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UNIVERSIDAD FERMÍN TORO TÉCNICAS ESTADÍSTICAS AVANZADA SAIA B TUTOR: LCDA. MARÍA VICTORIA PAREDES

Junio 2014 Alumna: Sonia Carrero C.I. 13.864.489 FORÁNEA


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PÁG. 10 Ejercicios Propuestos 2 de la función

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En las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento específico. Éste puede ser de éxito o fracaso sin dar paso a un punto medio. Por ejemplo, en la producción de un artículo, éste puede salir bueno o malo. Casi bueno no es un resultado de interés. Para situaciones como éstas se utiliza la distribución binomial. En este módulo se describe el uso de la distribución binomial para obtener la probabilidad de ocurrencia de ese evento que representa un resultado esperado. El módulo va dirigido al estudiantado de Administración de Empresas en sus distintas concentraciones.


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El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases para el desarrollo y utilización de la distribución binomial.


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La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Por ejemplo: Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.

En el deporte un equipo puede ganar o perder. En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.


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Estos ejemplos los podemos considerar como “experimentos de Bernoulli”

También se cuando el resultado se reducir a dos opciones.

utiliza puede

Por ejemplo: Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo. La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr. En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta.


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1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos o fracasos.

2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores.

3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p y la representamos por q .

Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución binomial.


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Se trata, sin duda, del modelo continuo más importante en estadística, tanto por su aplicación directa, veremos que muchas variables de interés general pueden describirse por dicho modelo, como por sus propiedades, que han permitido el desarrollo de numerosas técnicas de inferencia estadística. En realidad, el nombre de Normal proviene del hecho de que durante un tiempo se creyó, por parte de médicos y biólogos, que todas las variables naturales de interés seguían este modelo.

Su función de densidad viene dada por la fórmula:


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La distribución de probabilidad binomial es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. Esta formada por una serie de experimentos de Bernoulli. Los resutados de cada experimento son mutuamente excluyentes. Para contruirla necesitamos:

n éxitos p

1 - la cantidad de pruebas 2 - la probabilidad de

3 - utilizar la función matemática.


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A continuación vemos La función de probabilidad de la distribución Binomial, también denominada Función de la distribución de Bernoulli:

k - es el número de aciertos. n - es el número de experimentos. p - es la probabilidad de éxito, como por ejemplo, que salga "cara" al lanzar la

moneda. 1-p - también se le denomina como “q ”


Ejercicios Propuestos 2 N°1 de la función

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1.- Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que solo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparad la materia responde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 4 o mas preguntas Probabilidad de obtener 4 aciertos: Resultado:

P= (x=k) =

n k

k n-k p q

k=4 n=6 p = 0,25 acierto q = 0, 75 fallo

p (x > 6) = p (x= 4) + p (x=5) + p (x=6)=

6 4 2 6 5 6 6 4 0,25. 0,75+ 5 0.25. 0.75+ 6 0,25 =

= 4 2 5 6 15.0,25. 0,75+ 6. 0,25.0,75+0,24= 0.03296+0,00439+0,00024= 0,03759


Ejercicio N° 2 de la función

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2.- La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces. Resultado: Datos:

P= (x=k) =

n=5 p = 0,4 q = 0,6 k= 3

n k

q= 1-p q= 1-0,4 q= 0,6

k n-k p q

5 3 2 5 4 5 5 P (x > 3) = p(x=3)+ P(x=4) + P(x=5) = 3 0,4. 0,6 + 4 0,4. 0,6+ 5 0,4 =

3 2 4 5 10. 0,4. 0,6 + 5.0,4. 0,6+ 0,4= 0.2304+0.0768+0,01024 = 0,31744


Ejercicio N° 3 de la función

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3. Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales se acompaña de cuatro respuestas, una de ellas correcta y erróneas las otras tres. Si un estudiante contesta al azar, ¿Cual es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas? ¿Y menos de 15? Use distribución normal y compare von la distribución binomial los resultados Datos: n= 100 p= 0,25 q= 0,75

B (100,025) m= 100.0.25= 25.0 =25 t= √ 100. 0,25. 0,75 = 4,33 n= (25, 4,33)

30,5-25 P (X > 30) = P (X > 30,5) = P z > 4,33

P (X< 15) = P( X < 14,5) = P

z>

= p ( z > 1,27) = 1 – 0,8980 = 0,1020.

14,5 -25 = P (z < -2,42) = 1- 0,9922 = 0,0078 4,33


Ejercicio N° 4 de la función

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4.- Un persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas A y B. En la entrevista de la empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de puntuación de 7 para la totalidad de los candidatos y una varianza de 4. En al entrevista de la empresa B obtiene una puntuación de 8, con una media de puntuación de 6 para la totalidad de los candidatos y una desviación típica de 1,5 ¿ En que entrevista ha obtenido esa persona una mejor puntuación relativa? Resultados: Empresa A: _ X a = 7 t a= 2

Empresa B: _ X b = 6 t b = 1,5

Empresa A:

P (X< 9) = P

Empresa B: P (X < 8 ) = P

Z<

Z<

9-7 = P (Z < 1) = 0,8413 2

8–6 1,5

= P (Z < 1,33) = 0,9082


Ejercicio N° 5 de la función

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5.- En un test que mide ciertas habilidades especificas, las puntuaciones se distribuyen normalmente, con media 100 y desviación típica 25. El 20 % de las puntuaciones más altas corresponde al grupo de los superdotados, y el 20 % de las puntuaciones mas bajas al de los infradotados. Calcular las puntuaciones que delimitan los distintos grupos . Resultado:

Hallar X 1 y X2

P (X < X1) = 1 - 0,20= 0, 80

t= 25

P (X < X2) = 0, 20

Z= X-µ t

P (X< X1) =

µ = 100

P Z <

X1 - 100 25 = 0,84

X1 = 100+25. 0, 84 = 100+21 =121

X2= 100+25.0, 84 = 100- 21= 79

Infradotados los de menos de 79 puntos Superdotados los de mas de 121 puntos

infradotados 0,20

X 2

superdotados 0,20

X1


Ejercicio N° 6 de la función

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6.- En cierta prueba, el 35 por ciento de la población examinada obtuvo una nota superior a 6, el 25 por ciento, entre 4 y 6 y el 40 por ciento inferior a 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, calcula la nota media y la desviación típica ¿ Que porcentaje de población tiene una nota que se diferencia de la media en menos de 2 unidades ? Resultado:

P (X > 6) = 0,35 P (4 < X

< 6)

= 0,25

P (X < 4) = 0,40 P (X > 6) = P

Z

6 - µ t

= 0,35

6 - µ = 0,385 t 4 - µ = 0,255 t µ = 4,797

t= 3,125

P = (2,797 < X< 6,797) = P

_-2 __ 3,125

< Z <

_2_ 3,125

P = (0,64 < z < 0,64) =

P (Z < 0,64) – P (Z < - 0,64) = 0,7389- (1- 0,7389) = 0,4778

Alumna: Sonia Carrero C.I. 13.864.489 FORANEA


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En este módulo hemos determinado la probabilidad binomial mediante el uso de la función binomial, tablas de distribución y la calculadora del enlace. Además, aprendimos que: O

La distribución binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli

O

La media (μ) en la distribución binomial se obtiene con el producto de n x p

O

La desviación estándar (σ ) en la distribución binomial se obtiene del producto de n x p x q.

O

El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p.

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