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FICHA DE TRABALHO MATEMÁTICA – 12.º ano “Combinatória – Problemas” Resposta:

1. Numa corrida participam 5 cavalos: A, B, C, D e E. a. Quantas apostas se devem fazer, supondo que o objectivo é acertar nos dois cavalos que chegam em primeiro e segundo lugares? ------------------------------- 20

b. E se as apostas consistirem em acertar nos três primeiros lugares, quantas apostas se deverão fazer? ---------------------------------------------------------------- 60 2. Uma empresa pretende instalar uma rede de telefones internos. a. Se cada número tiver três algarismos, quantos números de telefone diferentes pode ter a rede? --------------------------------------------------------------------------- 1 000

b. Quantos números de telefone ficam disponíveis, sabendo que para a Administração estão reservados os que começam ou terminam em 1? ----------- 190 3. O Francisco esqueceu o código do seu cofre. Sabe que tem exactamente as cinco letras da palavra “PRETO”, que a última é P e a penúltima vogal. Quantas experiências terá de fazer, se tiver o azar de só acertar na última? ---------------------------------------------- 250

4. Numa classe de vinte e cinco alunos, vai ser sorteada uma calculadora, um livro e um disco. Cada aluno só pode receber, no máximo um dos prémios. a. Quantos resultados diferentes admite o sorteio? ------------------------------------- 13 800 b. Admitindo que um aluno pode receber mais do que um prémio, quantos resultados diferentes admite o sorteio? ------------------------------------------------ 15 625 5. Um comboio pára em oito estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser emitidos, se for indicado em cada bilhete a estação de entrada e saída? ---------------------------------- 56 6. Numa mercearia, um empregado estava a arrumar sumos de diferentes sabores numa prateleira. Tinha sete garrafas de uma determinada marca e nove de outra marca. De quantas maneiras diferentes pode colocar as garrafas, de modo a que as da mesma marca fiquem juntas? -----------------------------------------------------------------------------

3 657 830 400

7. Nos aparelhos utilizados para contabilizar o valor a pagar pelos clientes que joguem snooker, são colocadas três bolas das dezasseis bolas que se utilizam no jogo, para efectuar a paragem do contador. Qual é o número de hipóteses que existem para colocar as três? ------------------------------------------------------------------------------------- 560

Ano lectivo 08’09

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FICHA DE TRABALHO MATEMÁTICA – 12.º ano “Combinatória – Problemas” 8. Os números de telemóvel têm os dois primeiros algarismos iguais consoante a Resposta: empresa que fornece o serviço. Sabendo que o número de um telemóvel é constituído é constituído por nove algarismos, determine a quantidade de telemóveis que cada empresa pode fornecer. --------------------------------------------------------------------------- 10 000 000

9. Dez professores: cinco de Matemática, três de Português e dois de Inglês; foram almoçar a um restaurante chinês e ficaram numa mesa redonda. De quantas maneiras diferentes se podem sentar, de modo a que fiquem juntos os da mesma disciplina? ----- 8 640

10. Um grupo de seis amigos combinou um jantar e pediu ao dono do restaurante que lhes reservasse uma mesa redonda, de preferência que um dos lugares tivesse uma janela por detrás. a. Considerando que o pedido foi aceite, os amigos chegaram ao restaurante e foram se sentando. De quantas maneiras diferentes se podem sentar os seis amigos? ------------------------------------------------------------------------------------ 720 b. O dono do restaurante não conseguiu reservar a mesa pretendida, pelo que lhes destinou uma outra mesa, também redonda, mas no meio da sala. Será que o número de maneiras diferentes de se sentarem é o mesmo? Justifique. ----------- 120

11. Na figura estão representadas duas circunferências concêntricas e, em cada uma delas, quatro pontos. Dos pontos representados não existem três colineares. a. Quantos triângulos se podem construir, utilizando como vértices três dos oito pontos? ---------------------------------------------------

56

b. E quantos desses é que têm, pelo menos, um vértice na circunferência de menor raio? ------------------------------------------------------------------------------------ 52

12. As matrículas em Portugal eram inicialmente constituídas por um par de letras seguida de dois pares de algarismos. Na década de 1990, foram introduzidas novas matrículas, em que as letras ocupavam a última posição. Em 2005, foi necessário acrescentar mais matrículas, tendo a opção recaído na colocação das letras no meio dos dois pares de algarismos. (considere-se a utilização de 24 letras). a. Quantas viaturas foram matriculadas até ao fim de 2004? -------------------------- 11 520 000 b. Com a opção tomada em 2005, qual será o total de viaturas matriculadas até esgotar todas as possibilidades? -------------------------------------------------------- 17 280 000

Ano lectivo 08’09

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FICHA DE TRABALHO MATEMÁTICA – 12.º ano “Combinatória – Problemas” E

13. Na figura está uma representação esquemática de parte da planta de uma cidade, em que as linhas representam ruas. Os pontos E, L e P representam, respectivamente, a escola, a casa da Luísa e a casa do Pedro. a. De quantas maneiras diferentes pode ir a Luísa de casa (L) para a escola (E)? ------------------------------------------

Resposta:

L

P

20

b. De quantas maneiras diferentes pode ir o Pedro de casa (P) para a escola (E) passando por casa da Luísa? ------------------------------------------------------------ 120 c. No regresso da escola para casa, quantos são os caminhos diferentes que o Pedro pode seguir se não quiser passar pela casa da Luísa? ------------------------ 132 Nota: Os movimentos são feitos sempre em progressão, isto é, não andam em sentido contrário ao pretendido.

14. Num parque de campismo há várias tendas. Cada tenda está ligada a cada uma das outras por um caminho. Sabendo que há 120 caminhos diferentes, quantas tendas há no parque? ------------------------------------------------------------------------------------------ 16

15. Numa agência de uma companhia de seguros os diversos processos estão organizados em 12 dossiês: 6 do ramo automóvel: A1, A2, A3, A4, A5 e A6; 4 do ramo da habitação: H1, H2, H3 e H4; 2 do ramo vida: V1 e V2. Os dossiês estão dispostos num armário com duas prateleiras, ficando seis em cada prateleira. a. Determine de quantas maneiras é possível colocar os 12 dossiês no armário de modo que: a.1. os do ramo automóvel fiquem na mesma prateleira; --------------------------- 1 036 800 a.2. os do ramo vida fiquem na mesma prateleira lado a lado; -------------------- 72 576 000 a.3. os do ramo habitação não fiquem todos na mesma prateleira. --------------- 449 971 200 b. Há necessidade de registar uma nota em todos os processos. Para o efeito, são retirados do armário quatro dossiês, ao acaso, para que um funcionário proceda ao registo. Determine de quantas maneiras diferentes pode ocorrer a escolha dos quatro dossiês se: b.1.. não há qualquer indicação; -------------------------------------------------------b.2. exactamente dois são do ramo automóvel; -------------------------------------b.3. nenhum é do ramo habitação; ----------------------------------------------------b.4. pelo menos um é do ramo vida. --------------------------------------------------

Ano lectivo 08’09

495 225 70 285

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FICHA DE TRABALHO MATEMÁTICA – 12.º ano “Combinatória – Problemas” Resposta:

16. Na figura está representado um hexágono regular.

a. Quantos triângulos é possível formar com os vértices do hexágono? ------------------------------------------------------------------- 20 b. Destes, quantos é que não são equiláteros? ------------------------------------------- 18 c. E quantos são isósceles? ----------------------------------------------------------------- 6 17. Com seis círculos, três cinzentos, dois azuis e um branco, foi construído o “triângulo” representado na figura. Por troca das peças, quantos “triângulos” diferentes podes construir? ----------------------------------------------------------------------

60

18. Um grupo de oito amigos que incluem a Carla e o Daniel possuem 4 bilhetes para irem ao cinema. Quantos agrupamentos diferentes se podem formar para a ida ao cinema sabendo que o Daniel não vai se a Carla não for, mas a Carla vai mesmo que o Daniel não vá. ----------------------------------------------------------------------------------------------- 50 19. Os números de telefone de uma certa região têm sete algarismos, sendo os três primeiros 9, 8 e 3 (não necessariamente por esta ordem). Quantos números de telefone sem algarismos repetidos existem nesta região? ---------- 5 040 20. Dez pessoas vão fazer uma viagem de comboio, distribuindo-se por dois compartimentos. Sabendo que cada compartimento leva no máximo seis (6) pessoas, determine o número de maneiras diferentes das dez (10) pessoas se distribuírem pelos compartimentos. ----------------------------------------------------------------------------------- 672 21. Numa festa onde estavam presentes várias pessoas cada uma delas cumprimentou cada uma das outras com um aperto de mão. Sabe-se que houve exactamente 190 apertos de mão. Calcule o número de pessoas presentes na festa. --------------------------------------- 20 22. No fim de cada período, a professora de Biologia vai sortear uma planta carnívora entre os 25 alunos da turma. No final do ano lectivo, de quantas maneiras diferentes podem ser atribuídas as três plantas? --------------------------------------------------------------------------------------------- 15 625 23. O João foi visitar o avô e este quis premiá-lo pelos seus bons resultados escolares. Disse-lhe por isso que podia escolher três coisas: um dos 42 livros que estavam na estante, um dos 23 discos e um dos 8 baralhos de cartas. De quantas maneiras diferentes pode o João fazer as suas escolhas? ---------------------- 7 728

Ano lectivo 08’09

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FICHA DE TRABALHO MATEMÁTICA – 12.º ano “Combinatória – Problemas” Resolução: 1. a.

A25 .

b.

A35 .

a.

10

2.

b. 3.

A3' .

2 × 10 A2' − 10 .

2 × 5 A3' .

4. a.

A325 .

b.

A325 + 3 × A225 + A125 .

5. Entram em 8 estações e saem em 7 estações. Logo obtemos 8 × 7 . 6.

7!× 9!× 2 .

7.

C 316 .

8.

10

9.

A7' .

5!× 3!× 2!× 3!.

10. a.

6! .

b.

Não. 5! .

a.

C 38 .

b.

C 38 − C 34 .

a.

2 × 24 A2' × 10 A4' .

b.

3 × 24 A2' × 10 A4' .

a.

C 36 .

b.

C 24 × C 36 .

c.

C 510 − C 24 × C 36 .

11.

12.

13.

Ano lectivo 08’09

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FICHA DE TRABALHO MATEMÁTICA – 12.º ano “Combinatória – Problemas” 14. C 2n = 120 ⇔

n ( n − 1)

2

= 120 ⇒ n = 16. Há 16 tendas no parque de campismo.

15. .. a1) 6!× 6!× 2 . a2) 10 × 2 × 10! . a3) 12!− A46 × 8!× 2 . b1) C 412 . b2) C 26 × C 26 . b3) C 48 . b4) C 310 × C 12 + C 210 × C 22

ou C 412 − C 410 .

16. a.

C 36 .

b. Triângulos equiláteros tem dois, logo obtemos C 36 − 2 . c. De cada vértice do hexágono com os dois vértices adjacentes obtemos um triângulo isósceles. Desta forma obtemos 6 triângulos isósceles. 17.

6! ou C 16 × C 25 × C 33 . 3!× 2!× 1

18. C 46 + C 37 . 19. 3!× A47 . 20. C 610 + C510 + C410 . 21. C 2n = 190 ⇔

n ( n − 1) 2

= 190 ⇒ n = 20. Na festa haviam 20 pessoas.

22. A325 + 3 × A225 + A125 . 23. 42 × 23 × 8 .

Abílio Vitorino

Ano lectivo 08’09

6

matematica  

combinatorio

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