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La logica proposizionale La logica proposizionale è un linguaggio formale con una semplice struttura sintattica, basata fondamentalmente su proposizioni elementari (atomi) e su connettivi logici di tipo vero-funzionale, che restituiscono il valore di verità di una proposizione in base al valore di verità delle proposizioni connesse (solitamente noti come AND, OR, NOT...). La semantica della logica proposizionale definisce il significato dei simboli e di qualsiasi proposizione che rispetti le regole sintattiche del linguaggio, basandosi sui valori di verità associati agli atomi. Data una interpretazione (o modello) di una proposizione (in generale di un insieme di proposizioni), e cioè una associazione tra le proposizioni elementari e le realtà rappresentate, possiamo generare un insieme infinito di proposizioni con significato definito che riguardino quella realtà. Ciascuna proposizione si riferisce quindi ad uno o più oggetti della realtà rappresentata (anche astratta, ovviamente) e permette di descrivere o ragionare su quell'oggetto, utilizzando i due soli valori "Vero" e "Falso".

Sintassi la definizione della struttura delle frasi

componenti:  

(o sintassi) della logica proposizionale si fonda su due

un alfabeto di simboli un insieme di sequenze di simboli (un linguaggio) definito tramite una grammatica generativa

Alfabeto L'alfabeto della logica proposizionale è costituito da:   

Un insieme numerabile di simboli di proposizione: p, q, r, ... I simboli dei connettivi logici: ¬ (NOT), (AND), (OR), → (implicazione), ↔ (doppia implicazione} Le parentesi: (,) (hanno per lo più lo scopo di rendere il linguaggio più chiaro ed evitare ambiguità)

Formule ben formate Le espressioni "sintatticamente corrette" della logica proposizionale (quelle che dovrebbero rappresentare degli enunciati dotati di senso in modo non ambiguo) sono chiamate formule ben formate, brevemente fbf (spesso in letteratura si trova anche wff, dall'inglese "well-formed formulas"), e sono definite mediante la seguente definizione ricorsiva: 1. un simbolo di proposizione è una fbf 2. se A è una fbf lo è anche ¬A 3. se A ed B sono fbf allora lo sono anche (A 4. niente altro è una fbf

B), (A

Sono esempi di formule ben formate:  

p (dalla regola 1) ¬p (dalla regola 2 applicata alla fbf precedente)

B), (A → B) e (A ↔ B)


 

(p ¬p) (dalla regola 3 applicata alle due fbf precedenti) ((p ¬p) ¬p) (dalla regola 3 applicata alle due fbf precedenti)

Le regole sopra esposte definiscono il linguaggio della logica proposizionale attraverso una grammatica generativa. La grammatica della logica proposizionale scritta in BNF è la seguente: f := l e L | NOT f | (f1 AND f2) | (f1 OR f2) | (f1 -> f2) | (f1 <-> f2)

Semantica Alle formule della logica proposizionale possono essere associati dei valori di verità mediante una funzione di valutazione: Si chiama funzione di valutazione una funzione che va dall'insieme L delle formule ben formate nell'insieme {V,F} (vero, falso) v : L → {V,F} tale che per ogni coppia di fbf x e y valgano le seguenti condizioni: v(¬x) = V se v(x) = F v(¬x) = F se v(x) = V v(x y) = V se e solo se v(x) = V e v(y) = V v(x y) = V se e solo se v(x) = V oppure v(y) = V v(x→y) = V se e solo se v(x) = F oppure v(y) = V v(x↔y) = V se e solo se v(x) = v(y) Tali condizioni rispecchiano il significato che si vuole attribuire ai simboli associati ai connettivi logici e si possono riassumere mediante la seguente tavola di verità:

P Q F

Q P Q P Q P Q P

Q P→Q

F

V

F

F

F

V

V

F V

F

F

V

V

F

V

V F

V

F

V

V

F

F

V V

F

V

V

F

V

V

Si dimostra che una valutazione è univocamente individuata dai valori che assume sui simboli di proposizione: i valori sulle formule più complesse in cui compaiono simboli di operatori logici possono essere dedotti a partire dalle condizioni sopra esposte che definiscono una valutazione.

Soddisfacibilità, tautologie e contraddizioni Sono importanti le seguenti definizioni: Una formula ben formata A si dice


  

soddisfacibile se esiste una valutazione v tale che v(A)=V, contraddizione se non è soddisfacibile, tautologia se per ogni valutazione v si ha v(A)=V,

Un banale esempio di formula soddisfacibile è p, un esempio di formula contraddittoria è (p ¬p), un esempio di tautologia è (p ¬p).


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