Issuu on Google+


Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner

Cappelens matematikkverk for ungdomstrinnet

Faktor 1 Grunnbok BokmaËšl


# J.W. Cappelens Forlag AS, Oslo 2006 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av a˚ndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med J.W. Cappelens Forlag AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Faktor følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er laget til bruk pa˚ grunnskolens ungdomstrinn. Illustratør: Line Jerner Omslagsdesign: Line Jerner Omslagsillustrasjon: Line Jerner Grafisk formgiving: Jakob Thyness Ombrekking: PrePress AS Forlagsredaktør: Espen Skovdahl Trykking/innbinding: Lavonia Print SIA, Latvia 2011 Utgave 1 Opplag 6 ISBN 978-82-02-23699-1 www.cdu.no http://faktor.cappelendamm.no Fotografier Samfoto: Tore Wuttudal/NN s. 10, Tom Schandy/NN s. 76, Ove Bergersen/NN s. 98, 100, Steinar Myhr/NN s. 101, Asgeir Helgestad/NN s. 184, Espen Bratlie s. 231 Scanpix: ESA/AFP s. 12, Anne-Li Engstro¨m s. 30, Bettmann/CORBIS s. 40a, 40b, Flip Schulke/Corbis s. 40c, Morten Holm s. 55, Hanne og Jens Eriksen s. 93, Jarl Fr. Erichsen s. 167, Chris Lisle/CORBIS s. 209, Hanne Lindemann s. 228, Terje Bendiksby s. 229, Heiko Junge s. 232, Espen Braata s. 239 GV-Press: The Kobal Collection/Super Stock s. 15, Detlev Van Ravenswaay/Science Photo Library s. 16, 127, Rudy Sulgan/age fotostock s. 22, Mallaum/Prisma s. 34, R. Matina/age fotostock s. 40/4, Yadid Levy/age fotostock s. 89, Science Photo Library s. 95, Lynette Cook/Science Photo Library s. 127a, NASA/Science Photo Library s. 127b, Flip Nicklin/Minden Pictures s. 160, Jerry Irwin/Photo Researchers s. 175, Mike Agliolo/Photo Researchers s. 177, Bill Bachmann/Index Stock s. 208a, Comstock Images s. 208b, Prisma Dia-Agentur/AGB Photo Library s. 236 Kart J.W. Cappelens Forlag AS, Oslo s. 212, 213, 219 og 237


Innledning Velkommen til Faktor 1. Dette er den første av i alt tre grunnbøker du skal bruke pa˚ ungdomstrinnet. Til hver grunnbok hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som skal følge deg gjennom alle bøkene.

Fra venstre: Lotte, Hanna, Herman, Sara, Simen og Martin.

Kapitlene i grunnboka er delt inn i fire deler: Lærestoff og oppgaver Prøv deg selv Noe a˚ lure pa˚ Oppsummering Noen av oppgavene er merket med disse symbolene: Kalkulator

Finn ut

Regneark

Utfordrende oppgave

I oppgaveboka finner du oppgaver i tre vanskelighetsgrader og repetisjonsoppgaver til hvert kapittel. Kategori 1 Kategori 2 Kategori 3 Litt av hvert Bakerst i boka finner du Digital manual for arbeid med kalkulator og regneark. Vi ha˚per du fa˚r glede av arbeidet med Faktor! Hilsen Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innledning

3


Innhold 1 Tall og tallforsta˚else .................7 Naturlige tall ....................................8 Hoderegning .................................. 17 Desimaltall...................................... 19 Overslagsregning ........................... 28 Negative tall................................... 31 Potenser ......................................... 35 Flere regnearter pa˚ en gang ......... 37 Romertall ........................................ 39 Prøv deg selv .................................. 41 Noe a˚ lure pa˚ ................................. 42 Oppsummering ............................... 44

Innhold

2 Brøk........................................... 47 Hva er brøk?................................... 48 Utviding og forkorting av brøker.. 53 Addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner .............. 58 Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner............ 61 Uekte brøk og blandet tall............ 66 Brøk og desimaltall ........................ 70 Brøk og multiplikasjon................... 74 Brøk og divisjon............................. 77 Prøv deg selv .................................. 79 Noe a˚ lure pa˚ ................................. 81 Oppsummering ............................... 82

4

3 Prosent...................................... 85 Prosentbegrepet ............................ 86 Prosent som brøk .......................... 90 Prosent og desimaltall ................... 94 Prosent av et tall............................ 96 ˚ finne prosenten.......................... 99 A Prøv deg selv ................................ 102 Noe a˚ lure pa˚ ............................... 104 Oppsummering ............................. 105

4 Geometri................................. 107 Linjer og punkter ......................... 108 Vinkler .......................................... 110 Trekanter ...................................... 114 Firkanter ....................................... 118 Omkrets........................................ 122 Tegning og konstruksjon av normaler............................. 128 Konstruksjon av vinkler ............... 134 Konstruksjon av trekanter ........... 141 Prøv deg selv ................................ 144 Noe a˚ lure pa˚ ............................... 147 Oppsummering ............................. 149

5 Statistikk................................. 153 Frekvens ....................................... 154 Søylediagram og stolpediagram . 157 Sentralma˚l og variasjonsbredde.. 161 Linjediagram ................................ 168 Gjennomføre en undersøkelse .... 172 Prøv deg selv ................................ 173 Noe a˚ lure pa˚ ............................... 176 Oppsummering ............................. 178

6 Tall og algebra ...................... 181 Talluttrykk..................................... 182 Uttrykk med variabler .................. 185 Sette tall inn i uttrykk.................. 188 Regning med bokstavuttrykk ...... 190 Likninger ...................................... 193 Prøv deg selv ................................ 200 Noe a˚ lure pa˚ ............................... 202 Oppsummering ............................. 204


7 Ma˚ling og enheter ................. 207 Lengde ......................................... 208 Ma˚lestokk ..................................... 211 Areal ............................................. 216 Volum ........................................... 220 Masse............................................ 226 Tid ................................................ 229 Vei, fart, tid .................................. 233 Prøv deg selv ................................ 237 Noe a˚ lure pa˚ ............................... 240 Oppsummering ............................. 242 Digital manual ............................ 244 Kalkulatoren ................................. 245 Regneark ...................................... 248 Fasit ............................................. 267 Stikkord ....................................... 290

Innhold

5


Jippi!

Utrolig! Han bruker et symbol for ingenting!

Hadde jeg bare visst!


1 Tall og tallforsta˚else Pa˚ 600-tallet f.Kr. hendte det noe rart i India. En kjøpmann holdt pa˚ med dagens regnskap da han oppdaget noe lurt. Ved hjelp av sifferet 0 og et plassverdisystem kunne han skrive store tall pa˚ en enkel ma˚te. Titallssystemet vi bruker i dag, bygger pa˚ denne oppdagelsen.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . . . . . .

titallssystemet med heltall og desimaltall regning med potenser primtall og sammensatte tall de fire regningsartene rekkefølgen pa˚ regneoperasjoner avrunding av hele tall og desimaltall sortering av tall romertallsystemet

Jeg forsta˚r. Ingen tiere ...


Naturlige tall

?

Ja, vi har et plassverdisystem.

555

Sifrene har ulik verdi.

Hva mener vi med et plassverdisystem?

De første tallene vi lærer om, er naturlige tall. Det er de hele tallene fra og med 1 og oppover.

Tall og tallforsta˚else

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

8

Vi deler de naturlige tallene opp i partall og oddetall. Partall: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... Oddetall: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... Regel

Hvis et tall er delelig med 2, er det et partall. Hvis tallet ikke er delelig med 2, er det et oddetall.

Tallsystemet va˚rt er bygd opp slik at vi kan skrive alle tall ved hjelp av disse ti sifrene: 0

1

2

3

4

5

6

Det er derfor tallsystemet va˚rt heter titallssystemet.

7

8

9


Tallet 7 er skrevet med ett siffer. Da er 7 et ensifret tall. Tallet 1234 er skrevet med fire siffer. Da er 1234 et firesifret tall. Regel

Jo flere siffer det er i et naturlig tall, desto større er tallet.

Eksempel

Hvilket er det største tallet av 1001 og 999? Løsning 1001 besta˚r av fire siffer. 999 besta˚r av tre siffer. 1001 er derfor større enn 999.

Oppgaver 1.1

1.2

1.3

Skriv et tall som er a) tresifret b) femsifret

c) ensifret

Hvor mange siffer inneholder tallene? a) 15 b) 105 c) 8 Skriv tallene ved hjelp av siffer. a) Femtisju b) Ett hundre og tjue fem

d) sekssifret

d) 1001

c) Fire hundre og nitti d) Nitten tusen og fire

1.4

Skriv tallene etter størrelse. Start med det minste tallet. a) 14 3 4 21 17 71 8 b) 111 99 101 909 1111 c ) 7320 7230 7032 7023

1.5

Skriv tallet som er a) 3 større enn 98 b) 37 mindre enn 136 c) 300 større enn 701 d) 2 mindre enn 10 000

1.6

Bruk sifrene 5, 7, 1 og 9 til a˚ skrive et tall som er nærmest mulig a) 10 000 b) 7000 c) 1000

1111 er større enn 999!

Tall og tallforsta˚else

9


1.7

Skriv det største og det minste tallet som det er mulig a˚ skrive ved hjelp av disse sifrene; 6

8

1

1

7

Plassverdi og utvidet form Den plassen et siffer har i et tall, er avgjørende for hvilken verdi sifferet har.

5 9 4 6 TUSENER HUNDRERE

TIERE

ENERE

Vi sier at sifferet 5 har plassverdi tusen, sifferet 9 plassverdi hundre, sifferet 4 plassverdi ti og sifferet 6 plassverdi en. Vi kan ogsa˚ se hvordan tallene er satt sammen ved a˚ skrive dem pa˚ utvidet form. 254 = 200 + 50 + 4 = 2  100 + 5  10 + 4  1

Tall og tallforsta˚else

Utvidet form

10

Vi leser tallet 254 slik: to hundre og femtifire Avstanden fra jorda til ma˚nen er ca. 384 000 km. Dette tallet leser vi «tre hundre og a˚ttifire tusen». 384 000 = 3  100 000 + 8  10 000 + 4  1000

Mannen i ma˚nen


Hvis vi skriver sifrene inn i en tabell, ser vi hva de betyr: Hundre tusener

Ti tusener

Tusener

Hundrere

Tiere

Enere

3

8

4

0

0

0

Eksempel

Skriv 4097 pa˚ utvidet form. Løsning 4097 = 4000 + 90 + 7 = 4  1000 + 0  100 + 9  10 + 7  1 = 4  1000 + 9  10 + 7  1

Oppgaver 1.8

1.9

Skriv tallene med ord. a) 97 b) 347

c) 5451

d) 450 800

Hvilken plassverdi har sifferet 7 i tallene nedenfor? a) 107 b) 1709 c) 7609 d) 1 278 005

1.10 Hvilken plassverdi har sifferet 5 i tallene nedenfor? a) 25 b) 250 c) 1562 d) 225 700 1.11 Lag en tabell som vist øverst pa˚ siden og sett sifrene pa˚ riktig plass. a) 457 c) 6406 e) 59 067 b) 3659 d) 12 978 f ) 104 007 1.12 Skriv tallene pa˚ utvidet form. a) 245 c) 5064 b) 527 d) 45 489

e) 70 809 f ) 2 001 097

1.13 Skriv tallene pa˚ vanlig ma˚te. a) 2  1000 + 3  100 + 4  10 + 5  1 b) 7  1000 + 6  10 + 5  1 c) 9  10 000 + 8  100 + 7  10 + 1  1 d) 5  10 000 + 4  1000 + 5  10

Tall og tallforsta˚else

11


1.14 I 2003 ble romsonden Mars Express sendt opp til planeten Mars. Avstanden fra jorda til Mars er beregnet til ca. 500 millioner km. Skriv tallet 500 millioner pa˚ utvidet form.

Romsonde over Mars

Primtall og sammensatte tall Tallet 24 kan skrives som et produkt pa˚ flere ma˚ter: 83

64

12  2

24  1

Tall og tallforsta˚else

Dette kan vi vise ved a˚ tegne opp rektangler:

12

8  3 = 24

6  4 = 24

12  2 = 24

24  1 = 24

Tallet 13 derimot, kan bare skrives som et produkt pa˚ e´n ma˚te: 13  1 = 13


24 er delelig med flere tall enn seg selv og 1. Derfor er 24 et sammensatt tall. 13 er bare delelig med seg selv og 1. Derfor er 13 et primtall. Regel

Et sammensatt tall er delelig med flere tall enn seg selv og 1. Et primtall er bare delelig med seg selv og 1.

Her ser du de ti første primtallene.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Oppgaver 1.15 Hvilke av tallene er primtall? 12 13 14

15

1.16 Hvilke av tallene er sammensatte tall? 4 7 11 15 42

21

61

23

95

1.17 Skriv primtallene mellom 20 og 40. 1.18 De ti første primtallene er 2 3 5 7 11

13

17

19

23

29

Skriv de ti neste primtallene.

Tall og tallforstaËšelse

13


Faktorisering Faktor  faktor = produkt

NaËšr vi faktoriserer et tall, finner vi hvilke faktorer tallet er satt sammen av. Hvis alle faktorene er primtall, kaller vi faktoriseringen for primtallsfaktorisering. 30 = 2  15 30 = 5  6 30 = 2  3  5

Alle faktorene er primtall

Vi kan dele opp tall i flere og flere faktorer, helt til alle faktorene er primtall. Dette kan vi vise i et faktoriseringstre: 42 er delelig med 2

42

2

21 er delelig med 3

21

3

7

Vi kan skrive 42 som et produkt av faktorer paËš denne maËšten:

Tall og tallforstaËšelse

42 = 2  3  7

14

Alle faktorene er primtall

Oppgaver 1.19 Hvilke tall mangler i faktoriseringstrĂŚrne? 17 12 a) c) 3

1

b)

d)

16

8

2

24

3

2


1.20 Skriv tallene som produkt av primtall. a) 6 b) 9 c) 20 d) 24

e) 30

f ) 36

1.21 Skriv tallene som produkt av primtall. a) 40 b) 50 c) 63 d) 75

e) 81

f ) 100

1.22 Hvilke av tallene er primtall? 36 51 71

101

91

1.23 Skriv av og fyll inn riktige primtall i rutene: a) 15 = &  & c) 28 = &  &  & b) 49 = &  & d) 16 = &  &  &  & 1.24 Skriv tallene fra 1 til 60 i seks kolonner. Start slik: 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 13 14 ...

6 12

a) Sett ring rundt alle primtallene. Hvor finner du primtallene? b) Finnes det partall som ogsa˚ er primtall?

Avrunding av hele tall Til en konsert ble det solgt 23 245 billetter. I avisen dagen etterpa˚ stod det at det hadde vært ca. 23 000 tilskuere pa˚ konserten. Det betyr at tallet i avisen er rundet av til nærmeste tusentall. Eksempel

Rund av 23 245 til a) nærmeste titall

b) nærmeste hundretall

Løsning a) Vi runder av oppover til nærmeste titall hvis det er 5 eller flere enere. Her er det 5 enere. Avrundingen blir derfor slik: 23 245  23 250 b) Vi runder av nedover til nærmeste hundretall hvis det er 4 eller færre tiere. Her er det 4 tiere. Avrundingen blir derfor slik: 23 245  23 200 Elvis Presley

Tall og tallforsta˚else

15


Oppgaver 1.25 Rund av til nærmeste titall. a) 86 b) 124 c) 235

d) 2468

1.26 Rund av til nærmeste hundretall. a) 178 b) 2467 c) 943

d) 12 869

1.27 Rund av til nærmeste tusentall. a) 8563 b) 976

c) 9555

d) 29 589

Tall og tallforsta˚else

1.28 Her ser du en modell av solsystemet va˚rt. Rund av avstandene nedenfor til nærmeste millioner kilometer.

16

Sola – Mars

227 900 000 km

Sola – jorda

149 600 000 km

Sola – Venus

108 210 000 km

Sola – Merkur

57 910 000 km


Hoderegning

?

Jeg regner oppover fra 38.

60 – 38 38 + 46

Det er flere ma˚ter a˚ regne pa˚.

Hvordan vil du regne ut stykkene pa˚ tavla? Na˚r vi regner i hodet, bruker vi ulike metoder. Her er forslag til hvordan vi kan regne ut stykkene pa˚ tavla:

38 + 46 = 30 + 40 + 8 + 6 = 70 + 14 = 84

38 + 46 = 38 + 2 + 44 = 40 + 44 = 84

60 -- 38 = 62 -- 40 = 22

Legger sammen tiere og enere hver for seg

Fyller opp til nærmeste tier

Legger like mye til hvert ledd

60 -- 38 = 60 -- 30 -- 8 = 30 -- 8 = 22

Trekker fra tierne først

Tall og tallforsta˚else

17


Oppgaver

Ledd + ledd = sum Ledd – ledd = differanse

1.29 Regn ut i hodet. a) 19 + 49 b) 18 + 32 c) 153 + 106 d) 416 + 81 1.30 Regn ut i hodet. a) 48 – 22 b) 67 – 35 c) 101 – 63 d) 500 – 368 1.31 Regn ut i hodet. a) 48 + 29 b) 158 + 138 c) 451 – 147 d) 400 – 256

Tall og tallforsta˚else

1.32 Under en skoletur til Danmark bodde 27 norske elever sammen med 38 danske elever. Regn ut i hodet hvor mange elever det var til sammen.

18

1.33 En fisker fikk 57 fisker før lunsj og 132 fisker etter lunsj. Regn ut i hodet hvor mange fisker han fikk i alt. 1.34 Regn ut i hodet. a) Sara har 178 kr. Herman har 29 kr mer enn Sara. Hvor mange kroner har Herman? b) Martin har 37 kr mer enn Lotte. Lotte har 247 kr. Hvor mange kroner har Martin? c) En gruppe elever skal pa˚ skitur. Et heiskort koster 255 kr og bussen koster 86 kr per elev. Hvor mye kommer turen pa˚ per elev? d) Den romerske hærfører og hersker Julius Cæsar ble født i a˚r 100 f.Kr. Han ble drept 56 a˚r gammel. I hvilket a˚r ble han drept?


Desimaltall

?

Hvilket tall er størst?

0,9

0,10

Jeg lurer pa˚ hvor mange desimaltall det er mellom 0 og 1 ...

Hvor mange desimaltall er det mellom 0 og 1?

Na˚r vi skal telle, bruker vi de naturlige tallene. Men i dagliglivet fa˚r vi ofte bruk for desimaltall.

15

22

9,9

0

,90

59

Her er en tallinje fra 1 til 2:

3,5

0

Du ser de for eksempel pa˚ prislapper i butikkene.

1

2

1,1

1,23

1,5

1,81

Det finnes uendelig mange tall mellom 1 og 2. Regel

Na˚r vi skriver et tall som ikke er et helt tall, bruker vi desimaler. Sifrene bak desimaltegnet i et desimaltall kaller vi desimaler.

Tall og tallforsta˚else

19


Desimalene har plassverdiene tideler, hundredeler, tusendeler osv. Tallet 4,156 besta˚r av 4 enere, 1 tidel, 5 hundredeler og 6 tusendeler. Hvis Lotte og Martin skal dele 75 kr, blir det 37,50 kr pa˚ hver. Dette regner vi ut slik: 75 kr : 2 = 37,50 kr Tallet 37,50 kan vi skrive pa˚ utvidet form slik: 37,50 = 3  10 + 7  1 + 5  0,1 + 0  0,01 Vi kan skrive sifrene inn i en tabell pa˚ tilsvarende ma˚te som pa˚ side 11. Tiere

Enere

Tideler

Hundredeler

3

7,

5

0

De mest brukte plassverdiene i va˚rt tallsystem er:

Tall og tallforsta˚else

tusen - hundre - ti - en - tidel - hundredel

20

Desimaltegnet skal alltid sta˚ mellom enerne og tidelene.

6 4,3 2 TIERE

ENERE

TIDELER HUNDREDELER

I tabellen nedenfor ser du flere eksempler: Tall

Tusener

Hundrere

30,67

Tiere

Enere

Tideler

Hundredeler

3

0,

6

7

129,56

1

2

9,

5

6

308,06

3

0

8,

0

6

5

4,

6

54,6


Oppgaver 1.35 Tegn en tilsvarende tabell som vist pa˚ side 20 og sett tallene inn i tabellen. a) 13,4 b) 16,31 c) 27,32 d) 20,03 e) 7312,30 1.36 Skriv et tall som er a) større enn 5 og mindre enn 6 b) større enn 7,9 og mindre enn 8 c) større enn 2,99 og mindre enn 3 d) større enn 4,97 og mindre enn 4,98 e) større enn 5,69 og mindre enn 5,70 f ) større enn 0 og mindre enn 0,001 1.37 Skriv av og fyll inn tallene som mangler. a) 1,0 1,5 2,0 & & & & & 5,0 b) 1,0 1,1 & & & 1,5 c) 1,95 1,96 & & 1,99 & & 1.38 Regn ut. a) 6,5 + 10,15 b) 45,7 + 10,42

c) 89,21 + 10,8 d) 45,6 -- 23,8

e) 100 -- 34,5 f ) 123,1 -- 97,8

10 10

32,4 – 16,8 = 6

Jeg stiller opp stykket.

1.39 Skriv tallene etter størrelse. Start med det minste tallet. a) 4,52 3,96 15 4,09 b) 130,7 15,75 131 159,96 c) 4,502 4,052 4,250 4,520 d) 0,9 0,10 0,09 0,15 e) 0,02 0,019 0,021 0,018

Tall og tallforsta˚else

21


1.40 Seks elever løp 60 m i en gymnastikktime. Resultatet ble: Arve 9,2 s Berit 8,7 s Cecilie 9,1 s Doris 10,0 s Espen 8,5 s Fredrik 9,0 s Sorter tallene i stigende rekkefølge. 1.41 Her ser du lengden til noen insekter: Blomsterflue 0,012 m Gresshoppe 0,020 m Tege 0,008 m Sandveps 0,018 m

Tall og tallforsta˚else

Sorter tallene i stigende rekkefølge.

22

1.42 Her ser du høyden til noen av verdens høyeste byggverk: Kheopspyramiden 146,5 m Notre Dame i Paris 141,0 m Empire State Building 381,9 m Domkirken i Ko¨ln 156,0 m Eiffelta˚rnet 300,5 m a) Sorter tallene i synkende rekkefølge. b) Hvor mye høyere er Eiffelta˚rnet enn Domkirken i Ko¨ln? Eiffelta˚rnet i Paris


1.43 Se pa˚ disse tallene: 0,9 0,12

0,87

0,91

0,19

a) Regn ut summen av det minste og det største tallet. b) Regn ut differansen mellom det største og det minste tallet.

Multiplikasjon og divisjon med 10 Vi kan multiplisere et tall med 10, 100, 1000 osv. ved a˚ flytte desimaltegnet like mange plasser til høyre som det er nuller i tallet vi multipliserer med. 4,5  10 = 45

4,35  100 = 435

0,3256  1000 = 325,6

Vi kan dividere et tall med 10, 100, 1000 osv. ved a˚ flytte desimaltegnet like mange plasser til venstre som det er nuller i tallet vi dividerer med. 45 : 10 = 4,5

435 : 100 = 4,35

456 : 1000 = 0,456

Regel

Na˚r vi multipliserer et tall med 10, 100, 1000 osv., flytter vi desimaltegnet like mange plasser til høyre som det er nuller i tallet vi multipliserer med. Na˚r vi dividerer et tall med 10, 100, 1000 osv., flytter vi desimaltegnet like mange plasser til venstre som det er nuller i tallet vi dividerer med.

Oppgaver 1.44 Tegn av og fyll ut tallene som mangler i tabellen. Tall 862

 10

 100

 1000

8620

8,62

862

0,123

123

1.45 Tegn av og fyll ut tallene som mangler i tabellen. Tall

: 10

: 100

: 1000

5382 423 81

Tall og tallforsta˚else

23


1.46 Regn ut i hodet. a) 6,5  10 c) 10  0,52 b) 5,87  10 d) 100  4,8

e) 46,5 : 10 f ) 3,8 : 10

1.47 Skriv tallene som mangler. a) &  3,6 = 36 c) 708 = &  100 b) 4,7  & = 470 d) 75 : & = 7,5

g) 3,8 : 100 h) 0,23 : 10

e) 835 : & = 8,35 f ) 6,07 = & : 1000

1.48 10 kg hvetemel koster 73,50 kr. Hvor mye koster 1 kg hvetemel? 1.49 En skrue koster 0,15 kr. Hvor mye koster 100 skruer? 1.50 Sara kjøper 1000 skruer og betaler 120 kr. Simen kjøper 100 skruer og betaler 15 kr. Hvor mange øre mer betaler Simen per skrue enn Sara?

Regning med desimaltall Nedenfor ser du et eksempel pa˚ hvordan vi multipliserer to desimaltall med hverandre.

Tall og tallforsta˚else

To desimaler

24

1

En desimal

1

Faktor  faktor = produkt

1 3, 4 2 ∙ 2, 3 4 0 2 6 2 6 8 4 3 0, 8 6 6 Tre desimaler Regel

Na˚r vi multipliserer to tall, er antall desimaler i svaret (produktet) lik summen av antall desimaler i faktorene.


Hvis vi skal dividere 31,50 med 6, regner vi slik:

3 1, 5 0 : 6 = 5, 2 5 3 0

Dividend : divisor = kvotient

1 5 1 2 3 0

Hundredeler Tideler Enere

3 0 0 I eksemplet ovenfor har vi dividert med et helt tall. Hvis vi skal dividere med et desimaltall, ma˚ vi først gjøre om divisoren til et helt tall ved a˚ multiplisere med 10, 100 eller 1000. Regel

Hvis vi skal dividere et tall med et desimaltall, ma˚ vi først multiplisere dividenden og divisoren med 10, 100 eller 1000 slik at divisoren blir et helt tall. Eksempel

Regn ut: 2,94 : 1,4 Løsning 2,94 : 1,4 = ð2,94  10Þ : ð1,4  10Þ = 29,4 : 14 Deretter utfører vi divisjonen: 29,4 : 14 = 2,1 28 14 14 0 Det vil altsa˚ si at 2,94 : 1,4 = 2,1

Tall og tallforsta˚else

25


Oppgaver 1.51 Regn ut og kontroller svarene med kalkulatoren. a) 2,3  4 c) 2,2  3,4 e) 0,25  16,4 b) 8,5  7 d) 8,5  6,4 f ) 0,08  0,92 1.52 Regn ut og kontroller svarene med kalkulatoren. a) 27,5 : 11 c) 1,56 : 1,2 e) 79,5 : 15 b) 24,0 : 15 d) 48,3 : 0,21 f ) 0,72 : 0,09 1.53 En pose med 5 kg poteter koster 31,50 kr. Hvor mye koster 1 kg poteter?

Tall og tallforsta˚else

1.54 Et moteblad kommer ut med 13 nummer per a˚r. Bladet koster 49,50 kr i butikken. Hvor mye koster det a˚ kjøpe alle numrene av motebladet i ett a˚r?

26

1.55 1,5 kg epler koster 30,60 kr. Hvor mye koster a) 2,5 kg epler b) 3,2 kg epler

c) 7,8 kg epler d) 0,9 kg epler


Avrunding av desimaltall Na˚r vi regner med desimaltall, fa˚r vi ikke alltid et endelig antall desimaler i svaret. Vi runder derfor av til ønsket antall desimaler. Avrunding til e´n desimal: 4,03 cm  4,0 cm 4,16 cm  4,2 cm 4,08 cm  4,1 cm 4,25 cm  4,3 cm

Na˚r desimalen etter avrundingssifferet er 5 eller større, runder vi av oppover.

Oppgaver 1.56 Rund av til en desimal. a) 2,34 b) 4,65

c) 7,86

d) 5,46

1.57 Rund av til to desimaler. a) 4,567 b) 6,367

c) 6,777

d) 2,224

1.58 Rund av til tre desimaler. a) 1,5555 b) 4,8996

c) 0,0005

d) 7,9995

1.59 Rund av til et helt tall. a) 14,49 b) 5,50

c) 9,51

d) 99,62

1.60 Rund av til to desimaler. a) 5,586 b) 5,596

c) 5,895

d) 5,995

Tall og tallforsta˚else

27


Overslagsregning

?

Vi har 100 kr. Har vi ra˚d til a˚ kjøpe hele fisken?

5,2  18,90 kr = ?

Tall og tallforsta˚else

Hvordan kan vi finne ut omtrent hvor mye fisken koster?

28

I mange tilfeller trenger vi ikke a˚ regne ut nøyaktige svar. I dagliglivet har vi ofte mer bruk for a˚ regne ut svar som er omtrent riktig, for eksempel na˚r vi gjør et overslag over hvor mye vi skal betale for varer i butikken. Ved overslagsregning runder vi av ett eller flere tall før vi regner i hodet. Lotte og Simen vil kjøpe en fisk som veier 5,2 kg. Prisen per kilogram er 18,90 kr. For a˚ finne ut omtrent hvor mye de ma˚ betale, runder vi av 5,2 kg til 5 kg og 18,90 kr til 20 kr: 5,2  18,90 kr  5  20 kr = 100 kr De ma˚ altsa˚ betale ca. 100 kr. Nøyaktig utregning: 5,2  18,90 kr = 98,28 kr I multiplikasjon blir overslaget best na˚r vi runder av det ene tallet oppover og det andre tallet nedover. I divisjon blir overslaget best na˚r vi runder av begge tallene oppover, eller na˚r vi runder av begge tallene nedover.


Eksempel

Onkel Jens kjøper 12,5 liter bensin til motorsykkelen sin. Han betaler 123,50 kr. Gjør et overslag for a˚ finne literprisen. Løsning 123,50 kr : 12,5  100 kr : 10 = 10 kr Literprisen er ca. 10 kr. Nøyaktig utregning: 123,50 kr : 12,5 = 9,88 kr

Oppgaver 1.61 Gjør overslag. a) 9,2  4,3 b) 6,1  11,9

c) 19,1  12,1 d) 0,9  5,9

e) 97,5  12,3 f ) 106,9  93,7

1.62 Gjør overslag. a) 26,1 : 5,8 b) 103,2 : 11,1

c) 19,5 : 0,9 d) 41,1 : 6,7

e) 63,1 : 7,3 f ) 198,3 : 48,7

1.63 Martin kjøper 3,2 kg pølser til 48 kr per kilogram. Gjør et overslag over hvor mye Martin ma˚ betale for pølsene. 1.64 Hanna arbeider i skobutikken pa˚ lørdager. Hun tjener 469,50 kr pa˚ 6 timer. Gjør et overslag over hvor mye hun tjener per time.

Tall og tallforsta˚else

29


1.65 Simen kjøper disse varene i butikken: 1,8 kg skinke til 160, 50 kr per kilogram 2 hg kjøttpa˚legg til 11,50 kr per hektogram 1,8 kg appelsiner til 16,50 kr per kilogram 2 kartonger iste til 9,30 kr per kartong a) Lag et overslag over hvor mye Simen ma˚ betale for hvert vareslag. b) Omtrent hvor mye ma˚ Simen betale for alle varene? c ) Bruk kalkulatoren til a˚ regne ut nøyaktig hvor mye Simen ma˚ betale. 1.66 Sara og Simen er i butikken og handler inn for klassen. De kjøper disse varene: 9 pakker pølser til 47,90 kr per stk. 4 pakker lomper til 7,90 kr per stk. 2 sekker grillkull til 9,90 kr per stk. 1 flaske tennvæske til 8,90 kr a) Omtrent hvor mye ma˚ de betale for varene? b) Bruk kalkulatoren til a˚ regne ut nøyaktig hvor mye de skal betale.

Tall og tallforsta˚else

1.67 3,5 kg pærer koster 53,20 kr. Finn ut omtrent hvor mye 2 kg pærer koster.

30


Negative tall

?

Na˚ viser termometeret -4  C.

I dag tidlig var temperaturen 3  C.

Hvor mange grader har temperaturen sunket?

Vi finner de negative tallene til venstre for 0 pa˚ tallinja, og kjenner dem igjen pa˚ termometeret. --4 er eksempel pa˚ et negativt tall. Pa˚ tallinja blir tallene større jo lenger mot høyre vi ga˚r. –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

Oppgaver 1.68 Skriv av og sett < eller > mellom tallene. a) 3 & 7 d) --10 & 0 & b) --3 --7 e) --1000 & --1001 c) 0 &--5 f ) --1000 & --2

Tall og tallforsta˚else

31


1.69 Skriv tallene etter størrelse. Start med det minste tallet først. a) --3 --5 0 1 --7 b) --999 --1000 --998 --1001 --1003 1.70 Hvilke tre feil finner du? A --6 < -- 1 C --6,2 > --2,8 B --3 < -- 5 D --10 > 0

E --1,6 < --1,5 F --100 > --101

1.71 Finn to eksempler fra dagliglivet der vi bruker negative tall.

Regning med negative tall En ettermiddag viste termometeret 5  C. I løpet av natta sank temperaturen a˚tte grader. Morgenen etter var temperaturen --3  C. Dette kan vi sette opp som et regnestykke slik: 5 -- 8 = --3 Vi kan ogsa˚ vise det pa˚ en tallinje:

Tall og tallforsta˚else

–6

32

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

2

3

4

5

6

–8

Pa˚ samme ma˚te er --3 + 8 = 5 –6

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

+8


Se pa˚ tabellen nedenfor. Oppdager du systemet? 5 -- 2

3

4 -- 2

2

3 -- 2

1

2 -- 2

0

1 -- 2

--1

0 -- 2

--2

--1 -- 2

--3

Hvor mye blir -2 - 2?

Hva med -3 - 2?

--2 -- 2 --3 -- 2

Lotte vil kjøpe en genser til 170 kr, men hun har bare 150 kr. Hvor mye mangler hun? Vi kan regne slik: 170 kr – 150 kr = 20 kr Jeg mangler 20 kr.

Lotte mangler altsa˚ 20 kr. Det vil si at 150 kr – 170 kr = –20 kr

Oppgaver 1.72 Regn ut. a) 2 -- 10 b) --2 -- 3

c) --23 -- 17 d) 10 -- 25

e) --10 -- 15 f ) 100 -- 109

1.73 Regn ut. a) 20 -- 10 b) --2,5 -- 4,0

c) --7,8 + 2,9 d) 2,5 -- 4,0

e) --20 + 40 f ) --40 -- 20

Tall og tallforsta˚else

33


1.74 Et termometer viser --8  C. Hva viser termometeret hvis temperaturen stiger a) ni grader b) tre grader c) a˚tte grader d) tolv grader

Tall og tallforsta˚else

1.75 Mount Everest i Nepal er 8850 m høyt. Challengerdypet i Stillehavet er 11 034 m dypt. Hvor stor er forskjellen i meter?

34

Mount Everest

1.76 Herman vil kjøpe en lommelykt til 86 kr. Han har bare 70 kr. Hvor mye mangler han? 1.77 Augustus, den første romerske keiseren, døde i a˚r 14 e. Kr. Han ble 77 a˚r gammel. Na˚r ble han født?


Potenser

?

35 Vi leser: tre i femte

Hva betyr uttrykket pa˚ tavla?

Hvis vi multipliserer flere like store tall med hverandre, kan vi bruke en kortere skrivema˚te: 3  3  3  3  3 = 35 Uttrykket 35 kaller vi en potens. Vi leser «tre i femte potens» eller ofte bare «tre i femte». I denne potensen er 3 grunntallet og 5 eksponenten.

Grunntall

35

Eksponent

Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Oppgaver 1.78 Skriv regneuttrykkene som potenser. a) 6  6  6 c) 5  5  5  5 b) 3  3 d) 10  10  10  10 1.79 Skriv som potens. a) 4  4  4  4  4  4 b) 7  7  7  7  7

e) 2  2  2  2  2  2 f ) 12  12  12

c) 8  8  8  8  8  8  8  8

Tall og tallforsta˚else

35


1.80 Regn ut potensene. a) 23 b) 103

c) 32 d) 28

e) 44 f ) 82

Husk dette!

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 · 4 = 20 5

4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 = 1024

Tall og tallforsta˚else

1.81 Skriv regnestykkene ved a˚ bruke en kortere skrivema˚te, enten som potens eller som multiplikasjon. a) 4  4  4  4  4 c) 3  3 e) 7 + 7 + 7 + 7 b) 6 + 6 + 6 d) 2  2  2 f ) 10  10  10  10

36

1.82 Skriv uttrykkene som vanlig multiplikasjon og regn ut. c) 25 e) 53 g) 104 a) 23 b) 45 d) 92 f ) 1002 h) 10002 1.83 Skriv potensene med tall. a) To i tredje b) Fem i fjerde

c) Sju i andre

1.84 Skriv potensene med tall. a) Ti i sjette b) Ni i tiende

c) Sju i sjuende d) Tolv i femtende

d) Fire i a˚ttende

1.85 Forklar hva eksponenten forteller oss. 1.86 Regn ut. a) 3  5  5  5

b) 6  25

c) 25  53

d) 52  53


Flere regnearter pa˚ en gang

? 30 + 3 ∙ 50

Kanskje det er slik: 30 + 3  50 = 1650 |fflfflffl{zfflfflffl} 33

50 – 40 : 4 Jeg regner slik: 30 + 3  50 = 180 |fflffl{zfflffl} 150

Hvem har regnet riktig?

Na˚r vi skal regne ut 30 + 3  50 multipliserer vi de to siste tallene før vi adderer: 30 + 3  50 = 30 + 150 = 180 Pa˚ tilsvarende ma˚te regner vi ut 50 -- 40 : 4 slik: 50 -- 40 : 4 = 50 -- 10 = 40

Regel

Na˚r det er flere regnearter i et uttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1 multiplikasjon og divisjon 2 addisjon og subtraksjon

Eksempel

Regn ut: 100 -- 4  20 Løsning 100 -- 4  20 = 100 -- 80 = 20

Tall og tallforsta˚else

37


Hvis du bruker kalkulator, kan du multiplisere først og subtrahere til slutt: 4  20 = 80 NB! Minnetastene pa˚ kalkulatorer kan virke forskjellig. Se Digital manual.

100 -- 80 = 20 Hvis du bruker minnetastene, kan du regne slik: 100

4  20

Oppgaver 1.87 Regn ut. a) 12 + 3  50 b) 80 -- 5  7

c) 24 + 12 : 3 d) 36 -- 42 : 7

e) 20 -- 4  3 f ) 13 + 15 : 3

Slik regner jeg!

3 ·5 + 2 ·6 =

Tall og tallforsta˚else

(3 · 5) + (2 · 6) =

38

15 + 12 = 27

1.88 Regn ut. a) 3  5 + 2  6 b) 8  5 -- 4  6 1.89 Regn ut. a) 4  5 -- 5  3 + 125 : 5 b) 6  5 : 3 + 8  7

c) 36 : 2 -- 6  2 d) 4  17 + 12  26

e) 126  4 -- 126 : 9 f ) 120 : 4 + 120 : 5

c) 16 : 4 -- 2 + 3  8 d) 3  2 -- 4 + 6 : 2 -- 3 + 4 + 4  3 -- 2


Romertall

? Lurer pa˚ na˚r Napoleon levde...

Na˚r levde Napoleon Bonaparte?

Titallssystemet er et plassverdisystem. Den plassen et siffer har i et tall, er avgjørende for hva sifferet betyr. Slik er det ikke i romertallsystemet. Her bruker vi bokstaver som symboler for tall. Dessuten betyr bokstavene det samme uansett hvilken plass de har i et tall. Romertallsystemet bruker disse symbolene: I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1000

IV VI XXIX MMIV MDCCLXVI MCMXLIV

! 5 -- 1 = 4 !5+1=6 ! 10 + 10 + ð10 -- 1Þ = 29 ! 1000 + 1000 + ð5 -- 1Þ = 2004 ! 1000 + 500 + 100 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 = 1766 ! 1000 + ð1000 -- 100Þ + ð50 -- 10Þ + ð5 -- 1Þ = 1944

Tall og tallforsta˚else

39


Regel

Na˚r et mindre romertall sta˚r foran et større tall, trekker vi det minste tallet fra det største. Na˚r det største tallet sta˚r først, skal du addere tallene. Vi plasserer aldri romertallene V, L eller D foran et tegn med høyere verdi.

Oppgaver 1.90 Skriv fødselsa˚ret og alderen din med romertall. 1.91 Skriv romertallene som vanlige tall. a) VII b) IX c) XXVI

d) LXII

1.92 Skriv tallene som romertall. a) 20 b) 55

d) 234

i

ed

´Arc 43 (1412–1

1.94 Regn ut. Skriv svarene ba˚de som romertall og vanlige tall. a) VIII + IV b) XXII – VI c) MMMCM – CDXLIV

1

)

9) 88 2–1 94

t (1 d Undse

K rtin Luther

nn

2002)

Sigri

Ma

J ea

14–

40

eyerdah or H l( Th

19

Tall og tallforsta˚else

1.93 Skriv fødselsa˚ret til disse personene med romertall.

ng (19 29–1968)

c) 103


Prøv deg selv 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Hvilken plassverdi har sifferet 5 i disse tallene? a) 125 b) 152 c) 512

d) 15 807

Skriv tallene pa˚ utvidet form. a) 459 b) 1034

d) 15 000

c) 265 006

Skriv tallene som produkter av primtall. a) 12 b) 16 c) 34

d) 35

e) 91

Rund av tallene til nærmeste hele tall. a) 2,9 b) 2,5 c) 2,4

d) 0,7

e) 4,49

Hva betyr sifferet 8 i disse tallene? a) 8,23 b) 2,83 c) 2,38

d) 2,038

Regn ut i hodet. a) 4,5  10 b) 2,035  100

c) 2,54 : 100

d) 15,09 : 1000

Still opp og regn ut. a) 3,7 + 1,36 c) 4,2  1,5 b) 49,1 -- 34,54 d) 14,3  3,5

e) 34,5 : 7 f ) 12,1 : 0,16

Rund av tallene til e´n desimal. a) 4,55 b) 23,64 c) 12,849

d) 20,951

e) 99,97

Simen kjøper 9 flasker brus. Hver flaske koster 11,50 kr. Lag et overslag som viser omtrent hva Simen skal betale. Regn ut. a) 25 -- 30 b) --30 + 45

c) --3,4 -- 2,3 d) --65 + 45

e) 6,5 -- 9,6 f ) --2,5 + 5,3

Regn ut. a) 52

b) 32

c) 23

d) 106

Regn ut. a) 4 + 5  4

b) 7  8 -- 45

c) 5  3 -- 2  5

d) 101 -- 27 : 3

Skriv romertallene med vanlige tall. a) VIII b) IX c) MDL

d) MDCCCXII

Tall og tallforsta˚else

41


Tall og tallforsta˚else

Noe a˚ lure pa˚

42

1

Ma˚ et primtall alltid være et oddetall?

2

To fedre og to sønner dro pa˚ fisketur. De fikk tre fisker. Etter at de hadde delt fiskene mellom seg hadde alle fa˚tt en fisk hver. Hvordan var dette mulig?

3

Bruk sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7 til a˚ lage addisjonsstykker. Alle sifrene skal være med hver gang. Summen skal bli 100. Hvor mange regnestykker klarer du a˚ lage?

He, he!

46 + 17 + 35 + 2 = 100


4

Legenden forteller: Keiser Luo oppdaget for mer enn 3000 a˚r siden en skilpadde med et merkelig mønster pa˚ skallet. Han sa˚ at mønsteret var formet som et magisk kvadrat med ni felter. Hvert felt var fylt med prikker pa˚ en bestemt ma˚te. Hvis keiseren summerte prikkene loddrett, vannrett eller diagonalt fikk han uansett samme sum. Siden har det magiske kvadratet fa˚tt navnet Luo Shu etter den kinesiske keiseren.

Tegn av og fyll inn tallene i det magiske kvadratet. Summen skal bli den samme vannrett, loddrett og diagonalt. a) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 c) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 5

a) Regn ut disse stykkene: 12 345 679  9 12 345 679  27 12 345 679  45 b) Se pa˚ svarene og lag flere oppgaver etter det samme systemet. Hva slags system oppdager du?

Tall og tallforsta˚else

43


Oppsummering Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0. 1

2 3

4 5

6

...

Vi kan skrive naturlige tall paË&#x161; utvidet form. 1234 = 1  1000 + 2  100 + 3  10 + 4  1

Partall og oddetall Partall er hele tall som er delelige med 2. 2

4 6

8 10 ...

Oddetall er hele tall som ikke er delelige med 2. 1

3 5

7 9

11

...

Tall og tallforstaË&#x161;else

Primtall og sammensatte tall

44

Primtall er naturlige tall som bare er delelige med 1 og seg selv. 2

3 5

7 11 13

17 ...

Sammensatte tall kan skrives som et produkt av naturlige tall som er større enn 1. 42 = 2  3  7

Faktorisering NaË&#x161;r vi faktoriserer et tall, skriver vi tallet som et produkt med flere faktorer. 24 = 3  8

24 = 4  6

24 = 2  12

Primtallsfaktorisering: 24 = 2  2  2  3

Alle faktorene er primtall


Desimaltall Et desimaltall besta˚r av et helt tall og desimaler.

6 4,3 2

Tallet 64,32 har to desimaler.

TIERE

ENERE

TIDELER HUNDREDELER

Den plassen et siffer har i et tall, er avgjørende for hva sifferet betyr.

De fire regneartene Addisjon Ledd + ledd = sum

Subtraksjon Ledd – ledd = differanse

Multiplikasjon Faktor . faktor = produkt

Divisjon Dividend : divisor = kvotient

Na˚r det er flere regnearter i et uttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1 multiplikasjon og divisjon 2 addisjon og subtraksjon

Negative tall Negative tall er alle tall som er mindre enn 0. –4

–3

–2

–1

Negative tall

0

1

2

3

4

Positive tall

Potenser Na˚r vi multipliserer tall som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 6  6  6  6 = 64

Romertall I romertallsystemet bruker vi bokstaver som symboler for tall. I

V

X

L

C

D

M

1

5

10

50

100

500

1000

Tall og tallforsta˚else

45


1 1 + =1 2 2

Sier du det!


2 Brøk En brøk forteller oss hvor stor del av helheten vi har, for eksempel et halvt brød eller et kvart kilogram kaffe. I dagliglivet bruker vi brøk i mange praktiske situasjoner: Vi har syklet halvparten av veien. Sangen ga˚r i tre firedels takt. Kakeboksen er tre kvart full.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . .

regning med brøk utviding og forkorting av brøk sammenhengen mellom brøk og desimaltall uekte brøk og blandet tall

Best a˚ lære seg addisjon med brøk med en gang!


Hva er brøk?

?

Na˚ har vi ga˚tt to tredeler av veien. Jeg har spist halvparten av nisten min. Jeg har drukket tre firedeler av kakaoen.

Na˚r bruker vi brøk?

To tredeler, en todel og tre firedeler er alle eksempler pa˚ brøk. I figuren nedenfor er tre av fire ruter, tre firedeler, skravert. 3

3 4

Teller Brøkstrek Nevner

4

Telleren forteller hvor mange deler det er, og nevneren hvor mange deler det er i alt. Brøkstreken er det samme som et divisjonstegn.

Brøk

Oppgaver

48

2.1

Skriv som brøk. a) A˚tte nideler b) Sju tideler

c) Seks tolvdeler d) Trettifem hundredeler


2.2

Se pa˚ pizzaene og bestem hvor mange brøkdeler som er spist. a) b) c)

2.3

Hvor stor brøkdel av hver figur er skravert? a)

b)

c)

2.4

Omtrent hvor stor brøkdel av bygningen ligger a) under bakken b) over bakken

2.5

a) Hvor stor brøkdel av dropsene er bla˚?

b) Hvor stor brøkdel av sjokoladen er spist opp?

c) Omtrent hvor stor brøkdel av saften er drukket opp?

Brøk

49


2.6

a) Omtrent hvor stor brøkdel av kroppen er vann?

b) Omtrent hvor stor brøkdel av et isfjell er under vann?

Større eller mindre enn en hel En brøk kan være mindre enn 1, lik 1 eller større enn 1. Mindre enn 1

Lik 1

3 4

4 4

Telleren er mindre enn nevneren

Telleren og nevneren er like store

Større enn 1

5 4 Telleren er større enn nevneren

Brøk

Regel

50

Hvis telleren er mindre enn nevneren, er brøken mindre enn 1. Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1. Hvis telleren er større enn nevneren, er brøken større enn 1.


Oppgaver 2.7

Hvilke av brøkene er større enn 1? 4 5

2.8

7 3

2 3

3 2

3 7

3 3

Hvilke av brøkene er mindre enn 1? 5 4

2.9

12 11

4 5

1 2

8 7

3 3

7 8

2 1

Hvilke av brøkene er lik 1? 4 4

1 3

11 11

3 1

7 7

7 6

6 7

Likeverdige brøker To forskjellige brøker kan ha lik verdi. Figurene nedenfor viser at samme som

1 4

1 er det 4

2 . 8

2 8

=

Vi sier at brøkene er likeverdige. Disse brøkene har ogsa˚ like stor verdi og er derfor likeverdige:

1 3

=

2 6

=

4 12

=

8 24

Brøk

51


Oppgaver 2.10 Se pa˚ figurene og bestem a) hvor stor brøkdel av hver figur som er skravert b) hvilke av brøkene som er likeverdige

A

C

E

B

D

F

2.11 Finn ved hjelp av tegning hvilke brøker som er likeverdige. 6 8

2 4

9 12

4 8

3 4

2.12 Finn en annen brøk som er likeverdig med 1 2 1 b) c) a) 2 3 8 2.13 Skriv av og fyll inn tallene som mangler. 2 & 4 8 3 & b) = a) = c) = 3 6 5 & 4 8

6 12

d)

2 10

d)

2 & = 6 12

Brøk

2.14 Lotte og Sara ga˚r pa˚ kino. De kjøper hver sin pose popkorn. Halvveis i 4 6 filmen har Sara spist opp av popkornet og Lotte har spist opp . 6 9 Har de spist opp like mye? Forklar.

52


Utviding og forkorting av brøker

?

1 = 4 8

Hvordan kan vi gjøre om

1 til en brøk med a˚ttedeler? 4

1 2 1 og har lik verdi ved a˚ utvide brøken med 2. 4 8 4 Det gjør vi ved a˚ multiplisere telleren og nevneren med 2. Vi kan vise at brøkene

1 12 2 = = 4 42 8

Pa˚ samme ma˚te kan vi forkorte

2 1 til . Det gjør vi ved a˚ dividere telleren og 8 4

nevneren med 2.

2 2:2 1 = = 8 8:2 4

Brøk

53


Regel

Vi utvider en brøk ved a˚ multiplisere telleren og nevneren med det samme tallet. Brøken forandrer ikke verdi. Vi forkorter en brøk ved a˚ dividere telleren og nevneren med det samme tallet. Brøken forandrer ikke verdi.

Eksempel

Utvid brøken

2 med 3. 4

Løsning 2 23 6 = = 4 4  3 12

Forkort brøken

4 med 2. 6

Løsning 4 4:2 2 = = 6 6:2 3

Oppgaver 2.15 Utvid brøkene med 5. 1 2 b) a) 3 3

c)

1 4

Brøk

2.16 Forkort brøkene med 2. 2 4 6 b) c) a) 4 6 10

54

d)

2 4

e)

3 5

f)

5 13

d)

4 12

e)

10 20

f)

24 6

e)

20 30

f)

64 128

2.17 Forkort brøkene sa˚ mye som mulig. 4 21 4 16 a) b) c) d) 4 49 16 24


2.18 Til høyre ser du antall elever ved Granli skole. En dag er a˚tte elever pa˚ hvert a˚rstrinn syke. Hvor stor brøkdel av elevene pa˚ hvert trinn er syke? Forkort svarene sa˚ mye som mulig.

Antall elever

A˚rstrinn 8

24

9

12

10

28

2.19 Til en fotballkamp er det solgt 6000 av i alt 8000 billetter. Hvor stor brøkdel av billettene er a) solgt b) ikke solgt Forkort svarene sa˚ mye som mulig.

Fredrikstad – Va˚lerenga i tippeligaen 2004

Brøk

55


Vi sammenlikner brøker Na˚r vi sammenlikner brøker, kan vi gjøre nevnerne like store ved a˚ utvide e´n 2 3 eller flere av brøkene. For a˚ finne ut hvilken brøk som er størst av og , 3 4 utvider vi brøkene slik at de fa˚r lik nevner. 2 24 8 = = 3 3  4 12 Vi ser at

3 2 > 4 3

3 33 9 = = 4 4  3 12 fordi

9 8 > 12 12

Regel

Na˚r to brøker har like nevnere, er brøken med den største telleren størst.

Eksempel

Hvilken brøk er størst av

1 2 og ? 3 5

Løsning 1 15 5 = = 3 3  5 15

2 23 6 = = 5 5  3 15

2 1 6 5 > fordi > 5 3 15 15

Oppgaver 2.20 Hvilken brøk er størst? 3 5 a) eller 5 4

Brøk

b)

56

6 11 eller 7 14

c)

3 3 eller 6 5

d)

3 2 eller 8 6

2.21 Hvilke brøker er minst eller lik hverandre? 3 6 3 4 c) eller a) eller 4 8 4 5 b)

5 6 eller 6 8

d)

10 9 eller 11 10


2.22 Sara, Lotte, Simen og Herman skal dele en premie slik: 1 1 4 1 Lotte skal ha av premien, Herman , Sara og Simen . 2 8 12 24 Hvem fa˚r mest?

2.23 Sara og Hanna deler en flaske brus. Hanna drikker 1 av brusen. 4 Hvem drikker minst?

1 av brusen og Sara 2

drikker

2 1 av en kake, og Hanna spiser . 8 6 Hvem spiser mest?

2.24 Martin spiser

2.25 Under stafetten pa˚ idrettsdagen løper Simen

2 av distansen, Herman 5

1 3 og Martin løper . 10 6 Hvem løper den lengste distansen? løper

Brøk

57


Addisjon og subtraksjon av brøker med lik nevner

?

Jeg har spist

1 . 5 Jeg har spist

3 . 5

Hvor stor brøkdel av kaka har Martin og Hanna spist til sammen?

Kaka er delt i fem like store stykker. Hanna har spist ett stykke og Martin tre 1 3 stykker. Vi sier at Hanna har spist av kaka og Martin . Til sammen har de 5 5 4 spist fire stykker, som er av kaka. 5

1 5

+

3 5

=

4 5

Brøk

Regel

58

Na˚r vi legger sammen brøker med like nevnere, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren. Na˚r vi subtraherer brøker med like nevnere gjør vi pa˚ samme ma˚te.


Eksempel

Regn ut. a)

3 1 + 7 7

b)

3 1 -7 7

Løsning a)

3 1 3+1 4 + = = 7 7 7 7

b)

3 1 3 -- 1 2 -- = = 7 7 7 7

Oppgaver 2.26 Sett opp regnestykkene som figurene viser og regn ut. a)

+

b)

+

c)

+

d)

+

Brøk

59


2.27 Regn ut. 2 1 a) + 4 4 b)

3 1 -7 7

c)

3 2 -8 8

e)

2 1 4 + + 9 9 9

d)

1 1 + 3 3

f)

3 4 3 + -11 11 11

2.28 Simen har en full brusflaske. Hvor mye brus har han igjen hvis han drikker a) to femdeler b) tre seksdeler c) fire trettendeler d) a˚tte ellevedeler

2.29 Sara har en kurv med jordbær som er og Herman en kurv som er

Brøk

Hvor mye jordbær har de til sammen?

60

1 full. 4

3 full 4


Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner

?

Hvordan gjør jeg dette?

1 1 + = 2 4

2 1 + = 5 3

Hvordan kan vi legge sammen brøker med ulike nevnere? Hvis vi skal addere eller subtrahere brøker med ulik nevner, ma˚ vi først gjøre nevnerne like store. Det kaller vi a˚ finne fellesnevner til brøkene. 1 1 + ser vi at den minste nevneren ga˚r opp i den største. 2 4 Vi utvider da den minste brøken slik at begge brøkene fa˚r nevneren 4. I regnestykket

1 1 12 1 2 1 2 + 1 3 + = + = + = = 2 4 22 4 4 4 4 4 2 1 + ser vi at begge nevnerne er primtall. Vi multipliserer da 5 3 nevnerne med hverandre for a˚ finne en fellesnevner.

I regnestykket

2 1 23 15 6 5 6 + 5 11 + = + = + = = 5 3 5  3 3  5 15 15 15 15

Regel

Na˚r vi skal addere eller subtrahere brøker med ulike nevnere, ma˚ vi først utvide eller forkorte brøkene slik at de fa˚r fellesnevner.

Brøk

61


Eksempel

Regn ut. a)

1 1 + 3 6

b)

2 1 + 7 3

Løsning a)

1 1 12 1 2 1 2 + 1 3 1 + = + = + = = = 3 6 32 6 6 6 6 6 2

b)

2 1 23 17 6 7 6 + 7 13 + = + = + = = 7 3 7  3 3  7 21 21 21 21

Oppgaver 2.30 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 2 4 5 2 1 1 4 b) -c) -d) + a) + 4 8 7 14 3 9 3 6 2.31 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 2 1 3 1 9 2 1 2 a) + b) + c) -d) -3 5 7 2 11 3 3 7 2.32 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 1 1 3 2 2 1 1 1 2 4 1 b) + -c) + -d) + -a) + + 4 2 4 5 10 5 2 3 5 3 7 2 2.33 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 1 2 5 1 7 13 3 3 1 5 3 b) + -c) -- -d) -+ a) + + 4 8 8 6 3 18 14 7 7 6 12 6

Brøk

2.34 Herman kjøper tre flasker brus. Hvor mye brus kjøper han na˚r flaskene 3 1 1 inneholder liter, liter og liter? 4 2 4

62


Minste felles multiplum Det er lettest a˚ regne med en liten fellesnevner. Dette tallet kan vi finne ved hjelp av gangetabellen eller primtallsfaktorisering. Jeg vil heller faktorisere nevneren.

Jeg bruker gangetabellen.

1 2 + 6 9

Metode 1: Gangetabellen Vi setter opp gangetabellen og finner hvilke tall som begge nevnerne ga˚r opp i: 6 9

6 9

12 18 24 30 18 27 36 45

36 ... 54 ...

Vi ser at 6 og 9 ga˚r opp i 18 og 36. Vi velger det minste tallet, 18, som fellesnevner for brøkene. Metode 2: Primtallsfaktorisering Først faktoriserer vi nevnerne 6 og 9. Sa˚ multipliserer vi faktorene og finner fellesnevneren. Alle faktorene fra begge nevnerne ma˚ være med. Vi kaller fellesnevneren for minste felles multiplum. 6¼23 2 · 3 · 3 ¼ 18

9¼33 Na˚r vi har funnet fellesnevneren, regner vi ut stykket: 1 2 13 22 3 4 7 + = + = + = 6 9 6  3 9  2 18 18 18

Brøk

63


Eksempel

Regn ut

1 2 + . 5 3

Finn fellesnevner ved hjelp av gangetabellen. Løsning 5 3

5 3

10 15 6 9 12 15

Fellesnevner = 15 1 2 13 25 3 10 13 + = + = + = 5 3 5  3 3  5 15 15 15

Eksempel

Regn ut

1 5 + . 8 6

Finn fellesnevner ved hjelp av primtallsfaktorisering. Løsning 8¼222 2 · 2 · 2 · 3 ¼ 24

6¼23 Fellesnevner = 24 1 5 13 54 3 20 23 + = + = + = 8 6 8  3 6  4 24 24 24

Brøk

Oppgaver

64

2.35 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 4 5 2 1 5 1 3 a) + b) -c) + d) -4 6 6 9 10 6 4 14 2.36 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 3 4 2 2 8 1 13 3 a) + b) + c) -d) + 5 20 9 4 9 4 28 7


2.37 Finn fellesnevner og regn ut. Forkort svaret hvis mulig. 1 1 1 1 2 3 3 1 5 a) + + b) + + c) + + 6 4 8 4 5 10 9 6 12 2.38 Hvor stor brøkdel er igjen pa˚ hver av flaskene? a)

b)

c)

d)

2 1 km fra skolen. Herman bor km lenger vekk enn Hanna. 5 4 Hvor lang vei har Herman til skolen?

2.39 Hanna bor

Alle hele tall kan skrives som brøk pa˚ denne ma˚ten.

3=

3 1

7=

7 1

1=

1 1

13 =

13 1

2.40 Regn ut. Skriv svaret sa˚ enkelt som mulig. 3 2 1 3 a) + 2 b) 3 -c) + 2 + 4 5 4 4 2.41 Regn ut. Skriv svaret sa˚ enkelt som mulig. 3 7 2 4 1 2 b) 4 + -- 3 c) -- + 5 -a) + -- 1 4 8 16 9 3 6

Brøk

65


Uekte brøk og blandet tall

?

Jeg har bare drukket en og halv liter.

Na˚ har jeg drukket tre halvlitere med vann!

Hvem har drukket mest?

Sara har drukket tre halvliterflasker med vann. Det kan vi skrive slik:

3 2

Herman har drukket en literflaske og en halvliterflaske med vann. Det kan vi skrive slik: 1

1 2

Brøk

Hvis vi setter brøkene inn pa˚ en tallinje, 3 1 ser vi at er det samme som 1 . 2 2

66

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

Vi kaller 0

1 2

1

1

1 2

2

2

1 2

3

og 1

3 for en uekte brøk 2

1 for et blandet tall. 2


Regel

En brøk som er større enn 1, kan skrives som uekte brøk eller blandet tall. I en uekte brøk er telleren større enn nevneren. Et blandet tall besta˚r av et helt tall pluss en brøk.

Vi kan gjøre om 5:2=2 4 1

Vi fa˚r:

5 til et blandet tall ved a˚ dividere 5 pa˚ 2. 2 Heltall

Rest

5 1 =2 2 2

1 Motsatt kan vi gjøre om 2 til uekte brøk. Vi finner telleren ved a˚ multiplisere 2 heltallet med nevneren og addere telleren.

2

1 ð2  2Þ + 1 5 = = 2 2 2

Eksempel

a) Gjør om

7 til blandet tall. 3

b) Gjør om 5

3 til uekte brøk. 4

Løsning a) 7 : 3 = 2 6 1

b) 5

3 ð5  4Þ + 3 23 = = 4 4 4

7 1 =2 3 3

Brøk

67


Oppgaver 2.42 Se pa˚ tallinja nedenfor og skriv de uekte brøkene som blandete tall. 4 7 8 a) b) c) 3 3 3 3 3

4 3

1

1

1 3

5 3

6 3

2 3

2

1

7 3

8 3

1 3

2

2

2.43 Gjør om til blandet tall. 5 8 a) c) 3 3 b)

11 5

d)

12 7

2.44 Gjør om til uekte brøk. 1 3 c) 7 a) 1 3 4 b) 5

2 5

d) 9

1 2

9 3

2 3

3

e)

35 4

f)

66 7

e) 11

1 3

f ) 20

3 10

2.45 Gjør de blandete tallene om til uekte brøker og regn ut. Husk a˚ finne fellesnevner før du adderer eller subtraherer. 1 1 2 1 1 4 c) 3 -- 2 e) 3 -- 1 a) 1 + 2 3 3 5 5 7 7

Brøk

b) 2

68

1 2 +3 4 3

d) 4

3 1 -- 2 6 2

f) 2

1 3 +3 3 4


1 3 liter kakao. Pa˚ en tur drikker hun opp liter. 2 4 Hvor mye kakao har hun igjen?

2.46 Sara har 1

2.47 Regn ut. Skriv svaret som blandet tall. 4 1 3 + + 5 3 15 1 b) 5 + -- 2 3

21 1 +1 -- 2 7 14 1 5 d) -- + 2 + 2 4 c)

a)

2.48 Hvor mange kilogram bær er det i alt?

kg

Brøk

69


Brøk og desimaltall 3 som 4 desimaltall?

?

Hvor mye er

3 = 4

Hvordan kan vi gjøre om brøk til desimaltall?

Na˚r vi skal gjøre om en brøk til desimaltall, dividerer vi telleren med nevneren. 3 = 3 : 4 = 0,75 4 Eksempel

Gjør om til desimaltall. 1 9 a) b) 2 4 Løsning

Brøk

a)

70

1 = 1 : 2 = 0,5 2

b)

9 = 9 : 4 = 2,25 4

Hvis nevneren er 10, 100 eller 1000 flytter vi desimaltegnet like mange plasser til venstre som det er nuller i nevneren. 3 = 3 : 10 = 0,3 10


Eksempel

Gjør om til desimaltall. 1 33 1234 a) b) c) 10 100 100 Løsning a)

1 = 0,1 10

b)

33 = 0,33 100

c)

1234 = 12,34 100

Oppgaver 2.49 Gjør om til desimaltall. 2 3 a) b) 4 8 2.50 Gjør om til desimaltall. 1 3 a) b) 10 4 2.51 Gjør om til desimaltall. 13 15 c) a) 4 8 b)

2 8

d)

9 12

2.52 Gjør om til desimaltall. 1 12 a) c) 10 10 b)

312 100

d)

401 1000

c)

2 5

d)

6 4

c)

3 6

d)

1 5

e) 3

1 2

f) 7

4 10

e)

50 100

f)

40 1000

2.53 Forkort eller utvid brøkene slik at nevnerne blir 10, 100 eller 1000. Gjør sa˚ om til desimaltall. a)

6 50

c)

60 300

e)

12 25

b)

26 200

d)

4 5

f)

25 500

Brøk

71


Hvis divisjonen ikke ga˚r opp Hvis divisjonen ikke ga˚r opp na˚r vi dividerer telleren med nevneren, runder vi av svaret til det antall desimaler vi ønsker. 6 = 0,857142 . . .  0; 857 7

1 = 0,333333 . . .  0,33 3

2 = 0,181818 . . .  0,2 11

~ betyr tilnærmet lik

Eksempel

Gjør om

8 til desimaltall. Rund av svaret til to desimaler. 9

Løsning 8 = 8 : 9 = 0,888 . . .  0,89 9

Oppgaver 2.54 Gjør om brøkene til desimaltall ved hjelp av kalkulator. Rund av svarene til to desimaler. 7 2 8 c) e) a) 11 3 3 b)

1 6

d) 2

8 9

f) 1

11 23

Brøk

2.55 Gjør om brøkene til desimaltall. Rund av til e´n desimal.

72

a)

1 3

c)

6 7

e)

3 11

g)

5 11

b)

2 3

d)

1 9

f)

4 11

h)

1 6


2.56 En time er det samme som 60 minutter. Ett minutt er det samme som   1 en sekstidels time . 60 Gjør om til timer. a) 20 minutter b) 15 minutter c) 50 minutter

Fra desimaltall til brøk Na˚r vi skal gjøre om et desimaltall til brøk, ser vi pa˚ hvor mange desimaler tallet har. Hvis tallet har e´n desimal, gjør vi om til tideler. 0,2 =

2 10

3,4 = 3

4 10

Hvis tallet har to desimaler, gjør vi om til hundredeler osv. 0,23 =

23 100

3,18 = 3

18 100

Eksempel

Gjør om til brøk. a) 0,5 b) 0,06

c) 0,234

d) 2,45

Løsning a) 0,5 =

5 10

b) 0,06 =

6 100

c) 0,234 =

234 1000

d) 2,45 = 2

45 100

Oppgaver 2.57 Gjør om til brøk. Forkort svarene hvis det er mulig. a) 0,2 b) 0,05 c) 0,004 d) 0,12 e) 0,45 2.58 Hvilke av tallene er sju hundredeler? 7 0,07 700 0,7 10 2.59 Hvilke av tallene er tolv tideler? 12 1,2 0,012 100

12 10

2.60 Sorter tallene i stigende rekkefølge. 6 3 0,85 0,60 0,45 7 4

7 100

0,12

7 6

0,70

Brøk

73


Brøk og multiplikasjon

? Hm. Lurer pa˚ hvor mye flaskene inneholder i alt?

Hvordan kan vi multiplisere et tall med en brøk?

Multiplikasjon er det samme som gjentatt addisjon. 2

3 3 3 3+3 6 = + = = 4 4 4 4 4

Vi ser at vi kan multiplisere det hele tallet med telleren og beholde nevneren. 2

3 23 6 = = 4 4 4

Regel

Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved a˚ multiplisere det hele tallet med telleren og beholde nevneren.

Brøk

Eksempel

74

Regn ut: 3 

1 4

Løsning 3

1 31 3 = = 4 4 4


Vi kan skrive alle hele tall som brøk med nevner lik 1, for eksempel 3 = 4 kan regnes ut slik: 5 4 3 4 3  4 12 3 =  = = 5 1 5 15 5

3 . 1

Vi ser derfor at 3 

Regel

Vi multipliserer to brøker med hverandre ved a˚ multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren. Eksempel

Regn ut:

1 2  3 7

Løsning 1 2 12 2  = = 3 7 3  7 21 Oppgaver 2.61 Regn ut. Forkort svaret sa˚ mye som mulig. 1 4 2 c)  a) 5  3 5 3 b)

2 4 6

d)

2 2  3 4

2.62 Regn ut. 1 2 a) 2  2 3

e)

7 5  8 6

f)

2 11 1   13 2 3

Jeg gjør om til uekte brøk først.

2

4 1 b)  3 3 4

1 (2•3) + 1 7 = = 3 3 3

2 1 c) 4  5 5 6 2.63 Regn ut. 1 a) 100  4

b)

1  300 10

c) 200 

3 4

Brøk

75


Brøkdelen av et tall Hvis vi vil regne ut e´n firedel av 8, multipliserer vi 1 1 8 18 8 8 =  = = =2 4 4 1 41 4

1 med 8. 4

En firedel av 8 er 2. Regel

Vi finner brøkdelen av et tall ved a˚ multiplisere tallet med brøken. Eksempel

Hvor mye er

2 av 12? 3

Løsning 2 2 12 2  12 24  12 =  = = =8 3 3 1 31 3 2 av 12 er 8 3

Oppgaver 2.64 Regn ut. 3 a) av 400 4

b)

1 av 100 5

c)

5 av 60 6

d)

1 av 36 12

3 av et pattedyr besta˚r av vann. 5 Hvor mange kilogram vann inneholder en bjørn som veier 800 kg?

Brøk

2.65 Omtrent

76

2.66 Et tau er 100 m langt. Hvor langt vil 2 det være hvis du tar bort av tauet? 5 2 2.67 I reiret til et hubropar bestod av fangsten 3 3 av sma˚gnagere. av disse igjen var spissmus. 5 Hvor stor brøkdel av fangsten var spissmus? En hannbjørn veier inntil 800 kg


Brøk og divisjon

?

Hm, da ma˚ vi regne ut 3 1 : 4 4 Hvordan gjør vi det?

Lurer pa˚ hvor mange flasker jeg trenger ...

Hvordan kan vi dividere en brøk med en brøk?

Na˚r vi skal dividere en brøk med en brøk, multipliserer vi den første brøken med den omvendte av den andre brøken. 3 1 3 4 12 : =  = =3 4 4 4 1 4

Den omvendte brøken av 1 4 er . 4 1

Telleren og nevneren har byttet plass

Martin trenger altsa˚ tre flasker. Regel

Na˚r vi dividerer en brøk med en brøk, multipliserer vi den første brøken med den omvendte av den andre brøken.

Brøk

77


Eksempel

Regn ut. 2 3 a) : 5 4

b) 3 :

1 2

Løsning 2 3 2 4 24 8 a) : =  = = 5 4 5 3 5  3 15

b) 3 :

1 2 6 = 3 = = 6 2 1 1

Oppgaver 2.68 Regn ut. Forkort svaret sa˚ mye som mulig. 1 1 4 4 c) : a) : 3 3 8 5 b)

2 2 : 6 4

d)

2 2 : 6 1

2.69 Regn ut. Forkort svaret sa˚ mye som mulig. 1 5 b) : 3 a) 4 : 4 6 2.70 Hvor mye er halvparten av

e)

1 2 : 8 6

f)

1 3 : 16 3

3 4 c) 3 : 2 8 5

3 ? 6

Brøk

2.71 Martin, Lotte, Sara og Herman skal dele brusen pa˚ bordet likt. Hvor mye fa˚r hver?

78


Prøv deg selv 1

Hvor stor del er fargelagt? Skriv svaret som brøk. a)

2

b)

Utvid brøken a) 2

3

Forkort

c)

3 med 7 b) 5

c) 7

6 med 24

a) 2

b) 3

c) 6

4

Avgjør ved hjelp av utviding hvilken brøk som er størst. 1 1 1 2 6 8 a) eller b) eller c) eller 2 3 3 7 7 11

5

Regn ut. 2 1 a) + 5 5

6

7

8

9

b)

5 3 -7 7

Finn fellesnevner og regn ut. 12 1 1 4 1 a) + + b) -14 2 7 14 10 Skriv som blandet tall. 22 81 b) a) 3 2 Skriv som uekte brøk. 5 1 a) 4 b) 13 6 3

c)

5 1 3 + -8 8 8

c)

3 4 1 2 + --2 5 10 20

c)

9 4

c) 2

3 4

Gjør om til desimaltall. Skriv sa˚ brøkene i stigende rekkefølge. 7 4 4 5 5 6 8 5 6 7 6 7

Brøk

79


10

11

Gjør om til brøk. Forkort svarene hvis mulig. a) 0,75 b) 0,8 c) 0,40 Regn ut. Forkort svarene hvis mulig. 5 2 2 8 1 a)  b)  3 c) : 6 3 5 9 2

d) 1,20

d)

6 :3 7

3 av 150 kr? 6 3 b) Hvor mye er av 800 kg? 4

12

a) Hvor mye er

13

a) Herman skal fylle 30 liter 1 saft pa˚ 1 literflasker. 2 Hvor mange flasker trenger han?

Brøk

b) Bestefaren til Sara kjøper karbonadedeig i Sverige. Han kjøper 3 1 5 kg og pakker dem i kg porsjoner na˚r han kommer hjem. 4 2 Hvor mange hele porsjoner fa˚r han?

80


Noe a˚ lure pa˚ 1

Fuglehandler U.N. Dulat hadde tre barn. Da han døde, testamenterte 1 han 12 papegøyer til barna sine. Den eldste skulle fa˚ , den mellomste 2 1 1 og den yngste av papegøyene. 4 6 Hvilket problem fikk barna na˚r de skulle dele de 12 papegøyene mellom seg?

2

Hva blir svaret pa˚ disse oppgavene? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) : : c) : : : a) : 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

Bruk kalkulatoren og divider 1, 2, 3... osv. pa˚ 11. Hva slags mønster finner du?

4

Hvis en tredel av et ukjent tall er 8, hva er da halvparten av tallet?

5

Finn ut hvor mange liter fritt ferskvann det er pa˚ jorda. En femdel av dette vannet befinner seg i Bajkalsjøen i Russland. Hvor mange liter ferskvann inneholder Bajkalsjøen?

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

Brøk

81


Oppsummering Brøk En brøk besta˚r av teller, nevner og brøkstrek. Brøkstreken er det samme som divisjonstegn.

3 4

Teller Brøkstrek Nevner

Hvis telleren og nevneren er like store, er brøken lik 1. 5 =1 5

Uekte brøk og blandet tall 3 2

=

1

1 2

Uekte brøk Blandet tall

Utviding og forkorting av brøk Na˚r vi utvider en brøk, multipliserer vi telleren og nevneren med det samme tallet. 1 13 3 = = 5 5  3 15 Na˚r vi forkorter en brøk, dividerer vi telleren og nevneren med det samme tallet.

Brøk

4 4:4 1 = = 16 16 : 4 4

82


Addisjon og subtraksjon av brøker Na˚r vi skal addere eller subtrahere to eller flere brøker som har like nevnere, legger vi sammen tellerne og beholder nevneren. 7 5 7 -- 5 2 -- = = 9 9 9 9 Hvis brøkene ikke har lik nevner, ma˚ vi først finne fellesnevner. 2 1 24 13 8 3 8 + 3 11 + = + = + = = 3 4 3  4 4  3 12 12 12 12

Brøk og desimaltall En brøk kan skrives som desimaltall. Da dividerer vi telleren med nevneren. 3 = 3 : 5 = 0,6 5 Alle desimaltall kan skrives som en brøk med nevneren 10, 100, 1000 osv. 0,12 =

12 100

Mange brøker kan ikke skrives som et eksakt desimaltall. Da runder vi av til ønsket antall desimaler. 2 = 0,6666 . . .  0,67 3

Brøk og multiplikasjon Vi multipliserer et helt tall med en brøk ved a˚ multiplisere det hele tallet med telleren. 4

2 42 8 2 = = =2 3 3 3 3

Vi multipliserer to eller flere brøker med hverandre ved a˚ multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren. 1 2 12 2  = = 3 3 33 9

Brøk og divisjon Vi dividerer en brøk med en brøk ved a˚ multiplisere med den omvendte brøken. 4 1 4 2 8 : =  = 9 2 9 1 9

4:

2 4  3 12 = = =6 3 12 2

Brøk

83


Hastigheten paË&#x161; bredbaË&#x161;ndet har gaË&#x161;tt opp med 30 %! Snakker de fortere da?

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0


3 Prosent Tall kan fortelle oss hvor mange det er av en ting, for eksempel hvor mange elever som ga˚r pa˚ skolen, eller hvor mange kroner en sykkel koster. Det ga˚r 356 elever pa˚ skolen. Sykkelen koster 3000 kr. Prosent forteller oss hvor stor del av helheten vi har, for eksempel hvor stor del av elevene pa˚ skolen som er jenter, eller hvor stor del av prisen en vare er satt ned med. 60 % av elevene pa˚ skolen er jenter. Sykkelen er satt ned med 20 %.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . .

prosentbegrepet regning med prosent sammenhengen mellom desimaltall, brøk og prosent hvordan vi finner prosenten

Jeg tror det er lurt a˚ finne ut litt mer om prosent!


Prosentbegrepet

?

Hva betyr 20 % rabatt?

Hvor mye koster slala˚mskiene?

I dagliglivet støter vi ofte pa˚ begrepet prosent. Prisen pa˚ en DVD-spiller er satt ned med 20 %. Rabatten pa˚ jakka er 15 %. Prisen pa˚ MMS-meldinger har ga˚tt ned med 25 %.

Prosent

Prosent betyr hundredeler, og symbolet for prosent er %. Ettersom prosent betyr hundredeler, vil 1 % være e´n hundredel.

86

1%=

1 100

Da blir for eksempel 2 20 2%= og 20 % = 100 100 Legg ogsa˚ merke til at 100 % =

100 =1 100


Kvadratet nedenfor er delt i 100 ruter. En rute er Alle rutene er

1 eller 1 % av kvadratet. 100

100 eller 100 % av kvadratet. 100

20 = 20 % av kvadratet er skravert. 100

Det vi regner prosent av, kaller vi ofte «det hele». Her er kvadratet «det hele» og svarer til 100 %. Ettersom 20 % av kvadratet er skravert, er 80 % ikke skravert.

Eksempel

Martin har malt 25 % av veggen pa˚ rommet sitt. Hvor mange prosent av veggen er ikke malt? Løsning Hele veggen er 100 %. 100 % – 25 % = 75 % 75 % av veggen er ikke malt.

Prosent

87


Oppgaver

Prosent

3.1

88

Hvor mange prosent av kvadratene er a) skravert b) ikke skravert A

B

C

D

3.2

Hvor mange prosent av kvadratet er fargelagt a) rødt c) gult b) blaË&#x161;tt d) i alt

3.3

Skriv som prosent. 4 100 50 b) 100 a)

24 100 17 d) 100 c)


3.4

Lotte har 100 kr. Hun bruker 45 kr. Hvor mange prosent av pengene bruker Lotte?

3.5

a) Hvilke to alternativer er omtrent en hel? 1 % 101 % 11 % 98 % 200 % b) Hvilke to alternativer er omtrent en halv? 49 % 2 % 52 % 15 % 500 %

3.6

I India er 34 % av befolkningen under 15 aË&#x161;r. Hvor mange prosent av befolkningen er over 15 aË&#x161;r?

3.7

Av en gruppe elever paË&#x161; et aË&#x161;rstrinn er det 48 % gutter. Hvor stor prosentandel er jenter?

34 % av befolkningen i India er under 15 aË&#x161;r.

3.8

Herman fikk 1000 kr av bestemor. Han vil bruke 250 kr av dem til en ny genser. Hvor mange prosent av pengene vil Herman bruke?

3.9

Hvor mange prosent av figurene er skravert? a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

Prosent

89


Prosent som brøk

?

50 % av elevene pa˚ skolen va˚r er med i idrettslaget.

Det er det samme som halvparten.

Hvordan kan vi gjøre om prosent til brøk?

50 % av figuren er skravert. Det vil si

1 av figuren. 2

Dette kan vi skrive slik:

Prosent

50 1 50 % = = 100 2

90

25 % av figuren er skravert. 1 Det vil si av figuren. 4

25 % =

25 1 = 100 4

Vi forkorter en brøk ved a˚ dividere teller og nevner med det samme tallet.


75 % av figuren er skravert. Det vil si

75 % =

3 av figuren. 4

75 3 = 100 4

Pa˚ tallinjene nedenfor ser du hvordan prosent og brøk hører sammen: 0

25 %

50 %

75 %

100 %

0

1 4

1 2

3 4

1

0

10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 % 1 10

0

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 10

10 10

Regel

25 % =

25 1 = 100 4

75 % =

75 3 = 100 4

Eksempel

a) Tegn en sirkel og fargelegg 75 % av sirkelen. b) Hvor mye er 25 % av 500 kr? Løsning 3 , kan vi dele 4 sirkelen i fire like store deler og fargelegge tre av delene.

a) Ettersom 75 % er det samme som

b) 25 % og

1 er det samme. 4

25 % av 500 kr = 500 kr : 4 ¼ 125 kr

Prosent

91


Oppgaver 3.10 Skriv av og fyll inn det som mangler. & 1 1 a) 50 % = b) & % = c) = 75 % & 4 4 3.11 Skriv som prosent. 1 1 a) b) 10 5

c)

3 10

3.12 Skriv som brøk. Forkort svaret sa˚ mye som mulig. a) 10 % b) 20 % c) 30 %

d)

1 =&% 5

d)

3 4

d) 80 %

3.13 Tegn et kvadrat. Fargelegg 25 % av kvadratet bla˚tt og 50 % av kvadratet rødt. 3.14 Hvor mange prosent av figurene er skravert? a)

b)

c)

3.15 Tegn en tilsvarende figur og fargelegg 75 % av figuren.

3.16 Skriv som prosent. 2 4 b) a) 5 5

c)

3 5

d)

1 5

Prosent

3.17 Lotte sendte 40 SMS-meldinger. 75 % av dem var til skolekamerater. Hvor mange SMS-meldinger var det?

92


3.18 Martin selger lodd for 800 kr. Han fa˚r beholde 10 % av pengene. Hvor mange kroner fa˚r Martin beholde? 3.19 Hvor mange prosent er 6 6 c) a) 8 30 b)

8 32

d)

9 15

3.20 Gjør om prosentene til brøk. a) Omtrent 10 % av jordas overflate er dekket med is. b) Litt over 70 % av jorda er dekket med vann. c) Bare 10 % av et isfjell kan sees over vann. d) Mesteparten av verdens ferskvann, ca. 75 %, er lagret i innlandsis og isfjell. e) Nesten 90 % av verdens is ligger i Antarktis. 3.21 Herman vil bruke 150 kr til nytt kontantkort. Det er 20 % av pengene han har. Hvor mange kroner har Herman?

Isbjørn pa˚ isflak

Prosent

93


Prosent og desimaltall

?

Jeg vet at 25 % = 0,25.

25 %

50 %

15 %

4%

Hvordan kan vi gjøre om prosent til desimaltall?

Vi kan skrive prosent som brøk pa˚ denne ma˚ten: 37 % =

37 100

Brøken kan vi sa˚ gjøre om til desimaltall: 37 = 0,37 100

Prosent

Vi ser at 37 % =

94

Prosent

37 = 0,37 100

Brøk Desimaltall


3.22 Skriv som desimaltall. a) 5 % b) 8 %

c) 12 %

d) 25 %

e) 75 %

3.23 Skriv som desimaltall. a) 96 % b) 50 %

c) 4,5 %

d) 14,5 %

e) 4,25 %

3.24 Skriv som prosent. a) 0,15 b) 0,20

c) 0,27

d) 0,125

e) 0,65

3.25 Skriv som brøk. a) 0,05 b) 0,07

c) 0,045

d) 0,0545

3.26 Gjør om prosentene til desimaltall. a) Ca. 35 % av jordas kjerne besta˚r av jern. b) Jordskorpen besta˚r av omtrent 46 % oksygen. c) Den russiske føderasjonen har 23 % av alle kjente kullreserver. d) Kontinentet Asia utgjør omtrent 30 % av landomra˚dene pa˚ jorda. e) Omtrent 90 % av alle jordskjelv oppsta˚r i omra˚det rundt Stillehavet («Ring of Fire»). 3.27 Skriv som prosent. a) 1 b) 1,5 c) 1,25 d) 2,5 3.28 Skriv som desimaltall. a) 0,8 % b) 150 % c) 225 % d) 1,5 %

Satellittbilde av Asia

Prosent

95


Prosent av et tall

?

Hvor mange kroner er prisen satt ned?

Hvordan regner vi ut prosenten av et tall?

Na˚r vi skal regne ut 30 % av 4500, ga˚r vi fram pa˚ denne ma˚ten: 30 % =

30 = 0,30 100

0,30  4500 kr = 1350 kr Det vil si at 30 % av 4500 kr er 1350 kr.

Eksempel

Regn ut 35 % av 1400 kr.

Prosent

Løsning

96

35 % = 0,35 0,35  1400 kr = 490 kr 35 % av 1400 kr er 490 kr

Jeg tenker slik:


Oppgaver 3.29 Regn ut. a) 35 % av 2000 kr b) 15 % av 1500 kr c) 10 % av 40 kg

d) 4 % av 2400 m e) 7 % av 1400 kr f ) 12 % av 80 kg

3.30 Regn ut. a) 5 % av 10 000 kr b) 3 % av 150 000 kr c) 2,5 % av 1400 kg

d) 12,5 % av 800 liter e) 0,9 % av 150 kr f ) 1,2 % av 120 tonn

3.31 En DVD-spiller koster 2500 kr. Hanna fa˚r tilbud om a˚ kjøpe spilleren med 15 % rabatt. Hvor mange kroner vil Hanna spare pa˚ kjøpet? 3.32 Pa˚ skolen til Martin ga˚r det 210 elever. En dag var 10 % av elevene syke. Hvor mange elever var det? 3.33 Lufta inneholder 21 % oksygen, 78 % nitrogen og 1 % andre gasser. Hvor mye oksygen er det i 250 000 liter luft?

Jeg ma˚ ha luft!

Prosent

97


3.34 En varan fra Indonesia kan bli 4,75 m lang. Halen utgjør 70 % av kroppslengden. Hvor lang er halen? 3.35 En flybillett koster 1800 kr. Flyselskapet vil sette opp prisen med 8 %. a) Hvor mange kroner vil prisen stige? b) Hvor mye vil flybilletten koste etter prisøkningen? Varanus Komodoensis

3.36 Lotte skal kjøpe en jakke til 1500 kr. Hun skal fa˚ den for 80 % av prisen. Hvor mye ma˚ Lotte betale? 3.37 I en kommune er det 12 000 innbyggere. Det er beregnet at innbyggertallet vil øke med 2,5 % a˚ret etter. Hvor mange innbyggere blir det da?

Prosent

3.38 Ved Fjell skole sykler

98

1 av elevene til skolen hver dag. 8 a) Hvor mange prosent av elevene er det? b) Hvor mange elever sykler til skolen na˚r det er 320 elever pa˚ skolen?


˚ finne prosenten A

? Det er 30 elever i va˚r gruppe.

12 av dem er jenter.

Hvor mange prosent er det?

Hvor mange prosent er jenter?

For a˚ finne ut hvor mange prosent som er jenter, ma˚ vi dividere 12 med 30. 12 = 0,40 30 Ettersom 0,40 =

40 , sa˚ er 0,40 = 40 %. 100

Det vil si at 40 % av elevene er jenter. Vi kan kontrollere utregningen slik: 40 % av 30 = 0,40  30 = 12 Det viser at utregningen er riktig.

Prosent

99


Eksempel

Hvor mange prosent er 180 av 1500? Løsning 180 = 0,12 1500 Ettersom 0,12 =

12 , saË&#x161; er 0,12 = 12 %. 100

180 er 12 % av 1500

Oppgaver 3.39 Hvor mange prosent er a) 5 av 10 b) 4 av 25

c) 12 av 240

3.40 Hvor mange prosent er a) 40 kr av 200 kr b) 50 kg av 400 kg

c) 100 kr av 250 kr d) 28 m av 800 m

d) 24 av 64

Prosent

3.41 Lotte har et akvarium med 20 gullfisker. Av disse er 12 hanner. Hvor mange prosent av fiskene er a) hanner b) hunner

100

Gullfisk


3.42 Martin fikk 2500 kr i overskudd fra et loppemarked. Han vil gi 2000 kr av pengene til TV-aksjonen. Hvor mange prosent av overskuddet er det? 3.43 Herman og Lotte skal sykle til hytta. Det er 80 km. Etter 50 km vil de ha en pause. a) Hvor stor brøkdel av veien vil de sykle før pausen? b) Hvor mange prosent av veien er det?

3.44 En struts kan bli 3 m lang. Den legger egg som er 15 cm lange. En kolibri kan bli 6 cm lang. Den legger egg som er 12 mm lange. a) Hvor mange prosent er lengden av strutseegget i forhold til lengden paË&#x161; strutsen? b) Hvilken av fuglene legger det lengste egget i forhold til kroppslengden?

Struts

Prosent

101


Prøv deg selv 1

a) Hvor mange prosent av kvadratet er skravert? b) Hanna gjennomførte en trafikkundersøkelse. 43 % av bilene kjørte til høyre i veikrysset. Hvor mange prosent av bilene kjørte rett fram eller til venstre?

2

3

4

5

Prosent

6

102

Hvor mange prosent er 30 30 b) a) 100 50

c)

12 25

d)

1 4

e)

2 5

Skriv som hundredeler. a) 5 % b) 12 %

c) 120 %

d) 7 %

e) 89 %

Skriv som prosent. a) 0,25 b) 0,30

c) 0,06

d) 0,015

e) 0,075

Skriv som desimaltall. a) 8 % b) 15 %

c) 75 %

d) 4,5 %

e) 12,5 %

a) Det er 1,5 % fett i lettmelk. Hvor mange gram fett er det i 1 liter lettmelk?

1 liter lettmelk veier ca. 1 kg.


b) Ved Fjell skole valgte 35 % av 140 elever høydehopp pa˚ aktivitetsdagen. Hvor mange elever valgte høydehopp?

7

a) Lotte spurte 120 personer om de var fornøyd med nærbutikken sin. 90 av dem svarte at de var svært fornøyd. Hvor mange prosent av de spurte var svært fornøyd med nærbutikken sin? b) Simen ble valgt til leder for elevra˚det. Han fikk 80 av 140 stemmer. Hvor mange prosent av stemmene fikk Simen?

Prosent

103


Noe a˚ lure pa˚ 1

TILBUD KJØP NA˚!

FA˚ LIKE MANGE PROSENT RABATT SOM ALDEREN DIN.

En 102 a˚r gammel dame benyttet seg av tilbudet over og bestilte en ny klokke til 5000 kr. Hvordan tror du klokkebutikken kunne følge opp tilbudet sitt? 2

Lotte og Herman fikk begge 4 % lønnsøkning. Likevel fikk de ikke like mange kroner i lønnsøkning. Hvordan vil du forklare det?

3

Prisen pa˚ en mobiltelefon ble satt ned med 20 %. Uka etter ble prisen satt ned 20 % til. Slik fortsatte det i tre uker til. «Flott,» tenkte Sara, «snart blir den gratis!» Hadde Sara rett? Begrunn svaret.

4

Simen regner ut 12,5 % av 4000 kr slik: 4000 kr : 8 = 500 kr Forklar hvorfor dette blir riktig.

Prosent

5

104

Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2  3Þ inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller i en boks.

4 5

3 1 1 4

2 5

2

1 6 3 Sudoku


Oppsummering Prosent Prosent betyr hundredeler. 5 5%= 100

Sammenhengen mellom prosent, brøk og desimaltall 5% =

5 = 0,05 100

Prosent Brøk

Desimaltall

Prosenten av et tall Na˚r vi skal regne ut prosenten av et tall, gjør vi om prosenten til desimaltall og multipliserer med det hele. 5 % av 500 kr er 0,05  500 kr = 25 kr

˚ finne prosenten A Vi finner ut hvor mange prosent 40 kr er av 250 kr slik: 40 kr = 0,16 250 kr 0,16 =

16 100

Det betyr at 0,16 = 16 % 40 kr er 16 % av 250 kr

Prosent

105


Bare litt til saË&#x161; er jeg ferdig ...


4 Geometri Verdens mest berømte matematikkverk, Elementene, er skrevet av den greske matematikeren Euklid av Alexandria (325 f.Kr.–265 f.Kr.). Det besta˚r av 13 bind og ble gitt ut i mer enn 1000 utgaver før det første gang ble trykket i 1482. Bortsett fra Bibelen er det ikke noe bokverk i historien som har blitt mer studert enn dette. Elementene handler om geometriens systematiske oppbygging og presisjon.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . . .

geometriske begreper og figurer vinkler omkrets tegning og konstruksjon av vinkler tegning og konstruksjon av figurer

Er det virkelig sa˚ mye a˚ lære om geometri?


Linjer og punkter

?

Tenk om skinnene ikke er parallelle! Fortere!

Hva er det Lotte mener?

Na˚r vi tegner og konstruerer geometriske figurer, trenger vi a˚ kjenne til noen ord og utrykk. Et linjestykke har et startpunkt og et endepunkt. Vi skriver store bokstaver ved endepunktene.

A

Geometri

En stra˚le har et startpunkt, men ikke et endepunkt. Vi markerer stra˚len med en stor bokstav ved startpunktet.

108

B

A

En linje fortsetter uendelig i begge retninger. Vi gir linja navn med en liten bokstav. l

Se, en lysstra˚le!


Et punkt tegnes ofte med et kryss eller en prikk. Vi markerer punktet med en stor bokstav.

P

P

Skjæringspunktet mellom to linjer markeres ogsa˚ med en stor bokstav. Her er skjæringspunktet P mellom linjestykket AB og linja l.

P

l P

A

To linjer er parallelle hvis avstanden mellom dem er den samme hele tiden.

B

l m

Vi skriver l || m. Les: l er parallell med m.

Oppgaver 4.1

Ma˚l linjestykkene. a) A

B

b) B

C

c) C

D

4.2

Tegn a) et linjestykke AB pa˚ 8 cm b) en linje l c) en stra˚le med startpunkt A

4.3

a) Tegn to linjer l og m som skjærer hverandre i punktet P. b) Tegn en stra˚le med startpunkt A og et punkt P pa˚ stra˚len.

4.4

Tegn to parallelle linjer l og m. Avstanden mellom linjene skal være 2 cm.

4.5

Avgjør om linjene er parallelle. a)

b)

c)

d)

Geometri

109


Vinkler

?

Na˚ skal jeg gjøre en «treseksti»!

Hva er det Lotte mener her? Venstre vinkelbein

De to stra˚lene som danner en vinkel, kaller vi vinkelbein. Punktet der vinkelbeina møtes, kaller vi toppunktet. Vi bruker ofte symbolet i stedet for ordet vinkel.

Toppunkt

Høyre vinkelbein

Vi skiller mellom tre typer vinkler:

Geometri

En spiss vinkel er mindre enn 90 .

110

En rett vinkel er akkurat 90 . Rette vinkler markeres med en hake ved toppunktet.

En stump vinkel er større enn 90 .


To vinkler som ligger inntil hverandre og som til sammen danner 180 , kalles nabovinkler. De har samme toppunkt og ett vinkelbein felles. u+

v u

v = 180 u

To vinkler som har felles toppunkt og vinkelbeina motsatt vei langs samme linjer, kalles toppvinkler. u er toppvinkel til x er toppvinkel til

v

x w

w v

Toppvinkler er alltid like store. Legg merke til at vi merker like store vinkler med likt antall streker.

˚ ma˚le og tegne vinkler A Vi ma˚ler størrelsen pa˚ en vinkel med en gradskive. E´n grad skrives 1 . Na˚r vi ma˚ler en vinkel, legger vi gradskiven slik at vinkelens toppunkt kommer i sentrum av gradskiven. Det ene vinkelbeinet skal ga˚ gjennom 0 . Vi leser av pa˚ gradskiven hvor stor vinkelen er ved a˚ bruke skalaen som begynner pa˚ 0 ved vinkelbeinet.

0 20 10 30

180 170 160

40

150 140

Vinkelen er 45 :

10 100 90 80 70 60 20 1 1 50 130

Na˚r vi skal tegne en vinkel, tegner vi det ene vinkelbeinet først og merker av hvor toppunktet skal være. Vi plasserer sa˚ gradskiven med sentrum i toppunktet. Vinkelbeinet skal ga˚ gjennom 0 pa˚ gradskiven. Vi markerer og trekker opp det andre vinkelbeinet.

Geometri

111


Oppgaver u

4.6

a) Hvilke av vinklene er nabovinkler? b) Hvilke av vinklene er toppvinkler?

v

x w

4.7

Bruk gradskive og maË&#x161;l vinklene. a)

c)

b)

4.8

MaË&#x161;l vinklene og bestem om de er rette, stumpe eller spisse. a)

Geometri

b)

112

c)


4.9

Bruk gradskive og maË&#x161;l vinklene som er markert. a)

c)

b)

d)

4.10 Bruk gradskive og tegn en vinkel paË&#x161; b) 120 c) 15 a) 35

d) 90

e) 180

4.11 Bruk gradskive og tegn en vinkel paË&#x161; b) 240 c) 190 a) 200

d) 300

e) 350

4.12 Bruk gradskive og maË&#x161;l vinklene. a) a b) b c) c d) d e) Hvor mange grader er alle vinklene til sammen?

b

c

a d

Geometri

113


Trekanter

?

Hvis jeg summerer vinklene i trekanten, fa˚r jeg 180 .

70°

Det fa˚r jeg ogsa˚!

80°

68°

42°

70°

30°

Blir det alltid slik?

Trekanter fa˚r navn ved hjelp av store bokstaver ved hjørnene. Vi bruker ofte symbolet 4 i stedet for ordet trekant. Her ser du 4ABC med A, B og C. C

Geometri

A

114

B

Vi kan ogsa˚ gi vinklene navn pa˚ denne ma˚ten: A = BAC B = ABC C = ACB

Den midterste bokstaven viser toppunktet til vinkelen

Sidene i trekanten fa˚r navn ved hjelp av bokstavene ved hjørnene. Trekanten ovenfor har sidene AB, BC og AC.


Hvis vi plasserer vinklene i en trekant ved siden av hverandre, ser vi at vinkelsummen blir 180 .

u

u

v

w

w

v

Regel

Summen av vinklene i en trekant er alltid 180 .

Oppgaver 4.13 Tegn en 4ABC og sett navn pa˚ hjørnene og sidene. 4.14 Hvor stor er den siste vinkelen? a)

b)

c)

78˚

23˚ 34˚

60˚

30˚ 47˚

4.15 a) Tegn en 4ABC der AB = 6 cm, b) Hvor stor er C?

A = 30 og

B = 60 .

Spesielle trekanter Vi deler trekanter inn i grupper etter hvilke egenskaper de har: Likesidet trekant I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene er 60 .

Likebeint trekant I en likebeint trekant er to av sidene like lange og to av vinklene like store.

Geometri

115


Rettvinklet trekant I en rettvinklet trekant er e´n av vinklene 90 . Hvis trekanten har e´n rett vinkel og to like bein, er det en rettvinklet likebeint trekant.

Oppgaver 4.16 Hva slags trekanter er dette? a)

C

d)

C

3 cm

3 cm 4,5 cm

A

4,5 cm

B

4,5 cm

A

Geometri

b) A

116

B

e)

C

C C

c)

30° 60°

50° 50° A

B

A

B

B


4.17 Hva slags trekanter danner seilene? a)

b)

c)

4.18 Avgjør ved hjelp av ma˚ling hvilke av trekantene som er ba˚de rettvinklete og likebeinte. A

D

B

C

E

4.19 Tegn en halvsirkel. Tegn sa˚ en trekant inne i halvsirkelen. Diameteren i halvsirkelen skal være den ene siden i trekanten. Det tredje hjørnet i trekanten skal ligge pa˚ halvsirkelen. Hva slags trekant blir dette? Prøv med forskjellige trekanter.

Geometri

117


Firkanter

?

Lurer pa˚ hvor stor vinkelsummen i en firkant er ...

Vi legger sammen vinklene i firkantene!

Hm, en firkant besta˚r av to trekanter!

Hvor stor er vinkelsummen i en firkant?

Vi kan dele en firkant inn i to trekanter. Vinkelsummen i en trekant er 180 . Da ma˚ vinkelsummen i en firkant være

D

180˚

180 + 180 = 360

180˚

Geometri

A

118

C

B

Vi gir firkanter navn ved hjelp av store bokstaver ved hjørnene. Ovenfor ser du firkant ABCD med A, B, C og D eller DAB, ABC, DCB og ADC.


Vi deler firkanter inn i grupper etter hvilke egenskaper de har: Rektangel I et rektangel er to og to sider like lange og parallelle. Alle vinklene er 90 .

Sidene er parallelle fordi avstanden mellom dem er konstant.

Kvadrat I et kvadrat er alle sidene like lange. Alle vinklene er 90 .

Parallellogram I et parallellogram er to og to sider like lange og parallelle. MotstaË&#x161;ende vinkler er like store og vinklene er ikke 90 .

Rombe I en rombe er alle sidene like lange. MotstaË&#x161;ende vinkler er like store og vinklene er ikke 90 .

MotstaË&#x161;ende vinkler staË&#x161;r rett mot hverandre.

Geometri

119


Trapes I et trapes er to av sidene parallelle. AB k CD

D

C

A

B

Oppgaver 4.20 Hva slags firkanter er dette? a)

b)

Geometri

c)

120

d)

g)

e)

f)

h)

i)


4.21 Bruk gradskive og finn vinkelsummen i firkantene. a)

b)

4.22 Tegn to forskjellige firkanter. a) MaË&#x161;l vinklene med gradskive og finn vinkelsummen til firkantene. b) Hva er regelen for vinkelsummen i en firkant. 4.23 Tegn en firkant. Finn midtpunktet til hver av sidene. Trekk linjestykkene mellom midtpunktene slik at linjestykkene danner en ny firkant. a) Hva slags ny firkant fikk du? b) Blir det alltid slik? Prøv med flere firkanter. Jeg prøver med disse firkantene!

Geometri

121


Omkrets

?

Hvordan kan jeg finne omkretsen av rektangelet?

Hva med denne?

Hva mener vi med omkrets?

Vi finner omkretsen av de fleste figurer ved aË&#x161; legge sammen alle sidene. Vi bruker bokstaven O for omkrets.

3 cm

Geometri

4 cm

122

O = 4 cm + 3 cm + 4 cm + 3 cm = 14 cm

3 cm

4 cm

5 cm

O = 3cm + 4 cm + 5cm = 12 cm


Regel

Omkretsen av en figur er lengden rundt figuren.

Eksempel

Finn omkretsen av figuren. 3 cm

Løsning O = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm = 4  3 cm = 12 cm 3 cm

Omkretsen er 12 cm

Oppgaver 4.24 Hvor stor blir omkretsen av tomtene? a) 10 m 50 m

b)

c) 50 m

30 m 30 m 30 m

40 m

4.25 Tegn et rektangel og regn ut omkretsen na˚r sidene er a) 3 cm og 6 cm b) 1 cm og 14 cm 4.26 Tegn et kvadrat og regn ut omkretsen na˚r sidene er a) 5 cm b) 7,5 cm 4.27 Tegn et rektangel med omkrets pa˚ a) 16 cm b) 24 cm

Geometri

123


4.28 MaË&#x161;l sidene i figurene og regn ut omkretsen. a)

b)

4.29 Finn omkretsen av figurene. a)

b)

4 cm 4 cm

2 cm

2 cm

3 cm 5 cm 2 cm

3 cm

2 cm 3 cm

3 cm

4.30 Lag en regel for omkretsen av disse figurene. a)

c) Kvadrat

Geometri

Likesidet trekant

124

s

s

b)

d) Rektangel a

b

Rombe s


Omkretsen av en sirkel En sirkel besta˚r av en mengde punkter som ligger like langt fra ett bestemt punkt. Dette punktet kaller vi sentrum. Linjestykket fra sentrum til sirkelbuen kaller vi radius. Linjestykket mellom to punkter pa˚ sirkelbuen gjennom sentrum, kaller vi diameter. Vi bruker bokstaven r for radius og bokstaven d for diameter. Lurer pa˚ hvor mange ganger hjulet ga˚r rundt hvis jeg sykler herfra og til skolen ...

sentrum radius

diameter

Na˚r vi dividerer omkretsen av en sirkel med diameteren, fa˚r vi 3,14 som svar, uansett hvor stor sirkelen er. Det betyr at diameteren kan legges langs sirkelbuen 3,14 ganger før den na˚r rundt.

Sirkel

Omkrets

Diameter

O d

1

12,56 cm

4 cm

12,56 : 4  3,14

2

18,84 cm

6 cm

18,84 : 6  3,14

3

25,12 cm

8 cm

25,12 : 8  3,14

Uansett hvor stor sirkelen er, fa˚r vi 3,14 til svar!

Vi kaller tallet 3,14 for . Vi leser «pi». Egentlig er ikke  nøyaktig 3,14. Bruker du -tasten pa˚ kalkulatoren, vil du se at tallet  har mange desimaler.

Geometri

125


Fordi omkretsen dividert pa˚ diameteren blir 3,14 kan vi multiplisere diameteren med  for a˚ finne omkretsen. Regel

Omkretsen av en sirkel er diameteren multiplisert med 3,14. O=.d

Eksempel

Regn ut omkretsen av en sirkel med diameter 4 cm. 4 cm

Løsning O = d = 3,14  4 cm = 12,56 cm

Oppgaver 4.31 Regn ut omkretsen av en sirkel na˚r diameteren er a) 10 cm b) 5 cm c) 12,5 cm 4.32 a) Ma˚l radius i sirklene. b) Hva blir omkretsen til sirklene?

Geometri

A

126

B

C

d) 2 cm


4.33 Finn omkretsen til himmellegemene. (Det er ikke riktig forhold mellom bildene.) a)

c)

Pluto: d = 2500 km

b) Jupiter: d =142 800 km

Sola d = 1 390 400 km

4.34 Martin vil lage et hjul som forflytter seg 1 m for hver runde. Hvor stor maË&#x161; diameteren paË&#x161; hjulet vĂŚre?

1m

Geometri

127


Tegning og konstruksjon av normaler

?

Hva slags utstyr trenger vi naË&#x161;r vi skal tegne eller konstruere geometriske figurer? Jeg er en normal til gulvet!

150 140

180 170 160

100 90 80 70 60 50 0 20 10 30

128

110 120 130

40

Geometri

En linje som staË&#x161;r vinkelrett paË&#x161; en annen linje, er normal til denne linja. Vinkelen mellom normalen og linja er 90 . NaË&#x161;r vi skal tegne en normal, bruker vi en vinkelhake eller gradskive.


En normal som ga˚r gjennom midten av et linjestykke, kalles en midtnormal. Regel

Normalen til en linje danner alltid en vinkel pa˚ 90 med linja.

Oppgaver 4.35 Tegn en linje l og en normal til linja. 4.36 Tegn av linjestykkene og tegn en normal midt pa˚ linjestykkene. a) A

B

b) A

B

4.37 Tegn en linje m og et punkt P over linja. Tegn sa˚ normalen fra punktet til linja. 4.38 Tegn et linjestykke AB = 9 cm. Finn midtpunktet til linjestykket og kall punktet for P. Tegn midtnormalen til linjestykket AB i P.

Konstruksjon av normaler Na˚r vi skal konstruere en normal, bruker vi passer, linjal og blyant. Vær nøye na˚r du konstruerer. Vi kan konstruere tre ulike normaler. Husk at alle normaler danner 90 med linja.

Geometri

129


Normal i et punkt 1

Tegn en linje l og merk av et punkt P pa˚ linja.

2

Sett passerspissen i P. Sla˚ en sirkelbue som skjærer l pa˚ hver side av P.

3

P

l

P

l

Sla˚ sirkelbuer fra hvert av skjæringspunktene med linja slik at de skjærer hverandre over P. Husk at passera˚pningen hele tiden skal være den samme.

Geometri

4

130

Trekk linja mellom skjæringspunktet og P. Linja er normalen til l gjennom punktet P.

P A˚ konstruere en normal er det samme som a˚ konstruere en vinkel pa˚ 90

l


Midtnormal 1

2

Tegn linjestykket AB = 8 cm.

A

B

Sett passerspissen i A og sla˚ en sirkelbue. Gjør det samme i B. Husk samme passera˚pning. Pass pa˚ at avstanden i passera˚pningen blir sa˚ stor at buene skjærer hverandre.

A

3

B

Trekk en linje gjennom de to skjæringspunktene til sirkelbuene. Denne linja er midtnormalen til linjestykket AB. A

B

Midtnormalen deler linjestykket i to like deler!

131


Normal fra et punkt til en linje P

1

Tegn en linje l og merk av et punkt P over linja. l

2

Sett passerspissen i P og sla˚ en sirkelbue slik at du fa˚r to skjæringspunkter med l.

P

l

3

Sla˚ sirkelbuer fra hvert av skjæringspunktene slik at du fa˚r et nytt skjæringspunkt pa˚ motsatt side. P Husk samme passera˚pning.

l

Geometri

4

132

Trekk linja mellom skjæringspunktet og P. Linja er normalen fra P til l. P

l


Oppgaver 4.39 Tegn en linje l. Merk av et punkt P pa˚ linja. Konstruer normalen til l i P. 4.40 Tegn av linjestykkene og konstruer midtnormalene.

4.41 Tegn en linje m med et punkt Q under linja. Konstruer normalen fra Q til m. 4.42 Tegn linjestykkene og konstruer midtnormalene. a) AB = 6 cm b) BC = 9 cm c) CD = 15 cm 4.43 Tegn en 4ABC. Konstruer normalen fra A til BC. 4.44 Tegn to linjer, l og m, som skjærer hverandre. Merk av et punkt P som ligger pa˚ m. a) Konstruer normalen til m i P. b) Konstruer normalen fra P til l. 4.45 a) Tegn en linje l og et punkt P utenfor linja. b) Konstruer normalen fra P til l. Kall skjæringspunktet for A. c) Merk av to punkter til høyre og to punkter til venstre for A pa˚ l. Kall disse punktene for B, C, D og E. d) Trekk linjestykkene fra de nye punktene til P. e) Hvilket av linjestykkene fra P til l er det korteste?

Geometri

133


Konstruksjon av vinkler

? Hvordan kan jeg konstruere, en vinkel pa˚ 60 i punktet A?

A

Hvilke vinkler kan vi konstruere?

Konstruere 60 1

2

Tegn en linje og merk av et punkt A pa˚ linja.

A

Sett passerspissen i A og sla˚ en bue som skjærer linja. Kall skjæringspunktet for B.

134

A

3

B

AB

Geometri

C

Sett passerspissen i B og sla˚ en bue som har samme radius som AB. Kall skjæringspunktet for C.

A

B


4

C

Trekk linjestykket AC. Du har na˚ konstruert en vinkel pa˚ 60 .

60° A

B

Konstruere 90 1

Tegn en linje og merk av et punkt A pa˚ linja.

3

A

2

Sla˚ sirkelbuer fra hvert av skjæringspunktene med linja slik at de skjærer hverandre over A. Husk samme passera˚pningen.

Sett passerspissen i A, og sla˚ to sirkelbuer med samme radius, e´n pa˚ hver side av A.

A

4

A

Trekk linja mellom skjæringspunktet for sirkelbuene og A. Du har na˚ konstruert en vinkel pa˚ 90 .

A

Geometri

135


Oppgaver 4.46 Konstruer en a) vinkel pa˚ 60

b) vinkel pa˚ 90

4.47 a) Konstruer en vinkel pa˚ 90 og kall toppunktet for A. b) Merk av 5 cm pa˚ høyre vinkelbein og 7 cm pa˚ venstre vinkelbein. Kall skjæringspunktene for B og C. c) Trekk linjestykket BC. d) Hva slags trekant er 4ABC? 4.48 a) Konstruer en vinkel pa˚ 60 og kall toppunktet for A. b) Sett av to punkter 10 cm fra A pa˚ vinkelbeina. Kall skjæringspunktene for B og C. c) Trekk linjestykket BC. d) Hva slags trekant er 4ABC? 4.49 a) Tegn en linje l og merk av et punkt P pa˚ linja. b) Konstruer 60 i P. c) Konstruer 90 i P. d) Hvor stor er vinkelen mellom de to vinklene du har konstruert?

Geometri

4.50 Konstruer en sirkel med sentrum S og r = 7 cm. Merk av et punkt pa˚ sirkelbuen. Merk av radien fra punktet og lag nye punkter pa˚ sirkelbuen. a) Hvor mange ganger kan du merke av radien rundt sirkelen? Trekk opp linjestykkene med lengde lik r mellom skjæringspunktene pa˚ sirkelbuen. b) Hva kaller vi figuren du na˚ har fa˚tt? c) Hvor stor er vinkelsummen til figuren? Trekk opp linjestykkene fra hjørnene i figuren til S. d) Hva kaller vi trekantene? e) Hvor store er vinklene i trekantene?

136

r

s

r


Halvering av vinkler Na˚r vi halverer en vinkel, deler vi vinkelen i to like store deler. Stra˚len som deler vinkelen i to, kaller vi halveringsstra˚len.

60°

Hm. Hvordan kan jeg lage en vinkel pa˚ 30 ?

Vi halverer en vinkel slik. B

1

Tegn en vinkel med toppunkt P. Sett passerspissen i P og sla˚ en bue som skjærer begge vinkelbeina. Kall skjæringspunktene for A og B. P

2

Sett passerspissen først i A og sa˚ i B. Sla˚ to sirkelbuer med samme radius slik at sirkelbuene skjærer hverandre.

A

3

Trekk halveringsstra˚len fra P gjennom skjæringspunktet. Halveringsstra˚len deler vinkelen i to like store vinkler.

B

B

P

A

P

A

Geometri

137


Ved a˚ halvere vinkler pa˚ 60 eller 90 kan vi blant annet lage nye vinkler pa˚ 45 , 30 , 22,5 og 15 .

Vi starter alltid med a˚ halvere en vinkel pa˚ 60 eller 90 na˚r vi skal lage andre vinkler.

Oppgaver 4.51 Tegn en spiss, en stump og en rett vinkel og halver dem. 4.52 Tegn av vinklene og halver dem. a)

b)

Geometri

c)

138

4.53 Konstruer en vinkel pa˚ b) 45 a) 90

c) 22,5

4.54 Konstruer en vinkel pa˚ b) 30 a) 60

c) 15

d) 7,5


Konstruere andre vinkler Na˚r vi skal konstruere vinkler, ma˚ vi ofte kombinere forskjellige vinkelkonstruksjoner. 60 + 15 = 75

Alle vinkler vi kan konstruere tar utgangspunkt i vinkler pa˚ 60 eller 90 .

Vi kan konstruere en vinkel pa˚ 75 pa˚ denne ma˚ten: 1

Konstruer en vinkel pa˚ 90 .

2

Konstruer en vinkel pa˚ 60 .

Geometri

139


3

Halver vinkelen mellom de to vinklene pa˚ 90 og 60 . Du har na˚ konstruert en vinkel pa˚ 75 .

75°

Oppgaver 4.55 Konstruer en vinkel pa˚ c) 105 a) 75  b) 120 d) 135 4.56 Konstruer en vinkel pa˚ 75 ved a˚ legge sammen en vinkel pa˚ 45 og en vinkel pa˚ 30 .

Geometri

4.57 Konstruer en vinkel pa˚ c) 37,5 a) 67,5  b) 52,5 d) 112,5

140

45 + 30 = 75


Konstruksjon av trekanter

?

Jeg har tegnet en hjelpefigur.

C

60° A

45° 4 cm

B

Hvordan kan vi konstruere trekanten pa˚ tavla?

Na˚r vi skal konstruere en trekant, trenger vi minst tre opplysninger. I hjelpefiguren pa˚ tavla ser vi at

A = 60 ,

B = 45 og AB = 4 cm.

Vi tegner først en linje og avsetter AB = 4 cm.

A

B

A

B

Deretter konstruerer vi en vinkel pa˚ 60 i A.

Geometri

141


Til slutt konstruerer vi en vinkel pa˚ 45 i B og markerer C i skjæringspunktet mellom vinkelbeina.

C

A

B

Vi skriver ikke ma˚l pa˚ konstruksjonen, bare navn pa˚ hjørnene.

Na˚r vi konstruerer er det vanlig a˚ skrive en forklaring til konstruksjonen. Her ser du forklaring til konstruksjonen ovenfor: 1. 2. 3. 4.

Avsatte AB = 4 cm. Konstruerte 60 i A. Konstruerte 45 i B. Merket av C i skjæringspunktet mellom vinkelbeina til

A og

B.

Eksempel

A = 90 og

Konstruer 4ABC der AB = 5 cm, Løsning Hjelpefigur:

Konstruksjon:

Forklaring: 1. Avsatte AB = 5 cm 2. Konstruerte 90 i A. 3. Konstruerte 60 i B. 4. Merket av C i skjæringspunktet mellom vinkelbeina til A og B.

C

Geometri

C

142

60° A 5 cm

B

A

B = 60 .

B


Oppgaver 4.58 Bruk hjelpefigurene til a˚ konstruere trekantene. a) b) c) C C

C 8 cm

8 cm

A

60° 5 cm

7 cm

B

A

45° 6 cm

B

A

6 cm

B

4.59 a) Tegn en hjelpefigur til 4ABC der AB = 8,5 cm, A = 60 og B = 45 . b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring til konstruksjonen.

Tegn alltid hjelpefigur!

4.60 a) Konstruer 4ABC der AB = 9 cm, A = 90 og b) Skriv forklaring til konstruksjonen. c) Hva kaller vi en slik trekant? 4.61 a) Konstruer 4ABC der AB = 7,5cm, A og b) Skriv forklaring til konstruksjonen. c) Hvor stor er C? d) Hva kaller vi en slik trekant?

B = 30 .

B = 45 .

Geometri

143


Prøv deg selv 1

Tegn a) en linje

b) et linjestykke

c) en stra˚le

2

Forklar hva vi mener na˚r vi sier at to linjer er parallelle.

3

Ma˚l vinklene og bestem om de er rette, stumpe eller spisse. a)

c)

b)

4

5

Geometri

6

144

u

a) Hvor store er de ukjente vinklene? b) Hva slags vinkler er u og v? Tegn en vinkel pa˚ b) 110 a) 49

30°

v w

c) 225



Hva heter figurene? a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)


7

Beregn de ukjente vinklene.

C

C

a)

c) 38° D

76°

35° A

b)

67°

44° B

B

A

C

d)

D

C

70° 30° A

8

A

B

B

Hvor stor er omkretsen? a)

4m

6m

Geometri

145


b)

c)

d = 65 cm

2 cm 2 cm

3 cm

4 cm

1 cm 2 cm

9

2 cm

Tegn et linjestykke pa˚ 8,5 cm og konstruer midtnormalen.

10

Tegn en linje l og et punkt P under linja. Konstruer normalen fra P til l.

11

Konstruer vinklene. a) 90 b) 60

c) 45

Konstruer vinklene. b) 225 a) 150

c) 52,5

12

13

d) 30

Konstruer trekantene ut fra hjelpefigurene. Skriv forklaring til konstruksjonene. C

C

a) 30°

c) 30°

5 cm

A

B C

b) 8 cm

45°

Geometri

15°

146

A

14

6 cm

B

A

I 4ABC er A = 60 , B = 45 og AB = 7,5 cm. a) Tegn en hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring til konstruksjonen.

9 cm

B


Noe a˚ lure pa˚ 1

En diagonal er det linjestykket du kan trekke fra ett hjørne til et motsta˚ende hjørne i en figur. Tegn en firkant, en femkant, en sekskant, en sjukant, en a˚ttekant, en nikant og en tikant. Lag en tabell over hvor mange diagonaler de forskjellige mangekantene har. a) Hva slags mønster finner du? b) Kan du lage en regel?

2

Ga˚r det an a˚ dele en vinkel i tre like store deler med bare linjal, passer og blyant? Det er ikke lov a˚ bruke linjalen til a˚ ma˚le med. Dette er et klassisk problem!

3

I 4ABC er A dobbelt sa˚ stor som B. B. Hvor store er vinklene i trekanten?

4

Tegn to punkter, A og B, som ligger 7 cm fra hverandre. Finn punktene som ligger 5 cm fra A og 4 cm fra B.

5

Klarer du a˚ tegne disse figurene uten a˚ løfte blyanten eller tegne over samme strek to ganger? a)

C er tre ganger sa˚ stor som

b)

Geometri

147


6

Lag et kvadrat. Hvor mange deler kan du fa˚ i kvadratet hvis du deler det med a) en rett linje b) to rette linjer Hvis du deler kvadratet med tre rette linjer, hva er det c) minste antall deler du kan fa˚ d) største antall deler du kan fa˚

Geometri

Jeg forsøker med fire linjer!

148

7

Tegn en femkant, en sekskant og en sjukant. Lag en tabell over vinkelsummen. Finner du et mønster?

8

I hver av disse figurene er sidene like lange og vinklene i hjørnene like store. Hvor stor er a) x b) y

x

y


Oppsummering Linjer og punkter Et linjestykke har et startpunkt og et endepunkt.

En stra˚le har et startpunkt, men ikke noe endepunkt.

A

A

B

En linje fortsetter uendelig i begge retninger.

Et punkt tegnes ofte med et kryss eller en prikk. P

P

P

l

Skjæringspunktet mellom to linjer merkes med en stor bokstav. l P

A

To linjer er parallelle na˚r avstanden mellom dem hele tiden er den samme. l m Vi skriver: l || m

B

Vinkler Venstre vinkelbein

Toppunkt

En spiss vinkel er mindre enn 90 :

Høyre vinkelbein

En rett vinkel er lik 90 .

0 20 10 30

180 170 160

62˚ 10 100 90 80 70 60 1 0 12 50 130

40

150 140

Slik ma˚ler vi en vinkel med gradskive:

En stump vinkel er større enn 90 :

Geometri

149


Nabovinkler har samme toppunkt og ett vinkelbein felles. u+

u

v

v = 180

Toppvinkler har samme toppunkt og felles vinkelbein i motsatt retning.

w v

u

u= v w= x

x

Trekanter I en rettvinklet trekant er e´n av vinklene 90 .

I en likebeint trekant er to sider like lange og to vinkler like store.

I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60 .

Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 .

60° 30°

30 + 60 + 90 = 180

Firkanter

Geometri

I et kvadrat er alle sidene like lange og alle vinklene 90 .

150

I et rektangel er to og to sider like lange og alle vinklene 90 .

I en rombe er alle sidene like lange og motstaË&#x161;ende vinkler like store.


I et trapes er to av sidene parallelle.

I et parallellogram er to og to sider parallelle. MotstaË&#x161;ende vinkler er like store.

Sirkelen Vi regner ut omkretsen av en sirkel ved hjelp av denne formelen:

radius

O=.d diameter

der  = 3,14

Normaler Normal i et punkt paË&#x161; en linje

Midtnormal til en linje

Normal fra et punkt P

A

B

l

Vinkler Slik konstruerer vi en vinkel paË&#x161; 90 :

Slik konstruerer vi en vinkel paË&#x161; 60 :

Slik halverer vi en vinkel:

Geometri

151


Noe ma˚ være galt! Statistisk sett skulle det vært fint vær i dag!


5 Statistikk Statistikk er a˚ samle inn og studere data. Vi undersøker dataene pa˚ ulike ma˚ter og presenterer ofte resultatene i tabeller eller diagrammer. ˚ lære om statistikk er a˚ kunne forsta˚ hvordan dataene A presenteres, vite hva dataene forteller, og kunne gjøre egne undersøkelser.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . . . .

begrepet frekvens hvordan vi behandler og presenterer data median, typetall og gjennomsnitt variasjonsbredde hvordan vi lager ulike diagram hvordan vi leser og tolker tabeller og diagram

Man kan nok ikke alltid stole pa˚ statistikken ...


Frekvens

?

Til na˚ har vi fem personbiler og tre lastebiler.

Frekvensen av personbiler er høyest!

Hva mener vi med frekvens?

Na˚r vi vil gjøre en statistisk undersøkelse, ma˚ vi først samle inn data. A˚ samle inn data kan være a˚ . .

lese av temperaturer fa˚ svar pa˚ spørsma˚l

. .

registrere egenskaper registrere hendelser

Statistikk

Dataene vi samler inn, kaller vi observasjoner.

154

Hvor mange ganger et bestemt svar eller en lik observasjon forekommer, kaller vi frekvens. Vi presenterer frekvensene i en frekvenstabell. Herman og Lotte sa˚ at 21 personbiler og 8 lastebiler kjørte forbi skolen. Vi sier at frekvensen av personbiler er 21 og frekvensen av lastebiler er 8. Vi viser dette i en frekvenstabell.

Biltype Personbil Lastebil

Frekvens 21 8


Regel

Frekvens betyr hvor mange ganger et bestemt svar eller en observasjon forekommer.

Eksempel

Sara har undersøkt hvor mange elever som blir kjørt til skolen en dag. Her ser du resultatet av undersøkelsen:

Ble du kjørt til skolen i dag?

ørt: Blir kj

rt: ke kjø k i r i l B

a) Hva er frekvensen til de ulike svaralternativene? b) Lag en frekvenstabell. Løsning a) Frekvensen av elever som blir kjørt til skolen, er 21. Frekvensen av elever som ikke blir kjørt til skolen, er 16. b) Frekvenstabell:

Svaralternativ

Frekvens

Blir kjørt

21

Blir ikke kjørt

16

Statistikk

155


Oppgaver 5.1

Simen har undersøkt hvor mange elever i gruppa hans som kan svømme 1000 m. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Svaralternativ

Antall svar

Frekvens

Ja Nei Vet ikke a) Tegn av og gjør ferdig frekvenstabellen. b) Hva er frekvensen av «Ja»? c) Hva er frekvensen av «Nei»? d) Hva er frekvensen av «Vet ikke»? 5.2

Hanna har undersøkt hvilken favorittfarge elevene i hennes gruppe har. Her ser du resultatet av undersøkelsen: bla˚ bla˚ brun rød rød rød grønn grønn

rød gul grønn gul bla˚ brun rød rød

grønn grønn brun grønn gul bla˚ bla˚ rød

bla˚ rød grønn grønn grønn gul gul rød

a) Lag en frekvenstabell. b) Hva er frekvensen av fargen bla˚? 5.3

Etter en prøve i matematikk fikk noen elever disse karakterene:

Statistikk

2, 3, 4, 4, 3, 5, 6, 2, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 5, 5, 6, 3, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 4, 2, 5

156

a) Lag en frekvenstabell. b) Hva er frekvensen av karakteren 3?


Søylediagram og stolpediagram

?

Antall elever 2. aksen 10

8 Hm. Diagrammene ser forskjellige ut ...

6 4 2 0

bla˚

rød

gul

grønn oransje 1. aksen

Antall kamper

10 8 6 4 2 0

0

1

2

3

4

5

6 Antall ma˚l

Hva er forskjellen pa˚ diagrammene?

Diagrammene ovenfor viser frekvensen av favorittfarger og antall scorete ma˚l. Vi ser at tykkelsen pa˚ søylene er forskjellig. Hvis observasjonene beskrives med tekst, bruker vi søyler og kaller diagrammet for søylediagram. Hvis observasjonene er tall, bruker vi stolper og kaller diagrammet for stolpediagram. Vi presenterer de ulike observasjonene pa˚ 1. aksen og frekvensene pa˚ 2. aksen.

Statistikk

157


Eksempel

n:

telefo

obil Har m

Lotte har undersøkt hvor mange elever i hennes gruppe som har mobiltelefon. Her ser du resultatet av undersøkelsen:

ke Har ik efon: tel mobil

a) Vis resultatet i en frekvenstabell. b) Presenter resultatet i et søylediagram. Løsning a)

b) Antall elever

Svaralternativ

Frekvens

Ja

14

15

Nei

11

10 5 0 Har mobiltelefon

Har ikke mobiltelefon

Eksempel

I en gymtime gikk elevene i gruppa til Herman pa˚ ski i trimløypa. De fikk velge hvor mange runder de ville ga˚. Her ser du hvor mange elever som gikk 1, 2 eller 3 runder: Presenter frekvenstabellen i et stolpediagram. Løsning

Statistikk

Antall elever

158

Runder i trimløypa

Frekvens

1

5

2

4

3

6

7 6 5 4 3 2

Frekvensen er antall elever.

1 0

1 2 3 Antall runder i løypa


Oppgaver 5.4

Na˚r bruker vi stolpediagram, og na˚r bruker vi søylediagram?

5.5

Simen har undersøkt hvilken idrett elevene i gruppa hans har som favorittidrett. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Ha˚ndball: Ishockey: Fotball: Friidrett: Langrenn: Annen idrett:

5.6

a) Lag en frekvenstabell. b) Lag et søylediagram. c) Hvilken idrett er mest populær?

Hanna har undersøkt hvor mange filmer elevene i gruppa hennes ser i løpet av en helg. Her ser du et stolpediagram som viser resultatet av undersøkelsen: a) Lag en frekvenstabell pa˚ grunnlag av stolpediagrammet. b) Hvor mange elever er med i undersøkelsen? c) Hvor mange elever sa˚ færre enn to filmer? d) Hvor mange elever sa˚ flere enn

Antall elever

12 10 8 6 4 2 0

0

1

2

3

4 5 Antall filmer

to filmer?

Statistikk

159


5.7

Her ser du de største lengdene som er ma˚lt hos noen dyrearter: Sjiraff Hvalhai Deltakrokodille Spermasetthval Struts Sjøelefant Bla˚hval Kjempeblekksprut Nettpyton

6m 15 m 8,5 m 21 m 3m 7m 35 m 18 m 10 m

Lag et søylediagram.

Bla˚hval

5.8

Nedenfor ser du hvor mange treninger 20 av medlemmene i orienterings-klubben Falken har vært med pa˚ i løpet av e´n ma˚ned: 13 18 16 15 12 15 15 12 14 17

13 13 12 17 18 16 13 13 14 14

a) Lag en frekvenstabell. b) Lag et stolpediagram.

Statistikk

5.9

160

Her ser du lengden til de 10 lengste elvene i verden: Nilen 6671 km Chang Jiang 6300 km Huang He 4840 km Parana 4500 km Jenisej 5310 km Ob-Irtysh 5410 km Amazonas 6570 km Mississippi-Missouri 6020 km Amur 4416 km Zaire 4630 km a) Lag et søylediagram. b) Hvilken elv er verdens lengste?


Sentralma˚l og variasjonsbredde

?

Snødybden i a˚r er lavere enn gjennomsnittet.

Hva mener Hanna?

Na˚r vi skal beregne hvilke observasjoner som er mest typiske i en undersøkelse, bruker vi sentralma˚lene gjennomsnitt, median og typetall.

Gjennomsnitt Hanna har beregnet gjennomsnittlig snødybde pa˚ hytta de siste a˚rene ved a˚ legge sammen snødybdene og dele pa˚ antall a˚r. Eksemplet pa˚ neste side viser utregningen.

Gjennomsnitt er det samme som middelverdi.

Statistikk

161


Regel

Vi finner gjennomsnittet ved a˚ summere alle observasjonene og dividere pa˚ antall observasjoner.

Eksempel

Her ser du snødybden Hanna har ma˚lt pa˚ hytta fra 1999 til 2005: 1999 2,7 m 2000 1,4 m 2001 0,9 m 2002 1,2 m 2003 2,7 m 2004 3,2 m 2005 1,9 m Regn ut gjennomsnittlig snødybde. Løsning 2,7 + 1,4 + 0,9 + 1,2 + 2,7 + 3,2 + 1,9 14 = = 2,0 7 7 Den gjennomsnittlige snødybden er 2,0 m.

Oppgaver

Statistikk

5.10 Regn ut gjennomsnittet av tallene. a) 2 5 5 b) 13 15 15 14 c) 5 2 0 –3 d) 4,3 –8,3 –6,5 –8,5

162

5.11 Simen spilte bowling og fikk disse resultatene: 172

134

150

Hva ble gjennomsnittet? 5.12 Finn gjennomsnittet av 22 kr, 18 kr, 36 kr og 12 kr.

–2 0

–4,0

5,5


Median Hvis vi ordner alle observasjonene i stigende rekkefølge, er den midterste observasjonen medianen. Regel

Medianen er den midterste observasjonen na˚r observasjonene er ordnet i stigende rekkefølge.

Eksempel

Her er snødybdene pa˚ hytta til Hanna ordnet i stigende rekkefølge: 0,9 m 1,2 m 1,4 m 1,9 m 2,7 m 2,7 m 3,2 m Finn medianen. Løsning Vi ser at den midterste observasjonen er 1,9 m.

Hvis antall observasjoner er partall, finner vi gjennomsnittet av de to midterste observasjonene.

Medianen er 1,9 m.

Oppgaver 5.13 Bestem a) 0 b) 6 c) 12

medianen til tallene. 1 3 3 5 6 9 6 8 16 13 15 18

9 15

7 17

18

15

5.14 Finn medianen til tidene 4 min, 2 min, 8 min og 6 min. 5.15 Bestem a) 55 b) 120 c) 0,5 d) 1,6 e) 0,12

medianen til tallene. 56 58 55 59 123 123 125 121 0,51 0,52 0,51 0,56 2,4 3,5 1,8 1,8 0,13 0,15 0,18 0,22

135 0,52 3,0 2,7 1,9 2,9 0,23 0,17 0,20

Statistikk

163


Typetall Den observasjonen som har den høyeste frekvensen, dvs. som forekommer oftest, kaller vi typetallet. Regel

Typetallet er den eller de observasjonene som har den høyeste frekvensen. Typetallet kan være tall, bokstaver, farger og annet.

Eksempel

Her ser du en frekvenstabell over snødybden pa˚ hytta til Hanna. Bestem typetallet. Løsning Vi ser at snødybden 2,7 m har den høyeste frekvensen. Typetallet 2,7 m.

Snødybde

Frekvens

0,9 m

1

1,2 m

1

1,4 m

1

1,9 m

1

2,7 m

2

3,2 m

1

Det kan være flere typetall i e´n og samme undersøkelse.

Statistikk

Oppgaver

164

5.16 Bestem typetallet til a) 2 m 4 m 3 m b) 5,6 s 5,5 s 5,7 s c) 4,54 4,52 4,53

observasjonene. 2m 2m 5m 5,7 s 5,5 s 5,0 s 5,7 s 5,4 s 4,50 4,54 4,53 4,55 4,53 4,54

5.17 Bestem typetallet til observasjonene. a) 3 5 3 4 3 3 4 6 b) A B B C D A B H c) Mandag Tirsdag Mandag Onsdag Tirsdag Lørdag Mandag Søndag


5.18 Sara løper 800 meter. I løpet av en sesong oppna˚dde hun disse plasseringene: 4 5 2 1 1 1 3 5 3 2 Finn a) gjennomsnittsplasseringen b) medianen

c) typetallet

Variasjonsbredde Vi finner variasjonsbredden i en undersøkelse ved a˚ trekke den minste ma˚lingen fra den største. Regel

Variasjonsbredden er differansen mellom den høyeste og den laveste verdien til observasjonene i en undersøkelse.

Eksempel

Hanna ma˚lte disse snødybdene pa˚ hytta fra 1999 til 2005: 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

2,7 1,4 0,9 1,2 2,7 3,2 1,9

m m m m m m m

Hva er variasjonsbredden? Løsning Den største snødybden er 3,2 m. Den laveste snødybden er 0,9 m. 3,2 m -- 0,9 m = 2,3 m Variasjonsbredden er 2,3 m.

Statistikk

165


Oppgaver 5.19 Finn variasjonsbredden til tallene. a) 12 9 b) 145 123 155 c) 1,66 1,72 1,85 1,91 5.20 Lotte har undersøkt hvor mange timer elevene pa˚ hennes trinn ser pa˚ TV hver dag. Her ser du resultatet av undersøkelsen i antall timer: 2 1 5

5 2 6

6 2 3

6 3 3

6 3 5

5 3 4

Finn a) gjennomsnittet b) medianen

4 5

3 4

2 7

1 0

c) typetallet d) variasjonsbredden

Statistikk

5.21 Herman har undersøkt hvor mange kroner elevene pa˚ hans trinn fa˚r i lommepenger hver uke. Her ser du resultatet av undersøkelsen i kroner:

166

80 130 100

120 80 180

50 180 80

100 100 100

Finn a) gjennomsnittet b) medianen c) typetallet d) variasjonsbredden

150 100 120

150 50 180

200 80 90

100 120

90 150

100 80


5.22 Simen fanget flere sommerfugler av arten Dagpa˚fugløye. Han ma˚lte disse vingespennene: 5,5 5,7 5,6 6,0 5,9 5,5

cm cm cm cm cm cm

Hva er variasjonsbredden til ma˚lingene? Dagpa˚fugløye

5.23 Sara har undersøkt høyden til elevene pa˚ trinnet sitt. Her ser du resultatet av undersøkelsen i meter: 1,50 1,65 1,75 1,55 1,55 1,75 1,65 1,60 1,65 1,60 1,75 1,50 1,85 1,60 1,50 1,60 1,70 1,60 1,75 1,75 1,55 1,50 1,60 1,75 1,50 1,70 Finn a) gjennomsnittet b) medianen c) typetallet d) variasjonsbredden

Statistikk

167


Linjediagram

? Diagrammet viser hvor mye befolkningen har økt pa˚ 300 a˚r!

Verdens befolkning i millioner

6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 A˚r

Na˚r bruker vi linjediagram?

Vi bruker linjediagram na˚r du vil vise forandring eller utvikling over tid. Pa˚ førsteaksen markerer vi tidsenheter som sekunder, timer, dager, uker eller a˚r.

Statistikk

I diagrammet ovenfor ser du hvordan befolkningen har økt fra a˚r 1700 til a˚r 2000. Enheten pa˚ 1. aksen er a˚r. Først markerer vi Linjediagram er det samme befolkningstallene med punkter. som kurvediagram. Deretter trekker vi linjer mellom hvert punkt slik at vi fa˚r en sammenhengende linje.

168


Eksempel

En uke Hanna hadde influensa, ma˚lte hun kroppstemperaturen hver dag. Her ser du resultatet av ma˚lingene: Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag Søndag

37,5 38,8 39,2 40,0 39,5 38,6 37,7



C C  C  C  C  C  C 

Lag et linjediagram. Løsning Grader ( C)

41 39 37 35

Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag

Søndag Ukedag

Skalaen pa˚ 2. aksen begynner pa˚ 35 .

Statistikk

169


Oppgaver 5.24 Linjediagrammet viser salget av is i kiosken Knask i fjor. Antall is

Statistikk

a) I hvilken ma˚ned var salget av is størst? b) I hvilken ma˚ned var salget av is minst? c) Na˚r var økningen i salget størst?

170

Desember

November

Oktober

September

August

Juli

Juni

Mai

April

Mars

Februar

Januar

800 700 600 500 400 300 200 100 0


5.25 Økningen i bruk av mobiltelefon i Norge har vært stor de siste a˚rene. Bruk linjediagrammet til a˚ finne ut a) hvor mange mobiltelefoner som var i bruk i 2000 b) hvor mange mobiltelefoner som var i bruk i 2005 c) hvor mange flere mobiltelefoner det var i 2005 enn i 2000 Antall mobiltelefoner i millioner

4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 2000

2001

2002

2003

2004

2005 A˚rstall

5.26 Herman noterte hvor mange soltimer det var hver dag en uke i juli. Her ser du notatene hans: Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag

9t 10 t 11 t 7t

Fredag Lørdag Søndag

15 t 12 t 3t

Lag et linjediagram. 5.27 Martin ma˚lte temperaturen i vannet hver dag en sommeruke. Her ser du temperaturene han ma˚lte: Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag Søndag

16 17 21 22 19 18 17



C C  C  C  C  C  C 

a) Lag et linjediagram. b) Beregn gjennomsnittstemperaturen, medianen og typetallet.

Statistikk

171


Gjennomføre en undersøkelse

?

Hva skal vi undersøke?

Hvordan skal vi gjennomføre undersøkelsen?

Hvordan skal vi presentere resultatet? Jeg vil undersøke hvor mange søsken hver elev har! Jeg vil ma˚le nedbør eller temperatur!

Jeg vil undersøke hva som er favorittretten i gruppa va˚r.

Noe om katter kanskje...

Hvordan planlegger vi en undersøkelse?

Statistikk

Na˚r vi skal gjennomføre en undersøkelse, er det lurt a˚ planlegge framgangsma˚ten først. Vi ma˚ finne ut

172

. . .

hva vi vil undersøke hvordan vi skal registrere og bearbeide dataene hvordan vi skal presentere resultatet av undersøkelsen

Oppgaver 5.28 Gjennomfør en undersøkelse og velg hvordan du vil presentere resultatet av undersøkelsen.


Prøv deg selv 1

I en gruppe pa˚ 22 elever har 14 av elevene bla˚ øyefarge og 8 brun øyefarge. Vis fordelingen av øyefarge i en frekvenstabell.

2

Hva slags diagram er dette? a) Grader ( C)

b) Antall elever

25

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

20 15 10 5 0 Mandag

c)

Tirsdag

Onsdag

13

14

Antall skiturer

Alder (a˚r)

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Martin

Lotte

Simen

Hanna

3

Na˚r bruker vi stolpediagram og na˚r bruker vi søylediagram?

4

Nevn tre eksempler pa˚ sentralma˚l.

Statistikk

173


5

6

7

8

9

Regn ut gjennomsnittet til tallene. a) 4 7 9 2 b) 1,5 2,0 1,5 0,5 c) –1 0 4 2

3,5 –3

Bestem medianen. a) 8 9 b) 7,5 8,0 c) 2 4

2 8,5 –2

8 7,5 8

5 7,0 –1

8,5 0

Bestem typetallet. a) 3 5 b) 34 32 c) A B

4 23 C

3 23 B

3 56 B

5 37 A

Hva er variasjonsbredden til ma˚lingene? 1,73 cm 1,83 cm 1,57 cm Elevene til lærer Pedersen fikk disse karakterene i kroppsøving: 3 6 2 3 5 3

5 4 1 4 6 4

5 3 3 4 5 4

5 2 3 4 4 3

Statistikk

Lag et stolpediagram.

174

3 A

1,69 cm


10

Hanna undersøkte en morgen hvor mange passasjerer det var i hver bil. Her ser du et diagram som viser resultatet av undersøkelsen: a) Lag en frekvenstabell pa˚ grunnlag av diagrammet. b) Hvor mange biler ble undersøkt i alt? c) Hvor mange personer var det totalt i alle bilene?

Antall biler

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0

1

2

Antall passasjerer

11

Her ser du hvor stor fart enkelte dyr kan oppna˚: Spekkhugger Gepard Antilope Struts Seilfisk Hest Hare Menneske

55 105 67 72 109 69 25 40

km/t km/t km/t km/t km/t km/t km/t km/t

Lag et søylediagram.

En hest kan løpe i 69 km/t

12

Simen ma˚lte temperaturen i luften hver dag i en uke. Her ser du temperaturene han ma˚lte: Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag

6 C 4 C 1 C 0 C

Fredag Lørdag Søndag

0 C --3 C --8 C

Lag et linjediagram.

Statistikk

175


Noe a˚ lure pa˚ 1

En plante vokser slik: 1 uke

8 cm

2 uker

12 cm

3 uker

18 cm

4 uker

27 cm

Hvor lang bør planten være etter fem uker hvis den vokser i samme takt som før? Cm

30 25 20 15 10 5 0 Uke 1

Statistikk

2

176

Uke 2

Uke 3

Uke 4

I en dam vokste det vannliljer. Vannliljene doblet sitt areal hver dag, og etter 14 dager var hele dammen dekt av vannliljer. Hvilken dag dekket vannliljene halve dammen?


3

Hva er det minste antall kronestykker du ma˚ flytte for at pyramiden skal peke motsatt vei?

4

Halvparten av de elevene som en dag spiste i kantina pa˚ skolen, hadde 3 av den andre halvparten med niste og kjøpte derfor ingenting. 4 kjøpte frukt. Halvparten av elevene som kjøpte frukt, kjøpte bananer 1 og kjøpte epler. De siste 15 elevene kjøpte pærer. 4 Hvor mange elever spiste i kantina den dagen?

5

Mount Everest har en høyde pa˚ 8850 moh., og jordas radius ved ekvator er 6378 km. Hvis du skulle lage en modell av jorda med diameter pa˚ 1 m, hvor høy ville da Mount Everest bli?

Statistikk

177


Oppsummering Frekvens

Kjønn

Frekvens

Frekvens er antall like observasjoner eller svar i en undersøkelse. Vi presenterer frekvensene i en frekvenstabell.

Jenter

12

Gutter

13

Gjennomsnitt Vi regner ut gjennomsnittet ved a˚ summere alle observasjonene og dividere pa˚ antall observasjoner. 4+6+8 Gjennomsnittet av tallene 4, 6 og 8 er =6 3

Median Medianen er den midterste observasjonen na˚r observasjonene er ordnet i stigende rekkefølge. 12

14

17

21

30

Medianen er 17. Hvis antall observasjoner er partall, finner vi gjennomsnittet av de to midterste observasjonene.

Typetall Typetallet er den eller de observasjonene som har den høyeste frekvensen. Rød

Bla˚

Bla˚

Gul

Rød

Grønn

Bla˚

Statistikk

Typetallet er bla˚.

178

Variasjonsbredde Variasjonsbredden er differansen mellom den høyeste og den laveste verdien til observasjonene i en undersøkelse. 6 km

2 km

8 km

9 km – 2 km = 7 km Variasjonsbredden er 7 km.

3 km

9 km


Søylediagram

Antall elever

Vi bruker søylediagram na˚r observasjonene ikke er tall. Frekvensen merker vi av pa˚ 2. aksen.

9 8 7 6 5 2. aksen 4 3 2 1 0 Katt

Stolpediagram Vi bruker stolpediagram na˚r observasjonene er tall. Frekvensen merker vi av pa˚ 2. aksen.

Hund 1. aksen

Kjæledyr

Poeng

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Linjediagram Vi bruker linjediagram na˚r vi vil vise forandring eller utvikling over tid. Tidsenhetene merker vi av pa˚ 1. aksen.

1

2

3

4 Antall elever

Centimeter snø

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Januar

Februar

Mars

Statistikk

179


Algebra er regning med tall og variabler.

2x?

x+2 2  x?


6 Tall og algebra Ordet algebra har sin opprinnelse i et ord i tittelen pa˚ en bok av den arabiske matematikeren Mohammad ibn Musa al-Khwarizimi. Boken het al-Kitab al-mukhatasar fi hisab aljabr wal-muqabalah. Algebra kommer fra ordet al-jabr, som betyr «sammensetning» eller «gjenoppretting», og har vært brukt om kunsten a˚ spleise benbrudd. I algebra bruker vi bokstaver som symboler for tall. Verdien til symbolene kan variere, derfor kaller vi symbolene variabler.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . .

enkle algebraiske uttrykk regning med uttrykk eller formler løsning av likninger

Tall er greit, men hva i all verden er variabler?


Talluttrykk

?

Jeg tror svaret blir 48.

3(10 + 6)

Jeg tror svaret blir 36.

Hvem har regnet riktig?

Herman vil kjøpe 3 frimerker til 10 kr per stk. og 3 frimerker til 6 kr per stk. Vi kan sette opp et talluttrykk for hva det koster:

Tall og algebra

3  (10 + 6)

182

Legg merke til at vi har satt parentes rundt prisen paË&#x161; frimerkene.


Vi skriver som regel ikke multiplikasjonstegnet foran en parentes. Derfor kan vi skrive uttrykket slik: 3(10 + 6) Vi regner ut: Vi regner ut inne i parentesen først

3ð10 + 6Þ = 3  16 = 48

Det betyr at Herman ma˚ betale 48 kr.

Regel

Na˚r det er flere regnearter i et talluttrykk, ma˚ vi regne i denne rekkefølgen: 1 parenteser 2 multiplikasjon og divisjon 3 addisjon og subtraksjon

Eksempel

Regn ut. a) 5  (2 + 12)

b) 5 + 3  (4 + 2)

Løsning a) 5  ð2 + 12Þ = 5  14 = 70 b) 5 + 3  ð4 + 2Þ = 5 + 3  6 = 5 + 18 = 23

Oppgaver 6.1

6.2

Regn ut. a) 20 + 4  7 b) 20 – 4  3

c) 9  7 + 12 d) 10  (3 + 2)

e) 2  (5 – 1) f ) 26 – (4  3)

Regn ut. a) 4  (3 + 10) b) 5  (12 – 4)

c) 8  (24 – 14) d) 10  (16 + 1)

e) 15  (15 – 12) f ) 7  (42 – 33)

Tall og algebra

183


6.3

6.4

6.5

Tall og algebra

6.6

184

Regn ut. a) 3(4 + 5) b) 4(6 + 7)

c) 10(23 – 14) d) 7(35 – 27)

e) 100(34 – 29) f ) 50(34 – 33)

Regn ut. a) 34 + (12 + 4)

b) 45 – (50 – 20)

c) (4 + 4) + (23 – 8)

Regn ut. a) 2(6 + 3) – 9

b) 56 + 6(21 – 19)

c) 4(5 + 2) – 2(10 – 7)

Regn ut. 24 -- 6 a) 3

24 -- 12 b) -- 3 3

 c)

 21 -- 1 + 2  3 7

6.7

Sara kjøper 3 liter brus til 9,90 per liter, 2 poser potetgull til 14,90 per stk. og 3 hg sma˚godt til 16 kr per hg. Sett opp og regn ut tallutrykket som viser hvor mye hun ma˚ betale.

6.8

En gruppe pa˚ 27 elever skal pa˚ tur til Galdhøpiggen. De skal reise med buss og overnatte to døgn. Overnatting koster 80 kr per døgn per person og bussen koster 75 kr per person tur/retur. Sett opp og regn ut tallutrykket som viser hvor mye turen kommer pa˚ for hele gruppen.

Utsikt fra Galdhøpiggen


Uttrykk med variabler

?

Jeg er tre a˚r eldre enn deg.

Jeg er x a˚r gammel.

Hvis Bent er 10 a˚r, hvor gammel er Hanna da?

Hanna er tre a˚r eldre enn Bent. Hvis vi tenker oss at x er et tall som sta˚r for alderen til Bent, sa˚ er alderen til Hanna x+3 Bokstaven x er her et symbol for et tall som kan variere. Det betyr at det kan ha forskjellige verdier. Vi sier at bokstaven er en variabel. Hvis Bent er 10 a˚r, sa˚ er x = 10. Da er alderen til Hanna 10 + 3 = 13 Hvis Bent er 11 a˚r, sa˚ er x = 11. Da er alderen til Hanna 11 + 3 = 14

Tall og algebra

185


Eksempel

Herman er x a˚r. Cecilie er fem a˚r yngre enn Herman. a) Hva blir uttrykket for alderen til Cecilie? b) Hva blir alderen til Cecilie hvis Herman er 14 a˚r? Løsning a) Uttrykket for alderen til Cecilie blir x -- 5 b) x – 5 = 14 – 5 = 9 Hvis Herman er 14 a˚r, blir alderen til Cecilie 9 a˚ r.

En kurv jordbær koster 25 kr. Hvis x sta˚r for antall kurver, sa˚ vil x kurver jordbær koste x  25 = 25x Vi kaller uttrykket 25x for et bokstavuttrykk.

Tall og algebra

Eksempel

186

Hanna ga˚r x turer opp til hytta. Hun bærer 4 planker pa˚ hver tur. Hvor mange planker bærer Hanna pa˚ x turer? Løsning x  4 = 4  x = 4x Hanna bærer 4x planker p˚a x turer:

Husk at vi kan bytte om 25 og x. Det betyr at x  25 = 25  x = 25x


Oppgaver 6.9

Skriv et uttrykk for a) summen av x og 3 b) differansen mellom x og 5

c) 10 mer enn y d) 12 mindre enn y

6.10 Lotte er x a˚r. Skriv et uttrykk som viser hvor gammel a) hun var for 5 a˚r siden b) hun blir om 3 a˚r 6.11 Martin kjøper x kg epler i butikken. Eplene koster 20 kr per kilogram. Lag et uttrykk som viser hvor mye Martin ma˚ betale. 6.12 Lag et uttrykk for innholdet i sirkelen.

6.13 Bestemoren til Herman kjører bil med en fart pa˚ 80 km i timen. Lag et uttrykk som viser hvor langt hun kjører pa˚ x timer.

6.14 Simen vil kjøpe x kg bananer til 12 kr per kilogram og en pose epler til 28 kr. Lag et uttrykk for hvor mye Simen ma˚ betale i alt. 6.15 Sara ga˚r x km til skolen og x km fra skolen hver dag. Lag et uttrykk som viser hvor mange kilometer Sara ga˚r til og fra skolen pa˚ a) e´n dag b) e´n uke

Tall og algebra

187


Sette tall inn i uttrykk

?

x betyr antall bagetter.

Bagetter 20 kr Kjøp flere bagetter! Pris: 20x

Vi skal ha tre bagetter.

Regn ut selv hvor mye dere skal betale!

Hva menes med uttrykket 20x?

Tall og algebra

I formler eller uttrykk som inneholder en variabel, kan vi sette inn ulike tall for variabelen og regne ut.

188

En bagett koster 20 kr. Uttrykket 20x forteller da hvor mange kroner det koster aË&#x161; kjøpe x bagetter. 3 bagetter koster 20 kr  3 = 60 kr 5 bagetter koster 20 kr  5 = 100 kr

Lurer paË&#x161; hvor mye 1000 bagetter koster...


Eksempel

a) Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye x kg epler koster. b) Regn ut hvor mye x kg epler koster na˚r x = 5.

Ukens tilbud: Norske epler til 12 kr per kg

Løsning a) Bokstavuttrykket 12x viser hvor mye x kg epler koster. b) 5 kg epler koster 12 kr  5 = 60 kr

Oppgaver 6.16 Regn ut 12  x na˚r a) x = 4 b) x = 5

c) x = 6

6.17 Regn ut 15x na˚r a) x = 2 b) x = 5

c) x = 1

6.18 Prisen for x liter bensin er 10x. a) Hva sta˚r tallet 10 for i formelen 10x? Regn ut hvor mye x liter bensin koster na˚r b) x = 3 c) x = 4 6.19 Formelen for omkretsen av et rektangel er O = 2a + 2b, der O sta˚r for omkretsen, a for lengden og b for bredden av rektangelet. Regn ut omkretsen av rektangelet na˚r a) a = 8 cm og b = 6 cm b) a = 12 cm og b = 7,5 cm

Tall og algebra

189


Regning med bokstavuttrykk

?

Hm, hvordan kan jeg regne ut dette?

x + 2x

Hvordan kan vi regne med variabler?

Regnereglene for tall gjelder ogsa˚ for regning med variabler. Vi kan bruke forskjellige bokstaver som symboler for tall, for eksempel x, y, a, b, n og m.

Tall og algebra

Vi vet at

190

Vi pleier a˚ sløyfe multiplikasjonstegnet mellom tall og variabler.

5+5+5=35 Pa˚ samme ma˚ten er a + a + a = 3  a = 3a x + x + x + x = 4  x = 4x Ved addisjon eller subtraksjon av flere variabler ga˚r vi fram pa˚ denne ma˚ten: + a + a + a = 7a 3a + 4a = |fflfflfflfflffl a +ffl{zfflfflfflfflffl a + ffla} + a |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 3a

Vi legger sammen tallene og beholder variabelen.

4a


8x – 3x = 5x Vi trekker tallene fra hverandre og beholder variabelen. Na˚r vi har uttrykk med flere ulike variabler, trekker vi sammen ledd med for eksempel a og b hver for seg. 2a + 3b + 4a – b = 2a + 4a + 3b – b = 6a + 2b Eksempel

Trekk sammen. a) 9x – 2x

b) 2a + 4b + 2a – 2b

Løsning a) 9x – 2x = 7x b) 2a + 4b + 2a – 2b = 2a + 2a + 4b – 2b = 4a + 2b

Oppgaver 6.20 Trekk sammen. a) x + x + x + x + x b) a + a + a c) b + b + b + b 6.21 Trekk sammen. a) 2a + 5a b) 4x + 2x c) 6y + y d) 8n – 2n e) 5m – 3m f ) 5x – 4x

d) y + y + y + y + y + y e) x + x + x f) n + n + n + n + n + n + n

Husk: 1y = y

6.22 Trekk sammen. a) 3a + 4b + 2a + 3b b) 3x + 2y + x + 4y c) 4m + 2n – 3m + n d) 8k + 5l – 7k – 3l

Tall og algebra

191


6.23 Skriv talluttrykk for omkretsen av figurene. a) b) a a

b a

b b

s

a a

s

6.24 Trekk sammen. a) 3x + 4y -- 3x b) --4a -- 2b -- 2a -- b c) 3n -- 3n + 2m -- 2m d) 12x + 14x + 24x 6.25 Skriv talluttrykk for omkretsen av figurene. a) b a y

b) x

x

x

Tall og algebra

x

192

c)

x x

3a a 3a 2a a

6.26 Trekk sammen. a) 4x – 2y – 4x + y + 2x b) 2a – b – a + 2b + a

c) 4x + y – 5x –y + 2y d) –2x + y + 3x – 2y + x


Likninger

?

Begge sidene i likningen ma˚ være like.

·3 = 12

Hvilket tall ma˚ sta˚ i ruta for at likningen skal bli riktig?

Et ukjent tall blir multiplisert med 3. Svaret skal bli 12. Hvis vi bruker bokstaven x for det ukjente tallet, kan vi sette opp denne likningen: x  3 = 12 To uttrykk med samme verdi, ett pa˚ hver sin side av likhetstegnet, kalles en likning. A˚ løse en likning vil si a˚ bestemme den ukjente, slik at begge sidene av likhetstegnet fa˚r samme verdi. Vi prøver med forskjellige verdier for x:

Det er bare x = 4 som gjør at x  3 = 12. Vi sier at x = 4 er løsningen pa˚ likningen fordi 4  3 = 12.

x

x.3

1

1.3= 3

2

2.3= 6

3

3.3= 9

4

4 . 3 = 12

5

5 . 3 = 15

6

6 . 3 = 18

Tall og algebra

193


Eksempel

Hva er løsningen pa˚ likningene? x a) x  4 = 20 b) = 2 3 Løsning a) x = 5 er løsningen pa˚ likningen x  4 = 20 fordi 5  4 = 20. b) x = 6 er løsningen pa˚ likningen

x 6 = 2 fordi = 2. 3 3

Oppgaver 6.27 Hvilke tall passer i rutene? a) &  5 = 15 c) 3 + & = 18 b) &  7 = 21 d) 30 : & = 5

e) & : 7 = 6 f ) 23 -- & = 16

6.28 Hvilket tall sta˚r x for i hver likning? x x+1 e) =2 a) 2  x = 12 c) = 5 4 4

Tall og algebra

b) 4  x = 16

194

d)

36 =9 x

f)

6.29 Hvilket tall sta˚r a for i hver likning? a) 4  a = 20 b) 4a = 24 c) a + 12 = 21 d) 4a + 2 = 14 e) 15 – a = 8 f ) 3a – 2 = 10 6.30 Hvilket tall sta˚r x for i hver likning? a) x : 3 = 5 b) 32 : x = 8 x 36 d) =4 c) = 4 5 x

e)

2x =3 4 Vi kan bruke forskjellige bokstaver for ukjente tall i likninger.

x+1 =4 4

f)

2x =4 3

6.31 Herman tenker pa˚ et tall. Han multipliserer tallet med 4. Deretter adderer han med 3. Da fa˚r han 23 til svar. Hvilket tall tenker Herman pa˚?


˚ løse likninger ved hjelp av addisjon eller subtraksjon A Vi kan løse likninger ved a˚ legge til eller trekke fra det samme tallet pa˚ hver side av likhetstegnet. Vi vet at 3 = 3. Hvis vi legger til 2 pa˚ hver side av likhetstegnet, fa˚r vi 3=3 3+2=3+2 5=5 Verdien er fremdeles like stor pa˚ begge sider.

Pa˚ samme ma˚te kan vi trekke fra 2 pa˚ begge sider i likningen: 3=3 3 -- 2 = 3 -- 2 1=1

Regel

Vi kan løse en likning ved a˚ legge til eller trekke fra det samme tallet pa˚ begge sidene av likhetstegnet i likningen.

Eksempel

Jeg ma˚ visst trekke fra like mye pa˚ begge sider ...

Løs likningene. a) x + 8 = 12 b) x – 4 = 5 Løsning a) x + 8 = 12 x + 8 -- 8 = 12 -- 8 x=4 Vi ser at løsningen er riktig, fordi 4 + 8 = 12.

Tall og algebra

195


b)

x -- 4 = 5 x -- 4 + 4 = 5 + 4 x=9

Vi ser at løsningen er riktig, fordi 9 – 4 = 5. Oppgaver 6.32 Løs likningene. a) x + 13 = 31 b) 14 + x = 23

c) x – 50 = 25 d) x – 7 = 1

e) x + 10 = 8 f ) x – 15 = 0

6.33 Løs likningene. a) x + 50 = 120 b) 75 + x = 105

c) x + 40 = 30 d) x – 100 = 175

e) x – 125 = 1 f ) x – 20 = –30

6.34 Løs likningene. a) x – 3,5 = 7,5 b) x + 2,3 = 8,1

c) 3,9 + x = 4,1 d) x + 3 + 4 = 13

e) x + 7 = 4 + 9 f) x + 7 – 3 = 6 + 4

˚ løse likninger ved hjelp av multiplikasjon eller divisjon A Vi kan multiplisere begge sidene i en likning med det samme tallet.

Tall og algebra

x =3 5

196

x5 = 35 5

Vi multipliserer med 5 pa˚ begge sider

x5 = 35 5

Vi forkorter 5 med 5

x = 15 Vi kan dividere begge sidene i en likning med det samme tallet. 5x = 30 5x 30 = 5 5

Vi dividerer med 5 pa˚ begge sider


5 x 30 = 5 5

Vi forkorter 5 med 5

x=6 Regel

Vi kan løse en likning ved a˚ multiplisere eller dividere med det samme tallet pa˚ begge sidene av likhetstegnet i likningen.

Eksempel

Løs likningene. a) 6x = 30

b)

x =3 4

Løsning a) 6x = 30

b)

6 x 30 = 6 6 x=5

x =3 4 x4 = 34 4 x = 12

Oppgaver 6.35 Løs likningene. a) 7x = 42 b) 4x = 36 6.36 Løs likningene. x a) = 3 6

c) 9x = 72 d) 15x = 45

e) 12x = 60 f ) 5x = 15

c)

x = 45 2

e)

x =4 15

d)

x = 13 3

f)

x =6 5

a) 30x = 60

c)

x =7 6

e) 21x = 84

b) 9x = 108

d)

x =3 9

f)

b)

x =6 12

6.37 Løs likningene.

x = 12 9

Tall og algebra

197


6.38 Løs likningene. 1 x=3 4

a) 15 – 8 = x – 3

c)

b) 20 – x = 13

1 d) 27 = 4 x 2

˚ sette prøve pa˚ likninger A Vi kan kontrollere løsningen pa˚ en likning ved a˚ sette prøve pa˚ likningen. Det vil si a˚ undersøke om venstre og høyre side av likningen har samme verdi. Jeg har regnet ut at x = 6 er løsningen pa˚ likningen.

Hvordan kan vi finne ut om det er riktig?

Tall og algebra

x + 4,5 = 10,5

198

Vi regner ut verdien av venstre side og av høyre side hver for seg: V.S.

H.S.

x + 4,5 6 + 4,5 10,5

10,5

Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 6 er derfor riktig løsning.


Eksempel

Undersøk om x = 13 er riktig løsning pa˚ likningen x + 14 = 27. Løsning V.S. x + 14 13 + 14 27

H.S. 27

Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 13 er derfor riktig løsning.

Oppgaver 6.39 Undersøk om x = 3 er løsning pa˚ likningen 3+x=1+5 6.40 Undersøk om x = 4 er løsning pa˚ likningen 4x + 2 = x + 15 6.41 Undersøk om x = 5 er løsning pa˚ likningen 2x = x -- 3 5 6.42 a) Løs likningen

x = 4 + 1. 3

b) Sett prøve pa˚ likningen. 6.43 Løs likningene og sett prøve. a) 5 + x = 15 – 9 b) x – 3 – 4 = 34

2x -- 2 = x -- 8 6 d) 3x – 1 = 2 + 7 c)

6.44 Hanna løste likningen 2x -- 3 = x -- 13 7 Hun fikk x = 14 til svar. Undersøk om Hanna har regnet riktig.

Tall og algebra

199


Prøv deg selv 1

2

Regn ut. a) 12 + 4  5 b) 24 – 4  5

c) 7  6 – 27 d) 3  8 – 25

e) 4(3 + 7) f ) 6(7 – 2)

g) 40 – (34 – 14) h) 3(8 – 1) – 14

a) Skriv et uttrykk for A Summen av x og 5 B 8 mindre enn x C 4 mer enn x

Tall og algebra

b) Sara vil kjøpe et klippekort til bussen. Kortet koster x kr per tur, og det holder til 20 turer. Lag et uttrykk som forteller hvor mye klippekortet koster.

200

3

4

Regn ut 7x na˚r a) x = 2

b) x = 1

c) x = 8

Prisen for x kg epler er 20x. a) Hva sta˚r tallet 20 for i uttrykket 20x? b) Regn ut hvor mye det koster a˚ kjøpe 2 kg epler. c) Regn ut hvor mye det koster a˚ kjøpe 4 kg epler.


5

6

7

Trekk sammen. a) 4a + 3a c) 8x – x b) 7x – 2x d) 3a + b – 2a + 2b

e) 3x – 2y – 2x + 3y f ) a – b + 3a + b

Løs likningene. a) x + 12 = 19

c) 4x = 20

b) x – 4 = 13

d) 25x = 175

x =4 6 x f) = 4 5 e)

x =7 4 2x h) =6 5

g)

Løs likningene og sett prøve. a) 3 + x = 15 – 9 b) 2x + 4 = 20

a =4 3 a d) + 1 = 5 4 c)

Tall og algebra

201


Noe a˚ lure pa˚ 1

Tenk pa˚ et tall. Multipliser tallet med 6. Divider deretter med 3. Subtraher til slutt det tallet du først tenkte pa˚. Na˚ tenker jeg Hvordan vil du forklare det svaret du fa˚r?

Tall og algebra

pa˚ et tall ...

202

2

Tenk pa˚ et tall. Multipliser tallet med 2. Adder 4. Divider med 2. Subtraher det tallet du tenkte pa˚. a) Hvilket tall har du na˚? b) Gjenta dette med et annet tall. Hvilket tall fa˚r du na˚?

3

Lotte har en lillebror som ga˚r i barnehagen. Hun er seks ganger sa˚ gammel som ham. Om tre a˚r er hun bare tre ganger sa˚ gammel som lillebroren. Hvor gammel er lillebroren da?

4

Utenfor et kjøpesenter var det kun parkert biler og motorsykler. Simen talte 27 kjøretøyer og disse kjøretøyene hadde til sammen 94 hjul. Hvor mange biler og motorsykler var det utenfor kjøpesenteret?

5

Palindrom er ord eller tall som er det samme enten det leses forfra eller bakfra, for eksempel REGNINGER. Hvis speedometeret pa˚ bilen til HANNAH og OTTO viser 123 321 km, hvor langt ma˚ bilen kjøre før neste palindrom kommer fram?


6

Sara, Herman og Simen har delt ut reklameaviser. De skal dele lønnen pa˚ 1100 kr. Sara og Herman skal ha 900 kr til sammen, Simen skal ha halvparten av det Herman fa˚r. Sara skal ha 100 kr mer enn Herman. Hvor mye fa˚r hver av dem?

7

Skriv av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2  3Þ inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller i en boks.

3 2

6 5 3 1 2 5 6 4 2 1 5 Sudoku

Tall og algebra

203


Oppsummering Utregning av talluttrykk Na˚r det er flere regnearter i et talluttrykk, regner vi i denne rekkefølgen: 1 2 3

parenteser multiplikasjon og divisjon addisjon og subtraksjon

5 + 3  (4 + 2) = 5 + 3  6 = 5 + 18 = 23

Variabler Variabler er bokstaver som kan ha forskjellige tallverdier. 4n, 3x, x + 3 er eksempel pa˚ bokstavuttrykk. Vi finner verdien av et uttrykk ved a˚ sette inn tall for variabelen. Na˚r x = 4 og y = 8, blir x + y = 12. Vi kan bare trekke sammen ledd som inneholder den samme variabelen. 4a + 2b – 2a + b = 4a – 2a + 2b + b = 2a + 3b

Tall og algebra

Løsning av likninger

204

I en likning er det to uttrykk som har samme verdi, ett pa˚ hver sin side av likhetstegnet. ˚ løse en likning vil si a˚ bestemme den ukjente, slik at begge sider av A likhetstegnet fa˚r samme verdi. x + 5 = 11 har løsningen x = 6, fordi 6 + 5 = 11


Regneregler for likninger Vi kan addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med samme tall pa˚ begge sidene av likhetstegnet i en likning. Addisjon x -- 3 = 11 x -- 3 + 3 = 11 + 3 x = 14 Subtraksjon x + 6 = 13 x + 6 -- 6 = 13 -- 6 x=7 Divisjon 4x = 20 4x 20 = 4 4 x=5 Multiplikasjon x =4 7 x7 = 47 7 x = 28

˚ sette prøve pa˚ likninger A ˚ sette prøve pa˚ en likning vil si a˚ sette inn en verdi for den ukjente og A undersøke om venstre side og høyre side av likhetstegnet fa˚r samme verdi. Vi kontrollerer om x = 3 er riktig løsning pa˚ likningen 2x + 4 = 10 pa˚ denne ma˚ten: V.S. 2x + 4 23þ4 10

H.S. 10

Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 3 er derfor riktig løsning.

Tall og algebra

205


Det er ca. 4,2 lysaË&#x161;r til stjernen Alfa.

Hvor langt er et lysaË&#x161;r?


7 Ma˚ling og enheter Et a˚r er et tidsrom. Et lysa˚r er ikke et tidsrom, men et lengdema˚l. Det er den lengden lyset tilbakelegger pa˚ ett a˚r. Det vil si at det tar ca. 4,2 a˚r før lyset fra stjernen Alfa na˚r jorda.

Ma˚l I dette kapitlet vil du fa˚ lære om . . . .

enheter for lengde, areal, volum og masse a˚ bruke og endre ma˚lestokk bruk av passende ma˚leenheter og regne om mellom ulike ma˚leenheter regning med vei, fart og tid

Lurer pa˚ hvor mange a˚r det ville ta a˚ reise dit ...


Lengde

? Den kinesiske mur er ca. 7300 km lang, inkludert sidegrener. Avstanden fra Lindesnes til Nordkapp er 1640 km i luftlinje. Hvor mange ganger lengre er den kinesiske mur enn avstanden fra Lindesnes til Nordkapp?

Na˚r vi skal ma˚le lengden av noe, bruker vi ulike ma˚leredskaper. I dagliglivet bruker vi mest linjal, tommestokk og ma˚leba˚nd.

Ma˚ling og enheter

Na˚r vi skal ma˚le svært sma˚ lengder eller tykkelser, kan vi bruke et skyvelære eller en mikrometerskrue.

208

Det finnes ogsa˚ en rekke elektroniske instrumenter som kan ma˚le lengde, for eksempel ekkolodd, høydema˚ler i fly, GPS og lasere. I Norge bruker vi internasjonale ma˚leenheter med 1 meter som grunnenhet for lengde. De vanligste enhetene for lengde, er: meter (m) desimeter (dm) centimeter (cm) millimeter (mm) Store avstander ma˚ler vi i kilometer (km) og mil.

Skyvelære


De fleste land i verden bruker disse enhetene. Det er en fordel fordi vi pa˚ den ma˚ten lettere kan sammenlikne størrelser fra land til land. Vi vet at 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm 1 km = 1000 m 1 mil = 10 km Det betyr at 4,5 m = 10  4,5 dm = 45 dm 4,5 dm = 10  4,5 cm = 45 cm 4,5 cm = 10  4,5 mm = 45 mm

Veiskilt med avstand i kilometer i Vietnam

Vi kan illustrere dette slik: · 10 m

· 10 dm

: 10

· 10 cm

: 10

mm : 10

Oppgaver 7.1

Hvor mange centimeter er linjestykkene? a) b) c)

7.2

Velg riktig lengdeenhet og skriv setningene. a) En seng er 220 & lang. b) Lengden rundt ekvator er ca. 40 000 &. c) En fotballbane er ca. 110 & lang. d) Herman er 1650 & høy.

Ma˚ling og enheter

209


7.3

7.4

7.5

7.6

Hvor mange centimeter er a) 10 mm c) 2 dm b) 1 m d) 3 m

e) 2,4 m f ) 15 mm

g) 1,2 dm h) 0,75 m

Hvor mange meter er a) 500 cm c) 2 km b) 20 dm d) 1 mil

e) 2000 mm f ) 4,8 km

g) 50 cm h) 500 mm

Gjør om. a) 4 km = & m b) 3,5 m = & cm

c) 150 cm = & m d) 1400 m = & km

e) 0,25 m = & cm f ) 0,07 m = & mm

Simen skal sende en pakke i posten. Det er regler for hvor stor en pakke kan være na˚r den skal sendes.

Pakken er 0,5 m lang, 20 cm bred og 20 mm høy. Regn ut summen av lengden, bredden og høyden.

Ma˚ling og enheter

7.7

210

En favn ble i gammel tid regnet som en lengde pa˚ 1,882 m. En fot var en lengde pa˚ 31,38 cm. Hvor mange fot var det i en favn?

1,882 m

31,38 cm


Ma˚lestokk

?

Ma˚lestokken er 1 : 10 000. Hm. Det er 3 cm pa˚ kartet til neste post.

Hvor langt er det til neste post i virkeligheten?

Kart er eksempler pa˚ tegninger som er mindre enn virkeligheten. Pa˚ kartet sta˚r det hvor stor forminskningen er. Dette kaller vi ma˚lestokken. Ma˚lestokken blir alltid oppgitt som et forhold. Hvis ma˚lestokken er 1 : 10 000, skriver vi det slik: M = 1 : 10 000 Vi sier at ma˚lestokken er 1 til 10 000. Det betyr at alle lengder i luftlinje er 10 000 ganger sa˚ store som de lengdene vi ma˚ler pa˚ kartet.

En globus er jorda i forminsket ma˚lestokk!

Ma˚ling og enheter

211


Her ser du det samme omra˚det pa˚ kart med forskjellig ma˚lestokk.

Ma˚ling og enheter

Ma˚lestokk 1 : 1 000 000

212

Ma˚lestokk 1 : 5 000 000

Ma˚lestokk: 1 : 15 000 000 Kart over Eidsvoll, Cappelens atlas for ungdomstrinnet


Eksempel

Regn ut hvor langt det er i luftlinje fra Drøbak til Nesoddtangen. Ma˚lestokk 1 : 300 000

Løsning Pa˚ kartet er avstanden fra Drøbak til Nesoddtangen 7,5 cm. I virkeligheten er da avstanden 7,5 cm  300 000 = 2 250 000 cm = 22 500 m = 22,5 km Det er 22,5 km i luftlinje fra Drøbak til Nesoddtangen.

Oppgaver 7.8

Kartet nedenfor er i ma˚lestokken 1 : 1 000 000. Ma˚l lengdene pa˚ kartet og beregn avstanden i luftlinje fra a) Hamar til Elverum b) Gjøvik til Vingrom c) Dokka til Elverum

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

Ma˚ling og enheter

213


7.9

Hanna løper orientering. Kartet hun bruker er i ma˚lestokken 1 : 10 000. Fra Storemyr til Lillekollen er det 15 cm pa˚ kartet. Hvor langt er det fra Storemyr til Lillekollen i luftlinje?

7.10 Simen ma˚ler avstanden pa˚ et kart til 12 cm. Hvor langt er det i luftlinje hvis ma˚lestokken er a) 1 : 10 000 b) 1 : 15 000 c) 1 : 50 000 7.11 Pa˚ et kart med M = 1 : 50 000 er det 8,5 cm fra Neset til Vika. a) Hvor langt er det i luftlinje mellom Neset og Vika? b) Hva ville lengden mellom Neset og Vika bli pa˚ kartet hvis dette ble tegnet i M = 1 : 100 000? 7.12 Hanna ser pa˚ et kart over et skogsomra˚de. Hun vet at avstanden mellom Trollhullet og Huldregropa er 6 km. Pa˚ kartet er den tilsvarende avstanden 40 cm. Hvilken ma˚lestokk har kartet?

Ma˚ling og enheter

Tegning i ma˚lestokk

214

Rommet til Martin er 4 m langt og 3 m bredt. Martin skal lage en tegning av rommet i ma˚lestokken 1 : 100. M = 1 : 100 betyr at 1 cm pa˚ tegningen skal svare til 100 cm = 1 m i virkeligheten. Tegningen til Martin blir derfor slik:

3 cm (3 m)

4 cm (4 m)


Eksempel

Lotte skal tegne en rektangelformet lekeplass pa˚ et kart i ma˚lestokken 1 : 1000. Lekeplassen er 50 m lang og 40 m bred. Hvor stor blir lengden og bredden til lekeplassen pa˚ kartet? Løsning M = 1 : 1000 50 m = 5000 cm 5000 cm = 5 cm 1000

4 cm

40 m = 4000 cm 4000 cm = 4 cm 1000

5 cm

Lengden blir 5 cm og bredden blir 4 cm

Oppgaver 7.13 En rektangelformet skoleplass har lengden 50 m og bredden 30 m. Lag en tegning av skoleplassen i ma˚lestokken 1 : 1000. 7.14 Tegn matematikkboka di, pulten din og linjalen din i ma˚lestokken 1 : 10. 7.15 En idrettsplass besta˚r av to halvsirkler og et rektangel. Lengden av rektangelet er 100 m og bredden er 75 m. Tegn idrettsplassen i ma˚lestokken 1 : 2000.

75 m

100 m

7.16 Tegn en leilighet slik du kan tenke deg den. Sett pa˚ ma˚l og skriv opp hvilken ma˚lestokk du har brukt.

Ma˚ling og enheter

215


Areal

? Det ga˚r 1 liter maling til 10 m2. Lurer pa˚ hvor mye maling vi trenger ...

Ma˚ling og enheter

Hvordan kan Herman og Sara finne ut hvor mye maling de trenger?

216

Na˚r Herman og Sara maler en vegg, maler de en flate. Flaten har en utstrekning i to retninger, lengde og bredde. Størrelsen pa˚ flaten kaller vi areal. De vanligste enhetene for areal, er: kvadratmeter (m2 ) kvadratdesimeter (dm2 ) kvadratcentimeter (cm2 ) Store landomra˚der ma˚ler vi i kvadratkilometer (km2 ) Enhetene for areal (flateinnhold) bygger pa˚ grunnenhetene for lengder. Ma˚l Lengde Areal

Enheter km

m

dm

cm

2

2

2

cm2

km

m

dm


Vi regner ut arealet av kvadratet til høyre pa˚ denne ma˚ten:

1 m = 10 dm = 100 cm

A = 1 m  1 m = 1 m2 A = 10 dm  10 dm = 100 dm2 A = 100 cm  100 cm = 10 000 cm2

1 m = 10 dm = 100 cm

Vi ser da at 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 Vi kan illustrere sammenhengen slik: · 100 m2

· 100 dm2

: 100

· 100 cm2

: 100

mm2 : 100

Pa˚ jord- og skogeiendommer bruker vi ofte arealenheten dekar. Forkortelsen for dekar er daa. Fra gammelt av var 1 ma˚l litt mindre enn 1 dekar. Mange bruker likevel betegnelsen ma˚l i stedet for dekar. 1 daa = 1 ma˚l = 1000 m2

Oppgaver 7.17 Hvor mange kvadratcentimeter er c) 5 dm2 e) 45 dm2 a) 1 dm2 b) 100 mm2 d) 300 mm2 f ) 75 mm2 7.18 Gjør om. a) 5 m2 = & dm2 b) 120 dm2 = & m2 c) 560 cm2 = & dm2

g) 0,8 dm2 h) 1540 mm2

d) 0,75 m2 = & dm2 e) 2 daa = & m2 f ) 15 000 m2 = & daa

Ma˚ling og enheter

217


7.19 a) Hvor mange meter er 1 km? b) Hvor mange kvadratmeter er 1 km2 ? 7.20 Gjør om. a) 2 km2 = & m2 b) 5,2 km2 = & m2

c) 3 000 000 m2 = & km2 d) 250 000 m2 = & km2

7.21 Skriv av og sett inn riktig benevning, cm2 , m2 , daa eller km2 . a) Arealet av Norges fastland er ca. 324 000 &. b) Korna˚keren har et areal pa˚ 150 &. c) Stuegulvet har et areal pa˚ 45 &. d) Arealet av neglen pa˚ tommelen er ca. 3,5 &. 7.22 Hvor mange dekar er a) 45 ma˚l b) 1000 m2

c) 4500 m2

d) 750 m2

Ma˚ling og enheter

7.23 Beregn arealet av figurene. En rute har arealet 1 cm2 .

218

a)

c)

b)

d)


7.24 En rute har arealet 5000 km2 . Omtrent hvor mange kvadratkilometer er arealet av Frankrike?

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

7.25 En boligtomt har arealet 1,240 daa. Pa˚ tomta er det et hus pa˚ 170 m2 , en garasje pa˚ 50 m2 og en ga˚rdsplass pa˚ 85 m2 . Resten er tre bed og en plen. Hvor mange kvadratmeter er bedene og plenen?

Ma˚ling og enheter

219


Volum

?

Motoren er paË&#x161; 49,5 kubikkcentimeter.

Hva betyr egentlig det?

Hva mener vi med kubikkcentimeter?

MaË&#x161;ling og enheter

En lengde har en utstrekning i e´n dimensjon. Et areal har en utstrekning i to dimensjoner. Et volum har en utstrekning i tre dimensjoner.

220

1m

1 m2

1 m3

De vanligste enhetene for volum, er: kubikkmeter (m3 ) kubikkdesimeter (dm3 ) kubikkcentimeter (cm3 ) kubikkmillimeter (mm3 ) Enheter Lengde

m

dm

cm

mm

Areal

m2

dm2

cm2

mm2

Volum

m3

dm3

cm3

mm3


Vi regner ut volumet av terningen til høyre pa˚ denne ma˚ten:

1m =10 dm

V = 1 m  1 m  1 m = 1 m3 V = 10 dm  10 dm  10 dm = 1000 dm3

1m =10 dm 1m =10 dm

Vi ser at 1 m3 = 1000 dm3 Vi kan illustrere dette slik: · 1000 m3

· 1000 dm3

: 1000

· 1000 cm3

: 1000

mm3 : 1000

Legg merke til at 1 m = 10 dm 1 m2 = 100 dm2 1 m3 = 1000 dm3

Oppgaver 7.26 Hvor mange kubikkcentimeter er c) 10 dm3 e) 1000 mm3 a) 1 dm3 3 3 b) 3 dm d) 1 m f) 750 mm3 7.27 Gjør om til kubikkmeter. a) 5000 dm3 c) 500 000 cm3 b) 500 dm3 d) 50 000 000 cm3 7.28 Familien til Martin vil kjøpe 5 m3 grus til ga˚rdsplassen hjemme. Hvor mange kubikkdesimeter er det? 7.29 Skriv av og fyll inn riktig benevning, cm3 , dm3 eller m3 . a) Sylinderen i en bilmotor har volumet 2000 &. b) Moren til Lotte kjører et lass grus pa˚ 8 &. c) En tønne med parafin har volumet 200 &.

Ma˚ling og enheter

221


Ma˚ling og enheter

7.30 I kjemitimen bruker Herman et ma˚leglass pa˚ 25 cm3 . Han fyller ma˚leglasset med vann og heller det opp i en sylinder som rommer 1 dm3 . Hvor mange ma˚leglass ma˚ han bruke for a˚ fylle sylinderen helt?

222

7.31 Gjør om. a) 1 dm = & cm b) 1 dm2 = & cm2 7.32 Gjør om. a) 3,2 dm3 = & mm3 b) 2,5 m3 = & cm3 c) 402 cm3 = & m3 d) 65 cm3 = & m3

c) 1 dm3 = & cm3 d) 3 m = & dm

e) 5 m2 = & dm2 f ) 0,8 m3 = & dm3


Andre volumenheter I dagliglivet bruker vi ofte literma˚l, halvliterma˚l eller desiliterma˚l. Mange oppskrifter bruker liter eller desiliter som ma˚l for volum. De enhetene som er mindre enn 1 liter (l), er desiliter (dl) centiliter (cl) milliliter (ml)

Det skal være 8 dl mel.

Vi har denne sammenhengen: 1 l = 10 dl 1 l = 100 cl 1 l = 1000 ml 1 dl = 10 cl 1 dl = 100 ml 1 cl = 10 ml

Terningen til høyre har volumet 1 dm  1 dm  1 dm = 1 dm3

1 dm 1 dm

Hvis vi heller 1 liter vann i terningen, ser vi at den rommer akkurat 1 liter.

1 dm

Vi fa˚r denne regelen: Regel

1 dm3 = 1 liter

Dette ma˚ jeg sjekke ...

Merk deg dette: 1 1 1 1

m3 = 1000 dm3 dm3 = 1000 cm3 cm3 = 1000 mm3 dm3 = 1 liter

Ma˚ling og enheter

223


Noen ganger blir volumet regnet i liter og andre ganger i kubikkmeter, kubikkdesimeter osv.: Jeg fyller 30 liter bensin. Størrelsen pa˚ motoren er 1800 cm3 . 1,5 m3 grus

Eksempel

Volumet av sylinderne i en bilmotor er 1,8 liter. Hvor mange kubikkcentimeter er det?

Ma˚ling og enheter

Løsning 1,8 liter = 1,8 dm3 1,8 dm3 = 1,8 cm3  1000 = 1800 cm3

224

1,8 liter er like mye som 1800 cm3 .

Oppgaver 7.33 Hvor mange liter er a) 1 dm3 b) 12 dm3

c) 1000 cm3 d) 5,7 dm3

e) 1000 mm3 f) 1 m3

7.34 Gjør om. a) 2 dm3 = & liter b) 4 liter = & dl

c) 5 dl = & cl d) 8 cl = & ml

e) 3 liter = & cl f ) 0,75 dm3 = & dl

7.35 Gjør om. a) 3 dm3 = & cl b) 5,4 dl = & cm3

c) 35 cm3 = & cl d) 35 ml = & dl

e) 35 cm3 = & dl f ) 1300 cm3 = & liter


7.36 Sylinderen i en mopedmotor har volumet 49,5 cm3 . Hvor mange desiliter er det? 7.37 I en kakeoppskrift sta˚r det at vi skal bruke 2,5 dl hvetemel. Hvor mange kubikkcentimeter er 2,5 dl? 7.38 Hvor mange liter rommer beholderne? a) 3 dm

2 dm 4 dm b) 4 dm 20 cm 4 dm

c)

0,4 dm 20 cm

20 mm

7.39 Martin har et basseng i hagen som han fyller med vann. Bassenget rommer 1,2 m3 . Han bruker en hageslange som gir 20 liter per minutt. Hvor lang tid bruker Martin pa˚ a˚ fylle bassenget fullt med vann?

Ma˚ling og enheter

225


Masse

?

Lurer pa˚ hvor stor massen til de forskjellige tingene er ...

Hm, hvilke ma˚lenheter skal vi bruke?

Ma˚ling og enheter

Hva mener vi med begrepet masse?

226

Na˚r vi veier en gjenstand, finner vi ut hvor stor vekt eller masse gjenstanden har. I dagligtalen er det vanlig a˚ bruke begrepet vekt. De enhetene vi bruker mest for masse, er: kilogram (kg) hektogram (hg) gram (g) Sma˚ masser ma˚ler vi i milligram (mg) og store masser ma˚ler vi i tonn. Vi vet at 1 1 1 1

kg = 10 hg = 1000 g hg = 100 g g = 1000 mg tonn = 1000 kg


Eksempel

Faren til Sara skal bestille 2,5 tonn betong. Hvor mange kilogram betong er det? Løsning 2,5 tonn = 2,5  1000 kg = 2500 kg Det er 2500 kg betong.

Simen kjøper 8 hg kjøttdeig, 0,6 kg tomater og 200 g løk i butikken. Hvor mange gram veier varene til sammen? Løsning 8 hg = 8  100 g = 800 g 0,6 kg = 0,6  1000 g = 600 g 800 g + 600 g + 200 g = 1600 g Varene veier 1600 g til sammen.

Oppgaver 7.40 Gjør om til gram. a) 1 hg b) 1 kg

c) 1000 mg d) 2 kg

e) 500 mg f ) 0,25 kg

7.41 Hvor mange kilogram er a) 1000 g c) 1 000 000 mg b) 10 hg d) 350 g

e) 500 hg f) 400 mg

7.42 Gjør om. a) 1 hg = & g b) 1 kg = & hg

e) 6,5 hg = & g f ) 750 g = & kg

c) 400 mg = & g d) 2 tonn = & kg

Ma˚ling og enheter

227


7.43 Skriv av og sett inn riktig tegn (>, = eller <) i rutene. 1 a) 2 hg & 20 g c) 500 g & 50 hg e) kg & 250 g 4 3 b) 0,7 tonn & 700 kg d) 1 kg & 100 mg f ) kg & 340g 4 7.44 Hanna fant denne kakeoppskriften i en kokebok: Kakeoppskrift: 300 g mel 250 g sukker 250 g smør a) Hvor mange gram veier melet, sukkeret og smøret til sammen? b) Gjør svaret i a) om til kilogram.

228

7.46 Bla˚hvalen er det største dyret som noen gang har levd pa˚ jorda. Den kan bli inntil 31 meter og veier normalt 100-120 tonn, men individer pa˚ 150 tonn er registrert. Det latinske ordet for bla˚hval er Balaenoptera musculus som betyr liten mus. I motsetning til en bla˚hval kan en voksen elefant «bare» veie omkring 10 tonn. a) Hvor mange kilogram veier en bla˚hval pa˚ 150 tonn? b) Hvor mange kilogram veier en elefant pa˚ 10 tonn? c) Hvor mange elefanter pa˚ 10 tonn ga˚r det pa˚ en bla˚hval pa˚ 150 tonn? 7.47 En vanlig spissmus veier omkring 10 g. Hvor mange spissmus ma˚ du ha for at spissmusene skal veie det samme som a) en elefant pa˚ 10 tonn b) en bla˚hval pa˚ 150 tonn

Afrikansk elefant

Ma˚ling og enheter

7.45 Fetteren til Martin skal kjøre et lass med grus. Volumet av grusen er 5 m3 . 1 dm3 av grusen veier 2,3 kg. Hvor mye veier gruslasset?


Tid

? Mikael Flygind-Larsen setter personlig rekord med tiden 1.08,91 paË&#x161; 1000 m i Salt Lake City 2005.

Hva betyr denne tiden?

Vi kan bruke forskjellige enheter for tid. De vanligste enhetene for tid, er: sekunder (s) minutter (min) timer (h)

h er den internasjonale forkortelsen for timer.

Vi vet at 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 60  60 s = 3600 s

MaË&#x161;ling og enheter

229


Det hender at tid blir oppgitt i tideler og hundredeler. Da skriver vi tiden med komma, for eksempel slik: 1,5 h 13,75 min 45,25 s

1,5 h = 1 h + 0,5 h = 1 h 30 min

Eksempel

Hvor mange minutter og sekunder er 13,75 min? Løsning Tiden 13,75 min er oppgitt som et desimaltall. Det betyr at 13,75 min = 13 min + 0,75 min Ettersom 1 min = 60 s, blir

MaË&#x161;ling og enheter

13 min + 0,75 min = 13 min + 0,75  60 s = 13 min + 45 s

230

13,75 min = 13 min 45 s

Oppgaver 7.48 Hvor mange sekunder er a) 0,5 min b) 0,25 min

c) 0,75 min

d) 0,8 min

7.49 Hvor mange minutter er a) 0,5 h b) 0,75 h

c) 0,2 h

d) 0,9 h

7.50 Hvor mange minutter og sekunder er a) 20,50 min b) 15,60 min c) 54,33 min 7.51 Hvor mange timer og minutter er a) 2,5 h b) 3,75 h c) 2,35 h


7.52 Hanna starter pa˚ en joggetur kl. 17.15. Hun regner med a˚ være hjemme igjen kl. 18.00. Hvor lenge regner Hanna med a˚ bruke pa˚ joggeturen? 7.53 Martin reiste med bussen kl. 18.50 for a˚ besøke mormor. Han var hjemme igjen kl. 21.15. Hvor lang tid gikk det fra Martin tok bussen til han var hjemme igjen? 7.54 Det ga˚r et tog fra Nesbyen kl. 06.42. Toget bruker 2 h 25 min til Drammen. Na˚r er toget framme i Drammen?

Bergensbanen

Ma˚ling og enheter

231


7.55 Bruk tabellen nedenfor og svar pa˚ spørsma˚lene. A˚rnes bussterminal

0423

0523

0623

0723

0823

0923

1023

1123

1223

1323

Hvam

0431

0531

0631

0731

0831

0931

1031

1131

1231

1331

Neskollen Hvamsmoveien

0437

0537

0637

0737

0837

0937

1037

1137

1237

1337

Rød

0441

0541

0641

0741

0841

0941

1041

1141

1241

1341

Onsrud

0446

0546

0646

0746

0846

0946

1046

1146

1246

1346

Fonbekk

0449

0549

0649

0749

0849

0949

1049

1149

1249

1349

Jessheim jb. st.

0456

0556

0656

0756

0856

0956

1056

1156

1256

1356

Gardermoen Park Hotel

0504

0604

0704

0804

0904

1004

1104

1204

1304

1404

Oslo Lufthavn

0510

0610

0710

0810

0910

1010

1110

1210

1310

1410

a) Na˚r ga˚r den første bussen fra A˚rnes bussterminal? ˚ rnes bussterminal kl. 09.23. b) En buss starter pa˚ A Na˚r er bussen framme pa˚ Oslo Lufthavn? c) Hvor lang tid bruker bussen fra A˚rnes bussterminal til Oslo Lufthavn?

Ma˚ling og enheter

7.56 I et løp pa˚ 5 km kom Marit Bjørgen i ma˚l pa˚ tiden 13.34,50. Forklar hva denne tiden betyr (minutter, sekunder osv.).

232

Marit Bjørgen


Vei, fart, tid

?

Dette gikk nok litt for fort!

60

Hva betyr det at det sta˚r 60 pa˚ skiltet?

Enhetene for fart er sammensatt. Den mest brukte enheten er km/h – kilometer per time. Hvis bilføreren kjører 60 km pa˚ e´n time, er gjennomsnittsfarten 60 km/h. Hvis han kjører i to timer med den samme farten, kjører han 2  60 km = 120 km Pa˚ tre timer kjører han 3  60 km = 180 km

Ma˚ling og enheter

233


Det betyr av vi kan finne veilengden ved a˚ multplisere farten med tiden. veilengde = fart  tid Pa˚ samme ma˚te kan vi finne farten ved a˚ dividere veilengden med tiden. Fart = veilengde : tid Tiden finner vi ved a˚ dividere veilengden med farten. Tid = veilengde : fart Regel

Veilengde = fart  tid Fart = veilengde : tid Tid = veilengde : fart

Eksempel

Ma˚ling og enheter

a) Frida kjører 3 timer med en gjennomsnittsfart pa˚ 30 km/h. Hvor langt kjører hun? b) Frida kjører 80 km pa˚ 2 timer. Hvor stor er gjennomsnittsfarten? c) Frida kjører 60 km med en fart pa˚ 30 km/h. Hvor lang tid bruker hun?

234

Løsning a) Veilengde = fart  tid Veilengde = 30 km/h  3h = 90 km Frida kjører 90 km. b) Fart = veilengde : tid Fart = 80 km : 2h = 40 km/h Gjennomsnittsfarten er 40 km/h. c) Tid = veilengde : fart Tid = 60 km : 30 km/h = 2h Frida bruker 2 timer.


Oppgaver 7.57 Tante Hulda kjører en strekning pa˚ 80 km. Hvor stor er farten na˚r hun bruker a) 1 time b) 2 timer c) 4 timer d) 0,5 timer 7.58 Onkel Kalle kjører med en fart pa˚ 50 km/h. Hvor mange kilometer kjører han pa˚ a) 1 time b) 2 timer c) 3 timer d) 5,5 timer 7.59 Hvis onkel Kalle kjører med en fart pa˚ 70 km/h, hvor lang tid bruker han da pa˚ a) 70 km b) 140 km c) 35 km d) 210 km 7.60 Familien til Simen var pa˚ biltur. De kjørte to timer med en gjennomsnittsfart pa˚ 75 km/h. Hvor langt hadde familien til Simen kjørt da? 7.61 Hanna syklet 63 km pa˚ 3 timer. Hvor stor gjennomsnittsfart hadde hun? 7.62 Bilen til onkelen til Martin har cruisekontroll. Pa˚ motorveien i Tyskland satte han bilen pa˚ en fast fart pa˚ 120 km/h. Han kjørte 300 km uten a˚ stoppe. Hvor lang tid brukte onkelen pa˚ strekningen? 7.63 Lotte og Herman skulle lese til en geografiprøve. De hadde 28 sider a˚ lese. Lotte leste alt pa˚ 70 minutter, mens Herman brukte 1 time og 45 minutter. a) Hvor mye lengre tid brukte Herman enn Lotte? b) Hvor lang tid brukte Herman i gjennomsnitt per side? 7.64 Bussen ga˚r fra Tønsberg kl. 11.00. Den er framme i Oslo kl. 12.45. Fra Tønsberg til Oslo er det ca. 110 km. Hvor stor gjennomsnittsfart har bussen?

Ma˚ling og enheter

235


7.65 Geparden er verdens raskeste dyr. Den kan oppna˚ en fart pa˚ ca. 108 km/h. Hvor lang tid bruker den pa˚ 500 m?

Ma˚ling og enheter

Gepard

236

7.66 Sara vil sykle til bestefar. Hun kan starte kl. 17.30. Det er 15 km fra der Sara bor og til bestefar, og hun regner med a˚ kunne sykle med en fart pa˚ 20 km/h. Na˚r kan Sara regne med a˚ komme fram?


Prøv deg selv 1

Hva er de vanligste enhetene for lengde?

2

Gjør om. a) 4,5 km = & m b) 145 cm = & m c) 0,75 m = & cm

d) 7,3 cm = & mm e) 450 mm = & m f ) 45 dm = & m

3

Hva betyr det at ma˚lestokken pa˚ et kart er 1 : 50 000?

4

Pa˚ et kart er M = 1 : 15 000. Herman ma˚ler avstanden fra Kolle til Grop pa˚ kartet. Den er 8 cm. a) Hvor langt er fra Koll til Grop i luftlinje? b) Hva ville lengden mellom Koll og Grop bli pa˚ et kart hvis kartet ble tegnet i M = 1 : 10 000?

5

En korna˚ker er rektangelformet. Den er 120 m lang og 70 m bred. Tegn korna˚keren i ma˚lestokken 1 : 1000.

6

Mellom Høyanger og Sogndalsfjøra er det 55 km i luftlinje. Finn ma˚lestokken til kartet.

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

7

Hvilke arealenheter bruker vi mest?

8

Gjør om. a) 5 m2 & dm2 b) 5 dm2 = & cm2 c) 2 daa = & m2

9

d) 1 km2 = & m2 e) 3 m2 = & cm2 f ) 1250 m2 = & daa

Hvilke volumenheter bruker vi mest?

Ma˚ling og enheter

237


10

Ma˚ling og enheter

e) 4 dm3 = & liter f ) 0,5 liter = & dm3 g) 2 cm3 = & dl h) 0,5 m3 = & dm3

11

Hva er de mest vanlige enhetene for masse (vekt)?

12

Gjør om. a) 3 kg = & hg b) 0,5 kg = & g c) 2,5 hg = & g

13

238

Gjør om. a) 2 liter = & dl b) 2 dl = & cl c) 2 m3 = & dm3 d) 5000 cm3 = & dm3

d) 2 tonn = & kg e) 250 kg = & tonn f ) 2 g = & mg

Bruk rutetabellen og svar pa˚ spørsma˚lene nedenfor. Hønefoss sentrum stopp

0500

Eikli sk.

0502

Dalsbra˚ten

0503

Hvervenkastet

0504

Hønensvingen (E16)

0506

Botilrud

0507

Gihle

0508

Vollgata

0509

Steinsa˚sen

0512

Vik (E16)

0514

Sundøya

0516

Sundvollen (E16)

0517

Rørvik

0519

Utvika (Neslandet)

0523

Utøya

0523

Nes i Hole

0526

Nesheim (Neslandet)

0527

Homledalen 0531 a) Hvor lang tid bruker bussen fra Hønefoss Sollihøgda 0534 sentrum til Sollighøgda? b) Hvor lang tid bruker bussen fra Steinsa˚sen til Sollighøgda?


14

Gjør om. a) 1 h = & min b) 1,5 min = & s c) 0,5 h = & min

d) 120 s = & min e) 150 min = & h f ) 2,75 h = & min

15

Et vanlig rutefly har en gjennomsnittshastighet pa˚ ca. 800 km/h. Hvor langt kan flyet komme pa˚ 3 timer?

16

Lotte er pa˚ bilferie med familien. Hun følger med pa˚ veiskiltene og har notert seg en dag at de har kjørt 10,5 mil pa˚ 1 h 45 min. Hvor stor var gjennomsnittsfarten pa˚ denne strekningen?

17

Onkel Thomas kjører 80 km med en fart pa˚ 60 km/h. Hvor lang tid bruker han?

Ma˚ling og enheter

239


Ma˚ling og enheter

Noe a˚ lure pa˚

240

1

Undersøk hva et ekkolodd, en GPS og en laser kan brukes til.

2

Herman har funnet ut at lydens hastighet er omtrent 340 m/s. En dag ser Herman et kraftig lyn, men det tar 4,5 sekunder før han hører torden. Hvor langt unna er tordenværet?

3

Finn ut hvor fort et fly ma˚ ga˚ hvis vi skal kalle det et supersonisk fly.

4

En sang begynner slik: Vi ere en nasjon vi med, vi sma˚ en alen lange. Finn ut hvor lang en alen var i gamle dager.


5

Jorda roterer en gang rundt sin egen akse hvert døgn, og ga˚r i en nesten sirkelformet bane (ellipse) rundt sola. Jordas radius gjennom ekvator er ca. 6378 km og jordas hastighet rundt sola er ca. 30 km/s. a) Med hvilken hastighet snurrer jorda rundt sin egen akse? b) Hvor lang er jordas bane rundt sola?

Romfergen kan oppna˚ en hastighet pa˚ ca. 40 000 km/h!

Avstanden til sola er ca. 150 millioner km!

Hvor lang tid vil romfergen bruke til sola?

Lurt a˚ fly om natta da ...

Ma˚ling og enheter

241


Oppsummering Enheter for lengde De vanligste lengdeenhetene er meter (m), desimeter (dm), centimeter (cm), millimeter (mm), kilometer (km) og mil. 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 mil = 10 km = 10 000 m

Enheter for areal De vanligste arealenhetene er kvadratmeter (m2 ), kvadratdesimeter (dm2 ), kvadratcentimeter (cm2 ), kvadratmillimeter (mm2 ), kvadratkilometer (km2 ) og ma˚l/dekar (daa). 1 1 1 1

m2 = 100 dm2 dm2 = 100 cm2 cm2 = 100 mm2 ma˚l = 1 daa = 1000 m2

Enheter for volum

Ma˚ling og enheter

De vanligste volumenhetene er kubikkmeter (m3 ), kubikkdesimeter (dm3 ), kubikkcentimeter (cm3 ) og kubikkmillimeter (mm3 ).

242

1 m3 = 1000 dm3 = 1000 liter 1 dm3 = 1 liter 1 cm3 = 1000 mm3

Ma˚lestokk Ma˚lestokken er et ma˚l for hvor stor en forstørring eller forminskning er. M = 1 : 10 000 betyr at 1 cm pa˚ tegningen (kartet) svarer til 10 000 cm i virkeligheten.


Masse De vanligste enhetene for masse er kilogram (kg), hektogram (hg), gram (g), milligram (mg) og tonn. 1 1 1 1

kg = 10 hg = 1000 g g = 1000 mg hg = 100 g tonn = 1000 kg

Vei, fart og tid Vi bruker forskjellige enheter for tid, f. eks. timer (h), minutter (min), sekunder (s), dager, uker og aË&#x161;r. 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 60 min = 60  60 s = 3600 s Sammenhengen mellom vei, fart og tid kan vi skrive slik: veilengde = fart  tid fart = veilengde : tid tid = veilengde : fart

MaË&#x161;ling og enheter

243


Digital manual Innhold Kalkulatoren................................ 245 De vanligste funksjonene ............ 245 Flere regnearter pa˚ en gang ....... 245 Prosent ......................................... 246 Kvadratrot .................................... 246 Minne ........................................... 247 Regneark ..................................... 248 Hva er et regneark? ..................... 248 Legge inn tall eller tekst i en celle.................................... 248 Merke enkeltceller........................ 249 Merke et omra˚de ......................... 249 Merke en rad................................ 250 Merke en kolonne........................ 250 Justere kolonnebredde ................ 251

Digital manual

Oppgavebok

244

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

Legge til eller fjerne en kolonne.. 251 Legge til eller fjerne en rad ........ 252 Sla˚ sammen celler........................ 252 Skrive en formel i en celle........... 253 Formatere celler........................... 256 Kopiere og flytte tekst eller tall .. 257 Justere antall desimaler ............... 257 Sortere data ................................. 258 Kopiere formler til flere celler etter hverandre ....................... 259 Summere flere celler etter hverandre ....................... 260 Stolpe- og søylediagram ............. 260 Linjediagram ................................ 264

Du finner øvingsoppgaver i oppgaveboka.


Kalkulatoren De vanligste funksjonene Det finnes mange typer kalkulatorer. De kan virke pa˚ forskjellig ma˚te. Sjekk bruksanvisningen for a˚ se hvordan din kalkulator fungerer. De vanligste funksjonene er: Addisjon Subtraksjon Multiplikasjon Divisjon Komma Tastene som sletter tallene i kalkulatorvinduet, kan se slik ut: CE

AC

Bokstaven C sta˚r for det engelske ordet «clear».

Flere regnearter pa˚ en gang Hvis det er flere regnearter i samme oppgave, ma˚ vi multiplisere og dividere før vi adderer eller subtraherer. Eksempel

Regn ut: 34 + 56  45

Kontroller svaret ved a˚ gjøre overslag.

Løsning

Kalkulatoren viser svaret 2554.

Hvis det er større uttrykk, bruker vi minnefunksjonen eller regner i flere operasjoner.

Digital manual

245


Prosent Kalkulatoren kan hjelpe deg med aË&#x161; finne prosenten av et tall. Da bruker du prosentknappen. Prosentknappen Eksempel

Regn ut: 30 % av 450 Løsning

Kalkulatoren viser svaret 135.

Kvadratrot Hvis du skal finne kvadratroten av et tall paË&#x161; kalkulatoren, kan du bruke kvadratrotknappen. Kvadratrotknappen Eksempel

Regn ut kvadratroten av 64.

Digital manual

Løsning

246

Kalkulatoren viser svaret 8.


Minne Kalkulatoren har minnefunksjon. Minnefunksjonen gjør at kalkulatoren husker et tall samtidig som vi regner ut noe annet. Legger til noe i minnet Trekker fra noe i minnet MR

eller

RM

Henter fram det du har i minnet (Recall memory)

MC

eller

CM

Sletter minnet (Clear memory)

Husk a˚ slette minnet før du bruker kalkulatoren pa˚ en ny oppgave. Eksempel

Regn ut: 8  9 + 6  7 Løsning RM

Kalkulatoren viser svaret 114.

Eksempel

Regn ut: 7  6 -- 3  6 Løsning RM

Kalkulatoren viser svaret 24.

Eksempel

Regn ut: 9 – 7  6 + 9 : 4 Løsning RM

Kalkulatoren viser svaret --30,75:

Digital manual

247


Regneark Hva er et regneark? Vi bruker regneark til a˚ sortere data, gjøre beregninger og lage diagrammer. I denne manualen finner du veiledning til hvordan du kan bruke regneark. Et regneark besta˚r av celler som er ordnet i rader og kolonner. Vi gir de loddrette kolonnene navn ved hjelp av bokstaver og de vannrette radene ved hjelp av tall. Hver celle har navn etter kolonnen og raden den sta˚r i. I disse cellene kan du skrive tall, tekst eller formler. Vi bruker en formel na˚r vi vil gjøre en utregning fra to eller flere celler.

Legge inn tall eller tekst i en celle 1. Flytt musepekeren til ønsket celle og venstreklikk. 2. Skriv inn tall eller tekst. Na˚r en celle er aktiv, er den markert med en sort ramme. Du aktiverer en celle ved a˚ bruke piltastene eller ved hjelp av musepekeren. Eksempel

Skriv teksten «Ukelønn» i celle A1 (kolonne A, rad 1) og 60 i celle B1 (kolonne B, rad 1).

Digital manual

Løsning

248

Ukelønn


Merke enkeltceller 1. Hold kontrollknappen (Ctrl) nede hele tiden. 2. Venstreklikk i de cellene du vil merke. Eksempel

Merk cellene A3 og B2. Løsning

Ctrl + venstreklikk

Merke et omra˚de 1. Venstreklikk pa˚ en celle i ytterkanten av det omra˚det du vil merke og hold venstre musetast nede. 2. Før musepekeren diagonalt til cellen i motsatt hjørne av omra˚det og slipp. Eksempel

Merk omra˚det fra B1 til C2. Løsning

Fører musepekeren fra B1 til C2

Digital manual

249


Merke en rad Venstreklikk pa˚ ønsket radnummer. Eksempel

Merk rad 2. Løsning

Merke en kolonne Venstreklikk pa˚ ønsket kolonnebokstav. Eksempel

Merk kolonne B.

Digital manual

Løsning

250


Justere kolonnebredde 1. Merk kolonnen du vil justere. kommer 2. Før musepekeren over «grensen» til neste kolonne til symbolet fram. 3. Hold venstre museknapp nede, dra til ønsket kolonnebredde og slipp. Eksempel

Juster bredden til kolonne B. Løsning

Venstreklikk, hold nede og dra

er framme, og kolonnen vil tilpasse Du kan ogsa˚ dobbeltklikke na˚r tegnet seg automatisk til det som er skrevet i kolonnen.

Legge til eller fjerne en kolonne 1. Før musepekeren over ønsket kolonnebokstav og høyreklikk. 2. Velg Sett inn eller Slett. Eksempel

Legg til en kolonne før kolonne B. Løsning

Høyreklikk pa˚ kolonnebokstaven

Digital manual

251


Legge til eller fjerne en rad 1. Før musepekeren over ønsket radnummer og høyreklikk. 2. Velg Sett inn eller Slett. Eksempel

Legg til en rad over rad 2. Løsning

Høyreklikk pa˚ radnummeret

Sla˚ sammen celler 1. Merk cellene du vil sla˚ sammen. 2. Trykk pa˚ symbolet

Digital manual

Eksempel

252

Sla˚ sammen cellene B2 og C2. Løsning


Skrive en formel i en celle 1. Flytt musepekeren til ønsket celle og venstreklikk. 2. Skriv tegnet «=» etterfulgt av formelen. Alle formler ma˚ begynne med tegnet «=». Bruk disse symbolene: + Addisjon – Subtraksjon * Multiplikasjon / Divisjon ^ Potens, for eksempel 35 skrives slik: 3^5, eller 5’te potens av celle A1 skrives slik: A1^5 ROT Kvadratrot, for eksempel roten av celle B5, skrives slik: ROT(B5) Eksempel

Lag en formel i celle C1 som regner ut summen av A1 og B1. Løsning

Eksempel

Lag en formel i celle C1 som regner ut differansen mellom celle A1 og B1. Løsning

Digital manual

253


Eksempel

Lag en formel i celle C1 som regner ut produktet av celle A1 og B1. Løsning

Eksempel

Lag en formel i celle C1 som dividerer celle A1 med B1.

Digital manual

Løsning

254


Eksempel

Lag en formel i celle C1 som regner ut potensen med celle A2 som grunntall og celle B2 som eksponent. Løsning

Grunntall

Eksponent

Potens

Eksempel

Lag en formel i celle B1 som regner ut kvadratroten av celle A1. Løsning

Digital manual

255


Formatere celler Vi kan spesialtilpasse alle celler i regnearket til for eksempel dato, klokkeslett, tekst, antall desimaler osv. Det gjør vi ved a˚ merke cellene vi vil formatere og velge spesialfunksjoner for disse. Eksempel

Formater celle A1 slik at den viser tall.

Digital manual

Løsning 1. Høyreklikk i cellen du vil formatere. 2. Velg Formater celler. 3. Velg Standard eller Tall. 4. Trykk OK.

256

Det ga˚r an a˚ formatere et omra˚de, kolonner, rader eller hele regnearket.


Kopiere og flytte tekst eller tall 1. 2. 3. 4.

Høyreklikk i aktiv celle eller merket omra˚de. Velg Kopier eller Klipp ut. Flytt musepekeren til ønsket celle og høyreklikk. Velg Lim inn.

Eksempel

Kopier innholdet i celle B2 til celle D2. Løsning

Justere antall desimaler 1. Merk cellene der du vil justere antall desimaler. 2. Trykk pa˚ desimalknappene for økning eller reduksjon av antall desimaler. Eksempel

Skriv tallet 2,3555 i celle B2. Juster til e´n desimal. Løsning

Digital manual

257


Sortere data Vi kan sortere data i synkende eller stigende rekkefølge. 1. Merk cellene du vil sortere. 2. Trykk pa˚ Sorter stigende eller Sorter synkende. Eksempel

Sorter tallene 12, 8, 3 og 6 i synkende eller stigende rekkefølge.

Digital manual

Løsning 1. Skriv inn tallene under hverandre i kolonne A. 2. Merk kolonnen. 3. Trykk pa˚ symbolet for stigende eller synkende rekkefølge.

258


Kopiere formler til flere celler etter hverandre Hvis du vil bruke en formel i flere celler etter hverandre, kan du kopiere formelen. 1. Venstreklikk i cellen med formelen. 2. Før musepekeren til nederste høyre hjørne i cellen slik at et plusstegn vises. 3. Hold venstre museknapp inne og dra musepekeren ned over de cellene du vil kopiere formelen til. Eksempel

Lag en oppstilling som viser hva det koster a˚ kjøpe de enkelte varesortene: 2 brus til 15,90 kr per stk. 2 liter melk til 8,90 kr per liter. 3 brød til 14,90 kr per stk. Løsning 1. Skriv inn tekst og tall. 2. Skriv inn en formel i celle D2 som regner ut hvor mye 2 brus koster (=B2*C2). 3. Før musepekeren over nederste høyre hjørne i cellen slik at et plusstegn vises. 4. Hold venstre museknapp inne og dra musepekeren ned over celle D3 og D4.

Vare Brus Melk Brød

Antall

Pris

Sum

Hold venstre museknapp inne og dra

Digital manual

259


Summere flere celler etter hverandre Vi kan summere flere celler etter hverandre ved hjelp av summeformelen SUMMER. Vi skriver da navnet pa˚ første og siste celle med tegnet «:» i mellom. Eksempel

Summer prisen pa˚ alle varene i eksempelet pa˚ s. 259. Løsning 1. Skriv inn teksten «Sum totalt» i celle C5. 2. Flytt musepekeren til celle D5. 3. Skriv inn formelen =SUMMER(D2:D4). 4. Trykk Enter.

Vare Brus Melk Brød

Antall

Pris

Sum

Sum totalt

Digital manual

Stolpe- og søylediagram

260

1. 2. 3. 4. 5.

Merk dataene du vil presentere i diagrammet. Trykk pa˚ Diagramveiviseren. Velg stolpediagram og Neste. Velg Neste. Skriv inn diagramtittel, navn pa˚ aksene og velg Fullfør.

NB! Hvis dataene pa˚ førsteaksen er tall, ma˚ du skrive et apostroftegn foran tallene i regnearket. Da oppfatter regnearket tallene som tekst, og diagrammet blir riktig. For eksempel: ’143 Dette vises slik i regnearket:

143


Eksempel

Hanna fa˚r 100 kr i ukepenger, Lotte 150 kr, Simen 80 kr og Herman 130 kr. Vis fordelingen av ukepenger i et diagram. Løsning Skriv dataene inn i regnearket og merk omra˚det du vil vise i diagrammet. Trykk pa˚ Diagramveiviseren.

Navn

Kroner

Velg Stolpediagram og Neste.

Digital manual

261


Velg Neste.

262

Ukepenger

Ukepenger

Navn Kroner

Kroner

Digital manual

Legg inn diagramtittel og titler paË&#x161; aksene. Velg Fullfør.

Navn


Diagrammet vises til slutt paË&#x161; denne maË&#x161;ten:

Kroner

Ukepenger

Navn

Velg om du vil lagre eller skrive ut diagrammet.

Digital manual

263


Linjediagram 1. 2. 3. 4. 5.

Merk dataene du vil presentere i diagrammet. Trykk pa˚ Diagramveiviseren. Velg linjediagram og Neste. Velg Neste. Skriv inn diagramtittel, navn pa˚ aksene og velg Fullfør.

NB! Hvis dataene pa˚ førsteaksen er tall, ma˚ du skrive et apostroftegn foran tallene i regnearket. Da oppfatter regnearket tallene som tekst, og diagrammet blir riktig. For eksempel: ’24 Dette vises slik i regnearket:

24

Eksempel

Vis disse temperaturma˚lingene i et linjediagram: Mandag: Tirsdag: Onsdag: Torsdag: Fredag:

10 14 18 25 17



C C  C  C  C 

Digital manual

Løsning Skriv først inn dataene i regnearket og merk omra˚det du vil vise i diagrammet. Trykk pa˚ Diagramveiviseren.

264

Mandag Dag Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag

Temperatur


Velg Linjediagram og Neste.

Velg Neste.

Mandag

Tirsdag

Onsdag

Torsdag

Fredag

Digital manual

265


Legg inn diagramtittel og titler pa˚ aksene. Velg Fullfør.

Temperaturma˚ling

Diagrammet vises til slutt pa˚ denne ma˚ten:

266

Temperatur i grader C

Digital manual

Temperaturma˚ling

Mandag

Tirsdag

Onsdag

Torsdag

Fredag

Dag

Velg om du vil lagre eller skrive ut diagrammet.

g da Fr e

sd

g

Navn

To r

da ns

da rs Ti

M

an

da

g

g

Temperatur i grader C

O

Dag

ag

Temperatur i grader C

Temperaturma˚ling


Fasit Tall og tallforstaË&#x161;else 1.1

For eksempel: a) 123 b) 34 237

c) 8 d) 160 904

1.2

a) to b) tre

c) ett d) fire

1.3

a) 57 b) 125

c) 490 d) 19 004

1.4

a) 3 4 8 14 17 21 71 b) 99 101 111 909 1111 c) 7023 7032 7230 7320

1.5

a) 101 b) 99

c) 1001 d) 9998

1.6

a) 9751 b) 7159

c) 1579

1.7

Det største: 87 611 Det minste: 11 678

1.8

a) nittisju b) tre hundre og førtisju c) fem tusen fire hundre og femtien d) fire hundre og femti tusen aË&#x161;tte hundre

1.9

a) en b) hundre

c) tusen d) ti tusen

1.10

a) en b) ti

c) hundre d) tusen

1.12

a) 2  100 + 4  10 + 5  1 b) 5  100 + 2  10 + 7  1 c) 5  1000 + 6  10 + 4  1 d) 4  10 000 + 5  1000 + 4  100 + 8  10 + 9  1 e) 7  10 000 + 8  100 + 9  1 f ) 2  1 000 000 + 1  1000 + 9  10 + 7  1

1.13

a) 2345 b) 7065

1.14

5  100 000 000

1.15

13 og 23

1.16

4, 15, 42 og 95

1.17

23, 29, 31 og 37

1.18

31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 og 71

1.19

a)

c) 90 871 d) 54 050

17

1

17

1.11 Hundre tusener

Ti tusener

Tusener

a

Hundrere

Tiere

Enere

4

5

7

b

3

6

5

9

c

6

4

0

6

d

1

2

9

7

8

e

5

9

0

6

7

0

4

0

0

7

f

1

Fasit

267


b)

1.24

16

a) I kolonnene en og fem, unntatt primtallene 2 og 3.

8

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

13 14 15 16 17 18

2

4

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2

2

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

c)

12

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

3

55 56 57 58 59 60

4

2 d)

2

a) 90 b) 120

c) 240 d) 2470

1.26

a) 200 b) 2500

c) 900 d) 12 900

1.27

a) 9000 b) 1000

c) 10 000 d) 30 000

1.28

Sola Sola Sola Sola

228 000 000 km 150 000 000 km 108 000 000 km 58 000 000 km

1.29

a) 68 b) 50

c) 259 d) 497

1.30

a) 26 b) 32

c) 38 d) 132

1.31

a) 77 b) 296

c) 304 d) 144

1.32

65 elever

1.33

189 fisker

1.34

a) 207 kr b) 284 kr

8

2

4

2

Fasit

1.25

24

3

268

b) Av partallene er det bare 2 som er primtall.

2

1.20

a) 2  3 b) 3  3 c) 2  2  5

d) 2 2  2  3 e) 2  3  5 f) 2233

1.21

a) 2  2  2  5 b) 2  5  5 c) 3  3  7

d) 3  5  5 e) 3  3  3  3 f) 2255

1.22

71 og 101

1.23

a) 15 b) 49 c) 28 d) 16

= = = =

35 77 227 2222

– – – –

Mars Jorden Venus Merkur

c) 341 kr d) 44 f.Kr.


1.35 Tall

1.36

1.37

Tusener

Hundredeler

3,

4

b

16,31

1

6,

3

1

c

27,32

2

7,

3

2

d

20,03

2

0,

0

3

e

7312,30

1

2,

3

0

7

For eksempel: a) 5,3 b) 7,94 c) 2,997 a ) 1,0 3,5 b) 1,1 c ) 1,95 1,99

1,5 4,0 1,2 1,96 2,00

1.44

2,0 4,5 1,3 1,97 2,01

2,5 5,0 1,4 1,98

a) 3,96 4,09 b) 15,75 130,7 c) 4,052 4,250 d) 0,09 0,10 e) 0,018 0,019

4,52 131 4,502 0,15 0,02

Espen Berit Fredrik Cecilie Arve Doris

3

d) 4,975 e) 5,691 f ) 0,0005

1.39

1.43

Tideler

1

d) 21,8 e) 65,5 f ) 25,3

1.42

Enere

13,4

a) 16,65 b) 56,12 c) 100,01

1.41

Tiere

a

1.38

1.40

Hundrer

3,0 1,5 1.45

15 159,96 4,520 0,9 0,021

8,5 s 8,7 s 9,0 s 9,1 s 9,2 s 10,0 s

Tege Blomsterflue Sandveps Gresshoppe

0,008 0,012 0,018 0,020

m m m m

a) Notre Dame i Paris Kheopspyramiden Domkirken i Ko¨ln Eiffelta˚rnet Empire State Building b) 144,5 m

141,0 146,5 156,0 300,5 381,9

m m m m m

a) 1,03

Tall

 10

862

8620

 100

 1000

8,62

86,2

862

8620

0,123

1,23

12,3

123

Tall

:10

:100

:1000

5382

538,2

53,82

5,382

423

42,3

4,23

0,423

81

8,1

0,81

0,081

86 200 862 000

1.46

a) 65 b) 58,7 c) 5,2 d) 480

e) 4,65 f ) 0,38 g) 0,038 h) 0,023

1.47

a) 10 b) 100 c) 7,08

d) 10 e) 100 f ) 6070

1.48

7,35 kr

1.49

15 kr

1.50

3 øre

1.51

a) 9,2 b) 59,5 c) 7,48

d) 54,4 e) 4,1 f ) 0,0736

1.52

a) 2,5 b) 1,6 c) 1,3

d) 230 e) 5,3 f) 8

1.53

6,30 kr

1.54

643,50 kr

b) 0,79

Fasit

269


1.55

a) 51 kr b) 65,28 kr

c) 159,12 kr d) 18,36 kr

1.56

a) 2,3 b) 4,7

c) 7,9 d) 5,5

1.57

a) 4,57 b) 6,37

c) 6,78 d) 2,22

1.58

a) 1,556 b) 4,900

1.70

b), c) og d) er feil

1.72

a) --8 b) --5 c) --40

d) --15 e) --25 f ) --9

1.73

a) 10 b) --6; 5 c) --4; 9

d) --1; 5 e) 20 f ) --60

c) 0,001 d) 8,000

1.74

a) +1  C b) –5  C

c) 0  C d) +4  C

a) 14 b) 6

c) 10 d) 100

1.75

19 884 m

1.60

a) 5,59 b) 5,60

c) 5,90 d) 6,00

1.76

16 kr

1.77

˚ r 63 f. Kr. A

1.61

For eksempel: a) 40 b) 70 c) 200

d) 5 e) 1000 f ) 10 000

1.78

a) 63 b) 32 c) 54

d) 104 e) 25 f ) 123

For eksempel: a) 5 b) 10 c) 20

1.79

a) 46 b) 75

c) 88

d) 6 e) 9 f) 4

1.80

1.63

For eksempel:

150 kr

a) 8 b) 1000 c) 9

d) 256 e) 256 f ) 64

1.64

For eksempel:

80 kr

1.81

1.65

a) For eksempel: Skinke Kjøttpa˚legg Appelsiner Iste

a) 45 b) 3  6 c) 32

d) 23 e) 4  7 f ) 104

1.82

a) 8 b) 1024 c) 32 d) 81

e) 125 f ) 10 000 g) 10 000 h) 1 000 000

1.83

a) 23 b) 54

c) 72 d) 48

1.84

a) 106 b) 910

c) 77 d) 1215

1.85

Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv.

1.86

a) 375 b) 192

1.59

1.62

300 20 30 20

b) For eksempel: c) 360,20 kr

Fasit

1.66

270

kr kr kr kr

370 kr

a) For eksempel: 470 kr b) 491,40 kr

1.67

Ca. 30 kr

1.68

a) 3 < 7 b) --3 > --7 c) 0 > --5

1.69

a) --7 --5 --3 0 1 b) --1003 --1001 --1000 --999 --998

d) --10 < 0 e) --1000 > --1001 f ) --1000 < -- 2

c) 4000 d) 3125


1.87

a) 162 b) 45 c) 28

d) 30 e) 8 f ) 18

1.88

a) 27 b) 16 c) 6

d) 380 e) 490 f ) 54

1.89

a) 30 b) 66

c) 26 d) 16

2.2

1.90

Eget svar

1.91

a) 7 b) 9

c) 26 d) 62

2.3

1.92

a) XX b) LV

c) CIII d) CCXXXIV

1.93

Thor Heyerdahl: Sigrid Undset: Martin Luther King: Jeanne d’Arc:

Brøk 2.1

1.94

a) 12 (XII) b) 16 (XVI)

MCMXIV MDCCCLXXXII MCMXXIX MCDXII

2.4

2.5

c) 3456 (MMMCDLVI) 2.6

8 9 7 b) 10

6 12 35 d) 100

c)

a)

3 4 2 b) 6

a)

1 2 = 2 4 1 b) 3 a)

a)

1 4

6 8 3 b) 10

a)

a) Ca.

7 10

2.7

7 12 3 , og 3 11 2

2.8

4 1 7 , og 5 2 8

2.9

4 11 7 , og 4 11 7

2.10

1 6 1 B: 3 2 C: 6

a) A:

b)

2.11

1 2 = 6 12

6 3 9 = = 8 4 12

c)

5 8

c)

4 5

b)

3 4

c)

2 3

b) Ca.

9 10

2 12 4 E: 8 1 F: 2 D:

1 2 = 3 6

4 1 = 8 2

2 6 4 = = 4 12 8

Fasit

271


2.12

2.13

For eksempel: 2 a) 4 4 b) 6

3 c) 24 1 d) 5

2 & 4 a) = 6 3 4 8 b) = 5 & 10

3 & 6 c) = 8 4 2 & 4 d) = 6 12

2.14

Ja, begge har spist

2.15

5 a) 15 10 b) 15 5 c) 20

2.16

2.17

2.18

1 2 2 b) 3 3 c) 5

a)

a) 1 3 b) 7 1 c) 4

8. a˚rstrinn:

10. a˚rstrinn:

2.19

Fasit

2.20

2 : 3

a)

3 4

5 4 6 b) 7

a)

10 d) 20 15 e) 25 25 f) 65 2 6 5 e) 10 12 f) 3

a) De er like store. 6 b) 8

3 4

d)

9 10

Lotte fa˚r mest.

2.23

Sara drikker minst.

2.24

Martin spiser mest.

2.25

Martin løper den lengste distansen.

2.27

d)

2.28

2 3 7 b) 8

a)

3 4 2 b) 7 1 c) 8

a)

3 5 3 1 b) = 6 2

a)

2 3 2 e) 3 1 f) 2

2.29

1 3 2 3 2 7

2.31

13 15 13 b) 14

1 4

2.32

3 5 3 d) 8

a) 1 2 b) 5

2.33

d)

b)

c)

2.22

2.26

9. a˚rstrinn:

272

2.21

2.30

c)

1 =1 1 2 d) 7

c)

2 3 7 e) 9 4 f) 11

d)

9 13 3 d) 11

c)

En hel kurv 1 2 3 b) 14

a)

a)

5 8 7 b) 9

a)

5 9 d) 1

c)

5 33 1 d) 21

c)

19 30 31 d) 42

c)

1 14 1 d) 4

c)


2.34 2.35

2 1 liter = 1 liter 3 2 11 12 11 b) 18

2.44

14 15 1 d) 28

a)

c)

4 a) 5 13 b) 18

23 c) 36 25 d) 28

2.45 2.36

2.37

2.38

2.39 2.40

2.41

2.42

2.43

13 24 19 b) 20

a)

1 a) 3 1 b) 5

c)

11 12

11 4 13 b) 5 5 8 9 b) 8

a)

1 3 1 b) 2 3 a) 1

2 3 1 b) 2 5 2 c) 2 3 a) 1

43 9

c) 2

d) 2 4 7 1 f) 6 12 e) 1

3 liter 4

2.48

3

2.49

a) 0,5 b) 0,375

c) 0,4 d) 1,5

2.50

a) 0,1 b) 0,75

c) 0,5 d) 0,2

2.51

a) 3,25 b) 0,25 c) 1,875

d) 0,75 e) 3,5 f ) 7,4

2.52

a) 0,1 b) 3,12 c) 1,2

d) 0,401 e) 0,5 f ) 0,04

2.53

a) 0,12 b) 0,13 c) 0,2

d) 0,8 e) 0,48 f ) 0,05

2.54

a) 0,64 b) 0,17 c) 0,67

d) 2,89 e) 2,67 f ) 1,48

2.55

a) 0,3 b) 0,7 c) 0,9 d) 0,1

e) 0,3 f ) 0,4 g) 0,5 h) 0,2

2 3

5 7 3 e) 8 4 3 f) 9 7 d) 1

2 3 11 b) 5 12 1 c) 1 5 a) 3

1 3 1 b) 3 3

c) 3

c)

19 2 34 e) 3 203 f) 10

d)

2.47 1 c) 3 1 d) 10

13 km 20 a)

2.46

4 3 27 b) 5 31 c) 4

a)

a) 1

1 14 3 d) 2 4 c) 2

17 kg 60

Fasit

273


2.56

2.57

c)

5 time 6

3 25 9 e) 20

7 100

2.59

12 1,2 og 10 0,45 0,60 0,70 3 4 0,85 6 7 7 6 2 3 1 b) 1 3 8 c) 15

a) 1

2.68

a) 1 2 b) 3 5 c) 8

2.69

a) 16 5 b) 18

d)

0,07 og

2.61

Fasit

1 5 1 b) 20 1 c) 250

a)

2.58

2.60

274

1 time 3 1 b) time 4 a)

1 3 35 e) 48 11 f) 39

d)

11 15

2.62

a) 1

2 3 1 b) 4 3

c) 22

2.63

a) 25 b) 30

c) 150

2.64

a) 300 b) 20

c) 50 d) 3

2.65

480 kg

2.66

60 m

2.67

2 5

2.70

1 4

2.71

1 liter 3

1 6 3 e) 8 1 f) 16

d)

c) 1

23 112


Prosent

3.15

For eksempel:

3.1

a) A: 25 % B: 22 % C: 60 % D: 99 %

b) A: 75 % B: 78 % C: 40 % D: 1 %

3.2

a) 26 % b) 6 %

c) 10 % d) 42 %

3.16

a) 40 % b) 80 %

3.3

a) 4 % b) 50 %

c) 24 % d) 17 %

3.17

30 SMS-meldinger

3.18

80 kr

3.4

45 % 3.19

3.5

a) 101 % og 98 % b) 49 % og 52 %

a) 75 % b) 25 %

3.20 3.6

66 %

3.7

52 %

3.8

25 %

10 100 70 b) 100 1 c) 10

3.9

a) 100 % b) 25 % c) 25 % d) 50 % e) 25 %

3.21

750 kr

3.22

a) 0,05 b) 0,08 c) 0,12

d) 0,25 e) 0,75

3.23

a) 0,96 b) 0,5 c) 0,045

d) 0,145 e) 0,0425

3.24

a) 15 % b) 20 % c) 27 %

d) 12,5 % e) 65 %

3.25

a)

1 20 7 b) 100

c)

3.26

a) 0,35 b) 0,46 c) 0,23

d) 0,30 e) 0,90

3.27

a) 100 % b) 150 %

c) 125 % d) 250 %

3.28

a) 0,008 b) 1,5

c) 2,25 d) 0,015

3.10

a)

1

& 2

f ) 50 g) 75 h) 20 i) 36

c)

% % % %

& 3

b) 25 %

4 d) 20 %

3.11

a) 10 % b) 20 %

c) 30 % d) 75 %

3.12

1 10 1 b) 5

3.13

3.14

a)

3 10 4 d) 5

c)

a)

c) 60 % d) 20 %

c) 20 % d) 60 % 75 100 90 e) 100

d)

9 200 109 d) 2000

For eksempel:

a) 25 % b) 37,5 %

c) 50 %

Fasit

275


3.29

3.30

a) 700 kr b) 225 kr c) 4 kg a) 500 kr b) 4500 kr c) 35 kg

d) 96 m e) 98 kr f ) 9,6 kg d) 100 liter e) 1,35 kr f ) 1,44 tonn

Geometri 4.1

a) 5,0 cm b) 3,0 cm

4.2

a)

A

3.31

375 kr

3.32

21 elever

b)

3.33

52 500 liter

c)

3.34

3,325 m

3.35

a) 144 kr

3.36

1200 kr

3.37

12 300 innbyggere

3.38

a) 12,5 %

b) 40 elever

3.39

a) 50 % b) 16 %

c) 5 % d) 37,5 %

3.40

a) 20 % b) 12,5 %

c) 40 % d) 3,5 %

3.41

a) 60 %

b) 40 %

3.42

80 %

3.43

5 a) 8

b) 62,5 %

3.44

a) 5 %

b) Kolibrien

c) 7,5 cm

8 cm

B

l

A

b) 1944 kr

4.3

m

a)

P l b)

A

P

Fasit

4.4

276

l 2 cm m

4.5

Linjene i b) og c) er parallelle.

4.6

a) u og v er nabovinkler. u og x er nabovinkler. v og w er nabovinkler. x og w er nabovinkler. b) u og w er toppvinkler. x og v er toppvinkler.

4.7

a) 30 b) 150

4.8

a) Stump vinkel (175 ) b) Spiss vinkel (80 ) c) Rett vinkel (90 )

4.9

a) 60 b) 72

c) 66

c) 30 d) 60


4.10

c)

a)

35°

190°

d)

300°

b)

120°

c) e)

350°

15° d)

e)

a = 31 b = 59 c = 90

d) d = 180 e) 360

4.12

a) b) c)

4.13

For eksempel:

C

180° AC

4.11

BC

a)

A

200°

b)

AB

4.14

a) 68 b) 90

4.15

a)

B c) 110

C

240° 30°

A b) 4.16

C = 90

60° B



a) Likebeint trekant b) Rettvinklet trekant c) Likebeint trekant d) Likesidet trekant e) Rettvinklet trekant

Fasit

277


4.17

a) Likesidet trekant b) Rettvinklet trekant c) Likebeint trekant

4.18

Trekantene B og C er ba˚de rettvinklete og likebeinte.

4.19

Trekantene blir rettvinklete.

4.20

a) Rektangel b) Rektangel c) Parallellogram d) Trapes e) Rombe

4.23

a) Et parallellogram b) Ja

4.24

a) 120 m b) 120 m

4.25

a) O = 18 cm

c) 120 m

f ) Parallellogram g) Parallellogram h) Trapes i) Kvadrat

4.21

Vinkelsummen er 360 i begge firkantene.

4.22

a) 360 b) Vinkelsummen i en firkant er 360 .

6 cm

3 cm b) O = 30 cm

1 cm 14 cm

70° 4.26

a) O = 20 cm

110°

5 cm

5 cm 76°

b) O = 30 cm

105°

Fasit

7,5 cm

278

104°

75° 7,5 cm


4.27

a) For eksempel:

4.37

P

2 cm 6 cm m b) For eksempel: 4.38

4 cm

P

8 cm

A

4.28

a) 15 cm

b) 10 cm

4.29

a) 16 cm

b) 17 cm

4.30

a) O = 4s b) O = 2a + 2b

c) O = 3s d) O = 4s

4.31

a) 31,4 cm b) 15,7 cm

c) 39,25 cm d) 6,28 cm

4.32

a) A: r = 1,2 cm B: r = 1,6 cm C: r = 2 cm

b) A: O = 7,5 cm B: O = 10,0 cm C: O = 12,6 cm

4.33

a) 7850 km c) 448 392 km b) 4 365 856 km

4.34

31,8 cm

B

4.39

l P 4.40

4.41 4.35

m Q l 4.36

4.42

a) og b)

a)

A A

B

B

b) og c) Samme konstruksjon.

Fasit

279


4.43

4.47

C

a) b) og c)

C

7 cm

A A 4.44

B

5 cm

B

d) Rettvinklet trekant

a) og b) 4.48

l

a) b) og c)

C

10 cm m

P 4.45

60°

a) b) c) og d)

A

P

10 cm

B

d) Likesidet trekant 4.49

a) b) og c)

l B

C

A

D

E 60° P 

e) PA 4.46

d) 30 4.50

a)

s 60°

Fasit

b)

280

a) Seks ganger b) Regulær sekskant c) 720 d) Likesidete trekanter e) 60

l


b)

4.51

45°

c)

22,5°

4.54

a)

60° b) 4.52

a)

30° c) b)

15° d) c)

7,5° 4.53

a)

Fasit

281


4.55

a)

b)

52,5°

75° c) b)

37,5°

d)

105°

c)

4.58 d)

112,5°

a)

C

135°

A

B

4.56 b)

C

75° A

c)

Fasit

4.57

282

a)

B

C

67,5°

A

B


4.59

b)

Statistikk

C

5.1

A c) 1. 2. 3. 4.

4.60

a)

Svaralternativ

B

Avsatte AB = 8,5 cm. Konstruerte A = 60 . Konstruerte B = 45 . Merket av C i skjæringspunktet mellom vinkelbeina til A og B.

a)

Nei

8

Vet ikke

6 d) 6 Frekvens

Bla˚

6

Brun

3

Rød

9

Grønn

9

Gul

5

Karakter

Frekvens

1

0

2

4

3

7

4

9

5

6

6

3

b) 6 5.3

a)

B

b) 1. Avsatte AB = 7,5 cm. 2. Konstruerte A = 45 . 3. Konstruerte B = 45 . 4. Merket av C i skjæringspunktet mellom vinkelbeina til A og B. c) 90 d) Rettvinklet og likebeint trekant

c) 8

Svaralternativ

C

A

Frekvens 11

B

b) 1. Avsatte AB = 9 cm. 2. Konstruerte A = 90 . 3. Konstruerte B = 30 . 4. Merket av C i skjæringspunktet mellom vinkelbeina til A og B. c) Rettvinklet trekant

Antall svar

Ja

b) 11 5.2

C

A

4.61

a)

b) 7 5.4

Hvis observasjonene beskrives med tekst, bruker vi søylediagram. Hvis observasjonene er tall, bruker vi stolpediagram.

Fasit

283


5.5

a)

5.7

Største lengder av noen dyrearter

40

Idrett

Frekvens

Ha˚ndball

17

Ishockey

8

Fotball

21

Friidrett

9

Langrenn

6

5

Annen idrett

16

0

Legnde (m)

35 30 25 20 15

Sjiraff Hvalhai Deltakrokodille Spermasetthval Struts Sjøelefant Bla˚hval Kjempeblekksprut Nettpyton

10

b) Favorittidrett

25

5.8

15

a)

5

12

3

0

13

5

14

3

15

3

16

2

17

2

18

2

Langrenn

Ishockey

Annen idrett

Frekvens

Friidrett

Antall treninger

Fotball

10

Ha˚ndball

Frekvens

20

c) Fotball a) Antall filmer

Frekvens

0

6

6

1

11

5

2

5

4

3

4

4

2

5

1

b)

Frekvens

5.6

Antall treninger

3 2 1 0

Fasit

12 13 14 15 16 17 18

284

b) 29 elever c) 17 elever d) 7 elever


5.21

a) 113,33 kr b) 100 kr

5.22

0,5 cm = 5 mm

5.23

a) 1,63 b) 1,60 c) 1,60 d) 0,35

5.24

a) Mai b) Desember c) Fra april til mai

5.25

a) 1,4 millioner b) 3,9 millioner

5.15

a) 56 b) 123 c) 0,515

d) 2,4 e) 0,175

5.16

a) 2 m b) 5,7 s

c) 4,53 og 4,54

5.17

a) 3 b) B

c) Mandag

5.27

5.18

a) 2,7 b) 2,5

c) 1

5.19

a) 3 b) 32

c) 0,25

a) 3,7 timer b) 3,5 timer

c) 3 d) 7

5.20

Søndag

5 min

a) Vanntemperatur en sommeruke

25 20 15 10 5 0 Søndag

5.14

c) 15

Lørdag

a) 3 b) 7

Lørdag

5.13

Fredag

22 kr

Fredag

5.12

Torsdag

152

Torsdag

5.11

16 14 12 10 8 6 4 2 0 Onsdag

c) 0,4 d) –2,5

c) 2,5 millioner

Soltimer en uke i juli

Onsdag

1 b) 14 4

c) 100 kr d) 150 kr

m m m og 1,75 m m

Tirsdag

a) 4

Temperatur (grader C)

5.10

5.26

Mandag

b) Nilen

Antall timer

8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Nilen Chang Jiang Huang He Parana Jenisej Ob-Irtysh Amazonas Missisippi-Missouri Amur Zaire

Legnde (km)

De lengste elvene i verden

Tirsdag

a)

Mandag

5.9

b) Gjennomsnittstemperatur: 18,6 C Medianen: 18 C Typetallet: 17 C

Fasit

285


Fasit

Tall og algebra

286

6.19

a) 28 cm

b) 39 cm

6.20

a) 5x b) 3a c) 4b

d) 6y e) 3x f ) 7n

6.21

a) 7a b) 6x c) 7y

d) 6n e) 2m f) x

6.1

a) 48 b) 8 c) 75

d) 50 e) 8 f ) 14

6.2

a) 52 b) 40 c) 80

d) 170 e) 45 f ) 63 6.22

6.3

a) 27 b) 52 c) 90

d) 56 e) 500 f ) 50

a) 5a + 7b b) 4x + 6y

c) m + 3n d) k + 2l

6.23

a) 5a + 3b

b) 4s

6.4

a) 50 b) 15

c) 23

6.24

a) 4y b) --6a -- 3b

c) 0 d) 50x

6.5

a) 9 b) 68

c) 22

6.25

a) 2a + 2b b) 8x + 2y

c) 16a

6.6

a) 2 b) 1

c) 8

6.26

a) 2x -- y b) 2a + b

c) --x + 2y d) 2x -- y

6.7

3  9,90 + 2  14,90 + 3  16 107,50 kr

6.27

a) 3 b) 3 c) 15

d) 6 e) 42 f) 7

6.8

27  ð80  2Þ + 27  75 6345 kr

6.28

a) x = 6 b) x = 4 c) x = 20

d) x = 4 e) x = 7 f) x = 6

6.29

a) a = 5 b) a = 6 c) a = 9

d) a = 3 e) a = 7 f) a = 4

6.30

a) x = 15 b) x = 4 c) x = 20

d) x = 9 e) x = 15 f) x = 6

6.31

5

6.32

a) x = 18 b) x = 9 c) x = 75

d) x = 8 e) x = --2 f) x = 15

6.33

a) x = 70 b) x = 30 c) x = --10

d) x = 275 e) x = 126 f ) x = --10

6.34

a) x = 11 b) x = 5,8 c) x = 0,2

d) x = 6 e) x = 6 f) x = 6

6.9

a) x + 3 b) x -- 5

c) y + 10 d) y -- 12

6.10

a) x -- 5

b) x + 3

6.11

20x

6.12

13a

6.13

80x

6.14

12x + 28

6.15

a) 2x

b) 10x

6.16

a) 48 b) 60

c) 72

6.17

a) 30 b) 75

c) 15

6.18

a) Prisen for e´n liter b) 30 kr c) 40 kr


6.35

a) x = 6 b) x = 9 c) x = 8

d) x = 3 e) x = 5 f) x = 3

a) x = 18 b) x = 72 c) x = 90

d) x = 39 e) x = 60 f) x = 30

6.37

a) x = 2 b) x = 12 c) x = 42

d) x = 27 e) x = 4 f ) x = 108

6.38

a) x = 10 b) x = 7

c) x = 12 d) x = 6

6.39

x = 3: V. s. = h. s. = 6 x = 3 er løsning pa˚ likningen.

6.36

6.40

x = 4: V. s. = 18, H. s. = 19 x = 4 er ikke løsning pa˚ likningen.

6.41

x = 5: V. s. = h. s. = 2 x = 5 er løsning pa˚ likningen.

6.42

a) x = 15 b) x = 15: V. s. = h. s. = 5 x = 15 er løsning pa˚ likningen.

6.43

a) x x b) x x c) x x

6.44

= = = = = =

1 V. s. = h. s. = 6 1 er løsning pa˚ likningen. 41 V. s. = h. s. = 34 41 er løsning pa˚ likningen. 9 V. s. = h. s. = 1 9 er løsning pa˚ likningen. 10 d) x = V. s. = h. s. = 9 3 10 er løsning pa˚ likningen. x = 3 x = 14: V. s. = h. s. = 1 Hanna har regnet riktig.

Ma˚ling og enheter 7.1

a) 2 cm b) 4 cm

c) 6 cm

7.2

a) En seng er 220 cm lang. b) Lengden rundt ekvator er ca. 40 000 km. c) En fotballbane er ca. 110 m lang. d) Herman er 1650 mm høy.

7.3

a) 1 cm b) 100 cm c) 20 cm d) 300 cm

e) 240 cm f ) 1,5 cm g) 12 cm h) 75 cm

7.4

a) 5 m b) 2 m c) 2000 m d) 10 000m

e) 2 m f ) 4800 m g) 0,5 m h) 0,5 m

7.5

a) 4 km = 4000 m b) 3,5 m = 350 cm c) 150 cm = 1,5 m d) 1400 m = 1,4 km e) 0,25 m = 25 cm f ) 0,07 m = 70 mm

7.6

72 cm

7.7

6 fot

7.8

a) 28 km b) 33 km

7.9

1500 m

7.10

a) 1,2 km b) 1,8 km

c) 6 km

7.11

a) 4,25 km

b) 4,25 cm

7.12

M = 1 : 15 000

c) 80 km

7.13

3 cm

5 cm

Fasit

287


7.15

7.27

a) 5000 dm3 = 5 m3 b) 500 dm3 = 0,5 m3 c) 500 000 cm3 = 0,5 m3 d) 50 000 000 cm3 = 50 m3

7.28

5000 dm3

7.29

a) Sylinderen i en bilmotor har volumet 2000 cm3 . b) Moren til Lotte kjører et lass grus pa˚ 8 m3 . c) En tønne med parafin har volumet 200 dm3 .

7.30

40 ma˚leglass

7.31

a) 1 dm = 10 cm b) 1 dm2 = 100 cm2 c) 1 dm3 = 1000 cm3 d) 3 m = 30 dm e) 5 m2 = 500 dm2 f ) 0,8 m3 = 800 dm3

7.32

a) 3,2 dm3 = 3 200 000 mm3 b) 2,5 m3 = 2 500 000 cm3 c) 402 cm3 = 0,000402 m3 d) 65 cm3 = 0,000065 m3

7.33

a) 1 liter b) 12 liter c) 1 liter

7.34

a) 2 dm3 = 2 l b) 4 l = 40 dl c) 5dl = 50 cl d) 8 cl = 80 ml e) 3 l = 300 cl f ) 0,75 dm3 = 7,5 dl

7.35

a) 3 dm3 = 300 cl b) 5,4 dl = 540 cm3 c) 35 cm3 = 3,5 cl d) 35 ml = 0,35 dl e) 35 cm3 = 0,35 dl f ) 1300 cm3 = 1,3 l

7.36

0,495 dl

7.37

250 cm3

7.38

a) 24 l b) 32 l

3,75 cm

5 cm 7.17

a) 100 cm2 b) 1 cm2 c) 500 cm2 d) 3 cm2

7.18

a) 5 m2 = 500 dm2 b) 120 dm2 = 1,2 m2 c) 560 cm2 = 5,6 dm2 d) 0,75 m2 = 75 dm2 e) 2 daa = 2000 m2 f ) 15 000 m2 = 15 daa

Fasit

b) 1 000 000 m2

7.19

a) 1000 m

7.20

a) 2 km2 = 2 000 000 m2 b) 5,2 km2 = 5 200 000 m2 c) 3 000 000 m2 = 3 km2 d) 250 000 m2 = 0,25 km2

7.21

288

e) 4500 cm2 f ) 0,75 cm2 g) 80 cm2 h) 15,4 cm2

a) Arealet av Norges fastland er ca. 324 000 km2 . b) Korna˚keren har et areal pa˚ 150 daa. c) Stuegulvet har et areal pa˚ 45 m2 . d) Arealet av neglen pa˚ tommelen er ca. 3,5 cm2 .

7.22

a) 45 daa b) 1 daa

c) 4,5 daa d) 0,75 daa

7.23

a) 5 cm2 b) 4 cm2

c) 7 cm2 d) 4,5 cm2

7.24

Omtrent 530 000 km2 .

7.25

935 m2

7.26

a) 1000 cm3 b) 3000 cm3 c) 10 000 cm3

d) 1 000 000 cm3 e) 1 cm3 f ) 0,75 cm3

d) 5,7 liter e) 0,001 liter f ) 1000 liter

c) 0,16 l


7.39

1 time

7.40

a) 100 g b) 1000 g c) 1 g

d) 2000 g e) 0,5 g f ) 250 g

a) 1 kg b) 1 kg c) 1 kg

d) 0,35 kg e) 50 kg f ) 0,0004 kg

7.41

7.42

7.43

a) 1 hg = 100 g b) 1 kg = 10 hg c) 400 mg = 0,4 g d) 2 tonn = 2000 kg e) 6,5 hg = 650 g f ) 750 g = 0,75 kg a) 2 hg > 20 g b) 0,7 tonn = 700 kg c) 500 g < 50 hg d) 1 kg > 100 mg 1 e) kg = 250 g 4 3 f ) kg > 340 g 4

7.44

a) 800 g

b) 0,8 kg

7.45

11 500 kg = 11,5 tonn

7.46

a) 150 000 kg b) 10 000 kg

c) 15

7.47

a) 1 000 000

b) 15 000 000

7.48

a) 30 s b) 15 s

c) 45 s d) 48 s

7.49

a) 30 min b) 45 min

c) 12 min d) 54 min

7.50

a) 20 min 30 s b) 15 min 36 s

c) 54 min 20 s

7.51

a) 2 h 30 min b) 3 h 45 min

c) 2 h 21 min

7.52

45 min

7.53

2 h 25 min

7.54

Kl. 09.07

7.55

a) Kl. 04.23 b) Kl. 10.10

c) 47 min

7.56

13 min 34

7.57

a) 80 km/h b) 40 km/h

c) 20 km/h d) 160 km/h

7.58

a) 50 km b) 100 km

c) 150 km d) 275 km

7.59

a) 1 h b) 2 h

c) 30 min d) 3 h

7.60

150 km

7.61

21 km/h

7.62

2 h 30 min

7.63

a) 35 min b) 3,75 min per side

7.64

62,9 km/h

7.65

16

7.66

Kl. 18.15

50 s 100

2 s 3

Fasit

289


Stikkord A addisjon 45 av brøk 83 av brøker med lik nevner 58 av brøker med ulik nevner 61 algebra 180, 181 areal 216 arealenhet 242 avrunding av desimaltall 27 av hele tall 15 avrundingssiffer 72 B blandet tall 66, 82 bokstavuttrykk 186 bokstavuttrykk, regning med 190 brøk 48, 82 addisjon 83 addisjon med lik nevner 58 addisjon med ulik nevner 61 forkorting 53, 82 likeverdige 51 og desimaltall 70, 83 og divisjon 83 og multiplikasjon 83 omvendt 77 subtraksjon 83 subtraksjon med lik nevner 58 subtraksjon med ulik nevner 61 uekte 66 utviding av 53, 82 brøkdelen av et tall 76 brøkstrek 48, 82

Stikkord

C centiliter (cl) 223 centimeter (cm) 208, 242

290

D dekar (daa) 217 desiliter (dl) 223 desimaler 19 desimaltall 19, 45 avrunding av 27 fra desimaltall til brøk 73 regning med 24 desimeter (dm) 208, 242 diagonal 147 diameter 125

divisjon 45 divisjon med ti 23 daa (dekar) 217 E ekkolodd 208 eksponent 35 F faktorisering 14, 44 fart 233, 243 fellesnevner 61 firkant 118 flate 216 flere regnearter pa˚ en gang 37 forkorting av brøk 53, 82 forminskning 211, 242 forstørring 242 frekvens 154, 178 frekvenstabell 154 G gjennomsnitt 161, 178 gjennomsnittsfart 234 gradskive 111 gram (g) 226, 243 grunntall 35 H halvering av vinkler 137 halveringsstra˚le 137 hektogram (hg) 226, 243 hjelpefigur 141 hoderegning 17 K kalkulator 244, 245 kilogram (kg) 226, 243 kilometer (km) 208, 242 konstruere 60 134 konstruere 90 135 konstruksjon av normaler 128, 129 av trekant 141 av vinkel 134 kubikkcentimeter (cm3) 220, 242 kubikkdesimeter (dm3) 220, 242 kubikkmeter (m3) 220, 242 kubikkmillimeter (mm3) 220, 242 kurvediagram 168 kvadrat 119, 150


kvadratcentimeter (cm2) 216, 242 kvadratdesimeter (dm2) 216, 242 kvadratkilometer (km2) 216, 242 kvadratmeter (m2) 216, 242 kvadratmillimeter (mm2) 242 L lengde 208 lengdeenhet 242 likebeint trekant 115, 150 likesidet trekant 115, 150 likeverdige brøker 51 likning 193, 204 løse ved hjelp av addisjon 193 løse ved hjelp av divisjon 196 løse ved hjelp av multiplikasjon 196 løse ved hjelp av subtraksjon 193 sette prøve pa˚ 198, 205 linjal 208 linjediagram 168, 179 linjer 108, 149 linjestykke 108, 149 liter (l) 223 M masse 226, 243 median 161, 163, 178 meter (m) 208, 242 middelverdi 161 midtnormal 129, 131 mil 208, 242 milligram (mg) 226, 243 milliliter (ml) 223 millimeter (mm) 208, 242 minne 247 minste felles multiplum 63 minutter (min) 229, 243 motsta˚ende vinkler 119 multiplikasjon 45 multiplikasjon med ti 23 ma˚l/dekar (daa) 217, 242 ma˚leba˚nd 208 ma˚lestokk 211, 242 tegning i 214 N nabovinkel 111, 150 naturlige tall 8, 44 negative tall 31, 45 nevner 48, 82 normal 151 i et punkt 130 konstruksjon 128, 129 tegning av 128 fra et punkt til en linje 132

O observasjon 154 oddetall 8, 44 omkrets 122 omvendt brøk 77 overslagsregning 28 P palindrom 202 parallell 109, 149 parallellogram 120, 151 parentes 183 partall 8, 44 pi () 125 plassverdi 10 plassverdisystem 8 potenser 35, 45 primtall 12, 44 primtallsfaktorisering 14, 44, 63 prosent 86, 105 av et tall 96, 105 og desimaltall 94 som brøk 90 a˚ finne prosenten 99, 105 prosent/brøk/desimaltall – sammenhengen 105 prosentbegrepet 86 punkt 108, 109, 149 R radius 125 regneark 244, 248 regnearter, flere pa˚ en gang 37 regning med bokstavuttrykk 190 med desimaltall 24 med negative tall 32 rektangel 119, 150 rett vinkel 110, 149 rettvinklet trekant 116, 150 rombe 119, 150 romertall 39, 45 S sammensatte tall 12, 44 sekunder (s) 229, 243 sentralma˚l 161 sentrum 125 sette tall inn i uttrykk 188 siffer 9 sirkel 151 sirkelbue 125 skjæringspunkt 109, 149 spiss vinkel 110, 149

Stikkord

291


stolpediagram 157, 179 stra˚le 108, 149 stump vinkel 110, 149 subtraksjon 45 av brøk 83 av brøker med lik nevner 58 av brøker med ulik nevner 61 søylediagram 157, 179 T tall

Stikkord

avrunding av hele 15 blandet 66 brøkdelen av 76 naturlige 8, 44 negative 31, 45 regning med negative 32 sammensatte 12, 44 talluttrykk 182, 204 tegning av normaler 128 tegning i ma˚lestokk 214 teller 48, 82 tid 229, 233, 243 timer (h) 229, 243 titallssystemet 8 tonn 226, 243 toppunkt 110, 149 toppvinkel 111, 150

292

trapes 119, 151 trekant 114 konstruksjon 141 likebeint 115, 150 likesidet 115, 150 rettvinklet 150 typetall 161, 164, 178 U uekte brøk 66, 82 utvidet form 10 utviding av brøk 53, 82 V variabel 185, 204 variasjonsbredde 161, 165, 178 vei 233, 243 vinkel 110 halvering 137 konstruksjon 134 motsta˚ende 119 rett 110, 149 spiss 110, 149 stump 110, 149 vinkelbein 110 vinkelsum 115, 150 i firkant 118 volum 220


Faktor 1 Grunnbok