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Escola Secundária com 3º Ciclo do Ensino Básico Dr. Joaquim de Carvalho 3080-210 Figueira da Foz

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Correcção do 1º Teste de Avaliação (12º A+F, 4 Nov. 2005) Grupo I Versão 1 1. (E) 2. (D) 3. (C) 4. (A) 5. (B)

Versão2 1. (D) 2. (B) 3. (A) 4. (E) 5. (C)

Grupo II 

1.1. Eixo dos xx: movimento uniforme:

Eixo dos yy: movimento uniformemente variado:

⇒ a y (t ) =



d vy dt

= -2 =

d vx dx = 5 = constante ⇒ a x (t ) = =0 dt dt dy y (t ) = 6t − t 2 ⇒ v y (t ) = = 6 − 2t dt

x(t ) = 5t + 2 ⇒ v x (t ) =

constante

1.2.

r r r r r r (2) = (5 × 2 + 2) e x + (6 × 2 − 2 2 ) e y = 12 e x + 8 e y (m) ; r r r r r (0) = (5 × 0 + 2) e x + (6 × 0 − 0 2 ) e y = 2 e x (m) ; r r r r r r r r Logo ∆r = r ( 2) − r (0) = (12 e x + 18 e y ) − 2 e x = 10 e x + 8 e y (m) r 2 2 A distância corresponde ao módulo do deslocamento: ∆r = 10 + 8 ≈ 12,8 m



1.3.



1.4. A “rapidez” de variação da posição corresponde ao módulo da velocidade.

r r r r r r ∆r 10 e x + 8 e y vm = = = 5 e x + 4 e y (m s -1 ) ∆t 2−0

r r r r dr Derivando o vector posição, obtém-se a velocidade: v (t ) = = 5 e x + (6 − 2t ) e y (SI) dt r r r r r r -1 v (1) = 5 e x + (6 − 2 × 1) e y = 5 e x + 4 e y (m s ) logo v (1) = 5 2 + 4 2 ≈ 6,4 m s -1 r r r r r r v (4) = 5 e x + (6 − 2 × 4) e y = 5 e x − 2 e y (m s -1 ) logo v (4) = 5 2 + (−2) 2 ≈ 5,4 m s -1 No instante t = 1 s a posição varia mais rapidamente (maior módulo da velocidade).

r v (t ) = 5 2 + (6 − 2t ) 2

em que

r v (t ) = Y

e

t = X.

Módulo da velovcidade / m s-1

Para esboçar o módulo da velocidade em função do tempo introduzse a seguinte função na calculadora:

Rapidez versus Tempo 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

Tempo / s

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4

5


Correcção do 1º teste de Física – 12º A+F – 02/11/2005 

Professor: Carlos Portela

1.5. A “rapidez” de variação do módulo da velocidade corresponde ao valor algébrico da aceleração tangencial: é igual ao declive da tangente ao gráfico do módulo da velocidade em função do tempo. Módulo da velocidade:

r v (t ) = 5 2 + (6 − 2t ) 2 = 61 − 24t + 4t 2 (SI) Rapidez versus Tempo

Pode, portanto, a partir da função escrita na linha anterior, calcular o declive da tangente ao gráfico nos instantes t = 2 s e t = 5 s : Declive da tangente ao gráfico no instante

Módulo da velovcidade / m s1

10

t = 2 s : a t (t = 2 s) ≈ -0,74 m s -2 Declive da tangente ao gráfico no instante

t = 5 s : a t (t = 5 s) ≈ 1,25 m s

-2

Qual o significado físico dos valores anteriores? No instante t = 2 s , o módulo da velocidade

9 8

7 6

y = 1,249x + 0,158 5

4 0

1

3Tempo / s4

2

0,74 m/s em cada enquanto no instante t = 5 s , o módulo da velocidade aumenta a

diminui a um ritmo de segundo,

y = -0,74x + 6,87

um ritmo de

segundo. A variação do módulo da velocidade é, portanto, mais rápida no instante Em alternativa, podem ser feitos os cálculos:

a t (t = 2 s) ≈ -0,74 m s -2 

e

a t (t ) =

r d v (t ) dt

6

1,25 m/s em

7

cada

t = 5s.

− 12 + 4t

=

5

61 − 24t + 4t 2

a t (t = 5 s) ≈ 1,25 m s -2

2.1. Se conhecermos a aceleração, facilmente calculamos a resultante das forças: Admitindo que o movimento do passageiro é uniforme conclui-se que

r r r Fres = ∑ F = ma .

a t (t ) = 0 m s -2

porque o módulo da

velocidade é constante. O passageiro só tem aceleração normal que, em módulo, é dada pela seguinte expressão:

an = ω 2 R

2π 2π π = = ≈ 0,21 rad s -1 . T 30 15 Na posição mais alta, a cadeira fica um pouco abaixo da periferia da roda, logo R = 12 − 1,5 ≈ 10,5 m . A velocidade angular obtém-se a partir do período:

Do que foi dito pode determinar-se o módulo da força resultante:

1,5 m r Fres



ω=

r Fres = ma n = mω 2 R = 80 × (0,21) 2 × 10,5 ≈ 36,8 N

12 m

A força e a aceleração apresentam a mesma direcção e sentido, logo a força resultante tem direcção radial e sentido centrípeto (no ponto mais alto, tal significa direcção vertical e sentido para baixo).

2.2. A balança dinamómetro responde à compressão que os pés do passageiro exercem sobre ela (supõe-se que o passageiro viaja em pé). Esta força tem a mesma intensidade da força que a balança exerce sobre o passageiro, ou seja, a reacção normal (lei da acção e reacção). Traçando o diagrama de forças e aplicando a segunda lei de Newton, tendo o cuidado de verificar que na posição mais alta o peso é centrípeto e a reacção normal é centrífuga:

∑F

n

= ma n ⇔ P − N = ma n ⇔ N = m( g − a n ) = 80 × (9,8 − 0,46) ≈ 747 N

Expressa em quilograma-força a balança marcaria

747 ≈ 76 kgf . 9,8

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reacção normal peso


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2.3. O movimento só, aproximadamente, é circular e uniforme, uma vez que a cadeira no ponto mais baixo afasta-se da periferia da roda para fora e no ponto mais alto esse afastamento é para dentro: no ponto mais baixo a velocidade é ligeiramente maior visto o passageiro se encontrar um pouco mais afastado do centro da roda (o raio do movimento é ligeiramente maior): v = ωR A relação entre as duas velocidade pode ser traduzida pelo seu quociente:

v baixo ω Rbaixo Rbaixo 12 + 1,5 = = = ≈ 1,17 valto ω Ralto Ralto 12 − 1.5

r N

A velocidade no ponto mais baixo é cerca de 1,17 vezes maior do que no ponto mais alto. 



2.4. Opção I: no ponto P a resultante das forças deve ser centrípeta logo deve ter direcção horizontal e apontar para a direita (A variação do módulo da velocidade resultante da variação do raio do movimento pode ser desprezada, dado que é um efeito pequeno e essa variação é lenta, considera-se, portanto que a aceleração tangencial é nula.) 3.1. A energia cinética mínima ocorre no ponto em que a velocidade for mínima, ou seja, no ponto mais alto da trajectória: que

vx

v y = 0 ⇒ v min = v x = v0 x

r Fres r P

v0

uma vez

é constante (não há forças no eixo dos xx).

v0 y

37º

Cálculo do módulo da velocidade mínima:

v0 x E c = 12 mv 2 ⇔ 25 = 12 × 0,5 × v 2 ⇔ v min = 10 m s -1 . A partir de v 0 x e com o conhecimento do ângulo de lançamento pode determinar-se o módulo da velocidade inicial: 

v0 x = v 0 cos37º ⇔ 10 = v 0 cos37º ⇔ v0 ≈ 12,5 m s -1

3.2. Escrever as equações paramétricas implica conhecer as condições iniciais: posição inicial ( x 0 e velocidade inicial ( v 0 x e

v0 y ). Da observação da figura conclui-se que x0 = 0 m

A componente vertical da velocidade inicial obtém-se

e

y0 )

e

y0 = 2 m .

v0 y = v0 sen37º = 12,5 × 0,6 ≈ 7,5 m s -1 .

 x = x0 + v0 x t  x = 0 + 10t ⇔ (SI)   2 2  y = y 0 + v0 y t − 12 gt  y = 2 + 7,5t − 5t 

3.3.1. Com a calculadora no modo paramétrico escrevem-se as equações paramétricas do movimento. De seguida procura-se o máximo dessa função. Obtém-se



y máx ≈ 4,8 m (altura máxima) para um valor de x = 7,5 m .

3.3.1. Ao atingir a altura máxima

vy = 0 dy = 0 + 7,5 − 10t dt v y (t ) = 0 ⇔ 7,5 − 10t = 0 ⇔ t = 0,75 s

Cálculo da componente vertical da velocidade (variável no tempo): Igualando a zero obtém-se o tempo de subida:

v y (t ) =

(tempo

necessário para atingir o ponto mais alto da trajectória). Calculando a altura neste instante: 

y (0,75) = 2 + 7,5 × 0,75 − 5 × (0,75) 2 ≈ 4,8 m

(altura máxima)

3.3.2. Ao atingir o solo o valor da altura é nulo:

y (t ) = 0 ⇔ 2 + 7,5t − 5t 2 = 0

t ≈ 1,73 s ∨ t ≈ −0,23 s . No contexto deste problema só nos interessa o instante posterior ao inicial, ou seja, t ≈ 1,73 s .

Com a calculadora determina-se os zeros desta equação do 2º grau, obtendo

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Correcção do 1º teste de Física – 12º A+F – 02/11/2005 

Professor: Carlos Portela

3.4. Trajectória

y = -0.05x 2 + 0.75x + 2

y/m

r r at = 0

r an

r at

r r r a = g = an

r r a=g 

x/m

4.1.

r T′

T − PA = mA a T − mg = ma T = mg + ma ⇔ ⇔ ⇔  Mg − T = Ma Mg − mg − ma = Ma  PB − T = mB a  ________________  ________________  ⇔  M −m ( M + m)a = ( M − m) g a = M + m g 

r T

r PB

r PA

4.2.

O movimento do sistema é uniformemente acelerado:

a = 0,471 m s -2 x = x0 + v 0 t + 12 at 2 ⇔ x = 0 + 0 + 12 at 2

Substituindo os valores do deslocamento e do tempo:

1,5 = 12 a × (2,52) 2 ⇔ a ≈ 0,47 m s -2

Consideremos, por exemplo, o primeiro valor da tabela:

A aceleração foi correctamente calculada.



4.3. Como a diferença de massas é constante, a aceleração deveria ser inversamente proporcional à soma das massas. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o seu produto é constante.

a × (m + M )

m+M

a

(g)

(m s )

(g m s )

105 155 205 305

0,471 0,323 0,237 0,167

50 50 49 51

-2

-2

a=

M −m constante g⇔a= ⇔ a × ( M + m) = constante M +m M +m

(expectativa teórica) Verificando o acordo dos resultados experimentais (tabela à esquerda): Existe um acordo razoável uma vez que o produto da aceleração pela soma das massas é aproximadamente constante.

4.4.

1 /(m + M ) -1

(kg ) 9,52 6,45 4,88 3,28

a

-2

(m s ) 0,471 0,323 0,237 0,167

Utilizando a calculadora elabora-se duas listas uma com o inverso da massa e outra com a aceleração. Faz-se o gráfico da aceleração em função Atw ood do inverso da massa. Determinase a regressão linear que melhor 0.50 se ajusta aos pontos recolhidos: 0.40 y = 0.0492x + 0.0027 (em y ≈ 0,049 x + 0.0027 0.30 unidades SI) 0.20 a



0.10

Desprezando a ordenada na origem, ficaria:

 1  a ≈ 0,049 ×   m+M 

0.00 0.00

(ver gráfico à direita)

2.00

4.00

6.00

8.00

1/(m +M)

Comparando com a expressão prevista para a aceleração (ver questão 4.1.), conclui-se que:

declive = (M-m) × g ⇔ 0,049 ≈ 0,005 × g ⇔ g ≈ 9,8 m s -2 Página 4 de 4

10.00


Teste 1 - F12 - 05/06 - correcção