Page 1


Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner

Faktor 2 Grunnbok BokmaËšl


# J.W. Cappelens Forlag AS, Oslo 2006 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av a˚ndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med J.W. Cappelens Forlag AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Faktor 1–3 følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er lagd til bruk pa˚ grunnskolens ungdomstrinn. Illustratør: Line Jerner Omslagsdesign: Line Jerner Omslagsillustrasjon: Line Jerner Grafisk formgiving: Jakob Thyness Ombrekking: AIT Oslo AS Forlagsredaktør: Espen Skovdahl Trykking/innbinding: Livonia Print SIA, Latvia 2011 Utgave 1 Opplag 5 ISBN 978-82-02-25294-6 www.cdu.no http://faktor.cappelendamm.no Fotografier GVPress: #TCG s. 12, #Index Stock Imagery s. 13, Science Photo Library #Detlev van Ravenswaay s. 14, #Science Photo Library s. 61, 118, 177, #Greg Geria s. 62, #Super Stock s. 103, #Photo Researchers s. 111 (Pentagon), #Russell Kightley/SPL s. 178, #Bruno Morandi s. 214, #Dirscherl s. 227, #GoodShoot s. 233, #Gonzalo Azumendi s. 257 Samfoto: #Svein Grønvold/NN s. 19, #Øystein Søbye/NN s. 102 (bier), #Bjørn-Owe Holmberg s. 102 (blad), 111 (blad), #Tore Wuttudal/NN s. 103 (votter), #Jann Lipka/Mira s. 115, #Fredrik Naumann s. 116, #Tom Schandy/NN s .127, #Jens Sølvberg s. 133, #Helge Sunde s. 137, #Ba˚rd Løken/NN s. 139, #Johannes Haugan/NN s. 184, #Ove Bergersen/NN s. 184, 197 Scanpix: AP s. 15, #Royalty-Free/Corbis s. 31, Ørn E. Borgen/Aftenposten s. 32, Morten Holm s. 74, s. 87, #Bettmann/Corbis s. 88, #Historical Picture Archive/Corbis s. 95, #Alinari Archives/Corbis s. 101, #Bo Zaunders/Corbis s. 102 (kirkespir), #Christine Osborne/Corbis s. 102 (mosaikk), #Jean Guichard/ Corbis s. 102 (spriral), #Lester Lefkowitz/Corbis s. 102 (skjell), #Roger Ressmeyer/Corbis s. 103 (heksagon), #Visuals Unlimited/Corbis s. 103 (snøkrystall), #David Samuel Robbins/Corbis s. 103 (postkasse), #Royalty-Free s. 111 (fotball), #Jim Winkley/Ecoscene s. 111 (ruiner), #Knut Falch s. 179, #Maurizio Gambarini/dpa/Corbis s. 180, #NRKP2 s. 228


Innledning Velkommen til Faktor 2. Dette er den andre av i alt tre grunnbøker du skal bruke pa˚ ungdomstrinnet. Til hver grunnbok hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som følger deg gjennom alle bøkene.

Fra venstre rundt bordet: Martin, Lotte, Herman, Hanna, Simen og Sara

Kapitlene i grunnboka er delt inn i fire deler: Lærestoff og oppgaver Prøv deg selv Noe a˚ lure pa˚ Oppsummering Noen av oppgavene er merket med disse symbolene: Kalkulator

Finn ut

Regneark

Utfordrende oppgave

I oppgaveboka finner du oppgaver i tre vanskelighetsgrader og repetisjonsoppgaver til hvert kapittel. Kategori 1 Kategori 2 Kategori 3 Litt av hvert Bakerst i boka finner du Digital manual for arbeid med kalkulator og regneark. Vi ha˚per du fa˚r glede av arbeidet med Faktor! Hilsen Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innledning

3


Innhold 1 Tall og tallforsta˚else .................7 Potenser ...........................................8 Kvadrattall ...................................... 16 Regning med fortegnstall.............. 20 Forhold ........................................... 23 Figurtall og tallrekker..................... 27 Prøv deg selv .................................. 30 Noe a˚ lure pa˚ ................................. 32 Oppsummering ............................... 34

2 Algebra ..................................... 37 Bokstavuttrykk................................ 38 Likninger ........................................ 47 Ulikheter ......................................... 57 Prøv deg selv .................................. 59 Noe a˚ lure pa˚ ................................. 61 Oppsummering ............................... 63

Innhold

3 Geometri................................... 67 Mangekanter .................................. 68 Omkrets og areal av mangekanter ........................ 72 Omkrets og areal av en sirkel ....... 84 Pytagoras-setningen ...................... 88 Konstruksjon og beregninger........ 96 Geometri i natur og kunst........... 102 Det gylne snitt og det gylne rektangel ................ 107 Prøv deg selv ................................ 113 Noe a˚ lure pa˚ ............................... 117 Oppsummering ............................. 119

4

4 Statistikk og sannsynlighetsregning ............... 123 Relativ frekvens............................ 124 Sektordiagram.............................. 130 Andre diagrammer....................... 135 Kritisk bruk av diagrammer ......... 140 Sentralma˚l og variasjonsbredde.. 143 Antall mulige utfall ...................... 148 ˚ finne sannsynligheten .............. 151 A ˚ finne sannsynligheten ved A flere hendelser ........................ 155 Like stor sannsynlighet hver gang? .............................. 162 Prøv deg selv ................................ 164 Noe a˚ lure pa˚ ............................... 167 Oppsummering ............................. 169

5 Ma˚ling og beregninger ......... 173 Ma˚lenøyaktighet .......................... 174 Ma˚lestokk ..................................... 177 Volum, og areal av en overflate.. 185 Prøv deg selv ................................ 196 Noe a˚ lure pa˚ ............................... 198 Oppsummering ............................. 199

6 Funksjoner.............................. 201 Koordinatsystemet ....................... 202 Formler og funksjoner ................. 207 Grafen til en funksjon.................. 211 Mer om funksjoner ...................... 215 Prøv deg selv ................................ 218 Noe a˚ lure pa˚ ............................... 220 Oppsummering ............................. 222


7 Økonomi ................................. 225 Prosent og promille ..................... 226 Merverdiavgift .............................. 231 Rabatt ........................................... 234 Tilbud ........................................... 236 Renteregning ............................... 239 Avbetaling .................................... 246 Prøv deg selv ................................ 249 Noe a˚ lure pa˚ ............................... 251 Oppsummering ............................. 253 Digital manual ............................ 254 Kalkulatoren ................................. 255 Regneark ...................................... 258 Fasit ............................................. 288 Stikkord ....................................... 309

Innhold

5


Det er 384 000 km til ma˚nen.

Er det 400 000 000 000 eller 40 000 000 000 stjerner i va˚r galakse, Melkeveien?

Alpha Kentauri er 40 000 000 000 000 km unna jorda. Et romskip flyr med ca. 40 000 km/h. Hvor lang tid ville det tatt a˚ reise dit?


1 Tall og tallforsta˚else Noen ganger har vi bruk for a˚ skrive svært store tall, for eksempel i forbindelse med avstander i verdensrommet. For a˚ fa˚ bedre oversikt kan vi skrive tallene som produkter av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens: 384 000 = 3,84  105

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . .

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

tall pa˚ standardform faktorer, potenser, kvadratrot og forhold mellom størrelser i beregninger fortegnstall tallmønstre

Mange nuller a˚ holde orden pa˚!


Potenser

?

To i femte er en potens.

25

Hva betyr to i femte? 25 er en potens med 2 som grunntall og 5 som eksponent.

Tall og tallforstaËšelse

25 uttales to i femte.

8

25 = 2  2  2  2  2 = 32 Regel

Et produkt der alle faktorene er like, kan vi skrive paËš potensform. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Oppgaver 1.1

1.2

Skriv som potens. a) 2  2  2  2 b) 3  3  3  3

c) 10  10  10 d) 7  7  7  7  7

e) 5  5  5  5  5  5 f) 9  9  9  9

Regn ut potensen. a) 23 b) 35

c) 53 d) 105

e) 55 f) 210


1.3

Skriv av tabellen og fyll inn det som mangler.

Grunntall 3

Eksponent

Potens

2 64

6

35

5 1

8 2,34

4 1.4

Regn ut. a) 3  4  4  4

b) 5  23

c) 24  33

Multiplikasjon og divisjon av potenser Na˚r vi skal multiplisere to potenser som har samme grunntall, lar vi grunntallet sta˚ og summerer eksponentene. 3

4

3+4

2 2 = 222 2222 = 2

=2

7

Husk! 2 = 21 , 3 = 31 osv.

Na˚r vi skal dividere en potens med en potens som har samme grunntall, lar vi grunntallet sta˚ og subtraherer eksponentene. 56 = 56 : 52 = 56 -- 2 = 54 52

Regel

Na˚r vi multipliserer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og summerer eksponentene. Na˚r vi dividerer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og subtraherer eksponentene. Hvis vi dividerer to like potenser med hverandre, blir svaret lik 1 fordi telleren og nevneren er like store.

Tall og tallforsta˚else

9


Hvis vi bruker regelen for divisjon av potenser, fa˚r vi 53 = 53 -- 3 = 50 53 Det betyr altsa˚ at 50 = 1. Regel

For alle tall a er a0 = 1. Na˚r vi skal multiplisere eller dividere to potenser som ikke har samme grunntall, ma˚ vi regne ut potensene hver for seg. Eksempel

Regn ut. Skriv svaret som e´n potens hvis det mulig. a) 22  25 c) 32  43 6 2 b) 4 : 4 d) 44 : 23

Tall og tallforsta˚else

Løsning a) 22  25 = 22 + 5 = 27 b) 46 : 42 = 46 -- 2 = 44

10

c) 32  43 = 9  64 ¼ 576 d) 44 : 23 = 256 : 8 = 32

Oppgaver 1.5

1.6

1.7

Regn ut. Skriv svaret som e´n potens. c) 22  23 a) 32  35 2 2 b) 5  5 d) 52  54

e) 102  103 f) 72  73

Regn ut. Skriv svaret som e´n potens. a) 132  133 c) 122  123 b) 52  5 d) 102  104

e) 100  105 f) 70  73

Regn ut. Skriv svaret som e´n potens. c) 22  26 a) 32  3 b) 152  152 d) 102  104  102

e) 103  105  10 f) 7  73  70  72


1.8

Regn ut. Skriv svaret som e´n potens. 27 24 65 b) 2 6 a)

1.9

106 102 312 d) 8 3 c)

Regn ut. Skriv svaret som e´n potens. c) 35 : 34 a) 55 : 52 d) 74 : 73 b) 105 : 103

55 52 35 f) 4 3 e)

e) 155 : 153 f) 109 : 103

1.10 Regn ut. Skriv svaret som e´n potens hvis det er mulig. a) 95 : 92 c) 26 -- 24 e) 124 : 123 4 3 4 3 f) 34 + 24 b) 3 + 3 d) 10 + 10 1.11 Regn ut. Skriv svaret som e´n potens hvis det er mulig. a) 32  35 c) 122  23 e) 82  8 b) 52  53 d) 52  102 f) 5  43 1.12 Regn ut. Skriv svaret som e´n potens hvis det er mulig. a) 136 : 134 c) 5  42 -- 16 b) 84 -- 44 d) 3  52 + 5  32

Potenser med 10 som grunntall Nedenfor ser du noen eksempler pa˚ potenser med 10 som grunntall. 100 101 102 103 104 105 106

= = = = = = =

1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000

Vi bruker tallene 1, 10, 100 osv. na˚r vi skriver naturlige tall pa˚ utvidet form: 3456 = 3  1000 + 4  100 + 5  10 + 6  1 Ettersom 10, 100, 1000 osv. kan skrives som potenser med 10 som grunntall, fa˚r vi: 3456 = 3  103 + 4  102 + 5  10 + 6  1

Tall og tallforsta˚else

11


Eksempel

Skriv 1 205 604 pa˚ utvidet form ved a˚ bruke potenser av 10. Løsning 1 205 604 = 1  1 000 000 + 2  100 000 + 0  10 000 + 5  1000 + 6  100 + 0  10 + 4  1 1 205 604 = 1  106 + 2  105 + 5  103 + 6  102 + 4  1

Oppgaver 1.13 Skriv tallene som potenser med 10 som grunntall. a) 100 c) 100 000 e) Ti millioner b) 1000 d) 1 000 000 f) En milliard

12

1.15 Skriv tallene pa˚ vanlig ma˚te. a) 5  103 + 4  102 + 1  10 + 6  1 b) 3  104 + 4  103 + 5  102 + 6  10 + 5  1 c) 7  105 + 4  104 + 5  103 + 6  102 + 3  10 + 4  1 d) 2  105 + 4  103 + 5  102 + 6  1 e) 1  106 + 4  105 + 5  103 + 6  102 + 1  10 + 2  1 f) 3  105 + 4  102 + 9  10 + 1  1 1.16 Skriv 6 milliarder pa˚ vanlig ma˚te og deretter ved a˚ bruke tierpotens. Det er over 6 milliarder mennesker pa˚ jorda!

Menneskemengde

Tall og tallforsta˚else

1.14 Skriv tallene pa˚ utvidet form ved a˚ bruke potenser av 10. a) 6543 c) 12 675 e) 2 450 565 b) 3409 d) 125 308 f) 2 907 530


Tall pa˚ standardform For a˚ fa˚ bedre oversikt over et stort tall kan vi skrive tallet som et produkt av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens.

Avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km!

Sola, va˚r egen stjerne

150 000 000 km kan vi skrive slik: 1,5  108 km

Tierpotens

Desimaltall mellom 1 og 10 Na˚r vi skriver om store tall pa˚ denne ma˚ten, flytter vi desimaltegnet og setter det mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Ovenfor har vi flyttet desimaltegnet a˚tte plasser. Derfor blir tierpotensen 108 . Skrivema˚ten 1,5  108 kaller vi standardform.

Tall og tallforsta˚else

13


Regel

Vi skriver store tall pa˚ standardform ved a˚ plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet desimaltegnet.

Eksempel

Skriv tallet 340 000 000 pa˚ standardform. Løsning 340 000 000 = 3,4  108

Oppgaver

Tall og tallforsta˚else

1.17 Skriv tallene pa˚ standardform. a) 25 000 c) 24 000 000 b) 14 000 d) 910 000

14

1.18 Skriv avstandene fra sola til planetene pa˚ standardform.

a) Sola – Venus b) Sola – Jorda c) Sola – Jupiter

108 000 000 km 150 000 000 km 778 000 000 km

e) 4 500 000 f) 4 500 000 000


1.19 Skriv tallene pa˚ vanlig ma˚te. c) 9,1  105 a) 4,5  103 4 b) 2,7  10 d) 4,5  106

e) 1,05  107 f) 4,08  109

1.20 Massen til ma˚nen har blitt beregnet til ca. 73 500 000 000 000 000 000 tonn. Skriv tallet ved a˚ bruke tierpotens.

Apollo 11 var det første romfartøyet som landet pa˚ ma˚nen, 20. juli 1969.

1.21 Finn ut hvor mye jorda veier. Skriv tallet ba˚de pa˚ vanlig ma˚te og ved a˚ bruke tierpotens.

Massen til ma˚nen er ca. 0,0123 av massen til jorda!

Tall og tallforsta˚else

15


Kvadrattall

?

Alle tallene er kvadrattall!

4

9

16

25

Hva mener vi med kvadrattall? Vi kan legge ut fire brikker pa˚ denne ma˚ten:

Tall og tallforsta˚else

&& &&

16

Vi fa˚r et kvadratformet mønster. Vi kan legge ut ni brikker pa˚ tilsvarende ma˚te: &&& &&& &&& Se pa˚ regnestykkene nedenfor. 11 22 33 44 55

= = = = =

12 22 32 42 52

= = = = =

1 4 9 16 25

Tallene 1, 4, 9, 16, 25 osv. kaller vi kvadrattall.


Regel

Hvis x er et helt tall, er x  x = x 2 et kvadrattall. Oppgaver 1.22 Hvilke av tallene er kvadrattall? 4 9 7

8

1.23 Lag en tegning som illustrerer kvadrattallene. a) 4 b) 9 c) 16

16

25

d) 25

1.24 Hvilke kvadrattall illustrerer figurene? a)

c)

b)

1.25 Regn ut kvadrattallet x 2 naËšr x er a) 5 c) 10 b) 8 d) 15

e) 20 f) 100

1.26 81 brikker blir lagt ut som et kvadrat. Hvor mange brikker er det langs siden av kvadratet? 1.27 Stolene i en kinosal er plassert som et kvadrat. Det er 625 plasser i salen. Hvor mange stoler er det i hver rad?

Tall og tallforstaËšelse

17


Kvadratrot Na˚r vi multipliserer to like tall med hverandre, fa˚r vi et kvadrattall. 33 = 9 Det vil si at 9 er et kvadrattall. Motsatt sier vi at 3 er kvadratroten av 9. Tegnet for kvadratrot er pffiffiffi 9=3

pffiffiffi . Vi kan skrive kvadratroten av 9 slik:

Pa˚ samme ma˚te er pffiffiffi 25 = 5 fordi 5  5 = 25:

Regel

Vi finner kvadratroten av et bestemt tall ved a˚ finne det positive tallet som multiplisert med seg selv gir det bestemte tallet.

Tall og tallforsta˚else

Eksempel

18

Finn kvadratroten av 36. Løsning pffiffiffiffiffi Ettersom 6  6 = 36, er 36 = 6.

Oppgaver 1.28 Finn kvadratroten av a) 9 b) 25 c) 16 d) 36 e) 81 f) 100

Vi ma˚ bruke kalkulator for a˚ regne ut kvadratroten av tall som ikke er kvadrattall.


1.29 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) 36

pffiffiffiffiffiffiffiffi c) 144 pffiffiffiffiffiffiffiffi d) 400

1.30 Regn ut. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 25 + 81 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi b) 36 + 100

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c) 25 + 16 pffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 9 + 36

pffiffiffiffiffi e) 85 pffiffiffiffiffiffiffiffi f) 128

1.31 a) Sidene i et kvadrat er 6,5 cm. Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 23,04 cm2 . Hvor lang er siden? 1.32 En ha˚ndballbane har form som et rektangel som er dobbelt sa˚ langt som det er bredt. Arealet av ha˚ndballbanen er 800 m2 . Regn ut lengden og bredden av ha˚ndballbanen.

Ha˚ndballcup i Ski

Tall og tallforsta˚else

19


Regning med fortegnstall

?

Hm ...

5–3=2 5–2=3 5–1=4 5–0=5 5–(–1) = ? 5–(–2) = ?

–1∙3=–3 –1∙2=– 2 –1∙1 = –1 –1∙0= 0 –1∙(–1) = ? –1∙(–2) = ?

Hva blir svaret pa˚ oppgavene?

Tall og tallforsta˚else

Vi kan legge til og trekke fra negative tall. Jo mindre tall vi legger til, desto mindre tall fa˚r vi til svar. Jo mindre tall vi trekker fra, desto større tall fa˚r vi til svar.

20

5+1 5+0 5 + ð--1Þ 5 + ð--2Þ 5 + ð--3Þ

= = = = =

6 5 4 3 2

5 -- 1 5 -- 0 5 -- ð--1Þ 5 -- ð--2Þ 5 -- ð--3Þ

= = = = =

4 5 6 7 8

Regel

˚ trekke fra et negativt tall er det samme som a˚ legge til det tilsvarende A positive tallet. ˚ legge til et negativt tall er det samme som a˚ trekke fra det tilsvarende A positive tallet. Hvis vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall: --6  ð--3Þ = 18 --3  ð--3Þ = 9

--6 : ð--3Þ = 2 --3 : ð--3Þ = 1


Regel

Na˚r vi multipliserer eller dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. Na˚r vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall.

Minus  minus = pluss! Minus  pluss = minus

Eksempel

Regn ut. a) 10 + ð--12Þ b) 10 -- ð--12Þ c) 5  ð--4Þ

d) --5  ð--4Þ e) --20 : 4 f) --20 : ð--4Þ

Løsning a) 10 + ð--12Þ = 10 -- 12 = --2 b) 10 -- ð--12Þ = 10 + 12 = 22 c) 5  ð--4Þ = --20

d) --5  ð--4Þ = 20 e) --20 : 4 = --5 f) --20 : ð--4Þ = 5

Oppgaver 1.33 Regn ut. a) 5 -- ð--4Þ

b) 9 -- ð--9Þ

c) 10 -- ð--5Þ

d) 50 -- ð--100Þ

1.34 Regn ut. a) 5 + ð--2Þ

b) 20 + ð--12Þ

c) 13 + ð--12Þ

d) 25 + ð--20Þ

Tall og tallforsta˚else

21


Tall og tallforsta˚else

1.35 Regn ut. a) 12 + ð--3Þ

22

b) 12 -- ð--3Þ

c) 12 -- ð+3Þ

d) 12 + ð+3Þ

1.36 Hvilket av svarene er riktig? A) 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 1 B) 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 9

C) 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 11 D) 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = --1

1.37 Regn ut. a) 5  ð--6Þ

b) --4  6

c) --3  ð--7Þ

d) 5  ð--10Þ

1.38 Regn ut. a) 25 : ð--5Þ

b) --25 : 5

c) --30 : ð--6Þ

d) --42 : 7

1.39 Regn ut. a) 2,5  ð--6Þ

b) 4  ð--2,5Þ

c) --3  1,5

d) --10  ð--3,7Þ

1.40 Regn ut. a) 4 + ð--3Þ -- ð--4Þ b) 5 -- ð--3Þ + ð--4Þ

c) 10 + ð--4Þ -- ð--15Þ d) 50 + ð+50Þ -- ð--100Þ

1.41 Regn ut. a) 15 -- ð+17Þ b) --2 -- ð+2Þ

c) 50 -- ð--50Þ + ð--25Þ d) --100 -- ð+100Þ -- ð--100Þ + ð--100Þ

1.42 Skriv av og sett de riktige tallene inn i rutene. a) 5  ð--7Þ = & c) &  ð--8Þ = --80 & b) --3  = 21 d) --10  ð--10Þ = &


Forhold

?

Barna blander saft og vann i forholdet e´n til fem, det vil si e´n del saft og fem deler vann. Hvordan kan vi skrive forholdet med tall? Na˚r vi blander saft og vann i forholdet e´n til fem, blander vi e´n del saft med fem deler vann. Det kan for eksempel være 1 dl saft og 5 dl vann. Ettersom 10 dl er fem ganger sa˚ mye som 2 dl, kan vi ogsa˚ blande 2 dl saft og 10 dl vann. Forholdet mellom mengden av saft og mengden av vann blir ogsa˚ da e´n til fem. Forholdet e´n til fem kan vi skrive slik: 1 : 5 eller

1 5

Brøkstreken er her det samme som et divisjonstegn. Na˚r vi skal finne forholdet mellom to størrelser, forkorter vi brøken sa˚ mye som mulig. Regel

Vi finner forholdet mellom to tall ved a˚ dividere tallene med hverandre.

Tall og tallforsta˚else

23


Eksempel

Hanna bor 12 km fra skolen, mens Simen bor 3 km fra skolen. Hva er forholdet mellom 12 km og 3 km? Løsning 12 km 12 4 = = 3 km 3 1

Husk! I noen av oppgavene ma˚ du gjøre om til samme benevning.

Forholdet er 4 : 1

Oppgaver 1.43 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 2 km og 10 km b) 3 bøtter og 12 bøtter c) 500 kr og 250 kr e) 2 cm og 20 cm d) 15 kg og 45 kg f) 4 cm og 80 000 cm

Tall og tallforsta˚else

1.44 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 500 kr og 125 kr d) 12 km og 3 cm b) 4 cm og 1 m e) 50 øre og 50 kr c) 3 g og 12 kg f) 500 km og 5 cm

24

1.45 Simen blander 2 dl iste med 16 dl vann. Sara blander 3 dl iste med 27 dl vann. Hvem lager den sterkeste blandingen? 1.46 Martin tjener 240 kr pa˚ 4 timer. Hanna arbeider i 5 timer. Hvor mye ma˚ Hanna fa˚ i lønn hvis hun skal tjene like mye per time som Martin? 1.47 Elevene i 9A solgte vafler for 375 kr. Det er 25 elever i gruppa. I 9B er det 28 elever. Hvor mye ma˚ elevene i 9B selge vafler for hvis de skal selge like mye i forhold til elevtallet?


Regning med forhold Vi regner med forhold i mange sammenhenger, for eksempel – na˚r vi blander saft og vann – na˚r vi blander sement og sand – na˚r vi fa˚r lønn i forhold til den tiden vi arbeider Martin og Lotte hjalp naboen med a˚ male huset. Martin arbeidet i 10 timer og Lotte i 8 timer. For dette fikk Martin 750 kr og Lotte 600 kr. Vi regner ut timelønnen: Martin: Lotte:

750 kr : 10 = 75 kr 600 kr : 8 = 75 kr

Det betyr at forholdet mellom 750 og 10 er det samme som forholdet mellom 600 og 8. Martin og Lotte har derfor fa˚tt like mye betalt i forhold til de timene de har arbeidet, selv om de har fa˚tt forskjellige kronebeløp. Eksempel

Herman arbeider i 3 timer, og Sara arbeider i 4 timer. De fa˚r 560 kr til sammen for dette arbeidet. Hvor mye fa˚r hver av dem? Løsning Herman arbeider: Sara arbeider: Til sammen:

3 timer 4 timer 7 timer

Lønnen for e´n time blir: 560 kr : 7 = 80 kr Herman fa˚r: 3  80 kr = 240 kr Sara fa˚r: 4  80 kr = 320 kr Vi kontrollerer svaret: 240 kr + 320 kr = 560 kr

Tall og tallforsta˚else

25


Oppgaver 1.48 Martin og Lotte skal dele 450 kr i forholdet 4 : 5. Hvor mye fa˚r hver av dem? 1.49 Sara og Herman skal dele et overskudd fra et loddsalg. Sara solgte 50 lodd, og Herman solgte 75 lodd. Overskuddet var 150 kr. a) Regn ut forholdet mellom antallet lodd Sara og Herman solgte. b) Hvor stor del av overskuddet fikk hver av dem?

Tall og tallforsta˚else

1.50 Simen skal fylle 2 dl olje og 48 dl bensin pa˚ mopeden. Hanna skal fylle olje og bensin i samme forhold.

26

a) Regn ut forholdet mellom mengden av olje og mengden av bensin. b) Hvor mange desiliter bensin ma˚ Hanna fylle hvis hun bruker 1 dl olje? 1.51 Sara skal blande iste og vann i forholdet 1 : 9. Hun vil bruke 2 dl iste i blandingen. Hvor mange desiliter ferdigblandet iste fa˚r hun? 1.52 I en oppskrift pa˚ hasselnøttbrød sta˚r det blant annet at vi skal bruke 7 dl grovt rugmel 6 dl hvetemel Herman skal lage en brøddeig med 9 dl hvetemel. Hvor mye rugmel ma˚ Herman bruke hvis forholdet mellom mengden av hvetemel og mengden av rugmel fortsatt skal være det samme?


Figurtall og tallrekker

? 1

3

6

Hvilke tall fa˚r vi videre etter dette mønsteret? Hvis vi fortsetter a˚ legge ut brikker etter det samme mønsteret, fa˚r vi følgende figurer og tall: & & && & && &&& & && &&& &&&& & && &&& &&&& &&&&& 1 3 6 10 15 osv. Antall brikker er: 1 brikke 3 brikker ð1 + 2Þ 6 brikker ð1 + 2 + 3Þ 10 brikker ð1 + 2 + 3 + 4Þ 15 brikker ð1 + 2 + 3 + 4 + 5Þ Osv.

Husk! 1, 4, 9, 16 osv. kaller vi kvadrattall.

Tallene 1, 3, 6, 10, 15 osv. kaller vi trekanttall fordi vi kan illustrere disse tallene i et geometrisk trekantet mønster. Tallene 1, 3, 6, 10 og 15 er de fem første trekanttallene.

Tall og tallforsta˚else

27


Vi kan lage andre tallrekker ved a˚ bruke et bestemt system eller mønster. Det er vanlig a˚ se etter mønsteret i tallrekkene ved a˚ undersøke differansen mellom leddene eller forholdet mellom leddene. En tallrekke begynner slik: 1

3

7

13

21

Her ser vi at differansen mellom ett ledd og leddet foran øker med 2 hver gang vi ga˚r fra ett ledd til det neste: 3–1=2 7–3=4 13 – 7 = 6 21 – 13 = 8 De sju første tallene i tallrekken blir da: 1

3

7 13

21 31

43

En annen tallrekke begynner slik:

Tall og tallforsta˚else

1

28

3

9

27

Her ser vi at: 3:1=3 9:3=3 27 : 9 = 3 De sju første tallene i tallrekken blir da: 1

3

9

27

81

243

729

Oppgaver 1.53 Hvilke av tallene er kvadrattall? A 9 C 50 B 36 D 81

E 20 F 144

G1 H 169

1.54 Hvilke av tallene er trekanttall? A 10 C 20 B 15 D 25

E 21 F 100

G 28 H 50


1.55 Hvilke av tallene er ikke kvadrattall? A 16 C 14 E 20 B 8 D 18 F 24

G 36 H 38

1.56 Se pa˚ regnestykkene nedenfor. Fortsett fire linjer til etter det samme systemet. Skriv en regel ut fra den sammenhengen du ser. 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1.57 De seks første trekanttallene er 1, 3, 6, 10, 15 og 21. Legg sammen a) det første og det andre trekanttallet b) det andre og det tredje trekanttallet. c) det tredje og det fjerde trekanttallet d) Hva slags tall fa˚r du i oppgave a, b og c? 1.58 Skriv de tre neste tallene i tallrekkene. & & a) 1 4 9 b) 1 2 4 7 11 & c) 2 4 8 16 & d) 2 6 18 54

& & & &

& & &

1.59 Skriv av og sett inn tallene som mangler i tallrekkene. & & & a) 2 4 8 & & b) 1 4 8 13 & & & c) 1 9 25

&

128 34 169

1.60 Se pa˚ regnestykkene nedenfor: 1  1 = 12 = 1 11  11 = 112 = 121 111  111 = 1112 = 12321 Ser du et system som gjør at du raskt kan finne ut hvilket tall 11 1112 er?

Tall og tallforsta˚else

29


Prøv deg selv 1

2

3

Tall og tallforsta˚else

4

30

Skriv som potens. a) 3  3 b) 5  5  5  5

c) 2  2  2  2  2 d) 7  7  7

Regn ut potensen. b) 33 a) 103

c) 54

d) 28

Skriv svaret som e´n potens. a) 103  102 b) 43  44

c) 53  52

d) 102  10

Skriv svaret som e´n potens. a) 55 : 52 b) 106 : 102

c) 74 : 72

d) 25 : 24

5

Skriv tallene pa˚ utvidet form ved a˚ bruke potenser av 10. a) 3563 b) 12 875 c) 20 456 d) 120 503

6

Skriv tallene pa˚ standardform. a) 24 000 b) 540 000

c) 760 000 000 d) 50 100 000 000

7

Regn ut arealet av et kvadrat na˚r sidene i kvadratet er a) 4 cm b) 9 cm c) 7 cm d) 3,6 cm

8

Regn ut x 2 . a) x = 2

b) x = 7

c) x = 1

Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 64

pffiffiffiffiffi b) 81

c)

9

10

a) Sidene i et kvadrat er 4,5 cm Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 12,96 m2 . Hvor lange er sidene?

11

Regn ut. a) 4 -- ð--2Þ + 3 b) 15 + ð--5Þ -- 10 c) --20 -- ð--30Þ -- 2

pffiffiffiffiffiffiffiffi 121

d) x = 0,5

d)

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 16 + 49

d) 23 -- ð12 -- 5Þ e) ð12 -- 4Þ -- ð15 -- 2Þ f) ð7 -- 4 + 23Þ -- 3 + ð6 -- 3Þ


12

Regn ut. a) --2  3 b) 5  ð--10Þ

c) --4  ð--8Þ d) --32 : ð--8Þ

e) 45 : ð--9Þ f) --45 : 9

13

Lotte blander 2 dl iste med 10 dl vann. a) Hvor mange desiliter ferdigblandet iste fa˚r Lotte? b) Regn ut forholdet mellom volumet av iste og volumet av vann.

14

Murer Sand blander sement og sand i forholdet 1 : 5. Han har 6 skuffer sement i blandemaskinen. a) Hvor mange skuffer sand har mureren i blandemaskinen? b) En annen gang har mureren 20 skuffer sand i blandemaskinen. Hvor mange skuffer sement og sand har han da til sammen i blandemaskinen?

Pantheon i Roma (118–125 e.Kr.) har en selvbærende kuppel av betong.

15

16

Hvilke tall mangler a) 1 4 b) 1 1 c) 1 3

i tallrekkene? & 9 2 3 & 6

& & &

36 & 21

13

Hvilke av tallene er kvadrattall, og hvilke av tallene er trekanttall? 16 4 21 25 10 36 6

Tall og tallforsta˚else

31


Noe a˚ lure pa˚ 1

En flaske inneholder 6 dl saft. Simen skal blande saft og vann ved a˚ bruke 1 del saft og 9 deler vann. Pa˚ flasken sta˚r det at det kan bli 6 liter ferdigblandet saft. Forklar hvorfor det er riktig.

2

Se pa˚ utregningene nedenfor. 1 = 13 3 + 5 = 23 7 + 9 + 11 = 33 Hvordan fortsetter dette mønsteret?

3

Avstanden fra jorda til ma˚nen er ca. 380 000 km, og avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km. Ma˚nens diameter er ca. 3480 km, og solas diameter er ca. 1 400 000 km. Regn ut forholdet mellom a) avstanden fra jorda til sola og avstanden fra jorda til ma˚nen b) diameteren til ma˚nen og diameteren til sola

Tall og tallforsta˚else

c) Hva har svarene i a) og b) a˚ si for en solformørkelse?

32

Solformørkelse fotografert fra Oslo 31.05.2003


4

5

pffiffiffi Sidene i et kvadrat er 5 cm. Regn ut arealet av kvadratet. qp ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi Regn ut 256.

6

Vi vet at 2,5  106 = 2 500 000: Men hva er 2,5  10 -- 6 ?

7

a) Hvordan fortsetter dette mønsteret? 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

b) Hva kjennetegner tallene du finner?

8

Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2  3Þ inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller i en boks.

4 5

3 1 1 4

2 5

2

1 6 3

Sudoku

Tall og tallforsta˚else

33


Oppsummering Potenser Na˚r vi multipliserer tall som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 5  5  5  5  5  5 = 56 x  x  x = x3 Na˚r vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer. 23  2 4 = 23 + 4 = 27 x3  x2 = x3 + 2 = x5 Na˚r vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren.

Tall og tallforsta˚else

56 = 56 -- 2 = 54 52 x 6 : x 2 = x 6 -- 2 = x 4

34

Tall pa˚ standardform Tall kan skrives pa˚ vanlig form eller pa˚ standardform. Vanlig form: 450 000 000 Standardform: 4,5  108

Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall. 5  5 = 52 = 25 25 er et kvadrattall.

Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5  5 = 25


Regning med fortegnstall ˚ legge til et negativt tall er det samme som a˚ trekke fra det tilsvarende A positive tallet. 10 + ð--7Þ = 10 -- 7 = 3 ˚ trekke fra et negativt tall er det samme som a˚ legge til det tilsvarende A positive tallet. 10 -- ð--7Þ = 10 + 7 = 17 Na˚r vi multipliserer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25  ð--5Þ = --125 Na˚r vi dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 : ð--5Þ ¼ --5 Na˚r vi multipliserer to negative tall, blir svaret et positivt tall. --25  ð--5Þ = 125 Na˚r vi dividerer et negativt tall med et negativt tall, blir svaret et positivt tall. --25 : ð--5Þ = 5

Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved a˚ dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5 : 25 = 1 : 5

Trekanttall Vi fa˚r trekanttall ved a˚ summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover. 1+2=3 1+2+3=6

3 er et trekanttall 6 er et trekanttall

Tall og tallforsta˚else

35


2xei + xei + 5 = 3xei + 5

2x + x + 5 = 3x+ 5


2 Algebra Det var araberne som først begynte a˚ regne med bokstaver. De brukte ordet «sai» na˚r de regnet med ukjente tall. I middelalderen ble mange bøker oversatt fra arabisk til spansk av spanske munker. De oversatte ordet «sai» med «xei», og etter hver gikk man over til a˚ bruke bare den første bokstaven i ordet «xei», nemlig x, na˚r man regnet Han bruker x i stedet for med ukjente tall. Derfor er det vanlig a˚ bruke den ukjente! bokstaven x na˚r vi regner med ukjente tall i dag.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . . .

enkle algebraiske uttrykk regning med parenteser likninger med en ukjent løsning av ulikheter praktiske problemer med tall og regnemetoder


Bokstavuttrykk

?

Hm, det blir 2x + 7y.

Jeg vil gjerne ha to x-er og sju y-er.

Hva kaller vi et regneuttrykk som inneholder bokstaver?

Talluttrykk inneholder bare tall. Uttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstavene staËšr da i stedet for tall. Hver bokstav kaller vi en variabel. En variabel er noe som varierer, det betyr at den kan ha forskjellig verdi.

Algebra

2  5 + 7  10 er et talluttrykk.

38

2x + 7y

er et bokstavuttrykk.


Eksempel

Familien til Hanna skal pa˚ bilferie. De skal kjøre y kilometer. Lag et bokstavuttrykk som viser kilometerutgiftene dersom de ma˚ beregne 4 kr per kilometer. Løsning Kilometerutgiftene i kroner blir: 4y

Oppgaver 2.1

Forklar forskjellen pa˚ talluttrykk og bokstavuttrykk.

2.2

Hvilke av regneuttrykkene er talluttrykk og hvilke er bokstavuttrykk? A 235 -- 34 B 3x  5 C 15 -- y D 2ð5 + 4Þ

2.3

I en kiosk koster en brus 15 kr og et skolebrød 9 kr. Sara handler 3 flasker brus og 2 skolebrød. Hvilket talluttrykk viser hvor mye Sara ma˚ betale? A 15 + 3 + 9 + 2 C 15  3  9  2 B 15  3 + 9 + 2 D 15  3 + 9  2

2.4

Skriv et bokstavuttrykk som viser a) x multiplisert med 3 b) summen av 2x og 3y c) differansen mellom 2x og 3

2.5

Lotte kjøper sma˚godt til 99 kr per kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Lotte ma˚ betale for x kg.

2.6

Sara leser n blader hver uke. Hvilket av disse regneuttrykkene sta˚r for hvor mange blader Sara leser pa˚ 6 uker? A 6n B 6+n C n -- 6 D n + n6

Algebra

39


2.7

Herman sykler 2 km hver vei til skolen. Han sykler i x dager. Hva sta˚r bokstavuttrykket 4x for?

2.8

Lag et bokstavuttrykk som viser hva som finnes i sirkelen.

x

x

x y

z x

z y

z x

2.9

x

y

z z

Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figurene. a) b) c) b

a

2b

b a

a b

a

a b

Algebra

2.10 Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Simen ma˚ betale for x liter melk, y liter jus og z liter brus.

40

2.11 Martin svømmer to ganger i uka. Prisen for buss tur–retur svømmehallen er 42 kr, og det koster 25 kr i inngangspenger. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Martin ma˚ betale for n uker med svømming.


Sette tall inn i bokstavuttrykk Vi regner ut verdien av et bokstavuttrykk ved a˚ sette inn verdien til variablene.

2x + 7y = ?

Hva blir svaret na˚r x = 4 og y = 2?

Hvis x = 4 og y = 2 i bokstavuttrykket 2x + 7y, setter vi inn verdien til variablene og regner ut. 2x + 7y = 2  4 + 7  2 = 8 + 14 = 22 Eksempel

Regn ut 3a + 2b n˚ar a = 5 og b = 6 Løsning 3a + 2b = 3  5 + 2  6 = 15 + 12 = 27

Oppgaver 2.12 Sett inn x = 8 og y = 7. Regn ut. a) x + y b) 2x + 6y c) 4y – 4x

d) 4x + 3y

Algebra

41


2.13 a) Lag et bokstavuttrykk for omkretsen av figuren. b) Regn ut omkretsen av figuren na˚r 1 a = 2, b = 3 og c = 1 2 a = 4, b = 6 og c = 2 a 3 a = 8, b = 12 og c = 4

c

b

2.14 Sara er x a˚r eldre enn Aurora, som er 13 a˚r. a) Skriv et bokstavuttrykk som viser hvor gammel Sara er. b) Hvor gammel er Sara hvis x = 4? 2.15 Regn ut omkretsen (O) av figurene na˚r a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, d = 4 cm, g = 4 cm og h = 3 cm . a) O = 2a + 2b b) O = d c) O = g + h + c

d

a

c h

b g

2.16 Sett inn x = 3, y = 4 og z = 2. Regn ut. y 4x 2x + y b) a) c) z y z

d)

2x + 2y x z

Regning med bokstavuttrykk Vi kan regne med variabler pa˚ samme ma˚te som vi regner med tall. Vi vet at

Algebra

2 + 2 + 2 = 32 6 + 6 + 6 = 36

42

Pa˚ samme ma˚te er x + x + x = 3x a + a + a = 3a 3  a = 3a

Husk! Vi sløyfer gangetegnet mellom tall og bokstaver (variabler).


Na˚r vi har bokstavuttrykk med flere variabler, trekker vi sammen ledd med for eksempel x og y hver for seg.

4x + 2y -- 2x + 3y = 4x -- 2x + 2y + 3y = 2x + 5y

Vi ordner bokstavleddene i svaret etter alfabetet.

Regel

Na˚r vi skal trekke sammen et bokstavuttrykk, adderer eller subtraherer vi ledd med like variabler.

Eksempel

Regn ut. a) 7y + 3y – y b) 4a + 6b – 2a + 3b Løsning a) 7y + 3y – y = 9y b) 4a + 6b – 2a + 3b = 4a – 2a + 6b + 3b = 2a + 9b

Oppgaver 2.17 Regn ut. a) x + x + x + x b) b + b + b

c) a + a + a + a d) xy + xy + xy

2.18 Regn ut. a) 2b + 2b b) 4x + 7x

c) 11a – 7a d) 4y + 2y + 3y

2.19 Regn ut. a) x + y + 3x + 5y b) 5b + 2a + 4a – 2b

c) 3ab – 2ab + 3ab + 3ab d) 3a + 4b + 4a – 6b

Algebra

43


Potenser og bokstavuttrykk Pa˚ samme ma˚te som vi kan skrive tall som potens, kan vi ogsa˚ gjøre det med variabler. 4  4  4 = 43 x  x  x = x3 Vi multipliserer og dividerer potenser med samme variabel pa˚ samme ma˚te som med tall. 53  5 4 = 5 3 + 4 = 5 7 a3  a4 = a3 + 4 = a7 76 : 74 = 76 -- 4 = 72 y 6 : y 4 = y 6 -- 4 = y 2 Eksempel

Regn ut. a) a6  a2 b) 2y 3  3y 2 c) x 7 : x 5

d) ab  ab e) 2x 3 + x + x

Løsning a) a6  a2 = a6 + 2 = a8

d) ab  ab = ðabÞ2

b) 2y 3  3y 2 = 2  3  y 3 + 2 = 6y 5

e) 2x 3 + x + x = 2x 3 + 2x

c) x 7 : x 5 = x 7 -- 5 = x 2

(ab )² =

Algebra

Oppgaver

44

a²b ²

2.20 Regn ut og skriv svaret som potens. a) y  y b) a  a  a  a c) x  x  x  x  x  x d) ab  ab  ab 2.21 Regn ut og skriv svaret som potens. b) a2  a8 c) b4  b3  b2 a) y 4  y 3

d) x  x 6  x 3

2.22 Regn ut og skriv svaret som potens. c) y 5 : y 5 a) a4 : a2 b) x 8 : x 4

d) ð2aÞ9 : ð2aÞ5


2.23 Regn ut. a) 3b  5b b) 3x 2  5x 3

c) 7ðabÞ2  8ab d) 3x  2x 2  4x 3

x ¹= x¹ˉ¹ = x˚ =1 x¹

2.24 Trekk sammen. a) y 4 + y 2 + y 2 b) 3x -- 2x 2 + x þ 2x 2 c) 3a + 3a2 + a -- 2a2 d) 3x + 2x 2 + 4x 3 2.25 Regn ut. a) 2ab  6ab b) 4b : 4b

c) 5z 2  4yz 3 d) 3y  x 4  3y 3  2x 5

Parenteser og bokstavuttrykk Na˚r vi skal trekke sammen bokstavuttrykk som inneholder parenteser, løser vi opp parentesene pa˚ denne ma˚ten: +ð4x + 3xÞ = 4x + 3x = 7x +ð4x -- 3xÞ = 4x -- 3x = x --ð4x + 3xÞ = --4x -- 3x = --7x --ð4x -- 3xÞ = --4x + 3x = --x Legg merke til at vi bytter fortegn i parentesen na˚r det sta˚r et minustegn foran. Regel

Na˚r vi løser opp parenteser med plusstegn foran, forandrer vi ikke fortegnene i parentesen. Na˚r vi løser opp parenteser med minustegn foran, forandrer vi fortegnet foran alle leddene inne i parentesen. Hvis det sta˚r et tall eller bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi dette med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, ma˚ vi ogsa˚ forandre fortegn.

Algebra

45


5ð2a + 4aÞ = 5  2a + 5  4a = 10a + 20a = 30a --5ð2a + 4aÞ = --5  2a -- 5  4a = --10a -- 20a = --30a Regel

Vi multipliserer et tall eller bokstavuttrykk med en parentes ved a˚ multiplisere med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, ma˚ vi ogsa˚ forandre fortegn.

Eksempel

Regn ut. Skriv svaret sa˚ enkelt som mulig. a) -- ð3a -- aÞ b) 4xð2x--3Þ c) --2að2a--3aÞ Løsning a) --ð3a -- aÞ = --3a + a = --2a b) 4xð2x -- 3Þ = 4x  2x -- 4x  3 = 8x 2 -- 12x c) --2að2a -- 3aÞ = --2a  2a -- 2a  ð--3aÞ = --4a2 + 6a2 = 2a2 Oppgaver 2.26 Løs opp parentesene og regn ut. a) +ð3x + 4xÞ c) --ð4y + 4yÞ b) +ð5a -- 3aÞ d) --ð--4b -- 2bÞ 2.27 Løs opp parentesene og regn ut. a) 2ða + bÞ c) --3ð2 + xÞ b) 4ð2x -- yÞ d) --4ða + bÞ

Algebra

2.28 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3að2a + aÞ c) --xðx + 2Þ b) 2xð3x -- 2xÞ d) --3aða -- 3aÞ

46

2.29 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ð5 + 6Þ + 4ð2 -- 5Þ b) 2að3 -- 5Þ -- 3að2 + 3Þ c) 3xð2x + 4xÞ + 2xðx + 3xÞ d) --að--4 -- 5aÞ -- 3að2 + aÞ

Vi skriver bokstavuttrykk før talluttrykk i svaret.

2+a

=a

+2


Likninger

?

Lurer pa˚ hva x kan være ...

Hvordan løser vi likningen 2x = 9? Vi kan løse likninger ved a˚ legge til eller trekke fra like mye pa˚ hver side av likhetstegnet. Vi kan ogsa˚ multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet. Na˚r vi løser en likning vil vi vanligvis at den ukjente skal sta˚ alene pa˚ venstre side av likhetstegnet, men den ukjente kan ogsa˚ sta˚ alene pa˚ høyre side. Vi bruker ofte x for den ukjente i en likning, men vi kan ogsa˚ bruke andre bokstaver, som for eksempel a, t eller y. Regel

Vi kan løse en likning ved a˚ legge til eller trekke fra det samme tallet pa˚ begge sider av likhetstegnet. Vi kan ogsa˚ løse en likning ved a˚ multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet.

Algebra

47


Eksempel

Løs likningene. a) 7 + x = 12

c) 3x = 18 z d) =8 12

b) 15 = a -- 6 Løsning a) 7 + x = 12 7 + x -- 7 = 12 -- 7 x=5 b)

Trekker fra 7 pa˚ begge sider

15 = a -- 6 15 + 6 = a -- 6 + 6 21 = a a = 21

c)

d)

Legger til 6 pa˚ begge sider Ettersom 21 = a, er ogs˚a a = 21

3x = 18 3x 18 = 3 3 x=6

Dividerer alle ledd med 3

z =8 12

z  12 = 8  12 12 z = 96

Multipliserer alle ledd med 12

Algebra

Oppgaver

48

2.30 Løs likningene. a) x + 3 = 13

b) x – 5 = 17

c) 56 = x – 22

d) 11 = x + 7

2.31 Løs likningene. a) 2x = 42

b) 7x = 28

c) 3a = 15

d) 100 = 5x

2.32 Løs likningene x a) = 6 7

b)

x =3 5

c) 12 =

x 2

d)

a = 10 12


2.33 Løs likningene. a) 9 = 3 -- x

b) 2x + x = 12

c)

3x =6 2

d) 3x =

3 2

Husk! Likningen ma˚ alltid balansere!

Addere og subtrahere med x Vi kan legge til og trekke fra samme tall eller bokstavuttrykk pa˚ begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi løser likningen 2x = 9 + x slik: 2x = 9 + x 2x -- x = 9 + x -- x x=9

Trekker fra x pa˚ begge sider

Eksempel

Løs likningene. a) 4x = 3x + 9 b) x = 10 -- 4x Løsning a) 4x 4x -- 3x 1x x

= = = =

3x + 9 3x + 9 -- 3x 9 9

Trekker fra 3x pa˚ begge sider

Algebra

49


b)

x = 10 -- 4x

x + 4x 5x 5x 5 x

= 10 -- 4x + 4x = 10 10 = 5 =2

Legger til 4x pa˚ begge sider

Dividerer alle leddene med 5

Oppgaver 2.34 Løs likningene. a) 2x = 9 + x

b) 5x = 15 + 2x c) 3x = 12 – x

2.35 Løs likningene. a) 2x – 4 = 11 – 3x b) 7x + 6 = 12 + 3x

c) 8 + 6x = 3x + 20 d) –7x – 6 = –6x – 5

2.36 Løs likningene. a) 4ðx -- 3Þ = 8 b) xð2 + 3Þ = 10

c) 3ð2 + xÞ = 4ðx -- 3Þ d) 2ðx + 5Þ -- 3ðx -- 2Þ = 4x -- 4

Multiplisere med x Pa˚ samme ma˚te som vi kan multiplisere alle leddene i en likning med tall, kan vi ogsa˚ multiplisere alle leddene med en variabel (bokstav). For a˚ løse likningen 2 =

4 ma˚ vi «fjerne» x

4 x i nevneren i brøken . Det gjør vi ved x a˚ multiplisere alle leddene med x.

Algebra

2=

50

d) x – 8 = –3x

2x =

4 x 4 x x

2x 4 = 2 2 x=2

Multipliserer alle leddene med x Dividerer alle leddene med 2


Hvis likningen besta˚r av flere ledd, ma˚ vi huske pa˚ a˚ multiplisere eller dividere alle leddene med samme tall eller samme bokstavuttrykk.

Husk! Vi skiller leddene fra hverandre med + tegn og – tegn.

3+ x 3 =9–x

Regel

Vi kan løse en likning ved a˚ addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med det samme tallet eller bokstavuttrykket pa˚ begge sider av likhetstegnet.

Eksempel

Løs likningene. 9 a) = 3 x

b)

4x =8+x 3

Løsning a) 9 =3 x 9  x = 3 x x 9 3x = 3 3

Multipliserer alle ledd med x Dividerer alle ledd med 3

3=x x=3 b) 4x =8+x 3 4x 3 3 4x 4x -- 3x 1x x

= 8 3 + x 3 = = = =

24 + 3x 24 + 3x -- 3x 24 24

Multipliserer alle ledd med 3

Trekker fra 3x pa˚ begge sider

Algebra

51


Oppgaver 2.37 Løs likningene. 2 a) = 4 x

b)

x =4 2

c) 6 =

3 x

d)

4x =8 2

2.38 Løs likningene. 15 =3 a) x

b)

x = 100 5

c) 4 =

24 2x

d)

5x = 25 2

b)

4 +4=2 x

c) 3 +

x x x = 9 -- x d) + x = + 3 3 4 2

2.39 Løs likningene. 3 a) 6 + = 9 x

Kvadratiske likninger Hm, denne likningen har to løsninger ...

x ² = 16

Algebra

Likninger av typen x 2 = 16 kaller vi kvadratiske likninger. Ettersom ba˚de 42 og ð--4Þ2 er lik 16, sa˚ vil ba˚de x = 4 og x = –4 være løsningen pa˚ likningen x 2 = 16:

52

Det vil altsa˚ si at x = 4 og x = –4 er løsningen pa˚ likningen x 2 = 16: Regel

Kvadratiske likninger har alltid to løsninger.


Eksempel

Løs likningene. a) x 2 = 25 Løsning a) x 2 = 25 pffiffiffiffiffi x = 25 og x=5

og

b) x 2 + 5 = 55

pffiffiffiffiffi x = -- 25 x = --5

b) x 2 + 5 = 55 x 2 + 5 -- 5 = 55 -- 5

Trekker fra 5 pa˚ begge sider

2

x = 50 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 50 og x = -- 50 x  7,07 og x  --7,07

Oppgaver

For a˚ finne kvadratroten av et tall bruker jeg som regel kalkulatoren!

2.40 Løs likningene. a) x 2 = 16 b) x 2 = 4

c) x 2 = 36 d) x 2 = 64

2.41 Løs likningene. a) x 2 = 62 b) x 2 = 9,5

c) x 2 = 121 d) x 2 = 30,25

2.42 Løs likningene. a) x 2 + 4 = 40 b) x 2 -- 5 = 76

c) x 2 + 17 = 66 d) 78 = x 2 -- 67

2.43 Løs likningene. a) 2x 2 = 50 b) 3x 2 -- 5 = 28

c) 4x 2 + 3 = 9 d) 5x 2 -- 7 = 3x 2 + 11

Algebra

53


˚ sette prøve pa˚ likninger A Vi kan sette prøve pa˚ en likning ved a˚ undersøke om venstre og høyre side av likningen har samme verdi. Vi setter da inn verdien for x og regner ut venstre og høyre side av likningen hver for seg. Jeg tror svaret blir 6! Er du helt sikker?

5x =4+x 3

Venstre side:

Høyre side:

5x 3 56 3 30 3 10

4+x 4+6 10

Algebra

Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 6 er derfor en riktig løsning.

54

Oppgaver 2.44 Hvilken av likningene gir x = 6 til svar? A 45 = 2x B 3x = 18 C 21 = 4x 2.45 Løs likningene og sett prøve pa˚ svaret. a) 7x = 42 b) 5x = 50 c) 64 = 4x 2

d) x 2 + 4 = 125


2.46 Løs likningene og sett prøve pa˚ svaret. x a) 2x – 3 = x c) = 7 6 b) 2 -- 3x = 8 -- 5x d) 2x 2 -- 5 = x 2 + 31 2.47 Løs likningene og sett prøve pa˚ svaret. x 7x a) + 5 = 9 -- 3x b) + x = 30 2 3

c) 3x 2 + 8 = 2x 2 + 152

Problemløsing og likninger Vi kan løse mange ulike problemer ved hjelp av likninger. Noen ganger kan det være lurt a˚ lage en hjelpefigur. Omkretsen av den likebeinte trekanten er 30 cm.

Hvor lange er sidene?

2x

2x

x

I en likebeint trekant er de lengste sidene dobbelt sa˚ lange som den korte. Vi kaller den korte siden for x. De lange sidene blir da 2x. Vi fa˚r likningen 2x + 2x + x = 30, der x er den korte siden. 2x + 2x + x = 30 5x = 30 5x 30 = 5 5 x=6

Algebra

55


De lange sidene finner vi slik: 2x = 2  6 = 12 De lange sidene er 12 cm, og den korte siden er 6 cm. Vi kan kontrollere svaret slik: Omkretsen er 12 cm + 12 cm + 6 cm = 30 cm Oppgaver 2.48 I et rektangel er lengden dobbelt sa˚ stor som bredden. Omkretsen av rektangelet er 42 cm. a) Kall bredden for x cm og still opp en likning. b) Hvor lange er sidene i rektangelet? 2.49 Du trekker 23 fra et ukjent tall og fa˚r 71 til svar. a) Kall det ukjente tallet for x, og still opp likningen. b) Løs likningen. 2.50 Hanna kjøper 5 pizzaer og 10 brus til en klassefest. Det koster til sammen 650 kr. Hvor mye koster en pizza dersom brusen koster 18 kr per flaske? Løs oppgaven ved hjelp av likning.

Algebra

2.51 Hanna og Herman vil dele en pose med 47 karameller slik at Hanna fa˚r 11 karameller mer enn Herman. Hvor mange karameller fa˚r de hver? Løs oppgaven ved hjelp av likning.

56

2.52 Simen har to søsken som heter Tone og Espen. Espen er to a˚r eldre enn Simen, mens Tone er dobbelt sa˚ gammel som Simen. Til sammen er de 54 a˚r. Hvor gamle er hver av dem?


Ulikheter

?

Jeg er 13 a˚r og større enn deg.

Ja, jeg er bare 8 a˚r og mindre enn deg.

Hvordan kan vi lage et uttrykk som viser aldersforskjellen? Vi bruker symbolene < (mindre enn) og > (større enn) for a˚ vise ulikheter. Vi skriver 13 > 8

13 er større enn 8

8 < 13

8 er mindre enn 13

Vi kan legge til eller trekke fra like mye pa˚ hver side i en ulikhet, som for eksempel: 13 > 8 13 + 3 > 8 + 3 16 > 11 16 > 11 16 -- 3 > 11 -- 3

Legger til 3 pa˚ begge sider

Trekker fra 3 pa˚ begge sider

13 > 8

Algebra

57


Eksempel

Løs ulikheten. x +4<8 Løsning x +4<8 x + 4 -- 4 < 8 -- 4 x<4

Trekker fra 4 pa˚ begge sider

Oppgaver 2.53 Løs ulikhetene. a) x + 3 < 9

b) x + 7 < 12

2.54 Løs ulikhetene. a) x + 1,5 < 6,5 b) x + 3,5 > 6 2.55 Løs ulikhetene. a) 2x + 2 < x + 8 b) 3x + 5,5 > 2x + 6,5

6> 3

Algebra

d) x + 3 > 11

c) --2,5 + x < 4

d) x + 11 > 3

c) --2,5 -- 5x < 3,5 -- 6x

Vi kaller uttrykket for en ulikhet.

58

c) x -- 5 < 5


Prøv deg selv 1

Hva er forskjellen pa˚ et talluttrykk og et bokstavuttrykk?

2

a) Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figuren. b a b

a c c

b) Hanna kjøper kjøttdeig til 69 kr/kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Hanna ma˚ betale for x kg. 3

4

5

6

7

8

9

Skriv sa˚ enkelt som mulig. a) z + z + z + z b) 6a + 5a

c) 2r + 4r – r

d) 7y + 2x – 3x + y

Sett inn x = 3 og y = 5 og regn ut. a) 2x + 3y b) x + y c) 3x + 2y

d) x  2y

Skriv som potens. a) a  a  a b) x  x  x  x  x

c) z  z

d) 2b  2b  2b  2b

c) x 7 : x 2

d) 3a3  2a4

Regn ut. a) x 3 + x 3 b) a4 + a4

c) 2x 5 + 2x 5 d) 2y 2 + y 3

Regn ut. a) a4  a3

b) x 3  x 3

Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ðx -- 5Þ b) 3ð4a + 3aÞ c) --ð4x + 3xÞ

d) --ð2x -- 5xÞ

Løs likningene. a) 42 = 13 + x

d) 22 + 2 = 14 + x

b) a – 9 = 0

c) x – 12 = 12

Algebra

59


10

11

12

Løs likningene. a) 2x = 16

Løs likningene. 3 a) 1 = x b) 4x -- 2 = 3x + 4

b) x 2 = 64

Algebra

c)

x =4 4

d)

3x = 15 2

c) --x + 2 = 3x -- 8 x d) 3x = + 15 2

Løs likningene. a) x 2 = 49

60

b) 35 = 5x

8 x 2 d) 3x + 3 = x 2 + 27

c) 2x =

13

Sett prøve og vis hvilke av likningene som har løsningen x = 4. 4 A 6x = 24 B x 2 + 2 = 18 C =2 x

14

Fra vannkranen pa˚ badekaret kommer det 20 liter vann pa˚ ett minutt. Hvor lang tid vil du bruke pa˚ a˚ fylle hele badekaret hvis det rommer 200 liter? Still opp en likning og finn svaret.

15

Løs ulikhetene. a) 9 + x > 10

b) x -- 50 < 145 c) x -- 8 > 2

d) x + 60 > 200


Noe a˚ lure pa˚ 1

Matematikkgeniet Carl Friedrich Gauss (1777–1855) fant i ung alder en formel for a˚ summere de hundre første naturlige tallene. Summen blir 5050, men hva er formelen?

Hva blir summen av de ti første naturlige tallene?

Carl Friedrich Gauss

2

Sara har like mange 10-kronestykker som Martin har 5-kronestykker. 10-kronestykkene til Sara er verdt 75 kr mer enn 5-kronestykkene til Martin. Hvor mange kroner har de til sammen?

3

En blomst med potte koster 260 kr. Blomsten koster 190 kr mer enn potta. Hvor mye koster blomsten, og hvor mye koster potta? Sett opp en likning og finn svaret.

Algebra

61


Gullbarre

4

En gullbarre veier 4,5 kg mer enn en sølvbarre. Seks gullbarrer og to sølvbarrer veier like mye som tre gullbarrer og seks sølvbarrer. Hvor mye veier e´n gullbarre, og hvor mye veier e´n sølvbarre?

5

Her ser du en vekt som er i balanse. Hvilke tall skal sta˚ i stedet for x og y?

Algebra

x

62

y 2kg


Oppsummering Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven sta˚r da i stedet for et hvilket som helst tall. Bokstaven kaller vi en variabel. A = gh O = 2a + 2b

Sette inn tall i bokstavuttrykk Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved a˚ sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk. Hvis vi setter a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b fa˚r vi: 2a + 2b = 2  4 + 2  6 = 8 + 12 = 20

Regning med bokstavuttrykk Na˚r vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd. 5a + 3b + 2a -- 2b = 7a + b 3x  5y = 15xy 3a2  2a3 = 6a5 x7 : x3 = x4

Bokstavuttrykk og parenteser Na˚r vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved a˚ endre alle fortegnene pa˚ alle leddene inne i parentesen. 4x + ð2x + 3Þ = 4x + 2x + 3 = 6x + 3 6x -- ð3x -- yÞ = 6x -- 3x + y = 3x + y

Algebra

63


Hvis det sta˚r et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, ma˚ vi bytte fortegn pa˚ alle leddene inne i parentesen. 2xð5 + 7Þ = 2x  5 + 2x  7 = 10x + 14x = 24x --2xð5 -- 7Þ = --2x  5 -- 2x  ð--7Þ = --10x + 14x = 4x

Likninger Vi kan legge til eller trekke fra samme tall eller samme bokstavuttrykk pa˚ begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi kan ogsa˚ multiplisere eller dividere alle leddene i en likning med det samme tallet eller det samme bokstavuttrykket. 6= 6x = 6x 6x -- 4x 2x 2 x

= = = =

4 +4 x 4 x + 4x x 4 + 4x 4 + 4x -- 4x 4 2 2

Likninger av typen x 2 = 25 kaller vi kvadratiske likninger. Kvadratiske likninger har alltid to løsninger. x 2 = 25 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 25 og x = -- 25

Algebra

x=5

64

og x = --5


˚ sette prøve pa˚ likninger A Vi setter prøve pa˚ en likning ved a˚ sette inn verdien for den ukjente og undersøke om venstre og høyre side av likhetstegnet fa˚r samme verdi. 3x + 4 = 8 + 2x 3x -- 2x = 8 -- 4 x=4

Prøve: Venstre side:

Høyre side:

3x + 4 34 + 4 12 + 4 16

8 + 2x 8 + 24 8+8 16

Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 4 er derfor riktig løsning.

Ulikheter Vi løser ulikheter ved a˚ legge til eller trekke fra samme tall pa˚ begge sider av ulikhetstegnet. Symbolet < betyr mindre enn, og symbolet > betyr større enn. x + 4 < 12 x + 4 -- 4 < 12 -- 4 x<8 x er mindre enn 8

Algebra

65


Kongen skal ha betaling for kvadratene dine!

Slapp av, jeg maË&#x161;ler saË&#x161; fort jeg kan ...


3 Geometri Vi bruker geometri for a˚ beskrive figurer eller former. Ordet geometri stammer fra den tiden da egyptere og babylonere trengte et redskap for a˚ regne ut størrelsen pa˚ jordeiendommene sine. En av de første beskrivelsene av geometri vi vet om, stammer fra Herodot. Han levde om lag 500 a˚r f.Kr. Han skriver: «De som eide land i Egypt, ma˚tte betale en a˚rlig skatt til kong Sesostris ut fra hvor mye land de eide.» Ordet geometri betyr jordma˚ling eller ma˚ling av jord.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . . . .

egenskaper ved sammensatte todimensjonale figurer konstruksjon av ulike geometriske figurer omkrets, areal og vinkler tallet  i beregninger beregninger ved hjelp av Pytagoras teknologi, kunst og arkitektur

Hva er det de driver med?


Mangekanter

? Hva kjennetegner figurene pa˚ tavla?

Vi finner vinkelsummen i en trekant ved først a˚ ma˚le vinklene og deretter a˚ summere dem. C

A+

B+

C = 180

45 + 45 + 90 = 180 45°

45°

A

B

Regel

Vinkelsummen i en trekant er 180 . Vi kan dele en firkant i to trekanter.

Geometri

y

68

z

I hver trekant er det tre vinkler. Vinkelsummen blir: u+

v+

w+

x+

y+

z = 360

x u

180

180

w

v


Ettersom en firkant alltid besta˚r av to trekanter, blir vinkelsummen i en firkant 360 .

Regel

Vinkelsummen i en firkant er 360 . Na˚r du skal finne vinkelsummen i andre mangekanter, kan du dele opp mangekantene i trekanter ved a˚ trekke diagonaler fra ett hjørne. I en sjukant vil du fa˚ fem trekanter, og vinkelsummen blir da 5  180 = 900 . Oppgaver 3.1

3.2

Finn vinkelsummen i en a) femkant b) sekskant

c) tikant

Hvor store er vinklene som mangler? a) c) 155°

76°

86°

105°

35°

b)

d) 93°

123° 115°

96°

145° 205° 190°

84°

3.3

48°

Vi bruker ofte betegnelsen n-kant for en mangekant med ukjent antall (n) sider. Lag en formel for vinkelsummen i en n-kant.

Geometri

69


Regulære mangekanter En regulær mangekant er en mangekant der sidene er like lange og vinklene er like store. Sidene er like lange, og vinklene er like store.

C 3 cm

60° 60°

A

3 cm

60°

3 cm

B

To eksempler pa˚ regulære mangekanter er en likesidet trekant og et kvadrat.

60°

60°

60°

Geometri

I en regulær trekant er alle vinkler lik 60 . I en regulær firkant er alle vinkler lik 90 . I begge figurene er alle sidene like lange.

70

Regel

I regulære mangekanter er sidene like lange og vinklene like store.


Eksempel

Hvor store er vinklene i en regulær femkant? Løsning En femkant besta˚r av tre trekanter. Vinkelsummen blir da: 3  180 = 540 Det er fem vinkler i en femkant. Hver vinkel blir da: 540 : 5 = 108

Oppgaver 3.4

Hvor store er vinklene i disse regulære mangekantene? a) c)

b)

3.5

Hvor store er vinklene i en regulær a) tikant b) tolvkant

c) hundrekant

Geometri

71


Omkrets og areal av mangekanter

?

Hvor stort areal ma˚ jeg klippe?

Hvor stor er omkretsen av gressplenen?

Hvordan beregner vi omkrets og areal av en mangekant?

Rektangel I et rektangel er alle vinklene 90 , og de motsta˚ende sidene er like lange og parallelle. Omkretsen av rektangelet er O = 3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm = 10 cm Arealet av rektangelet er

2 cm 3 cm

2

A = 3 cm  2 cm = 6 cm

Geometri

Regel

72

Vi finner omkretsen av et rektangel ved a˚ summere alle sidene. O = 2l + 2b Vi finner arealet A av et rektangel ved a˚ multiplisere lengden (l) med bredden (b). A = lb


Eksempel

Regn ut omkretsen og arealet av rektangelet.

2 cm 8 cm

Løsning Omkrets: O = 2l + 2b O = 2  8 cm + 2  2 cm O = 16 cm + 4 cm O = 20 cm

Areal: A = lb A = 8 cm  2 cm A = 16 cm2

Oppgaver 3.6

Regn ut omkretsen og arealet av rektanglene. a) c)

4 cm 5,5 cm

5 cm

b) 3,5 cm 3 cm

6 cm

3.7

Regn ut omkretsen og arealet av rektanglene naË&#x161;r a) lengden er 10 m og bredden 8 m b) lengden er 25 cm og bredden 12 cm c) lengden er 12,5 dm og bredden 8,5 dm

Geometri

73


3.8

Finn omkretsen og arealet av jordstykkene. a)

Husk! Gjør om til samme benevning før du regner ut!

b)

1500 m 2,5 km

1,5 mil

12 km

Geometri

3.9

74

Den vestre rullebanen pa˚ Oslo lufthavn Gardermoen er 3600 m lang og 60 m bred. a) Hva er arealet av rullebanen? b) Hvor mye koster det a˚ asfaltere rullebanen na˚r asfalten koster 550 kr per kvadratmeter?


Den første offisielle landingen pa˚ Gardermoen flyplass ble gjennomført av et av forsvarets Hercules-fly 08.10.1997.

Parallellogram I et parallellogram er de motsta˚ende sidene parallelle. Vi finner omkretsen av et parallellogram ved a˚ legge sammen alle sidene. O = 2  4 cm + 2  3 cm = 14 cm

2 cm

3 cm

4 cm

Hvis vi klipper ut det ene hjørnet av et parallellogram og plasserer det pa˚ den andre siden, fa˚r vi et rektangel.

2 cm

4 cm

2 cm

3 cm

4 cm

Grunnlinjen i parallellogrammet er like lang som lengden av rektangelet. Høyden i parallellogrammet er like lang som bredden i rektangelet. Vi finner derfor arealet av parallellogrammet ved a˚ multiplisere grunnlinjen med høyden. A = 4 cm  2 cm = 8 cm2 Regel

Vi finner omkretsen O av et parallellogram ved a˚ summere alle sidene. O = 2l + 2b Vi finner arealet A av et parallellogram ved a˚ multiplisere grunnlinjen med høyden. A = gh

Geometri

75


Eksempel

Regn ut omkretsen og arealet av parallellogrammet.

5 cm

4 cm Husk! Høyden sta˚r alltid vinkelrett pa˚ grunnlinjen.

6 cm

Løsning Omkrets: O = 2  6 cm + 2  5 cm O = 12 cm + 10 cm O = 22 cm

Areal: A = gh A = 6 cm  4 cm A = 24 cm2

Oppgaver 3.10 Regn ut omkretsen og arealet av parallellogrammene. a)

4 cm

3 cm

8 cm

Geometri

b)

76

70 mm

5 cm

1 dm


3.11 Et parallellogram har sider pa˚ 10 cm og 6 cm. Avstanden mellom de to lengste sidene er 5 cm. a) Tegn parallellogrammet. b) Regn ut omkretsen. c) Regn ut arealet. 3.12 Et parallellogram der alle sidene er like lange, kaller vi en rombe. a) Tegn en rombe ABCD der sidene AB og AD er 8 cm og avstanden (h) mellom sidene er 6 cm. b) Regn ut omkretsen. c) Regn ut arealet.

Trekanter Hvis vi setter sammen to like trekanter, fa˚r vi et parallellogram.

h g

h g

Grunnlinjen til parallellogrammet er den samme som grunnlinjen til trekanten. Det samme gjelder for høyden. Arealet til parallellogrammet er: A = gh Da ma˚ arealet til trekanten være: A=

gh 2

Husk! Høyden sta˚r alltid vinkelrett pa˚ grunnlinjen.

Geometri

77


Regel

Vi finner omkretsen av en trekant ved a˚ summere alle sidene. O = AB + BC + CA

h

Vi finner arealet av en trekant ved a˚ multiplisere grunnlinjen med høyden og dividere pa˚ 2. A A=

gh 2

Eksempel

Regn ut omkretsen og arealet av trekanten.

5,0 cm

3,6 cm 3,0 cm

6,0 cm

Løsning Omkrets: O = 6,0 cm + 3,6 cm + 5,0 cm O = 14,6 cm

Geometri

Areal:

78

C

A=

gh 2

A=

6,0 cm  3,0 cm 18,0 cm2 = 9,0 cm2 = 2 2

g

B


Oppgaver 3.13 Regn ut omkretsen og arealet av trekantene. a) c)

5 cm

4 cm

6,7 cm 4,5 cm

4,7 cm

6,5 cm

3 cm

b)

d)

6,0 cm 7 cm

7 cm

5,0 cm 4,0 cm

6 cm

7,5 cm

7 cm

3.14 Regn ut arealet av a) parallellogrammet b) trekantene ABD og BCD D

C

4 cm

A

8 cm

B

Geometri

79


3.15 Regn ut arealet av seilene.

6m 2m

3m

3.16 Alle rektanglene nedenfor er like store og med sidene a og b. Hvilken pa˚stand er riktig? Begrunn svaret.

b A

C

B

D

a

A B C D E F

Trekant A har størst areal. Trekant B har størst areal. Trekant C har størst areal. Trekant D har størst areal. Trekantene har like stort areal. Vi kan ikke bestemme hvilken trekant som har størst areal.

Geometri

Trapes

80

2 cm

Et trapes er en firkant der bare to av sidene er parallelle. Sidene a og b er parallelle, og h sta˚r vinkelrett pa˚ disse sidene. 3 cm

3 cm

h

Vi finner omkretsen av et trapes ved a˚ summere alle sidene. O = 4 cm + 3 cm + 3 cm + 2 cm = 12 cm

4 cm


Alle trapeser kan deles opp i to trekanter der høydene er like store. b

b

h

h

a

a

h

Arealet av trekantene blir A=

ah bh og A = 2 2

Hvis vi summerer arealet av de to trekantene, fa˚r vi arealet av trapeset. A=

a  h b  h ða + bÞ  h + = 2 2 2

Regel

Vi finner omkretsen av et trapes ved a˚ summere alle sidene. b

D

C

h

A

a

B

O = AB + BC + CD + DA Aealet A av et trapes er: A=

ða + bÞ  h 2

Geometri

81


Eksempel

Regn ut omkretsen og arealet av trapeset ABCD. D

4 cm

4 cm

C

3 cm

A

3,5 cm

8,5 cm

B

Løsning Omkrets: O = 8,5 cm + 3,5 cm + 4 cm + 4 cm = 20 cm Arealet: ð8,5 cm + 4 cmÞ  3 cm 12,5 cm  3 cm 30 cm2 = 18,75 cm2 A= = = 2 2 2 Na˚r linjestykket AB er parallelt med linjestykket CD, skriver vi AB||CD.

Oppgaver 3.17 Regn ut omkretsen og arealet av trapesene. a) D

Geometri

5 cm

82

A

4 cm

4 cm

C

5 cm

10 cm

B


b) D

5 cm

A

5 cm

C

4 cm

4,5 cm

6 cm

B

c) 4,5 cm

D

C

3,5 cm

4,5 cm

6 cm

A

2,5 cm

B

3.18 Finn arealet av eiendommene og sorter dem etter størrelse. Start med det minste først. 24 m

4m

32 m

1

5

10 m

3 4m

33 m

8m

3m

6 18 m

10 m

24 m 2

30 m

4

12 m

15 m

Geometri

83


Omkrets og areal av en sirkel

?

Omkretsen er   d, men hvordan kan jeg finne arealet av sirkelen?

r d sentrum

Hvordan kan vi beregne arealet av en sirkel? I figuren til høyre har vi tegnet et rødt kvadrat inne i sirkelen og et bla˚tt kvadrat utenfor sirkelen. Arealet av det bla˚ kvadratet er større enn arealet av sirkelen. Arealet av det røde kvadratet er mindre enn arealet av sirkelen. Arealet av det bla˚ kvadratet blir 2r  2r = 4r 2

Geometri

Arealet av det røde kvadratet blir

84

2r  r 2r  r + = r 2 + r2 = 2r2 2 2 Arealet av sirkelen ma˚ da ligge mellom 2r 2 og 4r 2 : Nøyaktige beregninger har vist at arealet A av en sirkel er A =   r2 der   3,14

r 2r


Regel

Omkretsen av en sirkel er   diameter

Husk!  uttales ‘pi’.

r d

O = d Arealet av en sirkel er   radius  radius A =   r2

Eksempel

Regn ut omkretsen og arealet av sirkelen.

r = 5 cm d = 10 cm

Løsning

Husk! d r = og d = 2  r 2

Omkrets: O = d O = 3,14  10 cm O = 31,4 cm Areal: A =   r2 A = 3,14  5 cm  5 cm A = 78,5 cm2

Geometri

85


Oppgaver 3.19 Regn ut omkretsen og arealet av sirklene. a) c) r = 3 cm d = 4 cm

d = 6 cm

b)

d) r = 1 cm

r = 5 cm

3.20 Regn ut omkretsen og arealet av sirkelen naË&#x161;r a) radien er 4 cm d) radien er 2,5 mm b) diameteren er 6 m e) radien er 12,5 dm c) diameteren er 25 cm f) diameteren er 44,4 km 3.21 Sara skal steke pannekaker med diameter paË&#x161; 30 cm.

Geometri

Hvor stort areal har en slik pannekake?

86


3.22 Den gamle Olympiastadion i Aten fra 1896 besta˚r av et rektangel og e´n halvsirkel. a) Hvor stor er omkretsen til stadion? b) Hva er arealet til stadion?

140 m

r = 18 m Tegning av Olympiastadion i Aten, 1896

3.23 Hvor stort er arealet av det gule omra˚det pa˚ figuren? 7,5 m

3.24 Hvor stort er arealet av sirkelsektorene? b) a)

c) d = 4 cm

d = 4 cm

d = 4 cm

3.25 Finn omkretsen av sirkelsektorene i oppgave 3.24. 3.26 Lotte driver med luftgeværskyting. Hun lurer pa˚ hvor stort areal de ulike feltene i blinken har.

10 cm

2,5 cm

5 cm

Geometri

87


Pytagoras-setningen

?

Det ma˚ finnes en lur ma˚te a˚ regne ut sidene i en rettvinklet trekant pa˚ ...

Fa˚r vi alltid en rettvinklet trekant na˚r vi legger tauet slik? I trekanten nedenfor er C = 90 . En trekant der en av vinklene er 90 , kaller vi en rettvinklet trekant. Den lengste siden ligger alltid overfor den rette vinkelen. Den kaller vi hypotenus. De to andre sidene kaller vi kateter. C katet katet

Geometri

A

88

hypotenus

B

Pytagoras var en gresk matematiker og filosof som levde for omtrent 2500 a˚r siden. Han har fa˚tt æren for læresetningen som viser sammenhengen mellom katetene og hypotenusen i en rettvinklet trekant. Portrett av Pytagoras basert pa˚ en detalj fra Raphaels maleri «Skolen i Aten».


Trekanten til høyre er en rettvinklet trekant med sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm. Inntil hver side er det tegnet et kvadrat.

B A

Kvadratene har disse arealene: A A = 3 cm  3 cm = 9 cm2 B A = 4 cm  4 cm = 16 cm2 C A = 5 cm  5 cm = 25 cm2 Hvis vi summerer arealene til kvadratene pa˚ katetene, fa˚r vi

4 cm

3 cm 5 cm

C

9 cm2 + 16 cm2 = 25 cm2 Pytagoras oppdaget at denne summen var lik arealet av kvadratet pa˚ hypotenusen. Vi fa˚r da denne likningen, som vi kaller Pytagoras-setningen: Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 Vi skal na˚ se hvordan vi kan bruke denne setningen til a˚ regne ut lengden av en ukjent katet eller hypotenusen i en rettvinklet trekant.

Beregning av hypotenusen I trekanten nedenfor er katetene kjent, mens hypotenusen er ukjent.

Hypotenusen i en rettvinklet trekant ligger alltid rett overfor den rette vinkelen.

hypotenus 12 cm

9 cm

Geometri

89


Vi finner hypotenusen ved a˚ sette inn lengdene pa˚ katetene i Pytagorassetningen og regne ut som likning. Vi kaller den ukjente for x. Katet2 + Katet 2 = Hypotenus2 92 + 122 = x 2 81 + 144 = x 2 225 = x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 225 = x 2

Vi regner ut kvadratroten pa˚ begge sider

15 = x x = 15 Lengden av hypotenusen er 15 cm. Regel

Vi finner hypotenusen i en rettvinklet trekant ved hjelp av denne formelen: Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2

Eksempel

Regn ut hypotenusen. Løsning Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 42 + 52 = x 2

5 cm

Geometri

16 + 25 = x 2 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 41 = x 2

90

6,40  x x  6,40 Hypotenusen er 6,4 cm.

4 cm


Oppgaver 3.27 Regn ut hypotenusen. a)

c)

12 cm

5 cm

8 cm

4 cm

b)

6 cm

8 cm

3.28 Hanna maler en vegg. Hvor lang ma˚ stigen være for a˚ rekke helt opp? 3.29 Hvor lange er diagonalene i rektanglene? a)

8m

6m

2m

2m

Geometri

91


b)

c)

5 km

4,5 cm

5,5 cm

4 km

3.30 Snekker Andersen skal bygge et hus. Hvor lang ma˚ diagonalen være for at hjørnet skal bli rett (90 )?

6,5 m

8,5 m

Beregning av katetene

Geometri

I trekanten nedenfor er hypotenusen og den ene kateten kjent.

92

For a˚ finne den ukjente kateten, setter vi inn de kjente lengdene i Pytagorassetningen og regner ut som likning. Vi kaller den ukjente kateten for x.

8 cm

6,4 cm

katet


Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 x 2 + 6,42 = 82 x 2 + 40,96 = 64 x 2 + 40,96 -- 40,96 = 64 -- 40,96

Vi trekker fra 40,96 pa˚ begge sider

2

x = 23,04 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 23,04 x = 4,8

Vi regner ut kvadratroten pa˚ begge sider

Lengden av den ukjente kateten er 4,8 cm.

Regel

Vi finner den ukjente kateten i en rettvinklet trekant ved formelen: Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2

Eksempel

Regn ut den ukjente kateten.

Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 x 2 + 72 = 102

10 cm

x 2 + 49 = 100 x 2 + 49 -- 49 = 100 -- 49 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x 2 = 51 x  7,1 Den ukjente kateten er 7,1 cm.

7 cm

Geometri

93


Oppgaver 3.31 Regn ut den ukjente kateten. a)

5 cm

c)

12 cm

4 cm 6 cm

b)

d)

17 cm

8,5 cm

15 cm 5,5 cm

Geometri

3.32 Hvor lang er den ukjente siden i rektanglene? a) b)

94

9m 12 km

8 km 5m


3.33 Regn ut arealet av de rettvinklete trekantene. a) c)

2 cm

5 cm

4 cm 5 cm

b)

d)

7 cm

12 cm

4 cm

8,5 cm

3.34 Verdens største pyramide, Keopspyramiden, ble bygd i Egypt i a˚r 2625 f.Kr. Den er ca. 147 m høy, og siden i grunnflaten er ca. 230 m. a) Omtrent hvor stort areal har hver av sideflatene i pyramiden? b) Pyramiden har fire sideflater. Omtrent hvor stort er arealet av disse til sammen?

Keopspyramiden med sfinksen i forgrunnen

Geometri

95


Konstruksjon og beregninger

?

Jippi, jeg klarte det!

Hvordan kan vi regne ut arealet til figuren?

Hva maË&#x161; vi kunne for aË&#x161; konstruere en figur? Hvordan kan vi beregne omkretsen eller arealet til en figur vi har konstruert? For aË&#x161; kunne konstruere en figur maË&#x161; vi kjenne til de ulike vinkelkonstruksjonene. Ved konstruksjon av mangekanter kombinerer vi ofte flere vinkelkonstruksjoner. Normal i et punkt (90 )

Nedfelle en normal (90 )

Geometri

P

96

Konstruere 60

Halvere en vinkel


Eksempel

a) Konstruer 4ABC na˚r

A = 30 , AC = 6,0 cm og

C = 90 .

Løsning C

Hjelpefigur: 6,0 cm 30° A

B

Konstruksjon:

C

A

B

Forklaring: 1. Tegnet en linje og markerte et punkt A pa˚ linjen. 2. Konstruerte A = 30 . 3. Avsatte linjestykket AC = 6,0 cm. 4. Konstruerte 90 i C. 5. Vinkelbeina til A og C skjærer hverandre i B.

Oppgaver 3.35 Konstruer vinklene. b) 60 a) 90

c) 45

d) 30

3.36 Konstruer vinklene. b) 22,5 a) 15

c) 75

d) 112,5

Geometri

97


3.37 Konstruer trekantene. Skriv forklaring til konstruksjonene. a) c) C

C

45° A

45° 10 cm

30°

B

8 cm

A

b)

B

d) C C

52,5° 9,5 cm

8 cm 60°

60° A

B

A

3.38 En rettvinklet 4ABC har disse ma˚lene: A = 90 , AC = 6,5 cm og C = 60 . a) Tegn hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring til konstruksjonen.

Geometri

3.39 En 4ABC har disse ma˚lene: A = 45 , AC = 8,5 cm og C = 45 . a) Tegn hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring til konstruksjonen. d) Hvor stor er B?

98

B

Husk! Tegn hjelpefigur na˚r du konstruerer.


For a˚ kunne beregne omkretsen eller arealet av en figur ma˚ vi kjenne lengden pa˚ bestemte sider. Disse lengdene kan vi blant annet beregne ved hjelp av Pytagoras-setningen. Eksempel

I trapeset ABCD er AB || CD, AB = 8,0 cm, BC = 4,0 cm, CD = 6,0 cm og B = 90 . a) Konstruer trapeset. b) Regn ut lengden av diagonalen AC. c) Regn ut arealet av trapeset. Løsning a) D

Hjelpefigur:

6,0 cm

C

4,0 cm

A

8,0 cm

B

D

Konstruksjon:

A

C

B

Forklaring: 1. Tegnet linjestykket AB = 8,0 cm. 2. Konstruerte B = 90 . 3. Avsatte C 4 cm opp pa˚ høyre vinkelbein til B. 4. Konstruerte 90 i C. 5. Avsatte D 6 cm opp pa˚ høyre vinkelbein til C. 6. Trakk linjestykket AD og diagonalen AC.

Geometri

99


b) Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 AB2 + BC 2 = AC 2 8,02 + 4,02 = x 2 80 = x 2 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 80 = x 2 8,94  x x  8,94 Diagonalen AC er 8,9 cm. c) Arealet av trapeset er: A=

ða + bÞ  h 2

A=

ð8,0 cm + 6,0 cmÞ  4,0 cm 14,0 cm  4,0 cm 56,0 cm2 = 28,0 cm2 = = 2 2 2

Geometri

3.40 Konstruer en rettvinklet trekant der de to katetene er 5 cm og 7 cm. Regn ut a) lengden pa˚ hypotenusen b) omkretsen av trekanten c) arealet av trekanten

100

3.41 Konstruer en rettvinklet trekant der den ene kateten er 6,0 cm og hypotenusen er 9,0 cm. Regn ut a) lengden av den ukjente kateten b) omkretsen av trekanten c) arealet av trekanten 3.42 Konstruer 4ABC der A = 90 , AB = 8,0 cm og AC = 4,0 cm. Regn ut a) lengden av BC b) arealet av trekanten


3.43 Konstruer en trekant ABC der alle sidene er 7 cm. a) Hva kaller vi en slik trekant? Regn ut b) omkretsen av trekanten c) arealet av trekanten 3.44 I en firkant ABCD er A = 90 , AD = 8,0 cm og AB = 4,5 cm. BDC = DBC = 45 . a) Tegn hjelpefigur og konstruer firkanten. b) Hvor lang er BD? c) Hvor stor er C? d) Hvor lange er BC og CD? e) Regn ut arealet av firkanten. 3.45 Konstruer en firkant ABCD der AB = 9,0 cm, AD = CD = 5 cm:

B = 60 ,

ACB = 90 ,

Brokonstruksjoner av Leonardo da Vinci

Geometri

101


Geometri i natur og kunst

Geometri

?

102


Naturen har sine egne storsla˚tte mønstre og byggverk. Disse mønstrene og byggverkene har alltid vært inspirasjonskilder for kunstnere og arkitekter. Hva slags geometriske mønstre finner du pa˚ bildene?

Geometri

103


Opp gjennom historien har noen former og geometriske mønstre vært mer brukt enn andre. Det er de regulære mangekantene:

I en regulær mangekant er sidene like lange.

Hvis vi skal kunne lage et mønster av mangekanter, ma˚ vinkelsummen der hjørnene møtes, bli 360 .

Geometri

Et mønster som er bygd opp av e´n type regulære mangekanter, kalles et regulært mønster.

104

360°

Et mønster som er bygd opp av flere typer regulære mangekanter, kalles et semiregulært mønster. 360°


Oppgaver 3.46 Tegn av og gjør ferdig det regulære mønsteret av likesidete trekanter.

3.47 Lag et regulært mønster ved hjelp av a) firkanter b) sekskanter

3.48 Tegn av og gjør ferdig det semiregulære mønsteret.

Hvis du bruker tegnefunksjonen i Word til a˚ lage regulære figurer, holder du shift-knappen nede mens du lager figurene. Da blir de regulære!

3.49 Tegn fire regulære firkanter inntil hverandre. Hva blir vinkelsummen der hvor de fire hjørnene møtes?

Geometri

105


3.50 a) Tegn tre regulære sekskanter inntil hverandre. Hva blir vinkelsummen der hvor de tre hjørnene møtes? b) Tegn tre regulære femkanter inntil hverandre. Hva blir vinkelsummen der hvor de tre hjørnene møtes? c) Ga˚r det an a˚ dekke et plant omra˚de med bare femkanter? Forklar.

˚ tessellere betyr a˚ dekke et plant omra˚de med identiske figurer, 3.51 A som for eksempel a˚ flislegge et gulv. Hvilke regulære figurer kan du tessellere med?

Geometri

3.52 Ved a˚ ta utgangspunkt i en regulær figur, «klippe ut» og flytte pa˚ deler av rektangelet ga˚r det an a˚ lage spennende mønster. Mønsteret nedenfor er laget pa˚ grunnlag av et kvadrat med inspirasjon fra lønnebladet:

106

Lag ditt eget mønster ved a˚ «gjøre om» pa˚ en regulær figur og sette sammen figurene.


Det gylne snitt og det gylne rektangel

?

Hvorfor har mange bygninger denne geometriske formen? Forholdet mellom lengden og høyden paË&#x161; Nidarosdomen i Trondheim er ca. 1,618. Dette forholdet kalles det gylne snitt. Et rektangel som har dette forholdet mellom sidene, kalles et gyllent rektangel. Vi finner forholdet mellom to sider i et rektangel ved aË&#x161; dividere den lengste siden med den korteste.

2,40 cm

3,88 cm

3,88 cm : 2,40 cm  1,62 cm

Geometri

107


En linje kan ogsa˚ være delt i et gyllent snitt ved at den lengste delen dividert pa˚ den korteste delen er 1,618.

Forholdet mellom knivbladet og skaftet er 1,618.

Oppgaver 3.53 a) Se pa˚ rektanglene nedenfor. Hvilket av rektanglene tror du er et gyllent rektangel? A

D

Geometri

G

108

B

C

E

F

H

b) Ma˚l sidene i rektanglene og regn ut forholdet mellom den lengste siden og den korteste siden. Hvilket av rektanglene er et gyllent rektangel?

Jeg tror det ma˚ være ...


3.54 Regn ut forholdet mellom den lengste siden og den korteste siden. Sett resultatene inn i en tabell og finn hvilke av bildene som er gylne rektangler.

Gjenstand

Lengde

Bredde

Lengde : bredde

Flagg

Fakto r1

Fakto r1

Grun Espe

nbok

n Hja

rdar â&#x20AC;˘

Mate m for u atikk ngdo mstr in

Jan-E

rik Pe

derse

n

net Bokm

ĂĽl

Geometri

109


3.55 Noen pa˚sta˚r at kroppslengden dividert med lengden fra navlen ned til gulvet er et gyllent snitt. Stemmer det?

3.56 Hvis en fotballbane er 62 m bred, hvor lang ma˚ den være for a˚ være et gyllent rektangel?

Geometri

105 m

110

Mål

Hjørneflagg

Straffesparkfeltet

Målffeltet Mållinje

Midtlinje Sidelinje

Straffesparkmerket

r = 9,15 m

40,32 m

r = 9,15 m

18,32 m 11 m

7,32 m

16,5 m

3.57 Er gressmatta pa˚ Ullevaal stadion et gyllent rektangel?

68 m


3.58 Bruk en linjal og ma˚l lengden og høyden pa˚ Parthenon-tempelet pa˚ Akropolis. Regn ut forholdet mellom den lengste siden og den korteste siden. Er forholdet et gyllent snitt?

Parthenon-tempelet i Aten

3.59 Finn andre eksempler pa˚ ting som er delt i det gylne snitt.

Pentagonen og det gylne triangel Vi kan finne igjen pentagonen i natur og arkitektur.

Geometri

111


C

Se pa˚ pentagonen til høyre. Dersom vi trekker to diagonaler fra for eksempel A og B til C, fa˚r vi en likebeint trekant ABC. Denne trekanten er et gyllent triangel. En pentagon er en regulær femkant! A

B

Trekanten kalles gyllen fordi forholdet mellom hver av de lengste sidene og den korte siden er AC = 1,618 AB Oppgaver 3.60 Tegn et gyllent triangel med grunnlinje 5,0 cm.

Geometri

3.61 Knytt en knute pa˚ en papirstrimmel. Hvilken geometrisk form fa˚r du?

112

D

3.62 Ma˚l noen lengder i pentagonen til høyre og se om du finner flere gylne snitt mellom lengdene. E

C

A

B


Prøv deg selv 1

Regn ut vinklene i disse regulære mangekantene. a

b

c

e

d

f

2

Omtrent hvor stort er arealet av øya na˚r hvert kvadrat er 1 km2 ?

3

Regn ut omkretsen og arealet av rektangelet.

2,5 cm

4,5 cm

4

Regn ut omkretsen og arealet av parallellogrammet.

2,0 cm

2,5 cm

3,0 cm

Geometri

113


5

Regn ut omkretsen og arealet av trekanten.

15 cm

9 cm 10 cm

7,6 cm

6

Regn ut omkretsen og arealet av trapeset. 1,5 cm 3,6 cm 1,6 cm 5 cm

7

Regn ut omkretsen og arealet av sirklene. a) b)

Geometri

d = 3,5 cm

114

8

a) Hvor stor er diameteren paË&#x161; CD-platen? O = 37,68 cm

r = 2,5 cm


b) Hvor stor er diameteren paË&#x161; klokkeskiven? O = 7,85 cm

9

Regn ut arealet av figurene. a)

b) 4 cm

4 cm 2 cm

4 cm

4 cm

4 cm 1,3 cm

4 cm

4 cm

10

Bruk Pytagoras til aË&#x161; regne ut den ukjente siden av disse rettvinklete trekantene. a) b) C A

9 dm

12 dm

B 18 cm

A

B

24 cm

C

Geometri

115


11

Bruk Pytagoras til a˚ regne ut den ukjente siden av disse rettvinklete trekantene. a) b) C

6 cm

Geometri

A

116

C

5 cm

B

8 cm 9 cm

B

A

12

En 4ABC har disse ma˚lene: AB = 6,5 cm, AC = 8,0 cm og B = 90 . a) Tegn hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Regn ut BC.

13

a) Konstruer en firkant ABCD der A = 90 , AB = 9,0 cm, ABD = 45 , BDC = 90 og BC = 14 cm. b) Hvor lang er AD? c) Regn ut BD og DC. d) Regn ut arealet til firkanten ABCD.

14

Bruk en linjal og ma˚l lengden og høyden pa˚ Slottet i Oslo. a) Regn ut forholdet mellom den lengste og den korteste siden. b) Er forholdet et gyllent snitt?

Det Kongelige Slott i Oslo


Noe a˚ lure pa˚ 1

Simen og Lotte skal lage et kaninbur i hagen. De har 20 m netting. a) Hvordan bør kaninburet se ut for at kaninene skal fa˚ størst mulig areal? b) Hvor stort areal kan kaninene fa˚?

2

Et rektangel har arealet 40 cm2 . Den ene siden er 5 cm lang. Hvor stor er omkretsen til rektangelet?

3

Fire planker som alle har lengden 40 cm og bredden 5 cm, legges som vist pa˚ figuren. Hvor stort blir arealet av omra˚det innenfor plankene?

4

Pa˚ figuren nedenfor er AB = BC og v = 130 . Hvor stor er C? C

5 cm

40 cm

v

A

B

Geometri

117


5

Hvor stor er høyden i den rettvinklete trekanten?

4 cm

3 cm h

5 cm

6

Flaggstangen utenfor skolen var 7 m høy. Under en storm brakk den. Hvor høyt over bakken brakk flaggstangen?

5m

Geometri

7

118

I a˚r 250 f.Kr. regnet den greske oppfinneren og matematikeren Arkimedes ut  med tre desimaler. Han brukte en regulær mangekant med 96 sider for a˚ regne ut  med tre desimaler. Hvor store er vinklene i Arkimedes’ regulære 96-kant?

Arkimedes (287 f. Kr.–212 f. Kr.)


Oppsummering Vinkelsummen i mangekanter Vi kan finne vinkelsummen i mangekanter ved a˚ dele disse inn i trekanter. Vinkelsummen i femkanten er 3  180 = 540 .

Regulær mangekant I en regulær mangekant er alle vinklene like store og alle sidene like lange.

Omkrets og areal av mangekanter Vi finner omkretsen av en mangekant ved a˚ summere alle sidene. Vi finner arealet av en mangekant ved a˚ bruke formlene som er vist nedenfor: Rektangel

b

A = lb

l

Parallellogram h

A = gh g

b

Trapes h

ða + bÞ  h A= 2

a

Trekant h

A=

gh 2

g

Geometri

119


Omkrets og areal av en sirkel O = d A =   r2

r d

Pytagoras-setningen De to korteste sidene i en rettvinklet trekant kalles kateter. Den lengste siden kalles hypotenus.

katet

hypotenus

Pytagoras-setningen: Katet 2 + Katet 2 = Hypotenus2 katet

Konstruksjon NaË&#x161;r vi skal konstruere mangekanter, kan vi faË&#x161; bruk for disse konstruksjonene: Konstruksjon av 90

Geometri

Halvering av en vinkel

120

Konstruksjon av 60

Nedfelling av en normal fra et punkt til en linje P

Midtnormal


Figurer og mønstre Et regulært mønster besta˚r av regulære mangekanter.

Et semiregulært mønster besta˚r av to eller flere regulære mangekanter.

Det gylne snitt og det gylne rektangel Det gylne snitt deler en lengde i forholdet 1,618.

I et gyllent rektangel er forholdet mellom den lengste siden og den korteste siden 1,618.

3,18 cm

5,15 cm

5,15 cm : 3,18 cm  1,62

Geometri

121


LYKKEHJUL

Jeg vil ikke spille pa˚ nr. 13!

Lykketallet mitt er 7!

Jo flere ganger jeg kaster, jo større er sjansen for a˚ fa˚ en 6-er!


4 Er det virkelig 50 % sjanse for a˚ vinne?

Statistikk og sannsynlighetsregning Statistikk og sannsynlighetsregning er noe vi møter hver eneste dag. Statistikk blir brukt for eksempel ved valg, undersøkelser og planlegging av ulike prosjekter. Sannsynlighet møter vi i forbindelse med ulike spill, for eksempel tipping, lotto, terningspill og kortspill.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . . . .

presentasjon av data i tabeller og diagrammer vurdering av diagrammer median, typetall, gjennomsnitt og variasjonsbredde kildekritikk sannsynlighet og sannsynlighetsregning sannsynlighet som brøk, desimaltall og prosent

... om jeg bare kunne mer om sannsynlighet!


Relativ frekvens

Statistikk og sannsynlighetsregning

?

124

Hvem vil være med pa˚ skirenn?

Frekvensen av ‘Nei’, er 3.

Hva mener vi med frekvens? Frekvens betyr hvor mange ganger en bestemt observasjon forekommer. Da Simen og Lotte undersøkte hvor mange som ville være med pa˚ skirenn, fordelte svarene seg slik i en frekvenstabell: Svar

Frekvens

Ja

15

Nei

3

Vet ikke

6

Sum

24

Frekvensen av «Ja» er 15. Det vil si at 15 av 24 svarte «Ja». Vi finner den relative frekvensen ved a˚ dividere frekvensen til den enkelte observasjonen med summen av frekvensene. Den relative frekvensen til «Ja» blir da: 15 = 0,625 24


Vi kan sette opp de relative frekvensene for de andre svaralternativene pa˚ tilsvarende ma˚te i en frekvenstabell. Svar

Frekvens

Relativ frekvens

Ja

15

15 24

= 0,625

Nei

3

3 24

= 0,125

Vet ikke

6

6 24

= 0,25

Sum

24

1

Legg merke til at summen av de relative frekvensene alltid blir 1. Regel

Frekvens betyr hvor mange ganger en bestemt observasjon forekommer. Relativ frekvens er den enkelte frekvensen dividert pa˚ summen av alle frekvensene.

Eksempel

Martin fikk disse fiskene pa˚ en fisketur: 4 abborer, 3 gjedder, 2 brasmer og 1 a˚l Vis frekvens og relativ frekvens i en frekvenstabell.

Statistikk og sannsynlighetsregning

125


Statistikk og sannsynlighetsregning

Løsning

126

Fiskeslag

Frekvens

Relativ frekvens

Abbor

4

4 10

= 0,4

Gjedde

3

3 10

= 0,3

Brasme

2

2 10

= 0,2

A˚l

1

1 10

= 0,1

Sum

10

1

Oppgaver 4.1

Hanna undersøkte hvor mange elever i klassen som hadde tilgang til internett hjemme. Vis den relative frekvensen av svarene i en frekvenstabell.

4.2

Svar

Frekvens

Ja

14

Nei

6

Gjør ferdig frekvenstabellen. Næringsinnhold

Frekvens

Protein

28

Karbohydrater

24

Fettsyrer

11

Fett

20

Kostfiber

16

Natrium

1

Sum

100

Relativ frekvens 28 100

= 0,28


4.3

Hanna har talt ulike tresorter pa˚ en liten øy. Her ser du resultatet av tellingen: Tresort

Sett dataene inn i en frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. 4.4

Antall

Furu

30

Gran

35

Bjørk

10

Ask

5

Eik

5

Andre sorter

15

En zoolog gjorde følgende registreringer av rovdyr i et fylke i Norge: ma˚r, jerv, bjørn, gaupe, jerv, ma˚r, ulv, bjørn, gaupe, jerv, ulv, gaupe, gaupe, jerv, jerv, bjørn, gaupe, ma˚r, bjørn, gaupe a) Sett de ulike rovdyrene inn i en frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. b) Lag et søylediagram.

Ulv

Statistikk og sannsynlighetsregning

127


Relativ frekvens og prosent Vi kan skrive den relative frekvensen som prosent.

Statistikk og sannsynlighetsregning

Hvor mange kommer pa˚ klassefesten?

128

Sara og Simen skal arrangere klassefest. 15 av 24 elever kommer pa˚ festen. Vi skriver: 15 = 24

0,625

= 62,5 %

Brøk Desimaltall Prosent

15 av 24 elever er 62,5 %. Eksempel

I sangkoret Sølvstrupen er 12 av 30 medlemmer jenter. Hvor stor er den relative frekvensen av jenter i prosent? Løsning 12 = 0,4 = 40 % 30 Det er 40 % jenter.

15 har svart ja. Hvor mange prosent er det?


Oppgaver 4.5

Herman undersøker hvor mange elever som vil være med pa˚ en overnattingstur. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Svar

Frekvens

Ja

20

Nei

4

Vet ikke

1

Sum

25

Regn ut de relative frekvensene pa˚ brøkform og som prosent og skriv resultatet inn i en frekvenstabell. 4.6

Pa˚ en test i engelsk fikk elevene disse karakterene: 2 3 2 5

5 5 3 4

3 3 4 5

6 3 4 6

2 4 4 To be or not to be ...

a) Sett karakterene inn i en frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. b) Vis den relative frekvensen som prosent. 4.7

Herman registrerte biler som passerte huset hans mellom klokka 13.00 og 14.00. Bilmerke

Antall

Volvo

5

BMW

3

Ford

6

Mercedes

4

Toyota

5

Mazda

3

Andre bilmerker

8

Regn ut den relative frekvensen som desimaltall og brøk i den samme frekvenstabellen.

Statistikk og sannsynlighetsregning

129


Sektordiagram

? Statistikk og sannsynlighetsregning

Vi har undersøkt om klassen vil dra pa˚ sykkeltur.

130

Nei 9 stk. 37,5 %

Her ser dere resultatet av undersøkelsen!

Ja 15 stk. 62,5 %

Hva forteller diagrammet oss?

Diagrammet ovenfor kalles et sektordiagram eller kakediagram. Hvert svaralternativ vises som en sirkelsektor. Hele sirkelen er 100 % eller 360 . Vi finner gradtallet til de ulike sirkelsektorene ved a˚ multiplisere prosentandelen (den relative frekvensen) med 360 . Na˚r alternativene er oppgitt i prosent, finner vi gradtallene pa˚ denne ma˚ten: Svar (alternativ)

Prosent (relativ frekvens)

Gradtall til sirkelsektorene

Ja

62,5 %

62,5  360 100

= 225

Nei

37,5 %

37,5  360 100

= 135

Sum

100 %

360


Na˚r alternativene er oppgitt som et antall, finner vi gradtallene pa˚ denne ma˚ten: Svar (alternativ)

Antall (frekvens)

Relativ frekvens

Gradtall til sirkelsektorene

Ja

15

15 24

= 0,625

0,625  360 = 225

Nei

9

9 24

= 0,375

0,375  360 = 135

Sum

24

360

1

Na˚r vi skal lage et sektordiagram, bruker vi passer, linjal og gradskive.

0 20 10 30

180 170 160

0 90 80 70 110 10 60 0 2 1 50 0 3 1

40

150 140

135°

Nei Ja

225°

Regel

Vi multipliserer prosenten eller den relative frekvensen med 360 for a˚ finne gradtallene til sektorene i et sektordiagram.

Eksempel

I orienteringsklubben Kompass er det 15 jenter og 10 gutter. a) Lag en frekvenstabell som viser relativ frekvens som desimaltall og i prosent, og som ogsa˚ viser gradtall til sirkelsektorene. b) Vis fordelingen i et sektordiagram.

Statistikk og sannsynlighetsregning

131


Løsning

Statistikk og sannsynlighetsregning

Antall Relativ Kjønn (frekvens) frekvens (alternativ)

132

Prosent

Gradtall til sirkelsektorene

Jenter

15

15 25

= 0,6 0,6  100 = 60 % 0,6  360 = 216

Gutter

10

10 25

= 0,4 0,4  100 = 40 % 0,4  360 = 144

Sum

25

1

100 %

360

Gutter 144° 40 % Jenter 216° 60 %

Oppgaver 4.8

Martin undersøkte hvor mange pa˚ fotballtreninga som er høyrebeinte eller venstrebeinte. Høyrebeinte: 15 Venstrebeinte: 5 a) Lag en frekvenstabell. b) Vis fordelingen i et sektordiagram.


4.9

Vi grupperer blod inn i fire grupper: A, B, AB og 0 (null). PaË&#x161; et legekontor fører de logg over hvilken blodtype pasientene har. Etter en uke fordelte resultatet seg slik: A 0 AB A A

0 A A A

0 0 A 0

0 A A 0

B A 0 0

A A 0 B

a) Lag en frekvenstabell. b) Lag et sektordiagram. c) Hvor mange prosent hadde blodtype A?

4.10 Lufta inneholder 78 % nitrogen, 20,9 % oksygen, 0,9 % argon og 0,2 % andre gasser. Lag et sektordiagram som viser fordelingen av gassene.

4.11 En norsk 20-kronemynt inneholder 81 % kobber, 10 % sink og 9 % nikkel.

9%=

9 = 0,09 100

Lag et sektordiagram som viser fordelingen av metallene i en 20-kronemynt.

Statistikk og sannsynlighetsregning

133


4.12 Utgiftene til strøm hos familien til Simen fordeler seg slik: Oppvarming 53 % Varmt vann 21 % Lys 6% Matlaging 13 % Rengjøring 7%

Statistikk og sannsynlighetsregning

Lag et sektordiagram som viser fordelingen.

134

4.13 Herman og Lotte har vært pa˚ fisketur. Her ser du hvor mye de fikk av hvert fiskeslag: Hvor mange prosent av fangsten var a) torsk og sei b) flyndre c) makrell d) Hele fangsten var pa˚ 100 kg. Hvor mange kilogram fikk de av hvert fiskeslag?

Flyndre 10 %

Sei 26 %

Torsk 34 % Makrell ?


Andre diagrammer

?

Antall elever 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Katt

Kjæledyr

Centimeter snø

Poeng 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Hund

1

2

3

4 Antall elever

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Januar

Februar

Mars

Hva slags diagrammer er dette? Vi bruker søylediagram na˚r svaralternativene er ord som «ja», «Norge» eller «Hanna». Frekvensen vises pa˚ andreaksen. Vi bruker stolpediagram na˚r svaralternativene er tall. Frekvensen vises pa˚ andreaksen. Vi bruker linjediagram na˚r vi vil vise forandring eller utvikling over tid. Vi markerer for eksempel timer, dager, uker eller a˚r pa˚ førsteaksen.

Statistikk og sannsynlighetsregning

135


Oppgaver 4.14 I gymnastikktimen har noen elever straffekastkonkurranse. Her ser du resultatet av konkurransen: Navn Synne Karoline Herman

Statistikk og sannsynlighetsregning

Jeppe

136

Hanna Jens Espen 0

5

10

15 Antall mål

a) Hvor mange ma˚l scoret elevene totalt? b) Hvem scoret flest ma˚l? c) Hvor mange flere ma˚l scoret Synne enn Karoline?


4.15 Lag et søylediagram som viser dybden pa˚ Norges dypeste innsjøer.

Innsjø

Dybde

Hornindalsvatnet

514 m

Suldalsvatnet

376 m

Tinnsjø

460 m

Mjøsa

453 m

Fyresvatn

477 m

Salsvatnet

482 m

Bandak

325 m

Øvrevatn

340 m

Hornindalsvatnet

4.16 Skriv en tekst som passer til diagrammet. Sammenlikn teksten din med det de andre i gruppa di har skrevet.

Vannivå 4 3 2 1 0 Tid

Statistikk og sannsynlighetsregning

137


4.17 Diagrammet nedenfor viser temperaturen de første 14 dagene av mai, ma˚lt om morgenen og om ettermiddagen. Temperatur °C 25 20 15 10

Statistikk og sannsynlighetsregning

5

138

0 -5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-10

Omtrent hvor stor var temperaturforskjellen den a) 3. mai b) 10. mai c) Na˚r var temperaturforskjellen minst? 4.18 Herman og Lotte er med i skytterklubben Blink. De førte statistikk over hvor mange bom de hadde pa˚ siste trening. Antall omganger 5 Lotte Herman

4 3 2 1 0

0

1

2

3

4

5

Bom per omgang

a) Hvor mange bom hadde Herman totalt? b) Hvor mange bom hadde Lotte totalt?

12

13

14

Dato i mai


Vindkraft i Nord-Norge, Havøysund

4.19 Verdens energiforbruk i løpet av ett a˚r fordeler seg slik pa˚ disse energikildene: Energikilde

Andel i prosent

Olje

35 %

Kull

25 %

Gass

19 %

Kjernekraft

5%

Vannkraft

6%

Andre energikilder

10 %

a) Lag et søylediagram. b) Lag et sektordiagram. 4.20 Her ser du gjennomsnittstemperaturene for Karasjok og Bergen i løpet av ett a˚r. By

Jan

Karasjok

–17,1 –15,4 –10,3

Bergen

1,5

Feb

1,6

Mars

3,3

Apr

Mai

Juni

Juli

Aug

Sept

Okt

–3,1

3,8

10,1

13,1

10,7

5,3

–1,3

5,9

10,5

13,5

14,5

14,4

11,5

8,7

Nov

Des

–9,4 –15,3 4,7

2,6

a) Vis gjennomsnittstemperaturen for Karasjok og Bergen i samme linjediagram. I hvilken ma˚ned var temperaturforskjellen b) størst c) minst

Statistikk og sannsynlighetsregning

139


Kritisk bruk av diagrammer

? Se hvordan antall tyverier har økt i byen va˚r!

Men, økningen er jo bare pa˚ 9! Antall tyverier

Statistikk og sannsynlighetsregning

616

140

614 612 610 608 606 604 602 600 2005

2006

Hvorfor ser økningen av tyverier sa˚ stor ut? Vi ma˚ være kritiske na˚r vi vurderer diagrammer. Særlig ma˚ vi se pa˚ hva slags skalaer som blir brukt pa˚ aksene. Pa˚ diagrammet ovenfor begynner andreaksen pa˚ 600 tyverier. Hvis den hadde begynt pa˚ 0 tyverier, ville diagrammet sett slik ut: Antall tyverier 700 600 500 400 300 200 100 0 2005

2006

Begge diagrammene gir riktig matematisk informasjon, men det siste gir et riktigere bilde av økningen.


Oppgaver 4.21 Gjør om diagrammene slik at de gir informasjonen pa˚ en bedre ma˚te.

God-is er størst!

a) Prosent av markedet 34

33

32

31 God-is

Super-is

Best-is

b) Omsetningen er pa˚ vei mot himmelen!

Omsetning i millioner kr 1,004 1,003 1,002 1,001 1,000 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Statistikk og sannsynlighetsregning

141


4.22 Arne S. Vindel vil selge bilfirmaet sitt. Hovedkonkurrenten er Bilbutikken. Han lager et diagram som viser hvor mange biler firmaet hans har solgt i 2006 i forhold til Bilbutikken. Vi er de største i byen! Antall solgte biler 2006

Statistikk og sannsynlighetsregning

56

142

55

54

53

52

51

Bilbutikken

A.S. Vindel

a) Er dette en riktig ma˚te a˚ framstille et slikt diagram pa˚? Begrunn svaret. b) Lag et diagram der andreaksen starter pa˚ null. Sammenlikn de to diagrammene. 4.23 Tabellen viser hvor mange biler Arne S. Vindel solgte per a˚r fra 2004 til 2006. Lag et linjediagram der du bruker a) 1 cm mellom enhetene pa˚ førsteaksen b) 4 cm mellom enhetene pa˚ førsteaksen c) Sammenlikn de to diagrammene.

A˚r

Antall solgte biler

2004

35

2005

45

2006

55


Sentralma˚l og variasjonsbredde

?

Hva er typetallet?

Min høyde er medianhøyden.

Hvor stor er variasjonsbredden?

Jeg er 5 cm lavere en gjennomsnittet i gruppa va˚r.

Hva mener vi med gjennomsnitt, median, typetall og variasjonsbredde? Gjennomsnitt, median og typetall er sentralma˚l. De viser hvor hovedtyngden av ma˚lingene (dataene) ligger. Variasjonsbredden viser hvor stor spredning det er pa˚ dataene. Variasjonsbredden er differansen mellom den største ma˚lingen og den minste ma˚lingen. Regel

Vi finner gjennomsnittsverdien ved a˚ summere alle observasjonene og dividere pa˚ antall observasjoner. Vi bruker ogsa˚ navnet middelverdi for gjennomsnitt. Medianen er den midterste verdien na˚r tallmaterialet er ordnet i stigende rekkefølge. Hvis det er to tall i midten, finner vi gjennomsnittet til disse to tallene. Typetallet er den eller de observasjonene som har den høyeste frekvensen.

Statistikk og sannsynlighetsregning

143


Regel

Variasjonsbredden er differansen mellom den største observasjonen og den minste observasjonen.

Eksempel

Statistikk og sannsynlighetsregning

Vi har disse fem ma˚lingene: 8m 7m 5m 5m 6m

144

Finn a) gjennomsnittsverdien b) medianen

c) typetallet d) variasjonsbredden

Løsning 8m+7m+5m+5m+6m = 6,2 m a) 5 Gjennomsnittsverdien er 6,2 m. b) 5 m 5 m 6 m 7 m 8 m Medianen er 6 m. c) Observasjonen 5 m forekommer flest ganger. Typetallet er 5 m. d) Vi finner den største og den minste ma˚lingen. Største ma˚ling: 8 m Minste ma˚ling: 5 m 8m–5m=3m Variasjonsbredden er 3 m.

Oppgaver 4.24 Bestem gjennomsnittsverdien, medianen og typetallet. a) 1 1 2 3 b) 18 15 14 16 16 c) 200 300 100 300 200 300


4.25 Bestem medianen, typetallet og variasjonsbredden. a) 3 3 3 4 4 4 b) 3,5 4,4 5,5 3,8 3,7 5,0 5,7 3,9 c) 0,10 0,11 0,10 0,01 0,10 0,01 0,11 0,10

3,9 0,10

4.26 Bestem typetallet. a) X Y Y b) Per Pa˚l Ben

Per

Z Per

X Pa˚l

X Ben

X Kim

Z Per

4.27 Lotte og Simen har undersøkt hvor mange timer elevene i deres gruppe arbeider med lekser hver dag. Svarene fordelte seg slik: 1 1 3 2 0 1 2 2 1 0 1 3 3 3 0 1 1 1 1 0 2 2 1 1 2 1 a) Hvor mange timer arbeider elevene i gjennomsnitt med leksene? b) Hva er medianen? c) Hva er typetallet? d) Regn ut variasjonsbredden. 4.28 Bestem a) 45 b) 1,78 c) –0,5

gjennomsnittsverdien og variasjonsbredden. 46 48 50 41 43 43 1,68 1,80 1,61 1,59 1,82 1,74 1,72 –1,5 0,0 –3,5 1,5 1,0 2,5 –2,0

4.29 Martin og Hanna har ma˚lt høyden til 1,60 m 1,50 m 1,60 m 1,75 m 1,60 m 1,55 m 1,60 m 1,75 m 1,65 m 1,70 m 1,55 m 1,55 m 1,65 m 1,60 m 1,75 m 1,50 m a) Hva er gjennomsnittshøyden? b) Hva er medianen? c) Hva er typetallet? d) Hvor stor er variasjonsbredden?

3,0

–1,5

alle elevene i gruppa si: 1,60 m 1,75 m 1,75 m 1,50 m 1,70 m 1,50 m 1,75 m 1,65 m 1,50 m 1,85 m

Statistikk og sannsynlighetsregning

145


˚ velge det beste sentralma˚let A De ulike sentralma˚lene kan gi et feil bilde hvis det er for fa˚ observasjoner, hvis resultatene er skjevt fordelt eller hvis variasjonsbredden er for stor. Det er derfor viktig a˚ vurdere hvilket sentralma˚l som er det beste a˚ bruke i hver undersøkelse. Oppgaver

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.30 Simen fa˚r 130 kr i uka i lommepenger. Han vil undersøke hvor mye han fa˚r i forhold til vennene sine ved a˚ regne ut gjennomsnittet.

146

Sara 100 kr Herman 100 kr Lotte 120 kr Simen 130 kr Hanna 450 kr 100 kr + 100 kr + 120 kr + 130 kr + 450 kr = 180 kr 5 a) Syns du Herman fa˚r lite lommepenger i forhold til vennene sine? Forklar. b) Hvilket sentralma˚l gir det beste bildet av vennenes lommepenger?


4.31 En gruppe elever er pa˚ sykkeltur i Danmark. Her ser du hvor mange kroner hver elev brukte den første dagen: 20 kr 50 kr 60 kr 40 kr 30 kr 30 kr 1100 kr 40 kr 30 kr 50 kr 30 kr 20 kr 80 kr 50 kr a) Regn ut gjennomsnittet, medianen og typetallet. b) Hvilket sentralma˚l gir det beste bildet av forbruket?

4.32 I firmaet F.U.S.K. er det 8 ansatte og 2 sjefer. Her ser du lønningene: 220 000 kr 250 000 kr

180 000 kr 200 000 kr

200 000 kr 160 000 kr

2 200 000 kr 3 200 000 kr

200 000 kr 150 000 kr

Sjefene sier at gjennomsnittslønnen i F.U.S.K. er pa˚ 696 000 kr, noe de mener er meget bra. a) Gir gjennomsnittslønnen i F.U.S.K. et riktig bilde? b) Finn medianen og typetallet til lønningene i F.U.S.K. c) Hvilket sentralma˚l ville du valgt? Forklar.

Statistikk og sannsynlighetsregning

147


Antall mulige utfall

? Meny Forrett:

Statistikk og sannsynlighetsregning

Salat

148

Hovedrett:

Laks Biff Vegetar Dessert:

Is Frukt Hvor mange ulike menykombinasjoner kan hun velge mellom? I sannsynlighetsregning snakker vi om antall kombinasjoner eller antall mulige utfall. Ovenfor ser du at en forrett kan kombineres med tre hovedretter og to desserter. Hvis vi vil finne ut hvor mange ulike menykombinasjoner som finnes, kan vi tegne et valgtre som viser alle de mulige utfallene. Salat

Vegetar

Is

Biff

Frukt

Is

Laks

Frukt

Is

Frukt

Vi finner antall mulige utfall ved a˚ telle de nederste «greinene» pa˚ treet. Det er 6 mulige utfall til sammen. Vi kunne ogsa˚ ha funnet de ulike utfallene ved hjelp av multiplikasjon: 1 forrett  3 hovedretter  2 desserter = 6 mulige utfall


Regel

Vi finner antall mulige utfall ved a˚ multiplisere antall muligheter med hverandre.

Eksempel

Hvor mange mulige veier kan Martin velge til skolen?

Løsning Første strekning gir tre veier, og andre strekning gir fire veier. Antall mulige veier blir: 3  4 = 12

Oppgaver 4.33 Lotte kan velge mellom fire veier hjemmefra til butikken og tre veier videre til farfaren sin. Hvor mange ulike veier kan hun ga˚ for a˚ komme til farfaren sin?

Statistikk og sannsynlighetsregning

149


4.34 Hvor mange mulige utfall blir det hvis du kaster a) et pengestykke b) en vanlig terning

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.35 Herman og Simen kaster mynt og krone. Hvor mange mulige utfall har et kast med a) to pengestykker b) tre pengestykker c) ti pengestykker

150

4.36 En vanlig terning har seks sider. Hvor mange mulige utfall har et kast med a) to terninger b) tre terninger c) fire terninger

4.37 Herman skal lage en middag med tre retter. Han skal ha suppe til forrett og kan velge mellom pasta, pizza eller kjøttboller til hovedrett. Til dessert kan han velge mellom is, frukt eller sjokoladekake. a) Tegn et valgtre som viser alle mulige kombinasjoner. b) Hvor mange ulike kombinasjoner kan han velge mellom? 4.38 Et norsk bilnummer besta˚r av to bokstaver og et femsifret tall. Vi bruker ˚ . Det første sifferet kan ikke være null. ikke bokstavene Æ, Ø eller A Hvor mange ulike bilskilt finnes det?


˚ finne sannsynligheten A

?

Krone!

Mynt!

Hva er sannsynligheten for at pengestykket lander med myntsiden opp? Sannsynlighet er det samme som sjansen for at noe skal skje. Vi bruker bokstaven P for sannsynlighet. Hvis vi kaster et pengestykke opp i lufta, kan to ting skje na˚r det lander: Pengestykket kan lande med enten kronesiden eller myntsiden opp. Vi sier at det er to mulige utfall: mynt eller krone. Siden begge utfallene er like sannsynlige, sier vi at sannsynligheten for hvert 1 utfall er . Bokstaven P kommer 2 av probabilitas pa˚ latin, og 1 1 probability pa˚ engelsk. og PðkroneÞ = PðmyntÞ = 2 2 Summen av sannsynlighetene til de ulike utfallene skal alltid bli 1. Vi oppgir sannsynlighet som brøk, desimaltall eller prosent. 1 = 2 Brøk

PðmyntÞ =

0,5 Desimaltall

=

50 % Prosent

Statistikk og sannsynlighetsregning

151


Gunstige utfall

Statistikk og sannsynlighetsregning

Hvis vi vil finne sannsynligheten for a˚ trekke et hjerterkort ut av en kortstokk, deler vi antall gunstige utfall pa˚ antall mulige utfall.

152

Det er 13 gunstige utfall som gir et hjerterkort, og det er 52 mulige utfall i alt. Alle utfall er like sannsynlige. Sannsynligheten for a˚ trekke et hjerterkort blir da: 13 1 = = 0,25 = 25 % PðhjerterkortÞ = 52 4 Regel

Sannsynlighet =

antall gunstige utfall antall mulige utfall

Eksempel

Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ en sekser na˚r du kaster en vanlig terning? Oppgi svaret som a) brøk b) desimaltall c) prosent Løsning Sannsynligheten er lik for alle utfall. 1 a) PðsekserÞ = 6 1 b) PðsekserÞ =  0,17 6 1 c) PðsekserÞ =  0,17 = 17 % 6

Sannsynligheten for en hendelse er alltid et tall mellom 0 og 1.


Oppgaver 4.39 Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ en ener na˚r du kaster en vanlig terning? Oppgi svaret som a) brøk b) desimaltall c) prosent 4.40 Hva er sannsynligheten for a˚ trekke sparknekt ut av en kortstokk? Oppgi svaret som a) brøk b) desimaltall c) prosent 4.41 Du kaster en vanlig terning. Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ a) et oddetall b) et primtall c) en femmer eller en sekser 4.42 En kortstokk har 52 kort. Hva er sannsynligheten for a˚ trekke a) hjerter a˚tte b) et ess c) et rødt kort

4.43 Det er 24 elever i en gruppe, 14 jenter og 10 gutter. Læreren vil høre en tilfeldig elev i leksa. Hva er sannsynligheten for at a) en jente blir spurt b) en gutt blir spurt c) en gutt eller en jente blir spurt

Statistikk og sannsynlighetsregning

153


Statistikk og sannsynlighetsregning

4.44 Hvor stor er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper pa˚ a) tallet 1 b) et tall større enn 7 c) et primtall

154

4.45 Hanna trekker kuler fra ska˚len uten a˚ legge dem tilbake igjen. a) Hva er sannsynligheten for a˚ trekke en bla˚ kule? b) Den første kulen Hanna trekker, er bla˚. Hva er sannsynligheten for at den neste kulen hun trekker, er bla˚? c) Den andre kulen Hanna trekker, er ogsa˚ bla˚. Hva er sannsynligheten for at den tredje kulen hun trekker, er rød?


˚ finne sannsynligheten ved flere hendelser A

?

Mynt!

Krone!

Hva er sannsynligheten for at begge pengestykkene lander med myntsiden opp? Na˚r vi skal bestemme sannsynligheten for flere hendelser, kan vi bruke et trediagram. I eksempelet ovenfor blir det kastet to pengestykker. Utfallet av det første kastet har ingen betydning for utfallet av det andre kastet. Vi sier at kastene er to uavhengige hendelser. Dette trediagrammet viser de mulige utfallene: 1. kast

2. kast

krone

krone

mynt

mynt

krone

mynt

Vi teller de nederste grenene og finner at det er fire mulige utfall. krone – krone

krone – mynt

mynt – krone

mynt – mynt

Kun en grein gir utfallet mynt–mynt. Sannsynligheten for a˚ fa˚ begge pengestykkene til a˚ vise mynt blir derfor: Pðmynt, myntÞ =

1 4

Statistikk og sannsynlighetsregning

155


Eksempel

Sara kaster et pengestykke tre ganger. Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ a) krone alle tre gangene b) e´n krone og to mynt (rekkefølgen av utfallene har ingen betydning)

Statistikk og sannsynlighetsregning

Løsning Vi lager et trediagram der M sta˚r for mynt og K sta˚r for krone. a)

156

1. kast

K

2. kast

3. kast

M

M

M

K

K

M

M

K

M

K

K

M

K

Vi teller de nederste greinene og finner at det er a˚tte mulige utfall. Hvert utfall har lik sannsynlighet. Kun ett utfall gir tre ganger krone: KKK 1 Pðkrone, krone, kroneÞ = 8 b) Tre utfall gir e´n krone og to mynt: KMM 3 Pðe´n krone og to myntÞ = 8

Oppgaver 4.46 Du kaster to pengestykker e´n gang. a) Hvilke mulige utfall blir det? Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ b) krone, krone c) mynt, mynt

MMK MKM


4.47 Et ektepar ønsker seg to barn. Tegn et trediagram og finn sannsynligheten for at de fa˚r e´n gutt og e´n jente. Sannsynligheten for a˚ fa˚ gutt og jente er like stor.

4.48 Et ektepar ønsker seg tre barn. Tegn et trediagram og finn sannsynligheten for at de fa˚r minst to jenter. Sannsynligheten for a˚ fa˚ gutt og jente er like stor. 4.49 Her ser du et uferdig trediagram for fire kast med et pengestykke. 1. kast

K

2. kast

M

3. kast

4. kast

M

M

K

M

K

M

a) Tegn ferdig trediagrammet. b) Hvor mange mulige utfall er det? Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ c) mynt i alle fire kastene d) to mynt og to kroner

Statistikk og sannsynlighetsregning

157


˚ finne sannsynligheten A ved hjelp av multiplikasjon

Statistikk og sannsynlighetsregning

Vi kan ogsa˚ finne sannsynligheten for flere hendelser ved hjelp av multiplikasjon. Hvis vi kaster to terninger, fa˚r vi følgende mulige utfall:

158

Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ to seksere pa˚ ett kast?

1

2

3

4

5

6

1

1–1

2–1

3–1

4–1

5–1

6–1

2

1–2

2–2

3–2

4–2

5–2

6–2

3

1–3

2–3

3–3

4–3

5–3

6–3

4

1–4

2–4

3–4

4–4

5–4

6–4

5

1–5

2–5

3–5

4–5

5–5

6–5

6

1–6

2–6

3–6

4–6

5–6

6–6

Det er bare e´n mulighet for a˚ fa˚ to seksere!

1 Alle utfallene er like sannsynlige. Da er sannsynligheten for a˚ fa˚ en sekser , 6 1 1 1 og sannsynligheten for a˚ fa˚ to seksere  = 6 6 36 Regel

Vi finner sannsynligheten for flere hendelser ved a˚ multiplisere sannsynligheten for de enkelte utfallene med hverandre.


Eksempel

Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ mynt tre ganger pa˚ rad hvis du kaster et pengestykke? Løsning 1 Sannsynligheten for a˚ fa˚ mynt er alle tre gangene. Sannsynligheten for 2 a˚ fa˚ tre mynt blir da: 1 1 1 1 Pðmynt, mynt, myntÞ =   = 2 2 2 8

Eksempel

Du kaster et pengestykke og en terning. Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ krone og en sekser? Løsning Sannsynligheten for a˚ fa˚ krone er

1 , og sannsynligheten for a˚ fa˚ en 2

1 . Sannsynligheten for a˚ fa˚ krone og sekser blir da: 6 1 1 1 Pðkrone og sekserÞ =  = 2 6 12

sekser er

Oppgaver 4.50 Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ mynt og en femmer na˚r du kaster et pengestykke og en terning? Oppgi svaret som brøk. 4.51 Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ e´n ener og e´n sekser na˚r du kaster to terninger? Oppgi svaret som a) brøk b) desimaltall c) prosent

Statistikk og sannsynlighetsregning

159


4.52 Sara kjøper ett lodd i to forskjellige lotterier. Sannsynligheten for 1 1 a˚ vinne er henholdsvis og . 20 50

Statistikk og sannsynlighetsregning

Hvor stor er sannsynligheten for at hun vinner i begge lotteriene?

160

4.53 Herman skal trekke en kule fra hver ska˚l. Hva er sannsynligheten for at han trekker a) to bla˚ kuler b) en bla˚ og en gul kule c) en rød og en gul kule


4.54 Sannsynligheten for a˚ vinne i et lotteri er 0,04. Sannsynligheten for a˚ bli oppringt av en telefonselger er 0,07. Hva er sannsynligheten for at du ba˚de vinner i lotteriet og blir ringt opp av en telefonselger? 4.55 Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ tre seksere na˚r vi kaster tre terninger? Oppgi svaret som a) brøk b) desimaltall c) prosent 4.56 Hva er sannsynligheten for a˚ fa˚ yatzy i seksere med fem terninger i ett kast?

4.57 Sannsynligheten for a˚ fa˚ sju rette i Lotto er liten. Hvis du vil finne ut av hvor liten den er, ma˚ du gjøre ferdig denne utregningen:

Statistikk og sannsynlighetsregning

161


Like stor sannsynlighet hver gang?

Statistikk og sannsynlighetsregning

?

162

Na˚ har jeg kastet fem ganger, da ma˚ jeg vel fa˚ en sekser!

Er sannsynligheten større for a˚ fa˚ en sekser i det sjette kastet enn i det femte kastet? Na˚r du kaster en terning er sannsynligheten for a˚ fa˚ en sekser like stor hver gang du kaster. Siden kastene ikke er avhengige av hverandre, og terningen ikke kan huske hva du fikk pa˚ forrige kastet, er sannsynligheten lik hver gang. Sannsynligheten for a˚ fa˚ en sekser er den samme pa˚ det siste kastet som pa˚ det første. Oppgaver 4.58 Hvilke av utsagnene er riktige? A Na˚r du kaster et pengestykke, øker sannsynligheten for a˚ fa˚ myntsiden opp med hvert kast. B Det er større sannsynlighet for a˚ fa˚ summen 7 enn 6 na˚r du kaster med to terninger. C Hvis du har 50 % sjanse for a˚ vinne i et lotteri, betyr det at hvert andre lodd som blir trukket ut, er et vinnerlodd.


4.59 Hvilke av utsagnene er riktige? A Sannsynlighet kan angis som brøk, desimaltall eller prosent. B Tallet 7 i lotto har ikke blitt trukket ut pa˚ 32 ganger. Martin mener det er større sannsynlighet for at tallet 7 vil bli trukket ut som vinner den 33. gangen. C Jo flere lottorekker du leverer, jo større sjanse har du for a˚ vinne. 4.60 Hvilke av utsagnene er riktige? A Lottorekken 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 har like stor sjanse for a˚ trukket ut som en hvilken som helst annen rekke. B Sannsynligheten for a˚ fa˚ e´n mynt og e´n krone na˚r du kaster to pengestykker, er like stor som sannsynligheten for a˚ fa˚ to mynter. 4.61 Lag tre utsagn om sannsynlighet. Test utsagnene pa˚ andre elever i gruppen din.

Noe med kortspill kanskje ...

Hva er sannsynligheten for a˚ vinne i Vikinglotto?

Hva betyr det at noe har odds pa˚ 1,85?

Statistikk og sannsynlighetsregning

163


Prøv deg selv

Statistikk og sannsynlighetsregning

1

164

Hanna har undersøkt hvilke dyr som fins i gata der hun bor. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Dyr

Antall

Katt

4

Hund

2

Gullfisk

8

Hamster

3

Skilpadde

1

Papegøye

2

Lag en frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. 2

Bruk tallene fra tabellen ovenfor og finn ut følgende: Hvor mange prosent av dyrene a) er fisker b) har fire bein

3

Her ser du hva Sara bruker tiden til i løpet av et døgn. Skole: 6 h Sove: 7,2 h Spise: 1,2 h Tv: 3 h Venner: 2,4 h Trening: 2,4 h Annet: 1,8 h Vis i et sektordiagram hva Sara bruker tiden til i løpet av et døgn.

4

Før en gymnastikktime ma˚lte alle elevene hvilepulsen sin (slag/min). Her ser du resultatene: 74 68 71 63 66 86 80 77 67 56 64 74 71 82 79 77 69 66 65 77 83 62 60 71 86 63 a) Hva er medianen? b) Hva er typetallet? c) Hva er gjennomsnittlig hvilepuls?


5

Hva er variasjonsbredden til observasjonene i oppgave 4?

6

Redaktøren i Verdens Ugang presenterer avissalget sitt slik: Avissalg 290 000 289 000 288 000 287 000 286 000 285 000 284 000 283 000 Dagposten

Verdens Ugang

a) Forklar hvorfor diagrammet er misvisende. b) Forklar pa˚ hvilken annen ma˚te diagrammet kunne vært presentert. 7

Hvilket sentralma˚l vil du bruke for a˚ angi hvor sentrum eller tyngden av disse observasjonene ligger? 100 kr 130 kr 150 kr 750 kr 100 kr 45 kr 120 kr 100 kr 180 kr 100 kr 0 kr 300 kr

8

Lotte har 2 skjorter, 2 jakker og 3 bukser som hun kan ha pa˚ seg til klassefesten. Hvor mange ulike ma˚ter kan hun kle seg pa˚?

Statistikk og sannsynlighetsregning

165


Statistikk og sannsynlighetsregning

9

166

a) Martin snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sannsynligheten for a˚ vinne hvis han satser pa˚ tallet 3?

b) Du skal trekke en kule ut av ska˚len uten a˚ se. Hvor stor er sannsynligheten for a˚ trekke en sort kule? 10

Tegn et trediagram for tre kast med et pengestykke. Finn sannsynligheten for a˚ fa˚ to mynt og e´n krone. Rekkefølgen pa˚ mynt og krone har ingen betydning.

11

Sannsynligheten for a˚ vinne i tre ulike lotterier er henholdsvis 1 4 1 , og : 20 70 100 Hva er sannsynligheten for a˚ vinne i alle tre lotteriene?

12

Hvilke av utsagnene er riktige eller gale? A Sannsynligheten for a˚ trekke hjerterto er like stor som sannsynligheten for a˚ trekke kløverfem. B Sannsynligheten for a˚ fa˚ myntsiden opp na˚r du kaster et pengestykke er lik i alle kast. C Hvis sannsynligheten er 1, vil hendelsen aldri skje. D Alle tall i Lotto har like stor sannsynlighet for a˚ bli trukket ut. E Sannsynligheten for a˚ kaste et primtall med en terning med sidene 1–6 er mindre enn sannsynligheten for a˚ fa˚ et partall. F Hvis det er 16 gutter og 12 jenter i gruppa di, er det større sannsynlighet for at en jente blir trukket ut enn en gutt. G Det er større sannsynlighet for a˚ fa˚ yatzy pa˚ ett kast hvis du allerede har prøvd 500 ganger.


Noe a˚ lure pa˚ 1

Hanna tegner en femkant. Hun tegner to tilfeldige diagonaler. Hva er sannsynligheten for at diagonalene ikke skjærer hverandre?

2

Lotte, Simen eller Sara vant hovedgevinsten i et lotteri. Simen vant ikke.

Jeg vant ikke.

Jeg vant!

Hvem vant hovedgevinsten na˚r vi vet at minst to av de tre lyver? 3

Skriv sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 pa˚ ni lapper. Trekk ut to tilfeldige lapper og lag et tosifret tall. Hvor stor er sannsynligheten for at tallet er delelig med 3?

Statistikk og sannsynlighetsregning

167


Statistikk og sannsynlighetsregning 168

4

Martin og Hanna kaster hver sin terning. Hva er sannsynligheten for at terningen til Hanna viser mer enn terningen til Martin? 1 1 5 C E A 6 2 12 1 3 B D 3 8

5

Ti personer møttes i et selskap. Alle ha˚ndhilste pa˚ hverandre e´n gang. Hvor mange ha˚ndhilsninger ble det?

6

Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2  3) inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller i en boks.

3 3 1 2

2 5 6 4 2

1 3 5 Sudoku


Oppsummering Frekvens og relativ frekvens Frekvens betyr hvor mange ganger en bestemt observasjon eller hendelse forekommer. Relativ frekvens er frekvensen dividert med antall observasjoner.

Relativ frekvens og prosent Vi kan skrive den relative frekvensen som brøk, desimaltall eller prosent. Vi finner prosentandelen ved a˚ multiplisere den relative frekvensen med 100. 1 = 4

0,25

= 25 %

Brøk Relativ frekvens

Prosent

Sektordiagram Vi finner gradtallet til hver sektor ved a˚ multiplisere prosenten eller den relative frekvensen med 360 . Svar (Alternativ) Frekvens

Relativ frekvens

Prosent

Gradtall til sirkelsektorene

Ja

3

3 5

= 0,6

0,6  100 = 60 %

0,6  360 = 216

Nei

2

2 5

= 0,4

0,4  100 = 40 %

0,4  360 = 144

Sum

5

100 %

360

1

Nei

Ja

Statistikk og sannsynlighetsregning

169


Søylediagram

Antall svar

Vi bruker søylediagram na˚r observasjonene er svar som «Ja» og «Nei», eller «Norge», «Sverige» og «Danmark».

250 200 150 100

Statistikk og sannsynlighetsregning

50

170

0 Nei

Stolpediagram

Ja

Antall personer

Vi bruker stolpediagram na˚r observasjonene er tall.

35 30 25 20 15 10 5 0 1

Linjediagram Vi bruker linjediagram na˚r vi vil vise forandring eller utvikling over tid.

2

3

4

5

6 Antall flyreiser

Antall kilometer 60 50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

Antall timer

Gjennomsnitt Gjennomsnittet =

summen av alle observasjoner antall observasjoner

Gjennomsnittet av 3, 5, 6, 6, 8, 12 og 16 er

3 + 5 + 6 + 6 + 8 + 12 + 16 =8 7


Median Medianen er den midterste verdien na˚r observasjonene er ordnet i stigende rekkefølge. 6 8 12 16 3 5 6

Typetall Typetallet er den eller de observasjonene som har den høyeste frekvensen. Tallet 6 opptrer flest ganger blant observasjonene ovenfor. Typetallet er da 6.

Variasjonsbredde Variasjonsbredden er differansen mellom den største observasjonen og den minste observasjonen. 16 -- 3 = 13

Sannsynlighet Hvis alle utfallene for en hendelse er like sannsynlige, er sannsynligheten antall gunstige utfall antall mulige utfall Sannsynligheten for en hendelse er alltid et tall mellom 0 og 1.

Sannsynlighet ved flere utfall Na˚r sannsynligheten bestemmes av flere utfall, kan vi bruke et trediagram for a˚ finne alle mulighetene. 1. kast

2. kast

krone

krone

mynt

mynt

krone

mynt

Antall mulige utfall er fire. Sannsynligheten for a˚ fa˚ krone i første kast og mynt i andre kast er

1 : 4

Vi kan ogsa˚ bestemme sannsynligheten ved hjelp av multiplikasjon. 1 1 1 Pðkrone, myntÞ =  = 2 2 4

Statistikk og sannsynlighetsregning

171


Foten min er lenger enn deres føtter.

?

?


5 Ma˚ling og beregninger Den eldste kjente ma˚leenheten er en fot. Den egyptiske «kongelige fot» ma˚lte 31,6 cm, den greske fot 30,83 cm og den romerske 29,57 cm. Fot er en ma˚leenhet som sjelden blir brukt i va˚re dager. Na˚ bruker vi vanligvis ma˚leenheter som bygger pa˚ grunnenheten meter.

Ma˚l Det er visst ikke bare bare a˚ ma˚le i fot.

I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . .

usikkerhet i forbindelse med ma˚linger ma˚lestokk bruk av formler i problemløsninger egenskaper og beregninger i forbindelse med tredimensjonale figurer


Ma˚lenøyaktighet

Ma˚ling og beregninger

?

174

Na˚ er det vel 125 gram?

Hvorfor er det vanskelig a˚ ma˚le nøyaktig?

Vi kan telle hvor mange stoler det er i klasserommet, hvor mange elever det er pa˚ skolen, hvor mange biler det er pa˚ parkeringsplassen, og hvor mange kroner vi har i lommeboka. Slike tellinger gir nøyaktige resultater: 28 stoler, 245 elever, 12 biler, 45 kr De tallene vi fa˚r fram ved ma˚linger, er derimot alltid unøyaktige. Det er umulig a˚ ma˚le noe helt nøyaktig. Nøyaktigheten er avhengig av hvilket ma˚leinstrument vi bruker. Eksempler pa˚ ma˚leinstrumenter: Linjal, ma˚leba˚nd, tommestokk, skyvelære, kjøkkenvekt, brevvekt, desiliterma˚l, ma˚lesylinder, klokke, laser, kompass og speedometer


Sara ma˚ler lengden pa˚ et A4-ark med linjalen sin. Det er 29,7 cm langt.

20,8 cm

29,7 cm

Sara har ma˚lt med en nøyaktighet pa˚ nærmeste millimeter. Andre ma˚leinstrumenter enn en linjal kan gi større eller mindre nøyaktighet. Kilometertelleren i en bil viser 4

5

9

1

Kilometertelleren viser kjørelengden pa˚ nærmeste kilometer. Pa˚ noen biler er det en rute til pa˚ høyre side. Da viser kilometertelleren kjørelengden pa˚ nærmeste 100 m. Oppgaver 5.1

Hvilke tall er sikre, og hvilke er usikre? a) Det er 24 elever i klassen. b) Hanna løp 60 meter pa˚ 9,8 sek. c) Det er 3 km til skolen. d) Herman har 15 kr i lomma. e) Eplene koster 20,50 kr.

5.2

Hvilke tall i tekstene a), b) og c) er sikre, og hvilke ma˚ vi regne med er usikre? a) Pa˚ skolen til Sara ga˚r det 217 elever, 102 jenter og 115 gutter. En dag i september hadde de aktivitetsdag. Den begynte kl. 09.00, og sluttet kl. 14.15. Kantinegruppa solgte varer for 2850,50 kr. Det gikk med 87 liter saft. b) I konkurransene ble de beste resultatene: Lengde 5,26 m Høyde 1,76 m 100 m 12,2 sek c) Gruppe 9B ble best i en konkurranse med 65,5 poeng.

Ma˚ling og beregninger

175


Ma˚ling og beregninger 176

5.3

Martin har en gammel brevvekt hjemme. Hvor nøyaktig tror du Martin kan ma˚le med denne vekten?

5.4

Ma˚l bredden pa˚ matematikkboka di. a) Hvilket ma˚leinstrument brukte du? b) Hvor bred ma˚lte du boka til a˚ være? c) Undersøk om de andre i gruppa di fa˚r det samme resultatet. Hvis resultatene er forskjellige, hva kan grunnen være?

5.5

I en trekant er sidene 5,5 cm, 6,2 cm og 4,9 cm. a) Hvor mange millimeter er sidene? b) Tegn to slike trekanter. Klipp ut trekantene og legg dem oppa˚ hverandre. Ble trekantene helt like? Hvis ikke, hva er grunnen til det?

5.6

Politiet har ofte fartskontroll langs veiene.

60

En av metodene de bruker, er denne: – langs en vei blir det ma˚lt opp en bestemt strekning, for eksempel mellom to stolper – politiet ma˚ler den tiden som bilene bruker mellom de to punktene – deretter blir farten regnet ut Hva er a˚rsaken til at en slik metode er usikker?


Ma˚lestokk

? Ma˚lestokk 1 : 2

Ma˚lestokk 1 : 1

Ma˚lestokk 2 : 1 Hvilke av tegningene er forstørringer eller forminskninger?

Forstørring Hvis vi skal vise bilder av sma˚ ting, for eksempel bakterier, virus eller celler, ma˚ vi lage forstørringer. Ma˚lestokken sier hvor stor forstørringen er, og den blir alltid oppgitt som et forhold. Hvis ma˚lestokken er 100 : 1, betyr det at alle lengder i virkeligheten er 100 ganger sa˚ sma˚ som de lengdene vi ma˚ler pa˚ tegningen. Da vil tegningen være en forstørring av virkeligheten. Eksempel

Bakteriene pa˚ dette bildet er omtrent 3 cm lange. Ma˚lestokken er 10 000 : 1. Hvor lange er bakteriene i virkeligheten? Pestbakterier (fora˚rsaket svartedauden i middelalderen)

Løsning Bakteriene er 10 000 ganger sa˚ korte som lengden pa˚ bildet. 3 cm = 0,0003 cm = 0,003 mm 10 000 Bakteriene er 0,003 mm i virkeligheten.

Ma˚ling og beregninger

177


Oppgaver 5.7

Hvor lange er tøffeldyrene i virkeligheten?

Tøffeldyr i ma˚lestokken 100 : 1

Ma˚ling og beregninger

5.8

178

Hvor lange er sma˚dyrene i virkeligheten? a) c)

Ma˚lestokk 3 : 1

b)

Ma˚lestokk 4 : 1

d)

Ma˚lestokk 2 : 1

Ma˚lestokk 5 : 1


5.9

C

Simen har tegnet en trekant med sider 2 cm, 2,5 cm og 4 cm. Tegn en tilsvarende trekant i ma˚lestokk 2 : 1.

2,5 cm A

2 cm 4 cm

B

5.10 DNA-molekylet er ca. 0,000005 mm bredt i virkeligheten. Ma˚l bredden pa˚ illustrasjonen. Hvilken ma˚lestokk er brukt?

DNA-molekyl

Forminskning Hustegninger, modeller og kart er eksempler pa˚ tegninger som er mindre enn den virkeligheten som er tegnet. De er derfor modeller av virkeligheten. Ma˚lestokken pa˚ tegningen eller kartet sier hvor stor forminskningen er, og den blir alltid oppgitt som et forhold.

Modell av Operaen i Oslo i forminsket ma˚lestokk. Vinnerutkastet til Snøhetta.

Hvis ma˚lestokken er 1 : 100, betyr det at alle lengder i virkeligheten er 100 ganger sa˚ store som de lengdene vi ma˚ler pa˚ tegningen. Da vil tegningen være en forminskning av virkeligheten.

Ma˚ling og beregninger

179


Eksempel

Bildet av flyet er i ma˚lestokken 1 : 1000. Flyet er 7,3 cm langt pa˚ bildet. Hvor langt er flyet i virkeligheten?

Airbus A 380, verdens største passasjerfly

Løsning Flyet er 1000 ganger sa˚ langt som lengden pa˚ bildet. 7,3 cm  1000 = 7300 cm = 73 m

Ma˚ling og beregninger

Flyet er 73 m i virkeligheten.

180

Oppgaver 5.11 Hvor lange er tingene i virkeligheten? a) Ma˚lestokk 1 : 5

b) Ma˚lestokk 1 : 10

c) Ma˚lestokk 1 : 200

5,5 cm


5.12 Kartet over Østerrike er i ma˚lestokk 1 : 5 000 000. Finn avstanden i luftlinje mellom a) Wien og Innsbruck b) Salzburg og Graz c) Kitzbu¨hel og Villach

Kart over Østerrike i ma˚lestokk 1 : 5 000 000 Cappelens atlas for ungdomstrinnet

5.13 Pa˚ et kart i ma˚lestokken 1 : 50 000 er det 8 cm mellom Dalen og Toppen. Hvor langt er det i luftlinje mellom de to stedene? 5.14 Sara skal lage en drage. Hun tegner den i ma˚lestokken 1 : 20. Hva blir ma˚lene pa˚ dragen i virkeligheten? 2 cm

5 cm

Ma˚ling og beregninger

181


˚ finne ma˚lestokken A Na˚r vi skal finne ma˚lestokken til en tegning, ting eller et kart, ma˚ vi vite hvor lang avstanden er i virkeligheten. Avstanden i virkeligheten og avstanden pa˚ for eksempel kartet ma˚ være i samme benevning, for eksempel centimeter. Regel

Vi finner ma˚lestokken til en forstørring ved a˚ dividere forstørringen med den virkelige lengden. Vi finner ma˚lestokken til en forminskning ved a˚ dividere den virkelige lengden med den ma˚lte lengden.

Eksempel

Bindersen er 3 cm lang i virkeligheten. I hvilken ma˚lestokk er bindersen tegnet?

Ma˚ling og beregninger

Løsning Bindersen er 6 cm pa˚ tegningen og 3 cm i virkeligheten.

182

6 cm =2 3 cm Bindersen er tegnet i m˚alestokken 2 : 1.

Eksempel

Avstanden i luftlinje fra Leknes til Svolvær er 40 km. Hva er ma˚lestokken til kartet?

Løsning Avstanden pa˚ kartet er 5 cm. 40 km = 4 000 000 cm 4 000 000 cm = 800 000 5 cm M˚alestokken til kartet er 1: 800 000.

Cappelens atlas for ungdomstrinnet


Oppgaver 5.15 Finn ma˚lestokken na˚r avstanden i virkeligheten er a) 5 cm og avstanden pa˚ forstørringen er 15 cm b) 3 cm og avstanden pa˚ forstørringen er 60 cm c) 0,001 mm og avstanden pa˚ forstørringen er 1 cm 5.16 Finn ma˚lestokken na˚r avstanden i virkeligheten er a) 5000 cm og avstanden pa˚ forminskningen er 5 cm b) 40 km og avstanden pa˚ forminskningen er 4 cm c) 175 mil og avstanden pa˚ forminskningen er 7 cm 5.17 Hva er ma˚lestokken til kartene na˚r avstanden fra Oslo til Fredrikstad er ca. 82 km?

a)

b)

c)

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

Ma˚ling og beregninger

183


5.18 Hvilken ma˚lestokk har bildene? a)

Bla˚vinge, vingespenn ca. 2,5 cm

Ma˚ling og beregninger

b)

184

Aurorasommerfugl, vingespenn ca. 4 cm

5.19 Pa˚ et teppemønster er bitene 1,5 cm brede. Pa˚ det ferdige teppet er bitene 12 cm brede. Hva er ma˚lestokken til teppemønsteret?


Volum, og areal av en overflate

?

De to eskene har det samme volumet, men ikke den samme overflaten ...

Hva er forskjellen pa˚ volum og overflate?

Volum av et prisme Eksempler pa˚ rette firkantete prismer er fyrstikkesker, drikkekartonger, høyttalere og krittesker.

Kongruent betyr identisk!

Endeflatene i hvert rette prisme er helt like i ba˚de form og størrelse. Vi sier at de er kongruente.

Ma˚ling og beregninger

185


h

h b

l

h b

l

b l

Arealet av grunnflaten i et rett firkantet prisme er lengden  bredden. Vi skriver G = lb Volumet av et rett firkantet prisme er grunnflaten  høyden. Vi skriver V = Gh Regel

Volumet V av et rett firkantet prisme med lengden l, bredden b og høyden h er V=lbh Volumet V av et prisme med grunnflaten G og høyden h er

Ma˚ling og beregninger

V=Gh

186

Eksempel

a) Regn ut arealet av grunnflaten til esken. b) Regn ut volumet til esken. 2 cm 4 cm 8 cm

Løsning Esken er et rett firkantet prisme. a) Grunnflaten er lengden  bredden G = 8 cm  4 cm = 32 cm2 Arealet av grunnflaten er 32 cm2 :


b) Volumet er grunnflaten  høyden. V = 32 cm2  2 cm = 64 cm3 Volumet er 64 cm3 .

Oppgaver 5.20 Et rett firkantet prisme har grunnflaten 20 cm2 . Regn ut volumet na˚r høyden er a) 2 cm b) 5 cm c) 10 cm d) 35 cm 5.21 a) Regn ut arealet av grunnflaten i prismet. b) Regn ut volumet av prismet.

3 cm 2 cm 6 cm

5.22 Regn ut volumet av prismene. a)

c)

2 cm

4 cm

8 cm

3 cm 8 cm 2 cm

b) 1 cm 2 cm 15 cm

5.23 I et rett trekantet prisme har grunnflaten et areal pa˚ 42 cm2 . Høyden i prismet er 8 cm.

8 cm

Regn ut volumet av prismet.

Ma˚ling og beregninger

187


Arealet av overflaten til et prisme Et rett firkantet prisme er satt sammen av seks flater. Flatene er rektangler, og to og to flater er helt like.

b h h b l

l

MaË&#x161;ling og beregninger

Vi finner arealet av overflaten til prismet ved aË&#x161; legge sammen arealet av de seks rektanglene: Arealet av bunnflaten og toppflaten: 2  l  b Arealet av de to endeflatene: 2  h  b Arealet av de to sideflatene: 2  l  h Arealet av alle seks flatene blir A = 2lb + 2hb + 2lh

188

Regel

Arealet av overflaten til et rett firkantet prisme med sidene l, b og h er: A = 2lb + 2hb + 2lh Eksempel

2 cm

Regn ut arealet av overflaten til esken. Løsning Arealet A av overflaten til prismet er:

4 cm 8 cm

A = 2  8 cm  4 cm + 2  4 cm  2 cm + 2  8 cm  2 cm = 64 cm2 + 16 cm2 + 32 cm2 = 112 cm2 Arealet av overflaten til esken er 112 cm2 :


Oppgaver 5.24 Regn ut arealet av overflaten til eskene. a) b) 3 cm

c)

7 cm

6 cm

2 cm

5 cm 3 cm

4 cm

16 cm

5 cm

5.25 En kritteske er 8 cm lang, 5 cm bred og 2 cm høy. Regn ut arealet av overflaten til krittesken. 5.26 Sara skal lage en lekekasse til søsteren sin. Kassen skal være 40 cm lang, 30 cm bred og 20 cm høy. Den skal være uten lokk, men med bunn. Hvor mange kvadratdesimeter materiale ga˚r det med til a˚ lage kassen?

5.27 To esker har form som rette firkantede prismer. 2 cm

4 cm

4 cm

4 cm 4 cm

8 cm

a) Regn ut volumet av begge prismene. b) Regn ut arealet av overflaten til begge prismene. c) Sammenlikn svarene du har fa˚tt. Hva legger du merke til?

Ma˚ling og beregninger

189


5.28 Martin ma˚ler størrelsen pa˚ et glassprisme pa˚ naturfagrommet. Prismet er 5,0 cm høyt. Grunnflaten er en rettvinklet trekant der katetene er 2,0 cm. a) Lag en tegning av prismet. b) Regn ut volumet av prismet. c) Regn ut arealet av overflaten til prismet.

Ma˚ling og beregninger

Volumet av en sylinder

190

I en sylinder er grunnflaten og toppflaten to like store sirkler. Høyden h er avstanden mellom grunnflaten og toppflaten. Arealet av grunnflaten i en sylinder er   radius  radius. Vi skriver G =   r  r eller G = r 2 Volumet av en sylinder er grunnflaten  høyden. Vi skriver V = G  h eller V = r 2  h

Regel

Volumet V av en sylinder med grunnflaten G og høyden h er V = Gh Volumet V av en sylinder med radien r og høyden h er V = r 2  h

r h


Eksempel

En boks fiskeboller har radius 5 cm og høyde 12 cm. a) Regn ut arealet av grunnflaten i boksen. b) Regn ut volumet av boksen. Løsning a) Arealet G av grunnflaten er G =   r  r = 3,14  5 cm  5 cm = 78,5 cm2

Best i verden

Arealet av grunnflaten i boksen er 78,5 cm2 : b) Volumet V av boksen er V = G  h = 78,5 cm2  12 cm = 942 cm3 Volumet av boksen er 942 cm3 :

Vi kan ogsa˚ regne pa˚ denne ma˚ten.

V = r 2  h =   r  r  h = 3,14  5 cm  5 cm  12 cm = 942 cm3

Oppgaver 5.29 Regn ut volumet av sylindrene. a) b)

c)

2 cm

5 cm 4 cm 4 cm 2 cm

3 cm

Ma˚ling og beregninger

191


5.30 En kjele har form som en sylinder. Radien er 10 cm og høyden er 12 cm. a) Regn ut arealet av grunnflaten. b) Regn ut volumet av kjelen. c) Hvor mange kubikkdesimeter rommer kjelen?

Husk! 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 liter

Ma˚ling og beregninger

5.31 En kakeform har radius 12 cm og høyde 5 cm. a) Regn ut arealet av grunnflaten. b) Hvor mange liter rommer kakeformen?

192

5.32 En oljetank har form som en sylinder. Radien er 3 m og høyden er 2 m. Hvor mange a) kubikkmeter rommer tanken b) liter rommer tanken 5.33 En vannslange har form som et sylindrisk rør. Radien er 1 cm. Slangen er 30 m lang og er fylt med vann. Hvor mange a) kubikkcentimeter vann er det i slangen b) liter vann er det i slangen

5.34 Et kumlokk av betong har diameteren 80 cm. Tykkelsen er 6 cm. Regn ut volumet av kumlokket.


Arealet av overflaten til en sylinder Hvis vi klipper opp en sylinder, fa˚r vi et rektangel og to sirkler.

Sideflaten i sylinderen er et rektangel. Endeflatene er to like sirkler. Det betyr at overflaten av en sylinder besta˚r av ett rektangel og to sirkler. Begge sirklene har arealet A = r2 : Bredden av rektangelet er det samme som høyden h i sylinderen. Lengden av rektangelet ma˚ være like lang som omkretsen O av endeflaten i sylinderen. Vi vet at O =   d = 2r Arealet A av rektangelet blir da A = 2r  h Arealet A av hele overflaten til sylinderen blir derfor A = r 2 + r2 + 2r  h A = 2r2 + 2r  h Regel

Arealet av overflaten til en sylinder med radius r og høyde h er A = 2r2 + 2r  h

Ma˚ling og beregninger

193


Eksempel

Regn ut arealet av overflaten til en sylinder med radius 2 cm og høyde 5 cm.

r = 2 cm

h = 5 cm

Ma˚ling og beregninger

Løsning Vi regner ut arealet av ba˚de grunnflate, toppflate og sideflate. Arealet av overflaten blir da:

194

A = 2r2 + 2r  h = 2  3,14  2 cm  2 cm + 2  3,14  2 cm  5 cm = 25,12 cm2 + 62,8 cm2 = 87,92 cm2  88 cm2 Arealet av overflaten til sylinderen er 88 cm2 :

Oppgaver 5.35 Regn ut arealet av overflaten til sylindrene. a) b) 2 cm

c) 5 cm

4 cm 4 cm 2 cm

3 cm


5.36 En sylinder har radius 4 cm og høyde 6 cm. Regn ut a) arealet av grunnflaten b) arealet av overflaten til sylinderen

5.37 Sylinderen har radius 2 m og høyde 5 m. Regn ut a) arealet av grunnflaten b) arealet av overflaten til sylinderen

4 cm

6 cm

2m

5m

5.38 En søppelkasse har form som en sylinder. Kassen har ikke lokk. Regn ut arealet av overflaten til søppelkassen na˚r den har en utvendig diameter pa˚ 50 cm og en utvendig høyde pa˚ 70 cm. 5.39 Et rør har en utvendig diameter pa˚ 20 cm. Røret er 4 m langt og laget av betong. a) Regn ut det utvendige volumet av røret. b) Hvor stort er arealet av den utvendige overflaten til røret? Vi ser bort fra tykkelsen pa˚ røret. 5.40 Martin lager et literma˚l av plast. Det har form som en sylinder der grunnflaten har en radius pa˚ 2 cm. Hvor høy ma˚ sylinderen være for at den skal romme 1 liter?

Ma˚ling og beregninger

195


Ma˚ling og beregninger

Prøv deg selv

196

1

Skriv opp de ma˚leinstrumentene som du mener er de mest brukte.

2

Hvorfor er noen tall sikre, mens andre tall er usikre?

3

Klasserommet til Hanna er 8,7 m langt. Med hvilken nøyaktighet er den lengden oppgitt?

4

En flue er ca. 7 mm lang. Herman vil tegne en slik flue i ma˚lestokken 15 : 1.

Hvor lang blir flua pa˚ tegningen til Herman? 5

En gulvmatte har form som en sirkel. Diameteren er 1,20 m. a) Hvor mange centimeter er 1,20 m? b) Regn ut omkretsen og arealet av matta.

6

Avstanden i luftlinje fra Forsnes til Sandstad er 35 km. Hva er ma˚lestokken til kartet?

7

En firkantet kasse er 8 dm lang, 6 dm bred og 5 dm høy. a) Hvor mange liter rommer kassen? b) Regn ut overflaten av kassen.

Cappelens atlas for ungdomstrinnet


8

En firkantet eske har en grunnflate som er et rektangel. Lengden i rektangelet er 15 cm. Høyden av esken er 10 cm. Esken har et volum pa˚ 1800 cm3 . Regn ut bredden av rektangelet i grunnflaten.

9

Bildet av sommerfuglen er i ma˚lestokk 1 : 2. Hvor stort vingespenn har sommerfuglen i virkeligheten?

Svalestjert

10

En blikkboks har form som en sylinder. Den er 25 cm høy, og radien i grunnflaten er 12 cm. Regn ut a) arealet av grunnflaten b) volumet av boksen c) overflaten av boksen

11

En tank har form som en sylinder. Radius i grunnflaten er 60 cm. Sara fyller 1350 liter vann i tanken. Hvor høyt opp i tanken sta˚r vannet?

Ma˚ling og beregninger

197


Ma˚ling og beregninger

Noe a˚ lure pa˚

198

1

Martin og Lotte sammenliknet to sylindrer. De var like høye, men den ene hadde en diameter i grunnflaten som var dobbelt sa˚ lang som diameteren i den andre. Hvor mye rommer disse sylindrene i forhold til hverandre?

2

Et kvadrat og en sirkel har like stort areal. Hanna mener at sirkelen har den største omkretsen. Herman mener at kvadratet har den største omkretsen. Hvem har rett?

3

Hvorfor er ma˚lestokken 1 : 100 000 mindre enn ma˚lestokken 1 : 50 000?

4

Hanna brettet sammen et A4-ark til en sylinder. Simen brettet ogsa˚ et A4-ark sammen til en sylinder, men han fikk en annen type sylinder enn Hanna. Har de to sylindrene like stort volum? Forklar hvordan du kom fram til svaret.


Oppsummering Ma˚lestokk Ma˚lestokken er et ma˚l for hvor stor en forstørring eller forminskning er. M = 20 : 1 betyr at 1 cm i virkeligheten svarer til 20 cm pa˚ tegningen. M = 1 : 10 betyr at 1 cm pa˚ tegningen svarer til 10 cm i virkeligheten. Vi finner ma˚lestokken til en forstørring ved a˚ dividere forstørringen med den virkelige lengden. Vi finner ma˚lestokken til en forminskning ved a˚ dividere den virkelige lengden med den ma˚lte lengden.

Volum og overflate av et prisme Vi finner volumet V av alle prismer ved a˚ multiplisere grunnflaten G med høyden h. V = Gh Overflaten av et rett firkantet prisme besta˚r av seks rektangler. Vi finner arealet av overflaten ved a˚ summere arealene av rektanglene.

Volum og overflate av en sylinder Vi finner volumet V av en sylinder ved a˚ multiplisere grunnflaten G med høyden h. V = Gh V = r 2  h Arealet A av overflaten til en sylinder er satt sammen av to like store sirkelflater og et rektangel. Arealet A av overflaten til en sylinder med radius r og høyde h er: A = 2r 2 + 2r  h

Ma˚ling og beregninger

199


Hm ...

y er en funksjon av x.

E = mc2


6 Funksjoner En funksjon viser hvordan en verdi forandrer seg pa˚ grunnlag av en annen verdi. Hvis 1 kg pærer koster 10 kr, koster 5 kg pærer 5  10 kr. Da er summen vi ma˚ betale for pærene, en funksjon av prisen per kg.

Ma˚l I dette kapitlet vi du fa˚ lære om . . . .

koordinatsystemet hvordan funksjoner kan beskrive praktiske situasjoner hvordan vi kan sette opp en funksjon pa˚ grunnlag av en tabell hvordan vi kan tegne en graf til en funksjon

Dette ma˚ jeg undersøke nærmere!


Koordinatsystemet

?

3 2 1 -4 -3 -2 -1

-1

1

2

3

-2 -3

Skatten befinner -4 seg i punktet (–3, 2).

Funksjoner

Hva mener sjørøveren med (–3, 2)?

202

Et koordinatsystem besta˚r av to akser, førsteaksen og andreaksen. førsteaksen er vannrett, og andreaksen er loddrett. Skjæringspunktet mellom aksene kaller vi for origo, eller nullpunktet. Vi kan beskrive alle punkter i koordinatsystemet ved hjelp av to koordinater, førstekoordinaten og andrekoordinaten.

Andreaksen 5 4 3 2 Andrekoordinaten 1 Førsteaksen -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 Førstekoordinaten -2 -3

Origo

-4 -5

Pa˚ sjørøverkartet ovenfor er førstekoordinaten –3, og andrekoordinaten 2. Skatten eller punktet kan vi beskrive ved hjelp av tallparet (–3, 2). Førstekoordinaten

Andrekoordinaten

(–3, 2)


Vi bestemmer koordinatene til punktet P slik:

5 4

Først ga˚r vi fra punktet og vinkelrett pa˚ førsteaksen. Vi leser av førstekoordinaten: –3

3 P

2 1

Sa˚ ga˚r vi fra punktet og vinkelrett pa˚ andreaksen. Vi leser av andrekoordinaten: 2

-5

-4

-3

-2

-1

2

3

4

5

-2 -3

Punktet P har koordinatene (–3, 2). Vi skriver: P(–3, 2)

-4 -5

Koordinatene til et punkt bestemmer altsa˚ hvor i koordinatsystemet punktet skal være. Vi kan derfor plassere et punkt i koordinatsystemet hvis vi kjenner koordinatene til punktet. Hvis vi skal tegne punktet A(4, 3), ga˚r vi loddrett opp fra tallet 4 pa˚ førsteaksen og vannrett til høyre fra tallet 3 pa˚ andreaksen. Punktet A ligger der de to linjene krysser hverandre.

1 -1

5 4 A

3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

Regel

Et koordinatsystem besta˚r av to akser som sta˚r vinkelrett pa˚ hverandre. Pa˚ førsteaksen finner vi førstekoordinaten og pa˚ andreaksen finner vi andrekoordinaten.

Funksjoner

203


Eksempel

Finn koordinatene til punktene A, B, C og D.

A 5 4 3 B 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 C -2 D

-3 -4 -5

Løsning

A(3, 5), B(--5, 2),

4 3 B

2 1

C(--2, --2), D(5, --3) -5

-4

-3

-2

Funksjoner

-1

1

2

3

4

5

-1

Husk! 1. koordinaten staË&#x161;r først i parentesen.

204

A

5

Punktene A, B, C og D har koordinatene

-2 C -3 D -4 -5


Eksempel

Tegn punktene A(3, 2) og B(–2, –5) i et koordinatsystem. Løsning 5 4 3 A 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

B

Oppgaver 6.1

Finn koordinatene til punktene.

5 4 3 2

P

1 R -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-1 S

-2

Q

-3 -4 -5

Funksjoner

205


6.2

a) Tegn et koordinatsystem og merk av disse punktene: A(–3, –2) B(2, –2) C(2, 2) D(–3, 2)

6.3

a) Finn koordinatene til punktene A, B, C og D. D

6 C

5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2 A

-1

1

2

3

4

5

6 B

-1 -2

Funksjoner

b) Tegn linjestykkene BD og AC. Hva er koordinatene til skjæringspunktet mellom disse linjestykkene?

206

6.4

Tegn et koordinatsystem og merk av punktene: A(1, 5), B(–5, 1), C(4, –3), D(–3, –4), E(7, 0) og F(0, 7).

6.5

a) Tegn et koordinatsystem og merk av punktene: A(0, 0), B(–2, 0), C(–2, –2) og D(0, –2). b) Tegn linjestykkene AB, BC, CD og DA. c) Hva slags firkant fa˚r du?

6.6

a) Tegn et koordinatsystem og merk av punktene: K(4, 4), L(–2, 4), M(–2, 0) og N(4, 0). b) Tegn firkanten KLMN. c) Tegn linjestykkene KM og LN. d) Finn koordinatene til skjæringspunktet S mellom KM og LN.

6.7

Merk av punktene (–4, –4) og (–2, 1) i et koordinatsystem. Tegn en linje gjennom punktene og forleng linjen slik at den skjærer andreaksen. Finn koordinatene til skjæringspunktet med andreaksen.


Formler og funksjoner

? Hvis jeg kjøper x antall epler, ma˚ jeg betale 5x kr.

Hva mener Sara egentlig? 1 eple koster 2 epler koster 3 epler koster x epler koster

1  5 kr = 5 kr 2  5 kr = 10 kr 3  5 kr = 15 kr x  5 kr = 5x kr

Hvis vi lar x sta˚ for antall kilogram og y sta˚ for prisen, kan vi skrive y = 5x Vi har na˚ funnet en formel for prisen. Vi sier at prisen y er en funksjon av antallet x, og at y er en funksjon av x gitt ved formelen y = 5x: y = 5x er et funksjonsuttrykk. Vi kan regne ut forskjellige verdier av y ved a˚ velge forskjellige verdier for x. Dette kan vi sette opp i en tabell:

x

5x

y

1

51

5

2

52

10

3

53

15

4

54

20

5

55

25

Funksjoner

207


Regel

y er en funksjon av x na˚r hver verdi av x gir e´n verdi av y.

Eksempel

Moren til Simen kjører bil med en fart pa˚ 70 km per time. a) Regn ut kjørelengden y i kilometer na˚r moren kjører i 2 timer, 3 timer og 4 timer. b) Finn en formel for kjørelengden y i kilometer na˚r hun kjører i x timer. c) Bruk formelen til a˚ regne ut kjørelengden na˚r hun kjører i 3,5 timer. Løsning a) y = 70  2 = 140 Na˚r hun kjører i 2 timer, er kjørelengden 140 km. y = 70  3 = 210 Na˚r hun kjører i 3 timer, er kjørelengden 210 km. y = 70  4 = 280 Na˚r hun kjører i 4 timer, er kjørelengden 280 km. b) Na˚r hun kjører x timer, er kjørelengden y i kilometer y = 70  x = 70x

Funksjoner

y = 70x

208

c) Na˚r hun kjører i 3,5 timer, er kjørelengden y = 70x = 70  3,5 = 245 Kjørelengden er 245 km n˚ar hun kjører i 3,5 timer.


Oppgaver 6.8

Hanna sykler 18 km per time. a) Hvor mange kilometer sykler hun pa˚ 3 timer? b) Hvor mange kilometer sykler hun pa˚ 4 timer? c) Finn en formel for kjørelengden y i kilometer na˚r hun sykler i x timer. d) Bruk formelen til a˚ regne ut kjørelengden na˚r hun sykler i 2,5 timer. e) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.

6.9

Pa˚ en bensinstasjon koster bensinen 12,50 kr per liter. a) Hvor mye koster 5 liter bensin? b) Finn en formel for prisen p i kroner na˚r Martin kjøper x liter bensin. c) Bruk formelen til a˚ regne ut prisen na˚r han kjøper 20 liter bensin. d) Forklar hvorfor p er en funksjon av x.

6.10 Formelen y = 0,35  x forteller hva Lotte ma˚ betale for x SMS-meldinger. Hvor mye ma˚ hun betale for a) 10 SMS-meldinger b) 30 SMS-meldinger c) Hva finner du ut hvis du setter x = 100 inn i formelen? d) Forklar hvorfor y er en funksjon av x. 6.11 Omkretsen O av en sirkel med diameter d finner vi ved hjelp av formelen O =   d: a) Regn ut omkretsen O av en sirkel na˚r diameteren d er 10 cm. Bruk  = 3,14 eller -tasten pa˚ kalkulatoren. b) Regn ut omkretsen O av en sirkel na˚r diameteren d er 15 cm. c) Forklar hvorfor omkretsen O er en funksjon av diameteren d.

d

Funksjoner

209


6.12 Formelen y = 70x forteller hvor mye det koster for x billetter pa˚ kino. a) Regn ut prisen y for billettene na˚r du kjøper 3 billetter. b) Lag en tabell som viser prisen for 1 billett, 2 billetter, ..., 6 billetter. c) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.

Funksjoner

6.13 Herman reiser med buss til byen for a˚ ga˚ pa˚ kino. Kinobillettene koster 70 kr per billett, og han betaler 40 kr for bussturen til og fra byen. a) Finn en formel for utgiftene u i kroner som Herman har na˚r han reiser til og fra byen og kjøper x kinobilletter. b) Regn ut hvor mye Herman ma˚ betale i alt na˚r han kjøper fem billetter.

210


Grafen til en funksjon

?

y = 15 . x

Hvordan kan x og y plasseres i koordinatsystemet?

Hvordan kan vi tegne grafen til en funksjon? Sara kjøper appelsiner i butikken for 15 kr per kilogram. Hvis prisen for x kilogram appelsiner er y kr, faË&#x161;r vi formelen y = 15  x Vi regner ut hvor mye det koster for 1 kg, 2 kg, . . ., 6 kg, og setter resultatet opp i en tabell: Antall kilogram (kg)

x

1

2

3

4

5

6

Pris (kr)

y

15

30

45

60

75

90

6  15 = 90

Funksjoner

211


Vi kan na˚ bruke tabellen til a˚ tegne en graf som viser sammenhengen mellom antall kilogram (x) og prisen (y).

y 100 90 80

Vi tegner av punktene (koordinatene): (1,15), (2,30), (3,45), (4,60), (5,75), og (6,90) der x er førstekoordinaten og y er andrekoordinaten. Hvis vi kjøper 2,5 kg, kan vi lese av pa˚ grafen at vi ma˚ betale 37,50 kr. Vi har framstilt funksjonen

70 60 50 40 30 20 10 0

y = 15  x grafisk:

1

2

Eksempel

Funksjoner

En kinobillett koster 80 kr. For x kinobilletter betaler Simen y kr. a) Skriv y som en funksjon av x. b) Framstill funksjonen grafisk.

212

Løsning a) Funksjonsuttrykket blir y = 80  x: b) Tabellen viser hvor mye kinobilletter koster.

3

4

5

6

7 x


x (antall kinobilletter)

0

1

2

3

4

5

6

y (pris i kr)

0

80

160

240

320

400

480

Pris (kr) 500

Husk at avstanden mellom enhetene pa˚ aksene ma˚ være like stor hele tiden!

400 300 200 100 0 0

1

2

3

4

5

6

Kinobilletter

Oppgaver 6.14 Hanna kjøper mandariner pa˚ tilbud til 12 kr per kilogram. a) Hvor mye ma˚ Hanna betale for 3 kg mandariner? b) For x kg mandariner betaler Hanna y kr. Forklar hvorfor y er en funksjon av x gitt ved formelen y = 12  x: c) Lag en tabell som viser hvor mye Hanna ma˚ betale for 1 kg, 2 kg, . . ., 5 kg mandariner. d) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall kilogram og prisen. La 1 cm pa˚ førsteaksen svare til 1 kg, og la 1 cm pa˚ andreaksen svare til 10 kr. 6.15 Familien til Lotte er pa˚ biltur. Gjennomsnittsfarten er 60 km/h. a) Hvor langt kjører familien pa˚ 2 timer? b) Pa˚ x timer kjører familien y km. Forklar hvorfor y er en funksjon av x gitt ved formelen y = 60x. c) Tegn en graf som viser kjørelengden. La 1 cm svare til 1 time pa˚ førsteaksen, og la 1 cm svare til 50 km pa˚ andreaksen. d) Bruk grafen til a˚ finne ut hvor langt de kjører pa˚ 2,5 timer. e) Hvor lang tid bruker familien pa˚ a˚ kjøre 210 km?

Funksjoner

213


6.16 Martin skal pa˚ ferie til Italia og kjøper euro i banken. Han betaler 8 kr for 1 euro.

Venezia i Italia

Funksjoner

a) Hvor mye betaler Martin for 10 euro? b) For x euro betaler Martin y kr. Forklar hvorfor y er en funksjon av x gitt ved formelen y = 8  x. c) Lag en tabell som viser hvor mye Martin ma˚ betale for 5, 10, 15, . . ., 50 euro. d) Tegn en graf som viser prisen pa˚ euro. Bruk grafen til a˚ finne ut e) hvor mye 22 euro koster f) hvor mange euro Martin fa˚r for 272 kr

214

6.17 Herman betaler 70 kr per ma˚ned for a˚ ha mobiltelefon. I tillegg betaler han 0,60 kr for hver SMS-melding han sender. La y være mobiltelefonutgiftene na˚r Herman sender x SMSmeldinger per ma˚ned. y er da en funksjon av x gitt ved formelen y = 0,60x + 70 a) Framstill funksjonen grafisk. La 1 cm svare til 100 SMS-meldinger pa˚ førsteaksen, og la 1 cm svare til 100 kr pa˚ andreaksen. b) Hvor mye ma˚ Herman betale na˚r han sender 300 SMS-meldinger? c) Hvor mange SMS-meldinger kan Herman sende for 220 kr?


Mer om funksjoner

?

y=2.x x –4 –2 –1 0 1 y –8 –4 –2 0 2

Hvordan blir grafen na˚r det er ba˚de negative og positive x-verdier? I matematikk arbeider vi ofte med funksjoner der de variable størrelsene er tall selv om tallene ikke har noen betydning i dagliglivet. Tallene kan være ba˚de negative og positive. En funksjon kan være y = 2  x. Vi setter inn forskjellige verdier for x og regner ut verdiene for y. Resultatet setter vi opp i en tabell. x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–8

–6

–4

–2

0

2

4

6

Vi fa˚r disse punktene: (–4, –8), (–3, –6), (–2, –4), (–1, –2), (0, 0), (1, 2), (2, 4) og (3, 6)

Funksjoner

215


Vi merker av punktene i et koordinatsystem: y 6 5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6 x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Vi ser at grafen til funksjonen y = 2  x er en rett linje. Uttrykket y = 2  x kaller vi likningen til linjen. Vi sier ofte bare linjen y = 2  x:

Funksjoner

Oppgaver

216

6.18 I funksjonen y = 3  x kan vi sette inn forskjellige verdier for x. a) Regn ut verdien av y na˚r x = –3, x = –2, x = –1, x = 0, x = 1 og x = 2, og fyll ut resten av tabellen. x

–3

–2

y

–9

–6

–1

0

1

2

b) Skriv opp koordinatene til punktene. c) Tegn grafen til funksjonen y = 3  x.


6.19 Herman skrev opp en funksjon slik: y = --2x

a) Skriv av og fyll ut resten av tabellen.

x

–2

–1

0

1

2

y 4 b) Skriv opp koordinatene til punktene. c) Tegn grafen til funksjonen y = –2x.

3

–4

6.20 Tegn grafen til funksjonen y = 1,5  x. Velg verdiene –3, –2, –1, 0, 1, 2 og 3 na˚r du skal regne ut verdier for y. 6.21 Tegn grafen til funksjonen y = 2x + 3. Velg selv passende verdier for x. 6.22 Finn funksjonsuttrykket til graf a og graf b.

y 8

6

a)

4

2

-4

-2

2

4 x

-2 b) -4

-6

Funksjoner

217


Prøv deg selv 1

Sara har hatt a˚tte matematikkprøver i løpet av a˚ret. Hun har laget en graf som viser hvilken karakter hun fikk pa˚ hver prøve. Karakter 6 5 4 3 2 1 0 1

2

3

4 5 Prøve nr.

6

7

8

Hvilken karakter fikk Sara pa˚ prøve a) nr. 2 b) nr. 7 Pa˚ hvilken eller hvilke prøver fikk hun c) karakteren 6 d) karakteren 4

2

Finn koordinatene til punktene A, B, C, D og E. 6 5

E

Funksjoner

A

218

4 3 2 D

1 B -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

-1 -2 -3

C

3

4

5

6


3

a) Tegn et koordinatsystem og merk av punktene A(1, 1), B(6, 1), C(6, 4) og D(1, 4). b) Tegn linjestykkene AB, BC, CD og DA. Hva slags firkant er ABCD? c) Tegn linjestykkene AC og BD. Hva er koordinatene til skjæringspunktet mellom disse linjestykkene?

4

Simen setter opp en tabell som viser hvor mye 1 kg, 2 kg, ..., 5 kg epler koster. Antall kilogram

1

2

3

4

5

Pris (kr)

18

36

54

72

90

a) Bruk tallene i tabellen til a˚ tegne en graf. La 1 cm svare til 1 kg pa˚ førsteaksen og 1 cm svare til 10 kr pa˚ andreaksen. b) Hvor mye koster 3,5 kg epler? c) Hvor mye epler fa˚r du for 81 kr? 5

Herman sykler i hastigheten 15 km per time. a) Hvor mange kilometer sykler han pa˚ 2 timer? b) Finn en formel for kjørelengden y na˚r han sykler x km. c) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.

6

Martin kjøper pærer til 16 kr per kilogram. a) Hvor mye betaler Martin for 2 kg pærer? b) For x kg pærer betaler han y kr. Forklar hvorfor y er en funksjon av x gitt ved formelen y = 16  x: c) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall kilogram og prisen. Velg selv enheter pa˚ aksene.

7

Vi har funksjonen y = 4  x. a) Regn ut verdien av y na˚r du setter inn x = –2, x = –1, x = 0, x = 1 og x = 2. b) Sett resultatene opp i en tabell. c) Tegn grafen til funksjonen y = 4  x.

Funksjoner

219


Noe a˚ lure pa˚ 1

Portoen pa˚ et brev er en funksjon av vekten pa˚ brevet, men vekten av et brev er ikke en funksjon av portoen pa˚ brevet.

Forklar hva læreren til Lotte mener. 2

Et mobiltelefonselskap lagde to grafer som viser forskjellige priser pa˚ mobilabonnement. Pris (kr)

600 500

Funksjoner

400

220

300 200 100 0 1

2

3

4

5

6

7

8 Ringetid (timer)

Forklar forskjellen pa˚ de to grafene.


3

Hvilke av utsagnene nedenfor er riktige? a) Den skatten vi ma˚ betale, er en funksjon av inntekten va˚r. b) Resultatene pa˚ en matematikkprøve er en funksjon av den tiden du bruker pa˚ prøven. c) Den tiden du bruker pa˚ a˚ løpe 60 m, er en funksjon av hvor mange timer du har trent. d) Herman sykler i 5 timer. Den strekningen han har syklet, er en funksjon av gjennomsnittsfarten.

4

Sara tegnet grafene til funksjonene y = 2x -- 1 og y = -- 2x + 3 i det samme koordinatsystemet. Hvordan kan Lotte finne koordinatene for skjæringspunktet ved hjelp av regning?

5

Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2  3) inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i e´n rad, e´n kolonne eller i e´n boks.

3 1

5 4 5

3 6

2

1 6 Sudoku

Funksjoner

221


Oppsummering Koordinatsystem Et koordinatsystem besta˚r av to akser, førsteaksen og andreaksen. Aksene sta˚r vinkelrett pa˚ hverandre. Aksene skjærer hverandre i origo. Andreaksen 5 4 A 3 2 1 Origo Førsteaksen -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5

Koordinater Alle punktene i et koordinatsystem er bestemt av et tallpar som vi kaller koordinatene til punktet. Vi finner førstekoordinaten pa˚ førsteaksen, og andrekoordinaten pa˚ andreaksen.

Funksjoner

Koordinatene til punktet A er (2, 3).

222

Funksjon En størrelse y er en funksjon av en annen størrelse x hvis det til hver verdi av x svarer e´n verdi av y. y er for eksempel en funksjon av x gitt ved formelen y = 70  x:


Grafen til en funksjon En graf viser sammenhengen mellom to variabler x og y. Na˚r vi lager grafen, velger vi verdier for x og regner ut verdier for y. De tallene vi velger, skal sta˚ langs førsteaksen. De tallene vi regner ut, skal sta˚ langs andreaksen. Vi kan tegne en graf pa˚ grunnlag av en likning eller funksjonsuttrykk: y = 2x Grafen til funksjonen y = 2x er en rett linje. Vi velger verdier for førstekoordinaten og setter opp en tabell. Sa˚ regner vi ut verdiene for andrekoordinatene og tegner grafen til likningen. x

2

3

4

y

4

6

8

8 7 6 5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2

Funksjoner

223


Lurer pa˚ hva vi kan kjøpe for denne steinøksa?

Kan dere betale med gull?


7 Kan vi handle pa˚ kreditt?

Økonomi Helt siden oldtiden har handel med varer vært en viktig del av dagliglivet va˚rt. Ved a˚ bytte varer med hverandre kunne alle fa˚ et større vareutvalg og øke sin egen velferd. Vikingene tok blant annet med seg jern og møllesteiner til Europa, og i bytte fikk de varer som de ikke hadde i nord.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . prosent og promille i praktiske situasjoner . rabatt (avslag) og merverdiavgift . avbetaling og renteberegning

Hm. Tar de ikke kort ...?


Prosent og promille

?

Det er derfor vi flyter.

Dødehavet inneholder 300 ‰ salt! Hvor mange prosent er det?

Hva er forskjellen pa˚ prosent og promille? Av og til bruker vi promille i stedet for prosent. Eksempel pa˚ det er na˚r vi ma˚ler hvor mye salt det er i havvann.

Økonomi

Promille betyr tusendeler, og symbolet for promille er ‰. Det vil si at 1 1‰= 1000

226

Vi regner med promille pa˚ samme ma˚te som vi regner med prosent. Slik gjør vi om promille til desimaltall: 15 = 0,015 15 ‰ = 1000

Husk! Prosent betyr hundredeler. 1 . 1 % = 100


Eksempel

I Middelhavet inneholder vannet ca. 38 ‰ salt. Hvor mye salt er det i 20 kg vann fra Middelhavet?

Dykking i Middelhavet

Løsning 38 ‰ =

38 = 0,038 1000

38 ‰ av 20 kg = 0; 038  20 kg = 0; 76 kg Det er 0,76 kg salt i 20 kg vann fra Middelhavet.

Oppgaver 7.1

7.2

Skriv som desimaltall. a) 15 ‰ b) 25 ‰

c) 45 ‰

d) 830 ‰

Skriv som desimaltall. a) 1,5 % b) 2,5 %

c) 4,5 %

d) 83 %

7.3

a) Sammenlikn svarene i oppgave 7.1 og oppgave 7.2. b) Skriv en regel ut fra det du finner ved sammenlikningen.

7.4

Regn ut. a) 15 ‰ av 200 g b) 25 ‰ av 1200 g c) 15 % av 2000 kr

d) 10 % av 200 kr e) 50 % av 200 g f) 830 ‰ av 200 g

Økonomi

227


7.5

I sjøvann er det enkelte steder 30 ‰ salt. Hvor mye salt er det i 20 kg av dette sjøvannet?

7.6

En sølvskje veier 25 g. Den inneholder 830 ‰ rent sølv. Hvor mange gram rent sølv er det i sølvskjeen?

7.7

Nysølv inneholder 625 ‰ kopper, 125 ‰ sink og 250 ‰ nikkel. Hvor mye sink er det i 1 kg nysølv?

Husk! 1 kg = 1000 g

˚ finne promillen A For a˚ finne ut hvor mange promille 15 er av 750, ma˚ vi dividere 15 med 750:

Økonomi

15 = 0,020 750

228

Ettersom 0,020 =

20 , sa˚ er 0,020 = 20 ‰. 1000


Eksempel

Det er ca. 10 g salt i 1 kg vann fra Østersjøen. Hvor mange promille salt inneholder vann fra Østersjøen? Løsning Vi gjør om vannmengden til gram: 1 kg = 1000 g 10 = 0,010 1000 Ettersom 0,010 =

10 , sa˚ er 0,010 = 10 ‰. 1000

Vann fra Østersjøen inneholder 10 ‰ salt.

Oppgaver 7.8

7.9

Skriv som promille. a) 0,036 b) 0,056

c) 0,075

d) 0,925

Skriv som prosent. a) 0,36 b) 0,56

c) 0,75

d) 9,25

7.10 Sara kokte 2 kg sjøvann i en kjele uten lokk. Etter kokingen var det 40 g salt igjen i kjelen. a) Hvor mange promille salt var det i dette sjøvannet? b) Hvor mange prosent salt var det i sjøvannet?

Økonomi

229


7.11 Dødehavet inneholder ca. 300 ‰ salt og Østersjøen ca. 10 ‰ salt. a) Hvor mange ganger mer salt er det i vannet i Dødehavet enn i vannet i Østersjøen? b) Martin fikk en vannprøve pa˚ 600 g. Han koker inn vannet og finner ut at det inneholder 21 g salt. Fra hvilket hav kommer vannprøven? Hav

Saltinnhold

Middelhavet

35 ‰

Nordsjøen

30 ‰

Østersjøen

10 ‰

Dødehavet

300 ‰

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

Økonomi

7.12 En bilfører ble stoppet i politikontroll. Det ble tatt blodprøve, og han hadde 10,8 g alkohol i blodet. Det var 1,8 ‰ av hele blodmengden i kroppen til bilføreren. Hvor mange kilogram blod hadde bilføreren i kroppen sin?

230


Merverdiavgift

?

Hva er forskjellen pa˚ inklusiv og eksklusiv?

Hva betyr ekskl. mva. og inkl. mva.? Vi betaler mange avgifter til staten. Eksempler pa˚ avgifter er – veiavgift – bensinavgift – alkoholavgift – merverdiavgift Vi betaler en merverdiavgift (mva.) pa˚ mange varer. Denne avgiften kaller vi i dagligtalen for moms. I 2006 var merverdiavgiften pa˚ de fleste varene 25 %. Pa˚ matvarer var merverdiavgiften 14 %. Hvis prisen pa˚ en vare er oppgitt uten merverdiavgift, ma˚ vi legge til merverdiavgiften for a˚ finne ut hvor mye vi skal betale.

Ekskl. betyr eksklusiv, og inkl. betyr inklusiv.

Pris uten merverdiavgift forkortes slik: Pris ekskl. mva. Pris med merverdiavgift forkortes slik: Pris inkl. mva.

Økonomi

231


Eksempel

Sara vil kjøpe et nytt skap til 1160 kr ekskl. mva. Hvor mye ma˚ Sara betale for skapet inkl. mva.? Merverdiavgiften er 25 %. Løsning Pris uten merverdiavgift: Merverdiavgift: 0,25  1160 kr Pris med merverdiavgift:

1160 kr + 290 kr = 1450 kr

Sara m˚a betale 1450 kr for skapet.

Oppgaver 7.13

Økonomi

Simen skal kjøpe et dekk til mopeden sin. Prisen er 300 kr. I tillegg kommer 25 % merverdiavgift. Hvor mye ma˚ Simen betale for dekket?

232

7.14 Lotte skal kjøpe matvarer til kantina pa˚ skolen. Regningen kommer pa˚ 1500 kr. I tillegg kommer 14 % merverdiavgift. Hvor mye ma˚ hun betale for varene? 7.15 Familien til Hanna kjøpte nye møbler for 15 000 kr ekskl. mva. Merverdiavgiften er 25 %. Hvor mye ma˚tte familien betale for møblene?


7.16 Martin vil bestille nye høyttalere fra et postordrefirma. Høyttalerne koster 2200 kr ekskl. mva. a) Hva blir prisen for høyttalerne inkl. 25 % mva? b) Firmaet beregner 3 % tillegg for frakt. Tillegget blir beregnet av prisen inkl. mva. Hvor mye ma˚ Martin betale i alt? 7.17 En ferietur til India koster 12 500 kr inkl. mva. Hvor mange kroner utgjør merverdiavgiften na˚r den er 25 %?

Taj Mahal i India

7.18 Familien til Lotte fikk dette tilbudet pa˚ oppussing av kjøkkenet: Materialer 4800 kr Arbeid 1200 kr Rabatt 15 % Alle priser er oppgitt ekskl. mva. Merverdiavgiften er 25 %. Hvor mye ma˚ familien betale for oppussingen?

Økonomi

233


Rabatt

?

Hm, hva ma˚ jeg betale for sekken?

Hva mener vi med rabatt? Noen ganger gir forretninger rabatt, det vil si avslag i prisen. Varene blir da billigere enn den opprinnelige prisen. Eksempel

Sara kjøper en jakke. Hun fa˚r 5 % rabatt. Jakka kostet opprinnelig 420 kr. Hvor mye ma˚ Sara betale for jakka? 5%=

Økonomi

Løsning

234

Jakka kostet: 5 % rabatt: 0,05  420 kr Ny pris:

420 kr -- 21 kr = 399 kr

Sara m˚a betale 399 kr for jakka.

5 = 0,05 100


Oppgaver 7.19 Simen kjøper et nytt stereoanlegg. Det koster egentlig 8500 kr, men han fa˚r 10 % rabatt. Hvor mye ma˚ Simen betale for stereoanlegget? 7.20 Butikken Trafikkspesialisten AS selger en moped med rabatt for 10 500 kr. Gammel pris er 12 000 kr. Hvor stor er rabatten i kroner?

7.21 Under høstsalget vil Filmhjørnet selge alle varene sine med 40 % rabatt. En stereobenk kostet opprinnelig 3200 kr. Hva blir prisen pa˚ benken na˚r rabatten er trukket fra? 7.22 En butikk har tilbud pa˚ olabukser. Bukser som koster mellom 500 kr og 800 kr, skal selges med 25 % rabatt. Resten er det 30 % avslag pa˚. Regn ut den nye prisen na˚r den gamle er a) 850 kr b) 600 kr c) 900 kr d) 750 kr 7.23 Martin skal kjøpe ny sykkel. Sykkelen koster egentlig 5000 kr, men han fa˚r 8 % kontantavslag. Hvor mye ma˚ Martin betale?

7.24 Faren til Lotte skal kjøpe ny bil. I prislisten sta˚r det at bilen koster 250 000 kr. Faren fa˚r tilbud om a˚ kjøpe bilen for 232 500 kr. a) Hvor mange kroner fa˚r faren til Lotte i rabatt? b) Hvor mange prosent fa˚r han i rabatt?

Økonomi

235


Tilbud Lurer pa˚ om det egentlig er sa˚ billig ...

? Hvordan kan vi vurdere hvor godt et tilbud er?

Vi ser ofte at det er forskjellige tilbud pa˚ varer, for eksempel – avslag (rabatt) i pris – kvantumsrabatt – det vil si at vi fa˚r avslag na˚r vi kjøper mye – utsalg Selv om et tilbud kan virke godt, er det lurt a˚ sammenlikne priser i forskjellige butikker. Hvor godt et tilbud er, avhenger blant annet av den opprinnelige prisen pa˚ varen. Det kan ogsa˚ komme utgifter til reise eller porto i tillegg hvis du ikke handler nær der du bor. Eksempel

Økonomi

Herman vil kjøpe en ny genser. Den koster 543 kr i nærbutikken og 515 kr pa˚ storsenteret. For a˚ komme til storsenteret ma˚ han ta buss som koster 18 kr hver vei. Hvor lønner det seg for Herman a˚ kjøpe genseren?

236

Løsning Pris i nærbutikken: Pris pa˚ storsenteret: Utgifter til buss: 2  18 kr Til sammen

543 kr 515 kr + 36 kr = 551 kr

Det lønner seg for Herman a˚ kjøpe genseren i nærbutikken.


Oppgaver 7.25 Hanna vil kjøpe et digitalkamera i byen til 1800 kr. Hun ma˚ ta bussen fram og tilbake. Det koster 60 kr. Hvor mye ma˚ Hanna betale i alt? 7.26 Martin skal kjøpe turutstyr i en nettbutikk. Utstyret koster 1350 kr. I tillegg kommer porto pa˚ 95 kr og oppkravsgebyr pa˚ 56 kr. Hvor mye ma˚ Martin betale for turutstyret? 7.27 Lotte kjøper nye jeans som koster 1250 kr. Hun fa˚r 250 kr i rabatt. a) Hvor mye ma˚ Lotte betale? b) Hvor mange prosent rabatt fa˚r hun? 7.28 Hanna skal bestille 30 bilder fra en fotoforretning pa˚ internett. Hvert bilde koster 2,95 kr. I tillegg kommer porto pa˚ 39 kr. Hvor mye ma˚ Hanna betale for bildene?

7.29 Herman handler brus pa˚ tilbud. Hvis han kjøper tre kasser brus, fa˚r han 50 % rabatt pa˚ den tredje kassen. En kasse brus koster 320 kr uten rabatt. Hvor mye ma˚ Herman betale for tre kasser brus?

Økonomi

237


7.30 Sara vil kjøpe ny DVD-spiller. a) Hvilket tilbud er best? b) Hvor mange prosent mer koster den dyreste spilleren enn den billigste spilleren? A

C

B

D

Ă&#x2DC;konomi

25

238


Renteregning

?

Vi kan gi deg 3 % p.a. i rente.

Hva betyr 3 % p.a.? Hvis vi har penger i banken, fa˚r vi renter av pengene. Renter er penger som blir lagt til det beløpet vi har i banken. Renter regnes vanligvis som en bestemt prosent av pengene va˚re. 3 % rente p.a. betyr 3 % rente per a˚r. Vi sier at rentefoten er 3. Husk! p.a. betyr per a˚r.

Økonomi

239


Eksempel

Martin setter 5000 kr i banken. Banken gir 3,0 % p.a. i renter. Hvor mye fa˚r han i renter etter ett a˚r? Løsning 3%=

3 = 0,03 100

3 % av 5000 kr = 0,03  5000 kr = 150 kr Martin f˚ar 150 kr i renter p˚a ett a˚ r.

Oppgaver 7.31 Lotte har 5000 kr i banken. Banken gir henne 2 % p.a. i renter. Hvor mye fa˚r Lotte i renter etter ett a˚r?

Økonomi

7.32

240

Herman setter 10 000 kr i banken. Han fa˚r 4 % rente p.a. av pengene sine. Etter ett a˚r tar han ut pengene med renter. Hvor mye kan Herman ta ut av banken? 7.33 Sara har 8000 kr i banken. Etter ett a˚r fa˚r hun 240 kr i renter. Hvor mange prosent av beløpet har banken gitt Hanna i renter? ˚ nesen skylder et kredittselskap 12 000 kr. Etter ett a˚r ma˚ han betale 7.34 L. A alt tilbake. Men selskapet forlanger 22 % rente p.a. ˚ nesen betale i renter? a) Hvor mye ma˚ L. A b) Hvor mye ma˚ han betale i alt?


7.35 Familien til Hanna la˚ner 150 000 kr til bil.

De ma˚ betale 6 % rente p.a. a) Hvor mye ma˚ familien betale i renter det første a˚ret? b) Det første a˚ret betaler familien 39 000 kr i renter og avdrag. Hvor stort er restla˚net da? c) Hvor mye ma˚ familien betale i renter det andre a˚ret?

Rentedager Det er sjelden at penger sta˚r i banken i nøyaktig ett a˚r. Noen ganger sta˚r pengene i banken mer enn ett a˚r, andre ganger i mindre enn ett a˚r. Hvor mye fa˚r jeg i renter fra 4. juli til 15. desember?

Økonomi

241


Vi regner at et rentea˚r er 365 rentedager. Da ser vi bort fra de a˚rene det er skudda˚r. Eksempel

Regn ut rentedagene fra 4. juli til 15. desember.

Økonomi

Løsning Na˚r vi skal regne ut rentedagene fra 4. juli til 15. desember, tar vi ikke med 4. juli, men vi tar med 15. desember.

242

Juli: (fra 4. juli) August: September: Oktober: November: Desember (til og med 15. desember): Til sammen: =

27 31 30 31 30 15 164

dager dager dager dager dager dager dager

Det er 164 rentedager fra 4. juli til 15. desember samme a˚ r.


Oppgaver 7.36 Regn ut rentedagene fra 6. mars til 12. september. 7.37 Lotte satte penger i banken 14. januar. Hun tok dem ut 28. november. Hvor mange dager hadde pengene sta˚tt i banken? 7.38 Herman la˚ner penger i banken 23. februar. Han betaler la˚net tilbake 10. desember. Hvor mange dager ma˚ Herman betale renter for? Dette løser jeg lett med regneark ...

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

7.39 Sara setter inn 1800 kr i banken 10. januar. Hun vil bruke pengene til a˚ kjøpe julepresanger. Hun tar derfor ut pengene 2. desember. Hvor mange dager fa˚r hun renter for? 7.40 Simen setter penger i banken 28. april. Han tar ut pengene seinere pa˚ a˚ret. Banken regner ut at han har hatt pengene sta˚ende i 205 dager. Pa˚ hvilken dato tar Simen ut pengene?

Økonomi

243


Rente for deler av et a˚r Vi kan regne ut rente for en del av et a˚r ved a˚ dividere a˚rsrenten pa˚ 365 dager og multiplisere med riktig antall dager. Hanna har spart 1800 kr. Banken gir henne 3 % rente p.a. 3%=

3 100

Jeg har spart i 200 dager.

Rentene for ett a˚r er dermed 0,03  1800 kr = 54 kr For e´n dag vil Hanna fa˚ i renter: 54 kr = 0,1479 365 Hvis Hanna har pengene sta˚ende i banken i 200 dager, vil hun fa˚ i renter: 200  0,1479 kr = 29,58 kr Eksempel

Martin hadde 2500 kr sta˚ende i banken fra 4. mai til 15. september. Banken ga 2 % rente p.a. Hvor mange kroner fikk Martin i renter i denne perioden? Løsning Fra 4. mai til 15. september er det 134 rentedager (27 + 30 + 31 + 31 + 15). 2%=

2 100

Rentene for ett a˚r er: 0,02  2500 kr = 50 kr Rentene for e´n dag er:

50 kr = 0,1370 kr 365

Økonomi

Rentene for 134 dager er: 134  0,1370 kr = 18,36 kr

244

Martin fikk 18,36 kr i renter.

Vi kan ogsa˚ løse oppgaven i eksempelet slik: 0,02  2500 kr  134 = 18,36 kr 365 Martin fikk 18,36 kr i renter.


Oppgaver 7.41 Lotte setter 5000 kr i banken til 2 % p.a. i rente. Pengene sta˚r i banken i 230 dager. Da tar hun ut pengene med renter. Hvor mye fa˚r Lotte a) i renter for e´n dag b) i renter for 230 dager c) utbetalt 7.42 Fetteren til Herman selger bilen sin for 54 000 kr. Han setter pengene i banken til 3 % rente.

Etter 120 dager tar han ut pengene med renter. Hvor mye fa˚r fetteren til Herman a) i renter b) utbetalt 7.43 Familien til Sara la˚ner 500 000 kr 5. mai. De ma˚ betale 5 % rente p.a., og de betaler renter pa˚ la˚net til og med 31. desember. a) Hvor mange rentedager er det fra 5. mai til 31. desember? b) Hvor mye ma˚ familien betale i renter? 7.44 Moren til Simen arvet mye penger. Hun fikk 1 200 000 kr 4. mars. Hun satte pengene i banken til 3 % rente p.a. 24. juni tok hun ut 900 000 kr i forbindelse med et huskjøp. 15. oktober tok hun ut resten. Hvor mye kunne hun ta ut av banken 15. oktober?

Økonomi

245


Avbetaling

?

Hm. Avbetaling er dyrere ...

Hva vil det si a˚ kjøpe noe pa˚ avbetaling? Na˚r vi kjøper varer pa˚ avbetaling, betaler vi ikke varene med en gang vi fa˚r dem. – Vi kan betale noe med en gang (kontant betaling) og resten i like store beløp hver ma˚ned inntil alt er betalt. – Vi kan fa˚ varene uten a˚ betale noe. Etter en tid ma˚ du betale alt eller begynne a˚ betale et beløp hver ma˚ned inntil alt er betalt. – Vi kan bruke kredittkort. Da er det vanlig a˚ fa˚ regning hver ma˚ned.

Økonomi

Vi ma˚ huske pa˚ at alle slike ordninger fører til et pristillegg, og at noen ordninger er ganske dyre.

246


Eksempel

Onkelen til Hanna bruker kredittkort. Han skal betale 2200 kr om e´n ma˚ned. Renten er 1,8 % per ma˚ned. Hvor stor blir regningen om e´n ma˚ned? Løsning 1,8 % =

1,8 = 0,018 100

Restbeløpet: Rentetillegg: 0,018  2200 kr Regningen lyder pa˚ etter en ma˚ned:

2200,00 kr + 39,60 kr = 2239,60 kr

Regningen blir p˚a 2239,60 kr.

Oppgaver 7.45 Martin kjøper nytt stereoanlegg til 10 000 kr. Han betaler 2500 kr kontant. Resten betaler han over ett a˚r med ma˚nedlige beløp pa˚ 700 kr. Hvor mye betaler Martin i alt for stereoanlegget?

7.46 Familien til Lotte skal kjøpe ny vaskemaskin som koster 7200 kr. De betaler 2500 kr kontant. Resten betaler de i 12 ma˚nedlige avdrag pa˚ 430 kr. a) Hvor mye ma˚ familien betale i alt i avdrag de 12 ma˚nedene? b) Hvor stort blir pristillegget fordi familien kjøper vaskemaskinen pa˚ avbetaling?

Økonomi

247


7.47 Herman fa˚r tilbud om a˚ kjøpe ny MP3-spiller: Pris kontant: 3500 kr Pris betaling etter 3 ma˚neder: 3500 kr med et rentetillegg pa˚ 6 % Hvor mye ma˚ Herman betale etter 3 ma˚neder? 7.48 Sara kjøper nyeste modell av mobiltelefon. Den koster 3600 kr. Hun betaler 25 % av prisen kontant. Resten ma˚ hun betale over 3 ma˚neder med 940 kr i avdrag hver ma˚ned. a) Hvor mye betaler Sara pa˚ de tre ma˚nedene? b) Hvor mye kommer mobiltelefonen pa˚ i alt?

Økonomi

7.49 Kameraten til Simen fa˚r tilbud pa˚ en moped. Den koster 12 000 kr. Han kan betale 35 % av prisen kontant. Resten ma˚ han betale over 12 ma˚neder med 700 kr hver ma˚ned. Hvor mange prosent dyrere blir mopeden hvis han kjøper den pa˚ avbetaling, enn hvis han betaler med en gang?

248


Prøv deg selv 1

Hva vil det si at en forretning gir rabatt?

2

Prisen pa˚ en bukse er 1200 kr. Lotte fa˚r 300 kr i rabatt. Hvor mye betaler Lotte for buksa?

3

En sportsbutikk gir Herman 20 % rabatt pa˚ en treningsdress som koster 2000 kr. Hvor mye fa˚r Herman i rabatt?

4

Sara vil kjøpe en brukt moped som koster 8000 kr. Hun fa˚r 5 % rabatt. a) Hvor mye fa˚r Sara i rabatt? b) Hvor mye ma˚ Sara betale for mopeden?

5

I butikken er et par sko satt ned fra 1200 kr til 900 kr.

Med hvor mange a) kroner er skoene satt ned b) prosent er de satt ned 6

Merverdiavgift forkortes ofte mva. Hva betyr det na˚r prisene er oppgitt a) ekskl. mva. b) inkl. mva.

Økonomi

249


Økonomi 250

7

Skolen til Simen skal kjøpe inn nye kantinemøbler for 12 000 kr ekskl. mva. Merverdiavgiften er 25 %. a) Regn ut merverdiavgiften. b) Hvor mye ma˚ skolen betale for møblene?

8

Hanna vil bestille varer pa˚ internett. Prisene i prislisten er oppgitt ekskl. mva. Varene koster 800 kr. Merverdiavgiften er 25 %. I tillegg kommer utgifter til frakt pa˚ 130 kr. Hvor mye ma˚ Hanna betale i alt?

9

Fru Nilsen kjøper ny oppvaskmaskin pa˚ avbetaling. Hun betaler 2000 kr kontant. Resten betaler hun i seks ma˚nedlige avdrag pa˚ 500 kr. Hvor mye betaler hun i alt?

10

Martin har lyst pa˚ et nytt stereoanlegg som koster 8000 kr. Han kan betale 2000 kr med en gang. Butikken regner et rentetillegg av restbeløpet pa˚ 15 %. a) Hvor stort er restbeløpet? b) Regn ut rentetillegget. c) Hvor mye ma˚ Martin betale i alt for stereoanlegget?

11

Hva betyr det at renten er 4 % p.a.?

12

Regn ut rentene av 5000 kr i ett a˚r na˚r rentefoten er a) 2 b) 3 c) 4,5

13

Lotte hadde 1200 kr i banken ved begynnelsen av a˚ret. Banken gav 3 % p.a. i rente. a) Hvor mye fikk Lotte i renter for ett a˚r? b) Regn ut rentene for 200 dager.

14

Herman satte 2500 kr i banken den 3. juni. Han tok ut pengene den 25. november samme a˚r. Banken gav 2 % rente p.a. Hvor mye kunne Herman ta ut av banken den 25. november?


Noe a˚ lure pa˚ 1

Arkimedes (287 f.Kr.–212 f.Kr.) var ikke bare antikkens fremste matematiker, men ogsa˚ en av de største naturforskere som har levd. Forklar ved hjelp av Arkimedes’ lov at vi flyter lettere i Dødehavet enn i Atlanterhavet.

Rekreasjon i Dødehavet

2

1. februar ble prisen pa˚ noen varer satt opp med 5 %. Etter noen ma˚neder ble prisen pa˚ de samme varene satt ned med 5 %. Da ma˚ prisen pa˚ varene være lik det den var før 1. februar.

Nei, jeg tror ikke det er riktig.

Hva mener du?

Økonomi

251


3

4

I en butikk koster to liter melk og ett brød 28 kr, mens fire liter melk og tre brød koster 67 kr. Hvor mye koster e´n liter melk og ett brød? Hvordan blir prisen hvis vi ma˚ betale merverdiavgift, men samtidig fa˚r rabatt?

Jeg tror det er to ma˚ter a˚ regne pa˚ ...

A (Pris ekskl. mva. + mva.) – rabatt B (Pris ekskl. mva. – rabatt) + mva. Hva er riktig? Blir det noen forskjell?

Økonomi

5

252

En kafe´ selger rundstykker med pa˚legg til 23 kr, 26 kr, 29 kr og 31 kr. Er det mulig a˚ kjøpe fire rundstykker som til sammen koster nøyaktig 100 kr?


Oppsummering Promille Vi regner med promille pa˚ samme ma˚te som vi regner med prosent. 5‰ =

5 = 0,005 1000

5 ‰ av 12 000 kr er 0,005  12 000 kr = 60 kr

Merverdiavgift Pa˚ de fleste varer og tjenester ma˚ vi betale merverdiavgift (mva.). Merverdiavgift blir ofte kalt moms. I 2006 var avgiften 25 % pa˚ de fleste varene. Pa˚ matvarer var avgiften 14 %. Ekskl. mva. betyr at prisen er oppgitt uten merverdiavgift. Inkl. mva. betyr at prisen er oppgitt med merverdiavgift.

Rabatt Rabatt er avslag i pris. Det betyr at en vare blir solgt for en lavere pris enn den opprinnelige. Rabatten blir ofte gitt i prosent.

Rente Banken betaler oss renter na˚r vi har penger i banken. Pa˚ samme ma˚te betaler vi renter til banken na˚r vi la˚ner penger der. Vi finner rentene for ett a˚r ved a˚ multiplisere renten i prosent med kapitalen. Kapitalen er 5000 kr. Renten er 3 % p.a. Rentene for ett a˚r er 0,03  5000 kr = 150 kr Rentedager regner vi ut ved a˚ telle dager pa˚ kalenderen. Rentene for e´n dag er Rente for ett a˚ r 365 Rente for 120 dager er: Rente for e´n dag  120

Avbetaling Na˚r vi kjøper noe pa˚ avbetaling, betaler vi bare en viss del kontant (med e´n gang). Resten betaler vi etter hvert, men da ofte med ganske store rentetillegg.

Økonomi

253


Digital manual Innhold Kalkulatoren................................ 255 De vanligste funksjonene ............ 255 Flere regnearter pa˚ en gang ....... 255 Prosent ......................................... 256 Kvadratrot .................................... 256 Minne ........................................... 257

Digital manual

Regneark ..................................... 258 Hva er et regneark? ..................... 258 Legge inn tall eller tekst i en celle..................................258 Merke enkeltceller........................258 Merke et omra˚de .........................259 Merke en rad................................259 Merke en kolonne........................259 Justere kolonnebredde ................260 Legge til eller fjerne en kolonne ..............................260 Legge til eller fjerne en rad ........261 Sla˚ sammen celler........................262 Formler .........................................262

254

Oppgavebok

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

Statistikk .......................................265 Formelvisning...............................266 Formatere celler...........................268 Kopiere eller flytte innholdet i en celle..................................269 Justere antall desimaler ...............270 Sortere data .................................270 Kopiere en formel til flere celler etter hverandre .............271 Summere flere celler etter hverandre .......................271 La˚se innholdet i en formel til e´n celle ...............................272 Stolpe- og søylediagram .............272 Linjediagram ................................275 Sektordiagram..............................279 Grafen til funksjonen y = ax ......................................282 Vise trendlinje og formel til en funksjon...................................286

Du finner øvingsoppgaver til den digitale manualen i oppgaveboka.


Kalkulatoren De vanligste funksjonene Det finnes mange typer kalkulatorer. De kan virke pa˚ forskjellig ma˚te. Sjekk bruksanvisningen for a˚ se hvordan din kalkulator fungerer. De vanligste funksjonene er: Addisjon Subtraksjon Multiplikasjon Divisjon Desimaltegn Tastene som sletter tallene i kalkulatorvinduet, kan se slik ut: CE

AC

Bokstaven C sta˚r for det engelske ordet «clear».

Flere regnearter pa˚ en gang Hvis det er flere regnearter i samme oppgave, ma˚ vi multiplisere og dividere før vi adderer eller subtraherer. Eksempel

Regn ut: 34 + 56  45

Kontroller svaret ved a˚ gjøre overslag.

Løsning

Kalkulatoren viser svaret 2554.

Hvis det er større uttrykk, bruker vi minnefunksjonen eller regner i flere operasjoner.

Digital manual

255


Prosent Kalkulatoren kan hjelpe deg med aË&#x161; finne prosenten av et tall. Da bruker du prosentknappen. Prosentknappen Eksempel

Regn ut: 30 % av 450 Løsning

Kalkulatoren viser svaret 135.

Kvadratrot Hvis du skal finne kvadratroten av et tall paË&#x161; kalkulatoren, kan du bruke kvadratrotknappen. Kvadratrotknappen Eksempel

Regn ut kvadratroten av 64.

Digital manual

Løsning

256

Kalkulatoren viser svaret 8.


Minne Kalkulatoren har minnefunksjon. Minnefunksjonen gjør at kalkulatoren husker et tall samtidig som vi regner ut noe annet. Legger til noe i minnet Trekker fra noe i minnet MR

eller

RM

Henter fram det du har i minnet (Recall memory)

MC

eller

CM

Sletter minnet (Clear memory)

Husk a˚ slette minnet før du bruker kalkulatoren pa˚ en ny oppgave. Eksempel

Regn ut: 8  9 + 6  7 Løsning RM

Kalkulatoren viser svaret 114.

Eksempel

Regn ut: 7  6 -- 3  6 Løsning RM

Kalkulatoren viser svaret 24.

Eksempel

Regn ut: 9 – 7  6 + 9 : 4 Løsning RM

Kalkulatoren viser svaret --30,75:

Digital manual

257


Regneark Hva er et regneark? Vi bruker regneark til a˚ sortere data, gjøre beregninger og lage diagrammer. I denne manualen finner du veiledning til hvordan du kan bruke regneark. Et regneark besta˚r av celler som er ordnet i rader og kolonner. Vi navngir de loddrette kolonnene med bokstaver og de vannrette radene med tall. Hver celle har navn etter kolonnen og raden den sta˚r i. I cellene kan du skrive tall, tekst eller formler. Vi bruker en formel na˚r vi vil gjøre en utregning fra to eller flere celler.

Legge inn tall eller tekst i en celle Eksempel

Skriv teksten «Ukelønn» i celle A1 (kolonne A, rad 1) og 60 i celle B1 (kolonne B, rad 1). Løsning

Digital manual

Merke enkeltceller

258

Merk cellene A3 og B2. Løsning Hold kontrollknappen (Ctrl) nede hele tiden og venstreklikk i cellene A3 og B2.


Merke et omra˚de Eksempel

Merk omra˚det fra B1 til C2. Løsning Venstreklikk i celle B1. Hold venstre musetast nede, før musepekeren diagonalt fram til celle C2 og slipp.

Merke en rad Eksempel

Merk rad 2. Løsning Venstreklikk pa˚ radnummer 2.

Merke en kolonne Eksempel

Merk kolonne B. Løsning Venstreklikk pa˚ kolonnebokstav B.

Digital manual

259


Justere kolonnebredde Eksempel

Juster bredden til kolonne B. Løsning Merk kolonne B. Før musepekeren over «grensen» til neste kolonne til symbolet kommer fram. Hold venstre museknapp nede, dra til ønsket kolonnebredde og slipp. er framme, og kolonnen vil Du kan ogsa˚ dobbeltklikke na˚r tegnet tilpasse seg automatisk til det som er skrevet i kolonnen.

Legge til eller fjerne en kolonne Eksempel

Legg til en kolonne før kolonne B.

Digital manual

Løsning Før musepekeren over kolonnebokstav B og høyreklikk. Velg «Sett inn» eller «Slett».

260


Legge til eller fjerne en rad Eksempel

Legg til en rad over rad 2. Løsning Før musepekeren over radnummer 2 og høyreklikk. Velg «Sett inn» eller «Slett».

Høyreklikk på radnummeret

Digital manual

261


Sla˚ sammen celler Eksempel

Sla˚ sammen cellene B2 og C2. Løsning Merk cellene B2 og C2. Trykk pa˚ symbolet .

Formler

Digital manual

Flytt musepekeren til ønsket celle og venstreklikk. Skriv tegnet «=» og deretter formelen.

262

Alle formler ma˚ begynne med tegnet «=». Bruk disse symbolene for de fire regneartene: + Addisjon – Subtraksjon * Multiplikasjon / Divisjon


Addisjon Eksempel

Lag en formel i celle C1 som regner ut summen av celle A1 og celle B1. Løsning

Subtraksjon Eksempel

Lag en formel I celle C1 som regner ut differansen mellom celle A1 og celle B1. Løsning

Multiplikasjon Eksempel

Lag en formel i celle C1 som regner ut produktet av celle A1 og celle B1. Løsning

Digital manual

263


Divisjon Eksempel

Lag en formel i celle C1 som dividerer celle A1 med celle B1. Løsning

Potenser Eksempel

Lag en formel i celle C1 som regner ut potensen med celle A2 som grunntall og celle B2 som eksponent. Løsning

Kvadratrot

Digital manual

Eksempel

264

Lag en formel i celle B1 som regner ut kvadratroten av celle A1. Løsning


Statistikk Gjennomsnitt Eksempel

Lag en formel i celle A7 som regner ut gjennomsnittet av verdiene fra celle A1 til celle A6. Løsning

Median Eksempel

Lag en formel i celle A7 som finner medianen av verdiene fra celle A1 til celle A6. Løsning

Digital manual

265


Typetall Eksempel

Lag en formel i celle A7 som finner typetallet til verdiene fra celle A1 til celle A6. Løsning Legg merke til at formelen for typetall heter MODUS. Du kan ogsa˚ bruke «Ctrl + j».

Hvis ingen av verdiene i en undersøkelse er like, finner ikke regnearket typetall.

Formelvisning Eksempel

Digital manual

Et fotballag skal kjøpe inn drakter og fotballer til neste sesong. De fører opp utgiftene i et regneark og setter inn formler som regner ut hvor mye utstyret koster til sammen. Sett opp regnearket og vis formlene.

266

Løsning Skriv inn dataene i et regneark.


Vis formlene i regnearket ved a˚ klikke pa˚ symbolet for «Vis formler», eller velg fanen «Formler» og deretter «Vis formler».

Vi fa˚r denne visningen:

Merk at alle cellene utvider seg like mye. Det kan derfor være nødvendig a˚ justere kolonnebreddene slik at alle formlene vises i skjermbildet. Det kan ogsa˚ være nødvendig a˚ justere kolonnebreddene for a˚ fa˚ til en pen utskrift.

Digital manual

267


Formatere celler Vi kan spesialtilpasse alle celler i regnearket til for eksempel dato, klokkeslett, prosent, antall desimaler og tekst. Det gjør vi ved a˚ merke cellene vi vil formatere og velge spesialfunksjoner for disse. Eksempel

Formater celle A3 slik at den viser tall med to desimaler.

Digital manual

Løsning Høyreklikk i celle A3. Velg «Formater celler» og «Tall». Sett antall desimaler til 2.

268

Det ga˚r an a˚ formatere et omra˚de, kolonner, rader eller hele regnearket.


Kopiere eller flytte innholdet i en celle Eksempel

Kopiere eller flytte innholdet i celle B2 til celle D2. Løsning Høyreklikk i celle B2. Velg «Kopier» eller «Klipp ut». Flytt musepekeren til celle D2 og høyreklikk. Velg «Lim inn».

Digital manual

269


Justere antall desimaler Eksempel

Skriv tallet 4,5678 i celle B2 og juster til to desimaler. Løsning Merk celle B2. Klikk pa˚ symbolet for reduksjon av antall desimaler to desimaler.

til tallet har fa˚tt

Sortere data Eksempel

Digital manual

Sorter tallene 12, 8, 3 og 6 i synkende eller stigende rekkefølge.

270

Løsning Skriv inn tallene under hverandre i kolonne A. Merk kolonnen. Klikk pa˚ «Sorter og filtrer» og velg stigende eller synkende rekkefølge.


Kopiere en formel til flere celler etter hverandre Eksempel

Lag en oppstilling som viser hva det koster a˚ kjøpe de enkelte varesortene nedenfor. 2 brus til 15,90 kr per stk. 2 liter melk til 8,90 kr per liter 3 brød til 14,90 kr per stk. Løsning Skriv inn tekst og tall i regnearket. Skriv inn formelen «=B2*C2» i celle D2. Før musepekeren over nederste høyre hjørne i cellen slik at et plusstegn vises. Hold venstre museknapp inne og dra musepekeren ned over celle D3 og D4.

Summere flere celler etter hverandre Eksempel

Summer prisen pa˚ alle varene i eksempelet ovenfor. Løsning Skriv inn teksten «Sum» i celle C5. Skriv inn formelen «=SUMMER(D2:D4)» i celle D5 og trykk «Enter».

Digital manual

271


Vi kan ogsa˚ summere alle cellene ved a˚ klikke pa˚ dette symbolet: 

La˚se innholdet i en formel til e´n celle Eksempel

La˚s innholdet i celle B1 i formelen A1*B1 og vis svaret i celle C1.

Digital manual

Løsning Vi la˚ser innholdet i en formel til e´n celle ved a˚ skrive symbolet $ før kolonnebokstaven og radnummeret.

272

Stolpe- og søylediagram Merk at Excel ikke skiller mellom stolpe- og søylediagram. Hvis dataene pa˚ førsteaksen er tall, ma˚ du skrive et apostroftegn foran tallene i regnearket. Da oppfatter regnearket tallene som tekst, og diagrammet blir riktig. For eksempel: ‘143 I regnearket vises dette slik:

143


Eksempel

Hanna fa˚r 100 kr i ukepenger, Lotte 150 kr, Simen 80 kr og Herman 130 kr. Vis fordelingen i et søylediagram. Løsning Skriv dataene inn i regnearket og merk omra˚det som skal vises i diagrammet.

Velg fanen «Sett inn», «Diagrammer», «Stolpediagram» og undertype.

Digital manual

273


Vi fa˚r denne visningen:

Digital manual

Merk diagrammet, velg fanen «Oppsett», «Diagramtittel»/«Aksetitler» og undertyper.

274


Legg inn titler pa˚ diagrammet og benevning/navn pa˚ aksene.

Velg om du vil lagre eller skrive ut diagrammet.

Linjediagram Hvis dataene pa˚ førsteaksen er tall, ma˚ du skrive et apostroftegn foran tallene i regnearket. Da oppfatter regnearket tallene som tekst, og diagrammet blir riktig. For eksempel: ‘24 I regnearket vises dette slik:

24

Digital manual

275


Eksempel

Vis disse temperaturma˚lingene i et linjediagram: Mandag: Tirsdag: Onsdag: Torsdag: Fredag:

10 14 18 25 17



C C  C  C  C 

Løsning Skriv dataene inn i regnearket og merk omra˚det som skal vises i diagrammet.

Digital manual

Velg fanen «Sett inn», «Diagrammer», «Linjediagram» og undertype.

276


Vi fa˚r denne visningen:

Merk diagrammet, velg fanen «Oppsett», «Diagramtittel»/«Aksetitler» og undertyper.

Digital manual

277


Legg inn titler paË&#x161; diagrammet og benevning/navn paË&#x161; aksene.

Digital manual

Velg om du vil lagre eller skrive ut diagrammet.

278


Sektordiagram Eksempel

Simen har spurt elevene pa˚ skolen sin om de syns det er for mye sport pa˚ TV. Her ser du resultatet av undersøkelsen:

Ja 100 Nei 150 Vet ikke 80

Lag et sektordiagram. Løsning Skriv inn dataene i regnearket og merk omra˚det du vil vise i diagrammet.

Digital manual

279


Velg fanen «Sett inn», «Diagrammer», «Sektordiagram» og undertype.

Digital manual

Vi fa˚r denne visningen:

280


Merk diagrammet, velg fanen «Oppsett», «Diagramtittel» og undertype.

Vi fa˚r denne visningen:

Digital manual

281


Grafen til funksjonen y = ax Eksempel

Sara har sommerjobb i et gartneri. Hun tjener 70 kr per time.

Digital manual

Vis lønnen til Sara uttrykt ved funksjonsutrykket y = 70x som en graf.

282

Løsning Bruk funksjonsuttrykket y = ax, der a = 70, og la celle A1 uttrykke timelønnen. Skriv a (timelønn) i celle A1, x (antall timer) i celle B1 og y (full lønn) i celle C1. Skriv verdien 70 for a i celle A2. Skriv verdiene 0, 2, 4, 6 og 8 for x i cellene fra B2 til B6. Skriv formelen =$A$2*B2 for y i celle C2. Symbolet «$» la˚ser innholdet til e´n celle.


Kopier formelen i celle C2 fra C2 til C6. (Merk celle C2 og før musepekeren over nederste høyre hjørne i cellen slik at et plusstegn vises. Hold venstre museknapp inne, og dra musepekeren nedover til celle C6.) a = timelønn x = timer y = full lønn

Merk verdiene for x og y.

Velg fanen «Sett inn», «Diagrammer», «Punktdiagram» og undertype med utjevnede linjer.

Digital manual

283


Vi fa˚r denne visningen:

Digital manual

Merk diagrammet, velg fanen «Oppsett», «Diagramtittel»/«Aksetitler» og undertyper.

284


Legg inn titler paË&#x161; diagrammet og aksene.

Digital manual

285


Vise trendlinje og formel til en funksjon Eksempel

Vis trendlinje og formel til funksjonen y = 70x.

Digital manual

Løsning Merk grafen og høyreklikk. Velg «Formater trendlinje».

286


Kryss av for «Vis formel i diagrammet».

Vi fa˚r denne visningen:

Na˚ sta˚r formelen til funksjonen pa˚ grafen!

Digital manual

287


Fasit Tall og tallforstaË&#x161;else 1.1

a) 24 b) 34 c) 103

1.10

a) 93 b) 108 c) 48

d) 11 000 e) 12 f) 97

1.11

a) 37 b) 55 c) 1152

d) 2500 e) 83 f) 320

1.12

a) 132 b) 3840

c) 64 d) 120

1.13

a) 102 b) 103 c) 105

d) 106 e) 107 f) 109

1.14

a) 6  103 + 5  102 + 4  10 + 3  1 b) 3  103 + 4  102 + 9  1 c) 1  104 + 2  103 + 6  102 + 7  10 + 5  1 d) 1  105 + 2  104 + 5  103 + 3  102 + 8  1 e) 2  106 + 4  105 + 5  104 + 5  102 + 6  10 + 5  1 f) 2  106 + 9  105 + 7  103 + 5  102 + 3  10

d) 75 e) 56 f) 94

1.2 d) 100 000 e) 3125 f) 1024

a) 8 b) 243 c) 125 1.3 Grunntall

Eksponent

Potens

3

2

32

6

4

64

3

5

35

1

8

18

2,3

4

2,34

a) 192 b) 40

c) 432

1.15

a) 5416 b) 34 565 c) 745 634

1.5

a) 37 b) 54 c) 25

d) 56 e) 105 f) 75

1.16

6 000 000 000 = 6,0 109

1.17

a) 2,5  104 b) 1,4  104 c) 2,4  107

d) 9,1  105 e) 4,5  106 f) 4,5  109

1.18

a) 1,08  108 km b) 1,5  108 km

c) 7,78  108 km

d) 4 500 000 e) 10 500 000 f) 4 080 000 000

1.6

1.7

Fasit

1.8

288

d) 204 506 e) 1 405 612 f) 300 491

1.4

1.9

5

a) 13 b) 53 c) 125

6

d) 10 e) 105 f) 73

a) 33 b) 154 c) 28

d) 108 e) 109 f) 76

1.19

a) 23 b) 63 c) 104

d) 34 e) 53 f) 3

a) 4500 b) 27 000 c) 910 000

1.20

7,35  1019

a) 53 b) 102 c) 3

d) 7 e) 152 f) 106

1.21

ca 6,0  1021

1.22

4, 9, 16 og 25


1.23

a)

b)

c)

d)

1.24

a) 4 b) 25

c) 16

1.25

a) 25 b) 64 c) 100

d) 225 e) 400 f) 10 000

1.35

a) 9 b) 15

1.36

B

1.37

a) –30 b) –24

c) 21 d) –50

1.38

a) –5 b) –5

c) 5 d) –6

1.39

a) –15 b) –10

c) –4,5 d) 37

1.40

a) 5 b) 4

c) 21 d) 200

1.41

a) –2 b) –4

c) 75 d) –200

1.42

a) 5  ð--7Þ = --35 b) ð--3Þ  --7 = 21 c) 10  ð--8Þ = --80 d) ð--10Þ  ð--10Þ = 100

1.43

a) 1 : 5 b) 1 : 4 c) 2 : 1

d) 1 : 3 e) 1 : 10 f) 1 : 20 000

1.44

a) 4 : 1 b) 1 : 25 c) 1 : 4000

d) 400 000 : 1 e) 1 : 100 f) 10 000 000 : 1

1.45

Simen (1 : 8)

1.46

300 kr

1.47

420 kr

1.48

Martin Lotte

1.49

a) 1 : 1,5 = 2 : 3 b) Sara fikk 60 kr, Martin fikk 90 kr

1.26

9

1.27

25 stoler

1.28

a) 3 b) 5 c) 4

d) 6 e) 9 f) 10

a) 5 b) 6 c) 12

d) 20 e) 9,22 f) 11,31

1.30

a) 14 b) 16

c) 9 d) 9

1.31

a) 42,25 cm2

b) 4,8 cm

1.32

lengde = 40 m, bredde = 20 m

1.50

a) 1 : 24

1.33

a) 9 b) 18

c) 15 d) 150

1.51

20 dl = 2 liter

1.34

a) 3 b) 8

c) 1 d) 5

1.52

10,5 dl

1.53

A, B, D, F, G og H

1.29

c) 9 d) 15

200 kr 250 kr

b) 24 dl

Fasit

289


1.54

A, B, E og G

2.10

8,9x + 7,9y + 10,9z

1.55

B, C, D, E, F og H

2.11

84n + 50n = 134n

1.56

42 , 52 , 62 , 72 Summen av oddetall fra og med 1 blir et kvadrattall. Kvadrattallet har grunntall som svarer til antall oddetall som summeres.

2.12

a) 15 b) 58

2.13

a) a + b + c b) 1) 6 2) 12

1.57

a) 4 b) 9

2.14

a) x + 13

b) 17 a˚r

2.15 a) 1, b) 1, c) 2, d) 2,

a) 14 cm b) 12,56 cm

c) 12 cm

1.58

2.16

a) 3 b) 2

c) 5 d) 21

2.17

a) 4x b) 3b

c) 4a d) 3xy

2.18

a) 4b b) 11x

c) 4a d) 9y

2.19

a) 4x + 6y b) 6a + 3b

c) 7ab d) 7a – 2b

2.20

a) y 2 b) a4

c) x 6 d) ðabÞ3

2.21

a) y 7 b) a10

c) b9 d) x 10

2.22

a) a2 b) x 4

c) 1 d) ð2aÞ4

2.23

a) 15b2 b) 15x 5

c) 56ðabÞ3 d) 24x 6

2.24

a) y 4 + 2y 2 b) 4x

c) a2 + 4a d) 4x 3 + 2x 2 + 3x

1.59

1.60

c) 16 d) kvadrattall 4, 2, 4, 6,

9, 16, 25, 36 4, 7, 11, 16, 22, 29 8, 16, 32, 64, 128 18, 54, 162, 486, 1458

a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 b) 1, 4, 8, 13, 19, 26, 34 c) 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169

Fasit 290

3) 24

123 454 321

Algebra 2.1

c) -4 d) 53

Talluttrykk inneholder bare tall. Bokstavuttrykk inneholder bokstaver, eller bokstaver og tall.

2.2

a) og d) er talluttrykk. b) og c) er bokstavuttrykk.

2.3

D

2.4

a) x  3 = 3x b) 2x + 3y

2.5

99x

2.6

A

2.25

a) 12ðabÞ2 b) 1

c) 20yz 5 d) 18x 9 y 4

2.7

Antall kilometer Herman sykler i x dager til og fra skolen.

2.26

a) 7x b) 2a

c) --8y d) 6b

2.27

a) 2a + 2b b) 8x – 4y

c) -3x – 6 d) -4a – 4b

2.8

6x + 3y + 5z

2.9

a) 2a + 2b b) 4a + 4b

c) 2x – 3

c) 8a + 4b


2.28

a) 9a2 b) 2x 2

c) --x 2 -- 2x d) 6a2

2.29

a) 21 b) –19a

c) 26x 2 d) 2a2 -- 2a

2.30

a) x = 10 b) x = 22

c) x = 78 d) x = 4

2.31

a) x = 21 b) x = 4

c) a = 5 d) x = 20

2.32

a) x = 42 b) x = 15

c) x = 24 d) a = 120

2.33

a) x = -6 b) x = 4

c) x = 4 1 d) x = = 0,5 2

2.34

a) x = 9 b) x = 5

c) x = 3 d) x = 2

2.35

a) x = 3 b) x = 1,5

c) x = 4 d) x = -1

2.36

a) x = 5 b) x = 2

c) x = 18 d) x = 4

2.37

a) x = 0,5 b) x = 8

c) x = 0,5 d) x = 4

2.38

a) x = 5 b) x = 500

c) x = 3 d) x = 10

2.39

a) x = 1 b) x = -2

c) x = 4,5 d) x = 4

2.40

a) x b) x c) x d) x

2.41

2.42

= = = =

4 2 6 8

eller eller eller eller

x x x x

= = = =

–4 –2 –6 –8

a) x  7,87 eller x  --7,87 b) x  3,08 eller x  --3,08 c) x = 11 eller x = --11 d) x = 5,5 ellerx = --5,5 a) x b) x c) x d) x

= 6 eller x = –6 = 9 eller x = –9 = 7 eller x = –7  12,04 eller x  –12,04

2.43

a) x b) x c) x d) x

2.44

B

2.45

a) x = 6, V.s. = h.s. = 42 b) x = 10, V.s. = h.s. = 50 c) x = 4 eller x = –4, V.s. = h.s. = 64 d) x = 11 eller x = –11, V.s. = h.s. = 125

2.46

a) x = 3, V.s. = h.s. = 3 b) x = 3, V.s. = h.s. = –7 c) x = 42, V.s. = h.s. = 7 d) x = 6 eller x = –6, V.s. = h.s. = 67

2.47

= 5 eller x = –5  3,32 eller x  --3,32  1,22 eller x  --1,22 = 3 eller x = --3

8 4 a) x = , V.s. = h.s = 5 7 7 b) x = 9, V.s. = h.s. = 30 c) x = 12 eller x = -12, V.s. = h.s. = 440

2.48

a) 6x = 42

b) Lengden er 14 cm, og bredden er 7 cm.

2.49

a) x – 23 = 71

b) x = 94

2.50

94 kr

2.51

Hanna: 29 karameller Herman: 18 karameller

2.52

Simen: 13 a˚r Espen: 15 a˚r Tone: 26 a˚r

2.53

a) x < 6 b) x < 5

c) x < 10 d) x > 8

2.54

a) x < 5 b) x > 2,5

c) x < 6,5 d) x > -8

2.55

a) x < 6 b) x > 1

c) x < 6

Fasit

291


Geometri 3.1

3.2

a) 540 b) 720 

a) 69 b) 68

3.11

a)

c) 1440

5 cm 6 cm

c) 104 d) 93



10 cm b) 32 cm c) 50 cm2

3.3

ðn -- 2Þ  180

3.4

a) 120 b) 128,57

c) 135

3.5

a) 144 b) 150

c) 176,4

3.12

a)

D

Fasit

3.6

292

8 cm

a) Omkrets: 18 cm Areal: 20 cm2 b) Omkrets: 18 cm Areal: 18 cm2 c) Omkrets: 18 cm Areal: 19,25 cm2

3.7

a) Omkrets: 36 m Areal: 80 m2 b) Omkrets: 74 cm Areal: 300 cm2 c) Omkrets: 42 dm Areal: 106,25 dm2

3.8

a) Areal: 180 km2 Omkrets: 54 km b) Areal: 3,75 km2 Omkrets: 8 km

3.9

a) 216 000 m2

3.10

a) Omkrets: 24 cm Areal: 24 cm2 b) Omkrets: 34 cm Areal: 50 cm2

A

C

6 cm

8 cm

B

b) 32 cm c) 48 cm2 3.13

a) Omkrets: 12 cm Areal: 6 cm2 b) Omkrets: 21 cm Areal: 21 cm2 c) Omkrets: 17,9 cm Areal: 14,625 cm2 d) Omkrets: 18,5 cm Areal: 15 cm2

3.14

a) 32 cm2 b) Arealet av begge trekantene: 16 cm2

3.15

6 m2 og 9 m2

3.16

Pa˚stand E er riktig.

3.17

a) Omkrets: 24 cm Areal: 28 cm2 b) Omkrets: 20,5 cm Areal: 22 cm2 c) Omkrets: 17,5 cm Areal: 12,25 cm2

b) 118 800 000 kr


3.18

1: 140 m2 2: 240 m2 3: 185 m2

3.19

a) Omkrets: 18,84 cm Areal: 28,26 cm2 b) Omkrets: 6,28 cm Areal: 3,14 cm2 c) Omkrets: 12,56 cm Areal: 12,56 cm2 d) Omkrets: 31,4 cm Areal: 78,5 cm2

3.20

4: 180 m2 5: 200 m2 6: 270 m2

a) Omkrets: 25,12 cm Areal: 50,24 cm2 b) Omkrets: 18,84 m Areal: 28,26 m2 c) Omkrets: 78,5 cm Areal: 490,6 cm2 d) Omkrets: 15,7 mm Areal: 19,6 mm2 e) Omkrets: 78,5 dm Areal: 490,6 dm2 f) Omkrets: 139,4 km Areal: 1547,5 km2

3.21

706,5 cm2

3.22

a) 373 m

3.23

48,4 m2

3.24

a) 6,28 cm2 b) 9,42 cm2

c) 3,14 cm2

3.25

a) 10,28 cm b) 13,42 cm

c) 7,14 cm

4,9 cm2 14,7 cm2

58,9 cm2

3.27

a) 6,4 cm b) 10 cm

c) 14,4 cm

3.28

8,25 m

3.29

a) 6,3 m b) 6,4 km

3.30

10,7 m

b) 5549 m2

3.31

a) 3 cm b) 8 cm

c) 10,4 cm d) 6,5 cm

3.32

a) 7,5 m

b) 8,9 km

3.33

a) 4 cm2 b) 11,5 cm2

c) 12,5 cm2 d) 36 cm2

3.34

a) 21 500 m2

b) 86 000 m2

3.35

a)

90째

b)

60째

c)

45째

3.26

d)

30째

c) 7,1 cm

Fasit

293


3.36

1 Konstruerte A = 60 . 2 Avsatte 8 cm langs det venstre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 90 og fant B.

a)

15° c)

C

b)

22,5° A

B

c) 1 Avsatte AB = 8 cm. 2 Konstruerte 90 i A og 30 i B. 3 Punktet C ligger i skjæringspunktet mellom vinkelbeina.

75°

d)

C d)

112,5°

A 3.37

a)

1 Konstruerte B = 60 2 Avsatte 9,5 cm langs det høyre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 52; 5 og fant A.

C

A

B

B

3.38

b)

C

1 Avsatte AB = 10 cm. 2 Konstruerte 45 i A og 45 i B. 3 Punktet C ligger i skjæringspunktet mellom vinkelbeina.

A

b)

Fasit

C

294

A

B

c) 1 Konstruerte A = 90 . 2 Avsatte 6,5 cm langs det venstre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 60 og fant B.

B


3.39

b)

3.43

C

A

C

B

A

7 cm

B



c) 1 Konstruerte A = 45 . 2 Avsatte 8,5 cm langs det venstre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 45 og fant B. d) B = 90

a) Likesidet trekant b) 21 cm c) 21,22 cm2 3.44

a)

3.40

D C 5 cm 8 cm

7 cm a) 8,6 cm b) 20,6 cm c) 17,5 cm2

A

4,5 cm B

b) 9,2 cm c) 90 d) 6,5 cm e) 39,1 cm2

3.41

9 cm

3.45

D

5 cm C

5 cm 6 cm 60째

a) 6,7 cm b) 21,7 cm c) 20,1 cm2 3.42

A

9 cm

B

3.46

C 4 cm

A

8 cm

B

a) 8,9 cm b) 16 cm2

Fasit

295


3.47

a)

3.57

Nei, den er litt for bred i forhold til lengden.

3.58

Ja

3.60

b)

8 cm

5 cm 3.61

3.48

En regulær femkant

Statistikk og sannsynlighetsregning 4.1 Svar

3.49

360 3.50

3.51

3.53

Fasit

3.54

296

a) 360 b) 324 c) Nei. Vinkelsummen der hjørnene møtes ma˚ være 360 . Likesidete trekanter, kvadrater og regulære sekskanter.

Frekvens Relativ frekvens

Ja

14

14 = 0,7 20

Nei

6

6 = 0,3 20

Frekvens

Relativ frekvens

Protein

28

28 = 0,28 100

Karbohydrater

24

24 = 0,24 100

Fettsyrer

11

11 = 0,11 100

Fett

20

20 = 0,20 100

Kostfiber

16

16 = 0,16 100

Natrium

1

1 = 0,01 100

4.2 Svar

F er et gyllent rektangel. Togbilletten, fyrstikkesken og spillekortet er tilnærmet gylne rektangler.

3.55

Ja

3.56

Ca. 100 m

Sum

100

1


4.3

4.5

Svar

Frekvens

Relativ frekvens

Svar

Frekvens

Relativ frekvens

Furu

30

30 = 0,30 100

Ja

20

20 = 80 % 25

Gran

35

35 = 0,35 100

Nei

4

4 = 16 % 25

Bjørk

10

10 = 0,10 100

Vet ikke

1

1 = 25

Ask

5

5 = 0,05 100

Sum

25

Eik

5

5 = 0,05 100

15

15 = 0,15 100

Andre sorter Sum

100

4.4

1

4.6

4% 100 %

a)b)

Karakter

Frekvens

Relativ frekvens

1

0

0 = 19

2

3

3 = 15,8 % 19

3

5

5 = 26,3 % 19

a)

0 %

Svar

Frekvens

Relativ frekvens

Ma˚r

3

3 = 0,15 20

4

5

5 = 26,3 % 19

Jerv

5

5 = 0,25 20

5

4

4 = 21,1 % 19

Bjørn

4

4 = 0,20 20

6

2

2 = 10,5 % 19

Gaupe

6

6 = 0,30 20

Sum

19

100 %

Ulv

2

2 = 0,10 20

Sum

20

1

b)

Registrering av rovdyr Frekvens 7 6 5 4 3 2 1 0

Mår

Jerv Bjørn Gaupe Ulv

Fasit

297


4.7

4.9

Bilmerke

Antall

Relativ frekvens

5

5 = 0,15 34

Volvo BMW

Blodtype

3 = 0,09 34

3

a) Frekvens

Relativ frekvens

Gradtall til sektorene

A

12

12 = 0,48 25

0,48  360 = 172,8

0

10

10 = 0,40 25

0,40  360 = 144,0

6

6 = 0,18 34

AB

1

4

4 = 0,12 34

1 = 0,04 25

0,04  360 = 14,4

B

2

5

5 = 0,15 34

2 = 0,08 25

0,08  360 = 28,8

Sum

25

Mazda

3

3 = 0,09 34

Andre bilmerker

8

8 = 0,24 34

Ford Mercedes Toyota

Sum 4.8

34

Høyrebeint Venstrebeint Sum

B AB O A

1

Frekvens

Relativ frekvens

Gradtall til sektorene

15

15 = 0,75 20

0,75  360 = 270

5

5 = 0,25 20

0,25  360 = 90

20

1

360

b)

a)

Svar

1

360

c) 48 % 4.10

Nitrogen Oksygen Aron Andre gasser



b)

Venstrebeint Høyrebeint

4.11

Fasit

Kobber Sink Nikkel

298


4.19

Energiforbruk Forbruk (%)

Oppvarming Varmt vann Lys Matlaging Rengjøring

c) 3 ma˚l

4.15

Andre energikilder

a) 46 ma˚l b) Hanna

Vannkraft

4.14

Kjernekraft

d) T: 34 kg F: 10 kg S: 26 kg M: 30 kg

Gass

a) 60 % b) 10 % c) 30 %

40 35 30 25 20 15 10 5 0 Olje

4.13

a)

Kull

4.12

b)

Norges dypeste innsjøer 0

Olje Kull Gass Kjernekraft Vannkraft Andre

-100 -200 -300 -400 Øvrevatn

Bandak

Salsvatnet

4.20

a)

Temperatur (°C)

4.17

a) Ca. 6  C b) Ca. 6  C

c) 11. mai

4.18

a) 28

b) 28

20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 Jan Feb Mars Apr Mai Juni Juli Aug Sep Okt Nov Des

Mjøsa

Tinnsjø

Fyresvatn

Dybde im

Suldalsvatnet

-600

Hornindalsvatnet

-500

Bergen Karasjok b) Januar c) Juli

Fasit

299


4.21

4.23

a)

a)

Antall biler

Prosent av markedet

60

40 35 30 25 20 15 10 5 0

50 40 30 20 10 0 2004 God-is

Super-is

2005

2006

b)

Best-is

Antall biler b)

60 50

Omsetning i millioner kr

40

2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

30 20 10 0

4.22

a) Gjennomsnitt: 1,75 Median: 1,5 Typetall: 1 b) Gjennomsnitt: 15,8 Median: 16 Typetall: 16 c) Gjennomsnitt: 233,3 Median: 250 Typetall: 300

4.25

a) Median: 3,5 Typetall: 3 og 4 Variasjonsbredde: 1 b) Median: 3,9 Typetall: 3,9 Variasjonsbredde: 2,2 c) Median: 0,10 Typetall: 0,10 Variasjonsbredde: 0,1

4.26

a) X

b) Per

4.27

a) 1,38 timer b) 1

c) 1 d) 3

4.28

a) Gjennomsnitt: 45,1 Variasjonsbredde: 9 b) Gjennomsnitt: 1,72 Variasjonsbredde: 0,23 c) Gjennomsnitt: -0,1 Variasjonsbredde: 6,5

a) Diagrammet burde ha begynt paË&#x161; 0 paË&#x161; andreaksen. b)

Antall biler 60 50 40

Fasit

30

300

20 10 0 Bilbutikken

A.S. Vindel

2005

4.24

2005

2004

2003

2002

2001

2000

1999

2004


4.29

a) Gjennomsnitt: 1,63 m b) Median: 1,60 m c) 1,60 m og 1,75 m d) 0,35 m

4.41

4.30

b) Medianen

4.42

4.31

4.32

a) Gjennomsnitt: 116,4 kr Median: 40 kr Typetall: 30 kr b) Medianen

4.43

a) Nei b) Median: 200 000 kr, Typetall: 200 000 kr c) Median

4.33

12

4.34

a) 2

b) 6

4.35

a) 4 b) 8

c) 1024

4.36

a) 36 b) 216

c) 1296

4.37

a)

4.44

4.45

Forrett

1 2 1 b) 2

a)

1 52 1 b) 13

a)

7 12 5 b) 12

c)

1 3

c)

1 2

c) 1

a)

1 10 3 b) 10 a)

3 5 1 b) 2

a)

c)

2 5

c)

2 3

Suppe

Hovedrett

Dessert

Pasta

Is

Pizza

Frukt Sjokoladekake

60 840 000

4.39

a)

Frukt Sjokoladekake

4.46

b) 9 4.38

Is

1 6

b) 0,17 c) 17 %

1 a) 52

b) 0,019 c) 1,9 %

Kjøttboller

Is

Frukt Sjokoladekake

1 a) Krone - krone, b) krone - mynt, 4 1 mynt - krone, c) mynt - mynt 4

4.47

Gutt 4.40

Gutt

Jente

Jente

Gutt

Jente

Sannsynligheten for a˚ fa˚ e´n gutt og e´n jente 1 er : 2

Fasit

301


4.48

Gutt

Jente

Gutt

Gutt

Jente

Jente Gutt

Gutt

Jente Gutt

Jente

Jente Gutt

Jente

1 Sannsynligheten for aË&#x161; faË&#x161; minst to jenter er . 2 4.49

a)

1. kast

K

M

2. kast

3. kast

M

4. kast M

4.50 4.51

4.52

Fasit

4.53

302

M

K

K

K M

M

K M

M

K

K M

K

M

K M

K

K M

M

K M

K

K M

K

b) 16

4.54

0,0028

c)

1 16

4.55

a)

d)

3 8 4.56

1 7776

4.57

0,0000001859 eller

4.58

Utsagn B er riktig.

4.59

Utsagnene A og C er riktige.

4.60

Utsagn A er riktig.

1 12 a)

1 18

b) 0,056 c) 5,6 %

1 1000 9 25 6 b) 25

a)

c)

4 25

1 216

b) 0,00463 c) 0,463 %

5040 27113264640


Ma˚ling og beregninger 5.1

Sikre: a, d og e Usikre: b og c

5.2

a) b) c) Sikre: 217,102, 115, 2850,50, 65,5 Usikre: 09.00, 14.15, 87, 5,26, 1,76, 100, 12,2

5.3

Til nærmeste gram

5.4

a) linjal

5.5

a) 55 mm, 62 mm og 49 mm b) Det kan være unøyaktighet ba˚de i ma˚ling og i klipping. Trekanten ma˚ konstrueres.

b)19,5 cm

5.6

Ba˚de ma˚ling av veistrekning og tidtaking er unøyaktige.

5.7

ca. 0,3 mm

5.8

a) 1,5 cm b) 1,5 cm

c) 8,75 mm d) 1 cm

5.16

a) 1 : 1000 b) 1 : 1 000 000 c) 1 : 25 000 000

5.17

a) 1 : 5 000 000 b) 1 : 1 000 000

c) 1 : 820 000

5.18

a) 3 : 1

b) 2 : 1

5.19

1:8

5.20

a) 40 cm3 b) 100 cm3

c) 200 cm3 d) 700 cm3

5.21

a) 12 cm2

b) 36 cm3

5.22

a) 96 cm3 b) 30 cm3

c) 32 cm3

5.23

336 cm3

5.24

a) 52 cm2 b) 142 cm2

5.25

132 cm2

5.26

40 dm2

5.27

a) Begge rommer 64 cm3 b) 96 cm2 og 112 cm2 c) Samme volum men ulik overflate

5.28

a)

5.9

C 5 cm A

4 cm 8 cm

5.10

8 000 000 : 1

5.11

a) Ca. 40 cm b) Ca. 55 cm

c) Ca. 24 m

5.12

a) 400 km b) 200 km

c) 150 km

B

5 cm

2 cm 5.13

4 km

5.14

40 cm og 100 cm

5.15

a) 3 : 1 b) 20 : 1

c) 412 cm2

2 cm

b) 10 cm3 c) 38,14 cm2 c) 10 000 : 1

5.29

a) 50,24 cm3 b) 100,48 cm3

c) 235,5 cm3

Fasit

303


a) 314 cm2 b) 3768 cm3

c) 3,768 dm3

5.31

a) 452,16 cm2

b) 2,26 liter

5.32

a) 56,52 m3

b) 56 520 liter

5.33

a) 9420 cm3

b) 9,42 liter

5.30

3

6.4

7 6 5 4 3 2 1

B

30 144 cm = 30,1 dm

5.35

a) 75,36 cm2 b) 150,72 cm2

c) 251,2 cm2

5.36

a) 50,24 cm2

b) 251,2 cm2

5.37

a) 12,56 cm2

b) 87,92 cm2

5.38

12 952,5 cm2

5.39

a) 125,6 dm3

5.40

79,62 cm

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 D -4 -5

6.5 b) 251,2 dm2

P(1, 2) Q(6, –2) R(–4, 0) S(–3, –2)

6.2

D

Fasit

-5 -4 -3 -2 -1 -1 A -2 -3 -4 -5

304

6.3

E

C

1 2 3 4 5 6 B

a) A(–2, –1) B(6, 0) C(4, 5) D(–2, 6) b) (2, 3)

1 2 3 4 5 6 C

a) b)

6 5 4 3 2 1

Funksjoner

5 4 3 2 1

A

3

5.34

6.1

F

A B -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 C D -2 -3 -4 -5 c) Kvadrat


6.6

a) b)

c)

L

6 5 4 3 2 1

M -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

6.13

a) u = 70x + 40

6.14

a) 36 kr b) y er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir e´n verdi av y. c)

K

b) 390 kr

x-kg

1

2

3

4

5

y-pris

12

24

36

48

60

S N 1 2 3 4 5 6 d)

Kroner 70 60 50

d) S(1, 2)

40 6.7

(0, 6)

6.8

a) 54 km b) 72 km c) y = 18x d) 45 km

e) y er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir e´n verdi av y.

a) 62,5 kr b) p = 12,50x c) 250 kr

d) p er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir e´n verdi av y.

6.9

6.10

30

a) 3,5 kr d) y er en funksjon b) 10,5 kr av x fordi hver verdi av x gir e´n c) Prisen pa˚ 100 verdi av p. SMS-meldinger

20 10 0 0

1

6.15

2

3

4

5 Antall kg

a) 120 km b) y er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir e´n verdi av y. c) d)

Kilometer 350 300

6.11

6.12

a) 31,4 cm b) 47,1 cm

c) O er en funksjon av d fordi hver verdi av d gir e´n verdi av O.

250 200 150 100 50

a) 210 kr b)

0 0

x-billetter

1

y-pris

70

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5 Timer

e) 3,5 timer

140 210 280 350 420

d) y er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir e´n verdi av y.

Fasit

305


6.16

a) 80 kr b) y er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir e´n verdi av y. c) x-euro

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

y-kroner

40

80

120

160

200

240

280

320

360

400

d)

6.18

Norske kroner 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

a) x

–3

–2

–1

0

1

2

y

–9

–6

–3

0

3

6

b) (–3, –9), (–2, –6), (–1, –3), (0, 0), (1, 3) og (2,6) c) 6 5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Euro

4 3

e) 176 kr f) 34 euro

2 1

6.17

0 -3 -2 -1 0 –1

a)

Kroner

–2

450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

–3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

0

100 200 300 400 500

Fasit

b) 250 kr c) 250 SMS-meldinger

306

Antall SMS

1

2


6.19

a)

6.21

x

–2

–1

0

1

2

3

y

4

2

0

–2

–4

–6

9 8 7

b) (–2, 4), (–1, 2), (0, 0), (1, –2), (2, –4), (3, –6) c)

6 5 4 3

4

2

3

1

2

0 -3 -2 -1 0 –1

1 0

–3 –2 –1 0 –1

1

2

3

1

2

3

–2 –3

–2

–4

–3 –4 6.22

–5

a) y = 3x

b) y = –3x

-6

Økonomi 6.20 7.1

a) 0,015 b) 0,025

c) 0,045 d) 0,83

7.2

a) 0,015 b) 0,025

c) 0,045 d) 0,83

7.3

a) De er like b) 1 % er det samme som 10 ‰

7.4

a) 3 g b) 30 g c) 300 kr

7.5

600 g

7.6

20,75 g

7.7

125 g

7.8

a) 36 ‰ b) 56 ‰

c) 75 ‰ d) 925 ‰

7.9

a) 36 % b) 56 %

c) 75 % d) 925 %

7.10

a) 20 ‰

b) 2 %

5 4 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 –1

1

2

3

–2

d) 20 kr e) 100 g f) 166 g

–3 –4 –5

Fasit

307


Fasit 308

7.11

a) 30 ganger mer b) Middelhavet

7.12

6 kg

7.13

375 kr

7.14

1710 kr

7.15

18 750 kr

7.16

a) 2750 kr

7.17

7.31

100 kr

7.32

400 kr

7.33

3%

7.34

a) 2640 kr

b) 14 640 kr

7.35

a) 9000 kr b) 120 000 kr

c) 7200 kr

7.36

190 dager

2500 kr

7.37

318 dager

7.18

6375 kr

7.38

290 dager

7.19

7650 kr

7.39

326 dager

7.20

1500 kr

7.40

19. november

7.21

1920 kr

7.41

a) 0,27 kr b) 63 kr

c) 5063 kr

7.22

a) 595 kr b) 450 kr

7.42

a) 532,60 kr

b) 54 532,60 kr

7.43

a) 240 dager

b) 16 438,50 kr

7.44

313 935,47 kr

b) 2832,5 kr

c) 630 kr d) 562,5 kr

7.23

4600 kr

7.24

a) 17 500 kr

7.25

1860 kr

7.45

10 900 kr

7.26

1501 kr

7.46

a) 5160 kr

7.27

a) 1000 kr

7.47

3710 kr

7.28

127,5 kr

7.48

a) 2820 kr

7.29

800 kr

7.49

5%

7.30

a) B

b) 7 %

b) 20 %

b) 12,5 %

b) 460 kr

b) 3720 kr


Stikkord A addere med x 49 algebraiske uttrykk 38, 63 andreakse 202 andrekoordinat 202 antall observasjoner 170 areal av grunnflate i rett firkantet prisme 186 av mangekant 119 av overflaten til prisme 188 av parallellogram 75 av rektangel 72 av sirkel 84, 85, 120 av sylinder 190, 193 av trapes 80 av trekant 78 avbetaling 246, 253 avslag 236 B beregning av hypotenus 89 beregning av katet 92 bokstavledd 43 bokstavuttrykk 38, 63 bokstavuttrykk og parenteser 63 bokstavuttrykk, regning med 42, 63 bokstavuttrykk, sette tall inn i 41, 63 brøk 128 C celle formatere 266 skrive formel 263 legge inn tall eller tekst 258 merke enkeltceller 259 sla˚ sammen 262 summere flere etter hverandre 270 D data, sortere 268 desimaler, justere antall 267 desimaltall 128 det gylne rektangel 107, 121 det gylne snitt 107, 121 det gylne triangel 111 diagram, kritisk bruk 140 diagramveiviser 275 dividere to negative tall 21 divisjon av potenser 9

E eksklusiv merverdiavgift 231, 253 eksponent 8 F femkant 71 figur 121 figurtall 27 firkant, vinkelsum 69 forhold 23, 35 forhold, regning med 25 forholdet mellom to tall 23 formatere celle 266 formel 207 til en funksjon 285 kopiere til flere celler etter hverandre 269 la˚se innholdet til en celle 271 forminskning 179, 182 forstørring 177, 182 fortegnstall, regning med 35 frekvens 124, 169 frekvens, relativ 124, 128, 169 frekvenstabell 124 funksjon 207, 222 graf 211, 223 vise trendlinje og formel 285 y = a . x, graf 281 funksjonsuttrykk 207 førsteakse 202 førstekoordinat 202 G geometri i natur og kunst 102 gjennomsnitt 143, 170 gjennomsnittsverdi 143 graf til funksjonen y = a . x 281 grafen til en funksjon 211, 223 grunntall 8 gylne rektangel 107, 121 gylne snitt 107, 121 gylne triangel 111, 112 H halvering av vinkel 96, 120 hjelpefigur 97 hypotenus 88 beregning av 89 I inklusiv merverdiavgift 231, 253

Stikkord

309


J justere antall desimaler 267 justere kolonnebredde 261 K kakediagram 130 kalkulator 255 katet, beregning av 92 kateter 88 kolonne legge til eller fjerne 261 merke 260 kolonnebredde, justere 261 kongruent 185 konstruksjon 96, 120 konstruksjon av 60º 96, 120 konstruksjon av 90º 120 koordinat 222 koordinatsystem 202, 222 kopiere formler til flere celler etter hverandre 269 kopiere og flytte tekst eller tall 267 kritisk bruk av diagram 140 kvadratisk likning 52, 64 kvadratrot 18, 34, 256 kvadrattall 16, 18, 34

Stikkord

L legge til eller fjerne kolonne 261 legge til eller fjerne rad 262 legge til et negativt tall 20 likning 47, 64 likninger, sette prøve pa˚ 54, 65 linjediagram 170, 275, 276 la˚se innholdet i en formel til en celle 271

310

M mangekant 68 areal 119 omkrets 119 regulær 70, 104, 119 vinkelsum 119 median 143, 171 merke en kolonne 260 merke en rad 260 merke enkeltceller 259 merke et omra˚de 259 merverdiavgift 231, 253 merverdiavgift, eksklusiv 231, 253 merverdiavgift, inklusiv 231, 253 middelverdi 143 midtnormal 120 mindre enn 57, 65 minne 257

moms 231 multiplikasjon av potenser 9 multiplisere et positivt tall og et negativt tall 21 multiplisere med x 50 multiplisere to negative tall 21 mønster 121 regulært 104, 121 semiregulært 104, 121 ma˚leinstrument 174 ma˚lenøyaktighet 174 ma˚lestokk 177, 199 ma˚lestokk, a˚ finne 182 ma˚ling 174 N natur og kunst, geometri 102 nedfelling av normal 96, 120 negativt tall, legge til 20 negativt tall, trekke fra 20 normal i et punkt 96 normal, nedfelle 96 O observasjon 169 antall 170 summen av 170 omkrets av mangekant 119 av parallellogram 75 av rektangel 72 av sirkel 84, 85, 120 av trapes 80 av trekant 78 omra˚de, merke 261 overflate av prisme 199 P parallellogram 75, 119 areal 75 omkrets 75 parenteser og bokstavuttrykk 45 pentagon 111 potens 8, 34 med 10 som grunntall 11 multiplikasjon og divisjon 9 potenser og bokstavuttrykk 44 potensform 8


prisme areal av grunnflate i rett firkantet 186 areal av overflate 188 overflate 199 rett firkantet 185 volum 185, 199 volum av rett firkantet 186 pristillegg 246 problemløsning og likninger 55 promille 226, 253 promille, finne 228 prosent 128, 226, 256 Pytagoras 88 Pytagoras-setningen 88, 120 R rabatt 234, 253 rad legge til eller fjerne 262 merke 260 regneart, flere pa˚ en gang 255 regning med bokstavuttrykk 42, 63 regning med forhold 25 regning med fortegnstall 20, 35 regulær mangekant 70, 104, 119 regulært mønster 104, 121 rektangel 72, 119 relativ frekvens 124, 128, 169 relativ frekvens og prosent 169 rente 253 rente for deler av et a˚r 244 rentedag 241, 253 rentefot 239 renteregning 239 rettvinklet trekant 88 S sannsynlighet 151, 171 ved flere utfall 171 finn ved hjelp av multiplikasjon 158 like stor hver gang? 162 sektordiagram 130, 169, 278 semiregulært mønster 104, 121 sentralma˚l 143 velge det beste 146 sette inn tall i bokstavuttrykk 63 sette prøve pa˚ likninger 54, 65 sette tall inn i bokstavuttrykk 41 sirkel 84, 85, 120 sirkelsektor 130 skrive formel i celle 263 sla˚ sammen celler 262 sortere data 268 standardform 13, 14

standardform, tall 34 stolpediagram 135, 170, 271 større enn 57, 65 subtrahere med x 49 summen av alle observasjoner 170 summere flere celler etter hverandre 270 sylinder 190, 193 søylediagram 135, 170, 271 T tall pa˚ standardform 13, 34 tallrekker 27 talluttrykk 38 tessellere 106 tierpotens 13 tilbud 236 trapes 80, 119 trediagram 155 trekant 77, 119 rettvinklet 88 vinkelsum 68 trekanttall 27, 35 trekke fra et negativt tall 20 trendlinje til en funksjon 285 typetall 143, 171 U ulikhet 57, 65 utfall antall mulige 148, 152 gunstig 152 V valgtre 148 variasjonsbredde 143, 143, 171 vinkel, halvering 96, 120 vinkelsum i firkant 69 i mangekant 119 i trekant 68 av prisme 185, 199 av rett firkantet prisme 186 volum av prisme 185, 199 av sylinder 190 av rett firkantet 186

Stikkord

311


Faktor 2 Grunnbok  

Faktor 2 Grunnbok

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you