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La distribución normal o de Gauss • Distribución límite • La distribución Normal o de Gauss • La distribución de Gauss tipificada • La función integral. Cálculo de la función integral • La desviación estándar de la media • Intervalos de probabilidad y confianza • Diferencias significativas

Técnicas experimentales en Física General

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• La distribución límite ¿Qué ocurre si aumentamos el número de medidas?

N=100 medidas

Histograma de bins de 100 medidas de x

N=1000 medidas

Histograma de bins de 1000 medidas de x

Técnicas experimentales en Física General

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• La distribución límite Cuando N → ∞ ⇒ nos acercamos a la distribución límite.

Distribución límite f(x) f ( x )dx = Fraccion de las medidas que se encuentran entre x y x + dx = Probabilidad de que una medida de un resultado comprendido entre x y x + dx

b

a

f ( x )dx = Fraccion de las medidas que se encuentran entre x = a y x = b = Probabilidad de que una medida de un resultado que se encuentre entre a y b

¾ Distribuciones discretas y continuas

x → discretas Fk =

nk N

Técnicas experimentales en Física General

x → continuas Fk = f ( xk )dxk

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¾

Condición de normalización

x → discretas

∑F

k

x → continuas

=1

−∞

k

¾

f ( x )dx =1

Cálculo de la media

x → discretas

x → continuas

x = ∑ Fk xk

x=∫

+∞

−∞

k

¾

+∞

xf ( x )dx

Cálculo de la desviación estándar

x → discretas

x → continuas

nk σ = ∑ ( xk − x )2 k N

σ = ∫ ( x − x ) 2 f ( x )dx

2 x

Técnicas experimentales en Física General

2 x

+∞

−∞

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La distribución Normal o de Gauss

GX ,σ ( x) =

+∞

−∞

1 2πσ 2

e

2 x− X ) ( −

2σ 2

GX ,σ ( x)dx = 1

¾ Propiedades

♦ Tiene un máximo en x = X ♦ Es simétrica alrededor de X ♦ Tiende a cero rápidamente si x − X >> σ

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• Valor medio y desviación estándar ¿Si se efectúan un gran número de medidas de una variable aleatoria que sigue una distribución de Gauss, ¿qué valores hay que esperar para x y σ x2 ( x) ? Valor medio +∞

+∞

−∞

−∞

x = ∫ xf ( x)dx → x = ∫ xGX ,σ ( x)dx x=∫

+∞

−∞

1

xGX ,σ ( x)dx =

2πσ

2

+∞

−∞

xe

− ( x − X )2 2σ 2

y = x− X dy =dx

dx →

−y  +∞ − y 2  +∞ 1 2σ 2σ 2 0 + X 2πσ 2 = X x= ye dy + X e dy =   ∫ ∫ −∞ 2πσ 2  −∞ 2πσ 2  2

1

2

{

}

x=X Desviación estándar +∞

σ ( x) = ∫ ( x − X )2 GX ,σ ( x)dx = σ 2 2 x

−∞

σ x2 ( x) = σ 2

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• La distribución Normal tipificada: ¿Cómo puede estudiarse la distribución de Gauss de forma general?

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GX ,σ ( x ) =

2πσ 2

e

→ G0,1 ( z ) =

2 x− X ) ( −

z=

x− X

σ →

2

1 e 2π

z2 − 2

G0,1(z)

Distribución normal tipificada

← Distribución

0.4

Normal tipificada 0.3

1 G0,1 ( z ) = e 2π

σ=1

0.2

0.1

1. Máximo en z = 0 2. Puntos de inflexión:

0.0 -3

-2

-1

z2 − 2

0

1

X=0

Técnicas experimentales en Física General

2

z

3

z = ±σ = 1

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• La función integral ¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida entre a y b?

b

1

a

2πσ

Prob(a ≤ x ≤ b) = ∫ GX ,σ ( x)dx =

2

b

a

− ( x − X )2

e

2σ 2

dx

¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida dentro de una desviación estándar?

Prob( X − σ ≤ x ≤ X + σ ) = =∫

X +σ

X −σ

GX ,σ ( x)dx =

Técnicas experimentales en Física General

1 2πσ

2

X +σ

X −σ

− ( x − X )2

e

2σ 2

dx

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¿Cuál es la probabilidad de que una medida esté comprendida dentro de t desviaciones estándares?

Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) = =∫

X +tσ

X −tσ

GX ,σ ( x)dx =

1 2πσ

Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) =

2

X +tσ

X −tσ

1 2πσ

2

− ( x − X )2 2σ 2

e

X +tσ

X −tσ

dx

− ( x − X )2

e

2σ 2

dx

  dx = σ dz  x− X x − X X + tσ − X  = z →  x2 = X + tσ → z2 = 2 = =t σ σ σ  x1 − X X − tσ − X  = − → = = = −t x X t σ z 1  1 σ σ 1 Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) = 2π Técnicas experimentales en Física General

+t

−t

e

− z2 2

dz

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• Cálculo de la función integral

Prob( X − tσ ≤ x ≤ X + tσ ) =

Técnicas experimentales en Física General

1 2π

+t

−t

e

− z2 2

dz

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• Cálculo de la función integral (cont.)

Prob(dentro de tσ ) = =∫

X +tσ

X −tσ

t = x.yz

Técnicas experimentales en Física General

1 = 2π

GX ,σ ( x)dx =

+t

−t

e

− z2 2

dz

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• Cálculo de la función integral (cont.)

Q(t ) = ∫

X +tσ

X

=

Q (2) − Q (1)

Técnicas experimentales en Física General

Q (2) + Q (1)

1 2π

GX ,σ ( x)dx = t

∫e 0

− z2 2

dz

50% − Q (1)

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• La desviaciĂłn estĂĄndar de la media Supongamos que x que se distribuye GX ,Ďƒ . Imaginemos la siguiente secuencia de experimentos: x

1

N medidas de x

2

N medidas de x

1 ∑ xi N i 1 x2 = ∑ xi N i x1 =

...

 Si repetimos el experimento n veces, los valores de xi cambiarĂĄn, y la media de las medias y su desviaciĂłn estĂĄndar serĂĄn x=

1 ∑ xi n i

Ďƒx =

1 N 2 ( xi − x ) ∑ n i =1

Efectuando sĂłlo uno de los experimentos, ÂżcuĂĄl es la desviaciĂłn estĂĄndar de la media de las N medidas? Los xi se distribuyen GX ,Ďƒ , el verdadero valor de x es X La desviaciĂłn estĂĄndar de la media serĂĄ x

2

2

 ∂x   ∂x  Ďƒ x =  Ďƒ x1  + " +  Ďƒ xN  =  ∂x1   ∂xN  2

2

Ďƒ 1  1  =  Ďƒ x  +" +  Ďƒ x  = x N N  N 

TĂŠcnicas experimentales en FĂ­sica General

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• Intervalos de probabilidad y confianza ¾ ¿Cuál es el significado de asignar la desviación típica

como error de una medida? Si tomamos una muestra de N datos, calculamos su media y su desviación típica y escribimos

x ±σ x significa que el 68% de las medidas realizadas se encuentran en el intervalo x ± σ x

.

O bien, el mejor valor, X se encuentra en el intervalo:

x −σ x ≤ X ≤ x + σ x con un nivel de confianza del 68 %

Técnicas experimentales en Física General

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• Diferencias significativas ¿Cómo se comparan nuestras medidas con los valores esperados? Valor medido Valor esperado ¾ Supongamos que:

x ±σx a

x −a ≤σx

( t ≤ 1)

No es una diferencia significativa. Prob (fuera 1σx) = 32% ¾ Supongamos que:

x − a ≥ 3σ x

( t ≥ 3)

La diferencia es muy significativa. Prob (fuera 3σx) = 0.3% Norma generalmente aceptada: ¾ Si x − a ≤ 2σ

⇒ Resultado aceptable. ¾ Si x − a ≥ 2.5σ x ⇒ Resultado inaceptable. ¾ Si 1.9 σ ≤ x − a ≤ 2.6σ x ⇒ Resultado no concluyente. x

O bien:

P (fuera tσ ) ≤ 5% ⇒ Diferencia significativa. ¾ P (fuera tσ ) ≤ 1% ⇒ La diferencia es muy ¾

significativa. Técnicas experimentales en Física General

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la distribucion normal  

semblanza de la estadistica

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