Na verdade lim f (x) = lim (x + 1) = 1 = f (1),
x→0−
x→0
lim f (x) = lim (x2 + 1) = 1 = f (1),
x→0+
x→0
pelo que ambas as restri¸c˜oes f |]−∞,0]
e
f |[0,+∞[
s˜ao cont´ınuas. Ora, j´a dissemos em 11, Facto 3.1.6, que nestas condi¸c˜oes a “colagem” de duas fun¸c˜oes cont´ınuas produz uma fun¸c˜ao cont´ınua. O conte´udo do exemplo anterior ´e suficientemente importante para que o registemos sob forma geral, suscept´ıvel de ser utilizada em outras situa¸c˜oes: Facto 2.1 Seja f uma fun¸c˜ao definida num intervalo I, a um ponto interior de I, e suponhamos que se verifica lim− f (x) = lim+ f (x) = f (a). x→a
x→a
Ent˜ao a fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em a. (Em particular, se f j´a ´e cont´ınua nos pontos x = a, f ´e cont´ınua em I.)
Exerc´ıcios da Sec¸c˜ ao 2 do Apˆ endice 1 Se e2x − 1 para x = 0, ex − 1 que valor se deve atribuir a f no ponto 0 para prolongar a R como fun¸c˜ao cont´ınua? f (x) =
2 As fun¸c˜oes seguintes tˆem como dom´ınio R privado de um ponto. Atribuir-lhes um valor nesse ponto de modo que a fun¸c˜ao assim prolongada seja cont´ınua, ou explicar porque ´e que isso n˜ao ´e poss´ıvel: 3x − 1 · f : R \ {π} → R, f (x) = 1 + x2 f : R \ {1} → R, f : R \ {0} → R, f : R \ {0} → R,
1 − x3 · 1 − x + x2 − x3 1−x3 se x < 0 x−x2 . f (x) = 2 x − 2x − 2 se x > 0 2 x −2x se x < 0 x−x2 f (x) = . 2 x − 2x − 2 se x > 0 f (x) =
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