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Bachillerato virtual UDB Asignatura: Matemática II

Unidad 9: Utilicemos Trigonometría Tema 3: Identidades trigonométricas Tema 4: Identidades de suma y resta

Tutor virtual: René Cortez Arévalo


Bachillerato virtual UDB Asignatura: Matemática II Tutor virtual: René Cortez Arévalo IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS TEMA III.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Definición: Se llama IDENTIDAD a una ecuación que se cumple para cualquier valor que tome la variable. x 2 − 1= ( x − 1)( x + 1)

EJEMPLO:

Note que para cualquier valor que tome la variable “x”, se cumple la igualdad, por lo tanto es una IDENTIDAD. A las identidades que comprenden funciones trigonométricas se llaman IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. Para el triángulo rectángulo de la figura:

Sen θ =

C

B

Cot θ =

B C A B

,

,

Cos θ =

Sec θ =

A C C A

,

Tan θ =

,

Csc θ =

B A C B

θ A

Se pueden distinguir tres tipos de identidades, a saber: a) IDENTIDADES RECÍPROCAS 3. Tan θ =

1 Cotθ

4. Sec θ =

1 Cosθ

2. Cot θ =

Cosθ Senθ

5. Csc θ =

1 Senθ

b) IDENTIDADES DE COCIENTES 1. Tan θ =

Senθ Cosθ

c) IDENTIDADES PITAGÓRICAS 6. Sen 2θ + Cos 2θ =1

7. Tan 2θ + 1 = Sec 2θ

8. 1 + Cot 2θ = Csc 2θ


Demostración de las Identidades Pitagóricas: No 6: Demostrar que Sen 2θ + Cos 2θ =1 En el triángulo de la figura anterior, al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos: A2 + B 2 = C 2 ; al dividir toda la ecuacion entre C 2 tenemos : A2 B 2 C 2 + = C2 C2 C2 A2 B 2 + =1 C2 C2 2

2

 A  B  ÷ + ÷ =1 C  C  Cos 2θ + Sen 2θ = 1

'

o

Sen 2θ + Cos 2θ = 1

LQQD

No 7: Demostrar que Tan 2θ + 1 = Sec 2θ Al dividir la identidad No 6, Sen 2θ + Cos 2θ =1 entre Cos 2θ se tiene: Sen 2θ Cos 2θ 1 + = 2 2 Cos θ Cos θ Cos 2θ Tan 2θ + 1 = Sec 2θ

LQQD

No 8: Demostrar que 1 + Cot 2θ = Csc 2θ Al dividir la identidad No 6, Sen 2θ + Cos 2θ =1 entre Sen 2θ se tiene: Sen 2θ Cos 2θ 1 + = 2 2 Sen θ Sen θ Sen 2θ 2

2

 Cosθ   1  1+  ÷ = ÷  Senθ   Senθ  1uuuuuuuuuuuuuuuuuuu + Cot 2θ = Csc 2θx

LQQD

Con base a estas 8 identidades trigonométricas se pueden verificar otras identidades, para ello se sugiere el siguiente procedimiento: 1. Se inicia del lado más complicado al lado más sencillo 2. Se expresan todas las funciones trigonométricas en términos de Senθ y Cosθ 3. Se hace uso del Algebra para llegar al resultado deseado


EJEMPLO: Verificar que

Secθ = Tanθ Cscθ

SOLUCIÓN: 1º) Escribimos la ecuación en términos de Senθ y Cosθ 1 Secθ Cosθ Senθ = = = Tanθ LQQD 1 Cscθ Cosθ Senθ EJEMPLO: Verificar que: Sec 2θ + Csc 2θ = Sec 2θ Csc 2θ Sec 2θ + Csc 2θ En ter min os de Senθ y Cosθ 1 1 Sec 2θ + Csc 2θ = + Al efectuar la suma de fracciones : 2 Cos θ Sen 2θ ( Sen 2θ + Cos 2θ ) = , Re cordando : Sen 2θ + Cos 2θ = 1 2 2 Cos θ Sen θ 1 1 1 = = x = Sec 2θ Csc 2θ 2 2 2 2 Cos θ Sen θ Cos θ Sen θ Sec 2θ + Csc 2θ = Sec 2θ Csc 2θ EJEMPLO: Verificar que SOLUCIÓN:

LQQD

Cosθ Cosθ + = 2 Secθ 1 + Senθ 1 − Senθ Cosθ (1 − Senθ ) + Cosθ (1 + Senθ ) (1 + Senθ )(1 − Senθ ) Cosθ − Cosθ Senθ + Cosθ + Cosθ Senθ = 1 − Sen 2θ 2Cosθ = Cos 2θ 2 = Cosθ = 2Secθ =

Cosθ Cosθ + 1 + Senθ 1 − Senθ

Cosθ Cosθ + = 2 Secθ 1 + Senθ 1 − Senθ

EJEMPLO: Verificar que

LQQD

Csc 2θ = Cot 2θ 1 + Tan 2θ

1 2 Csc 2θ Csc 2θ Sen 2θ Cos 2θ  Cosθ  = = = =  ÷ 1 1 + Tan 2θ Sec 2θ Sen 2θ  Senθ  Cos 2θ Csc 2θ = Cot 2θ LQQD 2 1 + Tan θ


TEMA IV.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS

sen(α + β ) = sen(α)cos(β ) + cos(α)sen(β ) sen(α − β ) = sen(α)cos(β )−cos(α)sen(β ) cos(α + β ) = cos(α)cos(β ) − sen(α)sen(β ) cos(α − β ) = cos(α)cos(β ) + sen(α)sen(β ) Ejemplo 1: Encontrar el valor exacto de Cos (75°) Solución Notemos que 75° es la suma de dos ángulos conocidos 75°= 30° + 45°, entonces: Cos75°= Cos ( 30° + 45° ) Aplicando la identidad: Cos 75° = Cos ( 30° ) Cos ( 45° ) − Sen ( 30° ) Sen ( 45° ) A calcular, puedes hacerlo con la calculadora

Ejemplo 2: Encontrar el valor exacto de sen ( π/12) Solución Usando el hecho que π/12=π/3−π/4 y la fórmula del Seno de la diferencia de dos ángulos: Sen ( π/12)= Sen ( π/3 –π/4 ) = Sen ( π/3 ) Cos ( π/4 ) − Cos ( π/3 ) Sen ( π/4 ) = Sen 60° Cos 45° - Cos 60° Sen 45° y a calcular Ejemplo 3: Simplificar la expresión Cos( θ − 3π/ 2 ) Solución Usando la fórmula del Coseno de la diferencia de dos ángulos: Cos( θ − 3π/ 2 )= Cos ( θ ) Cos ( 3π / 2 ) + Sen ( θ ) Sen ( 3π/ 2 ) = Cos ( θ ) ( 0 ) + Sen ( θ ) ( − 1 ) = − Sen ( θ )

MÁS EJEMPLOS RESUELTOS:


a) Verificar las siguientes identidades trigonométricas: 1. Verificar que

Cscθ = Cotθ Secθ

1 Senθ = Cosθ = Cotθ LQQD 1 Senθ Cosθ Senθ Cosθ + =1 Cscθ Secθ Senθ Cosθ = + =1 1 1 Senθ Cosθ = Sen 2θ + Cos 2θ = 1 LQQD 2.

3.

( 1 − Sen θ ) ( 1 + Tan θ ) = 1 2

2

Re cordando : Sen 2θ + Cos 2θ = 1 ⇒ Cos 2θ = 1 − Sen 2θ ( Identidad No 6) 1 + Tan 2θ = Sec 2θ ( Identidad No 7) Entonces :

( 1 − Sen θ ) + ( 1 + Tan θ ) = Cos θ Sec θ = Cos θ  Cos1 θ ÷ = 1 LQQD 2

2

2

2

2

2

4.

Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Sen 2θ Sen 2θ Cos θ ( Sec θ − 1) = Cos θ Tan θ = Cos θ = Sen 2θ 2 Cos θ 2

5.

2

2

2

2

LQQD

Cotθ + Tanθ = Cscθ Secθ

Cosθ Senθ Cosθ Cosθ + Senθ Senθ Cos 2θ + Sen 2θ 1 + = = = Senθ Cosθ Senθ Cosθ Senθ Cosθ Senθ Cosθ 1 1 Cotθ + Tanθ = x Senθ Cosθ Cotθ + Tanθ = Cscθ Secθ LQDD Cotθ + Tanθ =

6.

( Tanθ + Cotθ ) Tanθ = Sec 2θ Senθ Cosθ  Senθ  Senθ Senθ + Cosθ Cosθ  Senθ + = ÷ ÷ Senθ Cosθ  Cosθ Senθ  Cosθ   Cosθ  Sen 2θ + Cos 2θ  Senθ 1 Senθ 1 = x = ( Tanθ + Cotθ ) Tanθ =  ÷ 2  Senθ Cosθ  Cosθ Senθ Cosθ Cosθ Cos θ

( Tanθ + Cotθ ) Tanθ = 

( Tanθ + Cotθ ) Tanθ 7.

= Sec 2θ LQQD

Cos 4θ − Sen 4θ = 2Cos 2θ − 1


Cos 4θ − Sen 4θ = ( Cos 2θ ) − ( Sen 2θ ) Que es una diferencia de cuadrados 2

2

Cos 4θ − Sen 4θ = ( Cos 2θ + Sen 2θ ) ( Cos 2θ − Sen 2θ )

Cos 4θ − Sen 4θ = ( 1) ( Cos 2θ − Sen 2θ ) = Cos 2θ − ( 1 − Cos 2θ ) = Cos 2θ − 1 + Cos 2θ Cos 4θ − Sen 4θ = 2Cos 2θ − 1 LQQD 8.

Sen 2θ Cot 2θ + Cos 2θ Tan 2θ = 1 Cos 2θ Sen 2θ 2 + Cos θ x Sen 2θ Cos 2θ Sen 2θ Cot 2θ + Cos 2θ Tan 2θ = Cos 2θ + Sen θ = 1 LQQD Sen 2θ Cot 2θ + Cos 2θ Tan 2θ = Sen 2θ x

9.

Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Sen 2θ 2  1  2  1 − Cos θ  2 2 Cos θ ( Sec θ − 1) = Cos θ  − 1÷ = Cos θ  ÷ = 1 − Cos θ = Sen θ LQQD 2 2  Cos θ   Cos θ  2

10.

11.

2

2

( Tanθ + Cotθ )

2

= Sec 2θ + Csc 2θ

( Tanθ + Cotθ )

2

( Tanθ + Cotθ )

2

( Tanθ + Cotθ )

2

Sen 2θ Senθ Cosθ Cos 2θ + 2 + Cosθ Senθ Sen2θ Cos 2θ Sen 2θ Cos 2θ Sen 2θ Cos 2θ = + 2 + = + 1 + 1 + Cos 2θ Sen 2θ Cos 2θ Sen 2θ = Tan 2θ + 2Tanθ Cotθ + Cot 2θ =

= ( Tan 2θ + 1) + ( 1 + Cot 2θ ) = Sec 2θ + Cot 2θ LQQD

Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Sen 2θ 2  1  2  1 − Cos θ Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Cos 2θ  − 1 = Cos θ  ÷ 2 2  Cos θ   Cos θ

12.

 2 2 ÷ = 1 − Cos θ = Sen θ LQQD 

Tan 2θ − Sen 2θ = Tan 2θ Sen 2θ 2 2 Sen 2θ Sen 2θ − Sen 2θ Cos 2θ Sen θ ( 1 − Cos θ ) 2 Tan θ − Sen θ = − Sen θ = = Cos 2θ Cos 2θ Cos 2θ 2 Sen θ Tan 2θ − Sen 2θ = 1 − Cos 2θ ) = Tan 2θ Sen 2θ LQQD ( 2 Cos θ 2

13.

2

Secθ + 1 1 + Cosθ = Secθ − 1 1 − Cosθ 1 1 + Cosθ +1 ( 1 + Cosθ ) Cosθ ( 1 + Cosθ ) Secθ + 1 Cosθ = = Cosθ = = LQQD 1 1 − Cosθ ( 1 − Cosθ ) Cosθ Secθ − 1 1 − Cosθ ) ( −1 Cosθ Cosθ

14.

Tan 2θ = Sen 2θ 1 + Tan 2θ


Sen 2θ Sen 2θ Tan 2θ Sen 2θ Cos 2θ Cos 2θ = Cos 2θ = = = Sen 2θ LQQD 1 + Tan 2θ Sen 2θ Cos 2θ + Sen2θ ( Cos 2θ + Sen 2θ ) Cos 2θ 1+ Cos 2θ Cos 2θ 15.

Tanθ ( Csc 2θ − 1) Senθ + Cosθ Cotθ

= Cosθ

Senθ Cos 2θ Cosθ x 2 Tanθ ( Csc θ − 1) 2 Tanθ Cot θ Senθ = = Cosθ Sen 2θ = Cosθ Senθ + Cosθ Cotθ Cos θ Sen 2θ + Cos 2θ Senθ + Cosθ Senθ + Senθ Senθ Senθ Tanθ ( Csc 2θ − 1) Cosθ Senθ = = Cosθ LQQD Senθ + Cosθ Cotθ 1( Senθ ) 2

16.

Cotθ − 1 = Cotθ 1 − Tanθ Cosθ Cosθ − Senθ −1 Cosθ ( Cosθ − Senθ ) Cosθ Cotθ − 1 Senθ Senθ = = = = = Cotθ Senθ Cosθ − Senθ Senθ ( Cosθ − Senθ ) Senθ 1 − Tanθ 1− Cosθ Cosθ

17.

LQQD

Tan 2θ − Sen 2θ = Tan 2θ Sen 2θ 2 2 Sen 2θ Sen 2θ − Sen 2θ Cos 2θ Sen θ ( 1 − Cos θ ) 2 Tan θ − Sen θ = − Sen θ = = = Tan 2θ Sen 2θ LQQD Cos 2θ Cos 2θ Cos 2θ 2

2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS  

Contiene las identidades trigonométricas fundamentales y ejemplos resueltos.

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