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Bachillerato Virtual UDB Asignatura: Matemática Segundo año de Bachillerato General

Tema: Identidades trigonométricas Tutor Virtual: René Cortez Arévalo Agosto de 2013.


PROYECTO EDUCACIÓN PERMANENTE DE PERSONAS JÓVENES Y ADULTAS

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS I.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Definición: Se llama IDENTIDAD a una ecuación que se cumple para cualquier valor que tome la variable. x 2 − 1= ( x − 1)( x + 1)

EJEMPLO:

Note que para cualquier valor que tome la variable “x”, se cumple la igualdad, por lo tanto es una IDENTIDAD. A las identidades que comprenden funciones trigonométricas se llaman IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. Para el triángulo rectángulo de la figura:

Sen θ =

C

Cot θ =

B

B C A B

,

,

Cos θ =

Sec θ =

A C C A

,

Tan θ =

,

Csc θ =

B A C B

θ A

Se pueden distinguir tres tipos de identidades, a saber: a) IDENTIDADES DE COCIENTES 1. Tan θ =

Senθ Cosθ

2. Cot θ =

Cosθ Senθ

4. Sec θ =

1 Cosθ

b) IDENTIDADES RECÍPROCAS 3. Tan θ =

1 Cotθ

5. Csc θ =

1 Senθ

c) IDENTIDADES PITAGÓRICAS 6. Sen 2θ + Cos 2θ =1

7. Tan 2θ + 1 = Sec 2θ

Demostración de las Identidades Pitagóricas: No 6: Demostrar que Sen 2θ + Cos 2θ =1

8. 1 + Cot 2θ = Csc 2θ


En el triángulo de la figura anterior, al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos: A2 + B 2 = C 2 ; al dividir toda la ecuacion entre C 2 tenemos : A2 B 2 C 2 + = C2 C2 C2 A2 B 2 + =1 C2 C2 2

2

 A  B  ÷ + ÷ =1 C  C  Cos 2θ + Sen 2θ = 1

'

o

Sen 2θ + Cos 2θ = 1

LQQD

No 7: Demostrar que Tan 2θ + 1 = Sec 2θ Al dividir la identidad No 6, Sen 2θ + Cos 2θ =1 entre Cos 2θ se tiene: Sen 2θ Cos 2θ 1 + = 2 2 Cos θ Cos θ Cos 2θ Tan 2θ + 1 = Sec 2θ

LQQD

No 8: Demostrar que 1 + Cot 2θ = Csc 2θ Al dividir la identidad No 6, Sen 2θ + Cos 2θ =1 entre Sen 2θ se tiene: Sen 2θ Cos 2θ 1 + = 2 2 Sen θ Sen θ Sen 2θ 2

2

 Cosθ   1  1+  ÷ = ÷  Senθ   Senθ  1uuuuuuuuuuuuuuuuuuu + Cot 2θ = Csc 2θx

LQQD

Con base a estas 8 identidades trigonométricas se pueden verificar otras identidades, para ello se sugiere el siguiente procedimiento: 1. Se inicia del lado más complicado al lado más sencillo 2. Se expresan todas las funciones trigonométricas en términos de Senθ y Cosθ 3. Se hace uso del Algebra para llegar al resultado deseado

EJEMPLO: Verificar que

Secθ = Tanθ Cscθ


SOLUCIÓN: 1º) Escribimos la ecuación en términos de Senθ y Cosθ 1 Secθ Cosθ Senθ = = = Tanθ 1 Cscθ Cosθ Senθ

LQQD

Sec 2θ + Csc 2θ = Sec 2θ Csc 2θ Sec 2θ + Csc 2θ En ter min os de Senθ y Cosθ 1 1 Sec 2θ + Csc 2θ = + Al efectuar la suma de fracciones : 2 Cos θ Sen 2θ ( Sen 2θ + Cos 2θ ) EJEMPLO: Verificar que = , Re cordando : Sen 2θ + Cos 2θ = 1 2 2 Cos θ Sen θ 1 1 1 = = x = Sec 2θ Csc 2θ 2 2 2 2 Cos θ Sen θ Cos θ Sen θ Sec 2θ + Csc 2θ = Sec 2θ Csc 2θ EJEMPLO: Verificar que

LQQD

Cosθ Cosθ + = 2 Secθ 1 + Senθ 1 − Senθ

SOLUCIÓN: Cosθ (1 − Senθ ) + Cosθ (1 + Senθ ) (1 + Senθ )(1 − Senθ ) Cosθ − Cosθ Senθ + Cosθ + Cosθ Senθ = 1 − Sen 2θ 2Cosθ = Cos 2θ 2 = Cosθ = 2 Secθ =

Cosθ Cosθ + 1 + Senθ 1 − Senθ

Cosθ Cosθ + = 2 Secθ 1 + Senθ 1 − Senθ EJEMPLO: Verificar que

LQQD

Csc 2θ = Cot 2θ 1 + Tan 2θ

1 2 Csc 2θ Csc 2θ Sen 2θ Cos 2θ  Cosθ  = = = = ÷ 1 1 + Tan 2θ Sec 2θ Sen 2θ  Senθ  Cos 2θ Csc 2θ = Cot 2θ LQQD 2 1 + Tan θ


II.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

LAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS son ecuaciones que se cumplen para cualquier valor que asuma la variable. LAS ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS se cumplen solamente para algunos de los valores de la variable. En las ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS la variable desconocida es el ángulo. Para resolver las ecuaciones trigonométricas se sugiere: 1º) Trasladar todos los términos de la ecuación a un solo lado. 2º) Factorizar, para resolver cada factor. EJEMPLO: Resolver la ecuación: Senθ Cosθ = Cosθ

SOLUCION : Senθ Cosθ − Cosθ = 0 Cosθ ( Senθ − 1) = 0 Cosθ = 0; Para θ = 900 y θ = 2700 Senθ − 1 = 0 ⇒ Senθ = 1 Esto se cumple para θ = 900 Entonces el conjunto solucion es θ = {900 , 2700 }


EJERCICIOS: a) Verifique las identidades trigonométricas siguientes: Cscθ = Cotθ Secθ Senθ Cosθ 2. + =1 Cscθ Secθ 3. ( 1 − Sen 2θ ) ( 1 + Tan 2θ ) = 1

1.

4. Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Sen 2θ

5. Cotθ + Tanθ = Cscθ Secθ 6.

( Tanθ + Cotθ ) Tanθ = Sec 2θ

7. Cos 4θ − Sen 4θ = 2Cos 2θ − 1 8. Sen 2θ Cot 2θ + Cos 2θ Tan 2θ = 1 9. Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Sen 2θ

10. ( Tanθ + Cotθ ) = Sec 2θ + Csc 2θ 2

`

11. Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Sen 2θ

12. Tan 2θ − Sen 2θ = Tan 2θ Sen 2θ Secθ + 1 1 + Cosθ 13. = Secθ − 1 1 − Cosθ Tan 2θ 14. = Sen 2θ 2 1 + Tan θ Tanθ ( Csc 2θ − 1) 15. = Cosθ Senθ + Cosθ Cotθ Cotθ − 1 16. = Cotθ 1 − Tanθ 17. Tan 2θ − Sen 2θ = Tan 2θ Sen 2θ b) Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas: 18. Tan 2θ − 3 = 0 19. Secθ − 2 = 0 20. 2 Sen 2θ − 1 = 0


SOLUCIÓN A) Verificar las siguientes identidades trigonométricas: 1. Verificar que

Cscθ = Cotθ Secθ

1 Senθ = Cosθ = Cotθ LQQD 1 Senθ Cosθ Senθ Cosθ + =1 Cscθ Secθ Senθ Cosθ = + =1 1 1 Senθ Cosθ = Sen 2θ + Cos 2θ = 1 LQQD 2.

3.

( 1 − Sen θ ) ( 1 + Tan θ ) = 1 2

2

Re cordando : Sen 2θ + Cos 2θ = 1 ⇒ Cos 2θ = 1 − Sen 2θ ( Identidad No 6) 1 + Tan 2θ = Sec 2θ ( Identidad No 7) Entonces :

( 1 − Sen θ ) + ( 1 + Tan θ ) = Cos θ Sec θ = Cos θ  Cos1 θ ÷ = 1 LQQD 2

2

2

2

2

2

4.

Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Sen 2θ Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Cos 2θ Tan 2θ = Cos 2θ

5.

Sen 2θ = Sen 2θ 2 Cos θ

LQQD

Cotθ + Tanθ = Cscθ Secθ

Cosθ Senθ Cosθ Cosθ + Senθ Senθ Cos 2θ + Sen 2θ 1 + = = = Senθ Cosθ Senθ Cosθ Senθ Cosθ Senθ Cosθ 1 1 Cotθ + Tanθ = x Senθ Cosθ Cotθ + Tanθ = Cscθ Secθ LQDD Cotθ + Tanθ =

6.

( Tanθ + Cotθ ) Tanθ = Sec 2θ Senθ Cosθ  Senθ  Senθ Senθ + Cosθ Cosθ  Senθ + = ÷ ÷ Senθ Cosθ  Cosθ Senθ  Cosθ   Cosθ  Sen 2θ + Cos 2θ  Senθ 1 Senθ 1 = x = ( Tanθ + Cotθ ) Tanθ =  ÷ 2  Senθ Cosθ  Cosθ Senθ Cosθ Cosθ Cos θ

( Tanθ + Cotθ ) Tanθ = 

( Tanθ + Cotθ ) Tanθ

= Sec 2θ LQQD


7.

Cos 4θ − Sen 4θ = 2Cos 2θ − 1 Cos 4θ − Sen 4θ = ( Cos 2θ ) − ( Sen 2θ ) Que es una diferencia de cuadrados 2

2

Cos 4θ − Sen 4θ = ( Cos 2θ + Sen 2θ ) ( Cos 2θ − Sen 2θ )

Cos 4θ − Sen 4θ = ( 1) ( Cos 2θ − Sen 2θ ) = Cos 2θ − ( 1 − Cos 2θ ) = Cos 2θ − 1 + Cos 2θ Cos 4θ − Sen 4θ = 2Cos 2θ − 1 LQQD 8.

Sen 2θ Cot 2θ + Cos 2θ Tan 2θ = 1 Cos 2θ Sen 2θ 2 + Cos θ x Sen 2θ Cos 2θ Sen 2θ Cot 2θ + Cos 2θ Tan 2θ = Cos 2θ + Sen θ = 1 LQQD Sen 2θ Cot 2θ + Cos 2θ Tan 2θ = Sen 2θ x

9.

Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Sen 2θ 2  1  2  1 − Cos θ Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Cos 2θ  − 1 = Cos θ  ÷ 2 2  Cos θ   Cos θ

10.

11.

( Tanθ + Cotθ )

2

 2 2 ÷ = 1 − Cos θ = Sen θ LQQD 

= Sec 2θ + Csc 2θ

( Tanθ + Cotθ )

2

( Tanθ + Cotθ )

2

( Tanθ + Cotθ )

2

Sen 2θ Senθ Cosθ Cos 2θ = Tan θ + 2Tanθ Cotθ + Cot θ = +2 + Cosθ Senθ Sen2θ Cos 2θ Sen 2θ Cos 2θ Sen 2θ Cos 2θ = + 2 + = + 1 + 1 + Cos 2θ Sen 2θ Cos 2θ Sen 2θ 2

2

= ( Tan 2θ + 1) + ( 1 + Cot 2θ ) = Sec 2θ + Cot 2θ LQQD

Cos 2θ ( Sec 2θ − 1) = Sen 2θ 2  1  2  1 − Cos θ  2 2 Cos θ ( Sec θ − 1) = Cos θ  − 1÷ = Cos θ  ÷ = 1 − Cos θ = Sen θ LQQD 2 2  Cos θ   Cos θ  2

12.

2

2

Tan 2θ − Sen 2θ = Tan 2θ Sen 2θ 2 2 Sen 2θ Sen 2θ − Sen 2θ Cos 2θ Sen θ ( 1 − Cos θ ) 2 Tan θ − Sen θ = − Sen θ = = Cos 2θ Cos 2θ Cos 2θ Sen 2θ Tan 2θ − Sen 2θ = 1 − Cos 2θ ) = Tan 2θ Sen 2θ LQQD 2 ( Cos θ 2

13.

2

Secθ + 1 1 + Cosθ = Secθ − 1 1 − Cosθ 1 1 + Cosθ +1 ( 1 + Cosθ ) Cosθ ( 1 + Cosθ ) Secθ + 1 Cosθ = = Cosθ = = LQQD 1 1 − Cosθ ( 1 − Cosθ ) Cosθ Secθ − 1 1 − Cosθ ) ( −1 Cosθ Cosθ


14.

Tan 2θ = Sen 2θ 2 1 + Tan θ Sen 2θ Sen 2θ Tan 2θ Sen 2θ Cos 2θ Cos 2θ = Cos 2θ = = = Sen 2θ LQQD 1 + Tan 2θ Sen 2θ Cos 2θ + Sen2θ ( Cos 2θ + Sen 2θ ) Cos 2θ 1+ Cos 2θ Cos 2θ

15.

Tanθ ( Csc 2θ − 1) Senθ + Cosθ Cotθ

= Cosθ

Senθ Cos 2θ Cosθ x Tanθ ( Csc θ − 1) 2 Tanθ Cot θ Senθ = = Cosθ Sen 2θ = 2 Cosθ Senθ + Cosθ Cotθ Cos θ Sen θ + Cos 2θ Senθ + Cosθ Senθ + Senθ Senθ Senθ 2 Tanθ ( Csc θ − 1) Cosθ Senθ = = Cosθ LQQD Senθ + Cosθ Cotθ 1( Senθ ) 2

16.

2

Cotθ − 1 = Cotθ 1 − Tanθ Cosθ Cosθ − Senθ −1 Cosθ ( Cosθ − Senθ ) Cosθ Cotθ − 1 Senθ Senθ = = = = = Cotθ Senθ Cosθ − Senθ Senθ ( Cosθ − Senθ ) Senθ 1 − Tanθ 1− Cosθ Cosθ

17.

LQQD

Tan 2θ − Sen 2θ = Tan 2θ Sen 2θ 2 2 Sen 2θ Sen 2θ − Sen 2θ Cos 2θ Sen θ ( 1 − Cos θ ) 2 Tan θ − Sen θ = − Sen θ = = = Tan 2θ Sen 2θ LQQD 2 2 2 Cos θ Cos θ Cos θ 2

2

b) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas: 18.

Tan 2θ − 3 = 0 Tan 2θ = 3 ⇒ Tanθ = 3 ⇒ θ = Tan −1 3 ⇒ θ = 600 y θ = 2400 R /

19. Secθ − 2 = 0 Secθ = 2 ⇒ 20.

1 1 1 = 2 ⇒ Cosθ = ⇒ θ = Cos −1 ⇒ θ = 600 y θ = 3000 R / Cosθ 2 2

2 Sen 2θ − 1 = 0 2 Sen 2θ = 1⇒ Sen 2θ =

1 ⇒ Senθ = 2

1 1 ⇒ θ = Sen −1 ⇒ θ = 450 y θ = 1350 R / 2 2


Identidades trigonometricas 1  

CONTIENE: Conceptos básicos y ejercicios resueltos de Identidades trigonométricas.

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