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Matemáticas Nelson Rodríguez Juan Duarte Lizzie Zambrano Carolina Martínez


Ministra de Educación Nacional | Cecilia María Vélez White Viceministra de Educación Preescolar, Básica y Media | Isabel Segovia Ospina Directora de Calidad para la Educación Preescolar, Básica y Media |

Mónica López Castro

Subdirectora de Referentes y Evaluación de la Calidad Educativa | Heublyn Castro Valderrama

Coordinadora del Proyecto | Heublyn castro Valderrama Equipo Técnico | Clara Helena Agudelo Quintero, Gina Graciela Calderón Luis Alexander Castro , María del Sol Effio J., Francy Carranza Franco, Omar Hernández Salgado, Edgar Martínez Morales, Jesús Alirio Náspirán, Emilce Prieto Rojas, Sonia Vivas Piñeros

© 2010 Ministerio de Educación Nacional Todos los derechos reservados Prohibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión por cualquier medio de recuperación de información, sin permiso previo del Ministerio de Educación Nacional. © Ministerio de Educación Nacional ISBN libro: XXX-XXX-XXX-XXX-X ISBN obra: XXX-XXX-XXX-XXX-X Dirección de Calidad para la Educación Preescolar, Básica y Media

Subdirección de Estándares y Evaluación Ministerio de Educación Nacional Bogotá, Colombia, 2009 www.mineducacion.gov.co

Fundación Manuel Mejía Dirección General | Mauricio Perfetti del Corral Coordinación del Proyecto | Andrés Fernando Casas,Aura Susana Leal Aponte Coordinación Editorial | Erika Mosquera Ortega, Paula Andrea Ospina Patiño Coordinación logística | Catalina Barreto Garzón, Claudia Pico Bonilla, Geovana López

Lozano, Patricia Lascarro Suárez, Eliana Catalina Cruz

Asesoría Pedagógica | Angela Duarte, Solman Yamile Díaz Autores | Nelson Rodríguez, Juan Duarte, Lizzie Zambrano, Carolina Martínez. Diseño de arte y cubiertas | Wilson Giral Tibaquirá, Guido Delgado Morejón Diseño y diagramación | Víctor Gómez, Lorena Morales Ilustración | Richard Rivera Ortiz Selección y retoque fotográfico | Raquel Suárez Díaz


Presentación En el marco de los modelos flexibles que promueve el Proyecto de Educación Rural, el Ministerio de Educación Nacional consideró necesario hacer una revisión del modelo Postprimaria rural. Luego de más de 16 años de funcionamiento de este modelo, se actualizaron y complementaron los materiales pedagógicos para su implementación en procura de aumentar la calidad de la educación básica de los niños y jóvenes de la zona rural y garantizar su permanencia en el sistema educativo. La necesidad de cualificar y actualizar el modelo, realizada por la Fundación Manuel Mejía, se sustentó en los estudios realizados en el año 2005, por el Centro de estudios regionales, cafeteros y empresariales CRECE y por el Centro Regional para el Fomento del Libro en América Latina y el Caribe CERLALC, y, particularmente, en la necesidad de incorporar los avances de la política educativa de calidad, específicamente en lo relativo a los lineamientos curriculares, el enfoque de competencias y los estándares básicos de competencia, entre otros. Los materiales educativos del modelo Postprimaria rural cumplen un papel central para el desarrollo o el fortalecimiento de las competencias básicas. Es así como con esta serie de nuevas cartillas se busca que los niños y jóvenes que adelantan sus estudios de educación básica secundaria en instituciones o centros educativos con el modelo Postprimaria rural, así como sus docentes y directivos, encuentren una base para la realización de actividades pertinentes para el contexto rural con las que puedan desarrollar conceptos a través de la propuesta del aprendizaje significativo en el marco de los referentes de calidad de la política educativa.

Ministerio de Educación Nacional


Así es esta cartilla Querido estudiante: Bienvenido a este nuevo curso de Matemáticas de la Postprimaria rural. Esperamos que tu experiencia sea enriquecedora para ti y para todos los integrantes de tu comunidad educativa. Lee con atención el siguiente texto. Te ayudará a entender la forma como están organizadas las cartillas que conforman parte del material que se utilizará para el trabajo de las áreas fundamentales, de los proyectos transversales y de los proyectos pedagógicos productivos. La cartilla que tienes en tus manos, te acompañará durante todo el curso y te ayudará en tu proceso de enseñanza - aprendizaje. El conocimiento adecuado de ella te permitirá obtener un mejor desempeño y adquirir un compromiso serio que te ayude en tu formación personal. En cada uno de los módulos que componen las cartillas encontrarás unos íconos que indican el tipo de trabajo que vas a realizar.

Las actividades que se presentan cada vez que veas este ícono te disponen, en compañía de tus compañeros y compañeras, hacia el aprendizaje desde lo cotidiano y desde los conocimientos que has adquirido en años anteriores y en tu vida diaria. Estas actividades pueden considerarse la puerta de entrada al conocimiento.

Las actividades a través de las cuales se presentan nuevos conocimientos estarán acompañadas de este ícono. Es importante que pongas tu mejor esfuerzo en su realización, y que consultes con tu profesor las dudas que se te presenten. Así, tus aprendizajes y el uso que hagas de ellos te permitirán mejorar tus competencias y tus desempeños como estudiante y como ciudadano responsable, comprometido con tu comunidad y con el lugar en el que vives.

4


Identificadas con este ícono encontrarás las actividades que te permitirán dar cuenta de tus aprendizajes, ganar seguridad en el uso del conocimiento y utilizarlo en situaciones diferentes a las presentadas en las actividades en las que aprendiste algo nuevo.

Identificadas con este ícono encontrarás actividades de aplicación en las que pondrás ver que lo que has aprendido te sirve para solucionar situaciones relacionadas con tu vida cotidiana, con la ciencia que estás aprendiendo y con las otras áreas del conocimiento.

Las actividades identificadas con este ícono, te permitirán establecer tu nivel de desempeño y la forma como vas desarrollando tus competencias. El análisis de los resultados que obtengas en su realización te ayudará a identificar las acciones que puedes realizar para superar las dificultades que se hayan podido presentar o a determinar las formas de mejorar tus competencias de manera que puedas dar apoyo a tus compañeros que lo necesiten.

Si las actividades están acompañadas de este ícono, es importante que las realices solo y pongas en ellas tu mejor esfuerzo.

Cuando las actividades están acompañadas de este ícono, debes reunirte con uno o más de tus compañeros. Recuerda respetar sus opiniones y ritmo de trabajo y colaborar para que la realización de estas actividades favorezca el desarrollo de competencias en todos los integrantes del grupo.

Te invitamos a hacer un buen uso de esta cartilla y a cuidarla de manera que pueda ser usada por otros estudiantes en años posteriores.


Tabla de contenido

1

Las partes y el todo | 8

2

MÓDULO Guía

1

2 3 4 5

¿Qué parte del total me corresponde? | 12 ¿Qué parte tengo, qué parte queda? | 16

¿Problemas con el almacenaje? | 36

MÓDULO Guía

6 7

¿En cuántas partes puedo repartir las partes de un todo? | 20

8 9

¿Por cuántas centésimas de segundo gané la competencia? | 24 ¿Se triplicó el índice de precios? | 28

3

MÓDULO Guía

10

Tiempos de cosecha | 40 ¿Cómo distribuir una bodega? | 44

Baldosas y pisos | 48 | 52

Expreso un objeto como producto de otros objetos más pequeños | 60 ¿Cómo se relaciona la geometría con el algebra? | 64


11 12

4

Descomponiendo binomios | 68 Componiendo y descomponiendo trinomios | 72

Lo bueno de la semejanza entre figuras | 80

MÓDULO Guía

13 14 15

5

¿Cuál es la semejanza de los estanques de Samuel? | 84 ¡A encontrar las proporciones! | 90 ¿Para qué sirven las escalas? | 94

¿Cotidianidad matemática? | 102

MÓDULO Guía

16 17 18

¡Es mejor prevenir que…! | 106

¡Extrañas relaciones! | 112

¡Extrañas relaciones! | 116

6

Conociendo un universo probabilístico | 124

MÓDULO

19

Aplicando la regla | 128

20

Probablemente... | 132

Guía

21

Experimentando y verificando | 134


MÓDULO

Las partes y el todo

¿Qué vas a aprender? Estándares básicos de competencias Pensamiento numérico >> Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida. >> Justifico la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números naturales a la representación decimal usual de los números racionales, utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal. >> Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simétrica, transitiva, ...) y de las operaciones entre ellos (conmutativa, asociativa,...) en diferentes contextos. >> Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

8


Pensamiento métrico >> Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

Contenidos Guías

Contenidos

1

El conjunto de los números racionales

2

Adición y sustracción con números racionales

3

Multiplicación y división con números racionales

4

Expresiones decimales

5

Operaciones con expresiones decimales

Procesos >> Describir e interpretar propiedades y relaciones de los números y sus operaciones. >> Reconocer diferentes representaciones de un mismo número. >> Argumentar el uso de los procedimientos y algoritmos de las operaciones básicas con números racionales y sus expresiones decimales en distintas situaciones. >> Resolver problemas que impliquen las operaciones básicas con números racionales y con sus expresiones decimales en distintos contextos.

9


En el siguiente esquema observarás la relación existente entre los conceptos que vas a aprender.

Módulo 1 Pensamiento numérico y sistemas numéricos Números racionales (Q) Se definen como

p

Tienen

{ q / p, q ∈ Z y q ≠ 0

Una expresión decimal

{

Que puede ser

Exacta

Con ellos se realizan

Operaciones básicas Tales como

Periódica pura Periódica mixta

Adición Sustracción Multiplicación División

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender? Los números racionales son utilizados frecuentemente, ya sea con su notación fraccionaria o con su notación decimal, en múltiples situaciones de la vida cotidiana: al partir una torta en partes iguales, en la administración del dinero, en ciencias como la física, química y biología, y, de manera general, en la interpretación y expresión de resultados de mediciones, grandes y pequeñas, apoyadas en magnitudes diferentes, entre otras.

10


¿Cómo se te va a evaluar? En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con los números racionales, sus expresiones decimales y las operaciones que se pueden efectuar con ellos. La evaluación será permanente. Dentro de cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y qué aspectos debes reforzar. También encontrarás las secciones Aplico lo aprendido y Evaluación, en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que pondrán a prueba tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

Explora tus conocimientos

Un caficultor tiene una finca de 2 472 m2, sembrada de diferentes variedades de café, distribuidos de la siguiente manera: 1 con variedad Arábigo 9 5 12 con variedad Borbón 1 con variedad Caturra 4 y el resto con variedad Colombia >> ¿Qué parte del terreno está sembrado de variedad Colombia? >> ¿Qué parte del terreno no está sembrado de variedad Colombia? >> ¿Cuántos metros cuadrados están sembrados de cada variedad de café?

11


Guía Cuando se habla de un cuarto de hora, de la mitad de una torta, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina, se hace referencia a las partes iguales en que se puede dividir un total.

¿Qué parte del total me corresponde?

Estos ejemplos hacen evidente que, el uso de las fracciones en la vida cotidiana, es más común de lo que se cree. Este hecho pone de manifiesto la importancia de estudiar sus propiedades y sus diferentes representaciones, dentro de un conjunto nuevo: el conjunto de los números racionales. Organícense en grupos de cuatro estudiantes y desarrollen las siguientes actividades. Averigüen los datos que se piden en la tabla y complétenla en el cuaderno. Número de estudiantes

Parte o fracción del total de estudiantes de la escuela

De la escuela De sexto grado De séptimo grado De octavo grado De noveno grado >> ¿Qué clase de números utilizaron para completar la tercera columna de la tabla?

Si en el curso de Juliana hay 36 estudiantes, y doce de ellos son hombres, la parte del total que representan se puede escribir como la fracción 12 . 36 En la fracción anterior, 12 es el numerador y 36 es el denominador. Una fracción a es el cociente indicado de dos números b enteros en el que el divisor diferente de cero.

12


a b

Numerador: número de partes que se toman. Divisor: número de partes en que se divide la unidad.

1 3 del total de estudiantes del curso. ¿Es cierta esta afirmación? Juliana, afirma que la cantidad de hombres corresponde a >> Copien las siguientes cuadrículas en el cuaderno y discutan acerca de la manera de representar en la 12 1 primera, la fracción y en la segunda . 36 3

12 1 y representan 36 3 la misma parte del total? Expliquen su respuesta. a c Si dos fracciones b y d representan la misma parte de la unidad o de una cantidad, se dice que son equivalentes. Y se escribe:

>> Comparen las fracciones anteriores. ¿

Extremo Medio

c a = d b

Medio Extremo

Cuando dos fracciones son equivalentes, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Es decir: c a = si y solo si ad = bc d b Martín, compañero de Juliana, dice que el número de muje24 res del curso representan 36 . >> ¿Es cierta esta afirmación? ¿Por qué? 24 >> Dividan el numerador y el denominador de 36 por un divisor común a los dos términos. ¿Qué fracción obtuvieron? >> Determinen si la fracción obtenida es equivalente a la inicial.

13


Se pueden obtener fracciones equivalentes a una dada por amplificación, (multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número), o por simplificación, (dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por el mismo número). Amplificando

Simplificando

1 1x2 2 = = 3 3x2 6

6 6÷3 2 = = 9 9x3 3

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes

Cuando una fracción no se puede simplificar más se dice que es irreducible. 1 del total de Calculen todas las fracciones equivalentes a 3 los estudiantes del curso. >> ¿Cuántas fracciones encontraron? ¿Pueden encontrar más? >> Busquen una estrategia para verificar que las siguientes 1 . fracciones son equivalentes a 3 -3 5 -2 9 -15 -6 Todas las fracciones equivalentes a una fracción dada determinan un mismo número, denominado número racional. 2 4 6 10 = = = =... 5 10 25 25

-2=

-6 4 14 = = ... 3 -2 7

Los números racionales permiten expresar una parte de una cantidad entera, tanto positiva como negativa. En general, a todos los números que pueden expresarse de la forma b siendo a y b números enteros y b es diferente de cero, son números racionales. Los siguientes son algunos ejemplos de números racionales: 4,

5 7 3 , -9, - , 0, 10, y 14 4 5

Sigan este proceso para representar un número racional en la recta numérica. >> Tracen una recta horizontal y ubiquen el punto correspondiente a 0. >> Dividan cada unidad en el número de partes que indique el denominador.

14


>> Cuenten el número de partes que indica el numerador. Si es positivo, hacia la derecha y si es negativo, hacia la izquierda. >> El número racional correspondiente queda representado, mediante un punto, en la última división que contaron.

8 Observen la representación de 3 . 0

8 3

1

2

3

Trabaja individualmente en el cuaderno. Responde las preguntas y expliquen cada respuesta. >> El número 0, ¿es un número racional? >> Explica la diferencia entre lo números enteros y los números racionales. >> ¿Todos los enteros son racionales? >> ¿Todos los racionales son enteros? Resuelve las situaciones. >> Un curso está conformado por 42 estudiantes. ¿Se puede afirmar 3 del total son hombres y 4 son mujeres? ¿Por qué? que 6 7

>> Estos son los resultados de matemáticas de un curso de 30 estudiantes de noveno grado. Parte del total de los estudiantes

1 3

1 6

1 15

1 5

1 10

2 15

Número de materias pendientes

0

1

2

3

4

5

Número de estudiantes >> ¿Cuántos estudiantes hay en cada columna? >> ¿Qué números racionales están representados en la siguiente recta? -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

15


Guía

¿Qué parte tengo, qué parte queda?

Todos los días, en nuestra vida cotidiana, encontramos situaciones en las que el uso de las fracciones y la realización de operaciones con cantidades menores que la unidad, es común. Por ejemplo, el repartir una pizza, servir líquidos o simplemente el preparar una receta de cocina, le dan sentido al estudio de las operaciones que se pueden efectuar con fracciones y las propiedades que ellas cumplen. Organícense en grupos de tres integrantes y desarrollen las siguientes actividades en el cuaderno.

>> La producción de café de cierta finca cafetera del Quindío está distribuida de la siguiente manera: Cuatro novenos de la producción son exportados. Dos novenos, se venden en el Quindío. Un tercio, se vende en otros departamentos. >> Copien en el cuaderno la siguiente tabla, y complétenla escribiendo el número racional que corresponda.

Parte del total de la producción Café de exportación Café que se vende en el Quindío Café que se vende en otros departamentos >> Representen cada uno de los números racionales. Copien las siguientes figuras y apliquen diferente color en cada caso.

>> ¿Qué parte de la produc ción de café se destina para exportación y a la venta en el Quindío? Comenten la respuesta con los integrantes de otros grupos. >> ¿Qué parte de la produc ción se vende en el país? >> ¿Cuál es la diferencia entre la parte que se vende en otros departamentos y la que se vende en el Quindío?

16


La parte de la producción de café que se destina para exportación y a la venta en el Quindío se calcula efectuando una adición de números racionales.

4 9

+

2 9

=

>> Al reunir las partes sombreadas, ¿cuántas se obtienen en total? ¿Cual es el resultado de la operación? Para calcular la parte de la producción que se vende en el país, se deben sumar los siguientes números racionales.

2 9 2 9

+

1 9 3 9

=

>> ¿Cuál es la suma de las partes sombreadas? La diferencia entre la parte de la producción que se vende en otros departamentos y la que se vende en el Quindío, se puede calcular efectuando una sustracción de números racionales.

Para sumar números racionales con el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

Para sumar números racionales con diferente denominador, estos se amplifican de manera que se obtengan frac ciones con el igual denominador y luego se suman como en el caso anterior.

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1 2 , ¿cuáles son los denominadores 3 9 de estos números racionales? >> ¿Cuál es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores? 2 1 ya cuyo >> Obtengan fracciones equivalentes a 9 3 denominador sea el m.c.m. que encontraron. >> Resten los numeradores de las fracciones obtenidas en el paso anterior y dejen el denominador común. Esta es la diferencia buscada.

>> En la operación

La sustracción de dos números racionales es equivalente a la suma del minuendo con el opuesto del sustraendo. Por lo tanto, para restar números racionales con el mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Si los números racionales tienen diferente denominador, se puede hallar el m.c.m. de los denominadores, se amplifican el minuendo y el sustraendo de manera que los denominadores sean iguales al m.c.m. encontrado y se restan como en el caso anterior. Propongan una estrategia para resolver cada una de las siguientes operaciones. -

3 1 5 + + 4 6 2

2 3 9 + 5 10 4

-

5 2 2 + 8 6 3

>> Pongan en práctica las estrategias planeadas y resuelvan las operaciones. >> Comparen las respuestas con las obtenidas por otros grupos. >> Pidan ayuda a su profesora o profesor, para determinar la mejor manera de resolver este tipo de operaciones. Recuerden que la adición de números naturales y la de nú meros enteros cumplen ciertas propiedades que facilitan los cálculos. Verifiquen si la adición de números racionales cumple las mismas propiedades. >> ¿La suma de dos números racionales es siempre otro número racional? Obtengan las siguientes sumas y respondan la pregunta con base en los resultados. -

18

5 4 + 9 6

3 13 + 10 2

-

7 7 + 12 4


>> En una adición de números racionales, ¿se altera la suma si cambia el orden de los sumandos? Prueben con las siguientes operaciones. -

2 5 + 7 14

5 2 + 14 7

>> En una adición de números racionales, ¿se altera la suma si tres o más sumandos se asocian de manera distinta? Verifiquen con las siguientes operaciones. Recuerden que el paréntesis indica la operación que se realiza en primer lugar. -

3 3 1 + + 8 4 2

-

3 3 + 8 4

+

1 2

>> ¿Qué resultado se obtiene al sumar cualquier número racional con 0? Resuelvan estas operaciones para responder. 3 7 +0 0+ 14 10 >> ¿Cuál es el resultado de sumar cualquier número racional con su inverso aditivo? Realicen las siguientes operaciones. 5 5 + 9 9

8 8 - + 13 13

Resuelve las siguientes situaciones en tu cuaderno. 7 1 >> El lunes se ocuparon de la capacidad de una bodega y el martes . 10 4 ¿Qué de la capacidad de la bodega que se ocupó durante los dos días? ¿Qué parte de la capacidad de la bodega quedó desocupada? 1 2 >> Un agricultor plantó tomates en de su terreno; habichuelas en los y papas en los 4 5 280 m2 restantes. ¿En qué fracción del terreno plantó papas? ¿Cuál es la superficie total del terreno? >> Un camión recorre la distancia entre dos ciudades en tres horas. En la primera hora 1 3 recorre del trayecto, en la segunda los y en la tercera los 80 km restantes. ¿Cuál 8 16 es la distancia que separa las dos ciudades?

>> He gastado las tres cuartas partes de mi dinero y me quedan $ 90 000. ¿Cuánto tenía?

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Guía

¿En cuántas partes puedo repartir las partes de un todo?

Es evidente que los números naturales resultan insuficientes para representar todas las situaciones cotidianas. Por esta razón surge la necesidad de considerar otro tipo de números tales como los racionales, y operaciones como la multiplicación y la división, que te permiten hacer mediciones aún más exactas que las efectuadas con números enteros. Reúnete con un compañero o compañera y desarrollen las siguientes actividades en el cuaderno. 25 >> Un recolector completa cuatro cajas de de kilogramo de café 2 cada día. cafe

cafe

25 kg 2

cafe

cafe

25 kg 2

cafe

25 kg 2

cafe

25 kg 2

>> ¿Cuántos kilogramos de café recoge diariamente? >> ¿Qué operación deben realizar para encontrar la respuesta a la pregunta anterior?

Una manera de resolver la pregunta, consiste en sumar el contenido de café de las cuatro cajas y simplificar el resultado. 25+25+25+25 100 25 25 25 25 + + + = = = 50 kg 2 2 2 2 2 2 >> ¿Conocen una operación que con la que se pueda abreviar el cálculo?

20


Otra manera de responder, consiste en realizar una multiplicación de números racionales. 4 veces

25 2

Se expresa como una fracción.

25 25 25 25 25 4 200 4x25 100 + + + = 4x = x = = = 50 kg 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 >> El recolector extrae los 5 del contenido de una de las cajas. ¿Cuántos kilogramos de café, sacó de la caja? 2 La situación se resuelve realizando calculando los 5 25 de 2 kg. 2 2 25 25 La expresión 5 de 2 es equivalente a 5 x 2 . Por lo tanto: Numeradores entre si y denominadores entre si

2 25 2x25 50 x = = = 5kg 5 2 5x2 10 El producto de dos números racionales es el número que se obtiene al multiplicar los numeradores entre si y los denominadores entre si. a c axc ac x = = b d bxd bd >> Observen otro ejemplo de multiplicación de números racionales. Son iguales

Se simplifica si es posible

4 3 4 3 4x(-3) -12 4 = x = x = =9 5 9 5 9x5 45 15 Numeradores entre si y denominadores entre si

7 10 >> ¿Cómo resuelven la operación -15 x -21 ? Expliquen la respuesta. >> Comprueben las propiedades de la multiplicación de números racionales. Lean cada enunciado y propongan un ejemplo de cada uno.

21


>> El producto de dos números racionales siempre es otro número racional. >> Dos números racionales se pueden multiplicar en diferente orden >> Tres o más factores racionales se pueden asociar de maneras diferentes y el producto no cambia. >> Al multiplicar cualquier número racional por 1, se obtiene el mismo número racional. >> El producto de un número racional por una suma, es igual a la suma de los productos de este número racional por cada uno de los sumandos. 4 En el terreno de cultivo de la finca cafetera los 9 están sembrados con la variedad Colombia. Si esta parte se divide en tres secciones iguales, ¿qué fracción del terreno le corresponde a cada sección? La solución de la situación se puede representar mediante las siguientes figuras.

4 Se sombrean 9 del rectángulo que representa el terreno.

Se divide la región sombreada en tres partes iguales.

Cada parte

4 27 del total del terreno. corresponde a

La operación correspondiente en este caso es: Inverso multiplicativo de 3

4 4 3 4 1 4x1 4 ÷3 = ÷ = x = = 9 9 1 9 3 9x3 27 Un número racional es el inverso multiplicativo de otro, si el producto de los dos es igual a 1. axb =1 El inverso multiplicativo de a es b , porque a x b =

b

a

b

a

bxa

El cociente de dos números racionales es equivalente al producto del multiplicando por el inverso multiplicativo del multiplicador.

a c a d axd ad ÷ = x = = b d b c bxc bc

22


Por lo tanto:

Inverso multiplicativo de 3

4

-

8 3 8 4 -8 4 -8x4 -32 8 x = x = ÷ == =12 4 12 3 12 3 12x3 36 9

Desarrolla estas actividades en el cuaderno. ¿Cuál es el valor en cada caso? >> Los cuatro quintos de siete octavos.

>> Los tres décimos de menos quince veinteavos.

>> Los nueve quinceavos de treinta dieciochoavos.

>> Los cinco séptimos de menos nueve catorceavos. Completa los siguientes enunciados. >> El signo del producto de dos números racionales de igual signo es:

>> El signo del producto de dos números racionales de diferente signo es:

>> El signo del cociente de dos números racionales de igual signo es:

>> El signo del cociente de dos números racionales de diferente signo es:

. . . .

Responde las siguientes preguntas. Propón ejemplos que las argumenten. >> ¿Qué signo tiene el inverso multiplicativo de un número racional positivo?

>> ¿Qué signo tiene el inverso multiplicativo de un número racional negativo? Resuelve las siguientes situaciones. 456 2 >> En una parcela de m , se destina la cuarta parte para el cultivo de cereales y el resto 7 para el cultivo de hortalizas. ¿Cuál es el área total del terreno destinada para el cultivo de cereales? ¿Y al cultivo de hortalizas?

7 >> El paso de cierta persona equivale a 8 de metro. ¿Qué distancia recorre con 1 000 pasos? ¿Cuántos pasos debe dar para recorrer una distancia de 1 400 m?

23


Guía ¿Reconoces expresiones como las siguientes?

¿Por cuántas centésimas de segundo gané la competencia?

“La temperatura máxima fue de 21,6 °C”, “El alza del costo de la vida alcanzó a un 7,3%”, “Un atleta ganó la competencia por 5 centésimas”, “La nota promedio del curso es de 5,9”. Estas expresiones te dan una idea del uso que haces en la vida diaria de los números decimales. Reúnanse en grupos de tres integrantes y resuelvan las siguientes actividades en el cuaderno. >> A nivel mundial, Colombia es el tercer país productor de café y el mayor productor de café suave en el mundo. En la siguiente tabla se muestra el precio (en dólares) de la libra de café colombiano durante la semana del 5 al 9 de abril de 2010.

Fecha

Precio de una libra (en dólares)

5 de abril de 2010

2,02

6 de abril de 2010

2,05

7 de abril de 2010

2,03

8 de abril de 2010

2,03

9 de abril de 2010

2,01

>> ¿Qué tipo de cantidades se utilizaron en la tabla para expresar el precio del café en dólares? >> ¿En qué fecha de la semana se presentó el mayor precio del café? ¿Y el menor? >> ¿Cuál es el precio aproximado a las décimas del precio del café presentado el 6 de abril?

75 de la producción de café en Colombia son 100 destinados a las exportaciones. ¿Cuál es la expresión deci75 mal de la fracción ? 100 Más de los

24


Al dividir el numerador entre el denominador de un número racional, se obtiene su expresión decimal. Como todo número decimal, una expresión decimal consta de: Parte entera

25,784

Parte decimal

La parte entera va antes de la coma y la parte decimal va después de la coma. 75 Por lo tanto, la expresión decimal de se encuentra 100 como sigue: 75 ↔75 ÷ 100 = 0,75 100 >> ¿Qué relación observan entre el número de ceros del denominador de la fracción y el número de cifras de su correspondiente expresión decimal? >> Expliquen. Encuentre la expresión decimal de los siguientes números racionales. Luego contesten las preguntas. 3 8 4 5 13 4 3 9 16 90 >> ¿Cuáles de las expresiones que obtuvieron tienen un número finito de cifras decimales? >> ¿Cuántas cifras decimales encontraron en la expresión 8 decimal de 3 ? ¿Podrían encontrar más? 13 >> En la expresión decimal de 90 , ¿encontraron cifras decimales repetidas? ¿Cuántas? ¿Podrían encontrar más? Las expresiones decimales se clasifican en: > Exactas. El número de cifras decimales es finito. Ejemplo: 4,35. > Periódicas puras. Hay un grupo de cifras decimales se repiten indefinidamente (periodo). Ejemplo: 65,232323… = 65,23 > Periódicas mixtas. Se identifica un periodo antecedido por cifras decimales que no se repiten (anteperiodo). Ejemplo: 8,53222… = 8,532 >> Resuelvan la situación.

Javier dice que las fracciones que generan las expresiones decimales 5,6 y 5,6 son respectivamente 28 y 46 . ¿Javier tiene razón? Expliquen su respuesta. 5 90

25


La fracción generatriz de una expresión decimal exacta es una fracción decimal (aquella cuyo denominador es una potencia de 10), tal que: > El numerador es la parte entera seguida de la parte decimal sin la coma. > El denominador es el número formado por una potencia de 10 que tiene tantos ceros como cifras decimales tiene la parte decimal. 345 532 Ejemplos: 5,32 = 100 y 0,345 = 1000

La fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura es la suma de la parte entera con la fracción cuyo numerador es el periodo y cuyo denominador es el número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo. Ejemplo: 4,25 = 4 + 25

99

La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto es la suma de la parte entera con la fracción en la que: > El numerador es la diferencia entre el número formado por el anteperiodo (cifras decimales que anteceden al periodo) seguido del periodo y el anteperiodo. > El denominador es el número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.

Ejemplo: 5,27 = 5 + 27 - 2 = 475

90

90

Contesten las preguntas con base en la siguiente información. La tabla de la derecha muestra composición general del café verde. Componente

Porcentaje máximo

Agua

12,0

Cafeína

1,8

Grasa

14,2

Azúcares

7,8

Celulosa

42,3

Nitrógeno

2,2

Proteína

13,7

Ceniza

4,0

>> ¿Cuál de los componentes del café verde tiene mayor porcentaje? ¿Y cuál el menor? >> ¿Cuál es el orden de los componentes del café verde de menor a mayor porcentaje? >> ¿Qué criterio utilizaron para encontrar el orden anterior?

26


Para ordenar dos expresiones decimales se procede como sigue: 1. Se comparan las cifras de los distintos órdenes de unidades de los números, empezando por la izquierda. 2. Si las cifras del mismo orden son iguales, se sigue comparando. Si son distintas, es mayor el número cuya cifra es mayor. Javier recogió 56,482 kg de café en un día y Ricardo 56,428 kg. ¿Quién recoge mayor cantidad de café? Para responder la pregunta, se comparan las expresiones decimales 56,482 y 56,428. >> La cifra de las decenas es igual: 56,482 56,428 >> La cifra de las unidades es igual: 56,482 56,428 >> La cifra de las décimas es igual: 56,482 56,428 >> La cifra de las centésimas es mayor en primera expresión decimal: 56,482 56,428 Por lo tanto, 56,482 > 56,428. Es decir, Javier recogió mayor cantidad de café.

Desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.

Contesta las preguntas. 3 >> ¿Cuál es la expresión decimal de 8 ? ¿Es exacta, periódica pura o periódica mixta? >> ¿Cuál es la fracción generatriz de 25,43 ? ¿Qué clase de expresión decimal esta?

Resuelve las situaciones. >> En la tabla se muestran algunas variedades de café y su contenido de cafeína por taza. ¿Cuál es el orden de estas variedades de menor a mayor contenido de cafeína? Variedad Contenido de cafeína (g)

Arábiga Arábiga Robusta Robusta fuerte suave suave fuerte 0,075

0,025

0,15

0,225

Café soluble

Café descafeinado

0,1

0,0125

>> Liliana debe recorrer 1,075 km de su casa a la escuela. ¿Cuál es esta distancia aproximada a las décimas? ¿Y a las unidades?

>> Antonio, Marcos y Ricardo hacen una estimación de la altura de un árbol. Si respectivamente dicen 9.69 m 9.58 m y 9.73 m, ¿cuál es el orden de las estimaciones de mayor a menor?

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Guía

¿Se triplicó el índice de precios?

Es innegable la utilidad de los números decimales para el desenvolvimiento social de las personas. Es el caso de la interpretación de los indicadores económicos, tales como el comportamiento del precio del dólar, las equivalencias entre monedas de diferentes países, el precio del café en el mercado internacional, o el índice de precios al consumidor, entre otros muchos aspectos que se manejan a diario en la economía de un país. Organicen grupos de tres estudiantes y resuelvan en el cuaderno las actividades propuestas. Lean la información y contesten. En la tabla se registró la producción de una pequeña finca cafetera durante seis meses. Mes

Producción (kg)

Enero Febrero Marzo Abril

98,73

79,56

Mayo Junio

85,475 86,45 102,05 97,65

>> ¿Cuántos kilogramos de café se produjeron en total de enero a marzo? >> ¿De cuántos kilogramos fue la producción total de abril a junio? >> ¿Cuál fue la producción total durante los seis meses?

Para responder las preguntas anteriores en necesario aplicar la adición de expresiones decimales. 98,730 79,560 + 85,475 263,765

+

86,45 102,05 97,65 286,15

263,765 + 286,150 549,915

Kilogramos producidos Kilogramos producidos Kilogramos producidos de enero a marzo de abril a junio en seis meses

Para sumar dos o más expresiones decimales se escriben en forma vertical, de modo que las comas queden en la misma columna; luego se suman como si fueran números enteros y en el resultado se coloca la coma debajo de las comas de los sumandos.

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>> Antioquia, Huila y Tolima son los departamentos colombianos con mayor cantidad de superficie cultivada de café. En miles de hectáreas, los datos son los siguientes: Antioquia:130,6 Huila:105 Tolima: 103,9 >> ¿Cuál es la diferencia, en miles de hectáreas, entre las superficies cultivadas de café en Antioquia y Tolima? >> Si el total de cultivos de café en Colombia ocupa 887,6 miles de hectáreas, ¿cuál es el área cultivada en otros departamentos? Para responder las preguntas que plantea la situación anterior, se realizan las siguientes operaciones. 130,6 130,6 105,0 - 103,9 + 103,9 26,7 339,5 Diferencia en miles de hectáreas entre los cultivos de Antioquia y Tolima

887,6 - 339,5 548,1

Miles de hectáreas cultivadas en Antioquia, Huila y Tolima

Área cultivada en miles de hectáreas en departamentos diferentes a Antioquia, Huila y Tolima

La sustracción dos expresiones decimales, se puede interpretar como la adición del minuendo con el opuesto del sustraendo. Por lo tanto, para restar dos expresiones decimales se escriben en forma vertical, de modo que las comas queden en la misma columna; luego se restan como si fueran números enteros y en el resultado se coloca la coma debajo de las comas de los términos. >> La variedad arábica de café se considera el más selecto por sus cualidades aromáticas y su suave sabor. Este tiene un contenido de cafeína máximo de 1,75%; mientras que la variedad Robusta, considerado menos sabroso y aromático que el Arábica, contiene el doble de cafeína. ¿Cuál es el porcentaje de cafeína que contiene la variedad Robusta? >> ¿Qué operación permite resolver la situación anterior?

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La situación se resuelve mediante una multiplicación de expresiones decimales. x

1,75 2 3,50

2 cifras decimales 0 cifras decimales 2 + 0 = 2 cifras decimales

Porcentaje de cafeína Contenida en el café Robusta

El producto de dos expresiones decimales se obtiene así: Se multiplican los factores como si fueran números enteros, ignorando la coma decimal. Se coloca la coma en la respuesta teniendo en cuenta que debe haber tantas cifras decimales como en los dos factores juntos. Calculen los siguientes productos y respondan las preguntas. 3,208 x (−4,5) −15,47 x (−5,731) >> ¿Qué signo tiene el producto de dos expresiones decimales de igual signo? >> ¿Qué signo tiene el producto de dos expresiones decimales de diferente signo? La figura representa un terreno donde se cultiva café.

Área: 1 852,2 m2

>> Si el terreno mide 24,5 m de largo, ¿cuánto mide el ancho? >> ¿Qué operación debes aplicar para resolver la pregunta anterior? Realicen una división de expresiones decimales siguiendo estos pasos. >> Multipliquen el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000,…para obtener números enteros. >> Efectúen la división colocando la coma en el cociente cuando se baja la primera

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cifra decimal del dividendo. >> La división se termina cuando se obtiene un residuo igual a cero o cuando el cociente tiene las cifras decimales que se quieren 1 852,2 24,5 x 10

x 10

18522 24,5 1372 75,6 1470 0

18522 245

Copia desarrolla las siguientes actividades en tu cuaderno.

Resuelve las siguientes situaciones. >> En una competencia ciclística de cuatro etapas, un ciclista recorrió 145,8 km en la primera etapa, 136,65 km en la segunda y 162,62 km en la tercera. ¿Cuántos kilómetros le quedan por recorrer si la carrera es de 1 000 km? >> Observa las figuras.

0,64 kg

1,728 kg

>> ¿Cuál es el peso del agua?

>> De un tanque lleno de agua se sacan 184,5 L el lunes; 128,75 L el martes, y 84,5 L el miércoles. Si aún quedan 160 L, ¿cuál es la capacidad total del tanque? >> En una prueba de atletismo los cuatro atletas de un equipo obtuvieron los siguientes tiempos: 9,945; 10,983; 10,028 y 9,924. ¿Cuál es el tiempo total del equipo? >> Una pera pesa 0,120 kg. ¿Cuánto pesan nueve peras de igual tamaño?

>> La Tierra gira alrededor del Sol a 29,8 kilómetros por segundo. Marte lo hace a 0,81 veces la velocidad de la Tierra. ¿A qué velocidad gira Marte alrededor del Sol?

>> Un mural cuadrado tiene 0,5625 m2 de superficie. ¿Cuántas piezas cuadradas de papel cubren el mural, si el lado de cada pieza es de 1,5 m?

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>> Lee la siguiente noticia y contesta las preguntas de acuerdo con la información.

Colombia: Producción de café la más

baja en una década

La cosecha de 2009 cerró en 7,8 millones de sacos de 60 kilos, frente a los 11,4 millones de sacos de igual peso en 2008 Jueves 21 Enero 2010 Como consecuencia del mal clima y la baja fertilización de la tierra, como los principales factores, la producción de café colombiano cayó 31,57% en 2009 en comparación con el año anterior, informó la Ferederación Nacional de Cafeteros.

datos que la agremiación cafetera divulgó el jueves en un comunicado de prensa.

La cosecha de 2009 cerró en 7,8 millones de sacos de 60 kilos, frente a los 11,4 millones de sacso de igual peso en 2008, de acuerdo con los

Así, las exportaciones también disminuyeron: pasaron de 11,1 millones de sacos de 60 kilos en 2008 a 7,9 millones en 2009.

Este índice de producción es el más bajo en la última década, en la que se ostentaban niveles promedio cercanos a los 11 millones de sacos.

>> Según la noticia del periódico, ¿en cuántos millones de sacos de café cerró la cosecha de 2009? ¿Y la de 2008? >> ¿Cuál es la diferencia en millones de sacos de café entre la cosecha de 2009 y la de 2008? >> ¿Cuál fue la variación de las exportaciones entre 2008 y 2009? 1 >> Durante un viaje, un vehículo consume 8 de la gasolina que lleva en el depósito de su vehículo. En un segundo viaje consume 2 de lo que le quedaba. Si sabe que le 3 quedan en el depósito 20 L de gasolina. ¿Cuántos litros puede llevar en el depósito? 7 >> Los 8 de un número son 126. Si se multiplica el número 2 resultante por 3 , ¿cuál es el número?

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1 >> Con 8 del dinero que llevaba Lorenzo compró una 2 bicicleta que costó $1 600 000. Luego se gastó 3 del dinero que le quedaba. ¿Cuánto dinero llevaba? ¿Cuánto dinero se gastó en la segunda compra? >> En una finca cafetera, 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días, 2 de cada 9, cobran mensualmente y el resto cobra semanalmente. Si en total hay 630 empleados, ¿cuántos empleados hay de cada clase? >> Un quinto de los ingresos de una familia se invierten 1 en el pago de servicios públicos, 3 se emplean en 1 1 arriendo, 2 alimentación, 4 en educación y el resto es ahorrado. >> ¿Qué parte de los ingresos es ahorrada? >> Si los ingresos familiares ascienden a $ 2 700 00, ¿cuánto dinero se invierte en cada aspecto? >> Con el contenido de una garrafa de agua se llenaron 40 3 de litro. ¿Cuántos litros de agua había en botellas de 4 la garrafa? >> Un agricultor ha recolectó 78,7 kg de trigo y 89,5 kg de cebada. Luego vendió la libra de trigo a $ 1 300 y la de cebada a $ 1 250. ¿Cuánto dinero recibió por la venta? >> Un vehículo A consume 7,5 litros de gasolina por cada 100 kilómetros y otro vehículo B consume 8,2 litros de gasolina por cada 100 kilómetros. >> ¿Qué cantidad de gasolina consume cada vehículo en un kilómetro? >> ¿Cuál será el costo de la gasolina que consume cada vehículo en un trayecto de 540 km, si el galón de gasolina cuesta $ 6 750? >> Un litro de aceite pesa 0,92 kg. ¿Cuál es el peso de ocho canecas de aceite de 10 L cada uno? ¿Cuántos litros de aceite que contiene una caneca que pesa 23 kg? >> Un camión transporta tres bloques de mármol de 1,3 toneladas cada uno y dos vigas de hierro de 0,5 toneladas cada una. >> ¿Cuántas toneladas transporta el camión? >> Si una tonelada es igual a 1 000 kg, ¿cuántos kilos transporta el camión?

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Que aprendí Resuelve las siguientes situaciones. >> Si en el 2010, la cantidad de sacos exportados se triplican, ¿cuántos sacos se exportarán? Si el numerador de una fracción es el triple del denominador, ¿qué racional tenemos? >> Si en un número racional aumentamos el numerador en 4, el número racional queda aumentado en 2. ¿Cuál es el denominador del número racional? >> Si se dividen el numerador y el denominador de un número racional por el m.c.d. de ambos, ¿qué racional resulta? >> De un depósito de agua se saca un tercio del contenido y, después 2 de lo que quedaba. Si aún quedan 600 L. 5 ¿Cuánta agua había al principio? >> Un vendedor despacha por la mañana las 3 partes del 4 total de las naranjas que tenía. Por la tarde vende 4 de 5 las que le quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg. de naranjas, ¿cuántos kg. tenía al principio del día?

>> En una sala de cine hay 56 personas, de las cuales 4 7 son mujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres hay? >> Lee la información. Luego realiza lo que se indica a continuación. Las expresiones decimales se pueden aproximar por truncamiento o por redondeo. Truncar una expresión decimal a un orden determinado es eliminar las cifras decimales de orden inferior a el. Redondear una expresión decimal a un orden determinado requiere aplicar estos criterios: >> Si la cifra del orden al que se está redondeando es menor que 5, esta no se modifica. >> Si es mayor o igual que 5, esta cifra se aumenta una unidad.

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>> ¿Cuál es la cantidad de café, aproximada a las unidades, que contiene cada recipiente de la siguiente figura? 350.283ml

280.56ml

400.98ml

cafe

cafe

cafe

¿Cómo me ven los demás? Conformen grupos de cuatro integrantes y desarrollen las siguientes actividades en el cuaderno. Observen las figuras.

cafe 3/2 kg

cafe 1/2 kg

cafe 5/2 kg

>> ¿Cuál es la expresión decimal de cada peso? >> ¿Cuántos kilogramos de café hay en total? Expresen el total como una fracción y con su correspondiente expresión decimal. >> Si un kilogramo equivale a 1 000 g, ¿cuántos gramos de café hay en total?

Me autoevalúo Sí

No

A veces

Reconozco las características del conjunto de números racionales. Aplico las operaciones básicas con números racionales en la solución de problemas. Identifico y clasifico las expresiones decimales de números racionales. Comprendo los algoritmos de las operaciones con números racionales y sus expresiones decimales. Participo activamente en clase y expreso mis opiniones de manera respetuosa. Determin s para mejorar cada día tu trabajo. Establece un plan de seguimiento con tu profesor.

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MÓDULO

¿Problemas con el almacenaje?

Los productores y comerciantes de alimentos u otros productos agrícolas, siempre tienen una preocupación especial frente a la manera en la que pueden y deben almacenar o guardar la materia prima, fruto de su esfuerzo y generadora de sus beneficios económicos. En este módulo te presentamos algunos casos relacionados con las variaciones frente al tamaño y la capacidad de algunos espacios de almacenaje.

¿Qué vas a aprender? Estándares básicos de competencias Pensamiento variacional >> Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. >> Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. >> Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

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Pensamiento métrico >> Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa. La realización de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo de los pensamientos variacional y numérico, a través de los conceptos asociados al concepto de variación presente en la diferenciación, y realización de operaciones con polinomios y productos notables. En la tabla se muestran los conceptos que aprenderás.

Contenidos Guías

Concepto de variación

6

Expresiones algebraicas

7

Reducción de términos semejantes

8

Adición y sustracción de polinomios

9

Multiplicación y división de polinomios

Procesos >> Interpreta y reconoce las características de las expresiones algebraicas. >> Diferencia las operaciones básicas con polinomios y las usa para simplificar expresiones algebraicas.

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El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Módulo 2 Pensamiento espacial y sistemas y sistemas algebraicos y analíticos Variacional a partir del

Conocimiento de los polinomios Y de las operaciones de

Tipo aditivo Es decir, la

Adición

Sustracción

Tipo multiplicativo Es decir, la

Multiplicación

División

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender? Aunque los cálculos con polinomios no se usan en todos los aspectos de la vida te sirven, pero son de mucha utilidad en algunos campos ya que estas expresiones modelan de forma general algunos comportamientos particulares de la construcción, la tecnología, las comunicaciones, la geología, la ingeniería, la robótica y la aeronáutica. Esto debido a que permiten conocer y definir trayectorias, tiempo de transcurso de un vuelo, etc. Inclusive en biología permite definir por ejemplo el vuelo de un insecto y analizar la trayectoria que deben para trasladarse de un lado a otro.

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¿Cómo se te va a evaluar? En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con los el conocimiento, operación y aplicación de los polinomios, los productos y los cocientes notables. La evaluación se realizará de manera constante. Dentro cada una de las guías encontrarás actividades de evaluación que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y qué debes reforzar. Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar ideas y pensamientos.

Explora tus conocimientos La abeja es uno de los pocos insectos que el hombre ha aprovechado desde la más remota antigüedad. Tanta importancia tiene para nosotros, que muchos científicos se han preocupado por analizar el tipo de vuelo que realizan y la forma en la que mediante ellos, se comunican con las demás. 1. Fíjate en la forma que tienen las líneas que describen el vuelo de las abejas en los diferentes momentos. a. ¿Has visto a las abejas cuando vuelan? ¿Estás de acuerdo en que tienen los comportamientos que se describen? b. ¿Qué forma tienen las líneas que se muestran en el dibujo? c. ¿Crees que existe una forma de representar matemáticamente estos movimientos? d. Observa la gráfica que define la fórmula: (x2 + y2)2 = a2 (x2 - y2) de Bernoulli. ¿Se parece a alguna de las trayectorias de vuelo de las abejas? e. ¿Qué operaciones identificas en la ecuación que se presentó en el punto anterior?

y

1 0.5 x

1

1 -0.5 -1

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Guía

Tiempos de cosecha

Después de haber puesto todo su empeño en conseguir una abundante cosecha es natural que los agricultores se preocupen por encontrar un buen sistema de almacenaje que les garantice que la calidad y los atributos de sus productos se mantendrán en buen estado para evitar pérdidas económicas y de esfuerzo. >> Lee el enunciado de la situación planteada y responde. Don Iván sabe que se acerca la hora de cosechar, por lo cual decide construir una bodega. Tiene calculado que de cada uno de los cinco invernaderos que tiene a su cargo, recogerá 700 cajas de productos. Las cajas tienen una condición especial: el largo mide el doble que el ancho y el alto tienen el triple del ancho. >> Contesta: 1. ¿Cómo se puede representar matemáticamente la relación entre las medidas del largo, el ancho y el alto de la caja que utiliza don Iván para guardar el producto de su cosecha? Dibuja la caja en tu cuaderno y escribe las medidas correspondientes. 2. ¿Cuál será el volumen de una caja de don Iván que tiene 12cm de largo? 3. Si su parcela mide 8 metros de frente por 20 metros de fondo, ¿cuál es la medida del área que tiene para construir la bodega? 4. ¿Cuál es la mejor estrategia para acomodar las cajas que miden 40 cm de ancho. ¿Cuál será la mínima altura de la bodega? 5. ¿Qué ocurre con las áreas de las caras de una caja cuando se duplica el ancho? 6. ¿Qué ocurre con el volumen de la caja si se duplica el ancho?

La mejor manera de representar matemáticamente la relación que existe entre las dimensiones de la caja es utilizar expresiones algebraicas en las que la variable represente

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la medida del ancho y a partir de ella las demás medidas. Observa la grafica de la caja. Piensa en qué operaciones deberías realizar para calcular cada una de las características de la caja.

3x

2x x a. El área de la cara de color gris. b. El área de la cara de color naranja. c. El área total de las caras naranja y gris. d. El volumen de la caja. En cada uno de estos casos, empleas expresiones algebraicas en las que intervienen diferentes operaciones como el producto y la adición. Escribe en tu cuaderno cada característica y en frente la expresión algebraica correspondiente. a. El área de la cara de color gris. (2x∙3x)+(x ∙2x) b. El área de la cara naranja. 2x∙3x∙x c. El área total de las caras naranja y gris. 2x∙3x d. El volumen de la caja. x∙2x Como te habrás dado cuenta, las expresiones algebraicas nos permiten modelar situaciones de un lenguaje natural a uno con característica más general conocido como lenguaje algebraico. Las expresiones algebraicas son una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y reciben el nombre de variables o incógnitas. Los términos de una expresión algebraica se encuentran separados por los signos más (+) y menos ( - ). En una expresión algebraica los términos están compuestos por un número llamado coeficiente y una parte literal compuesta por letras, en algunos casos elevados a una potencia indicada.

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Dependiendo del número de términos que tenga una expresión algebraica, recibe un nombre particular. Relaciona en tu cuaderno, cada definición con el ejemplo que le corresponde. Monomio. Es una expresión algebraica compuesta de un solo término.

6m 2 5 + 5m

Binomio. Se encuentra compuesto de dos monomios separados por los signos + o -.

x2 + 2xy + y2

Trinomio. Es una expresión algebraica compuesta por tres términos.

-5x3

Polinomio. Es una expresión algebraica compuesta de dos o más términos.

m4-2m3+3m2 n2- 4n4

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio se encuentra determinado por el máximo exponente que tenga la variable. Por ejemplo: En caso de que el polinomio tenga más de una variable, entonces se da el grado con respecto a cada una de ellas. Por ejemplo en el trinomio 5a4 - 3a2b5 - 11b10 el grado del polinomio es 4 para a. ¿Cuál es el grado del polinomio para b?

Monomios semejantes

Dos o más monomios son semejantes cuando sus literales son los mismos. >> Escribe en tu cuaderno y completa las afirmaciones teniendo en cuenta la definición expuesta anteriormente. 3x3 son semejantes ya que su a. Los monomios 6x3 y 5 parte literal es ___. Su grado es ___. 3x3y2 , -7x3y2 son seme8 jantes ya que su parte literal es ______. Su grado es___.

b. Los monomios 5x3y2, 24x3y2,

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1. Escribe en el cuaderno la expresión matemática que representa cada situación. a. El área de un terreno de largo a y ancho b. b. Juan y Carmen deciden reunir sus ahorros para comprarle una casa a la mamá. c. Las ganancias de esta semana equivalen al doble de las ganancias alcanzadas en cada una de las semanas anteriores. 2. Copia la tabla en tu cuaderno. Recuerda las condiciones que dio don Iván para las dimensiones de la caja y complétala la siguiente tabla escribiendo la operación correspondiente. Ten en cuenta la medida que se da para el ancho en cada caso. Ancho

Largo

Alto

Volumen

Área cara azul

Área cara roja

3x5 2x3y 3. Determina el grado de los monomios que representan el volumen de la caja, en cada caso.

4. Copia en tu cuaderno la tabla y marca con una X, los espacios correspondientes según la expresión sea monomio, binomio, trinomio o polinomio. Expresión algebraica

Monomio

Binomio

Trinomio

Polinomio

5a5 + b5 3xy3 + xy2 - y a5 + 2a4 + a3b2 - b -12a4b 5. Calcula el grado de los polinomios para cada variable. a. 3x3 - 6x2y - x4y2 b. 3m2- 6mn2 y + 2m4y2 c. x6y 2z - x2y 4z2

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Guía Los grandes o pequeños productores, no siempre cultivan una sola clase de alimentos o de productos de materia prima.

¿Cómo distribuir una bodega?

En muchas ocasiones poseen bodegas apropiadas para poder albergar o conservar en ellas, la variedad de productos que cosechan anualmente. A continuación te presentamos un caso particular de distribución de una bodega, ubicada en una finca cafetera. Reúnete con dos compañeros o compañeras e interpreten la siguiente situación. Doña Liliana está diseñando una bodega para poder conservar los cuatro tipos diferentes de café que cultiva en su hacienda. Distribuyó el espacio de la siguiente manera.

2x

y

2x

3y

Café tipo I

Café tipo II

4x2

3xy2

Café tipo III

Café tipo IV

2xy

3y2

Responde a partir de lo que interpretas en el dibujo. a. ¿A qué corresponden las expresiones algebraicas que hay en la parte exterior del dibujo? b. ¿A qué corresponden las expresiones que hay al interior del dibujo? c. ¿Cómo calcularías el área total de la bodega? d. ¿Qué tienen en común las expresiones relacionadas con el área destinada a la conservación del café tipo II y tipo III?

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Al observar el dibujo que elaboró doña Liliana, encontramos que las expresiones que están en la parte exterior del dibujo corresponden a las longitudes de cada una de las secciones. Así por ejemplo, la sección destinada al almacenaje del café tipo II, se tiene que la longitud se expresa con el monomio 3y y el ancho con 2x. También podemos ver que en el interior del dibujo de cada sección, se representa el área destinada a la conservación de cada tipo de café. Por tanto, en la sección destinada al café tipo II, el área es 3xy. Copia la tabla y completa escribiendo los monomios que representan cada medida en las diferentes secciones de la bodega.

Sección

Longitud

Ancho

Área

Café tipo I Café tipo II Café tipo III Café tipo IV Identifica en los valores que escribiste en cada casilla, los que son monomios semejantes. Es decir, aquellos que tienen su parte literal igual. Escríbelos nuevamente, destacando con un color diferente la parte literal. Por ejemplo, el área destinada al almacenaje del café tipo II y III, son semejantes porque: 3xy

2xy

Tienen igual parte literal Para confirmar si los monomios tienen igual parte literal es necesario revisar: 1. que tengan las mismas variables. 2. que las variables estén elevadas a la misma potencia.

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Además, debes recordar que no importa que el orden de las variables sea el mismo, siempre y cuando cumpla las dos condiciones anteriores. Ahora, retomemos la pregunta correspondiente a la manera en la que calcularías el área total de la bodega de doña Liliana. La respuesta, como lo habrás pensado, corresponde a la adición de todos los valores que hay al interior del dibujo, es decir la adición de las áreas parciales de las secciones destinadas a la conservación de cada tipo de café. 4x2 + 3xy + 2xy + 3y2 En los casos en los que se tienen polinomios cuyos términos sean semejantes, se pueden reducir para obtener un polinomio más corto pero con las mismas características. Así, en el caso del cálculo del área de la bodega, se pueden reducir los términos semejantes de la siguiente manera: Se suman los coeficientes

4x2 + 3 xy +2 xy +3y2 = 4x2+ 5 xy +3y2 Se conserva la parte literal que tienen en común

En algunos casos, los polinomios tienen más de una pareja de monomios semejantes. En ese caso conviene, agrupar los monomios semejantes y efectuar la reducción en cada grupo.

Se agrupan los términos semejantes. Se reducen los términos en cada grupo. Se escribe el polinomio resultante.

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3x^2y + 4xy2 + 5x2y - 2xy2 + xy2 = (3x2y + 5x2y) + (4xy2 - 2xy2 + xy2) = ((3 + 5) x2y) + ((4 - 2 + 1) xy2) = (8x2y) + (3xy2) = 8x2y + 3xy2


1. Copia la tabla y colorea el o los espacios que tienen un monomio semejante al de la izquierda. 6xyz

-9xyz

3xy

5xy2z

5x2y2

8xy2

4 x2y2 3

2x2y2

-4p2m3

12m3p2

-4p2

-2p2m

-7pq2z3

-2p2t3

3pq2z3

-

-

5 2 3 qz 2

2. Copia y reduce los términos semejantes de cada polinomio. a. -3x3 + 2xyz + 5xyz + 6y3 b. 9p3 - 2p + 2p3 - 4p3 c. -23m8 + 6m3 + 7m3 + 6y3 1 2 3 d. 4 x3+ 3 xyz + 4 x3 3 6 e. - 5 p3 - 2p + 2p - 5 p3 + 13p + p3 f. -4d8 + 5d3 + 7d3 + 6m3 +14m8 - 3d3 + 4m3 + 6d3

3. Ten en cuenta el trabajo que desarrollaste en esta guía y resuelve. x 2x a. Expresa la operación relacionada 2x2 x2 con el cálculo del área total de la figura. Reduce los términos semejantes. b. Calcula el perímetro de la figura. 2xy 4xy Es decir, la longitud del borde.

2y 2xy

4x2

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Guía Las baldosas que recubren los pisos y paredes de las grandes bodegas deben ayudar en el aislamiento de la humedad y de otros agentes que puedan perjudicar la calidad de los productos que en ellas se almacenan.

Baldosas y pisos

Pero además de esto, el recubrimiento para el piso que se elija puede crear espacios no solo seguros sino también llamativos y agradables. 1. Facundo y su hermano trabajan instalando pisos en diferentes casas de la región. Su trabajo es muy reconocido por la calidad y el compromiso que le ponen a su trabajo. Para la remodelación de una de las casas del pueblo, en la cual se va a cambiar el piso de la sala, Facundo consiguió baldosas como las que se presentan a continuación.

A = 2xz

A = 1-2.xy

A = z2y-1

Con ellas forman el siguiente diseño.

>> ¿Te diste cuenta de que el área de cada baldosa está dada por una expresión algebraica? >> ¿Qué grado tienen? >> ¿Según el número de términos que las componen, qué nombre reciben? >> ¿Cómo calcularías el área del piso ocupada con las baldosas grandes? >> ¿Cómo calcularías el área del piso cubierta con baldosas pequeñas?

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>> ¿Cómo calcularías el área del piso cubierta con baldosas medianas? >> ¿Cómo calcularías el área total del piso cubierto con el modelo?

Cada una de las preguntas que se presentaron anteriormente se pueden relacionar con un concepto básico que se desarrollará en esta guía: el concepto de adición de expresiones algebraicas. >> ¿Cómo se calcula el área de cada modelo construido? >> ¿Cuántas fichas de área 2xz hay en la figura? >> cuatro veces 2xz, se escribe 4(2xz). >> ¿Cuántas fichas de área z2y - 1 se observan en la figura? >> seis veces z2y - 1, se escribe 6(z2 y - 1). Con este procedimiento se calcula el área parcial ocupada por cada tipo de baldosas. Calcula el área de las baldosas de área ,1-2.xy con el mismo procedimiento. Establece polinomio que representa el área total del modelo y respondan. >> ¿Cuántos términos tiene el polinomio que obtuvieron? >> ¿Hay términos semejantes en esa expresión? >> Señálenlos con color. >> ¿Se puede reducir esa expresión?

La suma de dos o más polinomios es otro polinomio formado por la suma de los términos de cada polinomio. Si hay términos semejantes se reducen.

Ejemplo 16xy + x2 12xy + 2x2 + 3y2 + 4xy + 2x2 + 8y2 32xy + 5x2 + 11y2 Ahora, piensa en la siguiente situación. Si el material que había comprado el dueño de la casa donde Facundo y su hermano trabajaron en la elaboración del modelo de la primera página de la guía, se puede definir con el polinomio. 12(z2y - 1)+ 7(2xz) + 10

1 xy = 2

12z2y - 12 + 14xz + 5xy)

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>> ¿Qué operación deben realizar para conocer qué tanto material le falta por utilizar? >> ¿Cuántas baldosas de cada tipo le quedan aún? >> ¿Cómo se expresa una sustracción de polinomios? Al igual que en los números enteros, la sustracción se puede convertir en una adición, si al minuendo se le suma el opuesto del sustraendo. El opuesto de un polinomio es el polinomio que tiene los mismos coeficientes del polinomio dado pero con el signo contrario. Por ejemplo: (12xy + 2x2 + 3y2) – (4xy + 2x2 + 8y2) puede expresarse como 12xy + 2x2 + 3y2 – 4xy – 2x2 – 8y2, que se simplifica a 8xy – 5y2, al reducir términos semejantes.

En grupos, realicen los ejercicios que se proponen a continuación. 1. Reduzcan en cada caso los términos semejantes. a. 4x – 2y – 3x b. 4xy – 2x2 + 6xy – 7x2 c. 2m2n + 2n – 5m2n + 6n d. – 3ab2 + 6a – 7b – 8a + 9ab2 2. Encuentren el inverso aditivo de cada una de las siguientes expresiones a. –8 b. –a c. 5b d. (5 + 4) e. (x + y) f. (x – y) g. – (m + n) h. – (m – n) i. – (–8 – u) 3. Simplifiquen cada una de las siguientes expresiones: a. (4x + 3x – 8x) + (5y – 2y) b. (5x2 – 2x2y) – (8xy2 + 3xy2) c. 5mn – (8mn – 3m) – 2m d. – (– x2 – 2x + 1) + (–3

50


4. Calcula el perĂ­metro de otros lugares que debieron embaldosar Facundo y su hermano. 5k

4x

8k

5 1

1 2m

m+ 5x+

2m

5. Resuelve las siguientes operaciones. x3 - 2x2 + 2 - 6x3 + 3x2 + x - 1

2x2 + 5xy + 9y2 x2 + 3xy + 8y2

6. Considera los polinomios P y Q. Calcula la suma y la diferencia entre ellos. y Q(x) = -6x3 + 3x2 + x - 1 a. P(x) = x3 - 2x2 + 2 2 3 y Q(x) = 5x3 + 6x - 3x2 - 2x4 + 8 b. P(x) = 5x - 6x + 2x - 4 + x4

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Guía

Tiempos

falta titulo en el de cosecha archivo de word

Los polinomios constituyen una herramienta poderosa para llegar a la solución de problemas. Con el uso de constantes y variables se generaliza todo aquello relacionado con los números: operaciones y relaciones, junto con sus propiedades. Por eso los polinomios aparecen en los lugares más inesperados. Trabajen en grupo. Lean y resuelvan la siguiente situación. Don Jairo cultiva tomates en un terreno, de forma rectangular, cuyas dimensiones (en metros) se observan en el siguiente plano.

4y

x 2x 3y >> ¿Cómo se pueden expresar el largo y el ancho del terreno? >> ¿Cuál es la expresión algebraica del área del terreno?

De acuerdo con la información el plano, el terreno de don Jairo mide metros de ancho por (2x + 3y) metros de largo, y para encontrar el área, es necesario efectuar el producto (x + 4y) (2x + 3y). >> ¿Cómo multiplican estos polinomios? Propongan un procedimiento para ello. El producto de dos polinomios se obtiene multiplicando cada término del primero por cada uno de los términos del segundo, y reduciendo términos semejantes, si es posible. Para ello, es necesario aplicar la propiedad distributiva con respecto a la adición y las propiedades de los exponentes, cuando sea necesario.

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Por lo tanto: Términos semejantes

(x + 4y) (2x + 3y) = x(2x + 3y) + 4y (2x + 3y) = 2x2 + 3xy + 8xy + 12y2 = 2x2 + 11xy + 12y2 Área del terreno

La multiplicación de polinomios también se puede efectuar de forma vertical. 2x + 3y x + 4y 2x2 + 3xy 8xy + 12y2 2x2 + 11xy + 12y2

x(2x + 3y) 4y(2x + 3y)

Para recolectar la cosecha, don Jairo tienen almacenadas cierto número de cajas de tomate, en la forma que se ve en la siguiente gráfica. h

h Don Jairo sabe que el volumen apilado es exactamente de 8x3 + 6x2 metros cúbicos (x un entero mayor que 1) y que la base es la misma área sombreada de la parte de arriba. Se necesita hallar esta área, pero la única medida disponible es la de la altura h. Si se sabe que el volumen de esa figura es igual al área de la base por la altura, V = A × h, y que la altura h = 2x, ¿es posible hallar el área deseada? >> ¿Cuál es el procedimiento que permite calcular ese dato? >> Discutan sus respuestas. Presenten sus conclusiones al resto del grupo y saquen una conclusión.

Analicen la expresión del volumen: V = A × h. Teniendo en cuenta la información anterior, ¿qué datos conocen de esa expresión? ¿Cuál se desea encontrar? Despejen el valor de A, en la fórmula anterior, multiplicando por el inverso de h, en ambos lados de la igualdad.

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¿Qué obtuvieron? Al reemplazar las expresiones conocidas en el resultado anterior, se obtiene: A=

8x3+ 6x2 2x

La expresión anterior representa una división entre un binomio y un monomio, y corresponde al valor del área sombreada en la figura. >> ¿Es posible simplificar esa expresión? ¿Cuál es el procedimiento? A=

8x3+ 6x2 8x3 6x2 = = 4x2+ 6x + 2x 2x 2x

Expliquen cómo se obtuvo este resultado. Luego, con el resto del grupo, discutan las siguientes preguntas >> ¿Es posible hallar el volumen V de la figura, si se conoce el área de la base A y la altura h? >> ¿Si se conoce el volumen y el área de la base, es posible hallar la altura h? >> ¿Si se conoce el volumen y la altura h, es posible hallar el área de la base? >> Reemplacen en la expresión del área de la base, el valor de x por 2 metros y hallen el valor del área. >> ¿Se pueden simplificar las siguientes expresiones? 8m3n2 4mn

h3 3h2 3h

Se quiere calcular la medida del largo de la superficie rectangular sobre la cual hay otra pila de cajas, cuya área es 9x2 – 10x + 6x3 – 15, y el ancho mide 2x + 3, donde x es un entero mayor que 1. >> ¿Cuál es la expresión correspondiente al largo de la superficie? Cuando la división es entre dos polinomios, se aplica un proceso similar a la división entre números naturales. 1. Se ordena el polinomio dividendo y el polinomio divisor, en forma descendente respecto a la misma letra. 2. Si en el polinomio dividendo hace falta términos, se completan estos sumandos (o lugares) con ceros o bien se dejan en blanco. 3. Se divide el primer término del polinomio dividendo, entre el primer término del polinomio divisor y se escribe este resultado en el cociente. 4. Este resultado, escrito en el cociente, se multiplica por cada uno de los términos del polinomio divisor y el resultado se va restando del polinomio dividendo. 5. Se bajan los términos siguientes en el polinomio dividendo. 6. Se repite de nuevo el proceso, las veces que sea necesario.

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Para hallar la expresión que representa el largo de la superficie, se efectúa la división del área entre el lado conocido, o sea: 9x2 - 10x + 6x3 - 15 ÷ 2x + 3 1. Se ordena el dividendo en potencias decreciente de x: 6x3 + 9x2 - 10x – 15 2. Se escribe la división y se realiza: 6x3+9x2–10x–15 2x+3 –6x3–9x2 3x2 0 0 –10x – 15

Discutan: ¿cómo se halla el valor de 3x2? ¿De dónde se obtiene – 6x3 – 9x2? Se continúa la división, 6x3+9x2–10x–15 2x+3 –6x3–9x2 3x2 – 5 0 0 –10x – 15 10x + 15 0 0

Discutan: cómo se halló el valor -5? ¿Cómo se obtiene el resultado 10x + 15? ¿Cuál es cociente de la división? ¿Cuál es el residuo?

Desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno.

1. Determina el área de los terrenos de forma rectangular cuyas dimensiones, dadas en metros, son las que se indican en cada caso. a. Ancho: 4, largo: (25x2 + 6x - 3) b. Ancho: -3x2, largo: (18x3 - 4x2 + 5x - 8) c. Ancho: 6xn, largo: 6xn (3xn + 5xn+1 - 10xn+2 + 6) d. Ancho: 8x3, largo: (7xm-1 + 2xm + 11xm+1) 2. Busquen una expresión, que multiplicada en cada caso por el monomio que aparece a continuación, dé como resultado 15x2y. 15 a. 5x b. 1 c. 4 x d. xy

3. El terreno de una casa es de forma rectangular y tiene 18x2 + 9x - 20 metros cuadrados de área. Si uno de los lados mide 6x - 5 metros, ¿cuánto mide el otro lado? En este problema x representa un entero mayor o igual que 1. 4. Realicen el problema anterior dándole a x el valor de 3.

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Resuelve los siguientes problemas. 1. La familia Mahecha, dueños de una de las haciendas más importantes de un departamento del centro del país, está construyendo una bodega de dos pisos. Entre sus preocupaciones está la de hacer una escalera de fácil acceso y tránsito para evitar que los trabajadores tropiecen o deban realizar demasiado esfuerzo al manipular los productos que almacenarán en ella. Un arquitecto les ha ayudado a definir la siguiente relación entre la altura y el ancho de los peldaños. x: corresponde al ancho de la huella del peldaño y: corresponde a la altura del peldaño

5 (x+y) 3

5 (x+y) 3

es el ancho del descanso al final de la escalera

V v

Tablón para el descanso de la escalera

Tablón para la altura Tablón para la huella

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Si la longitud de cada tablón se define con la expresión 6(x + y + z): a. Si se quiere poner un listón sobre el borde de la silueta de la escalera, ¿qué operación se debería resolver para conocer la longitud mínima de listón que se debe comprar? b. ¿Cómo crees que se calcularía el área de cada tipo de tablón? c. ¿Cuál es el área de cada tipo de tablón? d. ¿Cuántos tablones de cada tipo se deben comprar? e. ¿Qué operación se debería resolver para calcular cuál es el área total de madera que se debería comprar para formar los peldaños y el descanso de la escalera? f. Escribe un polinomio y calcula su diferencia con respecto al polinomio que expresa el total de área de la madera que se utiliza en la elaboración de la escalera.


2. Observa las figuras y resuelve.

A = x2 + 2xy

x+

A = x2 – 2xy

1

2

?

?

x-

A = x2 – 5x – 36 A = x2 3

?

4 x+

x a. Calculen el lado desconocido en cada una de las figuras. b. Calcula la diferencia entre las áreas de cada pareja de figuras >> 1 y 2 >> 2 y 3 >> 1 y 3 >> 2 y 4 >> 1 y 4 3. El producto del dinero que poseen dos amigos se representa por la expresión 2x3 + 10x -3x2 - 15 pesos, para x ≥ 3. Si el dinero de uno de ellos es x2 + 5, ¿Qué expresión representa el dinero del otro amigo?

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Que aprendí 1. Busca en la sopa de letras diez palabras o expresiones relacionadas con los conceptos que se desarrollaron durante el módulo. No olvides que no debes rayar el libro. C O M I D S O L O X D T V N A T R V A P R O D U C T O T T

I N A B L E S A X

O N N U D R D I O S S M R O T R O C E L P O T E N C I A S M A I O N M Y A L I O M E A B E L E E N L

I

S A O P

I O F

I

I M T K J H F D L A B S O N M I

S

O I O I C A M P O Ñ M I

L A M O R E S

M F S G O S O Y U C A S E F F S O R A I W C O C I D I V I

S

O A I

T E R A L K I D T

P A R T E L

E X P R E S

I

I O N T U O E P

I O N A L G E B R A I C A

>> O bserva los ejemplos y determina a cuál de las palabras o expresiones que encontraste le corresponde. Escribe la expresión y el ejemplo en tu cuaderno. 6 - 7mn - m2n2 + 5m3n (3p + q)D 6 - 7mn - m2n2 + 5m3n -2m2z

(2a + 5)2 = 4a2 + 20a + 25

6 - 7mn - m2n2 + 5m3n -7x2 z 8a3 + b6 2a + b2

>> Responde. a. ¿Utilizaste algún ejemplo en dos momentos diferentes? b. ¿Faltó alguna expresión o palabra por el ejemplo? En caso afirmativo, propón uno que consideres pertinente para el concepto. c. Resuelve las operaciones que se proponen como ejemplo.

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¿Cómo me ven los demás? Reúnete con tus compañeros y desarrollen una plenaria. a. Propongan un tema por ejemplo: ¿cuáles fueron los aprendizajes que tuvieron durante el desarrollo de este módulo? b. Piensen en algunos criterios que les ayuden a orientar las respuestas. Es decir, pueden enfocar la pregunta central frente a aspectos como: en cuanto a la convivencia, el dominio de los conceptos matemáticos, la motivación por el aprendizaje, entre otros. c. Por turnos, cada uno puede exponer sus ideas y entre todos pueden evaluar el rendimiento general del grupo frente a los aspectos mencionados. d. Elaboren y escriban algunos compromisos de mejoramiento o constancia en los aspectos que consideren más importantes.

Me autoevalúo Responde según la manera en la que te desenvolviste en el desarrollo del módulo.

Aveces

No

Reconozco los términos de los polinomios y la organización de los polinomios. Resuelvo operaciones básicas de tipo aditivo y multiplicativo con polinomios. Diferencio los productos y cocientes notables y los uso para simplificar expresiones algebraicas. Me intereso por utilizar el tiempo de clase con eficiencia. Tomo conciencia de mi proceso de aprendizaje y trato de superar las dificultades. Mantengo un comportamiento adecuado durante el desarrollo de las clases.

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MÓDULO

Expreso un objeto como producto de otros objetos más pequeños.

¿Qué voy a aprender? Estándares básicos de competencias Pensamiento variacional >> Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. >> Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

Pensamiento Espacial >> Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. >> Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas. Este módulo contribuye al desarrollo de los estándares básicos de competencias relacionados con el pensamiento variacional, ya que a través de la composición y descomposición de figuras en el plano, es posi-

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ble hallar las dimensiones de una figura, su área total o de regiones determinadas de ella. La factorización permite resolver situaciones de la vida cotidiana relacionadas con nuestro trabajo, nuestra casa, nuestra escuela, y en algunos casos ayuda a la toma de decisiones, por ejemplo, para comprar determina clase de baldosa conociendo sus medidas y las necesidades de espacio. En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

Contenidos Guías

Contenidos

1

Factorización

2

Factorización de binomios

3

Factorización de trinomios

Procesos >> Relacionar el lenguaje cotidiano con el lenguaje y los símbolos matemáticos al asignar expresiones algebraicas a situaciones. >> Factorizar correctamente binomios y trinomios siguiendo los modelos establecidos. >> Comprender, manejar y valorar la utilidad de la factorización en la resolución de problemas.

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El siguiente esquema te permite relacionar los temas que se van a desarrollar en el módulo.

Módulo 3 Pensamiento variacional Factorización Polinomios

Monomios Producto de factores primos

Producto de varios polinomios

Algunos casos son

Factor común

Diferencia de cuadrado

Trinomios

Suma o diferencia de cubos

Pueden ser

Cuadrado perfecto

De la forma x2 + bx + c

De la forma ax2 + bx + c

¿Para qué te sirve lo que vas a aprender? La factorización es un proceso rápido y práctico que busca facilitar y reducir problemas. A través de esta procedimiento es posible conocer las dimensiones de un terreno, o cómo dividirlo para distribuir varias siembras en él. Nuestra mente está acostumbrada a factorizar, por ejemplo, guardamos las cosas ordenadamente según sus características. La ropa tiene su sitio, los alimentos que guardamos en la nevera tienen cierta organización, los objetos que se empacan en bolsas cuando vamos a la tienda se hacen según la característica, por ejemplo, si es carne, va en una bolsa diferente a las frutas. La factorización nos permite adquirir agilidad en el manejo de las expresiones algebraicas que posteriormente se aplicarán en la resolución de problemas.

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¿Cómo se te va a evaluar? En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con el conjunto de los números naturales y la recolección de datos estadísticos. La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar. Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

Explora tus conocimientos Plantea una división para resolver la siguiente situación. El terreno de una casa es de forma rectangular y tiene 18x2 + 9x - 20 metros cuadrados de área. Si uno de los lados mide 6x - 5 metros, ¿cuánto mide el otro lado? >> ¿Cuál es el cociente? >> ¿La división es exacta? >> Escribe el dividendo como el producto del divisor y el cociente. >> ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? >> Compruébalo realizando la multiplicación de los factores.

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Guía Forma pareja con otro compañero o compañera.

¿Cómo se relaciona la geometría con el algebra?

1. En sus cuadernos dibujen rectángulos de manera que tengan el área indicada en cada caso. b. 12 cm2 a. 8 cm2 >> Encuentren todas las posibles soluciones. >> Ayúdense construyendo en sus cuadernos tablas como las siguientes.

Ancho

Largo

Área

8 cm2

Ancho

Largo

Área

12 cm2

2. Consigan los siguientes materiales: cartón paja, tijeras, cinta. En el cartón paja dibujen varios cuadrados de 4 cm de lado, rectángulos de dimensiones 4 cm por 1 cm y cuadrados de 1 cm de lado.

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En sus cuadernos completen la siguiente tabla.

Figura

Perímetro

Área

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Al llenar las tablas con las posibles dimensiones de los rectángulos, se están buscando factores de esos números. Por ejemplo, un terreno que tenga un área de 8 m2, puede tener dimensiones de 3 m y 8 m. ¿Por qué? 3 >> Discutan con sus compañeros de clase, acerca de esta afirmación. >> ¿Qué otras alternativas, para obtener un área de 8 m2, tienen anotadas en la tabla? >> Comparen sus anotaciones con las de otros compañeros. >> Realicen la misma actividad para las anotaciones de los factores de 12. Tomen ahora las fichas recortadas, construyan un rectángulo. Empleen las fichas que se indican a continuación. Consideren que el cuadrado representa una figura de área x2 y el rectángulo una figura de área x.

x2

x

x

x

x

x

x

>> Escriban las longitudes de los lados del rectángulo construido. >> Escriban el área total como suma de las áreas parciales de cada región. >> ¿Se puede afirmar que x2 + 6x = x(x + 6)?

Factorizar una expresión es expresarla como un producto de dos o más factores.

La expresión x2 + 6x, se ha factorizado en x(x + 6).

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Tomen nuevamente sus fichas. Seleccionen las que se indican en la siguiente figura.

x2

x2

x

x

x

x

x

x

x

x

Construyan rectángulos. Calculen las longitudes de sus lados y sus áreas.

>> ¿Encontraron otra alternativa para organizar las fichas formando un rectángulo? >> Escriban las longitudes de cada uno de los lados. >> ¿Qué similitudes encuentran en los rectángulos construidos? >> ¿Qué diferencias hay? >> Hallen sus áreas y perímetros >> ¿Tienen la misma área? >> ¿Tienen el mismo perímetro? >> El primer arreglo tiene longitudes x y 2x + 8x ¿Cuál es su área? >> Expresen el área de esa figura como suma de las áreas de las figuras que lo conforman. 2x2 + 8x = x(2x + 8) >> Realicen el mismo procedimiento con el segundo arreglo. >> Escriban la expresión factorizada.

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En grupos resuelvan lo que se propone a continuación. 1. Escriban con sus palabras que es factorizar un número o una expresión algebraica. 2. Con el material construyan figuras que tengan el área indicada. Luego expresen esa área como producto de las dimensiones de sus lados. a.3x2 + 5x b. x2 + 4x + 4 c. 2x2 + 2 3. Busquen por lo menos cuatro pares de monomios tales que, al multiplicarlos entre sí den como resultado 6a3b5. 4. Escriban la expresión algebraica t5 + 3t2 como el producto de dos factores. 5. Determinen cuáles podrían ser las dimensiones de cada rectángulo. C

A

A = 5x2y + 10xy2

B

A = 6x2y3

A = 18x2y2z

D A = 6x4 + 24x2

>> Expliquen la estrategia utilizada para dar las posibles dimensiones de los lados de cada rectángulo. 6. Escriban el área de cada una de las figuras anteriores factorizadas. 7. En sus cuadernos dibujen la figura que a continuación se ilustra. y

y

x

y

x

x

y

y

x

x x

y

a. ¿Cuál es el área de este cuadrado? b. ¿Cuál es el área de cada una de las cuatro figuras en que está descompuesto el cuadrado? c. Expresen la equivalencia entre el área del cuadrado inicial y la suma de las áreas encontradas anteriormente. d. Expresen en lenguaje natural la equivalencia anterior. 8. Saquen algunas conclusiones de todo lo que realizaron.

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Guía Trabaja con un compañero o una compañera. Descomponiendo binomios

1. En el ejercicio 5 de la guía anterior, se buscaron posibles factores para las longitudes de los lados de cada uno de los rectángulos. >> Escriban las alternativas que tienen esas longitudes de los rectángulos C y D, para obtener el área deseada en cada caso. C

D

A = 5x y + 10xy 2

2

A = 6x4 + 24x2

>> Ayúdense completando, en sus cuadernos una tabla como la siguiente,

Figura

Área

Factores

C

5x 2y + 10xy2

D

6x4 + 24x2

>> Representen las posibilidades anotadas. >> Compartan sus respuestas con sus compañeros de clase y con su profesor. Compleméntenlas si es necesario.

Una de las posibilidades que hay para factorizar la expresión 5x2y + 10xy2, es:

5xy

x + 2y

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Al escribir el área del rectángulo multiplicando largo por ancho, se obtiene: 5xy(x + 2y). De otro lado, si se descompone la expresión 5x2y + 10xy2, se obtiene: 5x2y + 10xy2 = 5∙x∙x∙y + 5 × 2∙x∙y∙y = (5∙x∙y)(x) + (5∙x∙y)(2∙y) >> ¿Qué propiedad de la multiplicación se aplicó? >> ¿La expresión (5∙x∙y)(x) + (5∙x∙y)(2∙y) es un monomio? ¿Por qué? >> ¿Es un binomio? ¿Por qué? >> ¿Qué tienen en común esos términos? >> ¿La expresión está factorizada? Explica. Para factorizar un polinomio, que tenga un factor común en todos sus términos, se descompone como el producto de dos factores: el primero es el factor común y el segundo el que resulta de dividir cada sumando del polinomio entre el factor común. (5∙x∙y)(x) + (5∙x∙y)(2∙y)= (5∙x∙y)(x + 2y) 5xy es el factor común de 5x2y + 10xy2. >> ¿Cuál es el factor común en la expresión 6x4 + 24x2, que representa el área del rectángulo D? 6x4 + 24x2 = 6∙x2∙x2 + 6∙4∙x2 = 6∙x2(x2 + 4) Factor común

>> ¿Alguna de las alternativas escritas en la tabla coincide con esta factorización? >> ¿Cuál es el factor común en la expresión 7x2 + 28? 7x2 + 28 = 7(x2 + 3) Factor común

Observen que la factorización se basa en la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Además, el factor común puede ser un número, un monomio, un binomio u otro polinomio. Otro ejemplo: 8a – 4a2b + 6a3b2 = 4(2a) – 2ab(2a) + 3a2b2(2a) = 2a(4 – 2ab + 3a2b2)

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Trabaja con un compañero.

1. Factoricen las siguientes expresiones. En cada caso indiquen el factor común. a. x2 + xy b. 3a2 – a2 c. 10b – 30ab2 2. Sigan paso a paso el proceso utilizado para factorizar el polinomio 12xy – 8xz – 6ty + 4tz. >> Asocien los dos primeros sumandos y los dos últimos, como se observa a continuación. (12xy – 8xz) + (–6ty + 4tz) >> ¿Cuál es el factor común de los términos de la primera agrupación? >> ¿Cuál es el factor común en la segunda agrupación? >> Factoricen la expresión 12xy – 8xz.

>> Factoricen la expresión –6ty + 4tz.

>> ¿Qué tienen en común esos resultados? >> ¿Cuál es el nuevo factor común? >> Factoricen nuevamente.

>> ¿A qué resultado llegaron?

>> Comparen sus resultados con lo que aparece a continuación. 12xy – 8xz – 6ty + 4tz = 4x(3y-2z) - 2t(3y-2z) 12xy – 8xz – 6ty + 4tz = (3y - 2z) (4x - 2t) >> ¿Es igual a lo que obtuvieron? >> ¿Hubo diferencias? ¿Cuáles? >> Observen el factor (4x - 2t).

>> ¿Es posible encontrar un factor común entre sus términos? ¿Cuál? >> Factoricen.

>> Comparen sus resultados con lo que se muestra a continuación: 12xy – 8xz – 6ty + 4tz = 2 (3y - 2z) (2x - t)

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3. Escriban la expresión algebraica que representa el área de la figura sombreada. x–y 1

y2

x 2

x–y

x

>> Analicen como se factoriza una diferencia de cuadrados.

a. ¿En cuántos rectángulos se descompuso la figura? b. ¿Cuáles son las dimensiones del primer rectángulo? c. ¿Cuál es su área? d. ¿Cuáles son las dimensiones del segundo rectángulo? e. ¿Cuál es su área? f. Adicionen las áreas de las regiones 1 y 2. g. ¿Cuál es el factor común en ese binomio? h. Factoricen la expresión del área de la región sombreada. x2 - y2 = (x + y)(x – y)

4. Hallen el resultado de dividir x3 + y3 entre x + y. a. ¿Cuál fue el cociente que obtuvieron? b. ¿La división fue exacta o inexacta? c. Escriban el dividendo como el producto del divisor por el cociente. x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) 5. Hallen el cociente de dividir x3 – y3 entre x – y. a. ¿Qué diferencia encuentran con el cociente obtenido en el punto anterior? b. Escriban el dividendo como el producto del divisor por el cociente. x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

71


Guía Trabaja con un compañero. Utilicen las fichas construidas en la guía 1.

Componiendo y descomponiendo trinomios

Si el área de un cuadrado es x2 + 2x + 1, armen el cuadrado utilizando las fichas que se ilustran en el dibujo.

x2

+

x

x + 1

Si el área de un rectángulo es x2 + 8x + 15, ármenlo utilizando las fichas:

x2

x

x

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x

1

x

1

x

1

x

1

1

x

x

x

1

Representen en sus cuadernos, un rectángulo de área 12x2 + 23x + 10.

Una vez realizada la actividad anterior, respondan las siguientes preguntas. >> ¿Cuáles es la longitud del lado del cuadrado de área x2 + 2x + 1, construido en la primera actividad? >> ¿Cuáles son las longitudes de los lados del rectángulo construido en la actividad 2? >> ¿Cuáles son las del rectángulo construido en la actividad 3? >> En sus cuadernos completen la siguiente tabla.

72


Expresión del área del rectángulo como suma del área de cada pieza

x2 + 2x + 1

Dimensiones del rectángulo construido

Expresión del área del rectángulo como producto de sus dimensiones

x+1yx+1

(x + 1)(x + 1) = (x + 1)2

x2 + 8x + 15 12x2 + 23x + 10 ¿Encuentras alguna similitud con los productos notables? El primer caso registrado en la tabla corresponde a un trinomio cuadrado perfecto. Para comprobar que un trinomio es cuadrado perfecto, se debe extraer la raíz cuadrada de los términos que ocupan el primer y el tercer lugar. Para el trinomio x2 + 2x + 1 Se extrae raíz cuadrada

x

1

El segundo término debe ser igual a dos por el producto de las raíces cuadradas que se hallaron. En este caso, 2 ∙x ∙ 1 = 2x Por los resultados de la tabla, el trinomio x2 + 2x + 1 se factoriza como (x + 1)2 Confirmen ese resultado en el trinomio x + 4x + 4. >> ¿Es un trinomio cuadrado perfecto? >> Represéntenlo con las fichas. 2

Analicen que sucede cuando el segundo término del trinomio es negativo. Por ejemplo, 4x2 – 20xy + 25. >> ¿Cuál es el primer término del trinomio? >> ¿Cuál es su raíz cuadrada? >> ¿Cuál es el tercer término? >> ¿Cuál es su raíz cuadrada? >> ¿20xy corresponde al doble producto de las raíces halladas? >> ¿Es un trinomio cuadrado perfecto? >> ¿Cuál es su factorización? 4x2 – 20xy + 25 = (2x – 5y)2

En general, un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como la suma de sus raíces al cuadrado.

73


Observen nuevamente la tabla. >> ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área x2 + 8x + 15? >> ¿Este trinomio es cuadrado perfecto? >> Compruébenlo. x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) >> ¿Cuánto suman los números 3 y 5, que aparecen en los factores? >> ¿Cuál es su producto? Este es un trinomio de la forma x2 + ax + b, se factorizan buscando, si es posible, dos números enteros c y d, tales que c + d = a y cd = b. x2 + ax + b = (x + c)(x + d). En el trinomio anterior, los valores de c y d son 3 y 5 respectivamente, ya que 3 + 5 = 8 y 3 × 5 = 15. Comprueben el resultado anterior factorizando el trinomio x2 – 7x + 12. >> ¿Cuál debe ser la suma de los números c y d? >> ¿Cuál debe ser el producto? >> Escriban los factores enteros de 12. 1 y 12; 2 y 6; 3 y 4; -1 y -12; -2 y -6; -3 y -4 >> ¿Cuáles de ellos suman -7? >> Factoricen la expresión. Analicen el último trinomio de la tabla. 12x2 + 23x + 10. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que representa? Analicen cómo se obtiene ese resultado. 12x2 + 23x + 10 = = = = =

12x2 + (15x + 8x) + 10. 3 ∙ 4 x2 + 3 ∙ 5x + 2 ∙ 4x + 2 ∙ 5. (3 ∙ 4 x2 + 3 ∙ 5x)+ (2 ∙ 4x + 2 ∙ 5). 3x(4x + 5) + 2(4x + 5). (3x + 2)(4x + 5)

¿Qué proceso se realizó? Expliquen lo que sucedió. ¿Qué propiedad se aplicó? ¿Qué propiedad se utilizó? ¿A qué caso de factorización corresponde?

Apliquen el mismo procedimiento para factorizar el trinomio 2y2 + 7yz + 6 z2

3

Trabaja con dos compañeros de la clase.

1. En forma gráfica justifiquen ¿por qué (x + 3) (x + 2) = x + 5x + 6?

x

2

x

74

2


2. En forma similar al anterior, justifiquen ¿por qué (x - 5) (x + 2) = x2 - 3x – 10? 3. Factoricen cada uno de los siguientes polinomios. a. a4 – 1 b. 1 - t2 c. x3 + y3 sabiendo que un factor es x + y. d. x3 + 4x2 + 9x + 6 sabiendo que un con factor es x+1. e. 20 + 3t2 - 17t 4. Las expresiones algebraicas del centro corresponden a la medida del área ó volumen de las figuras ilustradas, unan con una línea la expresión con la figura correspondiente. Escriban la factorización en cada caso. x2 - 4x + 4

x+2

x+4

x+3 x+4

x2 - 5x + 6

4 4

x2 - 4x + 12

x x

x2 – 16

x-2 x-2

x+4 x-3

x2 - 8x + 16

5. A un terreno cuadrado de lado 5x, se le quita una porción cuadrada de lado 3. ¿Cuáles serán las dimensiones de un rectángulo con igual área a la de la figura resultante?

75


Trabaja con un compañero 1. Realicen la siguiente actividad. En una hoja de papel en blanco pinten un rectángulo que sea semejante al que se ilustra en la figura. Llamen x al ancho y, x + y al largo. B

A

x

D

x+y

C

>> Ahora hagan un doblez en forma tal que el vértice D caiga sobre el lado AB; así se obtiene el punto E pertenece al segmento AB. ¿Cuánto mide el segmento AE? ¿Cuánto mide el segmento EB? >> Ahora llamen F al punto extremo más bajo del doblez, es decir, F pertenece al segmento DC. Unan E con F y así obtiene el segmento EF. >> A continuación hagan un nuevo pliegue tomando el vértice B y llevándolo hasta que toque al segmento EF; de esta manera obtienen el punto G que pertenece al segmento EF. ¿Cuánto mide el segmento EG? >> Llamen H el punto más bajo de éste último doblez, es decir, H pertenece al segmento BC. ¿Cuánto mide el segmento BH? ¿Cuánto mide el segmento HC? ¿Cuánto mide el segmento GF? >> Ahora con la figura extendida en su posición original unan los puntos G y H y prolonguen el segmento hasta alcanzar al segmento AD. Recorten el rectángulo FGHC. ¿Cuáles son las dimensiones de este rectángulo? >> Por último, con el segmento EG como doblez, hagan que el cuadrado EBHG caiga sobre el cuadrado AEFD y a

76


continuación del segmento EG, se coloquen el rectángulo recortado, así obtendrán una figura como: y

x

A partir de la gráfica, y usando las fórmulas de área, escriban una relación entre ellas, de tal manera que al transformarlas se obtenga (x + y) (x - y) = x2 -y2, que se conoce como la factorización diferencia de cuadrados. 2. Para cada figura, encuentren un rectángulo que tenga la misma área.

y

4x

y

8

y

2 y b

4x a

x x

b

a

a

a

a

a

5 a

a

5

77


Que aprendí 1. Factoriza agrupando por parejas. a. 3a + ab + 3c + bc b. x2 – 2xy + 4xz – 8yz c. m4 + 8m3 + 8m2 + 64m d. ab3 - a2b2 – a2b + a3 2. Representa con las fichas recortadas, al inicio del módulo, la expresión x2 + 3x + 2 y confirme que su factorización es (x + 1)(x + 2). 3. Construye con las figuras las figuras indicadas.

x-1 (x + 4)

(x + 5)

(x + 4)

5x + 1 x-1

5x + 1

Determinen los trinomios a los cuales les corresponde esa factorización. 4. Factoriza cada expresión. Área de la figura 6x2 + 19x + 10 4x2 + 15x + 21 x2 – 2x + 1 x2 – 9 x2 – 6x + 9 x2 – 8x + 16 x2 – 7x + 12 3x2 + 5x –12 4x2 + 4x

78

Factorización


¿Cómo me ven los demás? Trabaja con dos compañeros de la clase. 5. En la siguiente tabla, en la primera columna encuentran la expresión algebraica que corresponde al área de algunas figuras, constrúyanlas con las fichas que recortaron al inicio del módulo. En la segunda columna dibujen la distribución de las fichas, de acuerdo con la construcción; y en la tercera columna hallen la longitud de los lados de cada figura (largo y ancho). Expresión algebraica

Dibujen de acuerdo con la distribución de las fichas que la forman

Longitud de los lados Largo

Ancho

9x + 3 3x2 + 5x + 2 4x2 + 2x 4x2 + 12x + 9 x2 + 6x + 9 6. La longitud de un terreno rectangular excede al ancho en ocho metros. Si sus medidas se aumentan en tres metros, el área del terreno se aumentará en 57 m2. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? 7. Determinen las dimensiones de un rectángulo con igual área a la región coloreada.

Me autoevalúo >> >> >> >>

Reconozco el factor común en un polinomio. Reconozco trinomios cuadrados perfectos. Identifico una diferencia de cuadrados Construyo rectángulos con áreas dadas y hallo sus longitudes. >> Factorizo expresiones algebraicas. >> Trabajo con interés en las clases y realizo las actividades que me permiten reforzar los conceptos.

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MÓDULO

Lo bueno de la semejanza entre figuras

¿Qué voy a aprender? Estándares básicos de competencias Pensamiento espacial

>> Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas. >> Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales). >> Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza de triángulos en la resolución y formulación de problemas. >> Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

Este módulo te ayudará a afianzar los estándares básicos de competencias, mencionados en la parte superior, mediante los conceptos relacionados con la semejanza de polígonos y el teorema de Tales. En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

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Guías

Contenidos

1

Semejanza de polígonos.

2

Teorema de Tales.

3

Planos y maquetas

Procesos >> Ejercitación de procedimientos para comprobar la semejanza de polígonos y el teorema de Tales. >> Solucionar diferentes situaciones de la vida cotidiana relacionada con la semejanza de polígonos y el teorema de Tales. >> Comunicación: representar por medio de figuras y graficas la información planteada en un procedimiento o problema.

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Módulo 3 Pensamiento espacial Figuras geométricas A través del uso

Semejanza de Polígonos

Teorema de Tales

Factor escalar Escala Planos

Maquetas

81


¿Para qué te sirve? La semejanza de figuras geométrica y el teorema de tales son usados con frecuencia en muchas de las situaciones de la cotidianidad. Por ejemplo, para construir un plano de una vivienda la semejanza es representada a través de una escala, de la misma forma las maquetas de aviones o vehículos que conocemos. El teorema de Tales se puede utilizar para calcular medidas que parecieran ser difíciles de medir, como la altura de una casa.

¿Cómo se te va a evaluar? En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos relacionados con la interpretación del teorema de Tales y la semejanza de polígonos. La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y que debes reforzar. Además encontraras dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

82


Explora tus conocimientos

>> Todos los cuadrados son semejantes, ¿por qué? >> Todas las circunferencias son semejantes, ¿por qué? >> Observa la siguiente figura y encuentra cual relación de semejanza encuentras entre ellas.

3 cm F1

1 cm F2

83


Guía

¿Cuál es la semejanza de los estanques de Samuel?

Samuel es un campesino que vive en la Costa Colombiana, él ha ayudado a construir unos estanques para la producción y comercialización de peses de su región, la mayoría de sus estanques tienen formas de polígonos irregulares. >> ¿Sabes en qué se diferencia un polígono regular de un irregular? >> ¿Sabes cómo ayudarle a Samuel a encontrar semejanzas entre sus estanques? >> ¿Cómo lo harías?

¿Sabes lo qué es la piscicultura? Es el conjunto de actividades, técnicas y conocimientos de cultivo de peses, los peses son tratados en estanques en dónde se clasifican de acuerdo a su tamaño y tiempo de vida. En Colombia muchas familias campesinas se dedican a esta actividad, la familia de Samuel y otros vecinos de la vereda se unieron como una organización dedicada a esta importante actividad. Por medio de la organización han construido varios estanques, a continuación se muestran dos de ellos con sus dimensiones:

A

5m

B

10 m

Ayuda a Samuel a calcular el perímetro los estanques A y B, cada estanque tiene la forma de un polígono regular. >> ¿Son los dos estanques semejantes? >> ¿Sabes lo que es una escala? >> ¿Se puede decir que el estanque pequeño está construido a una escala 1:2? Tú ya sabes que las figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, son figuras semejantes.

84


Para saber si los dos estanques son semejantes debemos saber si los ángulos de cada estanque son congruentes, como sabemos que el estanque tiene la forma de un pentágono regular damos por hecho que los ángulos son congruentes. Ahora mediremos los lados correspondientes para encontrar la razón entre cada longitud lateral del estanque pequeño y la longitud del lado correspondiente del estanque más grande; esto es de un 1 metro para el estanque pequeño en relación a 2 metros del estanque grande. Encontramos que cada razón es igual a por lo tanto los lados correspondientes son proporcionales. Las relaciones que acabamos de descubrir conllevan a la definición matemática de polígonos semejantes: Dos polígonos son semejantes si y solamente si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados homólogos son proporcionales. La razón de semejanza 12, la podemos usar para interpretar una escala numérica 1:2, su significado es: 1 unidad del estaque A corresponde a 2 unidades del estanque B. La escala también puede ser representada de forma gráfica como lo muestra la figura: 0

500

1000

1500

2000

2500

0

1

2

3

4

5

En este caso, 1 unidad sobre el plano representa 500 unidades en la realidad. La escala es la razón de semejanza entre el objeto original y su representación, que puede ser un plano, un mapa o un maqueta entre otros. Se representa de la forma 1:n. Su significado es: 1 unidad del plano corresponde a n unidades de la realidad. La siguiente figura ilustra los estanques donde Samuel y su asociación cultivan mojarras rojas, ayuda a Samuel a saber si sus estanques son semejantes. B 115º

65º

C

65º

C'

8M

6M

A

B' 115º

60º 8M

120º D

A'

60º 12 M

120º D'

85


Para saber si los estanques son semejantes como acabamos de ver, sus ángulos deben ser congruentes: A = A’, para nuestro ejemplo tanto A como A’ igual a 60° B = B’, para nuestro ejemplo tanto B como B’ igual a 115° C = C’, para nuestro ejemplo tanto C como C’ igual a 65° D = D’, para nuestro ejemplo tanto D como D’ igual a 120°

Así pues, los ángulos correspondientes son congruentes. Sin embargo falta averiguar si los lados homogéneos son proporcionales: Razón de semejanza,

r1=

AB 6 3 = = A'B' 8 4

Razón de semejanza2,

r2=

AD 8 2 = = A'D' 12 3

Como las razones de semejanza r1 y r2 son diferentes, los lados correspondientes no son homólogos; por lo tanto los estanques no son semejantes. Samuel ha cercado uno de sus estanques con una malla de alambre, que tiene la forma y dimensiones de la figura. 40 m

20 m

¿Cuántos metros de alambre necesitará para cercar un estanque semejante, con la mitad de superficie que el anterior? La huerta inicial tiene esta superficie: Superficie s1=20x40=800m2 Como el nuevo estanque tiene la mitad de superficie que la anterior, medirá: 800 400m2 Superficie s2 = = 2

86


Aplicando la relación entre ambas superficies obtendremos la razón de semejanza que llamaremos r:

r2 =

800 2

r2 = 2

donde r = √2

Así, el nuevo estanque medirá: y x

20 20 20 2 = 10 2 m = 2→x= = X 2 2 40 40 40 2 = 20 2 m = 2→y= = y 2 2

El nuevo estanque medirá 10√2 por 20√2 metros. Acabamos de encontrar que: El cociente entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. S1 2 =r S2

Ayúdale a Samuel a cercar un estanque semejante, que sea tres veces mayor al de la figura 4.3 ¿Cuántos metros de alambre necesitará para cercar este nuevo estanque semejante? La siguiente figura ilustra los estanques donde Samuel y su asociación cultivan truchas, con la ayuda de una regla y un transportador ayuda a Samuel a saber si sus estanques son semejantes.

87


C' B'

C

B

D' D

A

A'

E

E'

Trabaja con dos compañeras o compañeros y respondan las siguientes preguntas o realicen las actividades en el cuaderno. 1. Halla la longitud de los lados de la figura para que sea semejante a la primera. 2 4

1

3

x

z y

6

2. Si la razón de semejanza de dos polígonos semejantes es de 4/5. ¿Cuánto vale la razón de semejanza de sus perímetros? ¿Y la de sus áreas? 3. Escribe la escala numérica correspondiente a las escalas gráficas. 0

300

600

900

1200

300

400

15

20

Centímetros 0

100

200 Kilómetros

0

5

10 Metros

88


4. La razón de semejanza de dos polígonos es 2/7 y el perímetro del primero es 38 m. ¿Cuánto mide el perímetro del segundo? 5. Dibuja las escalas gráficas correspondientes a las siguientes escalas numéricas. a. 1:400 b. 1:5000 c. 1:100.000

89


Guía

¡A encontrar las proporciones!

Samuel es muy inquieto y quiere que las divisiones a construir en los nuevos estanques sean proporcionadas. >> ¿Sabes lo qué es una proporción? >> ¿Sabes el significado de líneas paralelas y perpendiculares?

Samuel tiene dos grandes estanques que ha divido en dos partes para tener los peses pequeños separados de los grandes y así éstos no se coman la comida de los más chicos, como se muestra en las figuras. 6m

3m

4m c 2m

b

a

Del primer estanque conocemos algunas dimensiones, las paredes a y b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las paredes a y b? ¿Cómo lo demostrarías? 2m

10 m

x c 15 m

b

a

Para el segundo estanque se sabe que la nueva división es paralela a la de sus lados; puedes ayudar a Samuel encontrar la longitud faltante de su estanque (x). ¿Cómo lo harías?

90


Para ayudar a Samuel a resolver sus interrogantes haremos lo siguiente:

Para el primer estanque: Como sabemos que las paredes a y b son paralelas, aplicaremos la siguiente relaci贸n de sus lados: 3 6 = 2 4 Averig眉emos si se cumple la igualdad: 3x4=6x2 Luego, 12 = 12 Con esto hemos comprobado que la pared c es paralela a las paredes a y b.

Para el segundo estanque: Usaremos la misma relaci贸n de entre sus lados, sabiendo que su pared divisoria es paralela a las otras. 15 x = 10 4 Ahora procederemos a hallar el valor de x x=

15x4 = 6 Metros 10

El teorema que hemos empleado para resolver estos dos problemas se llama Teorema de Tales. Si varias rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes r y s, los segmentos que se forman sobre la recta r son proporcionales a los segmentos formados sobre s. r A

B

C

s

AB BC AC = = A`B` B`C` A`C`

A'

B`

C'

Pos instruccional

91


La siguiente gráfica ilustra el estanque más grande de peses de la Asociación a la que pertenece Samuel. A C E

B

D

F

Teniendo en cuenta que las paredes medidas desde los puntos AB, CD y EF son paralelas. Resuelva las siguientes situaciones: 1. Con AC = 30m, CE = 90m y BD = 40m, encuentre la longitud de la pared conformada por DF. 2. Con BD = 40m, DF = 100 y CE = 5, calcule la longitud de la pared conformada por AE. 3. Con BF = 80, DF = 30 y AE = 240, halle la longitud de la pared conformada por AC.

Trabaja con un compañero o compañera. Luego compartan sus respuestas con el resto del grupo. 1. Hallar las medidas de los segmentos a y b, de la siguiente figura. m

b

4

m

2

6m

92

4m

a


2. La siguiente gráfica muestra tres lotes que colindan uno a uno. Los límites laterales son segmentos perpendiculares a la calle 8 y el frente total de los tres lotes en la calle 9 mide 120 metros. Determine la longitud de cada uno de los lotes de la calle 9.

Calle 9

C

D

40 m

F

30 m

20 m

Calle 8

3. Observando la siguiente figura y sabiendo que AB = 14m, BC = 21 m y CD = 30 m, hallar BE. A

B

C

E

D

4. Un poste de 8 m de altura proyecta una sombra de 6m de longitud. ¿Cuál es la medida de la altura de una torre que en el mismo instante proyecta una sombra de 42m?

93


Guía

Para la puesta en marcha de diversos proyectos es necesario encontrar alguna representación por medio de mapas, maquetas o planos. Samuel ha observado el plano de su casa y la ubicación de ésta en el mapa del municipio. >> ¿Has observado el mapa de tu casa o de tu cuadra? >> ¿Por qué crees que los arquitectos elaboran mapas y maquetas antes de realizar una construcción?

¿Para qué sirven las escalas? Samuel tiene el plano que se muestra en la figura, con el cual quiere construir un nuevo estanque para sus peces.

12 m

9m

Escala 1:100

Mirando el plano del estanque, contestes lo siguiente: a. Puedes ayudarle a Samuel a hallar su perímetro b. Puedes ayudarle a Samuel a encontrar su área c. Son correctas las dimensiones del plano en relación a la cuadricula que se uso como guía. d. ¿Qué significa escala 1:100?

Vamos a ayudarle a Samuel a contestar su última pregunta. El dibujo anterior, tomando cada cuadricula como un centímetro mide 12 cm de largo por 9 cm de alto. Es decir, 12 cm en el dibujo representan 12m, o bien, 9 cm representan 9m de la realidad.

94


Por lo tanto nos referimos a que 1 cm representa 100 cm de la realidad, significa que por cada centímetro del dibujo estamos representando 100 de la vida real; podemos asegurar que la escala que representa esta relación está dada por 1:100 lo cual significa 1/100 “uno a cien” de la unidad tomada, que en este caso es el metro. En conclusión, cuando usamos la escala 1:100 cada metro de la realidad es igual a 1cm. En este caso, el factor escalar seria 100. La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano. Samuel ha contratado a un arquitecto cercano a la familia para que le construya una maqueta de una carpa para cubrir uno de sus estanques en épocas de fuerte invierno, el arquitecto a construido una maqueta a escala 1:50 de la carpa con las siguientes dimensiones: largo 32cm, ancho 24cm y alto 8cm, como lo muestra la figura:

24 cm

8 cm

cm 32

Ayuda a Samuel a encontrar las dimensiones reales de la carpa. Como la escala empleada para la construcción de la maqueta fue 1:50 cada centímetro de la maqueta correspon-

95


den a 50 centímetros de la realidad, por lo tanto las dimensiones reales serán: Largo 32 · 50 = 1 600 cm = 16 m Ancho 24 · 50 = 1 200 cm = 12 m Alto 8 · 50 = 400 cm = 4 m Una maqueta es la reproducción física “a escala”, en tres dimensiones en tamaño reducido, de algo real o ficticio.

La siguiente gráfica ilustra el estanque dibujado en un plano con una escala diferente. Halla la escala a la que está construido si sabes que cada cuadricula representa un centímetro. 12 m

9m

La siguiente gráfica ilustra el estanque dibujado en un plano con una escala diferente. Halla la escala a la que está construido si sabes que cada cuadricula representa un centímetro. 12 m

9m

96


1. La siguiente figura es el plano de una casa, las unidades están en centímetros, si la escala es 1: 50 1.5

10.20

2.85 8.70 8.50

3.25

6.25

10

a. ¿Cuáles son las medidas a escala real de este plano? b. ¿Cuánto mide el perímetro de la casa? c. ¿Cuánto tiene de área? 2. Dibuja en un plano las medias de tu salón a escala 1:40 3. La verdadera distancia entre Bogotá y Medellín, en línea recta, es de 220 km. En un mapa la medimos con la regla y resulta ser de 11 cm. ¿Cuál es la escala del mapa? 4. Imagina que debido a una radiación de origen desconocido te conviertes en un gigante. Todas las partes de tu cuerpo se agrandan por igual, por lo que tu nuevo cuerpo y el anterior son semejantes. Si tu dedo pulgar mide ahora 24 cm, ¿cuál será tu nueva altura?

97


1. En un mapa de carreteras a escala 1: 500.000 medimos la distancia que hay en línea recta entre dos ciudades, siendo esta de 6 cm. ¿Qué distancia en kilómetros habrá en la realidad? 2. Un rectángulo tiene una diagonal de 75cm. Calcula sus dimensiones sabiendo que es semejante a otro rectángulo de lados 36cm y 48cm. 3. El área de dos círculos es 25 y 75. Calcula la razón de semejanza. 4. De acuerdo a la figura conteste los siguiente:

A B

C

E F

G

D

Si AB = 5, CD = 15 y GH = 24. Hallar EF. Si FG = 6, CD = 21 y GH = 18. Hallar BC Si EF = 20, DC = 50 y AB = 40. Hallar GH

98

H


Que aprendí 1. ¿Son semejantes el triángulo de lados a = 18cm, b = 12 cm y c = 10cm, y el triángulo de lados a’ = 45cm, b’ = 30cm y c’ = 25cm? 2. Sabemos que en el plano de una casa una longitud de 8 cm equivale a una distancia en la realidad de 24 m. ¿Cuál es la escala con la que está hecho el plano? 3. La razón de semejanza de dos figuras es 6 determina la relación de sus áreas; si la pequeña mide 10, calcule el área de la grande. 4. De acuerdo a la figura conteste los siguiente:

O N M

R Q

P

Encuentre NO, con RQ = 7, QP = 14 y MN = 9 Encuentre MN, con RQ = 32, QP = 36 y NO = 18 Encuentre QP, con RP = 48, NO = 10 y MO = 60

¿Cómo me ven los demás? 1. Los lados de un triángulo miden 16 cm, 4cm y 8cm. Halla los lados de un triángulo semejante, sabiendo que la razón de semejanza es 4. 2. Un terreno rectangular mide 200 metros de ancho por 400 metros de largo. En el papel se representa por un rectángulo de 10 cm de ancho por 20 de largo. ¿Son

99


semejantes ambos rectángulos? ¿A qué escala está representado el terreno? 3. El área de un cuadrado es 81 . Calcule la longitud de otro cuadrado sabiendo que es más grande y la razón de semejanza es 4. 4. Si el área de dos pentágonos regulares es 10 y 250 respectivamente, ¿Son semejantes?, en caso afirmativo calcula la razón de semejanza. 5. De acuerdo a la figura conteste los siguiente: K

J I

S T

U

Con IK = 80, TU = 15 y SU = 120, determine JK Con TU = 15, JK = 6 y ST = 90, determine IJ Con IJ = 50, ST = 45 e IK = 100, determine SU

Me autoevalúo Sí

No

A veces

Cálculo un segmento, conociendo los otros tres segmentos en los que dos rectas paralelas cortan a dos cualesquiera. Divido un segmento en un número de partes iguales. Aplico los criterios de semejanza para calcular los elementos de un triángulo. Aplico los criterios de semejanza para calcular los elementos de un polígono. Reconozco la relación entre áreas de figuras semejantes. Cálculo las distancias o dimensiones sobre un plano representado a escala. Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo. Establece un plan de seguimiento con tu profesor.

100


GRADO 7

101


MÓDULO

¿Cotidianidad matemática?

Incorporar las matemáticas en nuestra vida implica que analicemos en detalle cómo surge una infinidad de fenómenos cotidianos y qué se espera de éstos en el futuro. De esta manera, la humanidad ha encontrado en las funciones matemáticas una importante herramienta para describir un sin número de situaciones asociadas a la tecnología, la ciencia, los deportes, la medicina, el estado del tiempo. Estos son apenas algunos ejemplos de escenarios que evidencian la utilidad del análisis de fenómenos de cambio y variación y que consideraremos en el desarrollo de los estándares del pensamiento variacional.

¿Qué voy a aprender? Estándares básicos de competencias Pensamiento variacional >> Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación). >> Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. >> Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. >> Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. >> Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa.

102


El desarrollo de las actividades propuestas en las guías que conforman este módulo te permitirá alcanzar estándares básicos de competencias que privilegian el desarrollo del pensamiento variacional, permitiéndote interpretar el concepto de función mediante análisis gráfico y analítico de problemas relacionados con tu cotidianidad. La siguiente tabla muestran los conceptos que aprenderás.

Guías

Conceptos asociados al Pensamiento variacional

12

Funciones I (concepto de función, dominio, codominio, rango, representación, variables dependientes e independientes)

13

Funciones II (Función lineal, función afín, pendiente de una recta)

14

Función cuadrática

Procesos >> Comparar, ordenar y seleccionar números decimales. >> Establecer patrones de referencia para determinar el orden de una cantidad decimal. >> Analizar y expresar los procedimientos realizados al operar con números decimales. >> Resolver problemas que involucran números decimales.

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos que aprenderás.

Módulo 5 Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos Funciones Utilidad

Construcción de concepto Representaciones Variables dependientes e independientes

Dominio

Codominio

Rango

Tipos de funciones Lineal Afín

Ecuación de una recta

Cuadrática

103


¿Para qué te sirve? Las funciones son sin duda una de las mejores herramientas con las que contamos en matemáticas para describir un sin número de fenómenos naturales, económicos, sociológicos, etc. Podemos por ejemplo, analizar el crecimiento del bebe cuando todavía esta en el vientre de la madre, podemos controlar nuestro peso ideal conociendo nuestra estatura, podemos además, conocer la variación del precio de muchos productos en diferentes épocas del año, también podemos obtener el precio de un articulo luego de calcular su respectivo descuento.

¿Cómo se te va a evaluar? Este modulo contempla diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán emplear para evidenciar tus progresos cuando estableciste relaciones al construir y diferenciar los elementos que constituyen los diferentes tipos de funciones. Cada una de las tres guías que componen este modulo, contemplan actividades de diverso tipo de complejidad que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y qué debes reforzar. Al final del modulo encontrarás dos secciones Aplico lo aprendido y Evaluación en las que se proponen problemas, actividades de uso practico y embrollos matemáticos que retaran tu capacidad y la de tus compañeros para dar respuesta a este tipo de enigmas.

104


Explora tus conocimientos Según la organización de las Naciones Unidas, el alza en el precio de los alimentos ha alcanzado el mayor porcentaje de los últimos 20 años. La siguiente gráfica nos permite analizar la evolución de precios desde el año 2000 de algunos productos básicos.

400 300

Maíz Trigo Arroz Petroleo (escala de la derecha)

80 60

200

40

100

20

Petróleo

Precios de los productos básicos (dólares/ tonelada)

Precios de los productos básicos (dólares/ tonelada), enero 2000-septiembre 2007

0 00 00 01 01 02 02 03 03 04 04 05 05 06 06 07 07 ro ulio ero Julio ero ulio ero ulio ero ulio ero ulio ero ulio ero ulio e J J En J En J En J En J En En En J En FUENTE: Organización de las Naciones Unidas para la Agricultura y la Alimentación (FAO)

1. ¿Cuál era el precio aproximado de una tonelada de trigo en enero del año 2000? 2. ¿Aumento o disminuyo este precio del trigo un año después?, ¿en cuánto dinero aproximadamente? 3. Según la grafica ¿cuál era el producto de menor valor al comenzar el año 2000? 4. ¿continúo siendo el producto de menor valor en siete años después? 5. ¿Del precio de estos cuatro productos, cuál fue el que menos vario durante los siete años? Justifique su respuesta 6. En qué meses durante todo este periodo, se igualaron los precios del arroz y del trigo?, ¿Cuáles fueron los precios aproximados cuando se igualaron dichos productos? 7. ¿Cuál fue el promedio del precio del petróleo durante todos los siete años?

105


Guía

¡Es mejor prevenir que…!

Usar las funciones como una herramienta para anticipar resultados nos permite tener ventajas sobre las decisiones que debamos tomar.

Organícense en parejas y realicen las siguientes actividades en el cuaderno. Una de las bebidas más populares y reconocidas en todo el mundo es el café colombiano. Su exquisito aroma y buen sabor proporcionan diferentes sensaciones.

En la siguiente tabla se encuentra registrado el precio del café colombiano en centavos de dólar por libra, durante el año 2009. Copien en el cuaderno la tabla y complétenla considerando el aumento del mes de enero como un incremento estable para el resto de meses del año 2010. Meses

Precio 2009

Precio 2010

Meses

Precio 2009

Julio

1.86

1.44

Agosto

1.86

Marzo

1.51

Sept.

1.71

Abril

1.78

Oct.

1.76

Mayo

2.08

Nov.

1.78

Junio

2.00

Dic.

1.89

Enero

1.49

Febrero

2.06

Precio 2010

Fuente: DANE

1. ¿Cuál es la diferencia del precio del café al comenzar cada año?

106


2. ¿En qué mes del año 2010 se registra el precio más alto del café? 3. ¿Qué tanto aumentó o disminuyó el precio del café desde el comienzo hasta el final del año 2009? 4. ¿Cuál es el promedio del precio del café durante el año 2009? 5. ¿Cuál es el promedio del precio del café durante el año 2010?

Analicen la siguiente situación. Uno de los principales productos de la canasta familiar es el arroz. Don Jorge compra el saco de arroz para venderlo en su tienda a $1.250 pesos cada libra. Copien en el cuaderno la siguiente tabla y complétenla.

Libras de arroz Precio (pesos)

1

2

3

4

5

6

7

1.250

1. ¿Cuál será el precio de diez libras de arroz? 2. ¿Cuál será el precio de una arroba de arroz? De acuerdo al precio por libra establecido por don Jorge, podemos construir una fórmula para calcular el precio de cualquier cantidad de libras de arroz. Si la variable x representa el número de libras de arroz y la variable y representa el dinero recolectado por la venta de este arroz, entonces la fórmula que expresa la relación entre estas dos variables es: y =1.250 x Representa el costo de x libras de arroz

Representa el número de libras de arroz

Así entonces, para conocer el costo de diez libras de arroz debemos realizar el siguiente procedimiento: Las diez libras de arroz cuestan $ 12.500 y=1.250 (10) y=12.500 Encuentra con esa expresión el costo de 12 libras, 15 libras, 18 libras y 20 libras de arroz.

Muchas veces para resolver un problema es necesario reconocer el patrón de crecimiento de los datos que nos proporcionan, y de esta manera poder anticiparnos a un resultado que no ha sucedido.

107


Observa los siguientes valores que puede tomar cada variable: Valore de x

Valore de y

1 2 3 4

1.250 2.500 3.750 5.000

Se puede observar que a cada elemento de x le corresponde un único elemento de y. En este caso, la regla que relaciona las dos variables se denomina función de x en y. Las funciones se expresan con las letras f, g, h, entre otras. De esa manera, para indicar la función f definida de x en y, escribimos: y f:x Así, se establecen dos conjuntos, uno de salida llamado dominio de la función y otro de llegada denominado codominio, en el que puede diferenciarse un subconjunto, formado por las imágenes de los elementos del dominio llamado rango de la función. A

B

f

a

2

b

4

c

6

Por ejemplo, la siguiente correspondencia los conjuntos A y B determinan una función, puesto que cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B

En el siguiente ejemplo encontraremos el dominio, el codominio y el rango de la función f representada en los siguientes conjuntos o diagrama sagital: x

-1 2 5 8

108

f

y a b c d e

Dominio f = {-1, 2, 5, 8} Codominio de f = {a, b, c, d, e} Rango f = {b, c, d, e}


Además de los conjuntos o diagramas sagitales ¿de qué otras formas podemos representar las funciones? Las funciones también pueden representarse en un diagrama cartesiano. Allí se encuentran todas las parejas ordenadas en las cuales el primer elemento corresponde al dominio y el segundo al rango de la función. Por ejemplo, el diagrama cartesiano de la función que asocia a cada elemento del dominio su respectiva mitad en el rango. Y

Dominio de f = {2, 4, 6, 8} Rango de f = {1, 2, 3, 4}

6 5 4 3 2 1

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-2 -3 -4

Una tabla nos permite también representar los diferentes valores que pueden tomar tanto el dominio como el rango de la función.

Al representar en una tabla los valores de la función del ejemplo anterior, obtenemos: Valores de x

2

4

6

8

Valores de y

1

2

3

4

La expresión que dio origen a los valores empleados en los ejemplos anteriores es: y=

x 2

2 Cuando x = 2, tenemos y = 2 = 1 que corresponde a la coordenada (2, 1) Verifica que los demás valores de la tabla pueden obtenerse con la fórmula.

La fórmula es otra importante forma de representar las funciones, pues ella nos permite analizar algebraicamente el comportamiento de los conjuntos del dominio y rango de la función.

109


Como hemos visto las funciones pueden representarse mediante un diagrama sagital, un diagrama cartesiano, una tabla de valores y una fórmula. En todas estas representaciones sobresalen dos conjuntos: uno con valores del dominio que recibe el nombre de variables independientes y un segundo conjunto con valores del rango que se llaman variables dependientes.

Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno. 1. Señala y justifica cuáles de los siguientes diagramas sagitales representan una función: a.

A

B

b.

D

f

H

a

1.6

2

a

b

5.2

3

b

c

9.3

4

c

x

c.

f

a b

f

y

d.

C d e f g

T

a b c d

f

S h i j k l

2. Indica cuáles de los siguientes conjuntos de coordenadas corresponden a funciones. Justifica su respuesta. a. {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8)}

5 3 3 1 1 ), (2, ), (3, ), (4, 1), (5, ), (6, )} 4 2 4 4 2 3 2 1 3 2 7 1 5 c. {( , ), ( , ), ( , ), ( , )} 2 5 2 4 3 2 2 6

b. {(1,

110


3. Construye y completa en tu cuaderno una tabla con ayuda de la fórmula que representa la siguiente función f(x)=2x-1

Fíjate en el ejemplo: f(-3)=2(-3)-1 f(-3)=-6-1 f(-3)=-7

La coordenada resultante es (-3, -7). Valores de x

-3

Valores de f(x)

-7

-2

-1

0

1

2

3

4

5

4. Construye en tu cuaderno un plano cartesiano y ubica las siguientes coordenadas. Traza las líneas que forman cada grupo y encuentra la figura escondida. a. (1,5), (4,2), (1, -1) y (-2, -2) b. (3, 4), (3, 0), (-1, 0) y (-1, 4) 5. Traza otro plano cartesiano y descubre la siguiente figura. a. (0, 3), (-3, -2) y (3, -2) b. (3, 1), (0, 4) y (-3, 1) 6. Ubica los siguientes grupos de coordenadas en otro plano cartesiano e indica cuáles se encuentran sobre una misma línea recta. a. (-3, 5), (1, 5), (3,5) y (7, 5) b. (-5, 5), (-3, 2), (-1, -1) y (-4, 1) c. (-7, -8), (-4, -6), (-1, -7) y (-8, 2) d. (-8, -4), (-2, -3) y (4, -2) e. (8, 9), (-7, 9), (-9, -2) y (8, -10)

111


Guía Comprender las matemáticas nos permite establecer relaciones entre situaciones que parece nada tienen que ver. Por ejemplo, ¿qué tiene que ver la inclinación de una carretera con el costo de un minuto a celular?

¡Extrañas relaciones!

Trabaja individualmente las siguientes actividades. Luego comparte tus respuestas con tus compañeros o compañeras de curso. Una empresa de comunicaciones vende dos planes diferentes de minutos para que sus compradores puedan elegir el que mejor se ajusta a sus necesidades.

NA PLA DA O CA NUT OS MI PES 40

PL CA AN B MI DA 20 NUT ca PES O 10 rgo fi OS 00 j pe o so s

Quiere decir que una llamada de cinco minutos con el plan A cuesta 200 pesos, mientras que con el plan B cuesta 1.100 pesos. 1. 1. ¿Cuál es el costo con cada plan al utilizar 10 minutos? 2. ¿Cuál es el plan más económico usando sólo diez minutos? 3. ¿Cuánto más dinero se debe pagar con el plan más costoso, usando sólo diez minutos? 4. ¿Cuál es el costo con cada plan al utilizar 15 minutos? 5. ¿Cuál es el costo con cada plan al utilizar 20 minutos? 6. ¿Cual es el costo con cada plan al utilizar 30 minutos? 7. ¿Qué plan es más conveniente adquirir si se estima gastar más de 100 minutos? Justifica tu respuesta. 8. Realiza una gráfica donde se especifique el costo por minuto con los dos planes de telefonía –considerando intervalos de 10 en 10 minutos- y señala con qué cantidad de minutos se iguala el costo de los dos planes.

112


La solución de las anteriores preguntas permitió describir un comportamiento proporcional entre el costo y la cantidad de minutos empleados. Tal es el caso del plan A de telefonía, donde el costo a pagar por los minutos empleados se representa por la expresión: y = 40x Donde y representa el valor a pagar, x representa los minutos empleados y 40 es el costo de cada minuto ó la constante de proporcionalidad. Si representas gráficamente la función lineal cuyo valor constante de m es 3, entonces la expresión y=3x representa simbólicamente a esta función. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala teniendo en cuenta la anterior función. Valores de x

0

1

Valores de y

3

2

3

4 12

Los valores que corresponden a cada coordenada son: (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12) y 12 11 10

9 8 7 6 5 4 3 2 1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

-2

1. ¿La gráfica de una función lineal pasará siempre por el origen del sistema de coordenadas (0, 0)? Justifica tu respuesta

Todas las funciones de la forma y=mx donde m es un valor constante diferente de cero, se denominan funciones lineales.

113


y 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1

2. ¿Qué ocasionará que una función suba y baje?, ¿Qué parte de la expresión ocasiona el desplazamiento de la línea recta? 3. ¿Existen otras características en la función que permitan este tipo de desplazamiento de la recta? Se denomina función afín de la función lineal, a toda función de la forma y=mx+b, donde m y b son números reales. x En esta expresión m es una constante que determina la 1 2 3 4 inclinación de la recta y cuyo nombre es pendiente, y b es otra -2 constante que determina el punto de intersección de la recta con el eje y permitiendo el anterior desplazamiento de la recta. Para determina la pendiente y el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas (Y) de la función y=3x+2 debes tener en cuenta qué representa cada elemento de la función. Punto de intersección con y=3x+2 Pendiente

el eje Y, por lo tanto es la coordenada (0, 2).

La pendiente por estar relacionada con la inclinación de la recta, considera una variación entre el incremento vertical respecto al incremento horizontal, y se calcula mediante la siguiente expresión: Dadas dos coordenadas cualquiera (x1, x2) y (y 1, y2) entonces (y -y ) m= 2 1 (x2-x1) Para hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (0, 2) y (2, 8), debes considerar la expresión m=

(y2-y1) (x2-x1)

y seleccionar qué coordenadas serán x1, x2, y1 y y2 Por ejemplo, si x1=0, x2=2, y1=2 y y2=8 entonces, (8-2) =3 (2-0) La pendiente de la función es 3. La gráfica muestra que la recta pasa por las coordenadas (0, 2) y (2, 8) y que según la pendiente, por cada unidad que

114


se desplaza horizontalmente se incrementa en tres unidades verticalmente. Se puede verificar además, que la función que representa la gráfica se puede obtener reemplazando los datos (pendientes y cualquier coordenada) en la siguiente expresión: (y-y1 )=m(x-x1) (y-2)=3(x-0) y=3x+2

8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1

y

1 2 3

x

-2

Reúnete con un compañero y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno. 1. Dibujen cada una de las siguientes funciones e indiquen la pendiente y el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas. a. y=7x+3

b. y=-5x-1

d. y=

e. y= -

1 x+4 2

c. y=-2.3x+1.5

3 3 x5 4

2. Observen las siguientes gráficas e indiquen si se trata de una función lineal o una función afín. Justifiquen sus respuestas

5 4 3 2 1 -1

y

3 2 1 -2 -1 1 2 3 4 5

y

y

1 2 3

x

-2 -3 -4 -5

x

-2

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1 -2 -1

1 2 3 -2

x

-2 -1

y

1 2 3 4 5

x

-2

3. Tracen cada recta que pasa por cada par de coordenadas y encuentren su respectiva ecuación: a. (2, 4) y (5, 1)

b. (0, 2) y (3, 0)

d. ( , 4 ) y ( , 0 )

e. ( -

2 3

4 5

1 4 7 9 , ) y ( ,- ) 5 7 2 2

c. (-1, 5) y (3, -3)

115


Guía

¡Extrañas relaciones!

Con frecuencia nos vemos enfrentados ante situaciones cuya solución no conserva las mismas características de otras, por ejemplo aquellas que no describen un comportamiento de proporción directa como las que has estudiado hasta ahora. El desarrollo de esta guía te permitirá analizar y resolver diversos problemas que contemplan un nuevo tipo de funciones. Trabaja individualmente las siguientes actividades. Luego comparte tus respuestas con tus compañeros o compañeras de curso. Don Manuel quiere repartir entre sus cinco hijos un terreno que mide 1.440 metros cuadrados. Él ha pedido a sus hijos que encuentren la manera de dividir el terreno para que a cada uno le corresponda la misma porción rectangular que a los demás.

1. ¿Cuántos metros cuadrados debe medir de área el terreno de cada hijo? Uno de los hijos dedujo que no importaba la forma del terreo desde que conservara la medida del área. Así que: 2. Encuentra cinco medidas diferentes de perímetros que conserven el área del terreno de cada hijo. 3. Dibuja en tu cuaderno todas las formas geométricas que pueden tener los diferentes terrenos de los hermanos. 4. ¿Cuál es el menor perímetro que puede tener uno de los terrenos? 5. ¿Cuál es el mayor perímetro que puede tener uno de los terrenos? 6. De acuerdo a las medidas del terreno ¿cómo puede dividirse entonces? Dibuja y Explica tu respuesta Luego de mostrar a don Manuel las diferentes posibilidades de medidas, éste mencionó que prefería que todos tuvieran la misma forma de terreno y que además, debía medir el doble de ancho que de largo.

116


7. ¿Cuál deben ser entonces esas nuevas medidas? Justifica tu respuesta.

¿Existirá una expresión matemática con la cual se pueda determinar las medidas del terreno que le corresponde a cada hijo? Se sabe que el terreno debe medir el doble de ancho que de largo. Entonces podemos representar esta relación así: x

2x

El doble

Además, el área de cada terreno debe medir 288 metros cuadrados. Entonces podemos representar esta condición así: 288 = x (2x)

ó

288 = 2x2

Si expresáramos esta relación con una función más general obtendríamos: y=2x2 Donde y representaría el área de un determinado terreno. ¿Cuál será entonces la medida de los lados del terreno de cada uno de los hijos de don Manuel? Este tipo de expresión ya no describe un comportamiento de proporcionalidad directa, por lo que ya no es una función lineal ni afín. Las funciones cuya forma es y= ax2+bx+c con a, b y c valores reales y a diferente de cero se denominan funciones cuadráticas. Otros ejemplos de estas funciones son: y=2x2+3x-1,

y=5x2-x,

y=4x2,

y=x2+6

La representación gráfica de estas funciones es una curva cuyo nombre es parábola.

117


Observa cómo los valores del rango de la siguiente función aumentan cada vez más rápido. x

1

2

3

4

5

6

y

3

7

13

21

31

43

y=x2+x+1 3

7

13

21

31

43

Para dibujar la parábola de la función cuadrática y=3x2+4x-1. Reemplaza en la fórmula diferentes valores, de tal manera que permitan visualizar en el plano cartesiano, la trayectoria de la parábola. x=-2 y=3(-2)2+4(-2)-1 y=12-8-1=3

39

y

36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3

x=3 y=3(3)2+4(3)-1 y=27+12-1=38

-3 -2 -1

1 2 3 -2

De esta manera se continúan remplazando valores en la función hasta obtener otros como los siguientes:

118

X

-3

-2

-1

-0.5

0

1

1.5

2

3

Y

14

3

-2

-2.25

-1

6

11.75

19

38


Trabaja individualmente y desarrolla las siguientes actividades en el cuaderno. 1. Copia las siguientes tablas en tu cuaderno y complétalas teniendo en cuenta las respectivas funciones cuadráticas. x y=x2+ 2 +2 x

-8

-4

-2

-1

0

1

2

4

3

4

6

y y= x

1 2 2 x- x 4 5

0

y y=2.5x2+3 x

-6

-4

-1

0

1

y 2. Tres de las siguientes coordenadas no pertenecen a la parábola de la función y=x2-6x-3 ¿cuáles son? (

23 5 8 2 59 6 21 1 ,), (-2, 13), ( ,- ), ( ,), ( ,), (3, -6) 24 3 5 3 9 5 25 2

3. Dibuja la gráfica de las siguientes funciones en tu cuaderno a. f(x)=x2-

1 2

b. f(x)= 3x2-11 c. f(x)=2x2-3x

119


1. En el colegio los estudiantes de octavo han realizado un experimento de biología. Durante las diez primeras semanas luego del cultivo de una planta, que media 2 centímetros, se observó que el crecimiento era directamente proporcional con el tiempo. Después de una semana más, la planta creció 0.5 centímetros. a. Construye una función lineal que relacione el tiempo transcurrido con la altura de la planta. b. Representa gráficamente en un diagrama cartesiano el crecimiento de la planta luego de diez semanas. c. Halla la pendiente de la recta del punto anterior. d. Explica con tus palabras la relación que existe entre la pendiente encontrada y la situación expuesta. 2. En la plaza de mercado don Jorge vende bultos de papa. Durante la semana pasada contrato a Miguel para que le ayudara vendiendo a domicilio los bultos. Por cada bulto que vendiera Miguel recibiría un 10% del costo de cada bulto. a. Averigua en una tienda el precio de un bulto de papa y utilízalo en la solución de las siguientes preguntas. b. Construye una función que le permita a Miguel conocer el dinero ganado por la venta de los bultos, durante toda la semana. c. Representa con un diagrama cartesiano la relación entre el dinero ganado de acuerdo con el número de bultos vendidos. d. Cuántos bultos tendrá que vender Miguel para lograr una ganancia de 100.000 pesos. 3. En un criadero de peces, se cuenta que cada cierto tiempo se duplica la cantidad de peces. El dueño asegura que el aumento de la cantidad de peses es tan vertiginoso que deberá aumentar el tamaño del lago donde los tiene. a. Si durante el primer trimestre aumento a 200 peses, ¿cuántos peses habrá al terminar el primer semestre? b. ¿Cuántos peses tendrá luego del primer año? 4. Durante la celebración de las fiestas de fin de año en el pueblo, un estudiante de noveno se pregunto por el número de veces en que se saludaron las personas que asistieron.

120


a. Construye la siguiente tabla en tu cuaderno y compl茅tala teniendo en cuenta los datos suministrados Cantidad de personas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

50

Cantidad de saludos b. b. Construye una funci贸n que relacione el n煤mero de personas con la cantidad de saludos que se pueden dar entre ellas. 5. Observa las siguientes graficas, determina aproximadamente el dominio y rango de cada una y explica en cada caso si se trata de una funci贸n. a.

y

b.

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y 5 4 3 2 1 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

-3 -2 -1

x

-2 -3

x

-2 c.

d.

y

x

4 3 2 1 -4 -3 -2 -1

y

1 2 3 4

x

-2 -3

121


Que aprendí 1. Señala cuál de las siguientes funciones corresponden a funciones lineales, funciones afines o funciones cuadráticas: a. f(x)=x

b. f(x)= x

4

c. f(x)=x -6 x d. f(x)= +9 2

3

e. f(x)=

x2

+x-1

4 2. Determina cuáles de las siguientes coordenadas no corresponden a la grafica de la función f(x)=x2-2x+3 a. ( -2, 4 ) b. ( -1, 6 ) c. ( 1, 2 ) d. ( 2, 3 ) e. ( 3, 5 ) 3. Encuentra el valor que debe tomar b para que la función f(x)=3(x+b)-6 sea una función lineal. 4. Encuentra el valor que debe tomar c para que la gráfica de la función f(x)=4(x+c)-8 pase por la coordenada (1, 12). 5. Escribe las siguientes parejas ordenadas en tu cuaderno y encuentra el valor de la segunda componente con ayuda de la expresión simbólica de cada función. a. f(x)=x+5 (-11,___), (-8,___),(-6,___), (-1,___), (0,___), (2,___), (3,___),(7,___) b. f(x)=3x-1 (-4,___), (,___), (,___), (,___), (,___), (0,___), (,___), (5,___) 6. Representen mediante una fórmula cada una de las siguientes funciones descritas en palabras a. a. La función que asocia a cada número su doble. b. b. El perímetro de un cuadrado en función de la medida de su lado. c. c. Las suma de tres números enteros consecutivos en función del menor.

122


d. d. La edad de Carlos en función de la de su hermano Alejandro, quien es tres años mayor. 7. Escriban tres funciones lineales que pasen por la coordenada (-1, 3). 8. Escriban tres funciones afínes cuya pendiente de su recta sea 5.

¿Cómo me ven los demás? Formen grupos de tres personas y realicen las siguientes actividades: a. Cada grupo dibuja seis gráficas diferentes de funciones lineales, afines y cuadráticas. b. Intercambien las gráficas construidas y encuentren la expresión simbólica que las representan. c. Preparen una exposición para presentar y justificar frente a todos los compañeros las gráficas con sus respectivas funciones. d. Expresen su opinión acerca de las ventajas que tuvo realizar este trabajo en grupo y la manera como se sintieron.

Me autoevalúo Completa la siguiente tabla, marcando con una X cada uno de los aspectos desarrollados durante el modulo, teniendo en cuenta todo lo que aprendiste.

A veces

No

Comprendo el concepto de función y los elementos asociados a este (dominio, rango y codominio) Diferencio variables dependientes de las independientes. Represento mediante diagramas cartesianos, tablas y fórmulas las funciones lineales. Represento mediante diagramas cartesianos, tablas y fórmulas las funciones afines. Represento mediante diagramas cartesianos, tablas y fórmulas las funciones cuadráticas. Resuelvo problemas de diverso tipo de dificultad. Realizo mis tareas responsablemente tanto en los trabajos individuales como grupales. Me relaciono adecuadamente con mis compañeros y mi profesor(a).

123


MÓDULO

Conociendo un universo probabilístico.

¿Qué voy a aprender? Estándares básicos de competencias Pensamiento aleatorio >> Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia, etc.). >> Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo). >> Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico. Este módulo te ayudará a afianzar los estándares básicos de competencias, mencionados en la parte superior, mediante los conceptos básicos relacionados con una rama de la matemática muy interesante: la probabilidad; tales como fenómenos aleatorios, espacio muestral, eventos simples y compuestos e independencia. En la siguiente tabla se especifican las guías que contiene el módulo y lo que se desarrolla en cada una de ellas.

124


Guías

Contenidos Fenómenos aleatorios. Regla de Laplace.

1

2

Probabilidad de eventos simples.

3

Probabilidad de eventos compuestos.

Procesos > Comprender y argumentar con validez, los procesos que se relacionan con el concepto de fenómeno aleatorio, evento y espacio muestral. > Reconocer las diferencias entre un experimento aleatorio simple y uno compuesto > Calcular probabilidades para eventos simples y compuestos, usando la regla de Laplace. > Solucionar diferentes situaciones de la vida cotidiana relacionada con la probabilidad de un evento simple o compuesto.

El siguiente esquema te muestra la manera en que se pueden relacionar los conceptos.

Módulo 6 Pensamiento aleatorio. Probabilidad

Se calcula con

Regla de Laplace

Pueden ser

Simple o compuesto

Puede ser

Simple o compuesto

Puede ser

Simple o compuesto

Se logra a través de

Fenómenos aleatorios Conformados por

Evento y

Espacio muestral Se pude representar por medio de

Diagrama de árbol

125


¿Para qué te sirve? Desde pequeños hemos vividos rodeados de todas aquellas cosas que el mundo nos ofrece, sin darnos cuenta de todos aquellos fenómenos matemáticos que en el tienen trascendencia, dentro de los cuales encontramos una maravillosa rama que nos permite interactuar con el universo llamada probabilidad, la cual se encarga del estudio de los fenómenos aleatorios que día a día encontramos en nuestro entorno, como cuando nos preguntamos que tan fácil es ganar el premio de una lotería, o que posibilidades hay de que tu equipo favorito gane, o dependiendo de una situación que tan fácil puede ser pasar un examen; sin darnos cuenta todas estas situaciones y muchas mas, de nuestras vidas se pueden modelar por una serie de reglas, que cuando conocemos nos facilitan la toma de alguna decisión y nos hacen mas llevadero nuestro diario vivir.

¿Cómo se te va a evaluar? En el desarrollo del módulo se proponen diferentes momentos en los que tú, tus compañeros y tu profesor podrán evidenciar y analizar los progresos que tuviste en cuanto al aprendizaje de los conceptos básicos relacionados con la probabilidad, como: experimentos aleatorios simples y compuestos, espacio muestral simple o compuesto, y eventos, entre otros. La evaluación será constante, dentro cada una de las guías encontrarás actividades evaluativas que te permitirán reflexionar acerca de cómo vas y qué debes reforzar. Además encontrarás dos secciones: Aplico lo aprendido y Evaluación: en las que se proponen diferentes actividades, problemas y situaciones que te invitarán a poner en práctica tus conocimientos, así como a realizar trabajos individuales o grupales que retarán tus habilidades para expresar tus ideas y pensamientos.

126


Explora tus conocimientos Mauricio es un campesino que vive en el Oriente Colombiano, él en su finca tiene algunas vacas a las que se les han colocado algunas vacunas. Con base en la información de los siguientes eventos: a. Vacas a las que se les aplico la vacuna mixta triple = 90 b. Vacas a las que se les aplico la vacuna leptospira = 38 c. Vacas a las que se les aplico la vacuna brucella = 37 d. Vacas a las que se les coloco la vacuna mixta triple y leptospira = 30 e. Vacas a las que se les coloco la vacuna mixta y brocella = 24 f. Vacas a las que se les aplico la vacuna brocella y leptospira = 13 g. Vacas a las que se les aplico la vacuna mixta, brocella y leptospira = 10 Representa la información anterior mediante un diagrama de Venn y responde: 1. ¿Cuál fue el número de vacas de esta muestra? 2. ¿A cuántas vacas les han colocado la vacuna brucella y mixta triple pero no la leptospira?

127


Guía

Aplicando la regla

Mauricio es un campesino que vive en el Oriente Colombiano, él tiene un talego o costal, con los siguientes elementos: una zanahoria, una remolacha, un nabo, un tomate y una cebolla, algunos de estos elementos los piensa preparar en el almuerzo para el y sus trabajadores de la finca. Si Mauricio saca al azar uno de estos elementos del talego:

1. ¿Este seria un experimento aleatorio? 2. ¿Cuál es espacio muestral relacionado con este experimento?

Mauricio tiene en un corral, 20 pollos y 10 gallinas, como lo muestra la siguiente figura:

Supongamos que este corral solo tiene una puerta y que por ella solo cabe uno de estos animales a la vez. Si Mauricio abre esta puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer animal que salga sea un pollo? Para contestar esta pregunta, repasaremos algunos conceptos básicos de probabilidad:

128


>> Un fenómeno o experimento es aleatorio si hay más de un resultado posible y no se puede decidir con anterioridad lo que va a suceder. En este caso se dice que el resultado depende del azar. >> El conjunto de todos resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral. >> Un evento es un subconjunto de un espacio muestral Con estos conceptos claros, y teniendo presente que medir la ocurrencia de un evento es hallar su probabilidad, podemos dar solución a este problema aplicando la regla de Laplace, la cual establece que, para este caso será igual a: P(un pollo) =

Casos favorables 20 2 = = = 0.66=66% 30 3 Casos posibles

Entonces, la probabilidad de que el primer animal que salga del corral sea un pollo es del 66%. La probabilidad es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del espacio muestral, cuando el experimento se lleve a cabo. Recordemos lo siguiente: La probabilidad, P, de un evento es un número comprendido entre 0 y 1 que indica la posibilidad que este evento ocurra. Cuanto más probabilidad, mayor será la posibilidad de que pase. Si la probabilidad de un evento es igual a 1, diremos que es del 100% o un evento seguro, porque siempre pasa. Si la probabilidad de un evento es 0, diremos que es un evento imposible, porque no pasa nunca. Regla de Laplace probabilidad de un evento =

número de casos favorables del evento número total de casos posibles

1. Cuando Mauricio recoge las maracuyás que se dan en la finca, generalmente lo hace en costales donde caben 200 unidades, si de estas: 7 están verdes (o no están maduras), 12 están abiertas y 15 están muy maduras; si Mauricio toma al azar una maracuyá:

129


a. ¿Cuál es la probabilidad de que este abierta? b. ¿Cuál es la probabilidad de que este muy madura? c. ¿Cuál es la probabilidad de que este madura? d. ¿Cuál es la probabilidad de que este verde (o no este madura)? 2. En un estanque donde Mauricio engorda peces, hay 200 tilapias, 300 truchas y 120 mojarras. Si Mauricio saca un pez de este estanque: a. ¿Cuál es la probabilidad de que esa una mojarra? b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una trucha? c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una tilapia?

Trabaja con uno o dos compañeras o compañeros y respondan las siguientes preguntas o realicen las actividades en el cuaderno. 1. En un colegio hay 1000 estudiantes repartidos así:

Alumnas Con gafas Sin gafas Total

130

Alumnos

Total

135

368

718 1000


Completa la tabla de contingencia y si al elegir un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que: a. Sea alumno b. Sea alumna c. Use gafas d. No use gafas 2. Si de una baraja espa単ola de 48 cartas, se toma al azar una carta, calcula la probabilidad de que: a. Sea un rey b. Sea una figura de oros c. Sea el tres de copas.

131


Guía

Probablemente… Mauricio en su finca, tiene 3 tipos de aguacates: tipo trapp, hass y reed, si la cantidad de arboles de aguacate tipo trapp es el doble del hass y el hass el doble del reed, en una muestra de 600 aguacates. >> ¿Cuál es la probabilidad de que Mauricio escoja un aguacate tipo reed? >> ¿Cuál es la probabilidad de que Mauricio escoja un aguacate tipo trapp? >> Compara con tus compañeros los resultados obtenidos.

Mauricio esta experimentando con colocarle música clásica a las vacas cuando las ordeña. Si su reproductor de música coloca las pistas aleatoriamente y tiene en total 12 pistas o canciones. Cual será la probabilidad de: 1. ¿Suene la pista numero 7? Para contestar esta pregunta basta con aplicar la regla de Laplace: Casos favorables 1 P(pista =7)= = = 0.083=8.33% 12 Casos posibles 2. ¿La pista que suene sea menor que la numero 4? Para contestar esta pregunta basta con hallar la probabilidad de que el numero de la pista sea igual a: 1,2 y 3 y sumarlas: P(pista<4)=P(pista=1)+P(pista=2)+P(pista=3)=

1 1 1 + + = 0.25=25% 12 12 12

3. ¿La probabilidad de que la pista que suene no se la numero 10?

132


Para solucionar esta pregunta, podemos utilizar la siguiente propiedad de la probabilidad: P(A' )=1-P(A) 1 = 0.916=91.6% P(pista≠10)=1-P(pista=10)=112 Propiedad: La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es P(A' )=1-P(A) Donde A’ hace referencia al complemento o a la negación del evento A, por esto esta propiedad también se puede escribir asi: P(A)+P(A’)=1

Mauricio tiene una ruleta dividida en 25 partes iguales, como la que se muestra en la figura, y enumerada del 1 al 25 con la que generalmente juega. 25 24 Cual es la probabilidad de que al girar la ruleta: 23 1. ¿Se obtenga el número 13? 2. ¿Se obtenga un número par? 3. ¿Se obtenga un número impar?

1

2 3

22

4

21

5

4. ¿Se obtenga un número mayor a 23?

20

6

5. ¿Se obtenga un número menor o igual a 4?

19

7

6. ¿Se obtenga un número diferente de 16?

8

18 17

9 16

10 15

1. En el lanzamiento de un dato de 8 caras, cual es la probabilidad de que el resultado sea: a. ¿Igual a 3? b. ¿Numero par? c. ¿Menor o igual a 2? d. ¿Mayor o igual a 6? e. ¿No sea el numero 8?

14

13

12

11

2. De una baraja española de 48 cartas, se extrae una carta al azar, cual es la probabilidad de que el resultado sea: a. ¿Una carta de copas? b. ¿Una carta menor a 3? c. ¿Una carta par?

133


Guía

Experimentando y verificando

Mauricio le ha colocado a su finca el nombre de COLMILLO, si el recorta las letras de esta palabra y se meten en una bolsa, si se extrae un papelito al azar, cual es la probabilidad de que: a. b. a. a.

¿Sea una vocal? ¿Sea una consonante? ¿No sea una C? ¿Sea una L?

Operaciones entre sucesos. Unión de sucesos

Pera

C=AUD

134

M an za na

Mauricio realiza el experimento aleatorio de tomar una de las siguientes cuatro frutas de una canasta al azar, y cuyo espacio muestral es: >> E = {pera, manzana, naranja, granadilla}, se consideran los siguientes sucesos: >> A= [Salir fruta sin concha o cascara] = {pera, manzana} >> B=[salir fruta con mas de 6 letras] = {granadilla, manzana, naranja} Si se escribe el suceso: >> C =[salir fruta sin cascara o con mas de 6 letras] = {pera, manzana, granadilla, naranja} Cada uno de estos sucesos se puede representar por medio de un conjunto, y asi generar un diagrama de Venn como el siguiente: E A B Por lo tanto el evento C = A U B = [A o B] Granadilla Naranja

C


La probabilidad asociada a este evento observando el diagrama de Venn será igual a: Casos favorables 4 P(salir fruta sin cascara o con mas de 6 letras)=P(C)= = =1=100% 4 Casos posibles

Intersección de sucesos

Para el mismo experimento aleatorio de Mauricio de tomar una de las cuatro frutas de la canasta al azar, y cuyo espacio muestral es: >> E = {pera, manzana, naranja, granadilla}, se consideran los mismos sucesos: >> A= [Salir fruta sin concha o cascara] = {pera, manzana} >> B=[salir fruta con mas de 6 letras] = {granadilla, manzana, naranja} Si se escribe el suceso: >> D =[salir fruta sin cascara y con mas de 6 letras] = {manzana} Por lo tanto el evento D = A ∩ B = [A y B] Cada uno de estos sucesos se puede representar por medio de un conjunto, y asi generar un diagrama de Venn como el siguiente: A B E

Dados dos sucesos, A y B, de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso de unión, representado por AUB al suceso “ocurre A o bien ocurre B o bien ocurren ambos a la vez” (también podemos decir que “ocurre alguno”), es decir cuando se realiza el evento A o el evento B.

Pera

C=AUD

M an za na

Granadilla Naranja

C

La probabilidad asociada a este evento observando el diagrama de Venn será igual a: P(salir fruta sin cascara y Casos favorables 1 con mas de 6 letras)=P(D)= = =0.25=25%

Casos posibles

4

Supongamos que ahora Mauricio, va a tomar una de las cuatro frutas de la canasta al azar, y desea que el resultado sea una fruta que no tenga concha o cascara, es decir que no se tenga que pelar. A este subconjunto del espacio muestral lo denominaremos evento o suceso compuesto y generalmente será representado por las letras A, B, C …

Dados dos sucesos, A y B, de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso de intersec ción, representado por A ∩ B, es el evento que contiene a todos los elementos que son comunes a A y a B. También se representa por el suceso “ocurren A y B a la vez”.

135


Para este evento se tendrá: A = {pera, manzana} Un evento o suceso compuesto: Es un subconjunto del espacio muestral, es decir un subconjunto de resultados posibles, cuyos miembros tienen una característica común. La probabilidad asociada a este evento compuesto es: P(fruta sin concha)=P(A)=

Casos favorables 2 1 = = =0.5=50% 4 2 Casos posibles

Imaginemos ahora que Mauricio tiene dos canastas:

Un experimento aleatorio compuesto es aquel formado por varios experimentos simples.

En la canasta X tiene las cuatro frutas del experimento aleatorio estudiado hasta el momento, es decir tiene una manzana, una pera, una naranja y una granadilla. En la canasta Y tiene un durazno y una mandarina. Si Mauricio toma una fruta al azar de cada canasta, a esto le llamaremos un experimento aleatorio compuesto. El espacio muestral asociado a este experimento aleatorio compuesto será: Canasta 1 Manzana

El diagrama de árbol, es una herramienta gráfica para facilitar el cálculo del espacio muestral asociado a un experimento.

136

Pera

Naranja

Granadilla

Canasta 2

Espacio muestral

Durazno

Manzana, Durazno

Mandarina

Manzana, Mandarina

Durazno

Pera, Durazno

Mandarina

Pera, Mandarina

Durazno

Naranja, Durazno

Mandarina

Naranja, Mandarina

Durazno

Granadilla, Durazno

Mandarina

Granadilla, Mandarina


En la figura anterior, se puede apreciar un diagrama de árbol en el que es más fácil hallar el espacio muestral de un experimento aleatorio, puede ser simple o compuesto. Éste está constituido de varias ramas, cada rama parte de un nodo que representa un evento aleatorio diferente. En el esquema que se presentó anteriormente se observa que la rama principal está constituida del evento relacionado con la primera canasta con diferentes posibilidades como son: {manzana, pera, naranja, granadilla}, la siguiente rama consta de otro evento distinto, por ejemplo,  el relacionado con la segunda canasta cuyas posibilidades son {durazno, mandarina}, así de manera sucesiva pueden ocurrir otros eventos. Gracias a este gráfico podemos hallar fácilmente el espacio muestral compuesto: E= {(manzana, durazno), (manzana, mandarina), (pera, durazno), (pera, mandarina), (naranja, durazno), (naranja, mandarina), (granadilla, durazno), (granadilla, mandarina)} Al espacio muestral E así obtenido se le llama espacio compuesto o espacio producto. Espacio muestral de la canasta X = {manzana, pera, naranja, granadilla} Espacio muestral de la canasta Y= {durazno, mandarina} Estos dos eventos se dicen independientes si la realización del primer evento no condiciona o afecta la realización del segundo evento.

137


Mauricio tiene en su establo 6 vacas y 10 toros, si desea escoger solo tres de estos animales al azar para vacunar. ¿Cuál será la probabilidad de seleccionar tres toros? Para dar solución a este experimento aleatorio compuesto, Mauricio se basó en el siguiente diagrama de árbol: 8/14 9/15

Toro 10/16

6/15

10/15

Vaca 5/15

Toro

Toro 6/14

Vaca

9/14

Toro

5/14

Vaca

9/14

Toro

Vaca

Toro 5/14

Vaca

10/14

Toro

Vaca 4/14

Vaca

Basados en el diagrama de árbol, obtenemos: P(3 toros)=

10 9 8 x x = 0.21=21% 16 15 14

La probabilidad de que Mauricio seleccione tres toros es del 21%. >> ¿Cuál será la probabilidad de seleccionar dos toros y una vaca? Basados en el diagrama de árbol, obtenemos: P(2 toros y 1 vaca)=

10 9 8 10 6 9 6 10 9 =0.48=48% x x x x x x + + 16 15 14 16 15 14 16 15 14 Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

138


Imaginemos ahora que Mauricio tiene dos ruletas como lo muestra la figura:

La ruleta I que tiene las 6 divisiones con la juega para saber cual animal alimentar y la ruleta II que tiene 3 divisiones iguales, con la cual juega para saber cual sombrero se colocara por día. Si Mauricio girara las dos ruletas al tiempo: 1. ¿Este seria un experimento aleatorio compuesto?, ¿Por qué? 2. ¿Cuál será el espacio muestral compuesto? 3. ¿Estos eventos serán independientes?, ¿Por qué? 4. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este experimento. 5. ¿Cuál será la probabilidad de alimentar los patos con el sombrero negro? 6. ¿Cuál será la probabilidad de alimentar los peces con el sombrero café? 7. ¿Este experimento es equiprobable?, ¿Por qué? Mauricio tiene en un corral 3 pollos, 4 gallinas y 2 pollitos, si desea escoger solo tres de estos animales al azar para alimentar. 1. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este experimento aleatorio. 2. ¿Cuál será la probabilidad de seleccionar tres pollos? 3. ¿Cuál será la probabilidad de seleccionar un pollo, una gallina y un pollito?

139


1. Realiza el experimento de lanzar dos monedas al aire, escribe los resultados que obtuviste; verifica y calcula la probabilidad de obtener dos sellos. 2. En una caja hay 5 baterías, de las cuales una es defectuosa. Con el objeto de efectuar un control de calidad, se sacan dos baterías, al azar, y se prueban. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la defectuosa? b. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener la defectuosa? 3. En una caja de caramelos hay 10 de menta, 6 de fresa y 5 de anís. Se escoge un caramelo al azar. Halla la probabilidad de que el caramelo: a. Sea de menta b. Sea de menta o anís c. No sea de anís d. Sea de menta y fresa 4. Experimenta con un dado de seis caras y una moneda, lánzalos al mismo tiempo en repetidas ocasiones, escribe los resultados que obtuviste: a. a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara y un numero par, experimentalmente? b. b) ¿Este resultado cumple con la probabilidad teórica? c. c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga sello y el numero dos? d. d) ¿Este resultado cumple con la probabilidad teórica?

140


Que aprendí 1. Consideremos el experimento aleatorio de lanzar 3 monedas. Define los siguientes sucesos siguientes y calcula su probabilidad: a. No salir ningún sello. b. Salir más de 1 cara. c. Salir como mínimo 2 caras. d. No salir ninguna cara. e. Salir 3 sellos 2. En el lanzamiento de dos dados de 6 caras a. ¿Cuál es su espacio muestral? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un numero par? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea uno o dos? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea el numero 12? e. ¿Cuál es la probabilidad de que el numero sea menor o igual a 4? 3. Compruebe experimentalmente con dos dados, que es mas probable obtener un numero que sumado de 8, que un numero que sumado de 12 o 2. ¿Por qué?; demuestre esto teóricamente. 4. Consideremos el experimento aleatorio de sacar una bola de una urna, que contiene 2 bolas rojas, 3 blancas y 2 negras. Define los siguientes sucesos siguientes y calcula su probabilidad: a. Salir una bola blanca. b. No salir negra. c. Salir roja o negra. d. Salir blanca o roja. e. No salir ni blanca, ni roja.

141


¿Cómo me ven los demás? 1. En una urna hay 10 pimpones enumerados del 1 al 10, supongamos que se va ha extraer un pimpón al azar. a. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento aleatorio? b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un numero par? c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un numero mayor a 4? d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un numero diferente de 3? 2. Julián tiene en su bolcillo seis monedas, tres de $500, dos de $200 y una de $100. Supongamos que saca dos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a. Las dos monedas sean de $500 b. Las dos monedas sumen $700 c. Las dos monedas sumen menos de $500 3. En la urna de la imagen hay bolas de colores y numeradas: 1 y 5, verdes; 2, 3, 4, 6 y 7, rojas; 8,9 y 10, azules. Se extrae una bola, calcula la probabilidad de que salga: a. Roja b. Verde c. Mayor que 3 d. Roja y mayor que 3 e. Verde o azul f. Azul y par 4. Se recortan las letras de la palabra PROBABILIDAD y se meten en una bolsa. Se extrae una letra de la bolsa, calcula la probabilidad de que: a. Sea una vocal b. Sea una consonante c. No sea una B d. Sea una D

142


Me autoevalúo Sí

No

A veces

Identifico el espacio muestral de un experimento aleatorio simple y compuesto Reconozco el concepto de evento simple y evento compuesto. Resuelvo situaciones que requieran calcular la probabilidad de un evento simple o compuesto. Represento mediante diagramas de árbol, diversos experimentos aleatorios con su correspondiente espacio muestral y la probabilidad de algún evento. Trabajo activamente en grupo y espeto la opinión de mis compañeros o compañeras. Determina estrategias para mejorar cada día tu trabajo. Establece un plan de seguimiento con tu profesor.

143


Guia Post-Primaria Matemáticas 9°