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UNIVERSIDAD FERMÍN TORO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES ANALISIS DE PROBLEMAS Y TOMA DE DECISIONES

TÉCNICAS PARA LA TOMA DE DECISIONES

AUTORA: Laura C. Bermejo M

JULIO, 2012


INTRODUCCIÓN

La toma de decisiones es un factor importante en todas las áreas del conocimiento, porque permite de una manera u otra elegir entre una o varias alternativas para la solución de un problema; por lo que los gerentes de hoy en día se encuentran constantemente en una búsqueda de herramientas o métodos que les permita tomar las mejores decisiones.

Entre estas herramientas se encuentran los modelos matemáticos que se aplican dentro de las diferentes áreas de la gerencia, los cuales son presentados por los métodos deterministicos, los probabilísticos y los híbridos, que serán desarrollados en la siguiente revista.


MÉTODOS DETERMINÍSTICOS

Los modelos deterministicos, suponen que los valores de todas las variables no controlables y los parámetros se conocen con certeza y son fijos. La mayoría de los modelos deterministicos se caracterizan como aquellos que optimizan (maximizan o minimizan) la función objetivo, generalmente sujeto a un conjunto de restricciones.

Esto es: Optimizan Z = f(x,y) Sujeto G(x,y) B Donde Z es la función objetivo, expresada como función X (conjunto de variables controlables) e Y (conjunto de variables incontrolables), G(x,y) es el conjunto de restricciones como funciones de X e Y; B es el conjunto de constantes asociadas con el conjunto de restricciones.

El conjunto de restricciones consiste en relaciones de desigualdad e igualdad.

Este

matemático.

conjunto

de

ecuaciones

se

denomina

programa


MÉTODO GRÁFICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

La Programación Lineal es una herramienta relativamente reciente (1947), que puede utilizarse como ayuda a la toma de decisiones gerenciales. Su éxito se debe a la facilidad relativa del método, su resolución grafica, disponibilidad de software y al amplio campo de aplicaciones en las áreas agrícola, militar, industrial, transporte, economía, salud e inclusive en las ciencias sociales.

La Programación Lineal es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos; donde tanto la función objetivo a

optimizar

como

todas

las

relaciones

entre

las

variables

correspondientes a los recursos son lineales.

En los problemas de Programación Lineal el objetivo es la maximización o Minimización de alguna cantidad y siempre van a existir restricciones o limitaciones que obstaculizan la medida en que se puede alcanzar el objetivo. Es una herramienta deterministica porque todos los parámetros del modelo se suponen conocidos con certeza. El análisis grafico es una alternativa para la resolución de modelos de Programación Lineal en dos variables; donde el dominio de puntos factibles, en caso de existir, se encontraran en el primer cuadrante como resultado de la intersección de las diferentes restricciones del problema lineal.


SUPUESTOS BASICOS: El modelo opera bajo los siguientes supuestos: Certidumbre: Los coeficientes, tanto de la función objetivo como de las restricciones, son conocidos con exactitud y no varían durante el periodo de tiempo en que se realiza el estudio. Proporcionalidad: tanto en la función objetivo como en las restricciones hay Proporcionalidad. Adictividad de actividades: tanto en la función objetivo como en las restricciones, la Contribución de cada variable es independiente de los valores del resto de las Variables, siendo el total de todas las actividades igual a la suma de cada actividad Individual. Divisibilidad: las soluciones del problema serán en general números reales no necesariamente enteros. No negatividad: las variables tomaran siempre valores positivos.

EJEMPLO: Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de Publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico. Los estudios de mercado han mostrado que: 1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial. 2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio. La publicidad en periódico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad.


OBJETIVO: Minimizar los costos de publicidad. VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1). Anuncios para las familias de ingreso medio (X2).

RESTRICCIONES: Porcentaje de presentación. Minimizar Sujeto a:

SOLUCION ÓPTIMA:


MÉTODO SIMPLEX

Fue creado en 1947 por el matemático George Dantzing y se utiliza para hallar las soluciones óptimas de un problema de programación lineal con tres o más variables. Es un procedimiento iterativo de programación lineal que va desechando las soluciones no factibles y, en cada paso, evalúa si la solución obtenida es optima o no. Las etapas de este algoritmo son: 1. Planteamiento del problema: identificación de las variables y definición de la función objetivo y del sistema de inecuaciones lineales para restricciones. 2. Conversión de las desigualdades en igualdades; en cada restricción se introduce una variable de holgura en el miembro menor (o menor o igual) de la desigualdad. 3. Igualación a cero de la función objetivo. 4. Escritura de una tabla inicial simplex (matriz): en las columnas, las variables del problema; una fila para cada conjunto de coeficientes de una restricción y una fila más para los coeficientes de la función objetivo. 5. Determinación de las variables y los coeficientes. ·. Ejemplo de tabla inicial simplex: BASE

VARIABLE DE

VARIABLE DE

VALOR

VALORES

DECISION

HOLGURA

CRITICO

SOLUCION

Z X1

X2

X3

H1

H2

H3

H1

3

4

2

1

0

0

0

300

H2

2

1

2

0

1

0

0

200

H3

1

3

3

0

0

1

0

150

Z

-2

-4

-5

0

0

1

1

0


VARIABLES Y COEFICIENTES:

Para determinar las variables de un problema mediante el método del simplex, es preciso hallar primero la base de resolución. En esta base: Se incluye una variable de decisión, la que posee el coeficiente negativo mayor. La columna a la que corresponde se llama columna pivote. Se excluye una variable de holgura. Se divide cada término por el correspondiente de la columna pivote y se calcula el menor cociente positivo. Se aplica entonces el método de eliminación gaussiana para anular los términos de la columna pivote, tantas veces como se precisa hasta que en la última fila solo haya coeficientes positivos. (Esa será la solución).


MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

Se utilizan cuando alguno de los datos o de la información importante se considera incierto, aunque puede especificarse su probabilidad. Entre ellos se mencionan: cadenas de Markov, Teoría de Juegos, Líneas de Espera, Teoría de inventarios, entre otros. LOGICA BAYESIANA

El llamado enfoque bayesiano o lógica inductiva bayesiana se ha desarrollado a partir de los trabajos del filósofo ingles Frank Ramsey (Ramsey 1926) y del matemático italiano Bruno de Finetti (de Finetti 1937), pero sus orígenes se remontan al descubrimiento del cálculo de probabilidades por Blaise Pascal y Pierre de Fermat en el siglo XVII. El teorema de Bayes, que utiliza el concepto de probabilidad condicionada1, es uno de los resultados que demuestran el carácter inductivo de la lógica bayesiana. Una de sus formulaciones es la siguiente: (TB) la probabilidad de una determinada hipótesis h condicionada a la evidencia e es igual a la probabilidad de e condicionada a h multiplicada por la probabilidad de h divididas ambas por la probabilidad de e.

Ramsey buscaba introducir una nueva interpretación de la probabilidad como una medida de los grados de creencia de los sujetos racionales en un determinado contenido proposicional. Específicamente le interesaba encontrar un método para calcular al mismo tiempo los grados de creencia y los grados de deseo de un sujeto racional a partir de la información acerca de sus preferencias por determinados cursos de acción relevantes para la situación de decisión que se pretende investigar.


El problema para el cual Ramsey finalmente encontró una solución brillante es en último análisis el problema fundamental de la teoría de la decisión: dada información suficiente sobre la escala de preferencias del agente (A) por los diversos cursos de acción posibles para su situación de decisión, encontrar el patrón de deseos y creencias de A.2

Una de las tesis fundamentales de la lógica bayesiana es que la noción de probabilidad interpretada de manera subjetivista debe ser utilizada para medir los grados de creencia de los agentes humanos. La aplicación del cálculo de probabilidades como escala para la medida de los grados de creencia de los agentes humanos impone diversas restricciones al sistema de dichas creencias de un sujeto que razona más o menos de acuerdo con las reglas de dicho cálculo.

Por ejemplo, si un agente atribuye a una proposición la probabilidad subjetiva x y si además es coherente, entonces debe atribuirle a su negación la probabilidad subjetiva 1 – x. Las reglas del cálculo de probabilidades establecen como se debe comportar el patrón de probabilidades subjetivas de un agente supuestamente coherente en un determinado momento, pero no nos dice nada sobre como deberían cambiar tales probabilidades con el paso del tiempo. La regla bayesiana más sencilla que gobierna los cambios temporales de las probabilidades subjetivas es la llamada regla de condicionalizacion de Bayes, que afirma lo siguiente: (RCB) si la probabilidad subjetiva de una determinada proposición p sube a 1 y si la probabilidad condicionada a p de cualquier proposición q (P(q/p))


El PRINCIPIO DE CONDICIONALIZACION DE BAYES ofrece el ejemplo más claro de una regla inductiva. Pues, si se substituye por p un determinado contenido proposicional, que el aumento de temperatura de una cierta olla exprés llena de agua hasta la mitad es acompañado por un aumento de la presión interna del vapor de agua confinado en su interior, cuya probabilidad antes del experimento es menor que 1. Supongamos además que se substituye por q la hipótesis de que la presión de un gas ideal a volumen constante es directamente proporcional a su temperatura, cuya probabilidad anterior al experimento en cuestión también es menor que 1. La evidencia proporcionada por este experimento y un sin número de otros similares deberían conducir a un incremento de la probabilidad de la hipótesis q.

La regla de Bayes describe la corrección de una inducción de este tipo del siguiente modo: sea cual fuera la probabilidad que le asigna un sujeto coherente a q, cada vez que se incorpora conocimiento nuevo confirmador de la misma a su sistema de creencias, el debería reajustar la probabilidad subjetiva que le atribuye a q de acuerdo con la RCB.

Entre las aplicaciones de la Lógica Bayesiana se mencionan entre otras: Teoría de decisión, visión artificial, reconocimiento de patrones por ordenador y sistemas de expertos entre otros.


TEORÍA DE JUEGOS

La teoría de juegos como tal fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann (1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su libro “The Theory of Games Behavior”. Anteriormente los economistas Cournot y Edgeworthhabian anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumanny Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las Relaciones humanas. John Forbes Nash (1928- ) es el nombre más destacado relacionado con la teoría de juegos. A los 21 años escribió una tesina de menos de treinta paginas en la que expuso por primera vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde entonces se llamo "el equilibrio de Nash", que tuvo un inmediato reconocimiento entre todos los especialistas. El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una disminución en sus pagos. Von Neumann y Oskar Morgenstern habían ya ofrecido una solución similar pero sola para los juegos de suma cero. Para la solución formal del problema, Nash utilizo funciones de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de los matemáticos Brouwer y Kakutani.


Los juegos se clasifican en muchas categorías que determinan que métodos particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho también como se define “resolución” en una categoría particular). En general, se pueden considerar cuatro clases de juegos:

Juegos en forma extensiva (árbol) Juegos en forma estratégica (normal) Juegos en forma grafica Juegos en forma coalicional

El estudio de los juegos ha inspirado a científicos de todos los tiempos para el desarrollo de teorías y modelos matemáticos. Su objetivo no es el análisis

del

azar

o

de

los

elementos

aleatorios

sino

de

los

comportamientos estratégicos de los jugadores.

En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o

jugadores. Se dice de un

comportamiento que es estratégico cuando se adopta teniendo en cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y ajenas.

El principal objetivo de la teoría de los juegos es determinar los papeles de conducta racional en situaciones de "juego" en las que los resultados son condicionales a las acciones de jugadores interdependientes.

La teoría de juegos esta básicamente ligada a las matemáticas, ya que es principalmente una categoría de matemáticas aplicadas, aunque los analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de esta ciencia, en particular las probabilidades, la estadística y la programación lineal en


conjunto con la teoría de juegos. Pero la mayoría de la investigación fundamental es desempeñada por especialistas en otras materias. Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, como las ciencias políticas o la estrategia militar, que fomento algunos de los primeros desarrollos de esta teoría.

La biología evolutiva, donde se ha utilizado ampliamente para comprender y predecir ciertos resultados de la evolución, como el concepto de estrategia evolutiva estable introducido por John Maynard Smith; o la psicología, donde puede utilizarse para analizar juegos de simple diversión o aspectos más importantes de la vida y la sociedad.


METODOS HIBRIDOS

Son aquellos que conjugan los métodos deterministicos y los métodos probabilísticos.

MODELO DE TRANSPORTE Y LOCALIZACION

El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son: 1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino. Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviara de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total. La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variara dependiendo de la “mercancía” que se transporte.

TECNICA DE TRANSPORTE.

Los pasos básicos de la técnica de transporte son: Paso 1: determínese una solución factible. Paso 2: determínese la variable que entra, que se elige entre las variables no básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del método simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3. Paso 3: determínese la variable que sale (mediante el uso de la condición de factibilidad) de entre las variables de la solución


básica actual; después obténgase la nueva solución básica. Regrese al paso 2. ESQUEMA DE UN MODELO DE TRANSPORTE

El esquema representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino está representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij. Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es: Minimiza Z= S i=1m S j=1 n C i j X i j

Sujeta a: S j=1 n X i j <= ai , i=1,2,…, m S i=1 m X I j >= bj , j=1,2,…, n X i j >=0 para todas las i y j


El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envíos a un destino satisfaga su demanda. El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total Si=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total Sj=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir:

SX i j = ai, i=1,2,..., m SX i j = bj, j=1,2,..., n

En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte.


TECNICA DE MONTE CARLO

Es un método no deterministico (no se puede saber de antemano cual será el resultado) usado para aproximar expresiones matemáticas complejas de evaluar con exactitud. El método se llamo así en referencia al Casino de Montecarlo (la ruleta es un generador simple de números aleatorios). El método de Montecarlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos, haciendo posible el realizar experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en un ordenador. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como 1/(raíz de N), en virtud del teorema del límite central. Este teorema indica que, en condiciones generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces, la función de distribución de Sn se aproxima a una distribución normal. Esto solo ocurre cuando la suma de las variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.

APLICACIONES: La simulación de Monte Carlo se ha venido aplicando a una cantidad de ámbitos como alternativa a los modelos matemáticos exactos o incluso como único medio de estimar soluciones para problemas complejos. En la actualidad es posible encontrar modelos que hacen uso del método en las áreas de Informática, empresarial, económica, industrial e incluso social.

Tecnicas para la toma de decisiones  

Técnicas e instrumentos para la toma racional de decisiones.

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