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Una ventana al cálculo aproximado y sus aplicaciones

Autor

César Enrique Juárez


Introducción

Esta revista surge con la iniciativa y también como una necesidad de dar a conocer a la comunidad de la universidad Fermín Toro, y en especial a los estudiantes de ingeniería, sobre el trabajo de investigación que en las ciencias matemáticas, y de un modo particular en el área del cálculo aproximado, realizan los estudiantes, el cuerpo docente y de investigación de esta casa de estudios. El primer número de la revista está conformado por tres artículos desarrollados por estudiantes de la carrera ingeniería eléctrica y sería para este cuerpo editor un privilegio que usted se sienta motivado a participar en nuestra revista publicando los resultados de sus trabajos de investigación relacionados con el cálculo numérico y sus diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento académico y de investigación científica.


Polinomio interpolador de Newton César Enrique Juárez Las tablas de interpolación de datos fueron alguna vez un tema de relevante importancia. Actualmente, con el uso de las calculadoras y los ordenadores que realizan complicadas operaciones en un tiempo muy corto; el uso de tablas tales como las que contienen logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas es cosa del pasado. Los procedimientos de cálculo que usan los computadores para evaluar una función ya incorporada, como por ejemplo las funciones trascendentales (senos, cosenos, logaritmos, exponenciales), involucran aproximación mediante polinomios.

Un problema clásico de la matemática, se plantea al querer calcular el valor de una función en un punto cuando no se conoce la función o incluso cuando la función no existe, conociéndose únicamente una serie de puntos. La resolución aproximada del problema consiste en encontrar una función fácil de construir y de evaluar, que coincide con la función objeto del problema con los datos de que se dispone. Se dice que la función así construida interpola a la función dada con respecto a los datos. Este procedimiento matemático, conocido con el nombre de interpolación se materializa mediante el uso de una función de interpolación, la cual pasa a través de puntos dados como datos que son mostrados comúnmente por medio de una tabla de valores o son tomados directamente de una función dada. En este sentido, los polinomios son los elementos matemáticos empleados preferentemente como funciones polinomiales para la aproximación a los datos, como se dijo anteriormente; extraídos de una función conocida o de una tabla de valores. A pesar de carecer de una teoría rigurosa, ya en el tiempo antiguo es posible registrar situaciones en donde se hacían cálculos aproximados por medio de la interpolación por polinomios. Los matemáticos de la antigua Grecia hicieron cálculos aproximados del número interpolando el área de un círculo entre los valores de las áreas de dos polígonos regulares de n lados, uno inscrito en la circunferencia perimetral del círculo y el otro circunscrito a dicha circunferencia. En el siglo IX, los matemáticos árabes emplearon el método de la régula falsi (o posición falsa) para resolver ecuaciones no lineales. Pero no es sino hasta la misma época en que surgieron las teorías relacionadas con el cálculo diferencial e integral que los procedimientos y técnicas del cálculo aproximado mediante funciones polinómicas lograron su consolidación. Isaac Newton el creador del cálculo infinitesimal y padre de las leyes de la mecánica, también hizo su incursión en el campo del cálculo numérico siendo el artífice de una fórmula de interpolación polinómica, que hoy en día es conocida como polinomio interpolador de Newton. La construcción de los polinomios interpolantes de Newton se realiza mediante el siguiente esquema recursivo: Los polinomios de primero, segundo y tercer grado presentan la forma:


El polinomio PN(x) se obtiene a partir de PN-1(x) usando la recurrencia; entonces:

El polinomio P N(x) dado en la fórmula (4) es un polinomio de Newton con N centros x 0, x1,…, xN-1. Para estimar el valor de los coeficientes a k de todos los polinomios P1(x),…, PN(x) que se emplean para aproximar una función dada x, se hace uso de las fórmulas de diferencias divididas, que es la herramienta que nos permitirá continuar el proceso recursivo. Las fórmulas de diferencias divididas de una función f(x), de orden 0 hasta 3 se muestran en la siguiente definición. Definición 1. Las diferencias divididas de una función f(x) se definen como:

Si tenemos una diferencia dividida de orden superior a las formuladas en la definición anterior, se obtiene a partir de acuerdo con la fórmula recursiva:


Entonces los coeficientes ak de los polinomios aN(x), se calculan a partir de las diferencias divididas, en la forma:

Esta relación de recurrencia para el cálculo de los polinomios de Newton otorga cierta ventaja a este método en comparación, por ejemplo con el polinomio de Lagrange, ya que si se quiere incorporar un punto o nodo adicional al cálculo aproximado, solo habría que hacer la operación adicional por medio de la relación de recurrencia.


Referencias Consultadas Apostol T (1985). Calculus. Editorial Reverté, S.A. Burden R y Faires J (2001). Análisis numérico. Séptima edición. Editorial Thomson and Learning. Gerard C (1997). Análisis numérico. Segunda edición. Editorial Alfaomega. Mathews J y Fink K (2000). Métodos numéricos con Matlab. Tercera edición. Editorial Prentice Hall. Nakamura S (1992). Métodos numéricos aplicados con software. Editorial Prentice Hall.


Introducción al Análisis Numérico Jesús Armando Rodríguez, Estudiante de Ingeniería Eléctrica Las Matemáticas, la ciencia más antigua, constituyendo un edificio doctrinal cuyo potencial aumenta día a día. Aunque la esencia de las Matemáticas es abstracta, es un hecho que las Matemáticas han sido concebidas en el esfuerzo del ser humano para entender la Naturaleza (y actuar sobre ella) y que son de importancia capital para la sociedad moderna. Es importante destacar, la relación de las Matemáticas con las Ciencias y las Tecnologías es hoy en día un camino de ida y vuelta. En realidad, la historia de las Matemáticas muestra que esto ha sido siempre así.A esto podemos añadir que una de las disciplinas más relevantes fruto de esta interacción es la del Análisis Numérico a la que dedicaremos este ciclo de conferencias. El Análisis Numérico es sin duda uno de los legados más importantes de las Matemáticas del Siglo XX en el que la irrupción y posterior desarrollo de las computadoras hizo necesario traducir las Matemáticas a un lenguaje comprensible para la máquina a la vez que ésta hacía posible el sueño de realizar cálculos que en volumen y complejidad escapaban al ser humano. Esta disciplina, surgida en sus inicios como bifurcación del Análisis Matemático es hoy en día una de las más vigorosas y versátiles de las Matemáticas. De este modo, se podría deducirse que la disciplina del Análisis Numérico data de hace medio siglo. Pero un análisis un poco más detallado de la historia de las Matemáticas indica que cuando los grandes científicos de la época (siglo XVIII esencialmente) desarrollaban el programa de Newton y establecían los principios y herramientas fundamentales del Análisis y del Cálculo Diferencial, estaban ya estableciendo los cimientos del Análisis Numérico. Esto fue primero con el objeto de construir el complejo edificio del Cálculo Diferencial a partir de la más simple aritmética, para después, ya en siglo XX, deshacer ese camino traduciendo las Matemáticas al lenguaje del ordenador. En concordancia, en el ámbito del área de ingeniería, se busca dar soluciones exactas a un determinado problema, mediante la aplicación

de métodos numéricos, dando con ellos una aproximación pero con la precisión requerida, o sea, con un error lo suficientemente pequeño y próximo a cero, de ahí la utilidad de los métodos numéricos. De ahí que, se considera importante el tiempo empleado en obtener la solución y en esto ha jugado un papel importante el enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios computarizados de cómputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtención de la solución, lo que ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptación que hoy tienen los métodos numéricos. Sumémosle a ello que las computadoras son capaces de dar solución con la precisión requerida. Es por ello, que el desarrollo del Análisis numérico como disciplina con entidad propia ha ido indisolublemente ligado a la vertiginosa evolución que los ordenadores han experimentado desde su aparición en la década de los años cuarenta. No en vano, los ordenadores son herramientas imprescindibles para aplicar con eficacia la inmensa mayoría de los métodos que el Análisis numérico propone, dado el considerable volumen de cálculos y manipulaciones de datos que suelen llevar aparejados. Por consiguiente, los problemas que trata el Análisis numérico se pueden clasificar en dos grandes grupos, según tengan naturaleza numérica (o finito–dimensional) o naturaleza funcional (o infinito–dimensional). Pertenecen al primer grupo los problemas relativos a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de valores y vectores propios, y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales. Son del segundo tipo, por el contrario, los problemas de interpolación


y aproximación de funciones, la derivación e integración numérica, los problemas de valor inicial y de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias, y los problemas de contorno para ecuaciones en derivadas parciales. Algunos Conceptos - Problema numérico: Descripción precisa de la relación funcional entre un conjunto finito de datos de entrada y un conjunto finito de datos de salida. - Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, excenta de ambigüedades, que seguidas en su orden lógico nos conduce a la solución de un problema específico - Método numérico: Procedimiento para transformar un problema matemático en numérico y resolver este último El análisis numérico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el problema matemático, es decir hallar una relación funcional entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son: 1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución. 2. Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores: • Existencia y unicidad. • Estabilidad y convergencia 3. Resolución: Elección de un algoritmo numérico • Elección del algoritmo: Costo y estabilidad • Codificación del algoritmo • Ejecución del programa Definición El Análisis Numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. Análisis Numérico, es definido por Henrici (citado por Álvarez y Martínez, 2004) como “la

disciplina que se ocupa de la descripción y análisis de los algoritmos numéricos para la obtención de la solución de un problema matemático, en el que intervienen números, ya sea de manera exacta o aproximada” (p. 3) De ahí que, con ésta técnica es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas, es por ello que la computación es una herramienta que nos facilita el uso y desarrollo de ellos. Origen Debido a la estrecha relación existente entre las diferentes ramas de la Ciencia (y en particular de las Matemáticas), no es fácil determinar dónde acaba una y empieza otra. Por ello la extensión exacta del Análisis Numérico no es conocida. De hecho, el concepto de Análisis Numérico no fue creado hasta 1947 en que se fundó el Instituto de Análisis Numérico en la Universidad de California. Sin embargo, el nombre parece estar asociado a aquellos temas que requieran unos procesamientos de datos. Como la extensión de estos temas es considerable (puede ir, por ejemplo, desde la interpretación de datos médicos hasta la reserva automática de plazas de avión o gestión de una biblioteca), nos limitaremos a ciertos aspectos matemáticos de la idea. Al principio, la mayor parte del trabajo que se efectuaba en el campo de las Matemáticas, inspirado por cuestiones y problemas concretos, se basaba en métodos constructivos para determinar la solución (predicciones sobre eclipses, aparición de un cometa, etc...). El punto culminante de la utilización de los algoritmos está en Euler (1707-1783), que en los 70 volúmenes que comprenden sus trabajos incluye gran número de algoritmos y fórmulas. Los algoritmos infinitos que presenta, aparecen, normalmente, como desarrollos en serie. Posteriormente, la perfección de los conocimientos matemáticos y la generalización de los problemas hacen que se sustituyan los razonamientos constructivos por otros de Tipo lógico. Así, interesa más determinar si existe la solución a un determinado problema, que


calcularlo de forma efectiva. Este proceso sigue hasta aproximadamente el año 1950. La razón del proceso de abstracción era que los algoritmos para el cálculo de las soluciones de los problemas eran, aunque finitos, irrealizables por la gran cantidad de cálculos que exigían. A partir de la segunda mitad del siglo XX, la aparición de las computadoras libera al algoritmo de la pesadez del cálculo, lo que supone un nuevo auge para los métodos constructivos. Podríamos decir que si desde la antigüedad hasta 1945 la velocidad de cálculo se había multiplicado por 10 mediante rudimentarios artefactos (como el ábaco), desde entonces hasta ahora se ha multiplicado por un millón o más. Esto supone que 1 hora de trabajo de ordenador equivale a 200 años de trabajo de una persona, lo que permite realizar tareas inalcanzables en otros tiempos. Esto no significa que todos los algoritmos puedan ser tratados por un ordenador, pues algunos exigen más de 100 años de trabajo del ordenador actual más potente para poder ser llevados a cabo. Como la eficiencia de un método depende de su facilidad de implementación, la elección del método apropiado para aproximar la solución de un problema está influenciada significativamente por los cambios tecnológicos en calculadoras y computadoras. El factor limitante en la actualidad es generalmente la capacidad de almacenamiento de la computadora, a pesar de que el costo asociado con los tiempos de cómputo es, desde luego, también un factor importante Características - Suministra métodos efectivos a fin de resolver problemas. - Es un instrumento esencial en los estudios numéricos actuales. - Se consiguen soluciones de modelos matemáticos que representan situaciones reales concretas. Aplicaciones El análisis numéricos se pueden utilizar en muy diversos campos de la Ingeniería, la Mecánica, la Técnica, la Física y su desarrollo

está íntimamente ligado al de los ordenadores y medios informáticos en general. Ejemplo de aplicaciones Grau y Loguera (2001) establecen los siguientes ejemplos para las aplicaciones de análisis numéricos: - Astrodinámica: cálculo de trayectoria de satélites. - La mecánica celeste: estudio del movimiento de los astros considerando las perturbaciones creadas por sus vecinos. - Astrofísica: modelado de la evolución de las estrellas. - Ingeniería Civil: estudio de las características estructurales de grandes construcciones (edificios, puentes, presas, entre otras). - Biología: dinámica de poblaciones, flujo de la sangre en el cuerpo humano. - Mecánica de fluidos: simulación del flujo de aire alrededor de una nave y las correspondientes presiones sobre la estructura. Dispersión de contaminantes en diferentes medios. Métodos Numéricos Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. De este modo, los métodos numéricos vuelven aptos a los individuos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados


matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Según Luthe (1980) los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas. En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes. - Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados. Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora. - Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de operaciones. - Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos. - Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa. - Producción. Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes. De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para

computadora. Tipos de Métodos - Series de McLaurin / Taylor (Seno) - Métodos de Bisección, Falsa Posición, Newton-Raphston - Métodos de Gauss-Jordan, Gauss-Seidel y Montante Pardo - Interpolación de Newton


Fuentes Consultadas Luthe, R. (1980). Métodos Numéricos. México. Editorial Limusa. Grau, M. y Loguera, M. (2001). Cálculo numérico. Ediciones de la Universidad Politécnica de Catalunya, S.L. Barcelona. Heath, M. (1997). Computación Científica: Un estudio introductorio. México. Editorial McGraw Hill. Álvarez, L. y Martínez, A. (2004) Métodos Numéricos. Guía mimeografiada del Departamento de Ingeniería. Universidad de Carabobo. Zuazua, E. (2004). Una introducción histórica al Análisis Numérico, el Control y su docencia. Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma.


Método de Bisección Yoselin Cardina Barrera Riao

El teorema del valor intermedio (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.

El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Cauchy da una demostración en 1821.1 Ambos perseguían el fin de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Lagrange. La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio es de larga data. Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución: el algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración.2 Antes de que la definición formal de continuidad existiera, la propiedad del valor intermedio era dada como parte de la definición de función continua. Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio, por lo que no requiere de prueba. La visión de Bolzano y Cauchy fue la de definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimales en el caso de Cauchy, utilizando desigualdades reales en el caso de Bolzano), y la de proveer una prueba basada en tales definiciones. El recíproco del teorema es falso. No es necesario que una función sea continua para que la conclusión del teorema de los valores intermedios sea cierta. En 1875, Darboux demuestra que las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen la propiedad de los valores intermedios (ver Teorema de Darboux). Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0. El método consiste en lo siguiente: • • •

Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b] A continuación se verifica que Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada


• • •

En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b) Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada. En la siguiente figura se ilustra el procedimiento descrito.

El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo. Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.


Colaboradores •

Yoselin Cardina Barrera Riao

Jesús Armando Rodríguez


Cesar juarez