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CALCULO

SEMESTRE “A” 27/01/2014 Carlos Adrián Chong Arellano


INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C. BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P. CLAVE BUAP 8109 - CLAVE S.E.P. 21PBH0033W INFORMÁTICA III Carlos Adrián Chong Arellano

MATERIA: Calculo PROFESORA: Ofelia Mercedes Izquierdo Valladares

PORTAFOLIO

ALUMNO: Carlos Adrián Chong Arellano

GRADO Y GRUPO: 3º “B”

CICLO ESCOLAR 2013 - 2014

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Primer parcial

Relaciones y funciones Página 2


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ÍNDICE EVALUACIÓN DE FUNCIONES OPERACIONES CON FUNCIONES RELACIONES Y FUNCIONES GUÍA DE PRIMER PARCIAL

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Segundo Parcial

Limites

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ÍNDICE FUNCIÓN POR PARTES CASOS DE LÍMITES APLICACIÓN DE LA DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Y SUS PROPIEDADES LIMITES EN EL INFINITO GUÍA DE EXAMEN DEL PRIMER PARCIAL

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Tercer Parcial

Introducción al cálculo diferencial Página 15


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ÍNDICE LÍMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA DERIVADA DE FUNCIONES

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Cuarto parcial

Introducción al cálculo diferencial Página 21


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INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C

Chong Arellano Carlos Adrián

TRABAJO ESPECIAL

MTRA. OFELIA MERCEDES IZQUIERDO VALLADARES

3 “B”

2013-2013 Página 22


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INDICE  MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN  EJEMPLOS ANALITICOS DE COMO HALLAR PUNTOS MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN  PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE LA CURVA

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INTRODUCCION Con el cálculo diferencial es posible resolver ciertas situaciones del tema de máximo y mínimos puede ocurrir que entre los valores uno sea el más grande y el otro pequeño. Los puntos de inflexión y concavidad de la curva los cuales se caracterizan por ser puntos en la curva se presentan situaciones, creciente y decreciente, los llamados puntos de inflexión de una curva, los dos temas que se darán a conocer en este trabajo vendrán más explicados con sus respectivos ejemplos.

MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN Dada una función f(x), se dice que tiene un máximo relativo en un punto de abscisa a, si existe un intervalo (a a+ f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente a (a a+ a, f(a)) de la curva. La función f(x) tiene un mínimo relativo en un punto b si hay un intervalo (b que f(x) > f(b) para cualquier punto x perteneciente a (b b+ el punto (b, f(b)) de la curva.

b+

A los máximos y mínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o simplemente extremos.

Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener más de un máximo y más de un mínimo.

Consecuencias

1. La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados. En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0º) es cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si en a y b existe un máximo o un mínimo. 2. De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse entre los valores que hacen cierta la igualdad f'(x) = 0.

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No obstante, aún no se dispone de ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación f'(x) = 0 son máximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro.

Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la figura, no siempre se da. Así, en el punto (a,f(a)) hay un mínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a; por tanto, no existe f'(a).

Máximos y mínimos Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si: 1. Si f'(a) = 0. 2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) < 0 Mínimos locales

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple: 1. f'(a) = 0 2. f''(a) > 0

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Cálculo de máximos y mínimos Estudiar los máximos y mínimos de: 3

f(x) = x − 3x + 2

Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. 2

f'(x) = 3x − 3 = 0 x = −1 x = 1.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si: f''(x) > 0 Tenemos un mínimo. f''(x) < 0 Tenemos un máximo.

f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f'' (1) = 6 Mínimo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos. 3

f(−1) = (−1) − 3(−1) + 2 = 4

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3

f(1) = (1) − 3(1) + 2 = 0 Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)

Máximo absoluto Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a=0 Mínimo absoluto Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

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b=0 Máximo y mínimo relativo Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

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a = 3.08

b = -3.08

Ejemplos analíticos de cómo hallar puntos máximos y mínimos de una función EJEMPLO 1 f(x) = x3 − 3x + 2 f'(x) = 3x2 − 3 = 0 f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f''(1) = 6 Mínimo f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4)

Mínimo(1, 0)

EJEMPLO 2

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Hallar los máximos y mínimos de:

Tenem os un m ínim o en x = 3

Mínim o(3, 27/4)

En x = 1 no ha y un m áxim o porque x = 1 no pertenece al dominio de la función.

EJEM PLO 3

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Candidatos a extremos: − 1 y 1.

f"( − 1) = 6 > 0

Mínimo

f"(1) = − 6 < 0

Máximo

f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2 f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2 Máxim o ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

EJEM PLO 4

Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.

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4

f(−2) = (−2) − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13 4

f(0) = 0 − 8 · 0² + 3 = 3 f(2) = 2

4

− 8 · 2² + 3 = − 13

Máxim os: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)

Mínimo(0, 3)

EJEM PLO 5 Encontrar el valor máximo o mínimo de la función y = 4x – x Siguiendo los tres pasos anteriores, tenemos

2

Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2 Para x = 1.9 dy/dx = 4 – 2 (1.9) = 0.2 es positivo Para x = 2.1 dy/dx = 4 – 2 (2.1) = -0. 2 es negativo Se observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto máximo.

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Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.

Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo. Una función es cóncava en un intervalo cuando para cualquier par de puntos de la curva (dentro del intervalo), el segmento que los une queda por debajo de la gráfica. Cuando el segmento queda por encima de la gráfica, la función es convexa en dicho intervalo.

Puntos de inflexión son los puntos del dominio donde la función pasa de cóncava a convexa (o de convexa a cóncava)

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Teorema

es

convexa

en

es

cóncava

en

posible

cuando

punto

de

inflexión

en

[Será

punto

de

inflexión

]

Calcular los intervalos de concavidad y convexidad

1)

Calculamos

y

2) Resolvemos la ecuación 3) Dibujamos en la recta real las soluciones de la ecuación anterior y los posibles puntos de discontinuidad de la función. Ello dejará la recta real dividida en intervalos.

4) Estudiamos el signo de

un punto

en cada uno de los intervalos anteriores. Para ello tomamos

del intervalo y comprobamos si

es positivo o negativo.

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Si es positivo, la función es Si es negativo, la función es cóncava en ese intervalo

convexa

en

ese

intervalo

Calcular puntos de inflexión

Las soluciones de la ecuación A cada candidato "c"

le

Si

es

Si

no podemos asegurar nada.

son los candidatos a puntos de inflexión. aplicamos la 3ª derivada:

punto

EJEMPLOS DE PUNTOS DE INFLEXION:

1.

2.

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de

inflexión


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3.

Punto de inflexión(0, 0)

4.

3

f(x) = x − 3x + 2 f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 f'''(0) = 6 ≠0 .

Por tanto, en x = 0 hay un punto de inflexión.

3

f(0) = (0) − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión(2)

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CONCAVID AD

1.

2.

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3.

4.

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BIBLIOGRAFIAS

MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN (LOCAL Y ABSOLUTO) http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html http://www.vitutor.com/fun/5/a_3.html EJEMPLOS ANALITICOS DE COMO HALLAR PUNTOS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN www.vitutor.com/fun/5/x_e.htm www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html www.ditutor.com/funciones_1/maximos_minimos.html PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE LA CURVA www.dervor.com/derivadas/punto_inflexion.html www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/.../node5.html EJEMPLOS DE PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE LA CURVA http://www.slideshare.net/LuisDanielMoralesCastao/ejemplos-de-concavidad http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesderivada/html/node5.html

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