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UN MÉTODO DE PASOS MÚLTIPLES MÉTODOS NUMERICOS

J OHN G ERSON L IZARAZO N . D ANIEL A LEXANDER M OLINA R INCÓN C ARLOS G IOVANNI A VENDAÑO Q UIRÓZ


Un Método de Pasos Múltiples Partimos de la Ecuación Diferencial con valores iniciales: (1)

C ORRECTOR – PREDICTOR ADAMS MOULTON Conocido como uno de los mejores métodos de pasos múltiples, en el cual se usan como parámetros los puntos conocidos. Supóngase que se integra ɸ´(t) desde tn hasta tn+1; entonces

ɸ( tn+ 1 ) - ɸ(tn ) =

(2)

Si se supone que se conocen ɸ (tn - 3), ɸ (tn - 2), ɸ (tn - 1), y ɸ (tn), entonces pueden calcularse ɸ´ (tn - 3),………., ɸ´ (tn) a partir de la ecuación (1). Luego procedemos a aproximar ɸ´ (t) por un polinomio de grado tres que pase por los cuatro puntos [tn-3, ɸ´ (tn - 3)], [tn-2, ɸ´ (tn - 2)], [tn-1, ɸ´ (tn - 1)], [tn, ɸ´ (tn)].


Fórmula Predictora

A dams Bashfort h

yn+1 = yn + (h/24) (55 y´n – 59 y´n -1 + 37 y´n -2 – 9 y´n -3). Predice el valor aproximado yn+1 proporcional a .

de

(3)

ɸ(t) en tn+1. Su error local por truncamiento es

•Se ajusta un polinomio de grado p a los p+1 puntos. (tn-p, y´n-p),………, (tn, y´n). •Este polinomio de interpolación se integra sobre un intervalo en t que termina en t n+1, con lo que se obtiene una ecuación para yn+1.

•F ormula

de milne

yn+1 = yn-3 + (4h/3) (2 y´n – y´n -1 + 2 y´n -2).

(4)

*


Fórmula Correctora

A DAMS MOULTON

Además de la fórmula predictora * encontramos la encargada de mejorar el valor de y n+1 predicho por la ecuación (3). Se deduce al integrar ɸ´(t) desde tn hasta tn+1 si se usa un polinomio de interpolación que pase por los puntos puntos [tn-2, ɸ´ (tn - 2)], [tn-1, ɸ´ (tn - 1)], [tn, ɸ´ (tn)], [tn+1, ɸ´ (tn+1)]. En el cálculo real, se usan los valores aproximados y ´ n -2, y ´ n -1, y ´ n e y ´ n+1 de ɸ´(t) en tn2, tn-1, tn, tn+1, y se evalúa y´ n+1 = f (tn+1, y n+1) usando el valor de y n+1 determinado por la ecuación (3).

yn+1 = yn + (h/24) (9 y´n+1 + 19 y´n - 5 y´n -1 + y´n -2)

*

(5)

Sin embargo, la constante de proporcionalidad en la cota del error para la fórmula correctora (5) es aproximadamente 1/15 de la constante de proporcionalidad en la cota del error para la fórmula predictora (3).


Síntesis - fórmula Correctora

En RESUMEN, primero se calcula y1, y2 e y3 mediante una fórmula de arranque con un error local por truncamiento no mayor a h^5. Luego se pasa a la formula predictoría (3) para calcular y n+1, n ≥ 3, y a la formula correctora (5) para corregir y n+1. Se sigue corrigiendo y n+1 hasta que el cambio relativo sea menor que un error permisible prescrito.


Aplicaci贸n


Aplicar el método Predictor – Corrector

de Adams – Moulton, con h = 0.1 para determinar un valor aproximado de la solución exacta de y = ɸ´(t) en t = 0.4 para el problema con valor inicial. (6)

=1–t +

4 y,

y (0)

=

1.

Como datos iniciales usamos y1, y2 e y3 determinados con el método de Runge ecuación (6) tenemos:

Kutta.

De igual forma si aplicamos la

y0 = 1

y´0 = 5

y1 = 1.6089333

y´1 = 7.3357332

y2 = 2.5050062

y´2 = 10.820025

y3 = 3.8294145

y´3 = 16.017658


De acuerdo a la ecuación (3) se encuentra que el valor predicho de y

A

continuación, se aplica la fórmula correctora (5) para corregir

4

es

y 4. Con

correspondencia al valor predicho de y 4, a partir de la ecuación (6), se encuentra que y´ 4 = 23.734524. Entonces por la ecuación (5), el valor corregido de y4 es

El valor exacto, correcto hasta ocho dígitos, es 5.7942260.Nótese que el

aplicar una vez la fórmula de corrección, el error en y4 se reduce aproximadamente a la séptima parte del error anterior a su aplicación.



Presentación método de pasos múltiples