Page 1

53

CAPITULO II

APLICACIONES PRÁCTICAS

2.1. Aplicación a la Industria del petróleo Chivilches Ayala, en su obra Investigación de Operaciones Toma de Decisiones para el Cambio plantea el siguiente problema: “En al autopista Panamericana Sur existe un grifo gasolinero que atiende a los vehículos que requieren gasolina. Los vehículos llegan con una tasa promedio de 30 por hora, y la atención se realiza con una tasa de 36 por hora” (1). Se desea calcular (*): 1. Probabilidad de que no haya vehículos en el sistema. 2. Número promedio de vehículos en la fila. 3. Tiempo promedio de espera de los vehículos en la cola. 1

(*)

()

CHIVILCHES AYALA, Luís … Investigación de Operaciones Toma de Decisiones para el Cambio.- Lima: Editorial Fondo, 2003. Cap. XI, p. 512. Cálculos formulados por los autores.


54

4. Tiempo promedio de espera de los vehículos en el sistema. 5. Número promedio de vehículos en el sistema. 6. Probabilidad de que un vehículo que llega tenga que esperar. 7. Probabilidad de que haya más de 3 vehículos en el sistema. 8. Utilización del grifo.

Solución: Como el problema trata sobre un sistema de colas de un solo canal y una sola línea M/M/1 y vemos que cumple con todas las condiciones para este tipo sistema, es decir: μ>λ

1. Cálculo de la probabilidad de que no haya vehículos en el sistema. Para ello empleamos las ecuaciones 7 y 8 indicados en el primer capitulo del presente trabajo. Datos:  : Tasa promedio de llegadas = 30

 : Tasa promedio de servicio = 36 Calculamos la intensidad del tráfico: 

 30   0.8333  36

Ahora la probabilidad de que no haya clientes en el sistema, está dado por: P0  1    1  0.8333  0.1667

P0  0.1667


55

Interpretación: Aproximadamente 17% de tiempo un vehículo que llega no tiene que esperar, en otras palabras 83% del tiempo un vehículo tiene que esperar. 2. Cálculo del número promedio de vehículos en la fila. Usamos la ecuación 9. L( q ) 

Interpretación:

El

(0.8333) 2 2   4.17 1  1  0.8333

grifo,

en

promedio

puede

hacer

esperar

aproximadamente 4 vehículos sin incluir el que está siendo atendido. 3. Cálculo del tiempo promedio de espera de los vehículos en la cola. Empleamos la ecuación 10. W (q) 

L( q ) 4.17   0.116  36

Interpretación: En promedio un vehículo tiene que esperar 0.116 horas (aproximadamente 7 minutos), en la fila antes de ser atendido por el personal del grifo. 4. Cálculo del tiempo promedio de espera de los vehículos en el sistema. Para realizar este cálculo usamos la ecuación 11. W  W (q) 

1 1  0.116   0.144  36

Interpretación: En promedio un vehículo invierte 0.144 horas (aproximadamente 7 minutos) desde que llega hasta que sale. 5. Cálculo del número promedio de vehículos en el sistema. Usamos la ecuación 12. L    W  (30)(0.144)  3.42


56

Interpretación: En promedio existe un total de 4 vehículos en la estación del grifo, ya sea esperando o en atención.

6. Cálculo de la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar. Usando la ecuación 13. P( w)  1  P0  1  0.1667  0.8333

Interpretación: Aproximadamente 83% del tiempo un vehiculo que llega tiene que esperar, es decir debe esperar 5 minutos con 49 segundos. 7. Cálculo de la probabilidad que haya más de 3 vehículos en el sistema. Empleamos la ecuación 14 y de acuerdo a la condición que dice que haya más de 3 vehículos en el sistema, entonces esto equivale a: P( 0)  ( 0.8333) 0  0.1667  0.1667

P(1)  ( 0.8333)1  0.1667  0.1389 P( 2)  ( 0.8333) 2  0.1667  0.1158

P(3)  ( 0.8333) 3  0.1667  0.09646

...  ... Ahora sumando las cuatro probabilidades nos resulta 0.52 Interpretación: La probabilidad de que no haya tres vehículos es de 52%. 8. Cálculo de utilización del grifo. Para realizar este cálculo usamos la ecuación 15. U    0.8333


57

Interpretación

(**)

: Aproximadamente 83% del tiempo el grifo está

ocupado, es decir si la atención es las 24 horas del día, el grifo se encuentra desocupado 4 horas aproximadamente.

2.2. Aplicación a la Mecánica Raffo Lecca

(2)

. Investigación de Operaciones solucionario de Taha,

haciendo una modificación al problema. Se tiene: Cierta unidad de propulsión de tubería, que opera continuamente sobre una base de 24 horas, requiere servicio en intervalos de tiempo exponenciales con tiempo medio entre descomposturas igual a 20 horas. Un mecánico puede dar servicio a un propulsor descompuesto en 10 horas en promedio, con tiempo de servicio exponencial, cada mecánico recibe un salario de $7.00 por hora. Se estima que las pérdidas en el programa de tubería ascienden a $15.00 por hora, por bomba descompuesta. La compañía considera contratar a otro mecánico. Se desea calcular: a. Determinar el ahorro en costos por hora que se logrará si se contrata a otro mecánico. b. Calcular la pérdida en el programa en unidades monetarias por descompostura con dos técnicos en servicio. c. ¿Cuál es la pérdida en el programa en unidades monetarias por descompostura con tres mecánicos en servicio?.

2

()

RAFFO LECCA, E. … Investigación de Operaciones.- Lima. Tomo 2. Solucionario de Taha, Edit. Raffo Lecca. 1996, Cap. VI, P.393. (**) Todas las interpretaciones son propias de los autores.


58

Solución: Primero según los datos del problema identificamos el tipo de modelo para seleccionar las fórmulas a usar, este problema se relaciona con un modelo de cola simple de población finita y refiriéndonos al costo total, para hacer este cálculo usamos la siguiente ecuación: P0 

1 M! * n  ( M  n )! n0

LM 

M

1  P0 

Identificando el modelo, se tiene (M/M/s): (DG/M/M) y luego se identifican los datos. Población del universo: M = 10, Costo por servidor por unidad de tiempo: Cs = $7.00 por hora. Costo por cliente por unidad de tiempo: Cw = $15.00 por bomba por hora Rango medio de llegadas:   Rango medio de servicio:  

1 20

1 10

Número de servidores: C = 2, L: Número esperado de clientes en el sistema Reemplazando en las fórmulas se tiene: P0  3,

L=6 Costo  Cs .C  Cw. L  7 * 2  15 * 6  $104.00

a. Cálculo de ahorro de costos por hora, cuando se contrata otro mecánico. C= 3, L =

4.5 Costo  Cs .C  Cw. L  7 * 3  15 * 4.5  $88.50


59

Entonces el ahorro es $104.00 menos $88.50, es decir el ahorro por hora que se logrará si se contrata a otro mecánico es $11.50 por hora. b. La pérdida con dos mecánicos, se traduce en: Acumulación = Entrada - Salida Acumulación = 10 máquinas.*1/20 - 2 mecánicos*1/10 Acumulación = 0.30 máquinas/hora. Generando un incremento por hora de 0.3 máq. /hora* $15/ hora igual a $4.50/hora. c.La pérdida en unidades monetarias con tres mecánicos es: Cw*L = 15*4.5, es decir se pierde $67.50

2.3. Aplicado a la Campaña de Salud. Raffo Lecca (3), nos ayuda plantear el siguiente problema: Los pacientes llegan a un hospital, donde se está brindando un apoyo social por una semana para poder curarse de las diversas enfermedades que padecen, según una distribución de Poisson a una tasa de 30 pacientes por hora. La sala de espera no da cabida a más de 14 pacientes. El tiempo de auscultación por cada paciente es exponencial con una tasa media de 20 por hora. Se desea: a. Determinar la tasa efectiva de llegada al hospital b. Determinar la probabilidad de que un paciente que llegue al hospital no tendrá que esperar.

3()

E. RAFFO LECCA … Op.Cit. – Cap. XI. Pp. 506 - 507


60

c. ¿Cuál es el tiempo de espera estimado hasta que un paciente pueda salir del hospital?

Solución: Siempre debemos extraer los datos e incógnitas para identificar el modelo correspondiente y luego hacer uso de las ecuaciones correspondientes. Tasa promedio de llegadas  : = 30 Tasa promedio de servicio  : = 20 N : 15

Este problema corresponde a un modelo de cola finita cuya notación está dado por: M/M/1: GD/N/α (***). Este problema fue resuelto por Raffo Lecca (4), usando las ecuaciones que se indican a continuación. a. Cálculo de la tasa efectiva de llegada al hospital. λ ef  λ  (1  PN ) 

PN 

PN 

 30   1.5  20 1  1   N 1

1  1 .5 151

1  (1.5)

. N

.(1.5)15  .0334

Ahora la tasa efectiva es: λ ef  λ  (1  P N )  30(1  0.334)  19.98

4

(***)

Para entender mejor este tipo de modelo, se debe revisar el texto te Raffo Lecca (1996), Cap. VI, Pp. 297- 298. () Idem.


61

b. Cálculo de que un paciente que llegue al hospital no tendrá que esperar. P0 

P0 

1  1   N 1

1  1 .5 1  (1.5)15 1

 7.6 * 10  4

Todas las veces que llegue el paciente tendrá que esperar. c. Cálculo del tiempo estimado hasta que un paciente pueda salir del hospital. W

L λ(1  PN )

Además se tiene que: L

L

 (1  ( N  1)  N  N N 1 ) (1   )(1   N 1 )

1.5(1  (15  1)(1.5)15  15(1.5)15 1 ) (1  1.5)(1  (1.5)15 1 )

 13.0244

Ahora reemplazando en la primera ecuación se tiene: W 

13.0244  0.652 30(1  0.334)

Aproximadamente el tiempo total desde que entra hasta que salga es de 0.652horas, es decir demora en total 39 minutos con 7 segundos.

2.4. Aplicación al Comercio. Solow M.(5). Una cafetería tiene una capacidad máxima de asientos para 50 personas: Los clientes llegan a una distribución de poisson a la tasa de 10

5

()

SOLOW MATHUR… Investigación de Operaciones. México: Edit. Prentice Hall Hispanoamericana S. A, 1996. Cap. VII, p. 320.


62

por hora y, son atendidos a la tasa de 12 por hora. Por simplicidad, suponga que los clientes son atendidos uno a la vez por un mesero. Se pide: a. ¿Cuál es la probabilidad que el próximo cliente no coma en la cafetería por que esta se encuentra llena? b. suponga que tres clientes desean sentarse juntos (con tiempos de llegada aleatorios).¿Cuál es la probabilidad que no pueda cumplirse su deseo? (Suponga que se pueden hacer arreglos para sentarlos juntos, siempre y cuando se tengan 3 asientos vacíos en cualquier lugar de la cafetería.)

Solución Primeramente obtenemos los siguientes datos: N = 50 Tasa promedio de llegadas  : 10 Tasa promedio de servicio  : 12 Este problema también se trata de modelo de cola finita, cuya notación es: (M/1): (GD/N/α). a.

Cálculo de la probabilidad de que el próximo cliente no coma en la cafetería. La intensidad del tráfico es: 

 10   0.833  12

P0 

P0 

1- ρ 1- ρ

N 1

1- ρ 1 - ρN 1 1  0.833

1  ( 0.833) 501

 0.167


63

Entonces: P0 = 0.167 La probabilidad de que no coma el próximo cliente es 17%, esto significa que todavía debe comer el siguiente. b.

Cálculo de la probabilidad de que los tres clientes se sienten juntos. Hasta la llegada de n = 47, se pueden sentar junto con el 48 y 49, pero de allí hacia adelante, no se pueden formar tríos. P(n>47) = P48 + P49 + P50 Cálculo de las probabilidades. P48 

P49 

P50 

1- ρ 1- ρ

N 1

1- ρ 1- ρ

N 1

1- ρ 1- ρ

N 1

*N 

*N 

*N 

1  0.833 1  ( 0.833) 481

1  0.833 1  ( 0.833)

491

1  0.833 1  ( 0.833)

50 1

* ( 0.833) 48  0.00003

* ( 0.833) 49  0.00002

* ( 0.833) 50  0.00002

Remplazando los valores obtenidos en la primera ecuación tenemos: P(n>47) = 0.00007 Significa que los tres amigos si podrán sentarse juntos todavía después de la llegada 47.

2.5. Aplicación al Transporte Mathur-Solow

(6)

. Nos plantea el siguiente problema En un lote de

estacionamiento existen 10 espacios solamente. Los automóviles llegan según una distribución de poisson con un promedio de 10 por hora. El 6

()

.Ibíd.- Cap. VII, p. 327


64

tiempo de estacionamiento está exponencialmente distribuido con un promedio de 10 minutos. Determine lo siguiente. a.

Número esperado de espacios de estacionamientos vacíos.

b.

Probabilidad de que un automóvil que llegue no encontrara un espacio para estacionarse.

c. Tasa efectiva de arribos al sistema.

Solución Del problema obtenemos los siguientes datos: Tasa promedio de llegadas: λ = 10 por hora Tasa promedio de servicio: μ = 6 por hora N = 10 espacios S = 10 servidores; S = N Es un modelo (M/M/s): (DG/N/α) a. Cálculo del número esperado de espacios de estacionamiento vacios. El factor de utilización del sistema es: 

 10   1.667  6

Número de estacionamento desocupado = N – ρ N    10  1.67  8.333

Aproximadamente hay 8 espacios de estacionamiento vacíos

b.

Cálculo de la probabilidad de que un automóvil que llegue no encuentre un espacio para estacionarse.


65

P0 

P0 

1- ρ 1 - ρN 1

1  1.67 1 - (1.67)10 1

 0.0024

P N  P0 *  N P10  ( 0.0024)(1.667 )10  0.4

Generalmente un automóvil al llegar encuentra espacio para su estacionamiento, pues la probabilidad de no encontrar espacios vacíos es muy bajo aproximadamente es 0.24%. c.

Cálculo de la tasa efectiva de arribos al sistema. ef.   (1  PN )

ef.   (1  P10 )  10(1  0.4)  6

Luego se puede decir que aproximadamente llegan 6 automóviles por hora al sistema. FIN

MMI  

MMI

MMI  

MMI

Advertisement