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GEOMETRÍA 1.- SEP 1998 Es consideren els punts A = (1,1,0) i B = (0,1,2). Determinau els punts C sobre la recta (x,y,z) = (0,1,1) + t(1,0,1) situats a distància 2 2 de la recta que passa per A i B. El punto genérico de la recta dada es C = ( t, 1, 1+t ).

Distancia punto-recta =

ABx AC

=

AB donde t =

2 10 1 yt= 3

1

i

j

k

1

0

2

t 1 0 1 t 5

=

0, 1 3t,0

3t 1 5

5

2 2 ,de

2 10 2 10 1 2 10 1 .C= y ,1,1 3 3 3

1 2 10 1 2 10 ,1,1 3 3

C=

2.- JUNIO 1998 Determinau el pla π d’equació kx distància entre π i el punt ( 1,0,1) sigui igual a 1.

(1+k)y + 2z

Aplicando la fórmula de distancia de un punto a un plano: k 2 1 D [(- 1, 0, 1 ); kx (1+k)y + 2z 1 = 0] = 1; k 2 (1 k) 2 2 2 1 k 2

1 = 0 tal que la

1;

1 , elevando al cuadrado, 1 – 2k + k2= 2k2+ 2k +5, k2+ 4k + 4 = 0, de

2k 2k 5 donde k = -2. π: -2x + y + 2z – 1 = 0

3.- JUNIO 1998 Trobau l’equació contínua de la projecció ortogonal de la recta (x,y,z) = (2,1,1) + t( 1,0,2) sobre el pla 2x + y z = 0. Buscamos π que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado: π: P ( 2,1,1) x 2 y 1 z 1 contiene a la recta v ( 1,0,2) π= 1 0 2 0; 2 1 1 perpendicu lar al plano dado : u ( 2,1, 1)


2x y z

π: 2x -3y + z – 2 = 0. La proyección ortogonal es la recta

1 4

x forma continua es:

1 2

y

1

2

0

2x 3y z 2 0

, que en

z 4

x 2 4.- JUNIO 1999 Considerem les rectes r: 2

y 1 1

z

x 1 3t

m

i s: y 1 4t . z 5 t Determinau m de manera que les rectes es tallin (siguin secants). Trobau també el punt de tall. 2

t

x

r: y z

2 2

1 3t

2 2

. Igualando r y s , resolviendo 1 1 4t 1 m 2 5 t m 2 m

m = - 32/5 y el punto de corte

1 5 4 . Por tanto, 5 32 5

2 1 24 , , . 5 5 5

5.- SEP1999 Trobau el pla de la família mx + y + z — (m+1) = 0 que està situat a distància 1 de l’origen. Aplicando la fórmula de distancia de un punto a un plano: m 1 m 1 1; 1 , elevando al D [(0, 0, 0 ); mx y + z m - 1 = 0] = 1; m 2 12 12 m2 2 1 1 3 cuadrado, m2+ 2m + 1 = m2+ 2, de donde m = . π: x + y + z – = 0 2 2 2 6.- SEP 1999 Estudiau la posició relativa de les rectes següents x 1 y 1 z 2 x 4 y 4 z 5 r: i s: 1 2 1 4 1 2 Observando los vectores directores vemos que o se cortan o se cruzan, pues no son paralelas. x 1 t x 4 4 1 t 4 4 r: y 1 2 t y s: y 4 . Igualando 1 2 t 4 si este sistema no tiene z 2 t 2 t 5 2 z 5 2 solución, se cruzan. Si tiene solución, se cortan. Resolviendo obtenemos los valores: t = 1 y λ = - 1. Se cortan en el punto (0, 3, 3)


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