Issuu on Google+

   

EXAMEN U.I.B. JUNIO 2010. MATEMÁTICAS CC.SS.  OPCIÓN A  1. Considerau el sistema d'equacions.  

x 1 2y 3z 2  y 2z 3 a) Expressau‐lo en forma matricial A.X = B on A és la matriu del sistema, X la  matriu de les incògnites iB la matriu dels termes independents.   b) Calculau la matriu inversa de A, A‐1.  c)  Resoleu l'equació matricial A.X = B  x

  1 0           a   1 2 0 1           b  |A| 1 

A

1 1 0

1 2 1           c  X  

0 0 2 3 1 2

0 2 1

x 0 3 . y z 2

At

0 3 2

A .B

1 2 .  3

1 0 0

1 0 2 1 3 2

 A |A|

A 1 2 1

0 2 1

t

adj A

2 1 3 2 1 0 3 2 1 0 2 1

1 0 2 2 1 1 0 1 3 .  2 3 2

0 0 1 0 1 0

1 2 0 2 0 1

0 2 0 3 1 1 0 3 1 1 0 2

 

0 3   2

1 3   3

2. Certa persona disposa de 60.000€ com a màxim per repartir entre dos tipus  d'inversió A i B, sabent que el rendiment de la inversió serà del 9% en l'opció A i  del 12% en la B. En l'opció A desitja invertir entre 12.000€ i 42.000 €. A més, vol  destinar a aquesta opció tants de diners, almenys, com a la B.   a) Quines quantitats pot invertir en cadascuna de les opcions? Planteja el  problema com un problema de programació lineal i representa gràficament el seu  conjunt factible de solucions.   b) Quina quantitat ha d'invertir en cadascuna per optimitzar el rendiment  global? Aquant ascendirà?    

Función a optimizar: f(x,y) = 0’9.x + 0’12.y.  x   0 y   0 x   y   60000   Restricciones: 12000 x  42000 x y  


y 60

x = 12000

x = 42000

50

y=x

y = 60000 - x

40

C

30

20

D B

10

0

 

A 0

5

10

x

E 15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

 

9 12000 f 12000,0 . 12000 1080 €  y 0 100 9 12 x 12000 f 12000 , 12000 B . 12000 . 12000 2520 €  y 12000 100 100 x y 60000 x 30000 C   y x y 30000 9 12 f 30000,30000 . 30000 . 30000 6300 €  100 100   x 42000 x y 60000 D   y 18000 x 42000 9 12 f 42000,18000 . 42000 . 18000 5940 €  100 100 9 x 42000 E f 42000,0 . 42000 3780 €  y 0 100   Debe invertir 30000 € en acciones del tipo A y 30000 € en acciones del tipo B, para  obtener unos beneficios de 6300 €    3. En una nit i el matí següent, la temperatura T (en graus centígrads) d'una certa  regió varia amb el temps t segons la funció T(t) = t2 – 9t + 8; 0 ≤ t ≤ 12.  a) Quina temperatura hi havia a les 2 del matí?   b) Quina va ser la temperatura màxima?   c) Quin va ser l'interval de variació de la temperatura des de les 0 hores a  les 12 hores?   d) A quina hora hi va haver una temperatura de zero graus?    a) T(2) = 22 – 9.2 + 8 = – 6 °C.  b) T(0) = 8  °C, T(12) = 44 °C (esta fue la máxima temperatura).  c) T’(t) = 2t – 9 = 0 → t = 9/2 = 4’5. A las 4h 30’ se alcanzó la mínima   A

x


temperatura. T(4’5) = 4’52– 9.4’5 + 8 = – 12’25 °C. El intervalo de temperaturas fue  de – 12’25 hasta 44 °C.  d) t2 – 9t + 8 = 0 → t = 8 y t = 1. A las 8 y a la 1 la temperatura fue de 0 °C    4. En una bossa hi tenim tres daus iguals llevat del color de les cares. El dau D1 té  quatre cares blanques i dues de vermelles, el dau D2 té dues cares blanques i  quatre de vermelles, i el dau D3 té tres cares blanques i tres de vermelles. És extret  a l'atzar un dels tres daus i llançat a l'aire. Sabent que la cara girada cap amunt ha  estat blanca, quina és la probabilitat que el dau triat hagi estat D1? Quina la  probabilitat que hagi estat triat D2? Quina la probabilitat que hagi estat triat D3?    blanca → 4/6 D1 → 1/3  negra → 2/6

blanca → 2/6 DIAGRAMA  DE ARBOL

D2 → 1/3  negra → 4/6

blanca → 3/6 D3 → 1/3  negra → 3/6

P D1/blanca

P D1 blanca P8blanca

P D2/blanca

P D2 blanca P8blanca

P D3/blanca

P D3 blanca P8blanca

 

14 36 14 36 14 36

14 36 12 36 12 36 12 36 13 36 12 36

13 36 13 36 13 36

 

4   9 2   9 3   9

OPCIÓN B 

1. Les altures de tres nois que es diuen Marc, Pau i Navarro estan relacionades com  segueix. Si l'altura  d’en Marc augmenta el triple de la diferència de les altures d’en  Pau i d’en Navarro, en Marc seria igual d'alt que en Navarro. Les altures dels tres  sumen 515 centímetres. Vuit vegades l'al d’en Pau equival a 9 vegades l'altura d’en  Marc   a) Plantejau un sistema d’equacions per esbrinar l’altura d’en Marc, d’en  Pau i d’en Navarro.  b) Resoleu el sistema d'equacions i, per tant, el problema  M 3 P N N           a b   M P N 550 8P 9M

M P N

160 cm. 180 cm.     165 cm.


2. Dibuixau la regió determinada per les inequacions:  x 0 y 0 3x 2y 30     3x 4y 48 30x 10y 240 3x y 24 Maximitzau la funció f(x,y) = x + y sotmesa a les restriccions donades per aquestes  inequacions.     Función a optimizar: f(x,y) = x + y  x 0 y 0 3x 2y 30 Restricciones:   3x 4y 48 30x 10y 240 3x y 24   y

20

15

3x + y = 24

A 10

B

O 0

  A B C D O

x y 3x 3x 3x 3x x y x y

3x + 4y = 48

C

5

0

D 2

4

6

8

3x + 2y = 30 10

0 f 0.12 12  12 4y 48 f 4,9 13  2y 30 y 24 x 6 f 6,6 y 6 2y 30 0 f 0,8 8  8 0 f 0,0 0  0

12

14

x 16

12 

  En el punto (4,9) la función alcanza el valor máximo 13. 

 

18

20

22

24  


3. Es considera la funció logística donada per Calculau, si és que existeixen:  1200 S x   1 30. e . a) Les asímptotes horitzontals  b) Els intervals de creixement i decreixement i els màxims i mínims.              a  A. H.

           b  S x

lim

 

1200 1 30. e . 1200 lim 1 30. e

30.0 9. e

1

.

30. e

. 1200 0.9x

1200

A. H. y

0

A. H. y

.

0

0 9. e

.

1200   0

. 1200

0, no hay solución. 

Como S’(x) es siempre > 0 la función es creciente en su dominio.   

4.  La Regidoria de Joventut d'un, ajuntament maneja la dada que l'edat a la qual els  fills s'independitzen dels pares és una normal amb mitjana 29 anys i desviació  típica 3 anys. Encara que la desviació típica no planteja dubtes, sí que se sospita  que la mitjana ha descendit, sobretot per la política d'ajuda a l'ocupació que ha  portat a terme l'Ajuntament. Així, d'un estudi recent sobre 100   joves que s'acaben d'independitzar, s'ha obtingut una mitjana de 28.1 anys d'edat.  Amb un nivell de significació de l’1%, pot defensar‐se que l'edat mitjana no ha  disminuït, enfront de l’afirmació que sí que ho ha fet, com sembla que indiquen les  dades? Plantejau el contrast o test d'hipòtesi i resol‐lo.    

El contrast d’hipòtesis és unilateral amb un nivell de significació α =  0’01, al qual li  correspon Zα = 2’33  H : µ 29 Las hipotesis son    H: µ 29 σ Comprobar si x μ Zα ; ∞ ; 28 1 28 301, ∞ . Rechazamos la   √n hipótesis nula. La edad media si ha disminuido. 


EXAMEN UIB JUNIO 2010 MATEMATICAS CC SS