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ANALISIS ESTRUCTURAL II (Dinámica Estructural)

- OBTENCION DE LA RESPUESTA DINAMICA SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD (SDOF)

PRESENTADO POR: CARLOS DAVID MONTILLA OSPINA – 1094929503

REVISADO POR: LEONARDO CANO SALDAÑA INGENIERO CIVIL - M.s.c INGENIERÍA SÍSMICA TITULAR DE LA ASIGNATURA DE DINAMICA ESTRUCTURAL

PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL

ARMENIA 24/09/2013


DINAMICA ESTRUCTURAL “Sistema de un Grado de Libertad” Obtención de la Respuesta Dinámica

Presentado por: Carlos David Montilla Ospina

Armenia, 24 de septiembre de 2013 Ing. Leonardo Cano Saldaña

Por medio de la presente, se hace entrega del informe de resultados y los cálculos de respuesta, de dos tipos de excitaciones en la base (Aleatoria y Armónica) para un sistema de un grado de libertad (SDOF), a través de la integral de convolucion mediante el desarrollo de Métodos Numéricos (Método de Simpson y Método de Aceleración Lineal). El documento incluye también la información grafica del procesamiento de señales en el software NonLin y memorias de cálculo en Excel para la comprobación y corrección del procedimiento en caso de ser necesario.

Luis Miguel Martínez Londoño C.C.: 1.094.915.783

Carlos David Montilla Ospina C.C:1.094.929.503

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INDICE Pág. 1. Introducción………………………………………………………….5 2. Alcance……………………………………………………………….6 3. Marco Teórico………………………………………………………...7 4. Objetivos……………………………………………………………..10 4.1.

Objetivo General…………………………………………….10

4.2.

Objetivos Específicos…………………………………….....10

5. Metodología………………………………………………………….11 6. Resultados…………………………………………………………..15 7. Comparación con NonLin…………………………………………16 8. Ejercicio de aplicación……………………………………………..19 9. Conclusiones…………………………………………………..…....20 10. Bibliografía……………………………………………………..…….23 11. Anexos………………………………………………………………..24 11.1. Resumen “IV Foro Argos 360° en Concreto”……………..24 11.2. Código Fuente de los Métodos Numéricos en Excel……25

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APENDICE Pág. Tabla N°1. Datos Iniciales del Sistema……………………………………………………………………………………11 Tabla N°2. Datos de la excitación en la base…………………………………………………………………………….11 Tabla N°3. Lectura de aceleraciones del sismo “Loma Prieta Oakland……………………………………………….12 Tabla N°4. Datos de la excitación armónica……………………………………………………………………………..12 Tabla N°5. Resultados de la respuesta dinámica al sismo. (Método de Simpson)…………………………………13 Tabla N°6. Resultados de la respuesta dinámica a la excitación armónica. (Método de Simpson)………………13 Tabla N°7. Resultados de la respuesta dinámica al sismo. (Método de la Aceleración Lineal)…………………..14 Tabla N°8. Resultados de la respuesta dinámica a la excitación armónica. (Método de la Aceleración Lineal)…14 Tabla N°9. Resultados de las excitaciones en la base, para los dos métodos numéricos…………………………15 Tabla N°10. Resultados de la respuesta dinámica del ejercicio de aplicación (Método de la Aceleración lineal)..20 Grafico N°1.Excitacion Armónica en la base……………………………………………………………………………..12 Grafico N°2. Comparación de las graficas de Aceleración del sistema……………………………………………...17 Grafico N°3. Comparación de las graficas de Velocidad del sistema………………………………………………..18 Grafico N°4. Comparación de las graficas de Desplazamiento del sistema…………………………………………18 Grafico N°5. Desplazamiento del sistema………………………………………….……………………………………..21 Grafico N°6. Velocidad del sistema………………………………………….…………………………………………….21 Grafico N°7. Aceleración del sistema………………………………………….………………………………………….21 Imagen N°1. Introducción de los datos iniciales del sistema a NonLin……………………………………………….16 Imagen N°2. Introducción del sismo ”Loma Prieta Oakland”…………………………………………………………..16

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1. INTRODUCCION Los registros de excitación dinámica arbitrarios (sismo, viento, explosiones, etc.), en general, son extensos y con un alto grado de complejidad. Dichas excitaciones generan reacciones en la estructura que varían en función del tiempo. Por esta razón, se hace necesario el análisis de estas señales y ver la respuesta de la estructura ante estas fuerzas, para ello la integral de convolucion nos permite abordar este análisis, la cual según la complejidad de la señal, requiere del uso de Métodos Numéricos que facilitan el cálculo de dichas respuestas con el uso de técnicas y herramientas de cómputo apropiadas. Estas técnicas son validas para el análisis de señales, tanto armónicas como aleatorias, bajo el supuesto de que la muestra de datos corresponde a impulsos de gran magnitud y duración relativamente corta, teniendo en cuenta también que los conjuntos de datos en el muestreo son discretos, es decir, no presentan continuidad sino que se toman en intervalos de tiempo muy cortos.

En siguiente informe, se desarrollaran los Métodos numéricos de Simpson y Aceleración Lineal para obtener la solución a la Integral de Convolucion y la respectiva respuesta de una estructura de especificaciones variables (m, f, T, w, etc…) ante dicha señal, así como la comparación de estos resultados con el software NonLin.

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2. ALCANCE

El presente informe se restringe a mostrar los resultados del análisis de respuesta dinámica para un sistema de un grado de libertad. Los algoritmos numéricos utilizados en los cálculos respectivos solo no se aplican para condiciones de excitación en sistemas de varios grados de libertad.

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3. MARCO TEORICO Cuando un sistema lineal con amortiguamiento se somete a una excitación arbitraria en términos de fuerza, es posible dividirla en una serie de impulsos aplicados en un tiempo

, siendo un conjunto de valores

discretos con intervalos de duración impulsos

diferenciales

variando

. Al integrar el efecto de estos se

obtiene

para

un

caso

de

amortiguamiento la ecuación

Conocida como la integral de convolucion o de Duhamel y que corresponde a la solución particular del sistema, y provienen de superponer el efecto de la respuesta de una serie de cargas impulsivas de corta duración.

Método de la aceleración lineal: Cuando se busca calcular la respuesta mediante una secuencia de pasos, generalmente se conoce el desplazamiento de la masa, su aceleración y velocidad para un instante t dado, obteniendo de igual manera su desplazamiento, velocidad y aceleración en un intervalo de tiempo ∆t. Suponiendo que el desplazamiento de la masa es rectilíneo con una aceleración constante a, su respectiva velocidad esta dada por la expresión

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Donde

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es la velocidad al comienzo del intervalo. Integrando

nuevamente se obtiene el espacio recorrido durante el intervalo de tiempo ∆t:

Donde

es el espacio recorrido hasta dicho intervalo de tiempo.

Asumiendo un sistema lineal que se afecta con una fuerza variable respecto al tiempo, su comportamiento se describe mediante la ecuación diferencial

Como la aceleración varía linealmente con el tiempo, entonces

Integrando se obtiene que

Al evaluar la velocidad en

, para una velocidad final en el intervalo

se obtiene que (A) Integrando la ecuación de velocidad se obtiene el desplazamiento

Y evaluando al final del intervalo

: (B)

La ecuación de equilibrio resultante al final de intervalo es

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Por lo tanto, la aceleración al final del intervalo es (C)

Los intervalos deben ser lo suficientemente pequeños para garantizar que la respuesta sea evaluada apropiadamente.

Método de Simpson: Una forma de aproximar una integral definida en un intervalo [a,b] es utilizando la regla del trapecio, que consiste en aproximar un f por un polinomio de primer grado sobre cada sub intervalo en el que se divide [a,b] , y posteriormente se calcula la integral como una suma de las áreas de los trapecios formados en esos sub intervalos . El método utilizado para la regla de Simpson sigue la misma filosofía, pero aproximando los sub intervalos de f mediante polinomios de segundo grado. En términos generales, la aproximación de la integral está dada por la forma

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4. OBJETIVOS

4.1.

OBJETIVO GENERAL

-

Obtener la respuesta dinámica de un sistema de un grado de libertad para una excitación en la base de tipo Aleatoria y Armónica.

4.2.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

-

Desarrollar los Métodos Numéricos de Aceleración lineal y Simpson para la solución de la Integral de Convolucion.

-

Comparar los resultados obtenidos con el software NonLin.

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5. METODOLOGIA El proceso llevado a cabo de la aplicación de los métodos numéricos para la solución de la integral de convolucion es el siguiente:

-

Definir las variables de entrada del sistema:

Tabla N°1. Datos iniciales del Sistema.

*Los valores digitados anteriormente se escogieron para facilidad del cálculo.

-

Establecer los tipo de señal (Aleatoria y Armónica):

Señal Aleatoria:

Tabla N°2. Datos de la excitación en la base.

Para este caso se escogió un sismo proveniente de la base de datos del software NonLin denominado con el nombre “Loma Prieta Oakland)“, cuya lectura de los datos de aceleraciones, tienen un intervalo de tiempo de 0.02 (s) para 2000 datos.

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Tabla N°3. Lectura de aceleraciones del sismo “Loma Prieta Oakland”.

Señal Armónica:

Grafico N°1. Excitación Armónica en la base.

Tabla N°4. Datos de la excitación armónica.

*Los valores digitados anteriormente se escogieron para facilidad del cálculo.

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Posteriormente se desarrolla la programación de los dos métodos numéricos:

-

Método de Simpson: Para el desarrollo de este método numérico, se tienen en cuenta las siguientes variables:

Tabla N°5. Resultados de la respuesta dinámica al sismo. (Método de Simpson).

Tabla N°6. Resultados de la respuesta dinámica a la señal armónica. (Método de Simpson).

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Método de la Aceleración Lineal: Para el desarrollo de este método numérico, se tienen en cuenta las ecuaciones (A), (B) y (C):

Tabla N°7. Resultados de la respuesta dinámica al sismo. (Método de Aceleración Lineal).

Tabla N°8. Resultados de la respuesta dinámica a la señal armónica. (Método de Aceleración Lineal).

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6. RESULTADOS Los resultados obtenidos de los métodos numéricos para los diferentes tipos de excitación son los siguientes:

Tabla N°9. Resultados de las excitaciones en la base, para los dos métodos numéricos. Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil

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7. COMPARACION CON EL NONLIN Para efectos de simplicidad solo se compara los resultados obtenidos mediante el método de aceleración lineal:

-

Se introducen los datos iniciales que se establecieron en el sistema inicial:

Imagen N°1. Introducción de los datos iniciales del sistema a NonLin.

-

Se carga el sismo (“Loma Prieta-Oakland”):

Imagen N°2. Introducción del sismo “Loma Prieta Oakland”.

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Y finalmente se obtiene la respuesta del sistema; estos resultados son comparados gráficamente con los obtenidos en Excel:

Grafico N°2. Comparación de las graficas de Aceleración del sistema.

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Grafico N°3. Comparación de las graficas de Velocidad del sistema.

Grafico N°4. Comparación de las graficas de Desplazamiento del sistema. Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil

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8. EJERCICIO DE APLICACIÓN Para el siguiente sistema de un grado de libertad, con ξ=8%, sometido a una excitación en la base con una duración de 5(s), y luego queda en vibración libre. Obtenga las respuestas del sistema (Aceleración, velocidad, y desplazamiento). Intervalo de tiempo de 0.025 (s) hasta 10 (s). Xg

5000 Kg

Xg = A * Cos (w * t) 2g

0.25

1 MN/m

0.75

1.25.

1.75

t

8%

Solución: -

Determinemos el A y el w de la función de excitación: De la grafica podemos obtener el periodo del sistema, T = 1 (s), y asi obtener el w = 2*π/T = 3.1216 (rad/s). Luego remplazamos en cualquier punto de la grafica, para obtener el A, t = 0.5 (s), Xg = 2*g = 19.62 (m/s2), entonces despejando A = 19.62 (m/s2).

Obtenidos ya estos valores, procedemos a obtener la respuesta del sistema mediante el método numérico de la Aceleración Lineal para la solución de la integral de convolucion.

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Tabla N°10. Resultados de la respuesta dinámica del ejercicio de aplicación (Método de la Aceleración Lineal).

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Teniendo en cuenta que la excitación termina a los 5 (s), los resultados son los siguientes.

Grafico N°5. Desplazamiento del sistema.

Grafico N°6. Velocidad del sistema.

Grafico N°7. Aceleración del sistema.

En las anteriores graficas se observa que cuando el sismo termina a los t = 5(s), el sistema queda en vibración libre.

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9. CONCLUSIONES o La respuesta dinámica de la estructura se logro obtener mediante el desarrollo de los métodos numéricos para la solución de la integral de convolucion. o De acuerdo a los resultados obtenidos por los diferentes métodos numéricos, en cuanto a la señal Aleatoria se vieron unas diferencias significativas en ciertos periodos de tiempo, mientras que en la señal Armónica estas diferencias fueron más pequeñas; el método más preciso para este caso sería el de la Aceleración lineal, ya que entre más pequeño sea el intervalo de tiempo, más preciso va a ser en la obtención de la respuesta. o Según la confrontación de los resultados obtenidos de la respuesta dinámica, las graficas de aceleración y velocidad del sistema, fueron muy similares a las del NonLin, sin embargo la grafica del desplazamiento presento una variación muy notable a partir de los 9 (s).

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10. BIBLIOGRAFIA 

García, Luis E. Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico. Universidad de los Andes, 1998.

Grasselli,

Matheus;

Pelinovsky,

Dmitry.

Numerical

mathematics (1ª edición). Massachusetts (USA): Jones & Bartlett Learning, 2008.

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11. ANEXOS

11.1. Resumen: IV Foro ARGOS 360o en Concreto “TENDENCIAS AL RENDIMIENTO Y MEJORA DEL CONCRETO”

Paulo Helene “Concreto de alto desempeño” Los

concretos

de

altas

prestaciones

deben

cumplir

con

tres

características fundamentales: Trabajabilidad, Durabilidad y Resistencia. El concreto de alto desempeño puede lograr una resistencia de mas de 150 MPa con ayuda de ciertas tecnologías como lo son las nanoparticulas que permiten alcanzar una resistencia casi de 800 MPa. Este concreto tiene altas densidades δ=6500 Kg/m3, y su relación agua cemento esta por debajo 0.3, además es un material que no necesita curado. Otra aspecto importante es su sustentabilidad, ya que su elaboración es fácil de construir, resistencia a la abrasión, estables, funcionales, durables y estéticas. La estructura de este concreto alcanza f’c>50 MPa y E>40 GPa, es un concreto fluido de poca exudación y sencillo, la carbonatación en el concreto reforzado es casi nula.

Enrique Pasquel “Nuevas tecnologías del concreto – Concreto Autoreparable” La deficiencia de los materiales que conforman una mezcla de concreto es una de las razones principales por las que se generan fisuras en elementos estructurales construidos con esta técnica. Solo por dar un ejemplo, Estados Unidos invierte cerca de US$20 mil millones en reparación y acondicionamiento de estructuras de concreto reforzado. Si bien en el foro se muestran técnicas de vanguardia de uso no Facultad de Ingeniería Programa de Ingeniería Civil

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masificado, algunas de estas técnicas marcaran la tendencia en el desarrollo tecnológico del concreto y mejoraran el alcance en términos constructivos a un mediano y largo plazo. Entre las técnicas mencionadas durante el foro se destaca el “Sellado autogeno” de concreto, útil para tratar fisuras muy pequeñas por medio de compuestos que contienen carbonato de calcio. Otras tecnologías comprenden la activación de mecanismos químicos o biológicos ante una solicitación mecánica súbita (como es el caso de un evento sísmico) como la incorporación de microesferas con diámetros de 0.1 mm y los encapsulados bacterianos que al ser liberados producen carbonato de calcio. Estas bacterias soportan condiciones ambientales muy adversas, entre ellas la alta alcalinidad y los cambios fuertes de temperatura y tienen potencial de aplicación en la construcción de estructuras hidraulicas. Se considera también la incorporación de minerales que sustituyan hasta un 10% del contenido de cemento como agentes expansivos y geomateriales que puedan incrementar el desempeño del concreto, tanto en su resistencia como durabilidad. En algunos casos especiales, se requerirá la implementación de microtubos de poliuretano para una mayor adherencia con la mezcla de concreto y que con ello se haga un uso eficiente de los químicos reparadores de fisuras cuando estos se activen. Otras técnicas mencionadas en el foro fueron las “Microgrietas con espesor controlado”, los “Concretos con curado interno” y los “Concretos autocompactantes con reología aplicada”.

11.2. Código Fuente de los Métodos Numéricos en Excel El código fuente se envía como documento digital en Excel.

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Analisis Estructural II (SODF)  

Documento en el cual se muestra como evaluar sistemas de un grado de libertad (SODF) mediante el desarrollo de métodos numéricos como Simpso...

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