Issuu on Google+

 

EXAMEN U.I.B. JUNIO 2011. MATEMÁTICAS II    OPCIÓN A    1.  a) Comprovau que si A és una matriu quadrada tal que A2 = 2A ‐ I on I és la  matriu identitat, aleshores A és invertible. Quina és l’expressió de A‐ 1?   b) Utilitzau l’apartat a) per calcular la inversa de la matriu A =  5 4 2 2 1 1   4 4 1          

a)   A  

A

A

2I

2A

I A

A 2I A

 

 A  ú

 

A A 2I A 2I A I, según la definición de inversa

2A

I

A

I I

  A

2I. 

b)  Veamos si A cumple A2 = 2A – I.  9 8 4 5 4 2 5 4 2 A 4 3 2   2 1 1 2 1 1 8 8 3 4 4 1 4 4 1 1 0 0 9 8 4 5 4 2 2A I 2. 2 0 1 0 4 3 2   1 1 0 0 1 8 8 3 4 4 1 3 4 2 Por tanto A A 2I =  2 3 1   4 4 3   2. Donats el punt A=(1, 3, 0) i el pla π:  x + 2y + z – 1 = 0 , determinau les  coordenades del punt A’ simètric del punt A respecte del pla π. Calculau la  distància de A’ al pla π.    A=(1, 3, 0) 

M

π:x + 2y + z – 1 = 0 

A’=(x, y, z) 

M es la proyección de a sobre π. El punto de π más próximo a A.  Hallamos la recta AA’

Pasa por A  1, 3, 0 es perpendicular a π n vAA

1, 2, 1

  x y

1 λ 3 2λ  z λ


Hallamos el punto M, corte de AA’ con el plano π.  1 + λ + 2(3 + 2λ) + λ – 1 = 0 → λ = ‐ 1 → M = (0, 1, ‐ 1)  0 x

1

Hallamos A’. M es el punto medio de AA’ → 

1

y

1 A

1

z

2

1, 1, 2  

  Distancia del punto (a, b, c) al plano Ax + By + Cz + D = 0:  |Aa Bb Cc D| d   B C √A   | 1 2 2 1| 6 d A ,π √6 u.  √1 4 1 √6     3. Considerau la funció real definida en tota la recta real per:  3x 1 f x   x 1 a) Calculau f’(x) i f’’(x) i donau els resultats completament simplificats.  b) Determinau els màxims i mínims de la funció f(x).    1 2 x 1 2x 3x 1 6x x   f x x 1 6x. x 12x x 1 6x. x 1 12x 4x 1 4x   1 1 x x 6x 6x 12x 4x 6x 10x   x 1 x 1 18x 10 x 1 3 x 1 2x 6x 10x f x   1 x x 1 18x 10 x 1 36x 60x   x 1 18x 10 x 1 36x 60x   x 1 18x 18x 10x 10 36x 60x 18x 68x 10   x 1 1 x Hallamos máximos y mínimos:  x 0 f x

6x x

10x 1

0

6x

10x

0

x

x ∞       crece 

5   3

decrece 

0

crece 

5 3  5 3 5 3

decrece        +∞


f’(x) > 0                             f’(x) < 0           f’(x) > 0                     f’(x) < 0  5 9 , y 3 16

Maximós: 

5 9 ,   3 16

Mínimo: 0, 1     4. Donada la funció:  x f x   1 √x a) Calculau F(x) tal que F’(x)=f(x) per a tot x .  x b Calculau la integral dx    1 √x   a  

b      

x 1

√x

dx

x 1

√x

x x

dx   

1

1 x 2

1 4

dx

4x x

1

dx

1 x 1 c  2 √2 1 √2 1   2 2 2

1

1 x 1 1 4 2

OPCION B 

1.  a) Sense desenvolupar el determinant, comprovau que:  x x 1 x 2 0  x x 3 x 4 x x 5 x 6 b) Determinau el rang del conjunt de vectors:   1, 2, 0 , 3 , 1, 3, 1, 4 , 2, 1, 5, 1     x x 1 x 2 a)  x x 3 x 4 x x 5 x 6 proporcionales.   

F F

F F

x 0 0

x

1

x

2 4

2 2 4

0, pues las filas 2 y 3 son 

b) Debemos derterminar el rango de la matriz A

       

1 1 1 1 2

2 3 2 3 1

3 0 1 5

2

1

0

15

4

10

Rango A  1

0

1 1 2

2  Rango A

2 3 1

0 1 5

3 4   1

 


2. Determinau l’equació del pla π que passant pels punts (1, 0, 0), (0, 2, 0) talla  l’eix OZ en el punt (0, 0, c) amb c>0 tal que l’àrea del triangle ABC val √6 .    Hallamos el valor de c.  j k 1 i 1 1 | 2c, c ,2 |   ABxAC Área del triángulo ABC 1 2 0 2 2 2 1 0 c 1 1 5c 5c 4 4 √6 5c 4 24  c 2 c 2  2 2   Hallamos el plano π:  pasa por A 1, 0, 0 x 1 y z π 0   1, 2, 0     π: AB 1 2 0 vectores directores: 1 0 2 AC 1, 0, 2   2x y z 2 0    3. Considerau l’equació x3 + λx2 – 2x = 1 on λ és una constant més gran que 2. Fent  servir el teorema de Bolzano i el de Rolle, provau que l’equació admet una única  solución no negativa i més petita que 1.    Veamos que la ecuación tiene solución.  x3 + λx2 – 2x = 1 →  x3 + λx2 – 2x – 1 = 0.  f x es continua en  0, 1 , por ser función polinómica. Signo de f 0 signof 1 Sea f(x) = x3 + λx2 – 2x – 1,    λ

f 0 1; f 1 λ 2 0 Aplicando el teorema de Bolzano podemos afirmar que ∃ c   (0, 1)/f(c) = 0, es  decir c es solución de la ecuación x3 + λx2 – 2x = 1.    Veamos que la solución hallada es única.  x

2 λ 6

6

, es positiva y menor que 1. 2λx 2 0 f x 3x   2λ 2 λ 6 x , es negativa. 6 La derivada tiene dos raíces, de las cuales una es negativa i la otra está en (0,1).  Como solo hay un cero de la derivada entre 0 y 1, y la función cambia de signo  entre 0 y 1, la solución hallada es única.        4.  2 Sigui I dx  3 √x a) Expressau I aplicant el canvi de variable x = t2. 


b) Calculau el valor de I.                a  x   

2

 2t. dt, sustituyendo,

3

t

2tdt 

b)  2

I

3 4 t

 

  t  → dx 

√x

3ln|3

dx t|

2 3

t

4 √x

2tdt

4

3ln 3

1 3 √x

t

tdt 4

4

1

12ln4

3 12ln3

1 3

t

dt

4 ln

  3   4


EXAMEN UIB JUNIO 2011 MATEMATICAS II