(–1) = ? –1∙(–2) = ?

Kva blir svaret pa˚ oppga˚vene? Vi kan leggje til og trekkje fra˚ negative tal. Jo mindre tal vi legg til, jo mindre tal fa˚r vi til svar. Jo mindre tal vi trekkjer fra˚, jo større tal fa˚r vi til svar.

Tal og talforsta˚ing

5+1 5+0 5 + ð--1Þ 5 + ð--2Þ 5 + ð--3Þ

20

= = = = =

6 5 4 3 2

5 -- 1 5 -- 0 5 -- ð--1Þ 5 -- ð--2Þ 5 -- ð--3Þ

= = = = =

4 5 6 7 8

Regel

˚ trekkje fra˚ eit negativt tal er det same som a˚ leggje til det same A positive talet. ˚ leggje til eit negativt tal er det same som a˚ trekkje fra˚ det same A positive talet. Dersom vi multipliserer eller dividerer to negative tal med kvarandre, blir svaret eit positivt tal: --6  ð--3Þ = 18 --3  ð--3Þ = 9

--6 : ð--3Þ = 2 --3 : ð--3Þ = 1


Regel

Na˚r vi multipliserer eller dividerer eit positivt tal med eit negativt tal, blir svaret eit negativt tal. Na˚r vi multipliserer eller dividerer to negative tal med kvarandre, blir svaret eit positivt tal.

Minus  minus = pluss Minus  pluss = minus

Eksempel

Rekn ut. a) 10 + ð--12Þ b) 10 -- ð--12Þ c) 5  ð--4Þ

d) --5  ð--4Þ e) --20 : 4 f) --20 : ð--4Þ

Løysing a) 10 + ð--12Þ = 10 -- 12 = --2 b) 10 -- ð--12Þ = 10 + 12 = 22 c) 5  ð--4Þ = --20

d) --5  ð--4Þ = 20 e) --20 : 4 = --5 f) --20 : ð--4Þ = 5

Oppga˚ver 1.33 Rekn ut. a) 5 -- ð--4Þ

b) 9 -- ð--9Þ

c) 10 -- ð--5Þ

d) 50 -- ð--100Þ

1.34 Rekn ut. a) 5 + ð--2Þ

b) 20 + ð--12Þ

c) 13 + ð--12Þ

d) 25 + ð--20Þ

Tal og talforsta˚ing

21


Tal og talforsta˚ing

1.35 Rekn ut. a) 12 + ð--3Þ

22

b) 12 -- ð--3Þ

c) 12 -- ð+3Þ

d) 12 + ð+3Þ

1.36 Kva for eit av svara er rett? A) 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 1 B) 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 9

C) 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 11 D) 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = --1

1.37 Rekn ut. a) 5  ð--6Þ

b) --4  6

c) --3  ð--7Þ

d) 5  ð--10Þ

1.38 Rekn ut. a) 25 : ð--5Þ

b) --25 : 5

c) --30 : ð--6Þ

d) --42 : 7

1.39 Rekn ut. a) 2,5  ð--6Þ

b) 4  ð--2,5Þ

c) --3  1,5

d) --10  ð--3,7Þ

1.40 Rekn ut. a) 4 + ð--3Þ -- ð--4Þ b) 5 -- ð--3Þ + ð--4Þ

c) 10 + ð--4Þ -- ð--15Þ d) 50 + ð+50Þ -- ð--100Þ

1.41 Rekn ut. a) 15 -- ð+17Þ b) --2 -- ð+2Þ

c) 50 -- ð--50Þ + ð--25Þ d) --100 -- ð+100Þ -- ð--100Þ + ð--100Þ

1.42 Skriv av og set dei rette tala inn i rutene. a) 5  ð--7Þ = & c) &  ð--8Þ = --80 & b) --3  = 21 d) --10  ð--10Þ = &


Forhold

?

Barna blandar saft og vatn i forholdet e´in til fem, det vil seie e´in del saft og fem delar vatn. Korleis kan vi skrive forholdet med tal? Na˚r vi blandar saft og vatn i forholdet e´in til fem, blandar vi e´in del saft med fem delar vatn. Det kan for eksempel vere 1 dl saft og 5 dl vatn. Sidan 10 dl er fem gonger sa˚ mykje som 2 dl, kan vi ogsa˚ blande 2 dl saft og 10 dl vatn. Forholdet mellom mengda av saft og mengda av vatn blir e´in til fem da ogsa˚. Forholdet e´in til fem kan vi skrive slik: 1 : 5 eller

1 5

Brøkstreken er her det same som eit divisjonsteikn. Na˚r vi skal finne forholdet mellom to storleikar, forkortar vi brøken sa˚ mykje som mogleg. Regel

Vi finn forholdet mellom to tal ved a˚ dividere tala med kvarandre.

Tal og talforsta˚ing

23


Eksempel

Hanna bur 12 km fra˚ skolen, mens Simen bur 3 km fra˚ skolen. Kva er forholdet mellom 12 km og 3 km? Løysing 12 km 12 4 = = 3 km 3 1

Hugs! I nokre av oppga˚vene ma˚ du gjere om til den same nemninga.

Forholdet er 4 : 1

Oppga˚ver 1.43 Finn forholdet mellom storleikane. a) 2 km og 10 km b) 3 bøtter og 12 bøtter c) 500 kr og 250 kr e) 2 cm og 20 cm d) 15 kg og 45 kg f) 4 cm og 80 000 cm

Tal og talforsta˚ing

1.44 Finn forholdet mellom storleikane. a) 500 kr og 125 kr d) 12 km og 3 cm b) 4 cm og 1 m e) 50 øre og 50 kr c) 3 g og 12 kg f) 500 km og 5 cm

24

1.45 Simen blandar 2 dl iste med 16 dl vatn. Sara blandar 3 dl iste med 27 dl vatn. Kven lagar den sterkaste blandinga? 1.46 Martin tener 240 kr pa˚ 4 timar. Hanna arbeider i 5 timar. Kor mykje ma˚ Hanna fa˚ i lønn dersom ho skal tene like mykje per time som Martin? 1.47 Elevane i 9A selde vaflar for 375 kr. Det er 25 elevar i gruppa. I 9B er det 28 elevar. Kor mykje ma˚ elevane i 9B selje vaflar for dersom dei skal selje like mykje i forhold til elevtalet?


Rekning med forhold Vi reknar med forhold i mange samanhengar, for eksempel – na˚r vi blandar saft og vatn – na˚r vi blandar sement og sand – na˚r vi fa˚r lønn i forhold til den tida vi arbeider Martin og Lotte hjelpte naboen med a˚ ma˚le huset. Martin arbeidde i 10 timar og Lotte i 8 timar. For dette fekk Martin 750 kr og Lotte 600 kr. Vi reknar ut timelønna: Martin: Lotte:

750 kr : 10 = 75 kr 600 kr : 8 = 75 kr

Det betyr at forholdet mellom 750 og 10 er det same som forholdet mellom 600 og 8. Martin og Lotte har derfor fa˚tt like mykje betalt i forhold til dei timane dei har arbeidd, sjølv om dei har fa˚tt forskjellige kronebeløp. Eksempel

Herman arbeider i 3 timar, og Sara arbeider i 4 timar. Dei fa˚r 560 kr til saman for dette arbeidet. Kor mykje fa˚r kvar av dei? Løysing Herman arbeider: Sara arbeider: Til saman:

3 timar 4 timar 7 timar

Lønna for e´in time blir: 560 kr : 7 = 80 kr Herman fa˚r: 3  80 kr = 240 kr Sara fa˚r: 4  80 kr = 320 kr Vi kontrollerer svaret: 240 kr + 320 kr = 560 kr

Tal og talforsta˚ing

25


Oppga˚ver 1.48 Martin og Lotte skal dele 450 kr i forholdet 4 : 5. Kor mykje fa˚r kvar av dei? 1.49 Sara og Herman skal dele eit overskott fra˚ eit loddsal. Sara selde 50 lodd, og Herman selde 75 lodd. Overskottet var 150 kr. a) Rekn ut forholdet mellom kor mange lodd Sara og Herman selde kvar. b) Kor stor del av overskottet fekk kvar av dei?

Tal og talforsta˚ing

1.50 Simen skal fylle 2 dl olje og 48 dl bensin pa˚ mopeden. Hanna skal fylle olje og bensin i det same forholdet.

26

a) Rekn ut forholdet mellom mengda av olje og mengda av bensin. b) Kor mange desiliter bensin ma˚ Hanna fylle dersom ho bruker 1 dl olje? 1.51 Sara skal blande iste og vatn i forholdet 1 : 9. Ho vil bruke 2 dl iste i blandinga. Kor mange desiliter ferdigblanda iste fa˚r ho? 1.52 I ei oppskrift pa˚ hasselnøttbrød sta˚r det blant anna at vi skal bruke 7 dl grovt rugmjøl 6 dl kveitemjøl Herman skal lage ein brøddeig med 9 dl kveitemjøl. Kor mykje rugmjøl ma˚ Herman bruke dersom forholdet mellom mengda av kveitemjøl og mengda av rugmjøl framleis skal vere det same?


Figurtal og talrekkjer

? 1

3

6

Kva tal fa˚r vi vidare etter dette mønsteret? Dersom vi held fram med a˚ leggje ut brikker etter det same mønsteret, fa˚r vi følgjande nye figurar og tal: & & && & && &&& & && &&& &&&& & && &&& &&&& &&&&& 1 3 6 10 15 osv. Talet pa˚ brikker er: 1 brikke 3 brikker ð1 + 2Þ 6 brikker ð1 + 2 + 3Þ 10 brikker ð1 + 2 + 3 + 4Þ 15 brikker ð1 + 2 + 3 + 4 + 5Þ Osv.

Hugs! 1, 4, 9, 16 osv. kallar vi kvadrattal.

Tala 1, 3, 6, 10, 15 osv. kallar vi trekanttal fordi vi kan illustrere desse tala i eit geometrisk trekanta mønster. Tala 1, 3, 6, 10 og 15 er dei fem første trekanttala.

Tal og talforsta˚ing

27


Vi kan lage andre talrekkjer ved a˚ bruke eit bestemt system eller mønster. Det er vanleg a˚ sja˚ etter mønsteret i talrekkjene ved a˚ undersøkje differansen mellom ledda eller forholdet mellom ledda. Ei talrekkje begynner slik: 1

3

7

13

21

Her ser vi at differansen mellom eit ledd og leddet framfor aukar med 2 kvar gong vi ga˚r fra˚ eit ledd til det neste: 3–1=2 7–3=4 13 – 7 = 6 21 – 13 = 8 Dei sju første ledda i talrekkja blir da: 1

3

7 13

21 31

43

Ei anna talrekkje begynner slik: 1

3

9

27

Tal og talforsta˚ing

Her ser vi at:

28

3:1=3 9:3=3 27 : 9 = 3 Dei sju første tala i talrekkja blir da: 1

3

9

27

81

243

729

Oppga˚ver 1.53 Kva for nokre av tala er kvadrattal? A 9 C 50 E 20 B 36 D 81 F 144

G1 H 169

1.54 Kva for nokre av tala er kvadrattal? A 10 C 20 E 21 B 15 D 25 F 100

G 28 H 50


1.55 Kva for nokre av tala er ikkje kvadrattal? A 16 C 14 E 20 B 8 D 18 F 24

G 36 H 38

1.56 Sja˚ pa˚ reknestykka under. Hald fram fire linjer til etter det same systemet. Skriv ein regel ut fra˚ den samanhengen du ser. 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1.57 Dei seks første trekanttala 1, 3, 6, 10, 15 og 21. Legg saman a) det første og det andre trekanttalet b) det andre og det tredje trekanttalet. c) det tredje og det fjerde trekanttalet d) Kva slags tal fa˚r du i oppga˚ve a, b og c? 1.58 Skriv dei tre neste tala i talrekkjene. & a) 1 4 9 b) 1 2 4 7 c) 2 4 8 16 d) 2 6 18 54 1.59 Skriv av og set inn tala som manglar & a) 2 4 8 b) 1 4 8 13 & c) 1 9 25

& 11 & &

& & & &

i talrekkjene. & & & & & &

& & &

&

128 34 169

1.60 Sja˚ pa˚ reknestykka under: 1  1 = 12 = 1 11  11 = 112 = 121 111  111 = 1112 = 12321 Ser du eit system som gjer at du raskt kan finne ut kva tal 11 1112 er?

Tal og talforsta˚ing

29


Prøv deg sjølv 1

2

3

Tal og talforsta˚ing

4

30

Skriv som potens. a) 3  3 b) 5  5  5  5

c) 2  2  2  2  2 d) 7  7  7

Rekn ut potensen. b) 33 a) 103

c) 54

d) 28

Skriv svaret som e´in potens. a) 103  102 b) 43  44

c) 53  52

d) 102  10

Skriv svaret som e´in potens. a) 55 : 52 b) 106 : 102

c) 74 : 72

d) 25 : 24

5

Skriv tala pa˚ utvida form ved a˚ bruke potensar av 10. a) 3563 b) 12 875 c) 20 456 d) 120 503

6

Skriv tala pa˚ standardform. a) 24 000 b) 540 000

c) 760 000 000 d) 50 100 000 000

7

Rekn ut arealet av eit kvadrat na˚r sidene i kvadratet er a) 4 cm b) 9 cm c) 7 cm d) 3,6 cm

8

Rekn ut x 2 . a) x = 2

b) x = 7

c) x = 1

Rekn ut. pffiffiffiffiffi a) 64

pffiffiffiffiffi b) 81

c)

9

10

a) Sidene i eit kvadrat er 4,5 cm Kor stort er arealet? b) Arealet av eit kvadrat er 12,96 m2 . Kor lange er sidene?

11

Rekn ut. a) 4 -- ð--2Þ + 3 b) 15 + ð--5Þ -- 10 c) --20 -- ð--30Þ -- 2

pffiffiffiffiffiffiffiffi 121

d) x = 0,5

d)

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 16 + 49

d) 23 -- ð12 -- 5Þ e) ð12 -- 4Þ -- ð15 -- 2Þ f) ð7 -- 4 + 23Þ -- 3 + ð6 -- 3Þ


12

Rekn ut. a) --2  3 b) 5  ð--10Þ

c) --4  ð--8Þ d) --32 : ð--8Þ

e) 45 : ð--9Þ f) --45 : 9

13

Lotte blandar 2 dl iste med 10 dl vatn. a) Kor mange desiliter ferdigblanda iste fa˚r Lotte? b) Rekn ut forholdet mellom volumet av iste og volumet av vatn.

14

Murar Sand blandar sement og sand i forholdet 1 : 5. Han har 6 skuffer sement i blandemaskinen. a) Kor mange skuffer sand har muraren i blandemaskinen? b) Ein annan gong har muraren 20 skuffer sand i blandemaskinen. Kor mange skuffer sement og sand har han da til saman i blandemaskinen?

Pantheon i Roma (118–125 e.Kr.) har ein sjølvberande kuppel av betong.

15

16

Kva tal manglar i talrekkjene? & a) 1 4 9 b) 1 1 2 3 & c) 1 3 6

& & &

36 & 21

13

Kva for nokre av tala er kvadrattal, og kva for nokre av tala er trekanttal? 16 4 21 25 10 36 6

Tal og talforsta˚ing

31


Noko a˚ lure pa˚ 1

Ei flaske inneheld 6 dl saft. Simen skal blande saft og vatn ved a˚ bruke 1 del saft og 9 delar vatn. Pa˚ flaska sta˚r det at det kan bli 6 liter ferdigblanda saft. Forklar kvifor det er rett.

2

Sja˚ pa˚ utrekningane under. 1 = 13 3 + 5 = 23 7 + 9 + 11 = 33 Korleis held dette mønsteret fram?

3

Avstanden fra˚ jorda til ma˚nen er ca. 380 000 km, og avstanden fra˚ jorda til sola er ca. 150 000 000 km. Diameteren til ma˚nen er ca. 3480 km, og diameteren til sola er ca. 1 400 000 km. Rekn ut forholdet mellom a) avstanden fra˚ jorda til sola og avstanden fra˚ jorda til ma˚nen b) diameteren til ma˚nen og diameteren til sola

Tal og talforsta˚ing

c) Kva har svara i a) og b) a˚ seie for ei solformørking?

32

Solformørking fotografert fra˚ Oslo 31.05.2003


4

5

pffiffiffi Sidene i eit kvadrat er 5 cm. Rekn ut arealet av kvadratet. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pp ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffi Rekn ut 256.

6

Vi veit at 2,5  106 = 2 500 000: Men kva er 2,5  10 -- 6 ?

7

a) Korleis held dette mønsteret fram? 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

b) Kva er det som kjenneteiknar dei tala du finn?

8

Teikn av og plasser tala 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonnar og boksar (2  3) har med desse tala. Det same talet kan ikkje vere med to gonger i ei rad, ein kolonne eller i ein boks.

4 5

3 1 1 4

2 5

2

1 6 3

Sudoku

Tal og talforsta˚ing

33


Oppsummering Potensar Na˚r vi multipliserer tal som er like store, kan vi skrive dei som ein potens. 5  5  5  5  5  5 = 56 x  x  x = x3 Na˚r vi multipliserer potensar med det same grunntalet, blir svaret ein potens med det same grunntalet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentane i dei potensane vi multipliserer. 23  2 4 = 23 + 4 = 27 x3  x2 = x3 + 2 = x5 Na˚r vi dividerer potensar med det same grunntalet, blir svaret ein potens med det same grunntalet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i teljaren minus eksponenten i nemnaren. 56 = 56 -- 2 = 54 52 x 6 : x 2 = x 6 -- 2 = x 4

Tal og talforsta˚ing

Tal pa˚ standardform

34

Vi kan skrive tal pa˚ vanleg form eller pa˚ standardform. Vanleg form: 450 000 000 Standardform: 4,5  108

Kvadrattal Dersom x er eit heilt tal, kallar vi x 2 eit kvadrattal. 5  5 = 52 = 25 25 er eit kvadrattal.

Kvadratrot Kvadratrota av eit tal x er det positive talet som multiplisert med seg sjølv gir talet x. pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5  5 = 25


Rekning med forteiknstal ˚ leggje til eit negativt tal er det same som a˚ trekkje fra˚ det same A positive talet. 10 + ð--7Þ = 10 -- 7 = 3 ˚ trekkje fra˚ eit negativt tal er det same som a˚ leggje til det same positive A talet. 10 -- ð--7Þ = 10 + 7 = 17 Na˚r vi multipliserer eit positivt tal og eit negativt tal, blir svaret eit negativt tal. 25  ð--5Þ = --125 Na˚r vi dividerer eit positivt tal med eit negativt tal, blir svaret eit negativt tal. 25 : ð--5Þ ¼ --5 Na˚r vi multipliserer to negative tal, blir svaret eit positivt tal. --25  ð--5Þ = 125 Na˚r vi dividerer eit negativt tal med eit negativt tal, blir svaret eit positivt tal. --25 : ð--5Þ = 5

Forhold Vi finn forholdet mellom to tal ved a˚ dividere tala med kvarandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5 : 25 = 1 : 5

Trekanttal Vi fa˚r trekanttal ved a˚ summere naturlege tal etter kvarandre fra˚ 1 og oppover. 1+2=3 1+2+3=6

3 er eit trekanttal 6 er eit trekanttal

Tal og talforsta˚ing

35


2xei + xei + 5 = 3xei + 5

2x + x + 5 = 3x+ 5


2 Algebra Det var arabarane som først tok til a˚ rekne med bokstavar. Dei brukte ordet «sai» na˚r dei rekna med ukjende tal. I middelalderen blei mange bøker omsette fra˚ arabisk til spansk av spanske munkar. Dei omsette ordet «sai» med «xei», og etter kvart gjekk ein over til a˚ bruke berre den første bokstaven i ordet «xei», nemleg x, na˚r ein rekna Han bruker x i staden for med ukjende tal. Derfor er det vanleg a˚ bruke den ukjende! bokstaven x na˚r vi reknar med ukjende tal i dag.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . . .

enkle algebraiske uttrykk rekning med parentesar likningar med ein ukjend løysing av ulikskapar praktiske problem med tal og reknemetodar


Bokstavuttrykk

?

Hm, det blir 2x + 7y.

Eg vil gjerne ha to x-ar og sju y-ar.

Kva kallar vi eit rekneuttrykk som har med bokstavar?

Taluttrykk har berre med tal. Uttrykk som har med bokstavar, kallar vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstavane staËšr da i staden for tal. Kvar bokstav kallar vi ein variabel. Ein variabel er noko som varierer, det betyr at han kan ha forskjellige verdiar.

Algebra

2  5 + 7  10 er eit taluttrykk.

38

2x + 7y

er eit bokstavuttrykk.


Eksempel

Familien til Hanna skal pa˚ bilferie. Dei skal køyre y kilometer. Lag eit bokstavuttrykk som viser kilometerutgiftene dersom dei ma˚ rekne med 4 kr per kilometer. Løysing Kilometerutgiftene i kroner blir: 4y

Oppga˚ver 2.1

Forklar forskjellen pa˚ taluttrykk og bokstavuttrykk.

2.2

Kva for nokre av rekneuttrykka er taluttrykk, og kva for nokre er bokstavuttrykk? A 235 -- 34 B 3x  5 C 15 -- y D 2ð5 + 4Þ

2.3

I ein kiosk kostar ein brus 15 kr og eit skolebrød 9 kr. Sara handlar 3 flasker brus og 2 skolebrød. Kva for eit av taluttrykka viser kor mykje Sara ma˚ betale? A 15 + 3 + 9 + 2 C 15  3  9  2 B 15  3 + 9 + 2 D 15  3 + 9  2

2.4

Skriv eit bokstavuttrykk som viser a) x multiplisert med 3 b) summen av 2x og 3y c) differansen mellom 2x og 3

2.5

Lotte kjøper sma˚godt til 99 kr per kg. Lag eit bokstavuttrykk som viser kor mykje Lotte ma˚ betale for x kg.

2.6

Sara les n blad kvar veke. Kva for eit av desse rekneuttrykka sta˚r for kor mange blad Sara les pa˚ 6 veker? A 6n B 6+n C n -- 6 D n + n6

Algebra

39


2.7

Herman syklar 2 km kvar veg til skolen. Han syklar i x dagar. Kva sta˚r bokstavuttrykket 4x for?

2.8

Lag eit bokstavuttrykk som viser kva som finst i sirkelen.

x

x

x y

z x

z y

z x

2.9

x

y

z z

Lag eit bokstavuttrykk som viser omkrinsen av figurane. a) b) c) b

a

2b

b a

a b

a

a b

Algebra

2.10 Lag eit bokstavuttrykk som viser kor mykje Simen ma˚ betale for x liter mjølk, y liter jus og z liter brus.

40

2.11 Martin sym to gonger i veka. Prisen for buss tur–retur symjehallen er 42 kr, og det kostar 25 kr i inngangspengar. Lag eit bokstavuttrykk som viser kor mykje Martin ma˚ betale for n veker med symjing.


Setje tal inn i bokstavuttrykk Vi reknar ut verdien av eit bokstavuttrykk ved a˚ setje inn verdien til variablane.

2x + 7y = ?

Kva blir svaret na˚r x = 4 og y = 2?

Dersom x = 4 og y = 2 i bokstavuttrykket 2x + 7y, set vi inn verdien til variablane og reknar ut. 2x + 7y = 2  4 + 7  2 = 8 + 14 = 22 Eksempel

Rekn ut 3a + 2b n˚ar a = 5 og b = 6 Løysing 3a + 2b = 3  5 + 2  6 = 15 + 12 = 27

Oppga˚ver 2.12 Set inn x = 8 og y = 7. Rekn ut. a) x + y b) 2x + 6y

c) 4y – 4x

d) 4x + 3y

Algebra

41


2.13 a) Lag eit bokstavuttrykk for omkrinsen av figuren. b) Rekn ut omkrinsen av figuren na˚r 1 a = 2, b = 3 og c = 1 2 a = 4, b = 6 og c = 2 a 3 a = 8, b = 12 og c = 4

c

b

2.14 Sara er x a˚r eldre enn Aurora, som er 13 a˚r. a) Skriv eit bokstavuttrykk som viser kor gammal Sara er. b) Kor gammal er Sara dersom x = 4? 2.15 Rekn ut omkrinsen (O) av figurane na˚r a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, d = 4 cm, g = 4 cm og h = 3 cm . a) O = 2a + 2b b) O = d c) O = g + h + c

d

a

c h

b g

2.16 Set inn x = 3, y = 4 og z = 2. Rekn ut. y 4x 2x + y b) a) c) z y z

d)

2x + 2y x z

Rekning med bokstavuttrykk Vi kan rekne med variablar pa˚ den same ma˚ten som vi reknar med tal. Vi veit at

Algebra

2 + 2 + 2 = 32 6 + 6 + 6 = 36

42

Pa˚ same ma˚ten er x + x + x = 3x a + a + a = 3a 3  a = 3a

Hugs! Vi sløyfar gongeteiknet mellom tal og bokstavar (variablar).


Na˚r vi har bokstavuttrykk med fleire variablar, trekkjer vi saman ledd med for eksempel x og y kvar for seg.

4x + 2y -- 2x + 3y = 4x -- 2x + 2y + 3y = 2x + 5y

Vi ordnar bokstavledda i svaret etter alfabetet.

Regel

Na˚r vi skal trekkje saman eit bokstavuttrykk, adderer eller subtraherer vi ledd med like variablar.

Eksempel

Rekn ut. a) 7y + 3y – y b) 4a + 6b – 2a + 3b Løysing a) 7y + 3y – y = 9y b) 4a + 6b – 2a + 3b = 4a – 2a + 6b + 3b = 2a + 9b

Oppga˚ver 2.17 Rekn ut. a) x + x + x + x b) b + b + b

c) a + a + a + a d) xy + xy + xy

2.18 Rekn ut. a) 2b + 2b b) 4x + 7x

c) 11a – 7a d) 4y + 2y + 3y

2.19 Rekn ut. a) x + y + 3x + 5y b) 5b + 2a + 4a – 2b

c) 3ab – 2ab + 3ab + 3ab d) 3a + 4b + 4a – 6b

Algebra

43


Potensar og bokstavuttrykk Pa˚ same ma˚ten som vi kan skrive tal som ein potens, kan vi ogsa˚ gjere det med variablar. 4  4  4 = 43 x  x  x = x3 Vi multipliserer og dividerer potensar med same variabel pa˚ same ma˚ten som med tal. 53  5 4 = 53 + 4 = 57 a3  a4 = a3 + 4 = a7 76 : 74 = 76 -- 4 = 72 y 6 : y 4 = y 6 -- 4 = y 2 Eksempel

Rekn ut. a) a6  a2 b) 2y 3  3y 2 c) x 7 : x 5

d) ab  ab e) 2x 3 + x + x

Løysing a) a6  a2 = a6 + 2 = a8

d) ab  ab = ðabÞ2

b) 2y 3  3y 2 = 2  3  y 3 + 2 = 6y 5

e) 2x 3 + x + x = 2x 3 + 2x

c) x 7 : x 5 = x 7 -- 5 = x 2

(ab )² =

Algebra

Oppga˚ver

44

a²b ²

2.20 Rekn ut og skriv svaret som potens. a) y  y b) a  a  a  a c) x  x  x  x  x  x d) ab  ab  ab 2.21 Rekn ut og skriv svaret som potens. b) a2  a8 c) b4  b3  b2 a) y 4  y 3

d) x  x 6  x 3

2.22 Rekn ut og skriv svaret som potens. c) y 5 : y 5 a) a4 : a2 b) x 8 : x 4

d) ð2aÞ9 : ð2aÞ5


2.23 Rekn ut. a) 3b  5b b) 3x 2  5x 3

c) 7ðabÞ2  8ab d) 3x  2x 2  4x 3

x ¹= x¹ˉ¹ = x˚ =1 x¹

2.24 Trekk saman. a) y 4 + y 2 + y 2 b) 3x -- 2x 2 + x þ 2x 2 c) 3a + 3a2 + a -- 2a2 d) 3x + 2x 2 + 4x 3 2.25 Rekn ut. a) 2ab  6ab b) 4b : 4b

c) 5z 2  4yz 3 d) 3y  x 4  3y 3  2x 5

Parentesar og bokstavuttrykk Na˚r vi skal trekkje saman bokstavuttrykk som inneheld parentesar, løyser vi opp parentesane pa˚ denne ma˚ten: +ð4x + 3xÞ = 4x + 3x = 7x +ð4x -- 3xÞ = 4x -- 3x = x --ð4x + 3xÞ = --4x -- 3x = --7x --ð4x -- 3xÞ = --4x + 3x = --x Legg merke til at vi byter forteikn i parentesen na˚r det sta˚r eit minusteikn framfor. Regel

Na˚r vi løyser opp parentesar med plussteikn framfor, endrar vi ikkje forteikna i parentesen. Na˚r vi løyser opp parentesar med minusteikn framfor, endrar vi forteiknet framfor alle ledda inne i parentesen. Dersom det sta˚r eit tal eller bokstavuttrykk framfor parentesen, multipliserer vi dette med kvart ledd inne i parentesen. Dersom talet eller bokstavuttrykket er negativt, ma˚ vi ogsa˚ endre forteikn.

Algebra

45


5ð2a + 4aÞ = 5  2a + 5  4a = 10a + 20a = 30a --5ð2a + 4aÞ = --5  2a -- 5  4a = --10a -- 20a = --30a Regel

Vi multipliserer eit tal eller bokstavuttrykk med ein parentes ved a˚ multiplisere med kvart ledd inne i parentesen. Dersom talet eller bokstavuttrykket er negativt, ma˚ vi ogsa˚ endre forteikn.

Eksempel

Rekn ut. Skriv svaret sa˚ enkelt som mogleg. a) -- ð3a -- aÞ b) 4xð2x--3Þ c) --2að2a--3aÞ Løysing a) --ð3a -- aÞ = --3a + a = --2a b) 4xð2x -- 3Þ = 4x  2x -- 4x  3 = 8x 2 -- 12x c) --2að2a -- 3aÞ = --2a  2a -- 2a  ð--3aÞ = --4a2 + 6a2 = 2a2 Oppga˚ver 2.26 Løys opp parentesane og rekn ut. a) +ð3x + 4xÞ c) --ð4y + 4yÞ b) +ð5a -- 3aÞ d) --ð--4b -- 2bÞ 2.27 Løys opp parentesane og rekn ut. a) 2ða + bÞ c) --3ð2 + xÞ b) 4ð2x -- yÞ d) --4ða + bÞ

Algebra

2.28 Løys opp parentesane og rekn ut. a) 3að2a + aÞ c) --xðx + 2Þ b) 2xð3x -- 2xÞ d) --3aða -- 3aÞ

46

2.29 Løys opp parentesane og rekn ut. a) 3ð5 + 6Þ + 4ð2 -- 5Þ b) 2að3 -- 5Þ -- 3að2 + 3Þ c) 3xð2x + 4xÞ + 2xðx + 3xÞ d) --að--4 -- 5aÞ -- 3að2 + aÞ

Vi skriv bokstavuttrykk før taluttrykk i svaret.

2+a

=a

+2


Likningar

?

Lurer pa˚ kva x kan vere ...

Korleis løyser vi likninga 2x = 9? Vi kan løyse likningar ved a˚ leggje til eller trekkje fra˚ like mykje pa˚ kvar side av likskapsteiknet. Vi kan ogsa˚ multiplisere eller dividere alle ledda med det same talet. Na˚r vi løyser ei likning, vil vi vanlegvis at den ukjende skal sta˚ aleine pa˚ venstre side av likskapsteiknet, men den ukjende kan ogsa˚ sta˚ aleine pa˚ høgre side. Vi bruker ofte x for den ukjende i ei likning, men vi kan ogsa˚ bruke andre bokstavar, som for eksempel a, t eller y. Regel

Vi kan løyse ei likning ved a˚ leggje til eller trekkje fra˚ det same talet pa˚ begge sider av likskapsteiknet. Vi kan ogsa˚ løyse ei likning ved a˚ multiplisere eller dividere alle ledda med det same talet.

Algebra

47


Eksempel

Løys likningane. a) 7 + x = 12

c) 3x = 18 z d) =8 12

b) 15 = a -- 6 Løysing a) 7 + x = 12 7 + x -- 7 = 12 -- 7 x=5 b)

15 = a -- 6 15 + 6 = a -- 6 + 6 21 = a a = 21

c)

d)

Trekkjer fra˚ 7 pa˚ begge sider

Legg til 6 pa˚ begge sider Ettersom 21 = a, er ogs˚a a = 21

3x = 18 3x 18 = 3 3 x=6

Dividerer alle ledda med 3

z =8 12

z  12 = 8  12 12 z = 96

Multipliserer alle ledda med 12

Algebra

Oppga˚ver

48

2.30 Løys likningane. a) x + 3 = 13 b) x – 5 = 17

c) 56 = x – 22

d) 11 = x + 7

2.31 Løys likningane. a) 2x = 42 b) 7x = 28

c) 3a = 15

d) 100 = 5x

2.32 Løys likningane. x x b) = 3 a) = 6 7 5

c) 12 =

x 2

d)

a = 10 12


2.33 Løys likningane. a) 9 = 3 -- x

b) 2x + x = 12

c)

3x =6 2

d) 3x =

3 2

Hugs! Likninga ma˚ alltid balansere!

Addere og subtrahere med x Vi kan leggje til og trekkje fra˚ det same talet eller bokstavuttrykket pa˚ begge sider av likskapsteiknet i ei likning. Vi løyser likninga 2x = 9 + x slik: 2x = 9 + x 2x -- x = 9 + x -- x x=9

Trekkjer fra˚ x pa˚ begge sider

Eksempel

Løys likningane. a) 4x = 3x + 9 b) x = 10 -- 4x Løysing a) 4x 4x -- 3x 1x x

= = = =

3x + 9 3x + 9 -- 3x 9 9

Trekkjer fra˚ 3x pa˚ begge sider

Algebra

49


b)

x = 10 -- 4x

x + 4x 5x 5x 5 x

= 10 -- 4x + 4x = 10 10 = 5 =2

Legg til 4x pa˚ begge sider

Dividerer alle ledda med 5

Oppga˚ver 2.34 Løys likningane. a) 2x = 9 + x b) 5x = 15 + 2x c) 3x = 12 – x 2.35 Løys likningane. a) 2x – 4 = 11 – 3x b) 7x + 6 = 12 + 3x

c) 8 + 6x = 3x + 20 d) –7x – 6 = –6x – 5

2.36 Løys likningane. a) 4ðx -- 3Þ = 8 b) xð2 + 3Þ = 10

c) 3ð2 + xÞ = 4ðx -- 3Þ d) 2ðx + 5Þ -- 3ðx -- 2Þ = 4x -- 4

Multiplisere med x Pa˚ den same ma˚ten som vi kan multiplisere alle ledda i ei likning med tal, kan vi ogsa˚ multiplisere alle ledda med ein variabel (bokstav). For a˚ løyse likninga 2 =

4 ma˚ vi «fjerne» x

4 x i nemnaren i brøken . Det gjer vi ved x a˚ multiplisere alle ledda med x.

Algebra

2=

50

d) x – 8 = –3x

2x =

4 x 4 x x

2x 4 = 2 2 x=2

Multipliserer alle ledda med x Dividerer alle ledda med 2


Dersom likninga er sett saman av fleire ledd, ma˚ vi hugse pa˚ a˚ multiplisere eller dividere alle ledda med det same talet eller det same bokstavuttrykket.

Hugs! Vi skil ledda fra˚ kvarandre med teikna + tegn og – tegn.

3+ x 3 =9–x

Regel

Vi kan løyse ei likning ved a˚ addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med det same talet eller bokstavuttrykket pa˚ begge sidene av likskapsteiknet.

Eksempel

Løys likningane. 9 a) = 3 x

b)

4x =8+x 3

Løysing a) 9 =3 x 9  x = 3 x x 9 3x = 3 3

Multipliserer alle ledda med x Dividerer alle ledda med 3

3=x x=3 b) 4x =8+x 3 4x 3 3 4x 4x -- 3x 1x x

= 8 3 + x 3 = = = =

24 + 3x 24 + 3x -- 3x 24 24

Multipliserer alle ledda med 3

Trekkjer fra˚ 3x pa˚ begge sider

Algebra

51


Oppga˚ver 2.37 Løys likningane. x 2 b) = 4 a) = 4 2 x 2.38 Løys likningane. x 15 b) = 100 =3 a) 5 x 2.39 Løys likningane. 4 3 b) + 4 = 2 a) 6 + = 9 x x

c) 6 =

3 x

d)

4x =8 2

c) 4 =

24 2x

d)

5x = 25 2

c) 3 +

x x x = 9 -- x d) + x = + 3 3 4 2

Kvadratiske likningar Hm, denne likninga har to løysingar ...

x ² = 16

Algebra

Likningar av typen x 2 = 16 kallar vi kvadratiske likningar. Ettersom ba˚de 42 og ð--4Þ2 er lik 16, sa˚ vil ba˚de x = 4 og x = –4 vere løysinga pa˚ likninga x 2 = 16:

52

Det vil altsa˚ seie at x = 4 og x = –4 er løysinga pa˚ likninga x 2 = 16: Regel

Kvadratiske likningar har alltid to løysingar.


Eksempel

Løys likningane. a) x 2 = 25 Løysing a) x 2 = 25 pffiffiffiffiffi x = 25 og x=5

og

b) x 2 + 5 = 55

pffiffiffiffiffi x = -- 25 x = --5

b) x 2 + 5 = 55 x 2 + 5 -- 5 = 55 -- 5

Trekkjer fra˚ 5 pa˚ begge sider

2

x = 50 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 50 og x = -- 50 x  7,07 og x  --7,07

Oppga˚ver 2.40 Løys likningane. c) x 2 = 36 a) x 2 = 16 b) x 2 = 4 d) x 2 = 64

For a˚ finne kvadratrota av eit tal bruker eg som regel kalkulatoren!

2.41 Løys likningane. a) x 2 = 62 c) x 2 = 121 b) x 2 = 9,5 d) x 2 = 30,25 2.42 Løys likningane. a) x 2 + 4 = 40 c) x 2 + 17 = 66 b) x 2 -- 5 = 76 d) 78 = x 2 -- 67 2.43 Løys likningane. a) 2x 2 = 50 b) 3x 2 -- 5 = 28

c) 4x 2 + 3 = 9 d) 5x 2 -- 7 = 3x 2 + 11

Algebra

53


˚ setje prøve pa˚ likningar A Vi kan setje prøve pa˚ ei likning ved a˚ undersøkje om den venstre og den høgre sida av likninga har den same verdien. Vi set da inn verdien for x og reknar ut venstre og høgre side av likninga kvar for seg. Eg trur svaret blir 6! Er du heilt sikker?

5x =4+x 3

Venstre side:

Høgre side:

5x 3 56 3 30 3 10

4+x 4+6 10

Algebra

Verdien av venstre side er lik verdien av høgre side. x = 6 er derfor ei rett løysing.

54

Oppga˚ver 2.44 Kva for ei av likningane gir x = 6 til svar? A 45 = 2x B 3x = 18 C 21 = 4x 2.45 Løys likningane og set prøve pa˚ svaret. a) 7x = 42 b) 5x = 50 c) 64 = 4x 2

d) x 2 + 4 = 125


2.46 Løys likningane og set prøve pa˚ svaret. x a) 2x – 3 = x c) = 7 6 b) 2 -- 3x = 8 -- 5x d) 2x 2 -- 5 = x 2 + 31 2.47 Løys likningane og set prøve pa˚ svaret. x 7x a) + 5 = 9 -- 3x b) + x = 30 2 3

c) 3x 2 + 8 = 2x 2 + 152

Problemløysing og likningar Vi kan løyse mange ulike problem ved hjelp av likningar. Av og til kan det vere lurt a˚ lage ein hjelpefigur. Omkrinsen av den likebeinte trekanten er 30 cm.

Kor lange er sidene?

2x

2x

x

I ein likebeint trekant er dei lengste sidene dobbelt sa˚ lange som den korte. Vi kallar den korte sida for x. Dei lange sidene blir da 2x. Vi fa˚r likninga 2x + 2x + x = 30, der x er den korte sida. 2x + 2x + x = 30 5x = 30 5x 30 = 5 5 x=6

Algebra

55


Dei lange sidene finn vi slik: 2x = 2  6 = 12 Dei lange sidene er 12 cm, og den korte sida er 6 cm. Vi kan kontrollere svaret slik: Omkrinsen er 12 cm + 12 cm + 6 cm = 30 cm Oppga˚ver 2.48 I eit rektangel er lengda dobbelt sa˚ stor som breidda. Omkrinsen av rektangelet er 42 cm. a) Kall breidda for x cm, og set opp ei likning. b) Kor lange er sidene i rektangelet? 2.49 Du trekkjer 23 fra˚ eit ukjent tal og fa˚r 71 til svar. a) Kall det ukjende talet for x, og set opp likninga. b) Løys likninga. 2.50 Hanna kjøper 5 pizzaer og 10 brus til ein klassefest. Det kostar til saman 650 kr. Kor mykje kostar ein pizza dersom brusen kostar 18 kr per flaske? Løys oppga˚va ved hjelp av likning.

Algebra

2.51 Hanna og Herman vil dele ein pose med 47 karamellar slik at Hanna fa˚r 11 karamellar meir enn Herman. Kor mange karamellar fa˚r kvar av dei? Løys oppga˚va ved hjelp av likning.

56

2.52 Simen har to sysken som heiter Tone og Espen. Espen er to a˚r eldre enn Simen, mens Tone er dobbelt sa˚ gammal som Simen. Til saman er dei 54 a˚r. Kor gammal er kvar av dei?


Ulikskapar

?

Eg er 13 a˚r og større enn deg.

Ja, eg er berre 8 a˚r og mindre enn deg.

Korleis kan vi lage eit uttrykk som viser aldersforskjellen? Vi bruker symbola < (mindre enn) og > (større enn) for a˚ vise ulikskapar. Vi skriv 13 > 8

13 er større enn 8

8 < 13

8 er mindre enn 13

Vi kan leggje til eller trekkje fra˚ like mykje pa˚ kvar side i ein ulikskap, som for eksempel: 13 > 8 13 + 3 > 8 + 3 16 > 11

Legg til 3 pa˚ begge sider

16 > 11 16 -- 3 > 11 -- 3 13 > 8

Trekkjer fra˚ 3 pa˚ begge sider

Algebra

57


Eksempel

Løys ulikskapen. x +4<8 Løysing x +4<8 x + 4 -- 4 < 8 -- 4 x<4

Trekkjer fra˚ 4 pa˚ begge sider

Oppga˚ver 2.53 Løys ulikskapane. a) x + 3 < 9 b) x + 7 < 12

c) x -- 5 < 5

d) x + 3 > 11

2.54 Løys ulikskapane. a) x + 1,5 < 6,5 b) x + 3,5 > 6

c) --2,5 + x < 4

d) x + 11 > 3

2.55 Løys ulikskapane. a) 2x + 2 < x + 8 b) 3x + 5,5 > 2x + 6,5

c) --2,5 -- 5x < 3,5 -- 6x

Vi kallar uttrykket for ein ulikskap.

Algebra

6> 3

58


Prøv deg sjølv 1

Kva er forskjellen pa˚ eit taluttrykk og eit bokstavuttrykk?

2

a) Lag eit bokstavuttrykk som viser omkrinsen av figuren. b a b

a c c

b) Hanna kjøper kjøttdeig til 69 kr/kg. Lag eit bokstavuttrykk som viser kor mykje Hanna ma˚ betale for x kg. 3

4

5

6

7

8

9

Skriv sa˚ enkelt som mogleg. a) z + z + z + z b) 6a + 5a

c) 2r + 4r – r

d) 7y + 2x – 3x + y

Set inn x = 3 og y = 5 og rekn ut. a) 2x + 3y b) x + y c) 3x + 2y

d) x  2y

Skriv som potens. a) a  a  a b) x  x  x  x  x

c) z  z

d) 2b  2b  2b  2b

c) x 7 : x 2

d) 3a3  2a4

Rekn ut. a) x 3 + x 3 b) a4 + a4

c) 2x 5 + 2x 5 d) 2y 2 + y 3

Rekn ut. a) a4  a3

b) x 3  x 3

Løys opp parentesane og rekn ut. a) 3ðx -- 5Þ b) 3ð4a + 3aÞ c) --ð4x + 3xÞ

d) --ð2x -- 5xÞ

Løys likningane. a) 42 = 13 + x b) a – 9 = 0

d) 22 + 2 = 14 + x

c) x – 12 = 12

Algebra

59


10

11

12

Løys likningane. a) 2x = 16 b) 35 = 5x

Løys likningane. 3 a) 1 = x b) 4x -- 2 = 3x + 4

b) x 2 = 64

Algebra

x =4 4

d)

3x = 15 2

c) --x + 2 = 3x -- 8 x d) 3x = + 15 2

Løys likningane. a) x 2 = 49

60

c)

8 x 2 d) 3x + 3 = x 2 + 27

c) 2x =

13

Set prøve og vis kva for nokre av likningane som har løysinga x = 4. 4 A 6x = 24 B x 2 + 2 = 18 C =2 x

14

Fra˚ vasskrana pa˚ badet kjem 20 liter vatn pa˚ eitt minutt. Kor lang tid vil du bruke pa˚ a˚ fylle heile badekaret dersom det rommar 200 liter? Set opp som ei likning og finn svaret.

15

Løys ulikskapane. a) 9 + x > 10 b) x -- 50 < 145 c) x -- 8 > 2

d) x + 60 > 200


Noko a˚ lure pa˚ 1

Matematikkgeniet Carl Friedrich Gauss (1777–1855) fann i ung alder ein formel for a˚ summere dei hundre første naturlege tala. Summen blir 5050, men kva er formelen?

Kva blir summen av dei ti første naturlege tala?

Carl Friedrich Gauss

2

Sara har like mange 10-kronestykke som Martin har 5-kronestykke. 10-kronestykka til Sara er verdt 75 kr meir enn 5-kronestykka til Martin. Kor mange kroner har dei til saman?

3

Ein blome med potte kostar 260 kr. Blomen kostar 190 kr meir enn potta. Kor mykje kostar blomen, og kor mykje kostar potta? Set opp ei likning og finn svaret.

Algebra

61


Gullbarre

4

Ein gullbarre veg 4,5 kg meir enn ein sølvbarre. Seks gullbarrar og to sølvbarrar veg like mykje som tre gullbarrar og seks sølvbarrar. Kor mykje veg e´in gullbarre, og kor mykje veg e´in sølvbarre?

5

Her ser du ei vekt som er i balanse. Kva for nokre av tala skal sta˚ i staden for x og y?

Algebra

x

62

y 2kg


Oppsummering Bokstavuttrykk Rekneuttrykk som har med bokstavar, kallar vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven sta˚r da i staden for kva tal som helst. Bokstaven kallar vi ein variabel. A = gh O = 2a + 2b

Setje inn tal i bokstavuttrykk Vi finn verdien av eit bokstavuttrykk ved a˚ setje inn tal for variablane og rekne ut uttrykket som eit taluttrykk. Dersom vi set at a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b fa˚r vi: 2a + 2b = 2  4 + 2  6 = 8 + 12 = 20

Rekning med bokstavuttrykk Na˚r vi reknar med bokstavuttrykk, kan vi berre trekkje saman ledd som har den same variabelen. Dersom vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med kvarandre, multipliserer eller dividerer vi tal med tal og bokstavledd med bokstavledd. 5a + 3b + 2a -- 2b = 7a + b 3x  5y = 15xy 3a2  2a3 = 6a5 x7 : x3 = x4

Bokstavuttrykk og parentesar Na˚r vi løyser opp ein parentes med plussteikn framfor, endrar vi ikkje forteikna inne i parentesen. Vi løyser opp ein parentes med minusteikn framfor ved a˚ endre forteikna pa˚ alle ledda inne i parentesen. 4x + ð2x + 3Þ = 4x + 2x + 3 = 6x + 3 6x -- ð3x -- yÞ = 6x -- 3x + y = 3x + y

Algebra

63


Dersom det sta˚r eit tal eller eit bokstavuttrykk framfor parentesen, multipliserer vi talet eller bokstavuttrykket med alle ledda inne i parentesen. Dersom talet eller bokstavuttrykket er negativt, ma˚ vi byte forteikn pa˚ alle ledda inne i parentesen. 2xð5 + 7Þ = 2x  5 + 2x  7 = 10x + 14x = 24x --2xð5 -- 7Þ = --2x  5 -- 2x  ð--7Þ = --10x + 14x = 4x

Likningar Vi kan leggje til eller trekkje fra˚ det same talet eller det same bokstavuttrykket pa˚ begge sider av likskapsteiknet i ei likning. Vi kan ogsa˚ multiplisere eller dividere alle ledda i ei likning med det same talet eller det same bokstavuttrykket. 6= 6x = 6x 6x -- 4x 2x 2 x

= = = =

4 +4 x 4 x + 4x x 4 + 4x 4 + 4x -- 4x 4 2 2

Likningar av typen x 2 = 25 kallar vi kvadratiske likningar. Kvadratiske likningar har alltid to løysingar. x 2 = 25 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 25 og x = -- 25

Algebra

x=5

64

og x = --5


˚ setje prøve pa˚ likningar A Vi set prøve pa˚ ei likning ved a˚ setje inn verdien for den ukjende og undersøkje om venstre og høgre side av likskapsteiknet fa˚r den same verdien. 3x + 4 = 8 + 2x 3x -- 2x = 8 -- 4 x=4

Prøve: Venstre side:

Høgre side:

3x + 4 34 + 4 12 + 4 16

8 + 2x 8 + 24 8+8 16

Verdien av venstre side er lik verdien av høgre side. x = 4 er derfor rett løysing.

Ulikskapar Vi løyser ulikskapar ved a˚ leggje til eller trekkje fra˚ det same talet pa˚ begge sidene av ulikskapsteiknet. Symbolet < betyr mindre enn, og symbolet > betyr større enn. x + 4 < 12 x + 4 -- 4 < 12 -- 4 x<8 x er mindre enn 8

Algebra

65


Kongen skal ha betaling for kvadrata dine!

Slapp av, eg maË&#x161;ler saË&#x161; fort eg kan ...


3 Geometri Vi bruker geometri for a˚ beskrive figurar eller former. Ordet geometri stammar fra˚ den tida da egyptarane og babylonarane trong ein reiskap for a˚ rekne ut storleiken pa˚ jordeigedommane sine. Ei av dei første skildringane av geometri vi veit om, stammar fra˚ Herodot. Han levde om lag 500 a˚r f.Kr. Han skriv: «Dei som a˚tte land i Egypt, ma˚tte betale ein a˚rleg skatt til kong Sesostris ut fra˚ kor mykje land dei a˚tte.» Ordet geometri betyr jordma˚ling eller ma˚ling av jord.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . . . .

eigenskapar ved samansette todimensjonale figurar konstruksjon av ulike geometriske figurar omkrins, areal og vinklar talet  i utrekningar utrekningar ved hjelp av Pytagoras teknologi, kunst og arkitektur

Kva er det dei driv med?


Mangekantar

? Kva kjenneteiknar figurane pa˚ tavla?

Vi finn vinkelsummen i ein trekant ved først a˚ ma˚le vinklane og deretter a˚ summere dei. C

A+

B+

C = 180

45 + 45 + 90 = 180 45°

45°

A

B

Regel

Vinkelsummen i ein trekant er 180 . Vi kan dele ein firkant i to trekantar.

Geometri

y

68

z

I kvar trekant er det tre vinklar. Vinkelsummen blir: u+

v+

w+

x+

y+

z = 360

x u

180

180

w

v


Ettersom ein firkant alltid er sett saman av to trekantar, blir vinkelsummen i ein firkant 360 .

Regel

Vinkelsummen i ein firkant er 360 . Na˚r du skal finne vinkelsummen i andre mangekantar, kan du dele opp mangekantane i trekantar ved a˚ trekkje diagonalar fra˚ eitt hjørne. I ein sjukant vil du fa˚ fem trekantar, og vinkelsummen blir da 5  180 = 900 . Oppga˚ver 3.1

3.2

Finn vinkelsummen i ein a) femkant b) sekskant

c) tikant

Kor store er vinklane som manglar? a) c) 155°

76°

86°

105°

35°

b)

d) 93°

123° 115°

96°

145° 205° 190°

84°

3.3

48°

Vi bruker ofte nemninga n-kant for ein mangekant na˚r vi ikkje veit kor mange sider (n) han har. Kan du lage ein formel for vinkelsummen i ein n-kant?

Geometri

69


Regulære mangekantar Ein regulær mangekant er ein mangekant der sidene er like lange og vinklane like store. Sidene er like lange, og vinklane er like store.

C 3 cm

60° 60°

A

3 cm

60°

3 cm

B

To eksempel pa˚ regulære mangekantar er ein likesida trekant og eit kvadrat.

60°

60°

60°

Geometri

I ein regulær trekant er alle vinklane lik 60 . I ein regulær firkant er alle vinklane lik 90 . I begge figurane er alle sidene like lange.

70

Regel

I regulære mangekantar er sidene like lange og vinklane like store.


Eksempel

Kor store er vinklane i ein regulær femkant? Løysing Ein femkant er sett saman av tre trekantar. Vinkelsummen blir da: 3  180 = 540 Det er fem vinklar i en femkant. Kvar vinkel blir da: 540 : 5 = 108

Oppga˚ver 3.4

Kor store er vinklane i desse regulære mangekantane? a) c)

b)

3.5

Kor store er vinklane i ein regulær a) tikant b) tolvkant

c) hundrekant

Geometri

71


Omkrins og areal av mangekantar

?

Kor stort areal ma˚ eg klippe?

Kor stor er omkrinsen av grasplenen?

Korleis reknar vi ut omkrinsen og arealet av ein mangekant?

Rektangel I eit rektangel er alle vinklane 90 , og dei motsta˚ande sidene er like lange og parallelle. Omkrinsen av rektangelet er O = 3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm = 10 cm Arealet av rektangelet er

2 cm 3 cm

2

A = 3 cm  2 cm = 6 cm

Geometri

Regel

72

Vi finn omkrinsen av eit rektangel ved a˚ summere alle sidene. O = 2l + 2b Vi finn arealet A av eit rektangel ved a˚ multiplisere lengda (l) med breidda (b). A = lb


Eksempel

Rekn ut omkrinsen og arealet av rektangelet.

2 cm 8 cm

Løysing Omkrins: O = 2l + 2b O = 2  8 cm + 2  2 cm O = 16 cm + 4 cm O = 20 cm

Areal: A = lb A = 8 cm  2 cm A = 16 cm2

Oppga˚ver 3.6

Rekn ut omkrinsen og arealet av rektangla. a) c)

4 cm 5,5 cm

5 cm

b) 3,5 cm 3 cm

6 cm

3.7

Rekn ut omkrinsen og arealet av rektangla na˚r a) lengda er 10 m og breidda 8 m b) lengda er 25 cm og breidda 12 cm c) lengda er 12,5 dm og breidda 8,5 dm

Geometri

73


3.8

Finn omkrinsen og arealet av jordstykka. a)

Hugs! Gjer om til same nemning før du reknar ut!

b)

1500 m 2,5 km

1,5 mil

12 km

Geometri

3.9

74

Den vestre rullebanen pa˚ Oslo lufthamn Gardermoen er 3600 m lang og 60 m brei. a) Kva er arealet av rullebanen? b) Kor mykje kostar det a˚ asfaltere rullebanen na˚r asfalten kostar 550 kr per kvadratmeter?

Den første offisielle landinga pa˚ Gardermoen flyplass blei gjort av eit av Herkules-flya til Forsvaret 08.10.1997.


Parallellogram I eit parallellogram er dei motsta˚ande sidene parallelle. Vi finn omkrinsen av eit parallellogram ved a˚ leggje saman alle sidene. O = 2  4 cm + 2  3 cm = 14 cm

2 cm

3 cm

4 cm

Dersom vi klipper ut det eine hjørnet av eit parallellogram og plasserer det pa˚ den andre sida, fa˚r vi eit rektangel.

2 cm

4 cm

2 cm

3 cm

4 cm

Grunnlinja i parallellogrammet er like lang som lengda av rektangelet. Høgda i parallellogrammet er like lang som breidda i rektangelet. Vi finn derfor arealet av parallellogrammet ved a˚ multiplisere grunnlinja med høgda. A = 4 cm  2 cm = 8 cm2 Regel

Vi finn omkrinsen O av eit parallellogram ved a˚ summere alle sidene. O = 2l + 2b Vi finn arealet A av eit parallellogram ved a˚ multiplisere grunnlinja med høgda. A = gh

Geometri

75


Eksempel

Rekn ut omkrinsen og arealet av parallellogrammet.

5 cm

4 cm Hugs! Høgda sta˚r alltid vinkelrett pa˚ grunnlinja.

6 cm

Løysing Omkrins: O = 2  6 cm + 2  5 cm O = 12 cm + 10 cm O = 22 cm

Areal: A = gh A = 6 cm  4 cm A = 24 cm2

Oppga˚ver 3.10 Rekn ut omkrinsen og arealet av parallellogramma. a)

4 cm

3 cm

8 cm

Geometri

b)

76

70 mm

5 cm

1 dm


3.11 Eit parallellogram har sider pa˚ 10 cm og 6 cm. Avstanden mellom dei to lengste sidene er 5 cm. a) Teikn parallellogrammet. b) Rekn ut omkrinsen. c) Rekn ut arealet. 3.12 Eit parallellogram der alle sidene er like lange, kallar vi ein rombe. a) Teikn en rombe ABCD der sidene AB og AD er 8 cm og avstanden (h) mellom sidene er 6 cm. b) Rekn ut omkrinsen av romben. c) Rekn ut arealet av romben.

Trekantar Dersom vi set saman to like trekantar, fa˚r vi eit parallellogram.

h g

h g

Grunnlinja til parallellogrammet er den same som grunnlinja til trekanten. Det same gjeld for høgda. Arealet til parallellogrammet er: A = gh

Hugs! Høgda sta˚r alltid vinkelrett pa˚ grunnlinja.

Da ma˚ arealet til trekanten vere: A=

gh 2

Geometri

77


Regel

Vi finn omkrinsen av ein trekant ved a˚ summere alle sidene. O = AB + BC + CA

h

Vi finn arealet av ein trekant ved a˚ multiplisere grunnlinja med høgda og dividere pa˚ 2. A=

A

gh 2

Eksempel

Rekn ut omkrinsen og arealet av trekanten.

5,0 cm

3,6 cm 3,0 cm

6,0 cm

Løysing Omkrins: O = 6,0 cm + 3,6 cm + 5,0 cm O = 14,6 cm

Geometri

Areal:

78

C

A=

gh 2

A=

6,0 cm  3,0 cm 18,0 cm2 = 9,0 cm2 = 2 2

g

B


OppgaË&#x161;ver 3.13 Rekn ut omkrinsen og arealet av trekantane. a) c)

5 cm

4 cm

6,7 cm 4,5 cm

4,7 cm

6,5 cm

3 cm

b)

d)

6,0 cm 7 cm

7 cm

5,0 cm 4,0 cm

6 cm

7,5 cm

7 cm

3.14 Rekn ut arealet av a) parallellogrammet b) trekantane ABD og BCD D

C

4 cm

A

8 cm

B

Geometri

79


3.15 Rekn ut arealet av segla.

6m 2m

3m

3.16 Alle rektangla under er like store og med sidene a og b. Kva for ein av pa˚standane er rett? Grunngi svaret.

b A

C

B

D

a

A B C D E F

Trekant A har det største arealet. Trekant B har det største arealet. Trekant C har det største arealet. Trekant D har det største arealet. Trekantane har like stort areal. Vi kan ikkje bestemme kva for ein av trekantane som har det største arealet.

Geometri

Trapes

80

2 cm

Eit trapes er ein firkant der berre to av sidene er parallelle. Sidene a og b er parallelle, og h sta˚r vinkelrett pa˚ desse sidene. 3 cm

3 cm

h

Vi finn omkrinsen av eit trapes ved a˚ summere alle sidene. O = 4 cm + 3 cm + 3 cm + 2 cm = 12 cm

4 cm


Vi kan dele opp alle trapes i to trekantar der høgdene er like store. b

b

h

h

a

a

h

Arealet av trekantane blir A=

ah bh og A = 2 2

Dersom vi summerer arealet av dei to trekantane, fa˚r vi arealet av trapeset. A=

a  h b  h ða + bÞ  h + = 2 2 2

Regel

Vi finn omkrinsen av eit trapes ved a˚ summere alle sidene. b

D

C

h

A

a

B

O = AB + BC + CD + DA Arealet A av eit trapes er: A=

ða + bÞ  h 2

Geometri

81


Eksempel

Rekn ut omkrinsen og arealet av trapeset ABCD. D

4 cm

4 cm

C

3 cm

A

3,5 cm

8,5 cm

B

Løysing Omkrins: O = 8,5 cm + 3,5 cm + 4 cm + 4 cm = 20 cm Arealet: ð8,5 cm + 4 cmÞ  3 cm 12,5 cm  3 cm 30 cm2 = 18,75 cm2 A= = = 2 2 2 Na˚r linjestykket AB er parallelt med linjestykket CD, skriv vi AB||CD.

Oppga˚ver 3.17 Rekn ut omkrinsen og arealet av trapesa. a) D

Geometri

5 cm

82

A

4 cm

4 cm

C

5 cm

10 cm

B


b) D

5 cm

A

5 cm

C

4 cm

4,5 cm

6 cm

B

c) 4,5 cm

D

C

3,5 cm

4,5 cm

6 cm

A

2,5 cm

B

3.18 Finn arealet av eigedommane og sorter dei etter storleik. Start med den minste først. 24 m

4m

32 m

1

5

10 m

3 4m

33 m

8m

3m

6 18 m

10 m

24 m 2

30 m

4

12 m

15 m

Geometri

83


Omkrins og areal av ein sirkel

?

Omkrinsen er   d, men korleis kan eg finne arealet av sirkelen?

r d sentrum

Korleis kan vi rekne ut arealet av ein sirkel? I figuren til høgre har vi teikna eit raudt kvadrat inne i sirkelen og eit bla˚tt kvadrat utanfor sirkelen. Arealet av det bla˚ kvadratet er større enn arealet av sirkelen. Arealet av det raude kvadratet er mindre enn arealet av sirkelen. Arealet av det bla˚ kvadratet blir 2r  2r = 4r 2

Geometri

Arealet av det raude kvadratet blir

84

2r  r 2r  r + = r 2 + r2 = 2r2 2 2 Arealet av sirkelen ma˚ da liggje mellom 2r 2 og 4r 2 : Nøyaktige utrekningar har vist at arealet A av ein sirkel er A =   r2 der   3,14

r 2r


Regel

Omkrinsen av ein sirkel er   diameter

Hugs!  blir uttalt ‘pi’.

r d

O = d Arealet av ein sirkel er   radius  radius A =   r2

Eksempel

Rekn ut omkrinsen og arealet av sirkelen.

r = 5 cm d = 10 cm

Løysing

Hugs! d r = og d = 2  r 2

Omkrins: O = d O = 3,14  10 cm O = 31,4 cm Areal: A =   r2 A = 3,14  5 cm  5 cm A = 78,5 cm2

Geometri

85


OppgaË&#x161;ver 3.19 Rekn ut omkrinsen og arealet av sirklane. a) c) r = 3 cm d = 4 cm

d = 6 cm

b)

d) r = 1 cm

r = 5 cm

3.20 Rekn ut omkrinsen og arealet av sirkelen naË&#x161;r a) radien er 4 cm d) radien er 2,5 mm b) diameteren er 6 m e) radien er 12,5 dm c) diameteren er 25 cm f) diameteren er 44,4 km 3.21 Sara skal steikje pannekaker med diameter paË&#x161; 30 cm.

Geometri

Kor stort areal har ei slik pannekake?

86


3.22 Det gamle Olympiastadion i Aten fra˚ 1896 er sett saman av eit rektangel og ein halvsirkel. a) Kor stor er omkrinsen til stadionet? b) Kva er arealet til stadionet?

140 m

r = 18 m Teikning av Olympiastadion i Aten, 1896

3.23 Kor stort er arealet av det gule omra˚det pa˚ figuren? 7,5 m

3.24 Kor stort er arealet av sirkelsektorane? b) a)

c) d = 4 cm

d = 4 cm

d = 4 cm

3.25 Finn omkrinsen av sirkelsektorane i oppga˚ve 3.24. 3.26 Lotte driv med luftgeværskyting. Ho lurer pa˚ kor stort areal dei ulike felta i blinken har.

10 cm

2,5 cm

5 cm

Geometri

87


Pytagoras-setninga

?

Det ma˚ finnast ein lur ma˚te a˚ rekne ut sidene i ein rettvinkla trekant pa˚ ...

Fa˚r vi alltid ein rettvinkla trekant na˚r vi legg tauet slik? I trekanten nedanfor er C = 90 . Ein trekant der ein av vinklane er 90 , kallar vi ein rettvinkla trekant. Den lengste sida ligg alltid overfor den rette vinkelen. Den kallar vi hypotenus. Dei to andre sidene kallar vi kateter. C katet katet

Geometri

A

88

hypotenus

B

Pytagoras var ein gresk matematikar og filosof som levde for om lag 2500 a˚r sidan. Han har fa˚tt æra for læresetninga som viser samanhengen mellom katetane og hypotenusen i ein rettvinkla trekant. Portrett av Pytagoras basert pa˚ ein detalj fra˚ Raphaels ma˚leri «Skolen i Aten».


Trekanten til høgre er rettvinkla med sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm. Inntil kvar side er det teikna eit kvadrat.

B A

Kvadrata har desse areala: A A = 3 cm  3 cm = 9 cm2 B A = 4 cm  4 cm = 16 cm2 C A = 5 cm  5 cm = 25 cm2 Dersom vi summerer areala til kvadrata pa˚ katetane, fa˚r vi

4 cm

3 cm 5 cm

C

9 cm2 + 16 cm2 = 25 cm2 Pytagoras oppdaga at denne summen var lik arealet av kvadratet pa˚ hypotenusen. Vi fa˚r da denne likninga, som vi kallar Pytagoras-setninga: Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 Vi skal no sja˚ korleis vi kan bruke denne setninga til a˚ rekne ut lengda av ein ukjent katet eller hypotenusen i ein rettvinkla trekant.

Utrekning av hypotenusen I trekanten under er katetane kjende, mens hypotenusen er ukjent.

Hypotenusen i ein rettvinkla trekant ligg alltid rett overfor den rette vinkelen.

hypotenus 12 cm

9 cm

Geometri

89


Vi finn hypotenusen ved a˚ setje inn lengdene pa˚ katetane i Pytagorassetninga og rekne ut som likning. Vi kallar den ukjende for x. Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 92 + 122 = x 2 81 + 144 = x 2 225 = x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 225 = x 2

Vi reknar ut kvadratrota pa˚ begge sider

15 = x x = 15 Lengda av hypotenusen er 15 cm. Regel

Vi finn hypotenusen i ein rettvinkla trekant ved hjelp av denne formelen: Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2

Eksempel

Rekn ut hypotenusen. Løysing Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 42 + 52 = x 2

5 cm

Geometri

16 + 25 = x 2 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 41 = x 2

90

6,40  x x  6,40 Hypotenusen er 6,4 cm

4 cm


Oppga˚ver 3.27 Rekn ut hypotenusen. a)

c)

12 cm

5 cm

8 cm

4 cm

b)

6 cm

8 cm

3.28 Hanna ma˚lar ein vegg. Kor lang ma˚ stigen vere for a˚ rekkje heilt opp? 3.29 Kor lange er diagonalane i desse rektangla? a)

8m

6m

2m

2m

Geometri

91


b)

c)

5 km

4,5 cm

5,5 cm

4 km

3.30 Snikkar Andersen skal byggje eit hus. Kor lang ma˚ diagonalen vere for at hjørnet skal bli rett (90 )?

6,5 m

8,5 m

Utrekning av katetane

Geometri

I trekanten til høgre er hypotenusen og den eine kateten kjende.

92

For a˚ finne den ukjende kateten set vi inn dei kjende lengdene i Pytagorassetninga og reknar ut som likning. Vi kallar den ukjende kateten for x.

8 cm

6,4 cm

katet


Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 x 2 + 6,42 = 82 x 2 + 40,96 = 64 x 2 + 40,96 -- 40,96 = 64 -- 40,96

Vi trekkjer fra˚ 40,96 pa˚ begge sider

2

x = 23,04 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 23,04 x = 4,8

Vi reknar ut kvadratrota pa˚ begge sider

Lengda av den ukjende kateten er 4,8 cm.

Regel

Vi finn den ukjende kateten i ein rettvinkla trekant med formelen: Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2

Eksempel

Rekn ut den ukjende kateten.

Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 x 2 + 72 = 102

10 cm

x 2 + 49 = 100 x 2 + 49 -- 49 = 100 -- 49 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x 2 = 51 x  7,1 Den ukjende kateten er 7,1 cm.

7 cm

Geometri

93


OppgaË&#x161;ver 3.31 Rekn ut den ukjende kateten. a)

5 cm

c)

12 cm

4 cm 6 cm

b)

d)

17 cm

8,5 cm

15 cm 5,5 cm

Geometri

3.32 Kor lang er den ukjende sida i rektangla? a) b)

94

9m 12 km

8 km 5m


3.33 Rekn ut arealet av dei rettvinkla trekantane. a) c)

2 cm

5 cm

4 cm 5 cm

b)

d)

7 cm

12 cm

4 cm

8,5 cm

3.34 Den største pyramiden i verda, Keopspyramiden, blei bygd i Egypt 2625 a˚r f.Kr. Han er ca. 147 meter høg, og sida i grunnflata er ca. 230 meter. a) Om lag kor stort areal har kvar av sideflatene i pyramiden? b) Pyramiden har fire sideflater. Om lag kor stort er arealet av desse til saman?

Keopspyramiden med sfinksen i forgrunnen

Geometri

95


Konstruksjon og berekningar

?

Jippi, eg klarte det!

Korleis kan vi rekne ut arealet til figuren?

Kva ma˚ vi kunne for a˚ konstruere ein figur? Korleis kan vi rekne ut omkrinsen eller arealet til ein figur vi har konstruert? For a˚ kunne konstruere ein figur ma˚ vi kjenne til dei ulike vinkelkonstruksjonane. Na˚r vi konstruerer mangekantar, kombinerer vi ofte fleire vinkelkonstruksjonar. Normal i eit punkt (90 )

Nedfelle ein normal (90 )

Geometri

P

96

Konstruere 60

Halvere ein vinkel


Eksempel

a) Konstruer 4ABC na˚r

A = 30 , AC = 6,0 cm og

C = 90 .

Løysing C

Hjelpefigur: 6,0 cm 30° A

B

Konstruksjon:

C

A

B

Forklaring: 1. Teikna ei linje og markerte eit punkt A pa˚ linja. 2. Konstruerte A = 30 . 3. Sette av linjestykket AC = 6,0 cm. 4. Konstruerte 90 i C. 5. Vinkelbeina til A og C skjer kvarandre i B.

Oppga˚ver 3.35 Konstruer vinklane. b) 60 a) 90

c) 45

d) 30

3.36 Konstruer vinklane. b) 22,5 a) 15

c) 75

d) 112,5

Geometri

97


3.37 Konstruer trekantane. Skriv forklaring til konstruksjonane. a) c) C

C

45° A

45° 10 cm

30°

B

8 cm

A

b)

B

d) C C

52,5° 9,5 cm

8 cm 60°

60° A

B

A

3.38 Ein rettvinkla 4ABC har desse ma˚la: A = 90 , AC = 6,5 cm og C = 60 . a) Teikn hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring til konstruksjonen.

Geometri

3.39 Ein 4ABC har desse ma˚la: A = 45 , AC = 8,5 cm og C = 45 . a) Teikn hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring til konstruksjonen. d) Kor stor er B?

98

B

Hugs! Teikn hjelpefigur na˚r du konstruerer.


For a˚ kunne rekne ut omkrinsen eller arealet av ein figur ma˚ vi kjenne lengda pa˚ bestemte sider. Desse lengdene kan vi blant anna finne ved hjelp av Pytagoras-setninga. Eksempel

I trapeset ABCD er AB || CD, AB = 8,0 cm, BC = 4,0 cm, CD = 6,0 cm og B = 90 . a) Konstruer trapeset. b) Rekn ut lengda av diagonalen AC. c) Rekn ut arealet av trapeset. Løysing a) D

Hjelpefigur:

6,0 cm

C

4,0 cm

A

8,0 cm

B

D

Konstruksjon:

A

C

B

Forklaring: 1. Teikna linjestykket AB = 8,0 cm. 2. Konstruerte B = 90 . 3. Sette av C 4 cm opp pa˚ høgre vinkelbein til B. 4. Konstruerte 90 i C. 5. Sette av D 6 cm opp pa˚ høgre vinkelbein til C. 6. Trekte linjestykket AD og diagonalen AC.

Geometri

99


b) Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 AB2 + BC 2 = AC 2 8,02 + 4,02 = x 2 80 = x 2 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 80 = x 2 8,94  x x  8,94 Diagonalen AC er 8,9 cm. c) Arealet av trapeset er: A=

ða + bÞ  h 2

A=

ð8,0 cm + 6,0 cmÞ  4,0 cm 14,0 cm  4,0 cm 56,0 cm2 = 28,0 cm2 = = 2 2 2

Geometri

3.40 Konstruer ein rettvinkla trekant der dei to katetane er 5 cm og 7 cm. Rekn ut a) lengda pa˚ hypotenusen b) omkrinsen av trekanten c) arealet av trekanten

100

3.41 Konstruer ein rettvinkla trekant der den eine kateten er 6,0 cm og hypotenusen er 9,0 cm. Rekn ut a) lengda av den ukjende kateten b) omkrinsen av trekanten c) arealet av trekanten 3.42 Konstruer 4ABC der A = 90 , AB = 8,0 cm og AC = 4,0 cm. Rekn ut a) lengda av BC b) arealet av trekanten


3.43 Konstruer ein trekant ABC der alle sidene er 7 cm. a) Kva kallar vi ein slik trekant? Rekn ut b) omkrinsen av trekanten c) arealet av trekanten 3.44 I ein firkant ABCD er A = 90 , AD = 8,0 cm og AB = 4,5 cm. BDC = DBC = 45 . a) Teikn hjelpefigur og konstruer firkanten. b) Kor lang er BD? c) Kor stor er C? d) Kor lange er BC og CD? e) Rekn ut arealet av firkanten. 3.45 Konstruer ein firkant ABCD der AB = 9,0 cm, AD = CD = 5 cm:

B = 60 ,

ACB = 90 ,

Brukonstruksjonar av Leonardo da Vinci

Geometri

101


Geometri i natur og kunst

Geometri

?

102


Naturen har sine eigne storsla˚tte mønster og byggverk. Desse mønstra og byggverka har alltid vore inspirasjonskjelder for kunstnarar og arkitektar. Kva slags geometriske mønster finn du pa˚ bileta?

Geometri

103


Opp gjennom historia er det nokre former og geometriske mønster som har vore meir brukte enn andre. Det er dei regulære mangekantane:

I ein regulær mangekant er sidene like lange.

Skal vi kunne lage mønster av mangekantar, ma˚ vinkelsummen der hjørna møtest, bli 360 .

Geometri

Eit mønster som er bygd opp av e´in type regulære mangekantar, kallar vi eit regulært mønster.

104

360°

Eit mønster som er bygd opp av fleire typar regulære mangekantar, kallar vi eit semiregulært mønster. 360°


Oppga˚ver 3.46 Teikn av og gjer ferdig det regulære mønsteret av likesida trekantar.

3.47 Lag eit regulært mønster ved hjelp av a) firkantar b) sekskantar

3.48 Teikn av og gjer ferdig det semiregulære mønsteret.

Dersom du bruker teiknefunksjonen i Word til a˚ lage regulære figurar, held du shift-knappen nede mens du lagar figurane. Da blir dei regulære!

3.49 Teikn fire regulære firkantar inntil kvarandre. Kva blir vinkelsummen der dei fire hjørna møtest?

Geometri

105


3.50 a) Teikn tre regulære sekskantar inntil kvarandre. Kva blir vinkelsummen der dei tre hjørna møtest? b) Teikn tre regulære femkantar inntil kvarandre. Kva blir vinkelsummen der dei tre hjørna møtest? c) Kan vi dekkje eit plant omra˚de med berre femkantar? Forklar.

˚ tessellere betyr a˚ dekkje eit plant omra˚de med identiske figurar, 3.51 A som for eksempel a˚ flisleggje eit golv. Kva regulære figurar kan du tessellere med?

Geometri

3.52 Ved a˚ ta utgangspunkt i ein regulær figur, «klippe ut» og flytte pa˚ delar av rektangelet kan vi lage spennande mønster. Mønsteret nedanfor er laga pa˚ grunnlag av eit kvadrat med inspirasjon fra˚ lønnebladet:

106

Lag ditt eige mønster ved a˚ «gjere om» pa˚ ein regulær figur og setje saman figurane.


Det gylne snittet og det gylne rektangelet

?

Kvifor har mange bygningar denne geometriske forma? Forholdet mellom lengda og høgda paË&#x161; Nidarosdomen i Trondheim er ca. 1,618. Dette forholdet kallar vi det gylne snittet. Eit rektangel som har dette forholdet mellom sidene, kallar vi eit gyllent rektangel. Vi finn forholdet mellom to sider i eit rektangel ved aË&#x161; dividere den lengste sida med den kortaste.

2,40 cm

3,88 cm

3,88 cm : 2,40 cm  1,62 cm

Geometri

107


Ei linje kan ogsa˚ vere delt i eit gyllent snitt ved at den lengste delen dividert pa˚ den kortaste delen er 1,618.

Forholdet mellom knivbladet og skaftet er 1,618.

Oppga˚ver 3.53 a) Sja˚ pa˚ rektangla under. Kva for eit av rektangla trur du er eit gyllent rektangel? A

D

Geometri

G

108

B

C

E

F

H

b) Ma˚l sidene i rektangla, og rekn ut forholdet mellom den lengste sida og den kortaste sida. Kva for eit av rektangla er eit gyllent rektangel?

Eg trur det ma˚ vere ...


3.54 Rekn ut forholdet mellom den lengste sida og den kortaste sida. Set resultata inn i ein tabell, og finn kva for nokre av bileta som er gylne rektangel.

Gjenstand

Lengd

Breidd

Lengd : breidd

Flagg

Fakto r1

Fakto r1

Grun Espe

nbok

n Hja

rdar â&#x20AC;˘

Mate m for u atikk ngdo mstr in

Jan-E

rik Pe

derse

n

net Bokm

ĂĽl

Geometri

109


3.55 Somme hevdar at kroppslengda dividert med lengda fra˚ navlen ned til golvet er eit gyllent snitt. Stemmer det?

3.56 Dersom ein fotballbane er 62 m brei, kor lang ma˚ han vere for a˚ vere eit gyllent rektangel?

Geometri

105 m

110

Mål

Hjørneflagg

Straffesparkfeltet

Målffeltet Mållinje

Midtlinje Sidelinje

Straffesparkmerket

r = 9,15 m

40,32 m

r = 9,15 m

18,32 m 11 m

7,32 m

16,5 m

3.57 Er grasmatta pa˚ Ulleva˚l Stadion eit gyllent rektangel?

68 m


3.58 Bruk ein linjal og ma˚l lengda og høgda pa˚ Parthenon-tempelet pa˚ Akropolis. Rekn ut forholdet mellom den lengste sida og den kortaste sida. Er forholdet eit gyllent snitt?

Parthenon-tempelet i Aten

3.59 Finn andre eksempel pa˚ ting som er delte i det gylne snittet.

Pentagonen og det gylne triangel Vi kan finne igjen pentagonen i natur og arkitektur.

Geometri

111


C

Sja˚ pa˚ pentagonen til høgre. Dersom vi trekkjer to diagonalar fra˚ for eksempel A og B til C, fa˚r vi ein likebeint trekant ABC. Denne trekanten er eit gyllent triangel. Ein pentagon er ein regulær femkant! A

B

Vi kallar trekanten gyllen fordi forholdet mellom kvar av dei lengste sidene og den korte sida er AC = 1,618 AB Oppga˚ver 3.60 Teikn eit gyllent triangel med grunnlinje 5,0 cm.

Geometri

3.61 Knyt ein knute pa˚ ein papirstrimmel. Kva geometrisk form fa˚r du?

112

D

3.62 Ma˚l nokre lengder i pentagonen til høgre, og sja˚ om du finn fleire gylne snitt mellom lengdene. E

C

A

B


Prøv deg sjølv 1

Rekn ut vinklane i desse regulære mangekantane. a

b

c

e

d

f

2

Om lag kor stort er arealet av øya na˚r kvart kvadrat er 1 km2 ?

3

Rekn ut omkrinsen og arealet av rektangelet.

2,5 cm

4,5 cm

4

Rekn ut omkrinsen og arealet av parallellogrammet.

2,0 cm

2,5 cm

3,0 cm

Geometri

113


5

Rekn ut omkrinsen og arealet av trekanten.

15 cm

9 cm 10 cm

7,6 cm

6

Rekn ut omkrinsen og arealet av trapeset. 1,5 cm 3,6 cm 1,6 cm 5 cm

7

Rekn ut omkrinsen og arealet av sirklane. a) b)

Geometri

d = 3,5 cm

114

8

a) Kor stor er diameteren paË&#x161; CD-plata? O = 37,68 cm

r = 2,5 cm


b) Kor stor er diameteren paË&#x161; klokkeskiva? O = 7,85 cm

9

Rekn ut arealet av figurane. a)

b) 4 cm

4 cm 2 cm

4 cm

4 cm

4 cm 1,3 cm

4 cm

4 cm

10

Bruk Pytagoras til aË&#x161; rekne ut den ukjende sida av desse rettvinkla trekantane. a) b) C A

9 dm

12 dm

B 18 cm

A

B

24 cm

C

Geometri

115


11

Bruk Pytagoras til a˚ rekne ut den ukjende sida av desse rettvinkla trekantane. a) b) C

6 cm

Geometri

A

116

C

5 cm

B

8 cm 9 cm

B

A

12

Ein 4ABC har desse ma˚la: AB = 6,5 cm, AC = 8,0 cm og B = 90 . a) Teikn hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Rekn ut BC.

13

a) Konstruer ein firkant ABCD der A = 90 , AB = 9,0 cm, ABD = 45 , BDC = 90 og BC = 14 cm. b) Kor lang er AD? c) Rekn ut BD og DC. d) Rekn ut arealet til firkanten ABCD.

14

Bruk ein linjal og ma˚l lengda og høgda pa˚ Slottet i Oslo. a) Rekn ut forholdet mellom den lengste og den kortaste sida. b) Er forholdet eit gyllent snitt?

Det Kongelege Slottet i Oslo


Noko a˚ lure pa˚ 1

Simen og Lotte skal lage eit kaninbur i hagen. Dei har 20 m netting. a) Korleis bør kaninburet sja˚ ut for at kaninane skal fa˚ sa˚ stort areal som mogleg? b) Kor stort areal kan kaninane fa˚?

2

Eit rektangel har arealet 40 cm2 . Den eine sida er 5 cm lang. Kor stor er omkrinsen til rektangelet?

3

Fire plankar som alle har lengda 40 cm og breidda 5 cm, blir lagde ut slik figuren viser. Kor stort blir arealet av omra˚det innanfor plankane?

4

Pa˚ figuren nedanfor er AB = BC og v = 130 . Kor stor er C? C

5 cm

40 cm

v

A

B

Geometri

117


5

Kor stor er høgda i den rettvinkla trekanten?

4 cm

3 cm h

5 cm

6

Flaggstonga utanfor skolen var 7 m høg. Under ein storm brakk ho. Kor høgt over bakken brakk flaggstonga?

5m

Geometri

7

118

I a˚r 250 f.Kr. rekna den greske oppfinnaren og matematikaren Arkimedes ut  med tre desimalar. Han brukte ein regulær mangekant med 96 sider for a˚ rekne ut  med tre desimalar. Kor store er vinklane i Arkimedes’ regulære 96-kant?

Arkimedes (287 f. Kr.–212 f. Kr.)


Oppsummering Vinkelsummen i mangekantar Vi kan finne vinkelsummen i mangekantar ved a˚ dele desse inn i trekantar. Vinkelsummen i femkanten er 3  180 = 540 .

Regulær mangekant I ein regulær mangekant er alle vinklane like store og alle sidene like lange.

Omkrins og areal av mangekantar Vi finn omkrinsen av ein mangekant ved a˚ summere alle sidene. Vi finn arealet av ein mangekant ved a˚ bruke formlane som er viste under: Rektangel

b

A = lb

l

Parallellogram h

A = gh g

b

Trapes h

ða + bÞ  h A= 2

a

Trekant h

A=

gh 2

g

Geometri

119


Omkrins og areal av ein sirkel O = d A =   r2

r d

Pytagoras-setninga Dei to kortaste sidene i ein rettvinkla trekant kallar vi kateter. Den lengste sida kallar vi hypotenus.

katet

hypotenus

Pytagoras-setningen: Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 katet

Konstruksjon NaË&#x161;r vi skal konstruere mangekantar, kan vi faË&#x161; bruk for desse konstruksjonane: Konstruksjon av 90

Geometri

Halvering av ein vinkel

120

Konstruksjon av 60

Nedfelling av ein normal fraË&#x161; eit punkt til ei linje P

Midtnormal


Figurar og mønster Eit regulært mønster er sett saman av regulære mangekantar.

Eit semiregulært mønster er sett saman av to eller fleire regulære mangekantar.

Det gylne snittet og det gylne rektangelet Det gylne snittet deler ei lengd i forholdet 1,618.

I eit gyllent rektangel er forholdet mellom den lengste sida og den kortaste sida 1,618.

3,18 cm

5,15 cm

5,15 cm : 3,18 cm  1,62

Geometri

121


LYKKEHJUL

Eg vil ikke spele pa˚ nr. 13!

Lykketalet mitt er 7!

Jo fleire gonger eg kastar, jo større er sjansen for a˚ fa˚ ein 6-ar!


4 Er det verkeleg 50 % sjanse for a˚ vinne?

Statistikk og sannsynsrekning Statistikk og sannsynsrekning er noko vi møter kvar einaste dag. Statistikk blir brukt for eksempel ved val, undersøkingar og planlegging av ulike prosjekt. Sannsyn møter vi i samband med ulike spel, for eksempel tipping, lotto, terningspel og kortspel.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . . . .

presentasjon av data i tabellar og diagram vurdering av diagram median, typetal, gjennomsnitt og variasjonsbreidd kjeldekritikk sannsyn og sannsynsrekning sannsyn som brøk, desimaltal og prosent

... om eg berre kunne meir om sannsynsrekning!


Relativ frekvens

Statistikk og sannsynsrekning

?

124

Kven vil vere med pa˚ skirenn?

Frekvensen av ‘Nei’ er 3.

Kva meiner vi med frekvens? Frekvens betyr kor mange gonger ein bestemt observasjon skjer. Da Simen undersøkte kor mange som ville vere med pa˚ skirenn, fordelte svara seg slik i ein frekvenstabell: Svar

Frekvens

Ja

15

Nei

3

Veit ikkje

6

Sum

24

Frekvensen av «Ja» er 15. Det vil seie at 15 av 24 svarte «Ja». Vi finn den relative frekvensen ved a˚ dividere frekvensen til den enkelte observasjonen med summen av frekvensane. Den relative frekvensen til «Ja» blir da: 15 = 0,625 24


Vi kan setje opp dei relative frekvensane for dei andre svaralternativa pa˚ den same ma˚ten i ein frekvenstabell. Svar

Frekvens

Relativ frekvens

Ja

15

15 24

= 0,625

Nei

3

3 24

= 0,125

Veit ikkje

6

6 24

= 0,25

Sum

24

1

Legg merke til at summen av dei relative frekvensane alltid blir 1. Regel

Frekvens betyr kor mange gonger ein bestemt observasjon skjer. Relativ frekvens er den enkelte frekvensen dividert pa˚ summen av alle frekvensane.

Eksempel

Martin fekk desse fiskane pa˚ ein fisketur: 4 abborar, 3 gjedder, 2 brasmer og 1 a˚l Vis frekvens og relativ frekvens i ein frekvenstabell.

Statistikk og sannsynsrekning

125


Løysing

Fiskeslag

Frekvens

Relativ frekvens

Abbor

4

4 10

= 0,4

Gjedde

3

3 10

= 0,3

Brasme

2

2 10

= 0,2

A˚l

1

1 10

= 0,1

Sum

10

1

Statistikk og sannsynsrekning

Oppga˚ver

126

4.1

Hanna undersøkte kor mange elevar i klassen som hadde tilgang til internett heime. Vis den relative frekvensen av svara i ein frekvenstabell.

4.2

Svar

Frekvens

Ja

14

Nei

6

Gjer ferdig frekvenstabellen. Næringsinnhald

Frekvens

Protein

28

Karbohydrat

24

Feittsyrer

11

Feitt

20

Kostfiber

16

Natrium

1

Sum

100

Relativ frekvens 28 100

= 0,28


4.3

Hanna har talt ulike treslag pa˚ ei lita øy. Her ser du resultatet av teljinga: Treslag

Set dataa inn i ein frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. 4.4

Kor mange

Furu

30

Gran

35

Bjørk

10

Ask

5

Eik

5

Andre slag

15

Ein zoolog gjorde desse registreringane av rovdyr i eit fylke i Noreg: ma˚r, jerv, bjørn, gaupe, jerv, ma˚r, ulv, bjørn, gaupe, jerv, ulv, gaupe, gaupe, jerv, jerv, bjørn, gaupe, ma˚r, bjørn, gaupe a) Set dei ulike rovdyra inn i ein frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. b) Lag eit søylediagram.

Ulv

Statistikk og sannsynsrekning

127


Relativ frekvens og prosent Vi kan skrive den relative frekvensen som prosent.

Statistikk og sannsynsrekning

Kor mange kjem pa˚ klassefesten?

128

Sara og Simen skal arrangere klassefest. 15 av 24 elevar kjem pa˚ festen. Vi skriv: 15 = 24

0,625

= 62,5 %

Brøk Desimaltal

Prosent

15 av 24 elevar er 62,5 %. Eksempel

I songkoret Sølvstrupa er 12 av 30 medlemmer jenter. Kor stor er den relative frekvensen av jenter i prosent? Løysing 12 = 0,4 = 40 % 30 Det er 40 % jenter.

15 har svart ja. Kor mange prosent er det?


Oppga˚ver 4.5

Herman undersøkjer kor mange elevar som vil vere med pa˚ ein overnattingstur. Her ser du resultatet av undersøkinga: Svar

Frekvens

Ja

20

Nei

4

Veit ikkje

1

Sum

25

Rekn ut dei relative frekvensane pa˚ brøkform og som prosent, og skriv resultatet inn i ein frekvenstabell. 4.6

Pa˚ ein test i engelsk fekk elevane desse karakterane: 2 3 2 5

5 5 3 4

3 3 4 5

6 3 4 6

2 4 4 To be or not to be ...

a) Set karakterane inn i ein frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. b) Vis den relative frekvensen som prosent. 4.7

Herman registrerte bilar som passerte huset hans mellom klokka 13.00 og 14.00. Bilmerke

Kor mange

Volvo

5

BMW

3

Ford

6

Mercedes

4

Toyota

5

Mazda

3

Andre bilmerke

8

Rekn ut den relative frekvensen som desimaltal og brøk i den same frekvenstabellen.

Statistikk og sannsynsrekning

129


Sektordiagram

?

Statistikk og sannsynsrekning

Vi har undersøkt om klassen vil dra pa˚ sykkeltur.

130

Nei 9 stk. 37,5 %

Her ser de resultatet av undersøkinga!

Ja 15 stk. 62,5 %

Kva fortel diagrammet oss?

Vi kallar diagrammet over for eit sektordiagram eller kakediagram. Kvart svaralternativ blir vist som ein sirkelsektor. Heile sirkelen er 100 % eller 360 . Vi finn gradtalet til dei ulike sirkelsektorane ved a˚ multiplisere prosentdelen (den relative frekvensen) med 360 . Na˚r alternativa er oppførte i prosent, finn vi gradtala pa˚ denne ma˚ten: Svar (alternativ)

Prosent (relativ frekvens)

Gradtal til sirkelsektorane

Ja

62,5 %

62,5  360 100

= 225

Nei

37,5 %

37,5  360 100

= 135

Sum

100 %

360


Na˚r alternativa er oppførte som ei talmengd, finn vi gradtala pa˚ denne ma˚ten: Svar (alternativ)

Kor mange (frekvens)

Relativ frekvens

Gradtal til sirkelsektorane

Ja

15

15 24

= 0,625

0,625  360 = 225

Nei

9

9 24

= 0,375

0,375  360 = 135

Sum

24

360

1

Na˚r vi skal lage eit sektordiagram, bruker vi passar, linjal og gradskive.

0 20 10 30

180 170 160

0 90 80 70 110 10 60 0 2 1 50 0 3 1

40

150 140

135°

Nei Ja

Regel

Vi multipliserer prosenten eller den relative frekvensen med 360 for a˚ finne gradtala til sektorane i eit sektordiagram.

Eksempel

I orienteringsklubben Kompass er det 15 jenter og 10 gutar. a) Lag ein frekvenstabell som viser relativ frekvens som desimaltal og i prosent, og som ogsa˚ viser gradtal til sirkelsektorane. b) Vis fordelinga i eit sektordiagram.

Statistikk og sannsynsrekning

131


Løysing Kor mange Relativ Kjønn (alternativ) (frekvens) frekvens

Prosent

Gradtal til sirkelsektorane

Jenter

15

15 25

= 0,6 0,6  100 = 60 % 0,6  360 = 216

Gutar

10

10 25

= 0,4 0,4  100 = 40 % 0,4  360 = 144

Sum

25

1

100 %

360

Statistikk og sannsynsrekning

Gutar 144° 40 %

132

Jenter 216° 60 %

Oppga˚ver 4.8

Martin undersøkte kor mange pa˚ fotballtreninga som er høgrebeinte eller venstrebeinte. Høgrebeinte: 15 Venstrebeinte: 5 a) Lag ein frekvenstabell. b) Vis fordelinga i eit sektordiagram.


4.9

Vi deler blod inn i fire grupper: A, B, AB og 0 (null). PaË&#x161; eit legekontor fører dei logg over kva blodtype pasientane har. Etter ei veke fordelte resultatet seg slik: A 0 AB A A

0 A A A

0 0 A 0

0 A A 0

B A 0 0

A A 0 B

a) Lag ein frekvenstabell. b) Lag eit sektordiagram. c) Kor mange prosent hadde blodtype A?

4.10 Lufta inneheld 78 % nitrogen, 20,9 % oksygen, 0,9 % argon og 0,2 % andre gassar. Lag eit sektordiagram som viser fordelinga av gassane.

4.11 Ein norsk 20-kronemynt inneheld 81 % kopar, 10 % sink og 9 % nikkel.

9%=

9 = 0,09 100

Lag eit sektordiagram som viser fordelinga av metalla i ein 20-kronemynt.

Statistikk og sannsynsrekning

133


4.12 Utgiftene til straum hos familien til Simen fordeler seg slik: Oppvarming 53 % Varmt vatn 21 % Lys 6% Matlaging 13 % Reingjering 7% Lag eit sektordiagram som viser fordelinga.

Statistikk og sannsynsrekning

4.13 Herman og Lotte har vore paË&#x161; fisketur. Her ser du kor mykje dei fekk av kvart fiskeslag:

134

Kor mange prosent av fangsten var a) torsk og sei b) flyndre c) makrell d) Heile fangsten var paË&#x161; 100 kg. Kor mange kilogram fekk dei av kvart fiskeslag?

Flyndre 10 %

Sei 26 %

Torsk 34 % Makrell ?


Andre diagram

?

Elevar 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Katt

Kjæledyr

Centimeter snø

Poeng 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Hund

1

2

3

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

4

Januar

Februar

Mars

Elevar

Kva slags diagram er dette? Vi bruker søylediagram na˚r svaralternativa er ord som «ja», «Noreg» eller «Hanna». Frekvensen blir vist pa˚ andreaksen. Vi bruker stolpediagram na˚r svaralternativa er tal. Frekvensen blir vist pa˚ andreaksen. Vi bruker linjediagram na˚r vi vil vise forandring eller utvikling over tid. Vi markerer for eksempel timar, dagar, veker eller a˚r pa˚ førsteaksen.

Statistikk og sannsynsrekning

135


Oppga˚ver 4.14 I gymtimen har nokre av elevane straffekastkonkurranse. Her ser du resultatet av konkurransen: Namn Synne Karoline Herman Jeppe Hanna Jens Espen 0

5

10

15

Statistikk og sannsynsrekning

Mål

136

a) Kor mange ma˚l scora elevane totalt? b) Kven scora flest ma˚l? c) Kor mange fleire ma˚l scora Synne enn Karoline?


4.15 Lag eit søylediagram som viser kor djupe dei djupaste innsjøane i Noreg er.

Innsjø

Djupn

Hornindalsvatnet

514 m

Suldalsvatnet

376 m

Tinnsjø

460 m

Mjøsa

453 m

Fyresvatn

477 m

Salsvatnet

482 m

Bandak

325 m

Øvrevatn

340 m

Hornindalsvatnet

4.16 Skriv ein tekst som passar til diagrammet. Samanlikn teksten din med det dei andre i gruppa di har skrive.

Vassnivå 4 3 2 1 0 Tid

Statistikk og sannsynsrekning

137


4.17 Diagrammet under viser temperaturen dei første 14 dagane av mai, ma˚lt om morgonen og om ettermiddagen. Temperatur °C 25 20 15 10 5 0 -5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Statistikk og sannsynsrekning

-10

138

Kor stor var temperaturforskjellen den a) 3. mai b) 10. mai c) Na˚r var temperaturforskjellen minst? 4.18 Herman og Lotte er med i skyttarklubben Blink. Dei førte statistikk over kor mange bommar dei hadde pa˚ den siste treninga. Omgangar 5 Lotte Herman

4 3 2 1 0

0

1

2

3

4

5

Bom per omgang

a) Kor mange bommar hadde Herman totalt? b) Kor mange bommar hadde Lotte totalt?

11

12

13

14

Dato i mai


Vindkraft i Nord-Noreg, Havøysund

4.19 Energiforbruket i verda pa˚ eitt a˚r fordeler seg slik pa˚ desse energikjeldene: Energikjelde

Del i prosent

Olje

35 %

Kol

25 %

Gass

19 %

Kjernekraft

5%

Vasskraft

6%

Andre energikjelder

10 %

a) Lag eit søylediagram. b) Lag eit sektordiagram. 4.20 Her ser du gjennomsnittstemperaturane for Karasjok og Bergen gjennom eitt a˚r. By

Jan

Karasjok

–17,1 –15,4 –10,3

Bergen

1,5

Feb

1,6

Mars

3,3

Apr

Mai

Juni

Juli

Aug

Sept

Okt

–3,1

3,8

10,1

13,1

10,7

5,3

–1,3

5,9

10,5

13,5

14,5

14,4

11,5

8,7

Nov

Des

–9,4 –15,3 4,7

2,6

a) Vis gjennomsnittstemperaturen for Karasjok og Bergen i det same linjediagrammet. I kva ma˚nad var temperaturforskjellen b) størst c) minst

Statistikk og sannsynsrekning

139


Kritisk bruk av diagram

?

Men, auken er jo berre pa˚ 9!

Sja˚ korleis talet pa˚ tjuveri har auka i byen va˚r!

Tjuveri 616 614 612 610 608

Statistikk og sannsynsrekning

606

140

604 602 600 2005

2006

Kvifor ser auken av tjuveri sa˚ stor ut? Vi ma˚ vere kritiske na˚r vi vurderer diagram. Særleg ma˚ vi sja˚ pa˚ kva slags skalaer som blir brukte pa˚ aksane. Pa˚ diagrammet over startar andreaksen pa˚ 600 tjuveri. Hadde han starta pa˚ 0 tjuveri, ville diagrammet sett slik ut: Tjuveri 700 600 500 400 300 200 100 0 2005

2006

Begge diagramma gir rett matematisk informasjon, men det siste gir eit riktigare bilete av auken.


Oppga˚ver 4.21 Gjer om diagramma slik at dei gir informasjonen pa˚ ein betre ma˚te.

God-is er størst!

a) Prosent av marknaden 34

33

32

31 God-is

Super-is

Best-is

b) Omsetninga er pa˚ veg mot himmelen!

Omsetning i millionar kr 1,004 1,003 1,002 1,001 1,000 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Statistikk og sannsynsrekning

141


4.22 Arne S. Vindel vil selje bilfirmaet sitt. Hovudkonkurrenten er Bilbutikken. Han lagar eit diagram som viser kor mange bilar firmaet hans har selt i 2006 samanlikna med Bilbutikken. Vi er dei største i byen! Selde bilar 2006 56

55

Statistikk og sannsynsrekning

54

142

53

52

51

Bilbutikken

A.S. Vindel

a) Er dette ein rett ma˚te a˚ framstille eit slikt diagram pa˚? Grunngi svaret. b) Lag eit diagram der andreaksen startar pa˚ null. Samanlikn dei to diagramma. 4.23 Tabellen viser kor mange bilar Arne S. Vindel selde per a˚r fra˚ 2004 til 2006. Lag eit linjediagram der du bruker a) 1 cm mellom einingane pa˚ førsteaksen b) 4 cm mellom einingane pa˚ førsteaksen c) Samanlikn dei to diagramma.

A˚r

Selde bilar

2004

35

2005

45

2006

55


Sentralma˚l og variasjonsbreidd

?

Kva er typetalet?

Høgda mi er medianhøgda.

Kor stor er variasjonsbreidda?

Eg er 5 cm la˚gare enn gjennomsnittet i gruppa va˚r.

Kva meiner vi med gjennomsnitt, median, typetal og variasjonsbreidd? Gjennomsnitt, median og typetal er sentralma˚l. Dei viser kor hovudtyngda av ma˚lingane (dataa) ligg. Variasjonsbreidda viser kor stor spreiing det er pa˚ dataa. Variasjonsbreidda er differansen mellom den største ma˚linga og den minste ma˚linga. Regel

Vi finn gjennomsnittsverdien ved a˚ summere alle observasjonane og dividere pa˚ talet pa˚ observasjonar. Vi bruker ogsa˚ namnet middelverdi for gjennomsnitt. Medianen er den midtarste verdien na˚r talmaterialet er ordna i stigande rekkjefølgje. Dersom det er to tal i midten, finn vi gjennomsnittet til desse to tala. Typetalet er den eller dei observasjonane som har den høgaste frekvensen.

Statistikk og sannsynsrekning

143


Regel

Variasjonsbreidda er differansen mellom den største observasjonen og den minste observasjonen.

Eksempel

Vi har desse fem ma˚lingane: 8m 7m 5m 5m 6m

Statistikk og sannsynsrekning

Finn a) gjennomsnittsverdien b) medianen

144

c) typetalet d) variasjonsbreidda

Løysing 8m+7m+5m+5m+6m = 6,2 m a) 5 Gjennomsnittsverdien er 6,2 m. b) 5 m 5 m 6 m 7 m 8 m Medianen er 6 m. c) Observasjonen 5 m finst flest gonger. Typetalet er 5 m. d) Vi finn den største og den minste ma˚linga. Største ma˚ling: 8 m Minste ma˚ling: 5 m 8m–5m=3m Variasjonsbreidda er 3 m.

Oppga˚ver 4.24 Bestem gjennomsnittsverdien, medianen og typetalet. a) 1 1 2 3 b) 18 15 14 16 16 c) 200 300 100 300 200 300


4.25 Bestem medianen, typetalet og variasjonsbreidda. a) 3 3 3 4 4 4 b) 3,5 4,4 5,5 3,8 3,7 5,0 5,7 c) 0,10 0,11 0,10 0,01 0,10 0,01 0,11

3,9 0,10

3,9 0,10

4.26 Bestem typetalet. a) X Y Y b) Per Pa˚l Ben

Z Per

Per

Z Per

X Pa˚l

X Ben

X Kim

4.27 Lotte og Simen har undersøkt kor mange timar elevane i gruppa deira arbeider med lekser kvar dag. Svara fordelte seg slik: 1 1 3 2 0 1 2 2 1 0 1 3 3 3 0 1 1 1 1 0 2 2 1 1 2 1 a) Kor mange timar arbeider elevane i gjennomsnitt med leksene? b) Kva er medianen? c) Kva er typetalet? d) Rekn ut variasjonsbreidda. 4.28 Bestem a) 45 b) 1,78 c) –0,5

gjennomsnittsverdien og variasjonsbreidda. 46 48 50 41 43 43 1,68 1,80 1,61 1,59 1,82 1,74 1,72 –1,5 0,0 –3,5 1,5 1,0 2,5 –2,0

4.29 Martin og 1,60 m 1,60 m 1,65 m 1,65 m a) b) c) d)

3,0

–1,5

Hanna har ma˚lt høgda til alle elevane i gruppa si: 1,50 m 1,60 m 1,75 m 1,60 m 1,75 m 1,75 m 1,55 m 1,60 m 1,75 m 1,50 m 1,70 m 1,50 m 1,70 m 1,55 m 1,55 m 1,75 m 1,65 m 1,50 m 1,60 m 1,75 m 1,50 m 1,85 m

Kva er gjennomsnittshøgda? Kva er medianen? Kva er typetalet? Kor stor er variasjonsbreidda?

Statistikk og sannsynsrekning

145


˚ velje det beste sentralma˚let A Dei ulike sentralma˚la kan gi eit feil bilete dersom det er for fa˚ observasjonar, dersom resultata er skeivt fordelte, eller dersom variasjonsbreidda er for stor. Det er derfor viktig a˚ vurdere kva sentralma˚l som er det beste a˚ bruke i kvar undersøking. Oppga˚ver

Statistikk og sannsynsrekning

4.30 Herman fa˚r 130 kroner i veka i lommepengar. Han vil undersøkje kor mykje han fa˚r i forhold til vennene sine ved a˚ rekne ut gjennomsnittet.

146

Sara 100 kr Herman 100 kr Lotte 120 kr Simen 130 kr Hanna 450 kr 100 kr + 100 kr + 120 kr + 130 kr + 450 kr = 180 kr 5 a) Synest du Herman fa˚r lite lommepengar i forhold til vennene sine? Forklar. b) Kva sentralma˚l gir det beste biletet av lommepengane til vennene?


4.31 Ei gruppe elevar er pa˚ sykkeltur i Danmark. Her ser du kor mange kroner kvar elev brukte den første dagen: 20 kr 50 kr 60 kr 40 kr 30 kr 30 kr 1100 kr 40 kr 30 kr 50 kr 30 kr 20 kr 80 kr 50 kr a) Rekn ut gjennomsnittet, medianen og typetalet. b) Kva sentralma˚l gir det beste biletet av forbruket?

4.32 I firmaet F.U.S.K. er det 8 tilsette og 2 sjefar. Her ser du lønningane: 220 000 kr 250 000 kr

180 000 kr 200 000 kr

200 000 kr 160 000 kr

2 200 000 kr 3 200 000 kr

200 000 kr 150 000 kr

Sjefane seier at gjennomsnittslønna i F.U.S.K. er pa˚ 696 000 kr, noko dei meiner er svært bra. a) Gir gjennomsnittslønna i F.U.S.K. eit rett bilete? b) Finn medianen og typetalet til lønningane i F.U.S.K. c) Kva sentralma˚l ville du ha valt? Forklar.

Statistikk og sannsynsrekning

147


Talet pa˚ moglege utfall

? Meny Forrett:

Salat Hovudrett:

Statistikk og sannsynsrekning

Laks Biff Vegetar

148

Dessert:

Is Frukt Kor mange ulike menykombinasjonar kan ho velje mellom? I sannsynsrekning snakkar vi om talet pa˚ kombinasjonar eller talet pa˚ moglege utfall. Over ser du at du kan kombinere ein forrett med tre hovudretter og to dessertar. Dersom vi vil finne ut kor mange ulike menykombinasjonar som finst, kan vi teikne eit valtre som viser alle dei moglege utfalla. Salat

Vegetar

Is

Biff

Frukt

Is

Laks

Frukt

Is

Frukt

Vi finn talet pa˚ moglege utfall ved a˚ telje dei nedste greinene pa˚ treet. Det er 6 moglege utfall til saman. Vi kunne ogsa˚ ha funne dei ulike utfalla ved hjelp av multiplikasjon: 1 forrett  3 hovudretter  2 dessertar = 6 moglege utfall


Regel

Vi finn talet pa˚ moglege utfall ved a˚ multiplisere talet pa˚ tilgjengelege val med kvarandre.

Eksempel

Kor mange moglege vegar kan Martin velje til skolen?

Løysing Den første strekninga gir tre vegar, og den andre strekninga gir fire vegar. Talet pa˚ moglege vegar blir: 3  4 = 12

Oppga˚ver 4.33 Lotte kan velje mellom fire vegar heimafra˚ til butikken og tre vegar vidare til farfaren sin. Kor mange ulike vegar kan ho ga˚ for a˚ kome til farfaren sin?

Statistikk og sannsynsrekning

149


4.34 Kor mange moglege utfall blir det dersom du kastar a) eit pengestykke b) ein vanleg terning

Statistikk og sannsynsrekning

4.35 Herman og Simen kastar mynt og krone. Kor mange moglege utfall har eit kast med a) to pengestykke b) tre pengestykke c) ti pengestykke

150

4.36 Ein vanleg terning har seks sider. Kor mange moglege utfall har eit kast med a) to terningar b) tre terningar c) fire terningar

4.37 Herman skal lage ein middag med tre retter. Han skal ha suppe til forrett og kan velje mellom pasta, pizza eller kjøttbollar til hovudrett. Til dessert kan han velje mellom is, frukt eller sjokoladekake. a) Teikn eit valtre som viser alle dei moglege kombinasjonane. b) Kor mange ulike kombinasjonar kan han velje mellom? 4.38 Eit norsk bilnummer er sett saman av to bokstavar og eit femsifra tal. Ë&#x161; . Det første sifferet kan ikkje vere Vi bruker ikkje bokstavane Ă&#x2020;, Ă&#x2DC; eller A null. Kor mange ulike bilskilt finst det?


˚ finne sannsynet A

?

Krone!

Mynt!

Finn sannsynet for at pengestykket landar med myntsida opp. Sannsyn er det same som sjansen for at noko skal skje. Vi bruker bokstaven P for sannsyn. Dersom vi kastar eit pengestykke opp i lufta, kan to ting skje na˚r det landar: Pengestykket kan lande med anten kronesida eller myntsida opp. Vi seier at det er to moglege utfall: mynt eller krone. Ettersom begge utfalla er like sannsynlege, seier vi at sannsynet for kvart 1 utfall er . Bokstaven P kjem 2 av probabilitas pa˚ latin, og 1 1 probability pa˚ engelsk. og PðkroneÞ = PðmyntÞ = 2 2 Summen av sannsyna til dei ulike utfalla skal alltid bli 1. Vi oppgir sannsyn som brøk, desimaltal eller prosent. 1 = 2 Brøk

PðmyntÞ =

0,5 Desimaltal

=

50 % Prosent

Statistikk og sannsynsrekning

151


Gunstige utfall Dersom vi vil finne sannsynet for det a˚ trekkje eit hjarterkort ut av ein kortstokk, deler vi talet pa˚ gunstige utfall pa˚ talet pa˚ moglege utfall. Det er 13 gunstige utfall som gir eit hjarterkort, og det er 52 moglege utfall i alt. Alle utfall er like sannsynlege. Sannsynet for a˚ trekkje eit hjarterkort blir da: 13 1 = = 0,25 = 25 % PðhjarterkortÞ = 52 4 Regel

Statistikk og sannsynsrekning

Sannsyn =

152

talet p˚a gunstige utfall talet p˚a moglege utfall

Eksempel

Finn sannsynet for at du vil fa˚ ein seksar na˚r du kastar ein vanleg terning. Gi svaret som a) brøk b) desimaltal c) prosent Løysing Alle utfalla er like sannsynlege. 1 a) PðsekserÞ = 6 1 b) PðsekserÞ =  0,17 6 1 c) PðsekserÞ =  0,17 = 17 % 6

Sannsynet for ei hending er alltid eit tal mellom 0 og 1.


Oppga˚ver 4.39 Finn sannsynet for at du vil fa˚ ein einar na˚r du kastar ein vanleg terning. Gi svaret som a) brøk b) desimaltal c) prosent 4.40 Finn sannsynet for at du vil fa˚ sparknekt om du trekkjer eit tilfeldig kort ut av ein kortstokk. Gi svaret som a) brøk b) desimaltal c) prosent 4.41 Du kastar ein vanleg terning. Finn sannsynet for a˚ fa˚ a) eit oddetal b) eit primtal c) ein femmar eller ein seksar 4.42 Ein kortstokk har 52 kort. Om du trekkjer eit tilfeldig kort, kor stort er sannsynet for at du trekkjer a) hjarter a˚tte b) eit ess c) eit raudt kort

4.43 Det er 24 elevar i ei gruppe, 14 jenter og 10 gutar. Læraren vil høyre ein tilfeldig elev i leksa. Finn sannsynet for at han spør a) ei jente b) ein gut c) ein gut eller ei jente

Statistikk og sannsynsrekning

153


Statistikk og sannsynsrekning

4.44 Finn sannsynet for at lykkehjulet stoppar pa˚ a) talet 1 b) eit tal større enn 7 c) eit primtal

154

4.45 Hanna trekkjer kuler fra˚ ska˚la utan a˚ leggje dei tilbake igjen. a) Finn sannsynet for a˚ trekkje ei bla˚ kule. b) Den første kula Hanna trekkjer, er bla˚. Finn sannsynet for at den neste kula ho trekkjer, er bla˚. c) Den andre kula Hanna trekkjer, er ogsa˚ bla˚. Finn sannsynet for at den tredje kula ho trekkjer, er raud.


˚ finne sannsynet ved fleire hendingar A

?

Mynt!

Krone!

Finn sannsynet for at begge pengestykka landar med myntsida opp. Na˚r vi skal bestemme sannsynet for fleire hendingar, kan vi bruke eit trediagram. I eksempelet ovanfor blir det kasta to pengestykke. Utfallet av det første kastet har ingenting a˚ seie for utfallet av det andre kastet. Vi seier at kasta er to uavhengige hendingar. Dette trediagrammet viser dei moglege utfalla: 1. kast

2. kast

krone

krone

mynt

mynt

krone

mynt

Vi tel dei nedste greinene, og finn at det er fire moglege utfall. krone – krone

krone – mynt

mynt – krone

mynt – mynt

Berre e´i grein gir utfallet mynt – mynt. Sannsynet for a˚ fa˚ begge pengestykka til a˚ vise mynt blir derfor: Pðmynt, myntÞ =

1 4

Statistikk og sannsynsrekning

155


Eksempel

Sara kastar eit pengestykke tre gonger. Finn sannsynet for at ho vil fa˚ a) krone alle tre gongene b) e´i krone og to mynt (rekkjefølgja av utfalla har ingenting a˚ seie) Løysing Vi lagar eit trediagram der M sta˚r for mynt og K sta˚r for krone. a) 1. kast

K

Statistikk og sannsynsrekning

2. kast

156

3. kast

M

M

M

K

K

M

M

K

M

K

K

M

Vi tel dei nedste greinene og finn at det er a˚tte moglege utfall. Kvart utfall er like sannsynleg. Berre eitt utfall gir tre gonger krone: KKK 1 Pðkrone, krone, kroneÞ = 8 b) Tre utfall gir e´i krone og to mynt: KMM MMK 3 Pðe´I krone og to myntÞ = 8

Oppga˚ver 4.46 Du kastar to pengestykke e´in gong. a) Kva moglege utfall blir det? Finn sannsynet for a˚ fa˚ b) krone, krone c) mynt, mynt

MKM

K


4.47 Eit ektepar ønskjer seg to barn. Teikn eit trediagram og finn sannsynet for at dei fa˚r e´in gut og e´i jente. Sannsynet for a˚ fa˚ gut og jente er like stor.

4.48 Eit ektepar ønskjer seg tre barn. Teikn eit trediagram og finn sannsynet for at dei fa˚r minst to jenter. Sannsynet for a˚ fa˚ gut og jente er like stor. 4.49 Her ser du eit uferdig trediagram for fire kast med eit pengestykke. 1. kast

K

2. kast

M

3. kast

4. kast

M

M

K

M

K

M

a) Teikn ferdig trediagrammet. b) Kor mange moglege utfall er det? Finn sannsynet for a˚ fa˚ c) mynt i alle dei fire kasta d) to myntar og to kroner

Statistikk og sannsynsrekning

157


˚ finne sannsynet ved hjelp A av multiplikasjon Vi kan ogsa˚ finne sannsynet for fleire hendingar ved hjelp av multiplikasjon. Dersom vi kastar to terningar, fa˚r vi desse moglege utfalla:

Statistikk og sannsynsrekning

Kva er sannsynet for a˚ fa˚ to seksarar pa˚ eitt kast?

158

1

2

3

4

5

6

1

1–1

2–1

3–1

4–1

5–1

6–1

2

1–2

2–2

3–2

4–2

5–2

6–2

3

1–3

2–3

3–3

4–3

5–3

6–3

4

1–4

2–4

3–4

4–4

5–4

6–4

5

1–5

2–5

3–5

4–5

5–5

6–5

6

1–6

2–6

3–6

4–6

5–6

6–6

Det er berre eitt utfall som gir to seksarar!

1 Alle utfalla er like sannsynlege. Da er sannsynet for a˚ fa˚ ein seksar , 6 1 1 1 og sannsynet for a˚ fa˚ to seksarar  = 6 6 36 Regel

Vi finn sannsynet for fleire hendingar ved a˚ multiplisere sannsynet for dei enkelte utfalla med kvarandre.


Eksempel

Kva er sannsynet for at du vil fa˚ mynt tre gonger pa˚ rad dersom du kastar eit pengestykke? Løysing Sannsynet for a˚ fa˚ mynt er

1 alle tre gongene. Sannsynet for a˚ fa˚ tre 2

mynt blir da: Pðmynt, mynt, myntÞ =

1 1 1 1   = 2 2 2 8

Eksempel

Du kastar eit pengestykke og ein terning. Kva er sannsynet for at du vil fa˚ krone og ein seksar? Løysing 1 1 , og sannsynet for a˚ fa˚ ein seksar er . 2 6 Sannsynet for a˚ fa˚ krone og seksar blir da: 1 1 1 Pðkrone og sekserÞ =  = 2 6 12

Sannsynet for a˚ fa˚ krone er

Oppga˚ver 4.50 Kva er sannsynet for at du vil fa˚ mynt og ein femmar na˚r du kastar eit pengestykke og ein terning? Gi svaret som brøk. 4.51 Kva er sannsynet for at du vil fa˚ e´in einar og e´in seksar na˚r du kastar to terningar? Gi svaret som a) brøk b) desimaltal c) prosent

Statistikk og sannsynsrekning

159


4.52 Sara kjøper eitt lodd i to forskjellige lotteri. Sannsynet for a˚ vinne er 1 1 høvesvis og . 20 50

Statistikk og sannsynsrekning

Kva er sannsynet for at ho vinn i begge lotteria?

160

4.53 Herman skal trekkje ei kule fra˚ kvar ska˚l. Finn sannsynet for at han trekkjer a) to bla˚ kuler b) ei bla˚ og ei gul kule c) ei raud og ei gul kule


4.54 Sannsynet for a˚ vinne i eit lotteri er 0,04. Sannsynet for a˚ bli ringt opp av ein telefonseljar er 0,07. Kva er sannsynet for at du ba˚de vinn i lotteriet og blir ringt opp av ein telefonseljar? 4.55 Kva er sannsynet for a˚ fa˚ tre seksarar na˚r vi kastar tre terningar? Gi svaret som a) brøk b) desimaltal c) prosent 4.56 Kva er sannsynet for a˚ fa˚ yatzy i seksarar med fem terningar i eitt kast?

4.57 Sannsynet for a˚ fa˚ sju rette i Lotto er liten. Dersom du vil finne ut av kor lite sannsynet er, ma˚ du gjere ferdig denne utrekninga:

Statistikk og sannsynsrekning

161


Er sannsynet like stort kvar gong?

Statistikk og sannsynsrekning

?

162

No har eg kasta fem gonger, da ma˚ eg vel fa˚ ein seksar!

Er sannsynet større for a˚ fa˚ ein seksar i det sjette kastet enn i det femte kastet? Na˚r du kastar ein terning, er sannsynet for a˚ fa˚ ein seksar like stort kvar gong du kastar. Ettersom kasta ikkje er avhengige av kvarandre, og terningen ikkje kan hugse kva du fekk pa˚ det førre kastet, er sannsynet likt kvar gong. Sannsynet for a˚ fa˚ ein seksar er det same pa˚ det siste kastet som pa˚ det første. Oppga˚ver 4.58 Kva for nokre av utsegnene er rette? A Na˚r du kastar eit pengestykke, aukar sannsynet for a˚ fa˚ myntsida opp med kvart kast. B Na˚r du kastar med to terningar, er sannsynet for a˚ fa˚ summen 7 større enn sannsynet for a˚ fa˚ 6. C Dersom sannsynet for a˚ vinne i eit lotteri er 50 %, tyder det at kvart andre lodd er eit vinnarlodd.


4.59 Kva for nokre av utsegnene er rette? A Sannsyn kan vi oppgi som brøk, desimaltal eller prosent. B Talet 7 i Lotto har ikkje blitt trekt ut pa˚ 32 gonger. Martin meiner det er større sannsyn for at talet 7 vil bli trekt ut som vinnar den 33. gongen. C Jo fleire lottorekkjer du leverer, jo større er sannsynet for at du vinn. 4.60 Kva for nokre av utsegnene er rette? A Lottorekkja 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 har like stort sannsyn for a˚ bli trekt ut i Lotto som ei kva som helst anna rekkje. B Sannsynet for a˚ fa˚ e´in mynt og e´i krone na˚r du kastar to pengestykke, er like stor som sannsynet for a˚ fa˚ to myntar. 4.61 Lag tre utsegner om sannsyn. Test utsegnene pa˚ andre elevar i gruppa di.

Noko med kortspel kanskje ...

Kva er sannsynet for a˚ vinne i Vikinglotto?

Kva tyder det at noko har odds pa˚ 1,85?

Statistikk og sannsynsrekning

163


Prøv deg sjølv

Statistikk og sannsynsrekning

1

164

Hanna har undersøkt kva for dyr som finst i gata der ho bur. Her ser du resultatet av undersøkinga: Dyr

Kor mange

Katt

4

Hund

2

Gullfisk

8

Hamster

3

Skjelpadde

1

Papegøye

2

Lag ein frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. 2

Bruk tala fra˚ tabellen over, og finn svar pa˚ desse spørsma˚la: Kor mange prosent av dyra a) er fiskar? b) har fire bein?

3

Her ser du kva Sara bruker timane i døgnet til. Skole: 6 h Sove: 7,2 h Ete: 1,2 h Venner: 2,4 h Trening: 2,4 h Anna: 1,8 h

Tv: 3 h

Vis i eit sektordiagram kva Sara bruker timane i døgnet til. 4

Før ein gymnastikktime ma˚lte alle elevane kvilepulsen sin (slag/min). Her ser du resultata: 74 68 71 63 66 86 80 77 67 56 64 74 71 82 79 77 69 66 65 77 83 62 60 71 86 63 a) Kva er medianen? b) Kva er typetalet? c) Kva er gjennomsnittleg kvilepuls?


5

Kva er variasjonsbreidda til observasjonane i oppga˚ve 4?

6

Redaktøren i Verdens Ugagn presenterer avissalet sitt slik: Avissal 290 000 289 000 288 000 287 000 286 000 285 000 284 000 283 000 Dagposten

Verdens Ugang

a) Forklar kvifor diagrammet er misvisande. b) Forklar pa˚ kva annan ma˚te diagrammet kunne ha vore presentert. 7

Kva sentralma˚l vil du bruke for a˚ vise kor sentrum eller tyngda av desse observasjonane ligg? 100 kr 130 kr 150 kr 750 kr 100 kr 45 kr 120 kr 100 kr 180 kr 100 kr 0 kr 300 kr

8

Lotte har 2 skjorter, 2 jakker og 3 bukser som ho kan ha pa˚ seg til bursdagsfesten. Kor mange ulike ma˚tar kan ho kle seg pa˚?

Statistikk og sannsynsrekning

165


9

Statistikk og sannsynsrekning

a) Martin snurrar lykkehjulet e´in gong. Kva er sannsynet for at han vil vinne dersom han satsar pa˚ talet 3?

166

b) Du skal trekkje ei kule ut av ska˚la utan a˚ sja˚. Kva er sannsynet for at du vil trekkje ei svart kule? 10

Teikn eit trediagram for tre kast med eit pengestykke. Finn sannsynet for a˚ fa˚ to mynt og e´i krone. Rekkjefølgja pa˚ mynt og krone har ingenting a˚ seie.

11

Sannsynet for a˚ vinne i tre ulike lotteri er høvesvis 1 4 1 , og : 20 70 100 Finn sannsynet for at ein vil vinne i alle tre lotteria.

12

Kva for nokre av pa˚standane er rette eller gale? A Sannsynet for a˚ trekkje hjarterto er like stort som for a˚ trekkje kløverfem. B Sannsynet for a˚ fa˚ myntsida opp na˚r du kastar eit pengestykke, er likt i alle kasta. C Dersom sannsynet er 1, vil hendinga aldri skje. D Alle tala i Lotto har like stort sannsyn for a˚ bli trekt ut. E Det er mindre sannsyn for a˚ kaste eit primtal med ein terning med sidene 1–6 enn det er a˚ fa˚ eit partal. F Dersom det er 16 gutar og 12 jenter i gruppa di, er det større sannsyn for at det er ei jente som blir trekt ut enn at det er ein gut. G Det er større sannsyn for a˚ fa˚ yatzy pa˚ eitt kast dersom du alt har prøvd 500 gonger.


Noko aË&#x161; lure paË&#x161; 1

Hanna teiknar ein femkant. Ho teiknar to tilfeldige diagonalar. Kva er sannsynet for at diagonalane ikkje skjer kvarandre?

2

Lotte, Simen eller Sara vann hovudgevinsten i eit lotteri. Simen vann ikkje.

Eg vann ikkje.

Eg vann!

Kven vann hovudgevinsten naË&#x161;r vi veit at minst to av dei tre lyg? 3

Skriv sifra 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 paË&#x161; ni lappar. Trekk ut to tilfeldige lappar og lag eit tosifra tal. Finn sannsynet for at talet kan delast med 3.

Statistikk og sannsynsrekning

167


Statistikk og sannsynsrekning 168

4

Martin og Hanna kastar kvar sin terning. Kva er sannsynet for at terningen til Hanna viser meir enn terningen til Martin? 1 1 5 C E A 6 2 12 1 3 B D 3 8

5

Ti personar møttest i eit selskap. Alle handhelste paË&#x161; kvarandre e´in gong. Kor mange handhelsingar blei det?

6

Teikn av og plasser tala 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle radene, kolonnane og boksane (2  3) har med desse tala. Det same talet kan ikkje staË&#x161; to gonger i ei rad, ein kolonne eller i ein boks.

3 3 1 2

2 5 6 4 2

1 3 5 Sudoku


Oppsummering Frekvens og relativ frekvens Frekvens betyr kor mange gonger ein bestemt observasjon eller ei bestemt hending skjer. Relativ frekvens er frekvensen dividert med talet pa˚ observasjonar.

Relativ frekvens og prosent Vi kan skrive den relative frekvensen som brøk, desimaltal eller prosent. Vi finn prosentdelen ved a˚ multiplisere den relative frekvensen med 100. 1 = 4

0,25

= 25 %

Brøk Relativ frekvens

Prosent

Sektordiagram Vi finn gradtalet til kvar sektor ved a˚ multiplisere prosenten eller den relative frekvensen med 360 . Svar (alternativ) Frekvens

Relativ frekvens

Prosent

Gradtal til sirkelsektorane

Ja

3

3 5

= 0,6

0,6  100 = 60 %

0,6  360 = 216

Nei

2

2 5

= 0,4

0,4  100 = 40 %

0,4  360 = 144

Sum

5

100 %

360

1

Nei

Ja

Statistikk og sannsynsrekning

169


Søylediagram

Svar

Vi bruker søylediagram na˚r observasjonane er svar som «Ja» og «Nei», eller «Noreg», «Sverige» og «Danmark».

250 200 150 100 50 0 Nei

Stolpediagram

Ja

Personar

Vi bruker stolpediagram na˚r observasjonane er tal.

35

Statistikk og sannsynsrekning

30

170

25 20 15 10 5 0 1

Linjediagram Vi bruker linjediagram na˚r vi vil vise forandring eller utvikling over tid.

2

3

4

5

6 Flyreiser

Kilometer 60 50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

Timar

Gjennomsnitt Gjennomsnittet =

summen av alle observasjonar talet p˚a observasjonar

Gjennomsnittet av 3, 5, 6, 6, 8, 12 og 16 er

3 + 5 + 6 + 6 + 8 + 12 + 16 =8 7


Median Medianen er den midtarste verdien na˚r observasjonane er ordna i stigande rekkjefølgje. 6 8 12 16 3 5 6

Typetal Typetalet er den eller dei observasjonane som har den høgaste frekvensen. Talet 6 opptrer flest gonger blant observasjonane over. Typetalet er da 6.

Variasjonsbreidd Variasjonsbreidda er differansen mellom den største observasjonen og den minste observasjonen. 16 -- 3 = 13

Sannsyn Dersom alle utfalla for ei hending er like sannsynlege, er sannsynet talet p˚a gunstige utfall talet p˚a moglege utfall Sannsynet for ei hending er alltid eit tal mellom 0 og 1.

Sannsyn ved fleire utfall Na˚r sannsynet er bestemt av fleire utfall, kan vi bruke eit trediagram for a˚ finne alle dei moglege utfalla. 1. kast

2. kast

krone

krone

mynt

mynt

krone

mynt

Talet pa˚ moglege utfall er fire. Sjansen for a˚ fa˚ krone i det første kastet og mynt i det andre kastet er

1 : 4

Vi kan ogsa˚ bestemme sannsynet ved hjelp av multiplikasjon. 1 1 1 Pðkrone, myntÞ =  = 2 2 4

Statistikk og sannsynsrekning

171


Foten min er lengre enn føtene dykkar.

?

?


5 Ma˚ling og berekningar Den eldste kjende ma˚leeininga er ein fot. Den egyptiske «kongelege foten» ma˚lte 31,6 cm, den greske foten 30,83 cm og den romerske 29,57 cm. Fot er ei ma˚leeining som vi sjeldan bruker i va˚re dagar. No bruker vi vanlegvis ma˚leeiningar som byggjer pa˚ grunneininga meter.

Ma˚l Det er visst ikkje berre berre a˚ ma˚le i fot.

I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . .

uvisse i samband med ma˚lingar ma˚lestokk bruk av formlar i problemløysingar eigenskapar og berekningar i samband med tredimensjonale figurar


Nøyaktige ma˚l

Ma˚ling og berekningar

?

174

No er det vel 125 gram?

Kvifor er det vanskeleg a˚ ma˚le nøyaktig?

Vi kan telje kor mange stolar det er i klasserommet, kor mange elevar det er pa˚ skolen, kor mange bilar det er pa˚ parkeringsplassen, og kor mange kroner vi har i lommeboka. Slike teljingar gir nøyaktige resultat: 28 stolar, 245 elevar, 12 bilar, 45 kr Dei tala vi fa˚r fram ved ma˚lingar, er derimot alltid unøyaktige. Det er umogleg a˚ ma˚le noko heilt nøyaktig. Kor nøyaktig resultatet blir, er avhengig av kva ma˚leinstrument vi bruker. Eksempel pa˚ ma˚leinstrument: linjal, ma˚leband, tommestokk, skyvelære, kjøkkenvekt, brevvekt, desiliterma˚l, ma˚lesylinder, klokke, laser, kompass og speedometer


Sara ma˚ler lengda pa˚ eit A4-ark med linjalen sin. Det er 29,7 cm langt.

20,8 cm

29,7 cm

Ma˚let til Sara er nøyaktig ned til nærmaste millimeter. Andre ma˚leinstrument enn ein linjal kan vere meir eller mindre nøyaktige. Kilometerteljaren i ein bil viser 4

5

9

1

Kilometerteljaren viser køyrelengda pa˚ nærmaste kilometer. Pa˚ nokre bilar er det ei rute til pa˚ høgre side. Da viser kilometerteljaren køyrelengda pa˚ nærmaste 100 m. Oppga˚ver 5.1

Kva tal er sikre, og kva er usikre? a) Det er 24 elevar i klassen. b) Hanna sprang 60 meter pa˚ 9,8 s. c) Det er 3 km til skolen. d) Herman har 15 kr i lomma. e) Epla kostar 20,50 kr.

5.2

Kva tal i tekstane a), b) og c) er sikre, og kva for nokre ma˚ vi rekne med er usikre? a) Pa˚ skolen til Sara ga˚r det 217 elevar, 102 jenter og 115 gutar. Ein dag i september hadde dei aktivitetsdag. Han tok til kl. 09.00 og slutta kl. 14.15. Kantinegruppa selde varer for 2850,50 kr. Det gjekk med 87 liter saft. b) I konkurransane blei dei beste resultata: Lengde 5,26 m Høgde 1,76 m 100 m 12,2 sek c) Gruppe 9B blei best i ein konkurranse med 65,5 poeng.

Ma˚ling og berekningar

175


Ma˚ling og berekningar 176

5.3

Martin har ei gammal brevvekt heime. Kor nøyaktig trur du Martin kan vege med denne vekta?

5.4

Ma˚l breidda pa˚ matematikkboka di. a) Kva ma˚leinstrument brukte du? b) Kor brei ma˚lte du boka til a˚ vere? c) Undersøk om dei andre i gruppa di fa˚r det same resultatet. Dersom resultata er forskjellige, kva kan grunnen vere?

5.5

I ein trekant er sidene 5,5 cm, 6,2 cm og 4,9 cm. a) Kor mange millimeter er sidene? b) Teikn to slike trekantar. Klipp ut trekantane og legg dei oppa˚ kvarandre. Blei trekantane heilt like? Dersom ikkje, kva er grunnen til det?

5.6

Politiet har ofte fartskontroll langs vegane.

60

Ein av metodane dei bruker, er denne: – langs ein veg blir det ma˚lt opp ei bestemt strekning, for eksempel mellom to stolpar. – politiet ma˚ler den tida som bilane bruker mellom dei to punkta. – deretter blir farten rekna ut. Kva er a˚rsaka til at ein slik metode er usikker?


Ma˚lestokk

? Ma˚lestokk 1 : 2

Ma˚lestokk 1 : 1

Ma˚lestokk 2 : 1 Kva for nokre av teikningane er forstørringar eller forminskingar?

Forstørring Dersom vi skal lage bilete av sma˚ ting, for eksempel bakteriar, virus og celler, ma˚ vi lage forstørringar. Ma˚lestokken seier kor stor forstørringa er, og ho blir alltid ført opp som eit forhold. Dersom ma˚lestokken er 100 : 1, betyr det at alle lengdene i røynda er 100 gonger sa˚ sma˚ som dei lengdene vi ma˚ler pa˚ teikninga. Da vil teikninga vere ei forstørring av den verkelege verda. Eksempel

Bakteriane pa˚ dette biletet er om lag 3 cm lange. Ma˚lestokken er 10 000 : 1. Kor lange er bakteriane i røynda? Pestbakteriar (fora˚rsaka Svartedauden i middelalderen)

Løysing Bakteriane er 10 000 gonger sa˚ korte som lengda pa˚ biletet. 3 cm = 0,0003 cm = 0,003 mm 10 000 Bakteriane er i røynda 0,003 mm.

Ma˚ling og berekningar

177


Oppga˚ver 5.7

Kor lange er tøffeldyra i røynda?

Tøffeldyr i ma˚lestokken 100 : 1

Ma˚ling og berekningar

5.8

178

Kor lange er sma˚dyra i røynda? a)

c)

Ma˚lestokk 3 : 1

b)

Ma˚lestokk 4 : 1

d)

Ma˚lestokk 2 : 1

Ma˚lestokk 5 : 1


5.9

C

Simen har teikna ein trekant med sider pa˚ 2 cm, 2,5 cm og 4 cm. Teikn ein tilsvarande trekant i ma˚lestokken 2 : 1.

2,5 cm A

2 cm 4 cm

B

5.10 DNA-molekylet er i røynda ca. 0,000005 mm breitt. Ma˚l breidda pa˚ illustrasjonen. Kva ma˚lestokk er brukt?

DNA-molekyl

Forminsking Husteikningar og kart er eksempel pa˚ teikningar som er mindre enn den verkelege verda dei skal vise. Dei er derfor modellar av den verkelege verda. Ma˚lestokken pa˚ teikninga eller kartet seier kor stor forminskinga er, og vi gir henne alltid opp som eit forhold.

Modell av Operaen i Oslo i forminska ma˚lestokk. Vinnarutkastet til Snøhetta.

Dersom ma˚lestokken er 1 : 100, betyr det at alle lengder eigentleg er 100 gonger sa˚ store som dei lengdene vi ma˚ler pa˚ teikninga. Da vil teikninga vere ei forminsking av den verkelege verda.

Ma˚ling og berekningar

179


Eksempel

Biletet av flyet er i ma˚lestokken 1 : 1000. Flyet er 7,3 cm langt pa˚ biletet. Kor langt er flyet eigentleg?

Airbus A 380, det største passasjerflyet i verda

Løysing Flyet er 1000 gonger sa˚ langt som lengda pa˚ biletet. 7,3 cm  1000 = 7300 cm = 73 m

Ma˚ling og berekningar

Flyet er i røynda 73 m.

180

Oppga˚ver 5.11 Kor lange er tinga eigentleg? a) Ma˚lestokk 1 : 5

b) Ma˚lestokk 1 : 10

c) Ma˚lestokk 1 : 200

5,5 cm


5.12 Kartet over Austerrike er i ma˚lestokken 1 : 5 000 000. Finn avstanden i luftlinje mellom a) Wien og Innsbruck b) Salzburg og Graz c) Kitzbu¨hel og Villach

Kart over Austerrike i ma˚lestokk 1 : 5 000 000. Cappelens atlas for ungdomstrinnet.

5.13 Pa˚ eit kart i ma˚lestokken 1 : 50 000 er det 8 cm mellom Dalen og Toppen. Kor langt er det i luftlinje mellom dei to stadene? 5.14 Sara skal lage ein drage. Ho teiknar han i ma˚lestokken 1 : 20. Kva blir ma˚la pa˚ dragen i røynda? 2 cm

5 cm

Ma˚ling og berekningar

181


˚ finne ma˚lestokken A Na˚r vi skal finne ma˚lestokken til ei teikning, ein ting eller eit kart, ma˚ vi vite kor lang avstanden eigentleg er. Den eigentlege avstanden og avstanden pa˚ for eksempel kartet ma˚ vere i den same nemninga, for eksempel centimeter. Regel

Vi finn ma˚lestokken til ei forstørring ved a˚ dividere forstørringa med den verkelege lengda. Vi finn ma˚lestokken til ei forminsking ved a˚ dividere den verkelege lengda med den ma˚lte lengda.

Eksempel

Bindersen er eigentleg 3 cm lang. I kva ma˚lestokk er bindersen teikna?

Ma˚ling og berekningar

Løysing Bindersen er 6 cm pa˚ teikninga og 3 cm i røynda.

182

6 cm =2 3 cm Bindersen er teikna i m˚alestokken 2 : 1.

Eksempel

Avstanden i luftlinje fra˚ Leknes til Svolvær er 40 km. Kva er ma˚lestokken til kartet?

Løysing Avstanden pa˚ kartet er 5 cm. 40 km = 4 000 000 cm 4 000 000 cm = 800 000 5 cm M˚alestokken til kartet er 1: 800 000.

Cappelens atlas for ungdomstrinnet


Oppga˚ver 5.15 Finn ma˚lestokken na˚r den eigentlege avstanden er a) 5 cm og avstanden pa˚ forstørringa er 15 cm b) 3 cm og avstanden pa˚ forstørringa er 60 cm c) 0,001 mm og avstanden pa˚ forstørringa er 1 cm 5.16 Finn ma˚lestokken na˚r den eigentlege avstanden er a) 5000 cm og avstanden pa˚ forminskinga er 5 cm b) 40 km og avstanden pa˚ forminskinga er 4 cm c) 175 mil og avstanden pa˚ forminskinga er 7 cm 5.17 Kva er ma˚lestokken til karta na˚r avstanden fra˚ Oslo til Fredrikstad er ca. 82 km?

a)

b)

c)

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

Ma˚ling og berekningar

183


5.18 Kva ma˚lestokk har bileta? a)

Bla˚vinge, vengespenn ca. 2,5 cm

Ma˚ling og berekningar

b)

184

Aurorasommerfugl, vengespenn ca. 4 cm

5.19 Pa˚ eit teppemønster er bitane 1,5 cm breie. Pa˚ det ferdige teppet er bitane 12 cm breie. Kva er ma˚lestokken til teppemønsteret?


Volum, og areal av ei overflate

?

Dei to eskene har det same volumet, men ikkje den same overflata.

Kva er forskjellen pa˚ volum og overflate?

Volum av eit prisme Eksempel pa˚ rette firkanta prisme er fyrstikkesker, drikkekartongar, sandkasser, høgtalarar og kritesker.

Kongruent betyr identisk!

Endeflatene i kvart rette prisme er heilt like i ba˚de form og storleik. Vi seier at dei er kongruente.

Ma˚ling og berekningar

185


h

h b

l

h b

l

b l

Arealet av grunnflata i eit rett firkanta prisme er lengda  breidda. Vi skriv G = lb Volumet av eit rett firkanta prisme er grunnflata  høgda. Vi skriv V = Gh Regel

Volumet V av eit rett firkanta prisme med lengda l, breidda b og høgda h er V=lbh Volumet V av eit prisme med grunnflata G og høgda h er

Ma˚ling og berekningar

V=Gh

186

Eksempel

a) Rekn ut arealet av grunnflata til eska. b) Rekn ut volumet til eska. 2 cm 4 cm 8 cm

Løysing Eska er eit rett firkanta prisme. a) Grunnflata er lengda  breidda. G = 8 cm  4 cm = 32 cm2 Arealet av grunnflata er 32 cm2 :


b) Volumet er grunnflata  høgda. V = 32 cm2  2 cm = 64 cm3 Volumet er 64 cm3 .

Oppga˚ver 5.20 Eit rett firkanta prisme har grunnflata 20 cm2 . Rekn ut volumet na˚r høgda er a) 2 cm b) 5 cm c) 10 cm d) 35 cm 5.21 a) Rekn ut arealet av grunnflata i prismet. b) Rekn ut volumet av prismet.

3 cm 2 cm 6 cm

5.22 Rekn ut volumet av prisma. a)

c)

2 cm

4 cm

8 cm

3 cm 8 cm 2 cm

b) 1 cm 2 cm 15 cm

5.23 I eit rett trekanta prisme har grunnflata eit areal pa˚ 42 cm2 . Høgda i prismet er 8 cm.

8 cm

Rekn ut volumet av prismet.

Ma˚ling og berekningar

187


Arealet av overflata til eit prisme Eit rett firkanta prisme er sett saman av seks flater. Flatene er rektangel, og to og to flater er heilt like.

b h h b l

l

MaË&#x161;ling og berekningar

Vi finn arealet av overflata til prismet ved aË&#x161; leggje saman arealet av dei seks rektangla: Arealet av botnflata og toppflata: 2  l  b Arealet av dei to endeflatene: 2  h  b Arealet av dei to sideflatene: 2  l  h Arealet av alle seks flatene blir A = 2lb + 2hb + 2lh

188

Regel

Arealet av overflata til eit rett firkanta prisme med sidene l, b og h er: A = 2lb + 2hb + 2lh Eksempel

2 cm

Rekn ut arealet av overflata til eska. Løysing Arealet A av overflata til prismet er:

4 cm 8 cm

A = 2  8 cm  4 cm + 2  4 cm  2 cm + 2  8 cm  2 cm = 64 cm2 + 16 cm2 + 32 cm2 = 112 cm2 Arealet av overflata til eska er 112 cm2 :


Oppga˚ver 5.24 Rekn ut arealet av overflata av eskene. a) b) 3 cm

c)

7 cm

6 cm

2 cm

5 cm 3 cm

4 cm

16 cm

5 cm

5.25 Ei kriteske er 8 cm lang, 5 cm brei og 2 cm høg. Rekn ut arealet av overflata til kriteska. 5.26 Sara skal lage ei leikekasse til systera si. Kassa skal vere 40 cm lang, 30 cm brei og 20 cm høg. Ho skal vere utan lokk, men med botn. Kor mange kvadratdesimeter materiale ga˚r det med til a˚ lage kassa?

5.27 To esker har form som rette firkanta prisme. 2 cm

4 cm

4 cm

4 cm 4 cm

8 cm

a) Rekn ut volumet av begge prisma. b) Rekn ut arealet av overflata til begge prisma. c) Samanlikn svara du har fa˚tt. Kva legg du merke til?

Ma˚ling og berekningar

189


5.28 Martin ma˚ler storleiken pa˚ eit glasprisme pa˚ naturfagrommet. Prismet er 5,0 cm høgt. Grunnflata er ein rettvinkla trekant der katetane er 2,0 cm. a) Lag ei teikning av prismet. b) Rekn ut volumet av prismet. c) Rekn ut arealet av overflata til prismet.

Ma˚ling og berekningar

Volumet av ein sylinder

190

I ein sylinder er grunnflata og toppflata to like store sirklar. Høgda h er avstanden mellom grunnflata og toppflata. Arealet av grunnflata i ein sylinder er   radius  radius. Vi skriv G =   r  r eller G = r 2 Volumet av ein sylinder er grunnflata  høgda. Vi skriv V = G  h eller V = r 2  h

Regel

Volumet V av ein sylinder med grunnflata G og høgda h er V = Gh Volumet V av ein sylinder med radien r og høgda h er V = r 2  h

r h


Eksempel

Ein boks fiskebollar har radius 5 cm og høgd 12 cm. a) Rekn ut arealet av grunnflata i boksen. b) Rekn ut volumet av boksen. Løysing a) Arealet G av grunnflata er G =   r  r = 3,14  5 cm  5 cm = 78,5 cm2

Best i verden

Arealet av grunnflata i boksen er 78,5 cm2 : b) Volumet V av boksen er V = G  h = 78,5 cm2  12 cm = 942 cm3 Volumet av boksen er 942 cm3 :

Vi kan ogsa˚ rekne pa˚ denne ma˚ten.

V = r 2  h =   r  r  h = 3,14  5 cm  5 cm  12 cm = 942 cm3

Oppga˚ver 5.29 Rekn ut volumet av sylindrane. a) b)

c)

2 cm

5 cm 4 cm 4 cm 2 cm

3 cm

Ma˚ling og berekningar

191


5.30 Ein kjele har form som ein sylinder. Radien er 10 cm, og høgda er 12 cm. a) Rekn ut arealet av grunnflata. b) Rekn ut volumet av kjelen. c) Kor mange kubikkdesimeter rommar kjelen?

Hugs! 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 liter

Ma˚ling og berekningar

5.31 Ei kakeform har radius 12 cm og høgd 5 cm. a) Rekn ut arealet av grunnflata. b) Kor mange liter rommar kakeforma?

192

5.32 Ein oljetank har form som ein sylinder. Radien er 3 m, og høgda er 2 m. Kor mange a) kubikkmeter rommar tanken b) liter rommar tanken 5.33 Ein vasslange har form som eit sylindrisk røyr. Radien er 1 cm. Slangen er 30 m lang og er fylt med vatn. Kor mange a) kubikkcentimeter vatn er det i slangen b) liter vatn er det i slangen

5.34 Eit kumlokk av betong har diameteren 80 cm. Det er 6 cm tjukt. Rekn ut volumet av kumlokket.


Arealet av overflata til ein sylinder Dersom vi klipper opp ein sylinder, fa˚r vi eit rektangel og to sirklar.

Sideflata i sylinderen er eit rektangel. Endeflatene er to like sirklar. Det betyr at overflata av ein sylinder er sett saman av eitt rektangel og to sirklar. Begge sirklane har arealet A = r 2 : Breidda av rektangelet er det same som høgda h i sylinderen. Lengda av rektangelet ma˚ vere like lang som omkrinsen O av endeflata i sylinderen. Vi veit at O =   d = 2r Arealet A av rektangelet blir da A = 2r  h Arealet av heile overflata til sylinderen blir derfor A = r 2 + r2 + 2r  h A = 2r2 + 2r  h Regel

Arealet av overflata til ein sylinder med radius r og høgd h er A = 2r2 + 2r  h

Ma˚ling og berekningar

193


Eksempel

Rekn ut arealet av overflata til ein sylinder med radius 2 cm og høgd 5 cm.

r = 2 cm

h = 5 cm

Ma˚ling og berekningar

Løysing Vi reknar ut arealet av ba˚de grunnflate, toppflate og sideflate. Arealet av overflata blir da:

194

A = 2r2 + 2r  h = 2  3,14  2 cm  2 cm + 2  3,14  2 cm  5 cm = 25,12 cm2 + 62,8 cm2 = 87,92 cm2  88 cm2 Arealet av overflata til sylinderen er 88 cm2 :

Oppga˚ver 5.35 Rekn ut arealet av overflata til sylindrane. a) b) 2 cm

c) 5 cm

4 cm 4 cm 2 cm

3 cm


5.36 Ein sylinder har radius 4 cm og høgd 6 cm. Rekn ut a) arealet av grunnflata b) arealet av overflata til sylinderen

5.37 Sylinderen har radius 2 m og høgd 5 m. Rekn ut a) arealet av grunnflata b) arealet av overflata til sylinderen

4 cm

6 cm

2m

5m

5.38 Ei søppelkasse har form som ein sylinder. Kassa har ikkje lokk. Rekn ut arealet av overflata til søppelkassa na˚r ho har ein utvendig diameter pa˚ 50 cm og ei utvendig høgd pa˚ 70 cm. 5.39 Eit røyr har ein utvendig diameter pa˚ 20 cm. Røyret er 4 m langt og er laga av betong. a) Rekn ut det utvendige volumet av røyret. b) Kor stort er arealet til den utvendige overflata av røyret? Vi ser bort fra˚ kor tjukt røyret er. 5.40 Martin lagar eit literma˚l av plast. Det har form som ein sylinder der grunnflata har ein radius pa˚ 2 cm. Kor høg ma˚ sylinderen vere for at han skal romme 1 liter?

Ma˚ling og berekningar

195


Ma˚ling og berekningar

Prøv deg sjølv

196

1

Skriv opp dei ma˚leinstrumenta som du meiner er dei mest brukte.

2

Kvifor er nokre tal sikre, mens andre tal er usikre?

3

Klasserommet til Hanna er 8,7 m langt. Kor nøyaktig er den lengda oppgitt?

4

Ei fluge er ca. 7 mm lang. Herman vil teikne ei slik fluge i ma˚lestokken 15 : 1.

Kor lang blir fluga pa˚ teikninga til Herman? 5

Ei golvmatte har form som ein sirkel. Diameteren er 1,20 m. a) Kor mange centimeter er 1,20 m? b) Rekn ut omkrinsen og arealet av matta.

6

Avstanden i luftlinje fra˚ Forsnes til Sandstad er 35 km. Kva er ma˚lestokken til kartet?

7

Ei firkanta kasse er 8 dm lang, 6 dm brei og 5 dm høg. a) Kor mange liter rommar kassa? b) Rekn ut overflata av kassa.

Cappelens atlas for ungdomstrinnet


8

Ei firkanta eske har ei grunnflate som er eit rektangel. Lengda i rektangelet er 15 cm. Høgda av eska er 10 cm. Eska har eit volum pa˚ 1800 cm3 . Rekn ut breidda av rektangelet i grunnflata.

9

Biletet av sommarfuglen er i ma˚lestokken 1 : 2. Kor stort vengespenn har sommarfuglen eigentleg?

Svalestjert

10

Ein blikkboks har form som ein sylinder. Han er 25 cm høg, og radien i grunnflata er 12 cm. Rekn ut a) arealet av grunnflata b) volumet av boksen c) overflata av boksen

11

Ein tank har form som ein sylinder. Radius i grunnflata er 60 cm. Sara fyller 1350 liter vatn i tanken. Kor høgt opp i tanken sta˚r vatnet?

Ma˚ling og berekningar

197


Ma˚ling og berekningar

Noko a˚ lure pa˚

198

1

Martin og Lotte samanlikna to sylindrar. Dei var like høge, men den eine hadde ein diameter i grunnflata som var dobbelt sa˚ lang som diameteren i den andre. Kor mykje rommar desse sylindrane i forhold til kvarandre?

2

Eit kvadrat og ein sirkel har like stort areal. Hanna meiner at sirkelen har den største omkrinsen. Herman meiner at kvadratet har den største omkrinsen. Kven har rett?

3

Kvifor er ma˚lestokken 1 : 100 000 mindre enn ma˚lestokken 1 : 50 000?

4

Hanna bretta saman eit A4-ark til ein sylinder. Simen bretta ogsa˚ eit A4-ark saman til ein sylinder, men han fekk ein annan type sylinder enn Hanna. Har dei to sylindrane like stort volum? Forklar korleis du kom fram til svaret.


Oppsummering Ma˚lestokk Ma˚lestokken er eit ma˚l for kor stor ei forstørring eller forminsking er. M = 20 : 1 betyr at 1 cm i den verkelege verda svarer til 20 cm pa˚ teikninga. M = 1 : 10 betyr at 1 cm pa˚ teikninga svarer til 10 cm i den verkelege verda. Vi finn ma˚lestokken til ei forstørring ved a˚ dividere forstørringa med den verkelege lengda. Vi finn ma˚lestokken til ei forminsking ved a˚ dividere den verkelege lengda med den ma˚lte lengda.

Volum og overflate av eit prisme Vi finn volumet V av alle prisme ved a˚ multiplisere grunnflata G med høgda h. V = Gh Overflata av eit rett firkanta prisme er sett saman av seks rektangel. Vi finn arealet av overflata ved a˚ summere areala av rektangla.

Volum og overflate av ein sylinder Vi finn volumet V av ein sylinder ved a˚ multiplisere grunnflata G med høgda h. V = Gh V = r 2  h Arealet av overflata til ein sylinder er sett saman av to like store sirkelflater og eit rektangel. Arealet av overflata til ein sylinder med radius r og høgd h er A = 2r 2 + 2r  h

Ma˚ling og berekningar

199


Hm ...

y er ein funksjon av x.

E = mc2


6 Funksjonar Ein funksjon viser korleis ein verdi endrar seg pa˚ grunnlag av ein annan verdi. Dersom 1 kg pærer kostar 10 kr, kostar 5 kg pærer 5  10 kr. Da er summen vi ma˚ betale for pærene, ein funksjon av prisen per kg.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . .

koordinatsystemet korleis funksjonar kan beskrive praktiske situasjonar korleis vi kan setje opp ein funksjon pa˚ grunnlag av ein tabell korleis vi kan teikne ein graf til ein funksjon

Dette ma˚ eg undersøkje nærmare!!


Koordinatsystemet

?

3 2 1 -4 -3 -2 -1

-1

1

2

3

-2 -3

Skatten er -4 i punktet (–3, 2).

Funksjonar

Kva meiner han med (–3, 2)?

202

Eit koordinatsystem er sett saman av to aksar, førsteaksen og andreaksen. Førsteaksen er vassrett, og andreaksen er loddrett. Skjeringspunktet mellom aksane kallar vi for origo, eller nullpunktet. Vi kan beskrive alle punkt i koordinatsystemet ved hjelp av to koordinatar, førstekoordinaten og andrekoordinaten.

Førsteaksen 5 4 3 2 Andrekoordinaten 1 Førsteaksen -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 Førstekoordinaten -2 -3

Origo

-4 -5

Pa˚ sjørøvarkartet over er førstekoordinaten –3, og andrekoordinaten 2. Skatten eller punktet kan vi beskrive ved hjelp av talparet (–3, 2). 1. koordinaten

2. koordinaten

(–3, 2)


Vi bestemmer koordinatane til punktet P slik:

5 4

Først ga˚r vi fra˚ punktet og vinkelrett pa˚ førsteaksen. Vi les av førstekoordinaten: –3

3 P

2 1

Sa˚ ga˚r vi fra˚ punktet og vinkelrett pa˚ andreaksen. Vi les av andrekoordinaten: 2

-5

-4

-3

-2

-1

2

3

4

5

-2 -3

Punktet P har koordinatane (–3, 2). Vi skriv: P(–3, 2)

-4 -5

Koordinatane til eit punkt bestemmer altsa˚ kor i koordinatsystemet punktet skal vere. Vi kan derfor plassere eit punkt i koordinatsystemet dersom vi kjenner koordinatane til punktet. Dersom vi skal teikne punktet A(4, 3), ga˚r vi loddrett opp fra˚ talet 4 pa˚ førsteaksen og vassrett til høgre fra˚ talet 3 pa˚ andreaksen. Punktet A ligg der dei to linjene kryssar kvarandre.

1 -1

5 4 A

3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

Regel

Eit koordinatsystem er sett saman av to aksar som sta˚r vinkelrett pa˚ kvarandre. Pa˚ førsteaksen finn vi førstekoordinaten, og pa˚ andreaksen finn vi andrekoordinaten.

Funksjonar

203


Eksempel

Finn koordinatane til punkta A, B, C og D.

A 5 4 3 B 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 C -2 D

-3 -4 -5

Løysing

A(3, 5), B(--5, 2),

4 3 B

2 1

C(--2, --2), D(5, --3)

Funksjonar

-5

204

Hugs! Førstekoordinaten sta˚r først i parentesen.

A

5

Punkta A, B, C og D har koordinatane

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 C -3 D -4 -5


Eksempel

Teikn punkta A(3, 2) og B(–2, –5) i eit koordinatsystem. Løysing 5 4 3 A 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

B

Oppga˚ver 6.1

Finn koordinatane til punkta.

5 4 3 2

P

1 R -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-1 S

-2

Q

-3 -4 -5

Funksjonar

205


6.2

a) Teikn eit koordinatsystem og merk av desse punkta: A(–3, –2) B(2, –2) C(2, 2) D(–3, 2)

6.3

a) Finn koordinatane til punkta A, B, C og D. D

6 C

5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2 A

-1

1

2

3

4

5

6 B

-1 -2

Funksjonar

b) Teikn linjestykka BD og AC. Kva er koordinatane til skjeringspunktet mellom desse linjestykka?

206

6.4

Teikn eit koordinatsystem og merk av punkta: A(1, 5), B(–5, 1), C(4, –3), D(–3, –4), E(7, 0) og F(0, 7).

6.5

a) Teikn eit koordinatsystem og merk av punkta: A(0, 0), B(–2, 0), C(–2, –2) og D(0, –2). b) Teikn linjestykka AB, BC, CD og DA. c) Kva slags firkant fa˚r du?

6.6

a) Teikn eit koordinatsystem og merk av punkta: K(4, 4), L(–2, 4), M(–2, 0) og N(4, 0). b) Teikn firkanten KLMN. c) Teikn linjestykka KM og LN. d) Finn koordinatane til skjeringspunktet S mellom KM og LN.

6.7

Merk av punkta (–4, –4) og (–2, 1) i eit koordinatsystem. Teikn ei linje gjennom punkta, og forleng linja slik at ho skjer andreaksen. Finn koordinatane til skjeringspunktet med andreaksen.


Formlar og funksjonar

? Dersom eg kjøper x eple, ma˚ eg betale 5x kr.

Kva meiner Sara eigentleg? 1 eple kostar 2 eple kostar 3 eple kostar x eple kostar

1  5 kr = 5 kr 2  5 kr = 10 kr 3  5 kr = 15 kr x  5 kr = 5x kr

Dersom vi le`t x sta˚ for talet pa˚ kilogram og y sta˚ for prisen, kan vi skrive y = 5x Vi har no funne ein formel for prisen. Vi seier at prisen y er ein funksjon av talet x, og at y er ein funksjon av x gitt ved formelen y = 5x: y = 5x er eit funksjonsuttrykk. Vi kan rekne ut forskjellige verdiar av y ved a˚ velje forskjellige verdiar for x. Dette kan vi setje opp i ein tabell:

x

5x

y

1

51

5

2

52

10

3

53

15

4

54

20

5

55

25

Funksjonar

207


Regel

y er ein funksjon av x na˚r kvar verdi av x gir e´in verdi av y.

Eksempel

Mor til Simen køyrer bil med ein fart pa˚ 70 km per time. a) Rekn ut køyrelengda y i kilometer na˚r mora køyrer i 2 timar, 3 timar og 4 timar. b) Finn ein formel for køyrelengda y i kilometer na˚r ho køyrer i x timar. c) Bruk formelen til a˚ rekne ut køyrelengda na˚r ho køyrer i 3,5 timar. Løysing a) y = 70  2 = 140 Na˚r ho køyrer i 2 timar, er køyrelengda 140 km. y = 70  3 = 210 Na˚r ho køyrer i 3 timar, er køyrelengda 210 km. y = 70  4 = 280 Na˚r ho køyrer i 4 timar, er køyrelengda 280 km. b) Na˚r ho køyrer x timar, er køyrelengda y i kilometer y = 70  x = 70x

Funksjonar

y = 70x

208

c) Na˚r ho køyrer i 3,5 timar, er køyrelengda y = 70x = 70  3,5 = 245 Køyrelengda er 245 km n˚ar ho køyrer i 3,5 timar.


Oppga˚ver 6.8

Hanna syklar 18 km per time. a) Kor mange kilometer syklar ho pa˚ 3 timar? b) Kor mange kilometer syklar ho pa˚ 4 timar? c) Finn ein formel for køyrelengda y i kilometer na˚r ho syklar i x timar. d) Bruk formelen til a˚ rekne ut køyrelengda na˚r ho syklar i 2,5 timar. e) Forklar kvifor y er ein funksjon av x.

6.9

Pa˚ ein bensinstasjon kostar bensinen 12,50 kr per liter. a) Kor mykje kostar 5 liter bensin? b) Finn ein formel for prisen p i kroner na˚r Martin kjøper x liter bensin. c) Bruk formelen til a˚ rekne ut prisen na˚r han kjøper 20 liter bensin. d) Forklar kvifor p er ein funksjon av x.

6.10 Formelen y = 0,35  x fortel kva Lotte ma˚ betale for x SMS-meldingar. Kor mykje ma˚ ho betale for a) 10 SMS-meldingar b) 30 SMS-meldingar c) Kva finn du ut dersom du set x = 100 inn i formelen? d) Forklar kvifor y er ein funksjon av x. 6.11 Omkrinsen O av ein sirkel med diameter d finn vi ved hjelp av formelen O =   d: a) Rekn ut omkrinsen O av ein sirkel na˚r diameteren d er 10 cm. Bruk  = 3,14 eller -tasten pa˚ kalkulatoren. b) Rekn ut omkrinsen O av ein sirkel na˚r diameteren d er 15 cm. c) Forklar kvifor omkrinsen O er ein funksjon av diameteren d.

d

Funksjonar

209


6.12 Formelen y = 70x fortel kor mykje det kostar for x billettar pa˚ kino. a) Rekn ut prisen y for billettane na˚r du kjøper 3 billettar. b) Lag ein tabell som viser prisen for 1 billett, 2 billettar, ..., 6 billettar. c) Forklar kvifor y er ein funksjon av x.

Funksjonar

6.13 Herman reiser med buss til byen for a˚ ga˚ pa˚ kino. Kinobillettane kostar 70 kr per billett, og han betaler 40 kr for bussturen til og fra˚ byen. a) Finn ein formel for utgiftene u i kroner som Herman har na˚r han reiser til og fra˚ byen og kjøper x kinobillettar. b) Rekn ut kor mykje Herman ma˚ betale i alt na˚r han kjøper fem billettar.

210


Grafen til ein funksjon

?

y = 15 . x

Korleis kan vi plassere x og y i koordinatsystemet?

Korleis kan vi teikne grafen til ein funksjon? Sara kjøper appelsinar i butikken for 15 kr per kilogram. Dersom prisen for x kilogram appelsinar er y kr, faË&#x161;r vi formelen y = 15  x Vi reknar ut kor mykje det kostar for 1 kg, 2 kg, . . ., 6 kg, og set resultatet opp i ein tabell: Antall kilogram (kg)

x

1

2

3

4

5

6

Pris (kr)

y

15

30

45

60

75

90

6  15 = 90

Funksjonar

211


Vi kan no bruke tabellen til a˚ teikne ein graf som viser samanhengen mellom talet pa˚ kilogram (x) og prisen (y).

y 100 90 80

Vi teiknar av punkta (koordinatane): (1,15), (2,30), (3,45), (4,60), (5,75), og (6,90) der x er førstekoordinaten og y er andrekoordinaten. Dersom vi kjøper 2,5 kg, kan vi lese av pa˚ grafen at vi ma˚ betale 37,50 kr. Vi har framstilt funksjonen

70 60 50 40 30 20 10 0

y = 15  x grafisk:

1

2

Eksempel

Funksjonar

Ein kinobillett kostar 80 kr. For x kinobillettar betaler Simen y kr. a) Skriv y som ein funksjon av x. b) Framstill funksjonen grafisk.

212

Løysing a) Funksjonsuttrykket blir y = 80  x: b) Tabellen viser kor mykje kinobillettar kostar.

3

4

5

6

7 x


x (kinobillettar)

0

1

2

3

4

5

6

y (pris i kr)

0

80

160

240

320

400

480

Pris (kr) 500

Hugs at avstanden mellom einingane pa˚ aksane ma˚ vere like stor heile tida.

400 300 200 100 0 0

1

2

3

4

5

6

Kinobillettar

Oppga˚ver 6.14 Hanna kjøper mandarinar pa˚ tilbod til 12 kr per kilogram. a) Kor mykje ma˚ Hanna betale for 3 kg mandarinar? b) For x kg mandarinar betaler Hanna y kr. Forklar kvifor y er ein funksjon av x gitt ved formelen y = 12  x: c) Lag ein tabell som viser kor mykje Hanna ma˚ betale for 1 kg, 2 kg, . . ., 5 kg mandarinar. d) Teikn ein graf som viser samanhengen mellom talet pa˚ kilogram og prisen. La 1 cm pa˚ førsteaksen svare til 1 kg, og la 1 cm pa˚ andreaksen svare til 10 kr. 6.15 Familien til Lotte er pa˚ biltur. Gjennomsnittsfarten er 60 km/h. a) Kor langt køyrer familien pa˚ 2 timar? b) Pa˚ x timar køyrer familien y km. Forklar kvifor y er ein funksjon av x gitt ved formelen y = 60x. c) Teikn ein graf som viser køyrelengda. La 1 cm svare til 1 time pa˚ førsteaksen, og la 1 cm svare til 50 km pa˚ andreaksen. d) Bruk grafen til a˚ finne ut kor langt dei køyrer pa˚ 2,5 timar. e) Kor lang tid bruker familien pa˚ a˚ køyre 210 km?

Funksjonar

213


6.16 Martin skal pa˚ ferie til Italia og kjøper euro i banken. Han betaler 8 kr for 1 euro.

Venezia i Italia

Funksjonar

a) Kor mykje betaler Martin for 10 euro? b) For x euro betaler Martin y kr. Forklar kvifor y er ein funksjon av x gitt ved formelen y = 8  x. c) Lag ein tabell som viser kor mykje Martin ma˚ betale for 5, 10, 15, . . ., 50 euro. d) Teikn ein graf som viser prisen pa˚ euro. Bruk grafen til a˚ finne ut e) kor mykje 22 euro kostar f) kor mange euro Martin fa˚r for 272 kr

214

6.17 Herman betaler 70 kr per ma˚nad for a˚ ha mobiltelefon. I tillegg betaler han 0,60 kr for kvar SMS-melding han sender. La y vere mobiltelefonutgiftene na˚r Herman sender x SMS-meldingar per ma˚nad. y er da ein funksjon av x gitt ved formelen y = 0,60x + 70 a) Framstill funksjonen grafisk. La 1 cm svare til 100 SMS-meldingar pa˚ førsteaksen, og la 1 cm svare til 100 kr pa˚ andreaksen. b) Kor mykje ma˚ Herman betale na˚r han sender 300 SMS-meldingar? c) Kor mange SMS-meldingar kan Herman sende for 220 kr?


Meir om funksjonar

?

y=2.x x –4 –2 –1 0 1 y –8 –4 –2 0 2

Korleis blir grafen na˚r det er ba˚de negative og positive x-verdiar? I matematikk arbeider vi ofte med funksjonar der dei variable storleikane er tal, sjølv om tala ikkje har noko a˚ seie i dagleglivet. Tala kan vere ba˚de negative og positive. Ein funksjon kan vere y = 2  x. Vi set inn forskjellige verdiar for x og reknar ut verdiane for y. Resultatet set vi opp i ein tabell. x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

Vi fa˚r desse punkta: (–4, –8), (–3, –6), (–2, –4), (–1, –2), (0, 0), (1, 2), (2, 4) og (3, 6)

Funksjonar

215


Vi merkjer av punkta i eit koordinatsystem: y 6 5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6 x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Vi ser at grafen til funksjonen y = 2  x er ei rett linje. Uttrykket y = 2  x kallar vi likninga til linja. Vi seier ofte berre linja y = 2  x:

Funksjonar

Oppga˚ver

216

6.18 I funksjonen y = 3  x kan vi setje inn forskjellige verdiar for x. a) Rekn ut verdien av y na˚r x = –3, x = –2, x = –1, x = 0, x = 1 og x = 2, og fyll ut resten av tabellen. x

–3

–2

y

–9

–6

–1

0

1

2

b) Skriv opp koordinatane til punkta. c) Teikn grafen til funksjonen y = 3  x.


6.19 Herman skreiv opp ein funksjon slik: y = --2x

a) Skriv av og fyll ut resten av tabellen.

x

–2

–1

0

1

2

y 4 b) Skriv opp koordinatane til punkta. c) Teikn grafen til funksjonen y = –2x.

3

–4

6.20 Teikn grafen til funksjonen y = 1,5  x. Vel verdiane –3, –2, –1, 0, 1, 2 og 3 na˚r du skal rekne ut verdiar for y. 6.21 Teikn grafen til funksjonen y = 2x + 3. Vel sjølv passande verdiar for x. 6.22 Finn funksjonsuttrykket til graf a og graf b.

y 8

6

a)

4

2

-4

-2

2

4 x

-2 b) -4

-6

Funksjonar

217


Prøv deg sjølv 1

Sara har hatt a˚tte matematikkprøver i løpet av a˚ret. Ho har laga ein graf som viser kva karakter ho fekk pa˚ kvar prøve. Karakter 6 5 4 3 2 1 0 1

2

3

4 5 Prøve nr.

6

7

8

Kva karakter fekk Sara pa˚ prøve a) nr. 2 b) nr. 7 Pa˚ kva for ei eller kva for nokre prøver fekk ho c) karakteren 6 d) karakteren 4

2

Finn koordinatane til punkta A, B, C, D og E. 6 5

E

Funksjonar

A

218

4 3 2 D

1 B -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

-1 -2 -3

C

3

4

5

6


3

a) Teikn eit koordinatsystem og merk av punkta A(1, 1), B(6, 1), C(6, 4) og D(1, 4). b) Teikn linjestykka AB, BC, CD og DA. Kva slags firkant er ABCD? c) Teikn linjestykka AC og BD. Kva er koordinatane til skjeringspunktet mellom desse linjene?

4

Simen set opp ein tabell som viser kor mykje 1 kg, 2 kg, ..., 5 kg eple kostar. Kilogram

1

2

3

4

5

Pris (kr)

18

36

54

72

90

a) Bruk tala i tabellen til a˚ teikne ein graf. La 1 cm svare til 1 kg pa˚ førsteaksen og 1 cm svare til 10 kr pa˚ andreaksen. b) Kor mykje kostar 3,5 kg eple? c) Kor mykje eple fa˚r du for 81 kr? 5

Herman syklar med farten 15 km per time. a) Kor mange kilometer syklar han pa˚ 2 timar? b) Finn ein formel for køyrelengda y na˚r han syklar x km. c) Forklar kvifor y er ein funksjon av x.

6

Martin kjøper pærer til 16 kr per kilogram. a) Kor mykje betaler Martin for 2 kg pærer? b) For x kg pærer betaler han y kr. Forklar kvifor y er ein funksjon av x gitt ved formelen y = 16  x: c) Teikn ein graf som viser samanhengen mellom talet pa˚ kilogram og prisen. Vel sjølv einingar pa˚ aksane.

7

Vi har funksjonen y = 4  x. a) Rekn ut verdien av y na˚r du set inn x = –2, x = –1, x = 0, x = 1 og x = 2. b) Set resultata opp i ein tabell. c) Teikn grafen til funksjonen y = 4  x.

Funksjonar

219


Noko a˚ lure pa˚ 1

Portoen pa˚ eit brev er ein funksjon av vekta pa˚ brevet, men vekta av eit brev er ikkje ein funksjon av portoen pa˚ brevet.

Forklar kva læraren til Lotte meiner. 2

Eit mobiltelefonselskap laga to grafar som viser forskjellige prisar pa˚ mobilabonnement. Pris (kr)

600 500

Funksjonar

400

220

300 200 100 0 1

2

3

4

5

6

7

8 Ringjetid (timar)

Forklar forskjellen pa˚ dei to grafane.


3

Kva for nokre av utsegnene nedanfor er rette? a) Den skatten vi ma˚ betale, er ein funksjon av inntekta va˚r. b) Resultata pa˚ ei matematikkprøve er ein funksjon av den tida du bruker pa˚ prøva. c) Den tida du bruker pa˚ a˚ springe 60 m, er ein funksjon av kor mange timar du har trena. d) Herman syklar i 5 timar. Den strekninga han har sykla, er ein funksjon av gjennomsnittsfarten.

4

Sara teikna grafane til funksjonane y = 2x -- 1 og y = -- 2x + 3 i det same koordinatsystemet. Korleis kan Lotte finne koordinatane for skjeringspunktet ved hjelp av rekning?

5

Teikn av og plasser tala 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonnar og boksar (2  3) har med desse tala. Det same talet kan ikkje vere med to gonger i e´i rad, e´in kolonne eller e´in boks.

3 1

5 4 5

3 6

2

1 6 Sudoku

Funksjonar

221


Oppsummering Koordinatsystem Eit koordinatsystem er sett saman av to aksar, førsteaksen og andreaksen. Aksane sta˚r vinkelrett pa˚ kvarandre. Aksane skjer kvarandre i origo. Andreaksen 5 4 A 3 2 1 Origo Førsteaksen -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

Koordinatar Alle punkta i eit koordinatsystem er bestemte av eit talpar som vi kallar koordinatane til punktet. Vi finn førstekoordinaten pa˚ førsteaksen og andrekoordinaten pa˚ andreaksen.

Funksjonar

Koordinatane til punktet A er (2, 3).

222

Funksjon Ein storleik y er ein funksjon av ein annan storleik x dersom det til kvar verdi av x svarer e´in verdi av y. y er for eksempel ein funksjon av x gitt ved formelen y = 70  x:


Grafen til eIn funksjon Ein graf viser samanhengen mellom to variablar x og y. Na˚r vi lagar grafen, vel vi verdiar for x og reknar ut verdiar for y. Dei tala vi vel, skal sta˚ langs førsteaksen. Dei tala vi reknar ut, skal sta˚ langs andreaksen. Vi kan teikne ein graf pa˚ grunnlag av ei likning eller eit funksjonsuttrykk: y = 2x Grafen til funksjonen y = 2x er ei rett linje. Vi vel verdiar for førstekoordinaten og set opp ein tabell. Deretter reknar vi ut verdiane for andrekoordinatane og teiknar grafen til likninga. x

2

3

4

y

4

6

8

8 7 6 5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2

Funksjonar

223


Lurer pa˚ kva vi kan kjøpe for denne steinøksa?

Kan de betale med gull?


7 Kan vi handle pa˚ kreditt?

Økonomi Heilt fra˚ oldtida har handel med varer vore ein viktig del av dagleglivet va˚rt. Ved a˚ byte varer med kvarandre kunne alle fa˚ eit større vareutval og auke si eiga velferd. Vikingane tok blant anna med seg jern og møllesteinar til Europa, og i byte fekk dei varer som dei ikkje hadde i nord.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . prosent og promille i praktiske situasjonar . rabatt (avslag) og meirverdiavgift . avbetaling og renterekning

Hm. Tek dei ikkje kort ...?


Prosent og promille

?

Det er derfor vi flyt.

Daudehavet inneheld 300 ‰ salt! Kor mange prosent er det?

Kva er forskjellen pa˚ prosent og promille? Av og til bruker vi promille i staden for prosent. Eksempel pa˚ det er na˚r vi ma˚ler kor mykje salt det er i havvatn.

Økonomi

Promille betyr tusendelar, og symbolet for promille er ‰. Det vil seie at 1 1‰= 1000

226

Vi reknar med promille pa˚ den same ma˚ten som vi reknar med prosent. Slik gjer vi om promille til desimaltal: 15 = 0,015 15 ‰ = 1000

Hugs! Prosent betyr hundredelar. 1 . 1 % = 100


Eksempel

I Middelhavet inneheld vatnet ca. 38 ‰ salt. Kor mykje salt er det i 20 kg vatn fra˚ Middelhavet?

Dykking i Middelhavet

Løysing 38 ‰ =

38 = 0,038 1000

38 ‰ av 20 kg = 0; 038  20 kg = 0; 76 kg Det er 0,76 kg salt i 20 kg vatn fr˚a Middelhavet.

Oppga˚ver 7.1

7.2

Skriv som desimaltal. a) 15 ‰ b) 25 ‰

c) 45 ‰

d) 830 ‰

Skriv som desimaltal. a) 1,5 % b) 2,5 %

c) 4,5 %

d) 83 %

7.3

a) Samanlikn svara i oppga˚ve 7.1 og oppga˚ve 7.2. b) Skriv ein regel ut fra˚ det du finn ved samanlikninga.

7.4

Rekn a) 15 b) 25 c) 15

ut. ‰ av 200 g ‰ av 1200 g % av 2000 kr

d) 10 % av 200 kr e) 50 % av 200 g f) 830 ‰ av 200 g

Økonomi

227


7.5

I sjøvatn er det somme stader 30 ‰ salt. Kor mykje salt er det i 20 kg av dette sjøvatnet?

7.6

Ei sølvskei veg 25 g. Ho inneheld 830 ‰ reint sølv. Kor mange gram reint sølv er det i sølvskeia?

7.7

Nysølv inneheld 625 ‰ kopar, 125 ‰ sink og 250 ‰ nikkel. Kor mykje sink er det i 1 kg nysølv?

Hugs! 1 kg = 1000 g

˚ finne promillen A For a˚ finne ut kor mange promille 15 er av 750, ma˚ vi dividere 15 med 750:

Økonomi

15 = 0,020 750

228

Ettersom 0,020 =

20 , sa˚ er 0,020 = 20 ‰. 1000


Eksempel

Det er ca. 10 g salt i 1 kg vatn fra˚ Austersjøen. Kor mange promille salt inneheld vatn fra˚ Austersjøen? Løysing Vi gjer om vassmengda til gram: 1 kg = 1000 g 10 = 0,010 1000 Ettersom 0,010 =

10 , sa˚ er 0,010 = 10 ‰. 1000

Vatn fr˚a Austersjøen inneheld 10 ‰ salt.

Oppga˚ver 7.8

7.9

Skriv som promille. a) 0,036 b) 0,056

c) 0,075

d) 0,925

Skriv som prosent. a) 0,36 b) 0,56

c) 0,75

d) 9,25

7.10 Sara kokte 2 kg sjøvatn i ein kjele utan lokk. Etter kokinga var det 40 g salt igjen i kjelen. a) Kor mange promille salt var det i dette sjøvatnet? b) Kor mange prosent salt var det i sjøvatnet?

Økonomi

229


7.11 Daudehavet inneheld ca. 300 ‰ salt og Austersjøen ca. 10 ‰ salt. a) Kor mange gonger meir salt er det i vatnet i Daudehavet enn i vatnet i Austersjøen? b) Martin fekk ei vassprøve pa˚ 600 g. Han koker inn vatnet og finn ut at det inneheld 21 g salt. Fra˚ kva hav kjem vassprøva? Hav

Saltinnhald

Middelhavet

35 ‰

Nordsjøen

30 ‰

Austersjøen

10 ‰

Daudehavet

300 ‰

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

Økonomi

7.12 Ein bilførar blei stoppa i politikontroll. Politiet tok blodprøve av han, og han hadde 10,8 g alkohol i blodet. Det var ‰ av heile blodmengda i kroppen til bilføraren. Kor mange kilogram blod hadde bilføraren i kroppen sin?

230


Meirverdiavgift

?

Kva er forskjellen pa˚ inklusiv og eksklusiv?

Kva betyr ekskl. mva. og inkl. mva.? Vi betaler mange avgifter til staten. Eksempel pa˚ avgifter er – vegavgift – bensinavgift – alkoholavgift – meirverdiavgift Vi betaler ei meirverdiavgift (mva.) pa˚ mange varer. Denne avgifta kallar vi til dagleg for moms. I 2006 var meirverdiavgifta pa˚ dei fleste varene 25 %. Pa˚ matvarer var meirverdiavgifta 14 %. Dersom prisen pa˚ ei vare er opplyst utan meirverdiavgift, ma˚ vi leggje til meirverdiavgifta for a˚ finne ut kor mykje vi skal betale.

Ekskl. betyr eksklusiv, og inkl. betyr inklusiv.

Pris utan meirverdiavgift forkortar vi slik: Pris ekskl. mva. Pris med meirverdiavgift forkortar vi slik: Pris inkl. mva.

Økonomi

231


Eksempel

Sara vil kjøpe eit nytt skap til 1160 kr ekskl. mva. Kor mykje ma˚ Sara betale for skapet inkl. mva.? Meirverdiavgifta er 25 %. Løysing Pris utan meirverdiavgift: Meirverdiavgift: 0,25  1160 kr Pris med meirverdiavgift:

1160 kr + 290 kr = 1450 kr

Sara m˚a betale 1450 kr for skapet.

Oppga˚ver 7.13

Økonomi

Simen skal kjøpe eit dekk til mopeden sin. Prisen er 300 kr. I tillegg kjem 25 % meirverdiavgift. Kor mykje ma˚ Simen betale for dekket?

232

7.14 Lotte skal kjøpe matvarer til kantina pa˚ skolen. Rekninga kjem pa˚ 1500 kr. I tillegg kjem 14 % meirverdiavgift. Kor mykje ma˚ ho betale for varene? 7.15 Familien til Hanna kjøpte nye møblar for 15 000 kr ekskl. mva. Meirverdiavgifta er 25 %. Kor mykje ma˚tte familien betale for møblane?


7.16 Martin vil bestille nye høgtalarar fra˚ eit postordrefirma. Høgtalarane kostar 2200 kr ekskl. mva. a) Kva blir prisen for høgtalarane inkl. 25 % mva? b) Firmaet tek 3 % tillegg for frakt. Tillegget blir rekna av prisen inkl. mva. Kor mykje ma˚ Martin betale i alt? 7.17 Ein ferietur til India kostar 12 500 kr inkl. mva. Kor mange kroner blir meirverdiavgifta pa˚ na˚r ho er 25 %?

Taj Mahal i India

7.18 Familien til Lotte fekk dette tilbodet pa˚ oppussing av kjøkkenet: Materialar 4800 kr Arbeid 1200 kr Rabatt 15 % Alle prisane er førte opp ekskl. mva. Meirverdiavgifta er 25 %. Kor mykje ma˚ familien betale for oppussinga?

Økonomi

233


Rabatt

?

Hm, kva ma˚ eg betale for sekken?

Kva meiner vi med rabatt? Av og til gir forretningar rabatt, det vil seie avslag i prisen. Varene blir da billigare enn den opphavlege prisen. Eksempel

Sara kjøper ei jakke. Ho fa˚r 5 % rabatt. Jakka kosta opphavleg 420 kr. Kor mykje ma˚ Sara betale for jakka? 5%=

Økonomi

Løysing

234

Jakka kosta: 5 % rabatt: 0,05  420 kr Ny pris:

420 kr -- 21 kr = 399 kr

Sara m˚a betale 399 kr for jakka.

5 = 0,05 100


Oppga˚ver 7.19 Simen kjøper eit nytt stereoanlegg. Det kostar eigentleg 8500 kr, men han fa˚r 10 % rabatt. Kor mykje ma˚ Simen betale for stereoanlegget? 7.20 Butikken Trafikkspesialisten AS sel ein moped med rabatt for 10 500 kr. Gammal pris er 12 000 kr. Kor stor er rabatten i kroner?

7.21 Under haustsalet vil Filmhjørnet selje alle varene sine med 40 % rabatt. Ein stereobenk kosta i utgangspunktet 3200 kr. Kva blir prisen pa˚ benken na˚r rabatten er trekt fra˚? 7.22 Ein butikk har tilbod pa˚ olabukser. Bukser som kostar mellom 500 kr og 800 kr, sel dei no med 25 % rabatt. Resten er det 30 % avslag pa˚. Rekn ut den nye prisen na˚r den gamle er a) 850 kr b) 600 kr c) 900 kr d) 750 kr 7.23 Martin skal kjøpe ny sykkel. Sykkelen kostar eigentleg 5000 kr, men han fa˚r 8 % kontantavslag. Kor mykje ma˚ Martin betale?

7.24 Far til Lotte skal kjøpe ny bil. I prislista sta˚r det at bilen kostar 250 000 kr. Faren fa˚r tilbod om a˚ kjøpe bilen for 232 500 kr. a) Kor mange kroner fa˚r far til Lotte i rabatt? b) Kor mange prosent fa˚r han i rabatt?

Økonomi

235


Tilbod Lurer pa˚ om det eigentleg er sa˚ billig ...

? Korleis kan vi vurdere kor godt eit tilbod er?

Vi ser ofte at det er forskjellige tilbod pa˚ varer, for eksempel – avslag (rabatt) i pris – kvantumsrabatt – det vil seie at vi fa˚r avslag na˚r vi kjøper mykje – utsal Sjølv om eit tilbod kan sja˚ ut til a˚ vere godt, er det lurt a˚ samanlikne prisar i forskjellige butikkar. Kor godt eit tilbod er, kjem blant anna an pa˚ kva prisen pa˚ vara var i utgangspunktet. Det kan ogsa˚ kome utgifter til reise eller porto i tillegg dersom du ikkje handlar i nærleiken av der du bur. Eksempel

Økonomi

Herman vil kjøpe ein ny genser. Genseren kostar 543 kr i nærbutikken og 515 kr pa˚ storsenteret. For a˚ kome til storsenteret ma˚ han ta buss som kostar 18 kr kvar veg. Kor lønner det seg for Herman a˚ kjøpe genseren?

236

Løysing Pris i nærbutikken: Pris pa˚ storsenteret: Utgifter til buss: 2  18 kr Til saman

543 kr 515 kr + 36 kr = 551 kr

Det lønner seg for Herman a˚ kjøpe genseren i nærbutikken.


Oppga˚ver 7.25 Hanna vil kjøpe eit digitalkamera i byen til 1800 kr. Ho ma˚ ta bussen fram og tilbake. Det kostar 60 kr. Kor mykje ma˚ Sara betale i alt? 7.26 Martin skal kjøpe turutstyr i ein nettbutikk. Utstyret kostar 1350 kr. I tillegg kjem porto pa˚ 95 kr og oppkravsgebyr pa˚ 56 kr. Kor mykje ma˚ Martin betale for turutstyret? 7.27 Lotte kjøper nye jeans som kostar 1250 kr. Ho fa˚r 250 kr i rabatt. a) Kor mykje ma˚ Lotte betale? b) Kor mange prosent rabatt fa˚r ho? 7.28 Hanna skal bestille 30 bilete fra˚ ei fotoforretning pa˚ internett. Kvart bilete kostar 2,95 kr. I tillegg kjem porto pa˚ 39 kr. Kor mange prosent rabatt fa˚r ho? Kor mykje ma˚ Hanna betale for bileta?

7.29 Herman handlar brus pa˚ tilbod. Dersom han kjøper tre kasser brus, fa˚r han 50 % rabatt pa˚ den tredje kassa. Ei kasse brus kostar 320 kr utan rabatt. Kor mykje ma˚ Herman betale for tre kasser brus?

Økonomi

237


7.30 Sara vil kjøpe ny DVD-spelar. a) Kva tilbod er best? b) Kor mange prosent meir kostar den dyraste spelaren enn den billigaste spelaren? A

C

B

D

Ă&#x2DC;konomi

25

238


Renterekning

?

Vi kan gi deg 3 % p.a. i rente.

Kva betyr 3 % p.a.? Dersom vi har pengar i banken, fa˚r vi renter av pengane. Renter er pengar som blir lagt til det beløpet vi har i banken. Renter blir til vanleg rekna som ein bestemt prosent av pengane va˚re. 3 % rente p.a. betyr 3 % rente per a˚r. Vi seier at rentefoten er 3. Hugs! p.a. betyr per a˚r.

Økonomi

239


Eksempel

Martin set 5000 kr i banken. Banken gir 3,0 % p.a. i rente. Kor mykje fa˚r han i renter etter eitt a˚r? Løysing 3%=

3 = 0,03 100

3 % av 5000 kr = 0,03  5000 kr = 150 kr Martin f˚ar 150 kr i renter p˚a eitt a˚ r.

Oppga˚ver 7.31 Lotte har 5000 kr i banken. Banken gir henne 2 % p.a. i rente. Kor mykje fa˚r Lotte i renter etter eitt a˚r? 7.32

Økonomi

Herman set 10 000 kr i banken. Han fa˚r 4 % rente p.a. av pengane sine. Etter eitt a˚r tek han ut pengane med renter. Kor mykje kan Herman ta ut av banken?

240

7.33 Sara har 8000 kr i banken. Etter eitt a˚r fa˚r ho 240 kr i renter. Kor mange prosent av beløpet har banken gitt Hanna i rente? ˚ nesen skuldar eit kredittselskap 12 000 kr. Etter eitt a˚r ma˚ han 7.34 L. A betale alt tilbake. Men selskapet forlanger 22 % rente p.a. a) Kor mykje ma˚ L. A˚nesen betale i renter? b) Kor mykje ma˚ han betale i alt?


7.35 Familien til Hanna la˚ner 150 000 kr til bil.

Dei ma˚ betale 6 % rente p.a. a) Kor mykje ma˚ familien betale i renter det første a˚ret? b) Det første a˚ret betaler familien 39 000 kr i renter og avdrag. Kor stort er restla˚net da? c) Kor mykje ma˚ familien betale i renter det andre a˚ret?

Rentedagar Det er sjeldan at pengar sta˚r i banken i nøyaktig eitt a˚r. Nokre gonger sta˚r pengane i banken i meir enn eitt a˚r, andre gonger i mindre enn eitt a˚r. Kor mykje fa˚r eg i renter fra˚ 4. juli til 15. desember?

Økonomi

241


Vi reknar at eit rentea˚r er 365 rentedagar. Da ser vi bort fra˚ dei a˚ra det er skotta˚r. Eksempel

Rekn ut rentedagane fra˚ 4. juli til 15. desember.

Økonomi

Løysing Na˚r vi skal rekne ut rentedagane fra˚ 4. juli til 15. desember, tek vi ikkje med 4. juli, men vi tek med 15. desember.

242

Juli: (fra˚ 4. juli) August: September: Oktober: November: Desember (til og med 15. desember): Til saman: =

27 31 30 31 30 15 164

dagar dagar dagar dagar dagar dagar dagar

Det er 164 rentedagar fr˚a 4. juli til 15. desember det same a˚ ret.


Oppga˚ver 7.36 Rekn ut rentedagane fra˚ 6. mars til 12. september. 7.37 Lotte sette pengar i banken 14. januar. Ho tok dei ut 28. november. Kor mange dagar hadde pengane sta˚tt i banken? 7.38 Herman la˚ner pengar i banken 23. februar. Han betaler la˚net tilbake 10. desember. Kor mange dagar ma˚ Herman betale renter for? Dette løyser eg lett med rekneark ...

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

7.39 Sara set inn 1800 kr i banken 10. januar. Ho vil bruke pengane til a˚ kjøpe julepresangar. Ho tek derfor ut pengane 2. desember. Kor mange dagar fa˚r ho renter for? 7.40 Simen set pengar i banken 28. april. Han tek ut pengane seinare det same a˚ret. Banken reknar ut at han har hatt pengane sta˚ande i 205 dagar. Pa˚ kva dato tek Simen ut pengane?

Økonomi

243


Renter for delar av eit a˚r Vi kan rekne ut renter for ein del av eit a˚r ved a˚ dividere a˚rsrenta pa˚ 365 dagar og multiplisere med det rette talet pa˚ dagar. Hanna har spart 1800 kr. Banken gir henne 3 % rente p.a. 3%=

3 100

Eg har spart i 200 dagar.

Rentene for eitt a˚r er dermed: 0,03  1800 kr = 54 kr For e´in dag vil Hanna fa˚ i renter: 54 kr = 0,1479 365 Dersom Hanna har pengane sta˚ande i banken i 200 dagar, vil ho fa˚ i renter: 200  0,1479 kr = 29,58 kr Eksempel

Martin hadde 2500 kr sta˚ande i banken fra˚ 4. mai til 15. september. Banken gav 2 % rente p.a. Kor mange kroner fekk Martin i renter i denne perioden? Løysing Fra˚ 4. mai til 15. september er det 134 rentedagar (27 + 30 + 31 + 31 + 15). 2%=

2 100

Rentene for eitt a˚r er: 0,02  2500 kr = 50 kr Rentene for e´in dag er:

50 kr = 0,1370 kr 365

Økonomi

Rentene for 134 dagar er: 134  0,1370 kr = 18,36 kr

244

Martin fekk 18,36 kr i renter.

Vi kan ogsa˚ løyse oppga˚va i eksempelet slik: 0,02  2500 kr  134 = 18,36 kr 365 Martin fekk 18,36 kr i renter.


Oppga˚ver 7.41 Lotte set 5000 kr i banken til 2 % p.a. i rente. Pengane sta˚r i banken i 230 dagar. Da tek ho ut pengane med renter. Kor mykje fa˚r Lotte a) i renter for e´in dag b) i renter for 230 dagar c) utbetalt 7.42 Fetteren til Herman sel bilen sin for 54 000 kr. Han set pengane i banken til 3 % rente.

Etter 120 dagar tek han ut pengane med renter. Hvor mye fa˚r fetteren til Herman a) i renter b) utbetalt 7.43 Familien til Sara la˚ner 500 000 kr 5. mai. Dei ma˚ betale 5 % rente p.a., og dei betaler renter pa˚ la˚net til og med 31. desember. a) Kor mange rentedagar er det fra˚ 5. mai til 31. desember? b) Kor mykje ma˚ familien betale i renter? 7.44 Mor til Simen arva mykje pengar. Ho fekk 1 200 000 kr 4. mars. Ho sette pengane i banken til 3 % rente p.a. 24. juni tok ho ut 900 000 kr i samband med eit huskjøp. 15. oktober tok ho ut resten. Kor mykje kunne ho ta ut av banken 15. oktober?

Økonomi

245


Avbetaling

?

Hm. Avbetaling er dyrare ...

Kva vil det seie a˚ kjøpe noko pa˚ avbetaling? Na˚r vi kjøper varer pa˚ avbetaling, betaler vi ikkje varene med ein gong vi fa˚r dei. – Vi kan betale noko med ein gong (kontant betaling) og resten i like store beløp kvar ma˚nad til alt er betalt. – Vi kan fa˚ varene utan a˚ betale noko. Etter ei tid ma˚ du betale alt eller begynne a˚ betale eit beløp kvar ma˚nad til alt er betalt. – Vi kan bruke kredittkort. Da er det vanleg a˚ fa˚ rekning kvar ma˚nad.

Økonomi

Vi ma˚ hugse pa˚ at alle slike ordningar fører til eit pristillegg, og at nokre ordningar er ganske dyre.

246


Eksempel

Onkelen til Hanna bruker kredittkort. Han skal betale 2200 kr om e´in ma˚nad. Renta er 1,8 % per ma˚nad. Kor stor blir rekninga om e´in ma˚nad? Løysing 1,8 % =

1,8 = 0,018 100

Restbeløpet: Rentetillegg: 0,018  2200 kr Etter ein ma˚nad er rekninga pa˚:

2200,00 kr + 39,60 kr = 2239,60 kr

Rekninga blir p˚a 2239,60 kr.

Oppga˚ver 7.45 Martin kjøper nytt stereoanlegg til 10 000 kr. Han betaler 2500 kr kontant. Resten betaler han over eitt a˚r med 700 kr per ma˚nad. Kor mykje betaler Martin i alt for stereoanlegget?

7.46 Familien til Lotte skal kjøpe ny vaskemaskin som kostar 7200 kr. Dei betaler 2500 kr kontant. Resten betaler dei i avdrag over 12 ma˚nader med 430 kr per ma˚nad. a) Kor mykje ma˚ familien betale i alt i avdrag dei 12 ma˚nadene? b) Kor stort blir pristillegget fordi familien kjøper vaskemaskinen pa˚ avbetaling?

Økonomi

247


7.47 Herman fa˚r tilbod om a˚ kjøpe ny MP3-spelar: Pris kontant: 3500 kr Pris betaling etter 3 ma˚nader: 3500 kr med eit rentetillegg pa˚ 6 % Kor mykje ma˚ Herman betale etter 3 ma˚nader? 7.48 Sara kjøper nyaste modell av mobiltelefon. Han kostar 3600 kr. Ho betaler 25 % av prisen kontant. Resten ma˚ ho betale over 3 ma˚nader med 940 kr i avdrag kvar ma˚nad. a) Kor mykje betaler Sara pa˚ dei tre ma˚nadene? b) Kor mykje kjem mobiltelefonen pa˚ i alt?

Økonomi

7.49 Kameraten til Simen fa˚r tilbod pa˚ ein moped. Mopeden kostar 12 000 kr. Kameraten til Simen kan betale 35 % av prisen kontant. Resten ma˚ han betale over 12 ma˚nader med 700 kr kvar ma˚nad. Kor mange prosent dyrare blir mopeden dersom han kjøper mopeden pa˚ avbetaling, enn om han betaler med ein gong?

248


Prøv deg sjølv 1

Kva vil det seie at ei forretning gir rabatt?

2

Prisen pa˚ ei bukse er 1200 kr. Lotte fa˚r 300 kr i rabatt. Kor mykje betaler Lotte for buksa?

3

Ein sportsbutikk gir Herman 20 % rabatt pa˚ ein treningsdress som kostar 2000 kr. Kor mykje fa˚r Herman i rabatt?

4

Sara vil kjøpe ein brukt moped som kostar 8000 kr. Ho fa˚r 5 % rabatt. a) Kor mykje fa˚r Sara i rabatt? b) Kor mykje ma˚ Sara betale for mopeden?

5

I butikken er eit par sko sett ned fra˚ 1200 kr til 900 kr.

Med kor mange a) kroner er skoa sette ned? b) prosent er dei sette ned? 6

Meirverdiavgift blir ofte forkorta til mva. Kva betyr det na˚r prisane er gitte a) ekskl. mva. b) inkl. mva.

Økonomi

249


Økonomi 250

7

Skolen til Simen skal kjøpe inn nye kantinemøblar for 12 000 kr ekskl. mva. Meirverdiavgifta er 25 %. a) Rekn ut meirverdiavgifta. b) Kor mykje ma˚ skolen betale for møblane?

8

Hanna vil bestille varer pa˚ internett. Prisane i prislista er gitte ekskl. mva. Varene kostar 800 kr. Meirverdiavgifta er 25 %. I tillegg kjem utgifter til frakt pa˚ 130 kr. Kor mykje ma˚ Hanna betale i alt?

9

Fru Nilsen kjøper ny oppvaskmaskin pa˚ avbetaling. Ho betaler 2000 kr kontant. Resten betaler ho i avdrag over seks ma˚nader med 500 kr per ma˚nad. Kor mykje betaler ho i alt?

10

Martin har lyst pa˚ eit nytt stereoanlegg som kostar 8000 kr. Han kan betale 2000 kr med ein gong. Butikken reknar eit rentetillegg av restbeløpet pa˚ 15 %. a) Kor stort er restbeløpet? b) Rekn ut rentetillegget. c) Kor mykje ma˚ Martin betale i alt for stereoanlegget?

11

Kva betyr det at renta er 4 % p.a.?

12

Rekn ut rentene av 5000 kr i eitt a˚r na˚r rentefoten er a) 2 b) 3 c) 4,5

13

Lotte hadde 1200 kr i banken ved starten av a˚ret. Banken gav 3 % p.a. i rente. a) Kor mykje fekk Lotte i renter for eitt a˚r? b) Rekn ut rentene for 200 dagar.

14

Herman sette 2500 kr i banken den 3. juni. Han tok ut pengane den 25. november det same a˚ret. Banken gav 2 % rente p.a. Kor mykje kunne Herman ta ut av banken den 25. november?


Noko a˚ lure pa˚ 1

Arkimedes (287 f.Kr.–212 f.Kr.) var ikkje berre den fremste matematikaren i antikken, men ogsa˚ ein av dei største naturforskarane som har levd. Forklar ved hjelp av Arkimedes’ lov at vi flyt lettare i Daudehavet enn i Atlanterhavet.

Rekreasjon i Daudehavet

2

1. februar blei prisen pa˚ nokre varer sett opp med 5 %. Etter nokre ma˚nader blei prisen pa˚ dei same varene sett ned med 5 %. Da ma˚ prisen pa˚ varene vere den same som han var før 1. februar.

Nei, eg trur ikkje det er rett.

Kva meiner du?

Økonomi

251


3

4

I ein butikk kostar to liter mjølk og eitt brød 28 kr, mens fire liter mjølk og tre brød kostar 67 kr. Kor mykje kostar e´in liter mjølk og eitt brød? Korleis blir prisen dersom vi ma˚ betale meirverdiavgift, men samtidig fa˚r rabatt?

Eg trur det er to ma˚tar a˚ rekne pa˚ ...

A (Pris ekskl. mva. + mva.) – rabatt B (Pris ekskl. mva. – rabatt) + mva. Kva er rett? Blir det nokon forskjell?

Økonomi

5

252

Ein kafe´ sel rundstykke med pa˚legg til 23 kr, 26 kr, 29 kr og 31 kr. Er det mogleg a˚ kjøpe fire rundstykke som til saman kostar nøyaktig 100 kr?


Oppsummering Promille Vi reknar med promille pa˚ den same ma˚ten som vi reknar med prosent. 5‰ =

5 = 0,005 1000

5 ‰ av 12 000 kr er 0,005  12 000 kr = 60 kr

Meirverdiavgift Vi ma˚ betale meirverdiavgift (mva.) pa˚ dei fleste varer og tenester. Meirverdiavgift blir ofte kalla moms. I 2006 var avgifta 25 % pa˚ dei fleste varene. Pa˚ matvarer var avgifta 14 %. Ekskl. mva. betyr at prisen er gitt utan meirverdiavgift. Inkl. mva. betyr at prisen er gitt med meirverdiavgift.

Rabatt Rabatt er avslag i pris. Det betyr at ei vare blir selt for ein la˚gare pris enn den opphavlege. Rabatten blir ofte gitt i prosent.

Rente Banken betaler oss renter na˚r vi har pengar i banken. Pa˚ den same ma˚ten betaler vi renter til banken na˚r vi la˚ner pengar der. Vi finn rentene for eitt a˚r ved a˚ multiplisere renta i prosent med kapitalen. Kapitalen er 5000 kr. Renta er 3 % p.a. Rentene for eitt a˚r er 0,03  5000 kr = 150 kr Rentedagar reknar vi ut ved a˚ telje dagar pa˚ kalenderen. Rentene for e´in dag er Rente for eitt a˚ r 365 Rente for 120 dagar er: Rente for e´in dag  120

Avbetaling Na˚r vi kjøper noko pa˚ avbetaling, betaler vi berre ein viss del kontant (med e´in gong). Resten betaler vi etter kvart, men da ofte med ganske store rentetillegg.

Økonomi

253


Digital manual Innhald Kalkulatoren................................ 255 Dei vanlegaste funksjonane ........ 255 Fleire rekneartar pa˚ ein gong ..... 255 Prosent ......................................... 256 Kvadratrot .................................... 256 Minne ........................................... 257

Digital manual

Rekneark...................................... 258 Kva er eit rekneark? ..................... 258 Leggje inn tal eller tekst i ei celle................................... 258 Merkje enkeltceller....................... 258 Merkje eit omra˚de ....................... 259 Merkje ei rad................................ 259 Merkje ein kolonne...................... 259 Justere kolonnebreidd ................. 260 Leggje til eller fjerne ein kolonne .............................. 260 Leggje til eller fjerne ei rad......... 261 Sla˚ saman celler ........................... 262 Formlar ......................................... 262

254

Oppgavebok

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

Statistikk ....................................... 265 Formelvisning............................... 266 Formatere celler........................... 268 Kopiere eller flytte innholdet i ei celle................................... 269 Justere talet pa˚ desimalar ........... 270 Sortere data ................................. 270 Kopiere formlar til fleire celler kvarandre....................... 271 Summere fleire celler etter kvarandre ....................... 271 La˚se innhaldet i ein formel til e´i celle................................. 272 Stolpe- og søylediagram ............. 272 Linjediagram ................................ 275 Sektordiagram.............................. 279 Grafen til funksjonen y = ax ...................................... 282 Vise trendlinje og formel til ein funksjon ............................ 286

Du finn øvingsoppga˚ver til den digitale manualen i oppga˚veboka.


Kalkulatoren Dei vanlegaste funksjonane Det finst mange typar kalkulatorar. Dei kan verke pa˚ forskjellig ma˚te. Sjekk brukarmanualen for a˚ sja˚ korleis kalkulatoren din fungerer. Dei vanlegaste funksjonane er: Addisjon Subtraksjon Multiplikasjon Divisjon Desimalteikn Tastane som slettar tala i kalkulatorvindauget, kan sja˚ slik ut: CE

AC

Bokstaven C sta˚r for det engelske ordet «clear».

Fleire rekneartar pa˚ ein gong Dersom det er fleire rekneartar i den same oppga˚va, ma˚ vi multiplisere og dividere før vi adderer eller subtraherer. Eksempel

Rekn ut : 34 + 56  45

Kontroller svaret ved a˚ gjere overslag.

Løysing

Kalkulatoren viser svaret 2554.

Dersom det er større uttrykk, bruker vi minnefunksjonen eller reknar i fleire operasjonar.

Digital manual

255


Prosent Kalkulatoren kan hjelpe deg med aË&#x161; finne prosenten av eit tal. Da bruker du prosentknappen. Prosentknappen Eksempel

Rekn ut : 30 % av 450 Løysing

Kalkulatoren viser svaret 135.

Kvadratrot Skal du finne kvadratrota av eit tal paË&#x161; kalkulatoren, kan du bruke kvadratrotknappen. Kvadratrotknappen Eksempel

Rekn ut kvadratrota av 64.

Digital manual

Løysing

256

Kalkulatoren viser svaret 8.


Minne Kalkulatoren har minnefunksjon. Minnefunksjonen gjer at kalkulatoren hugsar eit tal samtidig som vi reknar ut noko anna. Legg til noko i minnet Trekkjer fra˚ noko i minnet MR

eller

RM

Hentar fram det du har i minnet (Recall memory)

MC

eller

CM

Slettar minnet (Clear memory)

Hugs a˚ slette minnet før du bruker kalkulatoren pa˚ ei ny oppga˚ve. Eksempel

Rekn ut : 8  9 + 6  7 Løysing RM

Kalkulatoren viser svaret 114.

Eksempel

Rekn ut : 7  6 -- 3  6 Løysing RM

Kalkulatoren viser svaret 24.

Eksempel

Rekn ut : 9 – 7  6 + 9 : 4 Løysing RM

Kalkulatoren viser svaret --30,75:

Digital manual

257


Rekneark Kva er eit rekneark? Vi bruker rekneark til a˚ sortere data, gjere berekningar og lage diagram. I denne manualen finn du rettleiing til korleis du kan bruke rekneark. Eit rekneark er sett saman av celler som er ordna i rader og kolonnar. Vi gir dei loddrette kolonnane namn med bokstavar og dei vassrette radene med tal. Kvar celle har namn etter kolonnen og rada ho sta˚r i. I cellene kan du skrive tal, tekst eller formlar. Vi bruker ein formel na˚r vi vil gjere ei utrekning fra˚ to eller fleire celler.

Leggje inn tal eller tekst i ei celle Eksempel

Skriv teksten «Vekelønn» i celle A1 (kolonne A, rad 1) og 60 i celle B1 (kolonne B, rad 1). Løysing

Digital manual

Merkje enkeltceller

258

Merk cellene A3 og B2. Løysing Hald kontrollknappen (Ctrl) nede heile tida og venstreklikk i cellene A3 og B2.


Merkje eit omra˚de Eksempel

Merk omra˚det fra˚ B1 til C2. Løysing Venstreklikk i celle B1. Hald venstre museknapp nede, før musepeikaren diagonalt fram til celle C2 og slepp.

Merkje ei rad Eksempel

Merk rad 2. Løysing Venstreklikk pa˚ radnummer 2.

Merkje ein kolonne Eksempel

Merk kolonne B. Løysing Venstreklikk pa˚ kolonnebokstav B.

Digital manual

259


Justere kolonnebreidd Eksempel

Juster breidda til kolonne B. Løysing Merk kolonne B. Før musepeikaren over «grensa» til neste kolonne til symbolet kjem fram. Hald venstre museknapp nede, dra til ønskt kolonnebreidd og slepp. er framme, og kolonnen vil Du kan ogsa˚ dobbeltklikke na˚r teiknet tilpasse seg automatisk til det som sta˚r skrive i kolonnen.

Leggje til eller fjerne ein kolonne Eksempel

Legg til ein kolonne før kolonne B.

Digital manual

Løysing Før musepeikaren over kolonnebokstav B og høgreklikk. Vel «Sett inn» eller «Slett».

260


Leggje til eller fjerne ei rad Eksempel

Legg til ein kolonne over rad 2. Løysing Før musepeikaren over radnummer 2 og høgreklikk. Vel «Sett inn» eller «Slett».

Digital manual

261


Sla˚ saman celler Eksempel

Sla˚ saman cellene B2 og C2. Løysing Merk cellene B2 og C2. Trykk pa˚ symbolet .

Formlar

Digital manual

Flytt musepeikaren til ønskt celle og venstreklikk. Skriv teiknet «=» og deretter formelen.

262

Alle formlar ma˚ starte med teiknet «=». Bruk desse symbola for dei fire rekneartane: + Addisjon – Subtraksjon * Multiplikasjon / Divisjon


Addisjon Eksempel

Lag ein formel i celle C1 som reknar ut summen av celle A1 og celle B1. Løysing

Subtraksjon Eksempel

Lag ein formel i celle C1 som reknar ut differansen mellom celle A1 og celle B1. Løysing

Multiplikasjon Eksempel

Lag ein formel i celle C1 som reknar ut produktet av celle A1 og celle B1. Løysing

Digital manual

263


Divisjon Eksempel

Lag ein formel i celle C1 som dividerer celle A1 med B1. Løysing

Potensar Eksempel

Lag ein formel i celle C1 som reknar ut potensen med celle A2 som grunntal og celle B2 som eksponent. Løysing

Kvadratrot

Digital manual

Eksempel

264

Lag ein formel i celle B1 som reknar ut kvadratrota av celle A1. Løysing


Statistikk Gjennomsnitt Eksempel

Lag ein formel i celle A7 som reknar ut gjennomsnittet av verdiane fraË&#x161; celle A1 til celle A6. Løysing

Median Eksempel

Lag ein formel i celle A7 som reknar ut medianen av verdiane fraË&#x161; celle A1 til celle A6. Løysing

Digital manual

265


Typetal Eksempel

Lag ein formel i celle A7 som reknar ut typetalet til verdiane fra˚ celle A1 til celle A6. Løysing Legg merke til at formelen for typetal heiter MODUS. Du kan ogsa˚ bruke «Ctrl + j».

Om ingen av verdiane i ei undersøking er like, finn ikkje reknearket typetal.

Formelvising Eksempel

Digital manual

Eit fotballag skal kjøpe inn drakter og fotballar til neste sesong. Dei fører opp utgiftene i eit rekneark og set inn formlar som reknar ut kor mykje utstyret kostar til saman. Set opp reknearket og vis formlane.

266

Løysing Skriv inn dataa i eit rekneark.


Vis formlane i reknearket ved a˚ klikke pa˚ symbolet for «Vis formler», eller vel fana «Formler» og deretter «Vis formler».

Vi fa˚r denne visinga:

Merk at alle cellene utvidar seg like mykje. Det kan derfor vere nødvendig a˚ justere kolonnebreiddene slik at alle formlane blir viste i skjermbiletet. Det kan ogsa˚ vere nødvendig a˚ justere kolonnebreiddene for a˚ fa˚ til ei pen utskrift.

Digital manual

267


Formatere celler Vi kan spesialtilpasse alle celler i reknearket til for eksempel dato, klokkeslett, prosent, talet pa˚ desimalar og tekst. Det gjer vi ved a˚ merkje cellene vi vil formatere, og velje spesialfunksjonar for desse. Eksempel

Formater celle A3 slik at ho viser tal med to desimalar.

Digital manual

Løysing Høgreklikk i celle A3. Vel «Formater celler» og «Tall». Set talet pa˚ desimalar til 2.

268

Det er mogleg a˚ formatere eit omra˚de, kolonnar, rader eller heile reknearket.


Kopiere eller flytte innhaldet i ei celle Eksempel

Kopiere eller flytte innhaldet i celle B2 til celle D2. Løysing Høgreklikk i celle B2. Vel «Kopier» eller «Klipp ut». Flytt musepeikaren til celle D2 og høgreklikk. Vel «Lim inn».

Digital manual

269


Justere talet pa˚ desimalar Eksempel

Skriv talet 4,5678 i celle B2 og juster til to desimalar. Løysing Merk celle B2. Klikk pa˚ symbolet for reduksjon av talet pa˚ desimalar to desimalar.

til talet har fa˚tt

Sortere data Eksempel

Digital manual

Sorter tala 12, 8, 3 og 6 i fallande eller stigande rekkjefølgje.

270

Løysing Skriv inn tala under kvarandre i kolonne A. Merk kolonnen. Klikk pa˚ «Sorter og filtrer» og vel stigande eller fallande rekkjefølgje.


Kopiere formlar til fleire celler etter kvarandre Eksempel

Lag ei oppstilling som viser kva det kostar a˚ kjøpe dei enkelte varesortane under. 2 brus til 15,90 kr per stk. 2 liter mjølk til 8,90 kr per liter 3 brød til 14,90 kr per stk. Løysing Skriv inn tekst og tal i reknearket. Skriv inn formelen «=B2*C2» i celle D2. Før musepeikaren over det nedste høgre hjørnet i cella slik at eit plussteikn kjem til synes. Hald venstre museknapp inne og dra musepeikaren ned over celle D3 og D4.

Summere fleire celler etter kvarandre Eksempel

Summer prisen pa˚ alle varene i eksempelet over. Løysing Skriv inn teksten «Sum» i celle C5. Skriv inn formelen «=SUMMER(D2:D4)» i Celle D5 og trykk «Enter».

Digital manual

271


Vi kan ogsa˚ summere alle cellene ved a˚ klikke pa˚ dette symbolet: 

La˚se innhaldet i ein formel til e´i celle Eksempel

La˚s innhaldet i celle B1 i formelen A1*B1 og vis svaret i celle C1.

Digital manual

Løysing Vi la˚ser innhaldet i ein formel til e´i celle ved a˚ skrive symbolet «$» før kolonnebokstaven og radnummeret.

272

Stolpe- og søylediagram Merk at Excel ikkje skil mellom stolpe- og søylediagram. Dersom dataa pa˚ førsteaksen er tal, ma˚ du skrive eit apostrofteikn framfor tala i reknearket. Da oppfattar reknearket tala som tekst, og diagrammet blir rett. For eksempel: ‘143 Dette blir vist slik i reknearket:

143


Eksempel

Hanna fa˚r 100 kr i vekepengar, Lotte 150 kr, Simen 80 kr og Herman 130 kr. Vis fordelinga av vekepengar i eit søylediagram. Løysing Skriv dataa inn i reknearket og merk omra˚det du vil vise i diagrammet.

Vel fana «Sett inn», «Diagrammer», «Stolpediagram» og undertype.

Digital manual

273


Vi fa˚r denne visinga:

Digital manual

Merk diagrammet, vel fana «Oppsett», «Diagramtittel»/«Aksetitler» og undertypar.

274


Legg inn titlar pa˚ diagrammet og aksane.

Vel om du vil lagre eller skrive ut diagrammet.

Linjediagram Dersom dataa pa˚ førsteaksen er tal, ma˚ du skrive eit apostrofteikn framfor tala i reknearket. Da oppfattar reknearket tala som tekst, og diagrammet blir rett. For eksempel: ’24 Dette blir vist slik i reknearket:

24

Digital manual

275


Eksempel

Vis desse temperaturma˚lingane i eit linjediagram: Ma˚ndag: Tysdag: Onsdag: Torsdag: Fredag:

10 14 18 25 17



C C  C  C  C 

Løysing Skriv først inn dataa i reknearket og merk omra˚det du vil vise i diagrammet.

Digital manual

Vel fana «Sett inn», «Diagrammer», «Linjediagram» og undertype.

276


Vi fa˚r denne visinga:

Merk diagrammet, vel fana «Oppsett», «Diagramtittel»/«Aksetitler» og undertypar.

Digital manual

277


Legg inn titlar paË&#x161; diagrammet og aksene.

Digital manual

Vel om du vil lagre eller skrive ut diagrammet.

278


Sektordiagram Eksempel

Simen har spurt elevane pa˚ skolen sin om dei synest det er for mykje sport pa˚ tv. Her ser du resultatet av undersøkinga:

Ja 100 Nei 150 Veit ikkje 80

Lag eit sektordiagram. Løysing Skriv først inn dataa i reknearket, og merk omra˚det du vil vise i diagrammet.

Digital manual

279


Vel fana «Sett inn», «Diagrammer», «Sektordiagram» og undertype.

Digital manual

Vi fa˚r denne visinga:

280


Merk diagrammet, vel fana «Oppsett», «Diagramtittel» og undertype.

Vi fa˚r denne visinga:

Digital manual

281


Grafen til funksjonen y = ax Eksempel

Sara har sommarjobb i eit gartneri. Ho tener 70 kr per time.

Digital manual

Vis lønna til Sara uttrykt ved funksjonsuttrykket y = 70x som ein graf.

282

Løysing Bruk funksjonsuttrykket y = ax, der a = 70, og la celle A1 uttrykkje timelønn. Skriv a (timelønn) i celle A1, x (talet pa˚ timar) i celle B1 og y (full lønn) i celle C1. Skriv verdien 70 for a i celle A2. Skriv verdiane 0, 2, 4, 6 og 8 for x i cellene fra˚ B2 til B6. Skriv formelen =$A$2*B2 for y i celle C2. Symbolet «$» la˚ser innhaldet til e´i celle.


Kopier formelen i celle C2 fra˚ C2 til C6. (Merk celle C2 og før musepeikaren over det nedste høgre hjørnet i cella slik at eit plussteikn kjem til synes. Hald venstre museknapp inne, og dra musepeikaren nedover til celle C6.) a = timelønn x = timar y = full lønn

Merk verdiane for x og y.

Vel fana «Sett inn», «Diagrammer», «Punktdiagram» og undertype med utjamna linjer.

Digital manual

283


Vi fa˚r denne visinga:

Digital manual

Merk diagrammet, vel fana «Oppsett», «Diagramtittel»/«Aksetitler» og undertypar.

284


Legg inn titlar paË&#x161; diagrammet og aksane.

Digital manual

285


Vise trendlinje og formel til ein funksjon Eksempel

Vis trendlinje og formel til funksjonen y = 70x.

Digital manual

Løysing Merk grafen og høgreklikk. Vel «Formater trendlinje».

286


Kryss av for «Vis formel i diagrammet».

Vi fa˚r denne visinga: No sta˚r formelen til funksjonen pa˚ grafen!

Digital manual

287


Fasit Tal og talforstaË&#x161;ing 1.1

a) 24 b) 34 c) 103

d) 75 e) 56 f) 94

a) 8 b) 243 c) 125

d) 100 000 e) 3125 f) 1024

d) 11 000 e) 12 f) 97 1.11

a) 37 b) 55 c) 1152

d) 2500 e) 83 f) 320

1.12

a) 132 b) 3840

c) 64 d) 120

1.13

a) 102 b) 103 c) 105

d) 106 e) 107 f) 109

1.14

a) 6  103 + 5  102 + 4  10 + 3  1 b) 3  103 + 4  102 + 9  1 c) 1  104 + 2  103 + 6  102 + 7  10 + 5  1 d) 1  105 + 2  104 + 5  103 + 3  102 + 8  1 e) 2  106 + 4  105 + 5  104 + 5  102 + 6  10 + 5  1 f) 2  106 + 9  105 + 7  103 + 5  102 + 3  10

1.15

a) 5416 b) 34 565 c) 745 634

1.16

6 000 000 000 = 6,0 109

1.2

1.3 Grunntal

Eksponent

Potens

3

2

32

6

4

64

3

5

35

1

8

18

2,3

4

2,34

1.4

1.5

Fasit

7

a) 3 b) 54 c) 25

c) 432

6

d) 5 e) 105 f) 75

d) 204 506 e) 1 405 612 f) 300 491

a) 135 b) 53 c) 125

d) 106 e) 105 f) 73

1.17

a) 2,5  104 b) 1,4  104 c) 2,4  107

d) 9,1  105 e) 4,5  106 f) 4,5  109

1.7

a) 33 b) 154 c) 28

d) 108 e) 109 f) 76

1.18

a) 1,08  108 km b) 1,5  108 km

c) 7,78  108 km

1.8

a) 23 b) 63 c) 104

d) 34 e) 53 f) 3

1.19

a) 4500 b) 27 000 c) 910 000

d) 4 500 000 e) 10 500 000 f) 4 080 000 000

1.9

a) 53 b) 102 c) 3

d) 7 e) 152 f) 106

1.20

7,35  1019

1.21

ca 6,0  1021

a) 93 b) 108

c) 48

1.22

4, 9, 16 og 25

1.6

288

a) 192 b) 40

1.10


1.23

a)

b)

c)

d)

1.24

a) 4 b) 25

c) 16

1.25

a) 25 b) 64 c) 100

d) 225 e) 400 f) 10 000

1.35

a) 9 b) 15

1.36

B

1.37

a) –30 b) –24

c) 21 d) –50

1.38

a) –5 b) –5

c) 5 d) –6

1.39

a) –15 b) –10

c) –4,5 d) 37

1.40

a) 5 b) 4

c) 21 d) 200

1.41

a) –2 b) –4

c) 75 d) –200

1.42

a) 5  ð--7Þ = --35 b) ð--3Þ  --7 = 21 c) 10  ð--8Þ = --80 d) ð--10Þ  ð--10Þ = 100

1.43

a) 1 : 5 b) 1 : 4 c) 2 : 1

d) 1 : 3 e) 1 : 10 f) 1 : 20 000

1.44

a) 4 : 1 b) 1 : 25 c) 1 : 4000

d) 400 000 : 1 e) 1 : 100 f) 10 000 000 : 1

1.45

Simen (1 : 8)

1.46

300 kr

1.47

420 kr

1.48

Martin Lotte

1.49

a) 1 : 1,5 = 2 : 3 b) Sara fekk 60 kr, Martin fekk 90 kr

1.26

9

1.27

25 stolar

1.28

a) 3 b) 5 c) 4

d) 6 e) 9 f) 10

a) 5 b) 6 c) 12

d) 20 e) 9,22 f) 11,31

1.30

a) 14 b) 16

c) 9 d) 9

1.31

a) 42,25 cm2

b) 4,8 cm

1.32

lengd = 40 m, breidd = 20 m

1.50

a) 1 : 24

1.33

a) 9 b) 18

c) 15 d) 150

1.51

20 dl = 2 liter

1.34

a) 3 b) 8

c) 1 d) 5

1.52

10,5 dl

1.53

A, B, D, F, G og H

1.29

c) 9 d) 15

200 kr 250 kr

b) 24 dl

Fasit

289


1.54

A, B, E og G

2.10

8,9x + 7,9y + 10,9z

1.55

B, C, D, E, F og H

2.11

84n + 50n = 134n

1.56

42 , 52 , 62 , 72 Summen av eit oddetal fra˚ og med 1 blir eit kvadrattal. Kvadrattalet har grunntal som svarer til kor mange oddetal det er som blir summerte.

2.12

a) 15 b) 58

2.13

a) a + b + c b) 1) 6 2) 12

1.57

a) 4 b) 9

2.14

a) x + 13

b) 17 a˚r

2.15 a) 1, b) 1, c) 2, d) 2,

a) 14 cm b) 12,56 cm

c) 12 cm

1.58

2.16

a) 3 b) 2

c) 5 d) 21

2.17

a) 4x b) 3b

c) 4a d) 3xy

2.18

a) 4b b) 11x

c) 4a d) 9y

2.19

a) 4x + 6y b) 6a + 3b

c) 7ab d) 7a – 2b

2.20

a) y 2 b) a4

c) x 6 d) ðabÞ3

2.21

a) y 7 b) a10

c) b9 d) x 10

2.22

a) a2 b) x 4

c) 1 d) ð2aÞ4

2.23

a) 15b2 b) 15x 5

c) 56ðabÞ3 d) 24x 6

2.24

a) y 4 + 2y 2 b) 4x

c) a2 + 4a d) 4x 3 + 2x 2 + 3x

1.59

1.60

c) 16 d) kvadrattal 4, 2, 4, 6,

9, 16, 25, 36 4, 7, 11, 16, 22, 29 8, 16, 32, 64, 128 18, 54, 162, 486, 1458

a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 b) 1, 4, 8, 13, 19, 26, 34 c) 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169

Fasit 290

3) 24

123 454 321

Algebra 2.1

c) -4 d) 53

Taluttrykk inneheld berre tal. Bokstavuttrykk inneheld bokstavar, eller bokstavar og tal.

2.2

a) og d) er taluttrykk. b) og c) er bokstavuttrykk.

2.3

D

2.4

a) x  3 = 3x b) 2x + 3y

2.5

99x

2.6

A

2.25

a) 12ðabÞ2 b) 1

c) 20yz 5 d) 18x 9 y 4

2.7

Talet pa˚ kilometer Herman syklar i x dagar til og fra˚ skolen.

2.26

a) 7x b) 2a

c) --8y d) 6b

2.27

a) 2a + 2b b) 8x – 4y

c) -3x – 6 d) -4a – 4b

2.8

6x + 3y + 5z

2.9

a) 2a + 2b b) 4a + 4b

c) 2x – 3

c) 8a + 4b


2.28

a) 9a2 b) 2x 2

c) --x 2 -- 2x d) 6a2

2.29

a) 21 b) –19a

c) 26x 2 d) 2a2 -- 2a

2.30

a) x = 10 b) x = 22

c) x = 78 d) x = 4

2.31

a) x = 21 b) x = 4

c) a = 5 d) x = 20

2.32

a) x = 42 b) x = 15

c) x = 24 d) a = 120

2.33

a) x = -6 b) x = 4

c) x = 4 1 d) x = = 0,5 2

2.34

a) x = 9 b) x = 5

c) x = 3 d) x = 2

2.35

a) x = 3 b) x = 1,5

c) x = 4 d) x = -1

2.36

a) x = 5 b) x = 2

c) x = 18 d) x = 4

2.37

a) x = 0,5 b) x = 8

c) x = 0,5 d) x = 4

2.38

a) x = 5 b) x = 500

c) x = 3 d) x = 10

a) x = 1 b) x = -2

c) x = 4,5 d) x = 4

2.39

2.40

2.41

2.42

a) x b) x c) x d) x

= = = =

4 2 6 8

eller eller eller eller

x x x x

= = = =

–4 –2 –6 –8

a) x  7,87 eller x  --7,87 b) x  3,08 eller x  --3,08 c) x = 11 eller x = --11 d) x = 5,5 ellerx = --5,5 a) x b) x c) x d) x

2.43

a) x b) x c) x d) x

2.44

B

2.45

a) x = 6, V.s. = h.s. = 42 b) x = 10, V.s. = h.s. = 50 c) x = 4 eller x = –4, V.s. = h.s. = 64 d) x = 11 eller x = –11, V.s. = h.s. = 125

2.46

a) x = 3, V.s. = h.s. = 3 b) x = 3, V.s. = h.s. = –7 c) x = 42, V.s. = h.s. = 7 d) x = 6 eller x = –6, V.s. = h.s. = 67

2.47

= 5 eller x = –5  3,32 eller x  --3,32  1,22 eller x  --1,22 = 3 eller x = --3

8 4 a) x = , V.s. = h.s = 5 7 7 b) x = 9, V.s. = h.s. = 30 c) x = 12 eller x = -12, V.s. = h.s. = 440

2.48

a) 6x = 42

b) Lengda er 14 cm, og breidda er 7 cm.

2.49

a) x – 23 = 71

b) x = 94

2.50

94 kr

2.51

Hanna: 29 karamellar Herman: 18 karamellar

2.52

Simen: 13 a˚r Espen: 15 a˚r Tone: 26 a˚r

2.53

a) x < 6 b) x < 5

c) x < 10 d) x > 8

2.54

a) x < 5 b) x > 2,5

c) x < 6,5 d) x > -8

2.55

a) x < 6 b) x > 1

c) x < 6

= 6 eller x = –6 = 9 eller x = –9 = 7 eller x = –7  12,04 eller x  –12,04

Fasit

291


Geometri 3.1

3.2

a) 540 b) 720

3.11

a)

c) 1440

5 cm 6 cm



a) 69 b) 68

c) 104 d) 93



10 cm b) 32 cm c) 50 cm2

3.3

ðn -- 2Þ  180

3.4

a) 120 b) 128,57

c) 135

3.5

a) 144 b) 150

c) 176,4

3.12

a)

D

Fasit

3.6

292

8 cm

a) Omkrins: 18 cm Areal: 20 cm2 b) Omkrins: 18 cm Areal: 18 cm2 c) Omkrins: 18 cm Areal: 19,25 cm2

3.7

a) Omkrins: 36 m Areal: 80 m2 b) Omkrins: 74 cm Areal: 300 cm2 c) Omkrins: 42 dm Areal: 106,25 dm2

3.8

a) Areal: 180 km2 Omkrins: 54 km b) Areal: 3,75 km2 Omkrins: 8 km

3.9

a) 216 000 m2

3.10

a) Omkrins: Areal: 24 b) Omkrins: Areal: 50

24 cm cm2 34 cm cm2

A

C

6 cm

8 cm

B

b) 32 cm c) 48 cm2 3.13

a) Omkrins: 12 cm Areal: 6 cm2 b) Omkrins: 21 cm Areal: 21 cm2 c) Omkrins: 17,9 cm Areal: 14,625 cm2 d) Omkrins: 18,5 cm Areal: 15 cm2

3.14

a) 32 cm2 b) Arealet av begge trekantane: 16 cm2

3.15

6 m2 og 9 m2

3.16

Pa˚stand E er rett.

3.17

a) Omkrins: 24 cm Areal: 28 cm2 b) Omkrins: 20,5 cm Areal: 22 cm2 c) Omkrins: 17,5 cm Areal: 12,25 cm2

b) 118 800 000 kr


3.18

1: 140 m2 2: 240 m2 3: 185 m2

3.19

a) Omkrins: 18,84 cm Areal: 28,26 cm2 b) Omkrins: 6,28 cm Areal: 3,14 cm2 c) Omkrins: 12,56 cm Areal: 12,56 cm2 d) Omkrins: 31,4 cm Areal: 78,5 cm2

3.20

4: 180 m2 5: 200 m2 6: 270 m2

a) Omkrins: 25,12 cm Areal: 50,24 cm2 b) Omkrins: 18,84 m Areal: 28,26 m2 c) Omkrins: 78,5 cm Areal: 490,6 cm2 d) Omkrins: 15,7 mm Areal: 19,6 mm2 e) Omkrins: 78,5 dm Areal: 490,6 dm2 f) Omkrins: 139,4 km Areal: 1547,5 km2

3.21

706,5 cm2

3.22

a) 373 m

3.23

48,4 m2

3.24

a) 6,28 cm2 b) 9,42 cm2

c) 3,14 cm2

3.25

a) 10,28 cm b) 13,42 cm

c) 7,14 cm

4,9 cm2 14,7 cm2

58,9 cm2

3.27

a) 6,4 cm b) 10 cm

c) 14,4 cm

3.28

8,25 m

3.29

a) 6,3 m b) 6,4 km

3.30

10,7 m

b) 5549 m2

3.31

a) 3 cm b) 8 cm

c) 10,4 cm d) 6,5 cm

3.32

a) 7,5 m

b) 8,9 km

3.33

a) 4 cm2 b) 11,5 cm2

c) 12,5 cm2 d) 36 cm2

3.34

a) 21 500 m2

b) 86 000 m2

3.35

a)

90째

b)

60째

c)

45째

3.26

d)

30째

c) 7,1 cm

Fasit

293


3.36

1 Konstruerte A = 60 . 2 Sette av 8 cm langs det venstre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 90 og fann B.

a)

15° c)

C

b)

22,5° A

B

c) 1 Sette av AB = 8 cm. 2 Konstruerte 90 i A og 30 i B. 3 Punktet C ligg i skjeringspunktet mellom vinkelbeina.

75°

d)

C d)

112,5°

A 3.37

a)

1 Konstruerte B = 60 2 Sette av 9,5 cm langs det høgre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 52; 5 og fann A.

C

A

B

B

3.38

b)

C

1 Sette av AB = 10 cm. 2 Konstruerte 45 i A og 45 i B. 3 Punktet C ligg i skjeringspunktet mellom vinkelbeina.

A

b)

Fasit

C

294

A

B

c) 1 Konstruerte A = 90 . 2 Sette av 6,5 cm langs det venstre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 60 og fann B.

B


3.39

b)

3.43

C

A

C

B

A

7 cm

B



c) 1 Konstruerte A = 45 . 2 Sette av 8,5 cm langs det venstre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 45 og fann B. d) B = 90

a) Likesida trekant b) 21 cm c) 21,22 cm2 3.44

a)

3.40

D C 5 cm 8 cm

7 cm a) 8,6 cm b) 20,6 cm c) 17,5 cm2

A

4,5 cm B

b) 9,2 cm c) 90 d) 6,5 cm e) 39,1 cm2

3.41

9 cm

3.45

D

5 cm C

5 cm 6 cm 60째

a) 6,7 cm b) 21,7 cm c) 20,1 cm2 3.42

A

9 cm

B

3.46

C 4 cm

A

8 cm

B

a) 8,9 cm b) 16 cm2

Fasit

295


3.47

a)

3.57

Nei, ho er litt for brei i forhold til lengda.

3.58

Ja

3.60

b)

8 cm

5 cm 3.61

3.48

Ein regulær femkant

Statistikk og sannsynsrekning 4.1 Svar

3.49

360 3.50

Fasit

3.51

296

a) 360 b) 324 c) Nei. Vinkelsummen der hjørna møtest, ma˚ vere 360 . Likesida trekantar, kvadrat og regulære sekskantar.

3.53

F er eit gyllent rektangel.

3.54

Togbilletten, fyrstikkeska og spelkortet er tilnærma gylne rektangel.

3.55

Ja

3.56

Ca. 100 m

Frekvens Relativ frekvens

Ja

14

14 = 0,7 20

Nei

6

6 = 0,3 20

Frekvens

Relativ frekvens

Protein

28

28 = 0,28 100

Karbohydrat

24

24 = 0,24 100

Feittsyrer

11

11 = 0,11 100

Feitt

20

20 = 0,20 100

Kostfiber

16

16 = 0,16 100

Natrium

1

1 = 0,01 100

4.2 Næringsinnhald

Sum

100

1


4.3

4.5

Svar

Frekvens

Relativ frekvens

Svar

Frekvens

Relativ frekvens

Furu

30

30 = 0,30 100

Ja

20

20 = 80 % 25

Gran

35

35 = 0,35 100

Nei

4

4 = 16 % 25

Bjørk

10

10 = 0,10 100

Veit ikkje

1

1 = 25

Ask

5

5 = 0,05 100

Sum

25

Eik

5

5 = 0,05 100

15

15 = 0,15 100

Andre slag Sum 4.4

100

1

4.6

4% 100 %

a)b)

Karakter

Frekvens

Relativ frekvens

1

0

0 = 19

2

3

3 = 15,8 % 19

3

5

5 = 26,3 % 19

a)

0 %

Svar

Frekvens

Relativ frekvens

Ma˚r

3

3 = 0,15 20

4

5

5 = 26,3 % 19

Jerv

5

5 = 0,25 20

5

4

4 = 21,1 % 19

Bjørn

4

4 = 0,20 20

6

2

2 = 10,5 % 19

Gaupe

6

6 = 0,30 20

Sum

19

100 %

Ulv

2

2 = 0,10 20

Sum

20

1

b)

Frekvens 7 6 5 4 3 2 1 0

Mår

Registrering av rovdyr

Jerv Bjørn Gaupe Ulv

Fasit

297


4.7

4.9

Bilmerke

Kor mange Relativ frekvens

Volvo BMW

Blodtype

5 = 0,15 34

5

3 = 0,09 34

3

a) Frekvens

Relativ frekvens

Gradtal til sektorane

A

12

12 = 0,48 25

0,48  360 = 172,8

0

10

10 = 0,40 25

0,40  360 = 144,0

6

6 = 0,18 34

AB

1

4

4 = 0,12 34

1 = 0,04 25

0,04  360 = 14,4

B

2

5

5 = 0,15 34

2 = 0,08 25

0,08  360 = 28,8

Sum

25

Mazda

3

3 = 0,09 34

Andre bilmerke

8

8 = 0,24 34

Ford Mercedes Toyota

Sum 4.8

34

B AB O A

1

Frekvens

Relativ frekvens

Gradtal til sektorane

Høgrebeint

15

15 = 0,75 20

0,75  360 = 270

Venstrebeint

5

5 = 0,25 20

0,25  360 = 90

Sum

20

1

360

b)

a)

Svar

1

360

c) 48 % 4.10

Nitrogen Oksygen Aron Andre gassar



b)

Venstrebeint Høgrebeint

4.11

Fasit

Kopar Sink Nikkel

298


4.19

Energiforbruk Forbruk (%)

Oppvarming Varmt vatn Lys Matlaging Reingjering

c) 3 ma˚l

Andre energikjelder

a) 46 ma˚l b) Hanna

Vasskraft

4.14

Kjernekraft

d) T: 34 kg F: 10 kg S: 26 kg M: 30 kg

Gass

a) 60 % b) 10 % c) 30 %

40 35 30 25 20 15 10 5 0 Olje

4.13

a)

Kol

4.12

4.15

Dei djupaste innsjøane i Noreg

b)

0 -100

Olje Kol Gass Kjernekraft Vasskraft Andre

-200 -300 -400 Bandak

Øvrevatn

Salsvatnet

4.20

a)

Temperatur (°C)

4.17

a) Ca. 6  C b) Ca. 6  C

c) 11. mai

4.18

a) 28

b) 28

20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 Jan Feb Mars Apr Mai Juni Juli Aug Sep Okt Nov Des

Mjøsa

Tinnsjø

Fyresvatn

Djupn im

Suldalsvatnet

-600

Hornindalsvatnet

-500

Bergen Karasjok b) Januar c) Juli

Fasit

299


4.21

4.23

a)

a)

Bilar

Prosent av marknaden

60

40 35 30 25 20 15 10 5 0

50 40 30 20 10 0 2004 God-is

Super-is

2005

2006

b)

Best-is Bilar

b)

60 50

Omsetning i millionar kr

40

2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

30 20 10 0

4.22

a) Gjennomsnitt: 1,75 Median: 1,5 Typetal: 1 b) Gjennomsnitt: 15,8 Median: 16 Typetal: 16 c) Gjennomsnitt: 233,3 Median: 250 Typetal: 300

4.25

a) Median: 3,5 Typetal: 3 og 4 Variasjonsbreidd: 1 b) Median: 3,9 Typetal: 3,9 Variasjonsbreidd: 2,2 c) Median: 0,10 Typetal: 0,10 Variasjonsbreidd: 0,1

4.26

a) X

b) Per

4.27

a) 1,38 timar b) 1

c) 1 d) 3

4.28

a) Gjennomsnitt: 45,1 Variasjonsbreidd: 9 b) Gjennomsnitt: 1,72 Variasjonsbreidd: 0,23 c) Gjennomsnitt: -0,1 Variasjonsbreidd: 6,5

a) Diagrammet burde ha starta paË&#x161; 0 paË&#x161; andreaksen. b)

Bilar 60

2005

4.24

2005

2004

2003

2002

2001

2000

1999

2004

50 40 30

Fasit

20

300

10 0 Bilbutikken

A.S. Vindel


4.29

a) Gjennomsnitt: 1,63 m b) Median: 1,60 m c) 1,60 m og 1,75 m d) 0,35 m

4.41

4.30

b) Medianen

4.42

4.31

4.32

a) Gjennomsnitt: 116,4 kr Median: 40 kr Typetal: 30 kr b) Medianen

4.43

a) Nei b) Median: 200 000 kr, Typetal: 200 000 kr c) Median

4.33

12

4.34

a) 2

b) 6

4.35

a) 4 b) 8

c) 1024

4.36

a) 36 b) 216

c) 1296

4.37

a)

4.44

4.45

Forrett

1 2 1 b) 2

a)

1 52 1 b) 13

a)

7 12 5 b) 12

c)

1 3

c)

1 2

c) 1

a)

1 10 3 b) 10 a)

3 5 1 b) 2

a)

c)

2 5

c)

2 3

Suppe

Hovudrett

Dessert

Pasta

Is

Pizza

Frukt Sjokoladekake

60 840 000

4.39

a)

Frukt Sjokoladekake

4.46

b) 9 4.38

Is

1 6

b) 0,17 c) 17 %

1 a) 52

b) 0,019 c) 1,9 %

Kjøttbollar

Is

Frukt Sjokoladekake

1 a) Krone - krone, b) krone - mynt, 4 1 mynt - krone, c) mynt - mynt 4

4.47

Gut 4.40

Gut

Jente

Jente

Gut

Jente

Sannsynet for a˚ fa˚ e´in gut og e´i jente er

1 : 2

Fasit

301


4.48

Gut

Jente

Gut

Gut

Jente

Jente

Gut

Gut

Jente

Gut

Jente

Jente

Gut

Jente

1 Sannsynet for aË&#x161; faË&#x161; minst to jenter er . 2 4.49

a)

1. kast

K

M

2. kast

3. kast

M

4. kast M

4.50 4.51

4.52

Fasit

4.53

302

M

K

K

K M

M

K M

M

K

K M

K

M

K M

K

K M

M

K M

K

K M

K

b) 16

4.54

0,0028

c)

1 16

4.55

a)

d)

3 8

4.56

1 7776

4.57

0,0000001859 eller

4.58

Utsegn B er rett.

4.59

Utsegnene A og C er rette.

4.60

Utsegn A er rett.

1 12 a)

1 18

b) 0,056 c) 5,6 %

1 1000 9 25 6 b) 25

a)

c)

4 25

1 216

b) 0,00463 c) 0,463 %

5040 27113264640


Ma˚ling og berekningar 5.1

Sikre: a, d og e Usikre: b og c

5.2

a) b) c) Sikre: 217,102, 115, 2850,50, 65,5 Usikre: 09.00, 14.15, 87, 5,26, 1,76, 100, 12,2

5.3

Til det nærmaste grammet

5.4

a) linjal

5.5

a) 55 mm, 62 mm og 49 mm b) Ba˚de ma˚linga og klippinga kan vere unøyaktige. Det er naudsynt a˚ konstruere trekantane.

b)19,5 cm

5.6

Ba˚de ma˚ling av vegstrekning og tidtaking kan vere unøyaktige.

5.7

ca. 0,3 mm

5.8

a) 1,5 cm b) 1,5 cm

c) 8,75 mm d) 1 cm

5.16

a) 1 : 1000 b) 1 : 1 000 000 c) 1 : 25 000 000

5.17

a) 1 : 4 500 000 b) 1 : 1 000 000

c) 1 : 820 000

5.18

a) 3 : 1

b) 2 : s1

5.19

1:8

5.20

a) 40 cm3 b) 100 cm3

c) 200 cm3 d) 700 cm3

5.21

a) 12 cm2

b) 36 cm3

5.22

a) 96 cm3 b) 30 cm3

c) 32 cm3

5.23

336 cm3

5.24

a) 52 cm2 b) 142 cm2

5.25

132 cm2

5.26

40 dm2

5.27

a) Begge rommar 64 cm3 b) 96 cm2 og 112 cm2 c) Same volum, men ulik overflate

5.28

a)

5.9

C 5 cm A

4 cm 8 cm

5.10

8 000 000 : 1

5.11

a) Ca. 40 cm b) Ca. 55 cm

c) Ca. 24 m

5.12

a) 400 km b) 200 km

c) 150 km

B

5 cm

2 cm 5.13

4 km

5.14

40 cm og 100 cm

5.15

a) 3 : 1 b) 20 : 1

c) 412 cm2

2 cm

b) 10 cm3 c) 38,14 cm2 c) 10 000 : 1

5.29

a) 50,24 cm3 b) 100,48 cm3

c) 235,5 cm3

Fasit

303


a) 314 cm2 b) 3768 cm3

c) 3,768 dm3

5.31

a) 452,16 cm2

b) 2,26 liter

5.32

a) 56,52 m3

b) 56 520 liter

5.33

a) 9420 cm3

b) 9,42 liter

5.30

3

6.4

7 6 5 4 3 2 1

B

30 144 cm = 30,1 dm

5.35

a) 75,36 cm2 b) 150,72 cm2

c) 251,2 cm2

5.36

a) 50,24 cm2

b) 251,2 cm2

5.37

a) 12,56 cm2

b) 87,92 cm2

5.38

12 952,5 cm2

5.39

a) 125,6 dm3

5.40

79,62 cm

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 D -4 -5

6.5 b) 251,2 dm2

P(1, 2) Q(6, –2) R(–4, 0) S(–3, –2)

6.2

D

Fasit

-5 -4 -3 -2 -1 -1 A -2 -3 -4 -5

304

6.3

E

C

1 2 3 4 5 6 B

a) A(–2, –1) B(6, 0) C(4, 5) D(–2, 6) b) (2, 3)

1 2 3 4 5 6 C

a) b)

6 5 4 3 2 1

Funksjonar

5 4 3 2 1

A

3

5.34

6.1

F

A B -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 C D -2 -3 -4 -5 c) Kvadrat


6.6

a) b)

d) y er ein funksjon av x fordi kvar verdi av x gir e´in verdi av y.

c)

L

6 5 4 3 2 1

M -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

6.13

a) u = 70x + 40

b) 390 kr

6.14

a) 36 kr b) y er ein funksjon av x fordi kvar verdi av x gir e´in verdi av y. c)

K

S N 1 2 3 4 5 6

x-kg

1

2

3

4

5

y-pris

12

24

36

48

60

d)

Kroner d) S(1, 2) 6.7

70 60

(0, 6)

50 6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

a) 54 km b) 72 km c) y = 18x d) 45 km

e) y er ein funksjon av x fordi kvar verdi av x gir e´in verdi av y.

a) 62,5 kr b) p = 12,50x c) 250 kr

d) p er ein funksjon av x fordi kvar verdi av x gir e´in verdi av y.

d) y er ein a) 3,5 kr funksjon av x b) 10,5 kr c) Prisen pa˚ 100 fordi kvar verdi SMS-meldingar av x gir e´in verdi av p. a) 31,4 cm b) 47,1 cm

c) O er ein funksjon av d fordi kvar verdi av d gir e´in verdi av O.

40 30 20 10 0 0

1

6.15

y-pris

70

4

5 Kilogram

a) 120 km b) y er ein funksjon av x fordi kvar verdi av x gir e´in verdi av y. c) d)

Kilometer 350 300 250 200 150 100 0 0

1

3

50

a) 210 kr b)

x-billettar

2

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5 Timar

e) 3,5 timar

140 210 280 350 420

Fasit

305


6.16

a) 80 kr b) y er ein funksjon av x fordi kvar verdi av x gir e´in verdi av y. c) x-euro

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

y-kroner

40

80

120

160

200

240

280

320

360

400

d)

6.18

Norske kroner 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

a) x

–3

–2

–1

0

1

2

y

–9

–6

–3

0

3

6

b) (–3, –9), (–2, –6), (–1, –3), (0, 0), (1, 3) og (2,6) c) 6 5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Euro

4 3

e) 176 kr f) 34 euro

2 1

6.17

a)

Kroner

0 -3 -2 -1 0 –1 –2

450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

–3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

0

100 200 300 400 500 SMS-meldingar

Fasit

b) 250 kr c) 250 SMS-meldingar

306

1

2


6.19

a)

6.21

x

–2

–1

0

1

2

3

y

4

2

0

–2

–4

–6

9 8 7

b) (–2, 4), (–1, 2), (0, 0), (1, –2), (2, –4), (3, –6) c)

6 5 4 3

4

2

3

1

2

0 -3 -2 -1 0 –1

1 0

–3 –2 –1 0 –1

1

2

3

1

2

3

–2 –3

–2

–4

–3 –4 6.22

–5

a) y = 3x

b) y = –3x

-6

Økonomi 6.20 7.1

a) 0,015 b) 0,025

c) 0,045 d) 0,83

7.2

a) 0,015 b) 0,025

c) 0,045 d) 0,83

7.3

a) Dei er like b) 1 % er det same som 10 ‰

7.4

a) 3 g b) 30 g c) 300 kr

7.5

600 g

7.6

20,75 g

7.7

125 g

7.8

a) 36 ‰ b) 56 ‰

c) 75 ‰ d) 925 ‰

7.9

a) 36 % b) 56 %

c) 75 % d) 925 %

7.10

a) 20 ‰

b) 2 %

5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 –1

1

2

3

–2

d) 20 kr e) 100 g f) 166 g

–3 –4 –5

Fasit

307


Fasit 308

7.11

a) 30 gonger meir b) Middelhavet

7.12

6 kg

7.13

375 kr

7.14

1710 kr

7.15

18 750 kr

7.16

a) 2750 kr

7.17

7.31

100 kr

7.32

400 kr

7.33

3%

7.34

a) 2640 kr

b) 14 640 kr

7.35

a) 9000 kr b) 120 000 kr

c) 7200 kr

7.36

190 dagar

2500 kr

7.37

318 dagar

7.18

6375 kr

7.38

290 dagar

7.19

7650 kr

7.39

326 dagar

7.20

1500 kr

7.40

19. november

7.21

1920 kr

7.41

a) 0,27 kr b) 63 kr

c) 5063 kr

7.22

a) 595 kr b) 450 kr

7.42

a) 532,60 kr

b) 54 532,60 kr

7.43

a) 240 dagar

b) 16 438,50 kr

7.44

313 935,47 kr

b) 2832,5 kr

c) 630 kr d) 562,5 kr

7.23

4600 kr

7.24

a) 17 500 kr

7.25

1860 kr

7.45

10 900 kr

7.26

1501 kr

7.46

a) 5160 kr

7.27

a) 1000 kr

7.47

3710 kr

7.28

127,5 kr

7.48

a) 2820 kr

7.29

800 kr

7.49

5%

7.30

a) B

b) 7 %

b) 20 %

b) 12,5 %

b) 460 kr

b) 3720 kr


Stikkord A addere med x 49 algebraiske uttrykk 38, 63 andreakse 202 andrekoordinat 202 areal av grunnflate i rett firkanta prisme 186 av mangekant 119 av overflata til prisme 188 av parallellogram 75 av rektangel 72 av sirkel 84, 85, 120 av sylinder 190, 193 av trapes 80 av trekant 78 avbetaling 246, 253 avslag 236 B utrekning av hypotenus 89 utrekning av katet 92 bokstavledd 43 bokstavuttrykk 38, 63 bokstavuttrykk og parentesar 63 bokstavuttrykk, rekning med 42, 63 bokstavuttrykk, setje tal inn i 41, 63 brøk 128 C celle formatere 266 skrive formel 263 leggje inn tal eller tekst 258 merkje enkeltceller 259 sla˚ saman 262 summere fleire etter kvarandre 270 D data, sortere 268 desimalar, justere tal 267 desimaltal 128 det gylne rektangelet 107, 121 det gylne snittet 107, 121 det gylne triangelet 111 diagram, kritisk bruk 140 diagramveiviser (Excel) 275 dividere to negative tal 21 divisjon av potensar 9

E eksklusiv meirverdiavgift 231, 253 eksponent 8 F femkant 71 figur 121 figurtal 27 firkant, vinkelsum 69 forhold 23, 35 forhold, rekning med 25 forholdet mellom to tal 23 formatere celle 266 formel 207 til ein funksjon 285 kopiere til fleire celler etter kvarandre 269 la˚se innhaldet til ei celle 271 forminsking 179, 182 forstørring 177, 182 forteiknstal, rekning med 35 frekvens 124, 169 frekvens, relativ 124, 128, 169 frekvenstabell 124 funksjon 207, 222 graf 211, 223 vise trendlinje og formel 285 y = a . x, graf 281 funksjonsuttrykk 207 førsteakse 202 førstekoordinat 202 G geometri i natur og kunst 102 gjennomsnitt 143, 170 gjennomsnittsverdi 143 graf til funksjonen y = a . x 281 grafen til ein funksjon 211, 223 grunntal 8 gylne rektangelet, det 107, 121 gylne snittet, det 107, 121 gylne triangelet, det 111, 112 H halvering av vinkel 96, 120 hjelpefigur 97 hypotenus 88 utrekning av 89 I inklusiv meirverdiavgift 231, 253

Stikkord

309


J justere tal desimalar 267 justere kolonnebreidd 261 K kakediagram 130 kalkulator 255 katet, utrekning av 92 katetar 88 kolonne leggje til eller fjerne 261 merkje 260 kolonnebreidd, justere 261 kongruent 185 konstruksjon 96, 120 konstruksjon av 60º 96, 120 konstruksjon av 90º 120 koordinat 222 koordinatsystem 202, 222 kopiere formlar til fleire celler etter kvarandre 269 kopiere og flytte tekst eller tal 267 kritisk bruk av diagram 140 kvadratisk likning 52, 64 kvadratrot 18, 34, 256 kvadrattal 16, 18, 34

Stikkord

L leggje til eller fjerne kolonne 261 leggje til eller fjerne rad 262 leggje til eit negativt tal 20 likning 47, 64 likningar, setje prøve pa˚ 54, 65 linjediagram 170, 275, 276 la˚se innhaldet i ein formel til ei celle 271

310

M mangekant 68 areal 119 omkrins 119 regulær 70, 104, 119 vinkelsum 119 median 143, 171 merkje ein kolonne 260 merkje ei rad 260 merkje enkeltceller 259 merkje eit omra˚de 259 meirverdiavgift 231, 253 meirverdiavgift, eksklusiv 231, 253 meirverdiavgift, inklusiv 231, 253 middelverdi 143 midtnormal 120 mindre enn 57, 65 minne 257

moms 231 multiplikasjon av potensar 9 multiplisere eit positivt tal og eit negativt tal 21 multiplisere med x 50 multiplisere to negative tal 21 mønster 121 regulært 104, 121 semiregulært 104, 121 ma˚leinstrument 174 ma˚lestokk 177, 199 ma˚lestokk, a˚ finne 182 ma˚ling 174 N natur og kunst, geometri 102 nedfelling av normal 96, 120 negativt tal, leggje til 20 negativt tal, trekkje fra˚ 20 normal i eit punkt 96 normal, nedfelle 96 nøyaktige ma˚l 174 O observasjon 169 tal 170 summen av 170 omkrins av mangekant 119 av parallellogram 75 av rektangel 72 av sirkel 84, 85, 120 av trapes 80 av trekant 78 omra˚de, merkje 261 overflate av prisme 199 P parallellogram 75, 119 areal 75 omkrins 75 parentesar og bokstavuttrykk 45 pentagon 111 potens 8, 34 med 10 som grunntal 11 multiplikasjon og divisjon 9 potensar og bokstavuttrykk 44 potensform 8


prisme areal av grunnflate i rett firkanta 186 areal av overflate 188 overflate 199 rett firkanta 185 volum 185, 199 volum av rett firkanta 186 pristillegg 246 problemløysing og likningar 55 promille 226, 253 promille, finne 228 prosent 128, 226, 256 Pytagoras 88 Pytagoras-setninga 88, 120 R rabatt 234, 253 rad leggje til eller fjerne 262 merkje 260 rekneart, fleire pa˚ ein gong 255 rekning med bokstavuttrykk 42, 63 rekning med forhold 25 rekning med forteiknstal 20, 35 regulær mangekant 70, 104, 119 regulært mønster 104, 121 rektangel 72, 119 relativ frekvens 124, 128, 169 relativ frekvens og prosent 169 rente 253 rente for delar av eit a˚r 244 rentedag 241, 253 rentefot 239 renterekning 239 rettvinkla trekant 88 S sannsyn 151, 171 ved fleire utfall 171 finn ved hjelp av multiplikasjon 158 like stort kvar gong? 162 sektordiagram 130, 169, 278 semiregulært mønster 104, 121 sentralma˚l 143 velje det beste 146 setje inn tal i bokstavuttrykk 63 setje prøve pa˚ likningar 54, 65 setje tal inn i bokstavuttrykk 41 sirkel 84, 85, 120 sirkelsektor 130 skrive formel i celle 263 sla˚ saman celler 262 sortere data 268 standardform 13, 14

standardform, tal 34 stolpediagram 135, 170, 271 større enn 57, 65 subtrahere med x 49 summen av alle observasjonar 170 summere fleire celler etter kvarandre 270 sylinder 190, 193 søylediagram 135, 170, 271 T tal pa˚ standardform 13, 34 talet pa˚ observasjonar 170 talrekkjer 27 taluttrykk 38 tessellere 106 tiarpotens 13 tilbod 236 trapes 80, 119 trediagram 155 trekant 77, 119 rettvinkla 88 vinkelsum 68 trekanttal 27, 35 trekkje fra˚ eit negativt tal 20 trendlinje til ein funksjon 285 typetal 143, 171 U ulikskap 57, 65 utfall tal mogelege 148, 152 gunstig 152 V valtre 148 variasjonsbreidd 143, 143, 171 vinkel, halvering 96, 120 vinkelsum i firkant 69 i mangekant 119 i trekant 68 av prisme 185, 199 av rett firkanta prisme 186 volum av prisme 185, 199 av sylinder 190 av rett firkanta 186

Stikkord

311


Faktor 2 Grunnbok nynorsk