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TEORIA DE CONTROL MARZO 2001 EDICIÒN N”1

FORMA CANÓNICA:

ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO MATRIZ FUNCIÒN TRANSFERENCIA PULSO

http://controlii.blogspot.com/

CONTROLABLE DIAGONAL OBSERVABLE DE JORDÀN


La presente publicación se realizo con el objetivo de ahondar un poco sobre las variables de estado. Un método útil específicamente en sistemas no lineales, mientras que los métodos convencionales no se adaptan de manera ideal a los sistemas de control optimo y adaptable, mismos que son, en su mayor parte, variantes en el tiempo y/o no lineales. Un sistema de control moderno puede tener muchas entradas y muchas salidas, y estas están interrelacionadas de una manera complicada. Los métodos en el espacio de estado para el análisis y la síntesis de sistemas de control son mas adecuados para tratar con sistemas de varias entradas y varias salidas que se requiere que sean óptimos en algún sentido


ÌNDICE FORMA CANONÌCA ………………………………1 CONTROLABLE………………..3  OBSERVABLE…………………..7 DIAGONAL……………………..11 DE JORDÀN ……………………15

ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO…………………………….20

MATRIZ FUNCION TRASNFERENCIA PULSO…………………………23

EXTRAS DE EDICIÒN ……………………………..26


Para los sistemas lineales e invariantes en el tiempo, y

que sean SISO, existen de las infinitas formas de representar los sistemas por variables de estado, formas que son de referencia llamadas canónicas (formas normadas o estandarizadas) que nos serán útiles en el momento de analizar y diseñar el control para el sistema. 1


Lamentablemente no existe solamente una sola forma canónica, sino varias, y cada una útil para el análisis de una determinada característica del sistema. Para ver cada una de estas formas es útil partir de la representación gráfica de los sistemas por diagramas de bloques, donde el sistema se encuentre descripto a

través de funciones de transferencia de integradores puros (G(s) = 1/s), cuyas respectivas salidas definirán cada una de las variables de estado, y su entrada será la derivada respectiva que será el resultado de sumar las entradas y las variables de estado multiplicadas por constantes. Veamos pues entonces cómo se definen las formas canónicas de representación por variable de estado.

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La condici贸n de controlabilidad de estados implica que es posible, mediante entradas admisibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de un intervalo de tiempo. Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo es controlable si y s贸lo si:

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Obtengamos la forma canónica de controlabilidad de

un sistema genérico de tercer orden (que puede ser extendido sin ningún inconveniente a sistemas de mayor orden). Un sistema de tercer orden (estrictamente propio), puede ser descripto por la siguiente función de transferencia:

Esto es:

Llamemos una variable intermedia Z(s) como: (*) Y por lo tanto, la salida será:

Tomando la ecuación (*), tenemos: Que antitransformándola por Laplace será:

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La cual podemos construir como diagrama de bloques de la siguiente manera con integradores puros:

Usando la ecuaci贸n y antitransform谩ndola tenemos:

Y por lo tanto podemos completar el diagrama de bloques como sigue: Eligiendo ahora como variables de estado la salida de cada integrador: Obtenemos la representaci贸n por variable de estado can贸nica de controlabilidad: 5


Observamos que las matrices en la FORMA CANÓNICA DE CONTROLABILIDAD posee las siguientes formas: la matriz A contiene en su primera fila los coeficientes del polinomio denominador de la función de transferencia con los signos cambiados, sigue inmediatamente abajo una matriz identidad de (n1)x(n-1), siendo n el orden del sistema, completado con un vector columna nulo. el vector columna B es un vector cuyo primer elemento es 1, y los restantes componentes 0. el vector fila C es un vector que contiene los coeficientes del polinomio numerador de la función de transferencia del sistema.

Es fácilmente demostrable que estas características de las matrices se mantiene con sistemas de mayor orden.

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La observabilidad es la medida de que tan bien los estados internos de un sistema pueden ser inferidos conociendo las salidas externas. La observabilidad y la controlabilidad son matemรกticamente duales.

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Partamos nuevamente de la función de transferencia suponiendo aquí también un sistema de tercer orden: Por lo tanto: Que si antitransformamos por Laplace, tenemos:

En un principio contamos con la señal u en todo momento, y supongamos tener también la señal de salida y. Si a la señal u la multiplicamos por la constante b0 y le restamos la señal y multiplicada por a0, esto deberá ser: Si esa señal así evaluada la integramos, el resultado será: a la que nuevamente le podemos sumar la señal u multiplicada por b1 y restar la señal y multiplicada por a1, quedando: Que nuevamente podemos integrar dando: A la que podemos sumar la señal u multiplicada por a2 y restar la señal y multiplicada por b2, quedando: Que integrándola obtenemos y que es la señal que debíamos determinar en un principio.

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Todo este proceso lo podemos graficar con el siguiente diagrama de bloques:

Llamando la salida del 煤ltimo integrador x1, la salida del integrador del medio x2 y la salida del primer integrador x3, obtenemos la representaci贸n por variable de estados del sistema en su forma can贸nica de observabilidad, que es:

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Las matrices en la FORMA CANÓNICA DE OBSERVABILIDAD posee una forma con una especie de simetría con el de la forma canónica de controlabilidad.

Podemos decir que en la forma canónica de observabilidad las matrices del sistema poseen las siguientes características: La matriz A contiene en su primera columna los coeficientes del polinomio denominador de la función de transferencia con los signos cambiados, sigue inmediatamente a la derecha una matriz identidad de (n-1)x(n-1), siendo n el orden del sistema, completado hacia abajo con un vector fila nulo.

El vector columna B es un vector que contiene los coeficientes del polinomio numerador de la función de transferencia del sistema. El vector fila C es un vector cuyo primer elemento es 1, y los restantes componentes 0. De igual manera que en la forma canónica de controlabilidad, es fácil demostrar que estas características de las matrices se mantienen con sistemas de mayor orden.

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La forma canónica modal consiste en llevar a la matriz A de la representación por variable de estado a su forma diagonal. Supongamos que su función transferencia lo podemos descomponer en fracciones simples de la siguiente manera:

donde li son las raíces del polinomio denominador y Ci son sus respectivos residuos. Por simplicidad, vamos a suponer que estas raíces son todas distintas entre sí. Entonces la relación entre la entrada y salida del sistema lo podemos describir como:

Si llamamos:

Resulta ser:

Antitransformando por Laplace las ecuaciones, obtenemos

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Que ya es la descripción por variable de estado. Podemos describir estas ecuaciones en un diagrama de bloques de la siguiente manera:

Como puede observarse del diagrama de bloques, cada variable de estado elegida de esta manera se encuentra aislado de los otros estados, y se mueven en forma independiente unos de otros. Se dice que cada una de las variables de estado está asociado a un modo del sistema: l1, l2, o l3 (que son las raíces del polinomio denominador de la función de transferencia del sistema y que coinciden también con los autovalores de la matriz A). Por esta razón esta forma canónica se la denomina modal. En esta forma canónica, la representación por variables de estado en forma matricial es:

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Observar en este caso que la forma que posee A es la de una matriz diagonal, el vector B es un vector que posee todos sus elementos iguales a 1, y el vector fila C posee como elementos cada uno de los residuos Ci. Para sistemas de mayor orden la obtenci贸n de la forma can贸nica modal se desarrolla de manera semejante. Cuando la matriz A posee autovalores que se repiten, entonces puede ser que dicha matriz no pueda ser diagonalizable completamente. En esos casos la matriz A se la lleva a su Forma de Jordan.

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En los casos en que no es posible diagonalizar la matriz, se puede llevar la misma –a través de una transformación lineal- a la forma de Jordan, que consiste en tener en la diagonal principal los autovalores li de la matriz, y “unos” extradiagonales en bloques de Jordan en los lugares de los autovalores múltiples:

La cantidad de “unos” extra-diagonales dependerá de la cantidad de autovectores linealmente independientes que podamos obtener del autovalor múltiple. Si la multiplicidad del autovalor es k, y obtenemos l autovectores linealmente independientes para ese autovalor, entonces la cantidad m de “unos” extradiagonales será m = k – l. 16


tiene claramente rango 2 as铆 4-2 es la dimensi贸n del subespacio propio asociado a

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El rango es 1 as铆 que dimensi贸n 3 dimensi贸n 4

, luego

tiene

tiene

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De esta forma se tiene la descomposici贸n con J la matriz de Jord谩n y P la matriz de paso dadas por

Es facil comprobar que AP=PJ (que es equivalente a oa )

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ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO Entre las formas de modelar un sistema matemáticamente se encuentra la de describir al sistema mediante la representación de variables de estado. Buscar un modelo matemático es encontrar una relación matemática entre las salidas y las entradas del sistema. En particular la representación interna (representación por variables de estado) relacionarán matemáticamente las salidas con las entradas a través de las variables de estado como paso intermedio. Podemos describir en forma genérica a un sistema discreto por la siguiente representación por variable de estado: Ecuación de estado Ecuación de salida Donde k, k+1 representan los instantes consecutivos de las series de variables, x(k) es el vector de estados (discreto), u(k) es la serie del vector de entradas, e y(k) es el vector de salida todos en el instante k. Estos vectores nuevamente son de dimensión n, m y p respectivamente.

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Esta forma de representación es válida para los sistemas discretos no-lineales e invariantes en el tiempo en forma general.

ECUACIONES DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO

Si el sistema es invariante en el tiempo, las funciones f y g dejan de depender explícitamente del tiempo:

Si el sistema representado por las ecuaciones de representación por variable de estado, es un sistema lineal, la dependencia del vector de estado en un nuevo tiempo x(k+1) y la salida y(k) pasa a ser lineal:

donde A es una matriz de nxn, B es una matriz de nxm (n filas x m columnas), C es una matriz de pxn, y D una matriz de pxm, que pueden ser dependientes del instante k. Si además de lineal, el sistema es invariante en el tiempo, las matrices A, B, C y D dejan de depender del instante de tiempo k:

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De manera similar pueden definirse nuevamente aquĂ­, los sistemas propios y los sistemas estrictamente propios, y en ĂŠstos Ăşltimos consecuentemente la matriz D se hace nula (no hay transmisiĂłn directa de ninguna de las entradas a ninguna de las salidas).

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La representación en el espacio de estados de un sistema lineal en tiempo discreto e invariante en el tiempo de orden n, con r entradas y m salidas, se puede dar mediante

donde (k) es un vector –n, u(k) es un vector –r y y(k) es un vector –m, G es una matriz de nxn, H es una matriz de nxr, C es una matriz de mxn y D es una matriz de mxr. Al tomar las transformadas z de las ecuaciones anteriores, se obtiene

Observe que la definición de función de transferencia pulso exige la suposición de condiciones iniciales cero, aquí también suponemos que el estado inicial x(0) es cero. Entonces se obtiene

Esto se conoce como matriz de función transferencia pulso. Se trata de una matriz de mxr. La matriz de función de transferencia pulso F(z) caracteriza la dinámica de entrada/salida del sistema de tiempo discreto dado. 24


En vista de que la inversa de la matriz (zI-G) se puede escribir en la forma

La matriz de funcion de transferencia pulso F(z) se puede dar mediante la ecuacion

Dado que los polos de F(z) son los ceros de |zI-G|=O. esto significa que la ecuaci贸n caracter铆stica del sistema en tiempo discreto esta dada por |zI-G|=O

De los coeficientes dependen de los elementos de G. La matriz de funcion de transferencia pulso es invariante bajo una transformacion de similitud. Es decir, no depende del vector estado determinado x(k) seleccionado para la representacion del sistema.

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HUMOR

SUDOKU

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JOHANA ALEJO

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